Klasa problemów #P. Paweł Gora 11/20/2008 1

Podobne dokumenty
Prezentacja kierunków pracy naukowej

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny

Algorytmy i Struktury Danych.

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojaera algorytm optymalny


PROJEKT: Technologie multimedialne drogą do przyjaznej edukacji przyszłości realizowany w Szkole Podstawowej nr 11 w Będzinie

ELEMENTY PROSTOKĄTNE Informacje techniczne 1 Kanały 2 Kolana 3 Trójniki 5 Odsadzki Czwórniki 7 Przejścia 8 ELEMENTY DACHOWE Podstawy dachowe 9

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Algorytmy i Struktury Danych, Rozwiązania zadań z kolokwiów

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

Materiały tylko do użytku wewnętrznego PZU SA. ankieta HOSPI

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

Ankieta absolwenta ANKIETA ABSOLWENTA. Losy zawodowe absolwentów PWSZ w Raciborzu

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa


o d ro z m ia r u /p o w y ż e j 1 0 c m d ł c m śr e d n ic y 5 a ) o ś r e d n ic y 2,5 5 c m 5 b ) o śr e d n ic y 5 c m 1 0 c m 8

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

Minimalizacja automatu

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

Sieæ koordynatorów pobierania i przeszczepiania narz¹dów w Polsce w 2013 r.

Opis i zakres czynności sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

4.6. Gramatyki regularne

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Instrukcje dotyczące systemu Windows w przypadku drukarki podłączonej lokalnie

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Hipoteza Černego, czyli jak zaciekawić ucznia teorią grafów

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i

ZADANIE I OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWENIA SPECYFIKACJA TECHNICZNA (OPIS) OFEROWANEGO SPRZĘTU

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

Podsumowanie wyników ankiet dotyczących żywienia w sklepikach szkolnych.

PROJEKT: Technologie multimedialne drogą do przyjaznej edukacji przyszłości realizowany w Szkole Podstawowej nr 11 w Będzinie

Przekształcenia automatów skończonych

1 3. N i e u W y w a ć w o d y d o d o g a s z a n i a g r i l l a! R e k o m e n d o w a n y j e s t p i a s e k Z a w s z e u p e w n i ć s i

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

I n f o r m a c j e n a t e m a t p o d m i o t u k t ó r e m u z a m a w i a j» c y p o w i e r z y łk p o w i e r z y l i p r o w a d z e p o s t p

1 3

F u l l H D, I P S D, I P F u l l H D, I P 5 M P,

Echa Przeszłości 11,

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska


w ww cic oz F o r p U0 a A Zr24 H r wa w wa wa w o UazQ v7 ; V7 v7 ; V7 ; v7 rj. co.. zz fa. A o, 7 F za za za 4 is,, A ) D. 4 FU.

, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

Metoda prądów obwodowych

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Regał / wózek do opon. podstawa...


u P o d n o s z e n i e e f e k t y w n o śc i e k o n o m i c z n e j f u n k c j o n o w a n i a a d m i n i s t ra c j i pu - b li c z n e j w y m


Mazurskie Centrum Kongresowo-Wypoczynkowe "Zamek - Ryn" Sp. z o.o. / ul. Plac Wolności 2,, Ryn; Tel , fax ,

Sieæ szpitalnych koordynatorów pobierania narz¹dów w Polsce w 2011 r.

Programy współbieżne

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA





















w i r.

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M =

RBD Relacyjne Bazy Danych

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

Bank Spółdzielczy w Raciążu

Obozy Naukowe OMG poziom OMG Perzanowo

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 23 dr Adam Ćmiel

Cezary Michalski, Larysa Głazyrina, Dorota Zarzeczna Wykorzystanie walorów turystycznych i rekreacyjnych gminy Olsztyn

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

Fragment darmowy udostępniony przez Wydawnictwo w celach promocyjnych. EGZEMPLARZ NIE DO SPRZEDAŻY!

Tensor liniowa jednorodna funkcja: wektor wektor b=f(a) a ( ˆ) [ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ. Równanie b=f(a) można więc zapisać w postaci

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I

G i m n a z j a l i s t ó w


Uogólnione wektory własne

5. Zadania tekstowe.

51. Ogólnopolski Konkurs Chemiczny im. A. Swinarskiego

K R Ó L O W I E PS Z W E C J I PWP.P O LF K U N G O W I E P 5 2 2

Regionalne Koło Matematyczne

Transkrypt:

Kls prolmów #P Pwł Gor /2/28

Agn Prolmy klsy #P Prolmy #P-zupłn Przykł prolmu #PC: zlizni roszrzń liniowyh Przykłow lgorytmy zlizni rozszrzń liniowyh /2/28 2

Kls polmów #P Kls #P kls prolmów zlizni związnyh z prolmmi yzyjnymi z klsy NP Przykły: NP #P Czy istnij w gri ykl Hmilton o koszi mnijszym niż? Czy istnij wrtośiowni spłniją ormułę CNF? Czyistnij oskonł skojrzni w gri wuzilnym? Il istnij w gri ykli Hmilton o koszi mnijszym niż? Il istnij wrtośiowń spłnijąyh ormułę CNF? Il istnij oskonłyh skojrzń w gri wuzilnym? /2/28 3

Kls prolmów #P-zupłnyh Kls #P-omplt kls prolmów z #P tkih, ż kży prolm z #P się o nih zrukowć w zsi wilominowym. Przykły: #SAT (il jst wrtośiowń spłnijąyh zną ormułę?) #HAMILTON_PATH (il jst śiżk Hmilton w gri?) #PERMANENT (il jst ilnyh skojrzń w gri wuzilnym?) /2/28 4

Dowozni przynlżnośi o #PC Rukj prolmu A o prolmu B: x A? /2/28 5

Dowozni przynlżnośi o #PC Rukj prolmu A o prolmu B: R x A? R(x) B N /2/28 6

Dowozni przynlżnośi o #PC Rukj prolmu A o prolmu B: x A S(N) R S R(x) B N /2/28 7

Dowozni przynlżnośi o #PC Rukj prolmu A o prolmu B: x A S(N) R S R(x) B N JśliS jst unkją intyznośiową,to jst to rukj oszzęn. /2/28 8

Truność prolmów z #P i #PC Prolmy z klsy #P są o njmnij tk trun jk opowiją im prolmy z klsy NP Jżli istnij wilominowy lgorytm l prolmu z #PC, to P = NP (o pokzno, ż #SAT jst w klsi #PC). Tki lgorytm ni jst jszz znny... /2/28 9

Pytni kontroln #PNPC -kls prolmów z #P, któr opowiją prolmom z NPC. Czy #PC = #PNPC? /2/28

Pytni kontroln #PNPC -kls prolmów z #P, któr opowiją prolmom z NPC. Czy #PC = #PNPC? NIE!! /2/28

Prolmy z #PC Do klsy #PC nlżą tż prolmy, l któryh opowini prolm yzyjny posi rozwiązni wilominow. Przykł: Prolm istnini ilngo skojrzni w gri wuzilnym /2/28 2

Wżny przykł prolmu z #PC Prolm znjowni ilośi rozszrzń liniowyh zioru zęśiowo uporząkowngo (postu). Post= (P, ), P = n Rlj jst:. Zwrotn: l z S 2. Antysymtryzn: jśli i, to = 3. Przhoni: jśli i, to /2/28 3

Post Elmnty x, y są porównywln, jżli x y lu y x Wpp x,y niporównywln(x y) Porząk liniowy: kż 2 lmnty P są porównywln Łńuh w P: poziór P ęąy porząkim liniowym Antyłńuhw P: poziór P, w którym wszystki lmnty są niporównywln Szrokość P: rozmir njwiększgo ntyłńuh w P (w(p)) /2/28 4

Rozszrzni liniow postu Post (P, ) jst rozrzsznim(p, ), gy l x,y z zioru P x y implikuj x y Rozszrzni liniow = rozszrzni ęą łńuhm /2/28 5

Digrm Hssgo Przykł igrmu Hssgo: /2/28 6

Prolmy związn z postmi Jk znjowć wszystki rozszrzni liniow? Il jst wszystkih rozszrzń liniowyh? Il jst roszrzń liniowyh, w któryh x jst n pozyji ustlonj pozyji? Il jst rozszrzń liniowyh, w któryh x jst prz y? Pirwszy prolm się rozwiązć w zmortyzownym zsi stłym (O((P)), gzi (P) ilość rozszrzń liniowyh) Osttni 3 prolmy nlżą o klsy #PC. /2/28 7

Potrzn pojęi Post P jst krtą, jżli l owolyh x, y z P istnij in{x, y} = x Λv orz sup{x, y} = x v y. Ił: poziór D postu P: D x x y P y D x,, Filtr: poziór U postu P: /2/28 8 D x x y P y D x,, U y y x P y U x,,

Zlizni rozszrzń liniowyh Algorytm ynmizny Post (P, ) o szrokośi k. Z tw. Dilworth się go pokryć k rozłąznymi łńuhmi: x x x, 2, k, < <... < x x x,2 2,2 k,2 < <... <......... < < x, n x x, n... <, 2.. n k /2/28 9

Algorytm ynmizny Kżmu iłowi I możn jnoznzni przyporząkowć krotkę: U k { i, j i= I = x : j < p } p, p,..., p ) i ( 2 k Różn iły są rprzntown przz różn krotki, np krotk (,,...,) rprzntuj ił pusty. /2/28 2

Algorytm ynmizny [p,p 2,...,p k ] ilość rozszrzń liniowyh iłu rprzntowngo przz tą krotkę [,,...,] = Jśli (p,p 2,...,p k ) ni rprzntuj iłu, to [p,p 2,...,p k ] = Jśli (p,p 2,...,p k ) rprzntuj ił, to [p,p 2,...,p k ] = [p -,p 2,...,p k ] + [p,p 2 -,...,p k ] +... + [p,p 2,...,p k -] /2/28 2

Algorytm ynmizny /2/28 22

Algorytm ynmizny N koni olizń: [ 2 n, n,..., n k ] = liz rozszrzń liniowyh Wszystkih krotk jst o njwyżj: /2/28 23

Algorytm ynmizny Ilość oprji n prztworzni krotki: Łązn ilość oprji lgorytmu: Dl ustlongo k złożoność: Dl k = Θ(n) złożoność: /2/28 24

Algorytm II krt iłów Krt iłów: {,,,,,} {,,,,} {,,,} {,,,} {,,} {,,} {,} {,} {} /2/28 25 Ø

Algorytm II krt iłów Krt iłów: {,,,,,} {,,,,} {,,,} {,,,} {,,} {,,} {,} {,} {} /2/28 26 Ø

Oznzni ImSu(I) list zpośrnih nstępników I Chil(I) list zpośrnih poprzników I LinExtFiltr(I) ilość rozszrzń liniowyh iltru P\I VisitIl(I) lg: zy I ył już owizony przz lgorytm /2/28 27

Algorytm Buil (Post P) zuuj krtę iłów P; ount <- Assign(Ø); Assign (Il I) VisitIl(I) <- tru; xtnsions <- ; or h il I inimsu(i) o ii = P thnxtnsions <-xtnsions + ; ls i not VisitIl(I ) thn xtnsions <- xtnsions + Assign(I ); ls xtnsions <- xtnsions + LinExtFiltr(I ); LinExtFiltr(I) <- xtnsions; rturnxtnsions; /2/28 28

Przykł /2/28 29

Przykł /2/28 3

Przykł /2/28 3

Przykł /2/28 32

Przykł /2/28 33

Przykł /2/28 34

Przykł /2/28 35

Przykł /2/28 36

Przykł /2/28 37

Przykł /2/28 38

Przykł /2/28 39

Przykł /2/28 4

Przykł /2/28 4

Przykł /2/28 42

Przykł /2/28 43

Przykł 2 /2/28 44

Przykł 2 3 /2/28 45

Przykł 2 3 3 /2/28 46

Przykł 2 3 3 /2/28 47

Przykł 2 3 2 3 /2/28 48

Przykł 2 3 2 5 /2/28 49

Przykł 2 3 2 5 5 /2/28 5

Znjowni rozszrzń liniowyh Kż rozszrzni liniow opowi śiż o njmnijszgo o njwiększgo iłu /2/28 5

Znjowni rozszrzń liniowyh Gnrt (Krt L) I<-Ø; E<- ; whil(i P) umulassignmnt <- ; rn <- rnom numr rom {,...,LinExtFiltr(I)}; or h il I in ImSu(I) o umulassignmnt <- umulassignmnt + LinExtFiltr(I ); i rn umulassignmnt thn E.(I \I); I <-I ; rk; rturn E; /2/28 52

Zlizni liniowyh rozszrzń Pytni: Il jst rozszrzń liniowyh, w któryh lmnt x występuj n pozyji i? Rozwiązni: Stosujmy lgorytm Assignl porząku owróongo i otrzymujmy wrtośi LinExtIl(I) ilość liniowyh rozszrzń iłu I. /2/28 53

Zlizni rozszrzń liniowyh ComputRnks(Post P) zuuj krtę iłów; Assign(Ø); or h lmnt E in P o or h Hight in,..., P o Rnk(E, Hight) <- ; ComputRnk(Ø, ); rturn Rnk; ComputRnk(Il I, Intgr Hight) VisitIl(I) <- tru; or h il I inimsu(i) o Rnk(I \I, Hight) += LinExtIl(I) * LinExtFiltr(I ); i(i P) n not VisitIl(I ) thn ComputRnk(I, High + ); /2/28 54

Zlizni rozszrzń liniowyh ComputMutulRnk(Il I, Intgr Hight) Buil th il ltti o P; Assign(Ø); For h lmnt E inp For h lmnt F inp o MR(E, F) <-; ComputMutulRnkDFS(Ø,); rturn MR; // MR(E, F) ilość rozszrzń, w któryh // lmnt F jst prz lmntm E ComputMutulRnkDFS(Il I, Intgr Hight) lr lol rry HsVisit; VisitIl(I)<-tru; or h il I inimsu(i) o HsVisit(I \I) <- tru; or h lmnt E inp o i HsVisit(E) = Tru thn MR(I \I, E) <- MR(I \I, E) + LinExtIl(I) * LinExtFiltr(I ) i I P n not VisitIl(I ) thn ComputMutulRnkDFS(I, Hight + ); /2/28 55

Złożoność Zlizni rozszrzń liniowyh: O(I(P) * w(p)) Znjowni koljnyh rozszrzń liniowyh: O(P * w(p)) Zlizni ilośi rozszrzń, l któryh x jst n pozyji i : O(I(P) * P * w(p)) Zlizni ilośi rozszrzń, l któryh x jst prz y: O(I(P)* P * w(p)) /2/28 56

Biliogri M. Pzrski Lizni rozszrzń liniowyh w zsi wilominowym M. Pzrski Nw rults in Minimum-Comprison Sorting G.Pruss, F. Rusky Gnrting linr xtnsions st K. D Loo, B. D Bts, H. D Myr Exploiting th ltti o ils rprsnttion o posts M.Hi, R.Min, L. Nourin, G.Stinr Eiint lgorithm on istriutiv lttis Ch. Ppimitriou Złożoność olizniow M. Wlls Elmnts o omintoril Computing /2/28 57

Dziękuję z uwgę!! Pytni? /2/28 58