Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.

1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.

W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK

W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie 1.(XXI OM, zadanie 11/I) Udowodnij, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w co najmniej jednym z nich istnieją dwa punkty odległe o 1. To zadanie możemy sformułować inaczej, używając pojęcia kolorowania. Oto takie sformułowanie: Zadanie 1. Każdy punkt płaszczyzny pokolorowano jednym z trzech kolorów. Udowodnij, że na tej płaszczyźnie istnieją dwa punkty odległe o 1 pokolorowane tym samym kolorem.

W. Guzicki: O kolorowaniu 4 Punktyodległeo 3sątegosamegokoloru: C A E B D AB= 3, AC=BC=AD=BD=1 oraz CD=1.

W. Guzicki: O kolorowaniu 5 PunktyAiBmajątensamkolorcopunktC: C 3 3 A 1 B

W. Guzicki: O kolorowaniu 6 Tych siedmiu punktów nie można pokolorować trzema kolorami, tak, by punkty połączone odcinkiem miały różne kolory: A B F E C D G

W. Guzicki: O kolorowaniu 7 Zadanie 2.(Olimpiada Matematyczna Australii, 2016 r.) Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na jeden z czterech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwa punkty tego samego koloru w odległości 1lub 3. Rozwiązanie. Kolorujemy punkty płaszczyzny czterema kolorami: czerwonym, niebieskim, zielonym i żółtym. Zakładamy,żedowolnepunktyodległeo1lubo 3mająróżnekolory. Istnieją dwa punkty odległe o 2 pokolorowane różnymi kolorami. Wystarczy wziąć trójkąt XY Z o bokach następujących długości: XY=1 oraz XZ=YZ=2.

W. Guzicki: O kolorowaniu 8 PunktAczerwony,punktBniebieski,AB=2. TrójkątABCrównoboczny(czyliAC=BC=2). PunktyD,EiFsąśrodkamibokówBC,ACiABtrójkątaABC. C E D A F B

W. Guzicki: O kolorowaniu 9 OczywiścieAE=ED=BD=1orazAD=BE= 3. PunktyDiEmająróżnekolory,aleaniczerwony,aniniebieski. NiechpunktDbędziezielony,apunktEżółty. JakikolormapunktF? C E D A F B

W. Guzicki: O kolorowaniu 10 Tych dziewięciu punktów nie można pokolorować czterema kolorami, tak, by punkty połączone odcinkiem miały różne kolory: D B G E F J H A C

W. Guzicki: O kolorowaniu 11 Zadanie 3.(XLIV OM, zadanie 4/III) Dany jest wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami. Wierzchołki tego wielościanu kolorujemy trzema kolorami. Udowodnij, że liczba ścian mających wierzchołki wszystkich trzech kolorów jest parzysta. Zadanie 4.(LI OM, zadanie 4/I) Każdy punkt okręgu jest pokolorowany jednym z trzech kolorów. Udowodnij, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

W. Guzicki: O kolorowaniu 12 Zadanie 5.(LIX OM, zadanie 4/III) Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało lub czarno. Udowodnij, że ze zbioru wszystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty mają ten sam kolor. Zadanie 6.(IV OMG, zadanie 6/I) Każdy punkt płaszczyzny pokolorowano na niebiesko lub czerwono. Udowodnij, że istnieje trójkąt prostokątny równoramienny, którego wierzchołki są tego samego koloru.

W. Guzicki: O kolorowaniu 13 Zadanie 7.(VIII OMG, zadanie 4/II) Każdy punkt płaszczyzny należy pomalować na pewien kolor w taki sposób, aby każda prosta była jednokolorowa lub dwukolorowa. Jaka jest największa możliwa liczba kolorów, których można użyć do pomalowania punktów tej płaszczyzny? Zadanie 8.(IX OMG, zadanie 4/II) Napłaszczyźniezaznaczononpunktów(n 3),zktórychżadnetrzy nieleżąnajednejprostej.każdyztychpunktówpomalowanonajeden z trzech kolorów, przy czym każdego koloru użyto przynajmniej raz. Udowodnij, że istnieje taki trójkąt o wierzchołkach w zaznaczonych punktach, którego każde dwa wierzchołki mają różne kolory i do wnętrza którego nie należy żaden zaznaczony punkt.

W. Guzicki: O kolorowaniu 14 Zadanie 9.(X OMG, zadanie 2/III) Każdą liczbę całkowitą dodatnią pomalowano na pewien kolor. Okazałosię,żedlakażdejparyliczbcałkowitycha,bwiększychod1 liczbya+biabsątegosamegokoloru.wykaż,żewszystkieliczby większe od 4 zostały pomalowane tym samym kolorem. Zadanie 10.(XIII OMJ, zadanie 5/II) Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.

W. Guzicki: O kolorowaniu 15 Galeria sztuki

W. Guzicki: O kolorowaniu 16 Strażnik w punkcie S S

W. Guzicki: O kolorowaniu 17 Strażnik w wierzchołku S S

W. Guzicki: O kolorowaniu 18 Zadanie. Dana jest galeria sztuki, będąca wielokątem(niekoniecznie wypukłym) mającym n boków. Jaką najmniejszą liczbę strażników należy rozmieścić w galerii, by widzieli oni całą galerię? Odpowiedź. n 3.

W. Guzicki: O kolorowaniu 19 Triangulacja galerii

W. Guzicki: O kolorowaniu 20 Kolorowanie wierzchołków galerii

W. Guzicki: O kolorowaniu 21 n 3 strażników wystarczy

W. Guzicki: O kolorowaniu 22 Można też wybrać czerwone wierzchołki:

W. Guzicki: O kolorowaniu 23 n Umieszczenie co najmniej strażników 3 może być konieczne:

W. Guzicki: O kolorowaniu 24 KOLOROWANIE GRAFÓW

W. Guzicki: O kolorowaniu 25 Graf Wierzchołki Krawędzie

W. Guzicki: O kolorowaniu 26 Graf To nie jest wierzchołek

W. Guzicki: O kolorowaniu 27 Graf płaski

W. Guzicki: O kolorowaniu 28 Grafy planarne

W. Guzicki: O kolorowaniu 29 Grafy planarne

W. Guzicki: O kolorowaniu 30 Grafy nieplanarne

W. Guzicki: O kolorowaniu 31 Grafy wielościanów foremnych G 4 G 6 G 8 G 12 G 20

W. Guzicki: O kolorowaniu 32 Kolorowanie grafów Każdy wierzchołek grafu kolorujemy jednym z k kolorów w taki sposób, by każda krawędź miała końce różnych kolorów. Liczba chromatyczna grafu to najmniejsza liczba kolorów, którymi można tak pokolorować graf. Oznaczenie: Symbolem χ(g) oznaczamy liczbę chromatyczną grafu G.

W. Guzicki: O kolorowaniu 33 Przykład: graf Petersena Można łatwo pokolorować pięcioma kolorami.

W. Guzicki: O kolorowaniu 34 Przykład: graf Petersena Można także pokolorować czterema kolorami.

W. Guzicki: O kolorowaniu 35 Przykład: graf Petersena Można wreszcie pokolorować trzema kolorami.

W. Guzicki: O kolorowaniu 36 Ćwiczenie Grafu Petersena nie można pokolorować dwoma kolorami. Ogólnie: jeśli graf zawiera cykl długości nieparzystej, to tego grafu nie można pokolorować dwoma kolorami. Wniosek: liczba chromatyczna grafu Petersena jest równa 3.

W. Guzicki: O kolorowaniu 37 Inne przykłady Te grafy mają liczbę chromatyczną równą 4.

W. Guzicki: O kolorowaniu 38 Grafy wielościanów foremnych G 4 G 6 G 8 G 12 G 20

W. Guzicki: O kolorowaniu 39 Twierdzenie.(Brooks, 1941) Niech będzie maksymalnym stopniem wierzchołka grafu G. Wówczas χ(g) +1, przyczymrównośćχ(g)= +1mamiejscejedyniewdwóchprzypadkach: grafgjestgrafempełnymk +1 (tzn.grafgma +1wierzchołkówikażdedwawierzchołkisą połączone krawędzią), graf G jest cyklem długości nieparzystej (wówczas =2iχ(G)=3).

W. Guzicki: O kolorowaniu 40 KOLOROWANIE GRAFÓW PŁASKICH IMAP

W. Guzicki: O kolorowaniu 41 Ściany grafu płaskiego 1 4 4 2 3 5 1 3 6 2

W. Guzicki: O kolorowaniu 42 Twierdzenie.(Euler) Jeśli G jest grafem płaskim, to: w k+s=2, gdzie: w = liczba wierzchołków, k = liczba krawędzi, s=liczbaścian.

W. Guzicki: O kolorowaniu 43 Wniosek 1. Jeśli G jest grafem planarnym, to k 3w 6. Wniosek2.JeśliGjestgrafemplanarnymbezcyklidługości3,to k 2w 4. Wniosek 3. W każdym grafie planarnym istnieje wierzchołek stopnia co najwyżej 5.

W. Guzicki: O kolorowaniu 44 Twierdzenie.Następującygraf(oznaczanysymbolemK 5 )jestnieplanarny: Dowód.Wtymgrafie: w=5orazk=10. Gdyby ten graf był planarny, to mielibyśmy nierówność 10=k 3w 6=3 5 6=9.

W. Guzicki: O kolorowaniu 45 Twierdzenie.Następującygraf(oznaczanysymbolemK 3,3 )jestnieplanarny: Dowód. Ten graf nie ma cykli długości nieparzystej; w szczególności niemacyklidługości3.ponadto: w=6orazk=9. Gdyby ten graf był planarny, to mielibyśmy nierówność 9=k 2w 4=2 6 4=8.

W. Guzicki: O kolorowaniu 46 Twierdzenie. Jeśli G jest grafem płaskim, to χ(g) 6.(Łatwe) χ(g) 5.(Trudniejsze) χ(g) 4.(Appel, Haken, 1976; wielkie obliczenia komputerowe)

W. Guzicki: O kolorowaniu 47

W. Guzicki: O kolorowaniu 53 BP B BB B C C C E G GW JG K K K K K K K L L L Ł Ł NS O O O P PT P P P R R S S S S S S T T T W W W W Z ZG

W. Guzicki: O kolorowaniu 54 KOLOROWANIE PŁASZCZYZNY

W. Guzicki: O kolorowaniu 55 Z płaszczyzny tworzymy graf Ustalamy jednostkę długości na płaszczyźnie Wierzchołki punkty płaszczyzny Wierzchołki są połączone krawędzią, gdy są odległe o jednostkę

W. Guzicki: O kolorowaniu 56 Problem: Znaleźć liczbę chromatyczną płaszczyzny. Inne sformułowanie: Czy można pokolorować punkty płaszczyzny w taki sposób, by każdy odcinek długości 1 miał oba końce różnych kolorów? Jeśli tak, to ilu(co najmniej) kolorów potrzebujemy?

W. Guzicki: O kolorowaniu 57 Koniecznejestużycieconajmniej4kolorów:χ(R 2 ) 4. A C B G B E C F D H O K A D G E F

W. Guzicki: O kolorowaniu 58 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 9 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 9 1 2 3 1 2 3 1 2 3 9 kolorów wystarczy: χ(r 2 ) 9, bokkratki=0,6. 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 59 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 kolorów wystarczy: χ(r 2 ) 9, bok sześciokąta = 0,4.

W. Guzicki: O kolorowaniu 60 7 kolorów wystarczy: χ(r 2 ) 9, bok sześciokąta = 0,4.

W. Guzicki: O kolorowaniu 61 E D R Q 0,4 F 0,4 O C 0,4 T 0,4 0,2 0,2 S W K J A 0,4 B P L I M N G H

W. Guzicki: O kolorowaniu 62 Podsumowanie Konieczne jest użycie co najmniej czterech kolorów. Na pewno wystarczy siedem kolorów. Problem Ile co najmniej kolorów wystarczy?

W. Guzicki: O kolorowaniu 63 Nie znamy odpowiedzi na to pytanie. Zobaczyliśmy tylko, że liczba chromatyczna płaszczyzny jestjednązczterechliczb:4,5,6lub7. 4 χ(r 2 ) 7.

W. Guzicki: O kolorowaniu 64 Dopisane 27 października 2018r. Wkwietniu2018r.AubreyD.N.J.deGreyudowodnił,że konieczne jest użycie co najmniej pięciu kolorów. Wiemy zatem, że: 5 χ(r 2 ) 7. Nadaljednaknieznamydokładnejwartościliczbyχ(R 2 ). Dziękuję Joasi Jaszuńskiej za informację o twierdzeniu de Greya!

W. Guzicki: O kolorowaniu 65 KOLOROWANIE LICZB CAŁKOWITYCH (LUB NATURALNYCH)

W. Guzicki: O kolorowaniu 66 Zadanie.(XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów) Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.

W. Guzicki: O kolorowaniu 67 Problem ogólny Dany jest zbiór D N. Rozpatrujemy graf nieskończony, którego wierzchołkami są liczby całkowite(lub liczby naturalne). Dwie liczby minsąpołączonekrawędzią,jeśli m n D. Symbolem χ(z, D)(lub odpowiednio χ(n, D)) będziemy oznaczać liczbę chromatyczną takiego grafu.

W. Guzicki: O kolorowaniu 68 Można udowodnić, że χ(z,d)=χ(n,d). W dalszym ciągu będziemy się więc zajmować kolorowaniem liczb naturalnych.

W. Guzicki: O kolorowaniu 69 Przykład 1. Niech D będzie zbiorem potęg liczby 2: D={2 n : n N}={1,2,4,8,16,...}. Wówczas χ(n,d)=3.

W. Guzicki: O kolorowaniu 70 Oczywiścieliczby1,2i3musząmiećróżnekolory: 2 1 = 3 2 =1=2 0 D oraz 3 1 =2=2 1 D.

W. Guzicki: O kolorowaniu 71 Z drugiej strony, kolorujemy liczby całkowite w następujący sposób: c(n)=nmod3. To znaczy c(n)= 0, jeśli3 n, 1, jeśli3 n 1, 2, jeśli3 n 2.

W. Guzicki: O kolorowaniu 72 Dwieliczbycałkowitemajątensamkolorwtedyitylkowtedy,gdy ich różnica jest podzielna przez 3. Wtedy jednakże ta różnica nie jest potęgą liczby 2, więc nie należy dozbiorud. To dowodzi, że χ(n,d)=3.

W. Guzicki: O kolorowaniu 73 Przykład 2. Niech D będzie zbiorem liczb pierwszych: D={2,3,5,7,11,13,17,...}. Wówczas χ(n,d)=4.

W. Guzicki: O kolorowaniu 74 Liczby1,2,3,4,5,6i7niemogąbyćpokolorowanetrzemakolorami. Inaczej mówiąc, następujący graf nie jest 3-kolorowalny: 7 6 1 5 2 4 3

W. Guzicki: O kolorowaniu 75 Przypuśćmy, że jest 3-kolorowalny. Liczby1i6mająróżnekolory(np.zielonyiniebieski): 7 6 1 5 2 4 3

W. Guzicki: O kolorowaniu 76 Liczby3i4musząbyćczerwone. 7 6 1 5 2 4 3 Liczby2,5i7niemogąbyćczerwone.Alemusząmiećtrzyróżne kolory. To jest niemożliwe.

W. Guzicki: O kolorowaniu 77 Z drugiej strony, kolorujemy liczby całkowite w następujący sposób: c(n)=nmod4. To znaczy c(n)= 0, jeśli4 n, 1, jeśli4 n 1, 2, jeśli4 n 2, 3, jeśli4 n 3.

W. Guzicki: O kolorowaniu 78 Dwieliczbycałkowitemajątensamkolorwtedyitylkowtedy,gdy ich różnica jest podzielna przez 4. Wtedy jednakże ta różnica nie jest liczbą pierwszą, więc nie należy dozbiorud. To dowodzi, że χ(n,d)=4.

W. Guzicki: O kolorowaniu 79 Przypomnijmy zadanie 10: Zadanie 10.(XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów) Każdą liczbę całkowitą pomalowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie różne liczby tego samego koloru, których różnica jest kwadratem liczby całkowitej.

W. Guzicki: O kolorowaniu 80 W tym zadaniu zbiór D jest zbiorem kwadratów liczb naturalnych: D= { k 2 : k N\{0} } ={1,4,9,14,25,...}. Zbioru{0,1,2,...,28}niemożnapokolorowaćtrzemakolorami. Spróbujmy bowiem znaleźć takie kolorowanie. Kolorowanieliczbod0do28zacznijmyodliczb0i25.

W. Guzicki: O kolorowaniu 81 Liczby0i25musząmiećróżnekolory(np.niebieskiizielony): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 25

W. Guzicki: O kolorowaniu 82 Liczba 9 jest czerwona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 9 16

W. Guzicki: O kolorowaniu 83 Liczba 16 jest czerwona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 16 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 84 Przypadek 1. Liczba 1 jest czerwona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

W. Guzicki: O kolorowaniu 85 Przypadek1 c.d. Liczba26jestniebieska: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 25

W. Guzicki: O kolorowaniu 86 Przypadek1 c.d. Liczba10jestzielona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 9 16

W. Guzicki: O kolorowaniu 90 Przypadek1 c.d. Liczba27jestczerwona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 25

W. Guzicki: O kolorowaniu 95 Przypadek 1 c. d. Sprzeczność! Brakuje koloru dla liczby 28: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 16 25

W. Guzicki: O kolorowaniu 96 Przypadek 1(dla przypomnienia). Liczba 1 jest czerwona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

W. Guzicki: O kolorowaniu 97 Przypadek 2. Liczba 1 jest zielona: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

W. Guzicki: O kolorowaniu 108 Przypadek 2 c. d. Sprzeczność! Brakuje koloru dla liczby 28: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 9 25

W. Guzicki: O kolorowaniu 109 Przykładowe kolorowanie liczb od 0 do 27: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

W. Guzicki: O kolorowaniu 110 Twierdzenie. Nie istnieje kolorowanie liczb od 0 do 28 trzema kolorami, w którym liczby różniące się o kwadrat liczby całkowitej mają różne kolory. Istnieje kolorowanie trzema kolorami liczb od 0 do 27, w którym liczby różniące się o kwadrat liczby całkowitej mają różne kolory.

W. Guzicki: O kolorowaniu 111 Inne rozwiązanie. Weźmy następujące cztery liczby: a=0, b=153 2 = 23409, c=185 2 = 34225, d=697 2 =485809.

W. Guzicki: O kolorowaniu 112 Wówczas mamy: b a=153 2 0=153 2 D, c a=185 2 0=185 2 D, d a=697 2 0=697 2 D, c b=185 2 153 2 =34225 23409=10816=104 2 D, d b=697 2 153 2 =485809 23409=462400=680 2 D, d c=697 2 185 2 =485809 34225=451584=672 2 D. Zatemliczbya,b,cidmusząmiećróżnekolory.

W. Guzicki: O kolorowaniu 113 Można udowodnić, że dla tego zbioru D także χ(n,d) 5. Nie jest znana liczba chromatyczna tego grafu. Nie wiadomo nawet, czy istnieje kolorowanie zbioru N za pomocą skończonej liczby kolorów.

W. Guzicki: O kolorowaniu 114 JEDNOKOLOROWE CIĄGI ARYTMETYCZNE

W. Guzicki: O kolorowaniu 115 Przypomnijmy sobie zadanie. Zadanie 4.(LI OM, zadanie 4/I) Każdy punkt okręgu jest pokolorowany jednym z trzech kolorów. Udowodnij, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

W. Guzicki: O kolorowaniu 116 Szkic rozwiązania. Na okręgu wybieramy 13 punktów będących wierzchołkami 13-kąta foremnego. Kolorujemy je trzema kolorami. Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że co najmniej 5 punktów pokolorowano tym samym kolorem. Teraz dość żmudnym sprawdzaniem wielu przypadków wykazujemy, że wśród dowolnych pięciu wierzchołków 13-kąta foremnego znajdują się trzy będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

W. Guzicki: O kolorowaniu 117 Czy zadanie 4 można uogólnić na większą liczbę kolorów? Czy takie uogólnienie można rozwiązać w podobny sposób?

W. Guzicki: O kolorowaniu 118 Twierdzenie. Wśród dowolnych 9 wierzchołków 33-kąta foremnego znajdują się trzy wierzchołki będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Twierdzenie. Wśród dowolnych 15 wierzchołków 71-kąta foremnego znajdują się trzy wierzchołki będące wierzchołkami trójkąta równoramiennego.

W. Guzicki: O kolorowaniu 119 Dowody(?) tych dwóch twierdzeń wynikają z długich obliczeń komputerowych(w przypadku drugiego twierdzenia mój komputer pracował bez przerwy przez 2 doby). Znakzapytaniaoznacza,żeniemam(ichybanigdyniebędęmiał) pewności, czy mój program jest napisany poprawnie i czy obliczał naprawdę to, co chciałbym obliczyć... A na pewno nie chciałbym tych dowodów przeprowadzać tradycyjnie, na kartce(lub raczej na ryzie papieru). To chyba przekraczałoby granice ludzkiej cierpliwości.

W. Guzicki: O kolorowaniu 120 Twierdzenie van der Waerdena. Twierdzenie.Danesąliczbynaturalnek 2orazm 3.Wówczas istnieje liczba naturalna n o następującej własności: jeśliliczbyzezbiorux={1,2,...,n}pokolorujemyzapomocą k kolorów, to w zbiorze X będzie istniał jednokolorowy ciąg arytmetyczny długości m. Najmniejszą liczbę naturalną n o powyższej własności oznaczamy symbolemw(k,m)inazywamyliczbąvanderwaerdena(dlaparametrówkim).

W. Guzicki: O kolorowaniu 121 Zadanie. Każdy punkt okręgu jest pokolorowany jednym z k kolorów. Udowodnij, że pewne trzy punkty jednego koloru są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Niechn=W(k,3).NaokręguwybieramynpunktówA 1 A 2...A n będących wierzchołkami wielokąta foremnego. Te wierzchołki kolorujemy za pomocą k kolorów. Z twierdzenia van der Waerdena wynika, żeistniejąliczbyp,qirtakie,że 1 p<q<r n oraz trójka(p,q,r)tworzyciągarytmetyczny. WówczastrójkątA p A q A r jestrównoramienny(opodstawiea p A r iramionacha p A q oraza r A q ).

W. Guzicki: O kolorowaniu 122 Znamy tylko kilka liczb van der Waerdena W(2,3)=9, W(2,4)=35, W(2,5)=178, W(2,6)=1132, W(3,3)=27, W(3,4)=293, W(4,3)=76.

W. Guzicki: O kolorowaniu 123 TwierdzenievanderWaerdenadlak=2im=3. Twierdzenie.KażdąliczbęzezbioruX ={1,2,...,9}pokolorowano jednym z dwóch kolorów: czerwonym lub niebieskim. Wówczasistniejątrzyliczbya,bictegosamegokolorutakie,że 1 a<b<c 27oraza+c=2b(tzn.trójkaliczb(a,b,c)tworzy jednokolorowy ciąg arytmetyczny).

W. Guzicki: O kolorowaniu 124 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 125 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 127 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 130 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 131 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

W. Guzicki: O kolorowaniu 132 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1,5,9) lub (7,8,9)

W. Guzicki: O kolorowaniu 133 TwierdzenievanderWaerdenadlak=3im=3. Twierdzenie.KażdąliczbęzezbioruX={1,2,...,27}pokolorowano jednym z trzech kolorów: czerwonym, niebieskim lub zielonym. Wówczasistniejątrzyliczbya,bictegosamegokolorutakie,że 1 a<b<c 27oraza+c=2b(tzn.trójkaliczb(a,b,c)tworzy jednokolorowy ciąg arytmetyczny).

W. Guzicki: O kolorowaniu 134 TwierdzenievanderWaerdenadlak=4im=3. Twierdzenie.KażdąliczbęzezbioruX={1,2,...,76}pokolorowano jednym z czterech kolorów: czerwonym, niebieskim, zielonym lub żółtym. Wówczasistniejątrzyliczbya,bictegosamegokolorutakie,że 1 a<b<c 27oraza+c=2b(tzn.trójkaliczb(a,b,c)tworzy jednokolorowy ciąg arytmetyczny).

W. Guzicki: O kolorowaniu 135 GRAWKÓŁKOIKRZYŻYK

W. Guzicki: O kolorowaniu 137 Mamy trzy linie poziome: 11 21 31, 12 22 32 oraz 13 23 33, 13 23 33 12 22 32 11 21 31 trzy linie pionowe: 11 12 13, 21 22 23 oraz 31 32 33 i dwie linie ukośne: 11 22 33 oraz 13 22 31.

W. Guzicki: O kolorowaniu 138 PROSTE KOMBINATORYCZNE A={1,2,3} A n A x {x} w(x) alfabet, słowadługościn, alfabetrozszerzony, słowo długości n alfabetu rozszerzonego, {w(a): a A} prosta kombinatoryczna.

W. Guzicki: O kolorowaniu 139 Proste kombinatoryczne na dwuwymiarowej planszy do gry {11,21,31} x1 {12,22,32} x2 {13,23,33} x3 {11,12,13} 1x {21,22,23} 2x {31,32,33} 3x {11,22,33} xx

W. Guzicki: O kolorowaniu 143 133 233 333 123 223 323 113 213 313 1. 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 148 133 233 333 123 223 323 113 213 313 5a. 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 149 133 233 333 123 223 323 113 213 313 132 232 332 5b. 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 150 133 233 333 123 223 323 113 213 313 5c. 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 152 133 233 333 123 223 323 x11 x32 x23 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 153 133 233 333 123 223 323 2x1 3x2 1x3 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 154 133 233 333 123 223 323 31x 12x 23x 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 155 133 233 333 123 223 323 xx1 xx2 xx3 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 156 133 233 333 123 223 323 x1x x2x x3x 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 157 133 233 333 123 223 323 1xx 2xx 3xx 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 158 133 233 333 123 223 323 xxx xxx xxx 113 213 313 132 232 332 122 222 322 112 212 312 131 231 331 121 221 321 111 211 311

W. Guzicki: O kolorowaniu 160 Twierdzenie Halesa Jewetta Twierdzenie.(Hales, Jewett, 1963) Danesądwieliczbynaturalnemik.Następniedanyjestalfabet skończony A mający m symboli(tzn. A = m). Wówczas istnieje liczba naturalna n taka, że dla każdego kolorowania k kolorami c:a n {1,2,...,k} planszya n istniejejednokolorowaprostakombinatoryczna. HJ(m, k) najmniejsza taka liczba n.

W. Guzicki: O kolorowaniu 161 Kilka własności HJ(2,k)=k. Łatwe, wystarczy zasada szufladkowa Dirichleta. HJ(3,2)=4. HJ(3,2) 4było; HJ(3,2) 8niejesttrudne. HJ(3, 2) = 4 jest żmudne; Hindman, Tressler, 2014.

W. Guzicki: O kolorowaniu 162 11<HJ(4,2) 10 11. M. Lavrov, 2015.

W. Guzicki: O kolorowaniu 163 Twierdzenie van der Waerdena wynika z twierdzenia Halesa Jewetta Twierdzenie. Niech n = HJ(10, k). Niech następnie c:{0,1,...,10 n 1} {1,2,...,k} będziekolorowaniemzbioruliczbx={0,1,...,10 n 1}zapomocą k kolorów. Wówczas w zbiorze X istnieje jednokolorowy ciąg arytmetyczny długości 10.

W. Guzicki: O kolorowaniu 164 Jak prosta kombinatoryczna może tworzyć ciąg arytmetyczny długości 10 Jeśli mamy słowo w(x) = 11x3x95xx203, to prosta kombinatoryczna wyznaczona przez to słowo składa się ze słów 110309500203, 111319511203, 112329522203,..., 119399599203. Te słowa są zapisem dziesiętnym liczb tworzących ciąg arytmetyczny oróżnicy 1010011000.

W. Guzicki: O kolorowaniu 165 KONIEC