BADANIE PROCESÓW ŁADOWANIA I ROZŁADOWANIA KONDENSATORA Cel ćwiczenia: wyznaczenie przebiegów ładowania i rozładowania kondensatora oraz wyznaczenie stałej czasowej układów RC. Zagadnienia: prawa Ohma i Kirchhoffa, dzielnik napięć, budowa i parametry kondensatora, układ RC i jego zastosowania - całkowanie i różniczkowanie sygnału elektrycznego oraz filtrowanie. Wprowadzenie Kondensator służy do gromadzenia ładunku elektrycznego i jest układem dwóch odizolowanych elektrycznie przewodników. W najprostszym przypadku są to dwie jednakowe, równoległe względem siebie i odizolowane metalowe płyty. Przestrzeń między nimi jest wypełniona dielektrykiem, np. powietrzem. Symbol graficzny kondensatora zwykłego" pokazano na rys. l a. Rysunek 1 b. pokazuje symbol kondensatora elektrolitycznego lub tantalowego. Ta grupa kondensatorów ma oznaczoną biegunowość elektrod - mylne ich połączenie może doprowadzić tło zniszczenia kondensatora. Ilość zgromadzonego na kondensatorze ładunku elektrycznego Q zależy od geometrii jego płyt, rodzaju zastosowanego dielektryka oraz przyłożonego do jego okładek napięcia i jest opisana wzorem: Q C (1) Rys.1. Symbole kondensatora: a) zwykłego, b) elektrolitycznego Kondensator 1
Współczynnik proporcjonalności między ładunkiem a napięciem oznaczony we wzorze (1) jako C nosi nazwę pojemności kondensatora a jego wartość zależy od konkretnego rozwiązania konstrukcyjnego. Fizyczny sens pojemności mówi, jaki ładunek zostanie zgromadzony na kondensatorze, jeśli do jego okładek przyłożymy jednostkowe napięcie. Q C Jednostką pojemności jest 1 farad, co zapisujemy jako l F. 1C 1F 1V W praktyce wygodniejsze w użyciu są jednostki mniejsze: mikrofarad 1F = 10-6 F nanofarad 1nF = 10-9 F i pikofarad l pf = 10-12 F. Znajdujący się w kondensatorze dielektryk (izolator) ma określoną wartość napięcia przebicia. Po naładowaniu kondensatora do napięcia powyżej tej wartości następuje przepływ ładunku elektrycznego z jednej elektrody na drugą poprzez dielektryk. Potencjały okładek kondensatora wyrównują się. Napięcie na kondensatorze jest wtedy równe zeru, a co za tym idzie zgromadzony ładunek jest też zerowy. Na rysunku 2 pokazano prosty układ RC. Składa się on z opornika R i kondensatora C, które tworzą czwórnik czyli układ o czterech zaciskach. Dwa z nich, A i D, stanowią wejście układu, a dwa, B i D, wyjście. Do wejścia przykładamy napięcie zasilania z, natomiast na wyjściu czwórnika otrzymujemy napięcie użyteczne. Kondensator 2
Ładowanie kondensatora Z praw Kirchhofia wynika, że napięcie zasilania z równa się sumie napięć na oporniku R = AB oraz na kondensatorze C = BD. Rys. 2. Rozkład napięć w obwodzie zawierającym pojemność C i oporność R. Można więc zapisać, że: R + C = Z. (2) Z prawa Ohma oraz z definicji (1) wynika, że R = IR. co pozwala zapisać równanie (2) w postaci Q C C Q dq Q R I R Z (3) C dt C Równanie (3) opisuje zależność ilości zgromadzonego na kondensatorze ładunku Q od czasu ładowania t i przyłożonego napięcia Z. Gdy Z = const., rozwiązanie równania (3) ma postać: t Q (t) C RC Z 1 e, t Q(t) RC C(t) Z 1 e. (4) C Kondensator 3
Na rysunku 3 pokazano przebieg ładowania (wzór (4)) kondensatora do napięcia 3 V. Widać, że im większą pojemność ma kondensator, tym wolniej rośnie napięcie. Do pełnego napięcia kondensator ładuje się asymptotycznie, czyli osiągnie go po czasie t =. Rys.3. Przebieg ładowania kondensatora dla różnych wartości C i R = 100 Rozładowanie kondensatora Zwarcie wejścia układu (punktów A i D z rysunku 2) oznacza, że Z = 0. W tym wypadku, jeśli ładunek na kondensatorze jest różny od zera, przez opór R płynie prąd: I R równy ubytkowi ładunku na kondensatorze: C dq I, dt Kondensator 4
co wraz z definicją (1) pozwala zapisać równanie rozładowania kondensatora w postaci: dq dt Q. (5) R C To ostatnie równanie ma rozwiązanie: Q(t) Q 0 e gdzie Q 0 oznacza ładunek zgromadzony na kondensatorze w chwili rozpoczęcia t RC rozładowania (t = 0). Równanie to prowadzi do zależności C t RC Q(t) (t) 0e, (6) C gdzie 0 oznacza napięcie, do którego naładowany był kondensator w chwili t = 0 Rys. 4. Przebieg rozładowania kondensatora dla różnych wartości C i R=100 k Powyższy rysunek przedstawia rozładowanie kondensatora (wzór (6)). Kondensator 5
Tu najszybciej rozładowuje się kondensator o najmniejszej pojemności. Dochodzenie do zerowego napięcia jest także asymptotyczne. Wykresy na rysunkach 3 i 4 są wynikiem symulacji komputerowej i dają wyobrażenie o czasach przebiegu obu procesów. Równania ładowania i rozładowania kondensatora można oczywiście zapisać dla ładunku lub płynącego w obwodzie prądu. Tu podajemy tylko równania napięciowe, gdyż pomiar napięcia jest w praktyce wygodniejszy od pomiaru ładunku. Wyznaczanie stałej czasowej układu RC Wielkość RC występującą we wzorach (5) i (6) nazywa się stałą czasową układu. Jej wartość określa czas, po upływie którego w procesie rozładowania napięcie na okładkach kondensatora spadnie do wartości V 0 /e, gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych. Stała czasowa jest bardzo istotną wielkością dla konstruktorów aparatury elektronicznej. O szybkości pracy zestawu układów elektronicznych decydują ich stałe czasowe. Odpowiedni ich dobór pozwala w optymalny sposób osiągać założone parametry układów. Stałą czasową RC można wyznaczyć kilkoma metodami: 1. Po zlogarytmowaniu wzoru (6) otrzymuje się liniową zależność logarytmu ze stosunku napięć od czasu. C(t) 1 y ln t. 0 R C Wykres y = f(t) otrzymany z danych pomiarowych po ich przekształceniu według wzoru (7) jest linią prostą, której współczynnik nachylenia wynosi 1 R C Kondensator 6
2. Zauważmy, że jeśli 0 e, to t = RC, co z kolei pozwala na wyznaczenie C stałej czasowej bez linearyzacji wykresów C = f(t). 3. Można też wprowadzić dane pomiarowe do arkusza kalkulacyjnego i znając postać funkcji ładowania (rozładowania) skorzystać z możliwości policzenia współczynników najlepszego dopasowania odpowiedniej funkcji matematycznej. Wszystkie wyprowadzone powyżej wzory są słuszne dla idealnego kondensatora, dla którego opór między okładkami wynosi R =! W praktyce opór ten jest bardzo duży, ale skończony - przez kondensator płynie niewielki prąd upływu. Dla dobrych jakościowo kondensatorów prąd ten jest praktycznie niemierzalny. Kondensator 7
Tok postępowania I. Ładowania kondensatora. 1. Zmontować układ przedstawiony na rysunku 5 zachowując biegunowość dołączonego zasilacza. Dołączyć woltomierz cyfrowy ustawiając jego zakres na 20V (prądu stałego). 1.a. Rozładować kondensator zwierając na 5 sek. zacisk 7 z odpowiednim zaciskiem (od 1 do 5). Napięcie woltomierza =0 Rys. 5. Schemat połączeń układu do badania ładowania kondensatora. 2. Podłączyć wybrany przez prowadzącego ćwiczenia kondensator C (zacisk 6 połączyć z odpowiednim zaciskiem) oraz ustawić wskazaną wartość oporu R. Przygotować tabelę I. Tab. I. Opór R [] Czas t [s] Napięcie na kondensatorze [V] Natężenie prądu I [A] 4. Nie włączając zasilacza stabilizowanego ustawić napięcie z zakresu 6V-10V. Kondensator 8
5. Włączyć zasilacz stabilizowany uruchamiając jednocześnie stoper. 6. Notować co 10 sekund wartości napięcia c na badanym kondensatorze C. Pomiary zakończyć, gdy napięcie na kondensatorze przestanie wzrastać. 7. Na podstawie pomiarów narysować wykres c =f(t). 8. Znając chwilowe wartości napięcia c, wartość napięcia na kondensatorze C w stanie ustalonym oraz wartość opornika R obliczyć chwilowe wartości prądu a następnie narysować wykres I c =f(t). 9. Na podstawie wykresu obliczyć stałą czasową układu badanego RC oraz wartość pojemności badanego kondensatora C. II. Rozładowanie kondensatora. 1. Przygotować tabelę II. Tab.II Opór R [] Czas t [s] Napięcie na kondensatorze [V] Natężenie prądu I [A] 2. Odłączyć zasilacz stabilizowany, zwierając kondensator przez opornik R d jednocześnie włączając stoper (układ przedstawiony na rysunku 6). Rys. 6. Schemat połączeń do badania rozładowania kondensatora. Kondensator 9
3. Notować co 10 sekund wartości napięcia c na badanym kondensatorze C. Pomiary zakończyć, gdy napięcie na kondensatorze zmniejszy się do zera. 4. Na podstawie pomiarów narysować wykres c =f(t). 5. Znają chwilowe wartości napięcia, wartość napięcia na naładowanym kondensatorze C (przed rozładowaniem) oraz wartość opornika R narysować wykres I c =f(t). 9. Na podstawie wykresu obliczyć stałą czasową układu badanego RC oraz wartość pojemności kondensatora C. 10. Powtórzyć powyższe pomiary dwukrotnie dla innych, wskazanych przez prowadzącego, kondensatorów i wartości opornika R. Kondensator 10
KONIEC Zasada pomiaru i układ pomiarowy. Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przebiegów ładowania i rozładowania kondensatora dla różnych wartości R oraz C i wyznaczenie stałych czasowych. Idea pomiaru pokazana jest na rys.5. Rys. 5. Pomiar przebiegów czasowych napięcia. kład pomiarowy składa się ze źródła napięcia zasilającego Z przełącznika P oraz elementów R i C. Po przełączeniu P w górne położenie kondensator C jest ładowany poprzez opornik R. W położeniu dolnym następuje jego rozładowanie. Napięcie na kondensatorze jest mierzone przy pomocy woltomierza V. Jednocześnie stoperem mierzy się czas ładowania lub rozładowania kondensatora. Z otrzymanych w ten sposób danych sporządza się wykres zależności C (t) = f(t). Zadania do wykonania 1. Zmontować układ pomiarowy o dużej stałej czasowej. 2. Za pomocą stopera zmierzyć czas ładowania i rozładowania kondensatora oraz wyznaczyć krzywe ładowania i rozładowania dla trzech różnych wartości R C. 3. Zmontować układ pomiarowy o małej stałej czasowej. 4. Za pomocą komputera otrzymać krzywe ładowania i rozładowania dla trzech różnych wartości RC i na ich podstawie określić parametry dla pomiarów cyfrowych. 5. Wykonać pomiary w trybie punkt po punkcie. 6. Opracować wyniki pomiarów: Kondensator 11
- sporządzić wykresy zmierzonych przebiegów; - wyznaczyć stałe czasowe; - oszacować dokładność otrzymanych wyników. Literatura: [1] SZCZENIOWSKI Sz., Fizyka doświadczalna, t. III, PWN, Warszawa, 1972, [2] NHRMANN D., Elektronika łatwiejsza niż przypuszczasz - elementy, WKiŁ, Warszawa, 1987. [3] PRCELL E. M., Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa, 1971. [4] STACEWICZ T., KOTLARSKI A., Elektronika w laboratorium naukowym, PWN, Warszawa, 1994. Przebieg pomiarów koniec 1. Zapoznać się z zestawem eksperymentalnym. 2. Korzystając z dostępnych elementów zmontować układ pomiarowy zgodnie ze schematem przedstawionym na rys 1. 3. Zamknąć obwód ładowania kondensatora przy pomocy klucza. 4. Dobrać wartość opornika w układzie RC, tak aby maksymalny prąd płynący w obwodzie był w przybliżeniu równy 85% zakresu miliamperomierza. 5. Po naładowaniu kondensatora, odczekać chwilę aż prąd w obwodzie się ustabilizuje, wyłączyć obwód ładowania, włączając jednocześnie stoper. 6. Gdy prąd w obwodzie osiągnie ustaloną wartość, wyłączyć stoper. zanotować czas rozładowywania oraz I C. 7. Powtórzyć pomiar (p.5-6) dla dziesięciu różnych prądów końcowych I C. 8. Powtórzyć pomiary (p.5-7) dla innego kondensatora, następnie dla układu dwu kondensatorów połączonych szeregowo, a następnie równolegle (układ tworzymy z badanych poprzednio kondensatorów). 9. Zanotować wartość oporu używanego opornika oraz wartość maksymalnego prądu płynącego w obwodzie. Opracowanie wyników Sprawozdanie powinno zawierać: 1. Opis metody pomiarowej. 2. Wyprowadzenie zależności prądu rozładowania od czasu. 3. Wyprowadzenie wzoru na wartość ładunku zgromadzonego na Kondensator 12
kondensatorze. 4. Wyniki pomiarów. 5. Wykres zależności logarytmu zmierzonych wartości Ik od czasu (ln(ik) od t). 6. Wyliczone wartości stałej czasowej (RC)'1, i wartości pojemności C wraz z oszacowanym błędem. 7. Porównanie wyliczonej wartości pojemności układu kondensatorów z pojemnością wyznaczoną doświadczalnie - sprawdzenie zgodności wyników. 8. Dyskusję ewentualnych przyczyn błędów systematycznych i przypadkowych popełnionych w trakcie pomiarów. Literatura H. Szydłowski: Pracownia Fizyczna" PWN Warszawa 1997, ISBN 83-01 - 12358-3 D. Halliday, R. Resnick: Fizyka 2" PWN Warszawa 1998, ISBN 83-01-09324-2 Kondensator 13