Wykład 6. Pakiety oprogramowania analizy matematycznej. Interpretacja wyników
|
|
- Damian Wilk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 6 Pakiety oprogramowania analizy matematycznej. Interpretacja wyników 1
2 System algebry komputerowej System algebry komputerowej lub komputerowy system obliczeń symbolicznych (ang. Computer Algebra System lub CAS) to program komputerowy wspomagający obliczenia symboliczne w matematyce, fizyce i dyscyplinach technicznych Możliwości Typowe wyrażenia z jakimi operują tego rodzaju programy zbudowane są z wielomianów jednej lub wielu zmiennych, funkcji elementarnych, lub macierzy; całek i pochodnych opisanych tu wyrażeń, macierzy bądź funkcji od takich wyrażeń, obliczenia algebraiczne na abstrakcyjnych strukturach grupowych, obliczenia związane z teorią liczb oraz obliczenia dotyczące modelowania, statystyki matematycznej oraz możliwość graficznej prezentacji wykresów funkcji. 2
3 Typowe operacje wykonywane na wyrażeniach upraszczanie wyrażeń podstawianie wyrażeń symbolicznych za zmienne i redukcja wyrazów podobnych rozwijanie iloczynów rozkład wyrażeń na czynniki różniczkowanie symboliczne całkowanie symboliczne całki oznaczone i nieoznaczone symboliczne rozwiązywanie niektórych typów równań i ich układów rozwiązywanie równań różniczkowych określonych typów obliczanie granic funkcji i ciągów obliczanie sum szeregów rozwijanie funkcji w szereg operacje na macierzach mnożenie, odwracanie, obliczanie wyznacznika... obliczenia związane z teorią grup obliczenia związane ze statystyką matematyczną operacje na listach i zbiorach elementów eksport wyników obliczeń do formatu TeXa i EPS. 3
4 Wybrane programy CoCoA (ang. COmputations in COmmutative Algebra) jest to wolny system algebry komputerowej przeznaczony do obliczeń liczbowych i wielomianowych. System jest używany głównie przez naukowców, ale może być użyteczny także dla "prostych" zadań (2000) Derive-program z rodziny CAS, który pozwala na wykonywanie obliczeń symbolicznych i numerycznych z wielu działów matematyki (1988) Maple-program komputerowy typu CAS służący do wykonywania obliczeń symbolicznych (1981) Mathematica - komercyjny system obliczeń symbolicznych i numerycznych (1988) MathCad komercyjny program algebry komputerowej (CAS) stworzony przez firmę Mathsoft o możliwościach zbliżonych do programu Mathematica lub Maple (1986) MuPAD komercyjny program algebry komputerowej (CAS) (1994) Maxima program komputerowy typu CAS (systemów algebry komputerowej), które mają wspomagać wykonywanie obliczeń symbolicznych. Głównym składnikiem programu jest interpreter (1982) Sage (wcześniej SAGE - akronim nazwy Software for Algebra and Geometry Experimentation) - System algebry komputerowej napisanego w Pythonie i Cythonie (2009) Yacas program typu CAS (wspomagający obliczenia symboliczne) o otwartym źródle, rozprowadzany na licencji GPL. Nazwa jest akronimem od słów Yet Another Computer Algebra System (2007) 4
5 Pakiet oprogramowania MatLab MATLAB - program komputerowy będący interaktywnym środowiskiem do wykonywania obliczeń naukowych i inżynierskich, oraz do tworzenia symulacji komputerowych (1980) Matlab, przynajmniej pierwotnie, przeznaczony był do pracy interaktywnej nad zadaniami numerycznej algebry liniowej. Z tego względu podstawowym elementem obsługi programu jest konsola tekstowa zwana zwykle oknem poleceń (ang. command window ). Praca z programem polega na wypisywaniu poleceń zakończonych znakiem powrotu karetki ( Enter ), które są niezwłocznie interpretowane przez program, a wyniki obliczeń wyświetlane w tym samym oknie. Polecenia mogą dotyczyć także otwarcia nowych okien do prezentacji graficznej wyników. Najprostszym wariantem takiej konwersacji jest użycie Matlab a jako potężnego kalkulatora obok znaku zachęty >> wpisujemy wyrażenie, kończąc je znakiem nowej linii ( Enter ): >> 2+sin(5*pi/7)-exp(3) ans = >> 5
6 Zmienne: interpretacja macierzowa i tablicowa Podstawowym typem danych jest tablica dwuwymiarowa liczb podwójnej precyzji (typu double). Zmienne skalarne są zapamiętywane jako macierz 1 x 1. >> X=[1,2;3,4;5,6] X= Ta instrukcja powoduje utworzenie zmiennej X, której wartością jest tablica o 3 wierszach i 2 kolumnach Tablice (macierz) wprowadza sie wierszami, które oddziela sie średnikami, a elementy w wierszu oddzielane są przecinkami (lub spacjami). Elementy macierzy (tablicy) mogą być zadawane przy pomocy wyrażeń, mogą ponadto być liczbami zespolonymi. >> X=[1, 2+3*i, 7+cos(pi/3); i, -3, exp(2)] X = i i
7 Programowanie w Matlabie Instrukcji To są polecenia (możliwe z funkcjami macierzowymi, podstawowymi matematycznymi, operatorami, druku wykresów itd.) Skrypty W celu zautomatyzowania pewną liczbę poleceń z wiersza poleceń możemy zapisać do pliku z rozszerzeniem *.m Funkcji Funkcja tak jak skrypt jest plikiem tekstowym zawierającym zestaw funkcji i poleceń Matlaba i zaczynać się powinna od słowa kluczowego function. Pliki funkcji mają również rozszerzenie.m. UWAGA: Ważne jest aby nazwa funkcji i nazwa pliku były takie same. 7
8 Dodatki MatLaba MATLAB Simulink Aerospace Blockset Aerospace Toolbox Bioinformatics Toolbox Communications System Toolbox Computer Vision System Toolbox Control System Toolbox Curve Fitting Toolbox DO Qualification Kit DSP System Toolbox Data Acquisition Toolbox Database Toolbox Datafeed Toolbox EDA Simulator Link Econometrics Toolbox Embedded Coder Filter Design HDL Coder Financial Derivatives Toolbox Financial Toolbox Fixed-Income Toolbox Fixed-Point Toolbox Fuzzy Logic Toolbox Global Optimization Toolbox IEC Certification Kit Image Acquisition Toolbox Image Processing Toolbox Instrument Control Toolbox MATLAB Builder EX MATLAB Builder JA MATLAB Builder NE MATLAB Coder MATLAB Compiler MATLAB Distributed Computing Server MATLAB Report Generator Mapping Toolbox Model Predictive Control Toolbox Neural Network Toolbox Optimization Toolbox Parallel Computing Toolbox Partial Differential Equation Toolbox Phased Array System Toolbox RF Toolbox Robust Control Toolbox Signal Processing Toolbox SimBiology SimDriveline SimElectronics SimEvents SimHydraulics SimMechanics SimPowerSystems SimRF Simscape Simulink 3D Animation Simulink Coder Simulink Control Design Simulink Design Optimization Simulink Design Verifier Simulink Fixed Point Simulink HDL Coder Simulink PLC Coder Simulink Report Generator Simulink Verification and Validation Spreadsheet Link EX Stateflow Statistics Toolbox Symbolic Math Toolbox System Identification Toolbox SystemTest Wavelet Toolbox xpc Target xpc Target Embedded Option 8
9 Struktura obliczeń symbolicznych Różniczkowanie, całkowanie, badanie granic, szeregów Taylora, sumowanie szeregów Upraszczanie wyrażeń Algebra liniowa Rozwiązywanie równań algebraicznych i różniczkowych 9
10 Definiowanie danych symbolicznych - funkcja sym Do definiowania zmiennych lub stałych symbolicznych służą funkcje sym i syms. >> x Przykład: x = >> x = sym('x'); % definicja zmiennej x >> a = sym('5'); % definicja stałej a=5 x >> rho = sym('(1+sqrt(5))/2'); % definicja zmiennej symbolicznej określającej złoty środek >> syms y z % definicja dwu zmiennych y, z >> a a = 5 >> rho rho = 5^(1/2)/2 + 1/2 Uwaga: Wszystkie zmienne, wykorzystywane w obliczeniach symbolicznych muszą być wcześniej zdefiniowane. 10
11 Symboliczne rozwiązywanie równań algebraicznych i układów równań funkcja solve Symboliczne rozwiązywanie równań możliwe jest dzięki wykorzystaniu funkcji solve(). Dla przykładu rozwiązania równania kwadratowego szukamy w następujący sposób: >> x = sym('x'); % zdefiniowanie zmiennej symbolicznej >> y = solve('a*x^2+b*x+c=0'); % x jest domyślną zmienną Funkcję solve można również wywoływać w inny sposób: >> y = solve('a*x^2+b*x+c',x); % równoważne poprzedniemu wywołaniu, podana zmienna x >> y = solve('a*x^2+b*x+c'); % domyślnie przyjęte, że lewa strona równania równa się 0 Podobnie postępujemy przy układach równań gdzie kolejne równania wpisujemy rozdzielone przecinkami. Przykład: >> syms x y % zdefiniowanie 2 zmiennych symbolicznych >> [x,y] = solve('x^2+y^2=1','x+2*y=2'); % rozwiązanie. Wynik w postaci 2 wektorów >> s = solve('x^2+y^2=1','x+2*y=2'); % rozwiązanie. Wynik w postaci struktury z 2 wektorami 11
12 f(x) = 0 syms a b c x S = a*x^2 + b*x + c; solve(s) Przykłady ans = -(b + (b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a) b = solve(s,b) f(x) = q(x) s = solve('cos(2*x) + sin(x) = 1') b = -(a*x^2 + c)/x s = 0 pi/6 (5*pi)/6 W MuPADie 12
13 Układy równań syms x y; alpha = sym('alpha'); [x, y] = solve(x^2*y^2, x-y/2 - alpha) x = alpha 0 y = 0-2*alpha 1 x = alpha/2 + (alpha^2 + 2)^(1/2)/2 alpha/2 + (alpha^2-2)^(1/2)/2 alpha/2 - (alpha^2 + 2)^(1/2)/2 alpha/2 - (alpha^2-2)^(1/2)/2 y = (alpha^2 + 2)^(1/2) - alpha (alpha^2-2)^(1/2) - alpha - alpha - (alpha^2 + 2)^(1/2) - alpha - (alpha^2-2)^(1/2) 13
14 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych W zależności od zastosowań wiele wyrażeń matematycznych można przedstawić w różnych formach. Matlab oferuje kilka funkcji, których zadaniem jest takie przedstawienie wyniku, aby spełniało nasze kryteria: symplify collect expand horner factor simple uproszczenie wyniku postać wielomianowa, grupowanie zmiennych rozwija mnożenia i sumowania postać zagłębionych iloczynów wielomiany w postaci iloczynowej dane wyrażenie matematyczne wypisuje we wszystkich możliwych formach 14
15 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych - funkcja simplify( ) Często wynik operacji symbolicznych jest trudny do interpretacji. Uproszczenie wyniku uzyskujemy dzięki zastosowaniu funkcji simplify. 15
16 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych - funkcja collect 16
17 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych funkcja expand 17
18 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych funkcja horner 18
19 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych funkcja factor 19
20 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych funkcja simple 20
21 Zmiana wyglądu wyświetlanych wyników funkcja pretty( ) Wyniki uzyskiwane w Matlabie, nawet po uproszczeniach dzięki różnym funkcjom często są trudne w odbiorze. Aby wyświetlić bardziej skomplikowane wyrażenia w formie zbliżonej do tej jak zapisuje to człowiek Matlab oferuje funkcję pretty. Przykład: >> a = sym('sin(x)/(2*cos(y))'); % definicja wyrażenia symbolicznego >> pretty(a) % wyświetlenie w przyjaznej formie UWAGA: Funkcja ta ma swoje zastosowanie zarówno do wyrażeń jak i do macierzy. syms x f = x^3-6*x^2 + 11*x - 6; g = (x - 1)*(x - 2)*(x - 3); h = -6 + (11 + (-6 + x)*x)*x; pretty(f); pretty(g); pretty(h) 21
22 Wartości liczbowe w obliczeniach symbolicznych funkcja subs( ) Gdy znamy wartości liczbowe poszczególnych zmiennych wynik liczbowy obliczeń symbolicznych uzyskujemy dzięki funkcji subs. Przykład: >> syms a b c x % definicja 4 zmiennych symbolicznych >> y = solve(a*x^2+b*x+c); % rozwiązanie równania względem zmiennej x >> a=3; b=2; c=1; % Przypisanie wartości liczbowych >> w = subs(y) % Wartość liczbowa y Uwaga: Jeśli wynik obliczeń jest już liczbą ale przedstawioną w mało zrozumiałej formie w celu uzyskania jej wartości liczbowej wystarczy napisać: double(x). Funkcja subs() wykorzystywana jest też do zamiany jednego wyrażenia na inne. Przykład: >> syms a b x % definicja 3 zmiennych symbolicznych >> subs(a+b,{a,b},{sin(x),exp(x)}) % = sin(x)+exp(x) 22
23 Symboliczne rozwiązywanie równań różniczkowych funkcja dsolve Równania różniczkowe dowolnego rzędu rozwiązujemy przy wykorzystaniu funkcji dsolve, której użycie jest podobne do użycia funkcji solve. Szczególne znaczenie w symbolicznym rozwiązywaniu równań różniczkowych ma zmienna D (duże D), która określa różniczkę pierwszego stopnia, i podobnie D2 to różniczka stopnia drugiego, itd. Przykład: >> dsolve('dy = a*x'); % różniczka pierwszego stopnia C2 + a*t*x W przypadku układu równań, kolejne równania oddzielamy przecinkami. Podobnie warunki brzegowe, podajemy po wszystkich równaniach, także oddzielone przecinkami: dsolve(równanie 1, równanie 2,., warunek 1, warunek 2,.) Przykład: >> dsolve('d2y = -a^2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0'); % różniczka stopnia drugiego z warunkami brzegowymi (1/exp(a*t*i))/2 + exp(a*t*i)/2 23
24 Przykłady u = dsolve('d3u = u',... 'u(0) = 1', 'Du(0) = -1', 'D2u(0) = pi', 'x') u = (pi*exp(x))/3 - (cos((3^(1/2)*x)/2)*(pi/3-1))/exp(x/2)... - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*x)/2)*(pi + 1))/(3*exp(x/2)) 24
25 Układy równań różniczkowych S = dsolve('df = 3*f + 4*g', 'Dg = -4*f + 3*g') MatLab wraca obliczone rozwiązania w strukturze S. Można określić wartości f i g, wpisując f = S.f g = S.g f = C2*cos(4*t)*exp(3*t) + C1*sin(4*t)*exp(3*t) g = C1*cos(4*t)*exp(3*t) - C2*sin(4*t)*exp(3*t) 25
26 Różniczkowanie symboliczne funkcja diff Do różniczkowania symbolicznego wykorzystujemy funkcję diff(funkcja, rząd), przy, czym rząd pochodnej domyślnie równa się 1. Przykład: >> syms x n % definicja 2 zmiennych symbolicznych >> diff(x^n) % różniczkowanie symboliczne ans = n*x^(n - 1) syms x g = exp(x)*cos(x) diff(g) diff(g,2) exp(x)*cos(x) - exp(x)*sin(x) -2*exp(x)*sin(x) 26
27 Pochodne cząstkowe W przypadku funkcji wielu zmiennych możliwe jest liczenie pochodnych cząstkowych. W tym celu także korzystamy z funkcji diff() z wywołaniem: diff(funkcja, zmienna) Przykład: >> syms s t % definicja 2 zmiennych symbolicznych >> f = sin(s*t); % definicja funkcji 2 zmiennych >> diff(f,t) % pochodna funkcji po zmiennej t ans = s*cos(s*t) diff(f, t, 2) ans = -s^2*sin(s*t) 27
28 Przykłady 28
29 Całkowanie symboliczne funkcja int W Matlabie można całkować zarówno całki oznaczone jak i nieoznaczone. W przypadku całki nieoznaczonej stosujemy wywołanie funkcji w postaci: int (funkcja) W przypadku całki oznaczonej wywołanie ma następującą postać: int (funkcja, dolne ograniczenie, górne ograniczenie). Przykład: >> int('x'); % całko nieoznaczona >> int('sqrt(tan(x))',0,1); % całka oznaczona x^2/2 (2^(1/2)*(atan(2^(1/2)*tan(1)^(1/2) - 1) + atan(2^(1/2)*tan(1)^(1/2) + 1)))/2 - (2^(1/2)*(log(tan(1) + 2^(1/2)*tan(1)^(1/2) + 1) - log(tan(1) - 2^(1/2)*tan(1)^(1/2) + 1)))/4 29
30 Przykłady poleceń 30
31 Przykłady 31
32 Całka oznaczona syms x; f = exp(-a*x^2); int(f, x, -inf, inf) ans = (5^(1/2)*pi^(1/2))/5 32
33 Przykłady 33
34 Obliczenie granicy 34
35 Przykłady syms h n x limit((cos(x+h) - cos(x))/h, h, 0) ans = -sin(x) limit((1 + x/n)^n, n, inf) ans = exp(x) syms x; limit(x/abs(x), x, 0, 'left') syms x; limit(x/abs(x), x, 0, 'right') ans = -1 ans = 1 35
36 Sumowanie szeregów syms x k s1 = symsum(1/k^2, 1, inf) s2 = symsum(x^k, k, 0, inf) s1 =pi^2/6 1/(1 x) s2 =piecewise([1 <= x, Inf], [abs(x) < 1, -1/(x - 1)] 36
37 Szeregi Taylora syms x f = 1/(5 + 4*cos(x)); T = taylor(f, 8) T = (49*x^6)/ (5*x^4)/ (2*x^2)/81 + 1/9 pretty(t) --- help for sym/taylor --- TAYLOR Taylor series expansion. TAYLOR(f) is the fifth order Maclaurin polynomial approximation to f. Three additional parameters can be specified, in almost any order. TAYLOR(f,n) is the (n-1)-st order Maclaurin polynomial. TAYLOR(f,a) is the Taylor polynomial approximation about point a. TAYLOR(f,x) uses the independent variable x instead of SYMVAR(f). 37
38 Mathcad Mathcad to profesjonalny program matematyczny służący do rozwiązywania różnego typu zagadnień inżynierskich. Umożliwia prowadzenie zaawansowanych obliczeń numerycznych, jak również przekształceń symbolicznych (m.in. symboliczne obliczenia pochodnych, całek i granic funkcji), czyli operacji związanych z analizą matematyczną. 38
39 Nazwy palet symboli matematycznych Calculator działania takie jak na kalkulatorze Evaluation m.in. symbole przypisywania zmiennym wartosci (podstawiania) oraz rozkazy wyswietlenia obliczonej wartosci Graph wstawianie rónego rodzaju wykresów Matrix operacje wektorowe i macierzowe Boolean relacje i operacje logiczne Calculus analiza matematyczna (całki, pochodne, sumy, iloczyny, granice) Greek greckie litery Symbolic przekształcenia symboliczne (działania na wzorach a nie liczbach) Programming programowanie 39
40 Wyrażenia 40
41 Obliczenia symboliczne Wyznaczanie wartości pochodnej w sposób symboliczny Aby wyznaczyć pochodna funkcji symbolicznie należy zdefiniować pochodna, następnie wybrać polecenie Symbolics Evaluate Symbolicaly (wykonaj obliczenia na symbolach). Całkowanie funkcji Mathcad umożliwia obliczenie całki funkcji w zadanym przedziale oraz wyznaczenie całki nieoznaczonej funkcji. Wyznaczanie całki nieoznaczonej 41
42 Szeregi 42
43 Szereg Taylora 43
44 Różniczkowanie 44
45 Upraszczanie wyrażeń symbolicznych 45
46 Przykłady 46
47 Przykłady 47
48 Granicy 48
49 Symboliczne rozwiązywanie równań algebraicznych i układów równań 49
Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne
Ćwiczenie 4. Matlab - funkcje, wielomiany, obliczenia symboliczne Obliczenia z wykorzystaniem tzw. funkcji anonimowej Składnia funkcji anonimowej: nazwa_funkcji=@(lista_argumentów)(wyrażenie) gdzie: -
Bardziej szczegółowoLaboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Metod Numerycznych Laboratorium 1b Operacje na macierzach oraz obliczenia symboliczne 1 Zadania 1. Obliczyć numerycznie
Bardziej szczegółowoKomputerowe Wspomaganie Obliczeń. dr Robert Kowalczyk
Komputerowe Wspomaganie Obliczeń dr Robert Kowalczyk Komputerowe Wspomaganie Obliczeń Programy Komputerowego Wspomagania Obliczeń to programy komputerowe wspomagające obliczenia numeryczne lub symboliczne
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoNa podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania:
Informatyka. I. Przypomnienie wiadomości z poprzednich zajęć: Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania: 1. Proszę wygenerować wykresy funkcji sinus
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Teoria sterowania Obliczenia symboliczne w środowisku MATLAB Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowodo MATLABa podstawowe operacje na macierzach WYKŁAD Piotr Ciskowski
Wprowadzenie do MATLABa podstawowe operacje na macierzach WYKŁAD Piotr Ciskowski M A T L A B : Computation Visualization Programming easy to use environment MATLAB = matrix laboratory podstawowa jednostka
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Teoria sterowania MATLAB komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich podstawowe informacje Materiały
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoObliczenia Symboliczne
Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 1 AUTOMATYZACJA I ROBOTYZACJA PROCESÓW PRODUKCYJNYCH
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 1 AUTOMATYZACJA I ROBOTYZACJA PROCESÓW PRODUKCYJNYCH II rok Kierunek Logistyka Temat: Zajęcia wprowadzające. BHP stanowisk
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń matematycznych. dr inż. Michał Michna
Wspomaganie obliczeń matematycznych dr inż. Michał Michna Wspomaganie obliczeń matematycznych Potrzeby Projektowanie Modelowanie Symulacja Analiza wyników Narzędzia Obliczenia algebraiczne, optymalizacja
Bardziej szczegółowo1. WSTĘP. www.mathsoft.com, www.mathcad.com
MATHCAD-W strona. WSTĘP MATHCAD to uniwersalny program do obliczeń matematycznych o bardzo dużych możliwościach. Jest łatwy do opanowania, nie wymaga nauki języka programowania a więc jest idealny dla
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA TECHNICZNA Komputerowe Wspomaganie Obliczeń Wykład 3. Komputerowe wspomaganie obliczeń w programie Mathcad. dr inż.
INFORMATYKA TECHNICZNA Komputerowe Wspomaganie Obliczeń Wykład 3. Komputerowe wspomaganie obliczeń w programie Mathcad dr inż. Paweł Surdacki Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1
Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowodr inż. Michał Michna WSPOMAGANIE OBLICZEŃ MATEMATYCZNYCH
dr inż. Michał Michna WSPOMAGANIE OBLICZEŃ MATEMATYCZNYCH Wspomaganie obliczeń matematycznych Potrzeby Projektowanie Modelowanie Symulacja Analiza wyników Narzędzia Obliczenia algebraiczne optymalizacja
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 11:Pakiety do obliczeń: naukowych i inżynierskich Przegląd i porównanie. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 11:Pakiety do obliczeń: naukowych i inżynierskich Przegląd i porównanie Bartek Wilczyński 30.5.2016 Plan na dziś Pakiety do obliczeń: przegląd zastosowań różnice w zapotrzebowaniu:
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi
. Cele ćwiczenia Laboratorium nr Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi zapoznanie się z metodami symbolicznego i numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych w Matlabie,
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA STUDIA STACJONARNE I STOPNIA PRZEDMIOT : : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI 1. WSTĘP DO
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna, całka oznaczona na podstawie funkcji pierwotnej
MATLAB - całkowanie Funkcja pierwotna, całka oznaczona na podstawie funkcji pierwotnej Do uzyskania funkcji pierwotnej służy polecenie int. Jest wiele możliwości jego użycia. Zobaczmy, kiedy wykonuje się
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń matematycznych. dr inż. Michał Michna
Wspomaganie obliczeń matematycznych dr inż. Michał Michna Wspomaganie obliczeń matematycznych Potrzeby Projektowanie Modelowanie Symulacja Analiza wyników Narzędzia Obliczenia algebraiczne, optymalizacja
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoMATHCAD Obliczenia symboliczne
MATHCAD 000 - Obliczenia symboliczne Przekształcenia algebraiczne UWAGA: Obliczenia symboliczne można wywoływać na dwa różne sposoby: poprzez menu Symbolics poprzez przyciski paska narzędziowego Symbolic
Bardziej szczegółowoMATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący
MATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący Laboratorium 12: Zagadnienia zaawansowane Cel: Poznanie metod rozwiązywania konkretnych problemów Czas: Wprowadzenia 10 minut, ćwiczeń
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Mathematics
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie
Bardziej szczegółowoObliczenia w programie MATLAB
Obliczenia w programie MATLAB Na zajęciach korzystamy z programu MATLAB, w którym wykonywać będziemy większość obliczeń. Po uruchomieniu programu w zależności od wersji i konfiguracji może pojawić się
Bardziej szczegółowoMatematyka I i II - opis przedmiotu
Matematyka I i II - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka I i II Kod przedmiotu Matematyka 02WBUD_pNadGenB11OM Wydział Kierunek Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1. Matlab podstawy (1) Matlab firmy MathWorks to uniwersalny pakiet do obliczeń naukowych i inżynierskich, analiz układów statycznych
1. Matlab podstawy (1) Matlab firmy MathWorks to uniwersalny pakiet do obliczeń naukowych i inżynierskich, analiz układów statycznych i dynamicznych, symulacji procesów, przekształceń i obliczeń symbolicznych
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych - zajęcia 9
Poniższy dokument zawiera informacje na temat zadań rozwiązanych w trakcie laboratoriów. Elementy metod numerycznych - zajęcia 9 Tematyka - Scilab 1. Labolatoria Zajęcia za 34 punktów. Proszę wysłać krótkie
Bardziej szczegółowoPakiety Matematyczne MAP1351W,P
STEINHAUS HUGO CENTER W R O C L AW Pakiety Matematyczne MAP1351W,P dr in». Marek Teuerle Centrum im. Hugona Steinhausa Politechnika Wrocªawska Wrocªaw, 07-14 maja 2019 MATLAB Plan wykªadu: MATLAB Plan
Bardziej szczegółowoProgramy wykorzystywane do obliczeń
Przykłady: Programy wykorzystywane do obliczeń. Arkusze kalkulacyjne do obliczeń numerycznych: a. LibreOffice CALC (wolny dostęp) b. Microsoft EXCEL (komercyjny). Pakiety typu CAS (ang. Computer Algebra
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13
SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowoRównania liniowe i nieliniowe
( ) Lech Sławik Podstawy Maximy 11 Równania.wxmx 1 / 8 Równania liniowe i nieliniowe 1 Symboliczne rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 1.1 solve -- Funkcja: solve() MENU: "Równania->Rozwiąż..."
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do środowiska
Wprowadzenie do środowiska www.mathworks.com Piotr Wróbel piotr.wrobel@igf.fuw.edu.pl Pok. B 4.22 Metody numeryczne w optyce 2017 Czym jest Matlab Matlab (matrix laboratory) środowisko obliczeniowe oraz
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do programu MATHCAD
Wprowadzenie do programu MATHCAD Zaletami programu MathCad, w porównaniu do innych programów służących do obliczeń matematycznych, takich jak Matlab, Mathematica, są proste i intuicyjne zasady pracy z
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoPakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki
Pakiety matematyczne Matematyka Stosowana dr inż. Krzysztof Burnecki 22.05.2013 Wykład 12 Mathematica. Wprowadzenie Obliczenia w Mathematice Wolfram Alpha Slajdy powstały na podstawie strony www.mathematica.pl
Bardziej szczegółowoPakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki
Pakiety matematyczne Matematyka Stosowana dr inż. Krzysztof Burnecki 20.02.2013 Podstawowe informacje Krzysztof Burnecki C-11, pok. 5.14 Krzysztof.Burnecki@pwr.wroc.pl Konsultacje: poniedziałek 11-13,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoMATLAB tworzenie własnych funkcji
MATLAB tworzenie własnych funkcji Definiowanie funkcji anonimowych Własne definicje funkcji możemy tworzyć bezpośrednio w Command Window, są to tzw. funkcje anonimowe; dla funkcji jednej zmiennej składnia
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne. Laboratorium 1. Wstęp do programu Matlab
Metody Numeryczne Laboratorium 1 Wstęp do programu Matlab 1. Wiadomości wstępne liczby, format Program Matlab używa konwencjonalną notację dziesiętną, z kropka dziesiętną. W przypadku notacji naukowej
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Obliczenia symboliczne Symbolic computations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Informatyka Rodzaj zajęć: wykład,
Bardziej szczegółowoZastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych
Zastosowanie pakietów algebry komputerowej do obliczeń numerycznych i symbolicznych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 14czerwca2013r. STEPHEN
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia
Uniwersytet Śląski w Katowicach str.. Nazwa kierunku informatyka 2. Cykl rozpoczęcia 207/208Z 3. Poziom kształcenia studia pierwszego stopnia (inżynierskie) 4. Profil kształcenia ogólnoakademicki 5. Forma
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoKIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA
1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III
Bardziej szczegółowoLaboratorium 7. Zad. 1 Całkowanie w Matlabie. Zapoznać i wypróbować komendy: Przekazywanie funkcji: sqr x.^2 a = sqr(5)
Laboratorium 7 Zad. 1 Całkowanie w Matlabie. Zapoznać i wypróbować komendy: Przekazywanie funkcji: sqr = @(x) x.^2 a = sqr(5) help quad function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5); Q = quad(@myfun,0,2) myfun
Bardziej szczegółowofor - instrukcja pętli "dla" umożliwia wielokrotne obliczenie sekwencji wyrażeń s s + k s while z j
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw4.mcd /9 Katedra Inmatyki Stosowanej - Studium Podstaw Inmatyki PAKIET MathCad - Część IV. PROGRAMOWANIE MathCad posiada możliwości tworzenia prostych podprogramów,
Bardziej szczegółowoMathematica - podstawy
Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica
Bardziej szczegółowoSpis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19
Matematyka dla kierunków ekonomicznych : przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej / Henryk Gurgul, Marcin Suder. wyd. 6 uzup. i popr., uwzględniające podstawowy program matematyki również
Bardziej szczegółowoMatlab Składnia + podstawy programowania
Matlab Składnia + podstawy programowania Matlab Matrix Laboratory środowisko stworzone z myślą o osobach rozwiązujących problemy matematyczne, w których operuje się na danych stanowiących wielowymiarowe
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka Podstawy MATLABA MATLAB jest zintegrowanym środowiskiem
Bardziej szczegółowoSpis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania drugiego 19
Matematyka dla kierunków ekonomicznych : przykłady i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej / Henryk Gurgul, Marcin Suder [wyd.2]. Warszawa, 2010 Spis treści O autorach 13 Wstęp 15 Przedmowa do
Bardziej szczegółowoPakiety matematyczne. Matematyka Stosowana. dr inż. Krzysztof Burnecki
Pakiety matematyczne Matematyka Stosowana dr inż. Krzysztof Burnecki 17.04.2013 Wykład 9 Operacje symboliczne w Matlabie Graficzny interfejs użytkownika (GUI) Slajdy powstały na podstawie prezentacji Informatyka
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-110-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Specjalność:
Bardziej szczegółowoS Y L A B U S P R Z E D M I O T U
"Z A T W I E R D Z A M dr hab. inż. Stanisław Cudziło, prof. WAT Dziekan Wydziału Nowych Technologii i Chemii Warszawa, dnia... S Y L A B U S P R Z E D M I O T U NAZWA PRZEDMIOTU: MATEMATYKA Wersja anglojęzyczna:
Bardziej szczegółowoMATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY
MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY Poszukiwanie znaczeń funkcji i skryptów funkcja help >> help % wypisuje linki do wszystkich plików pomocy >> help plot % wypisuje pomoc dotyczą funkcji plot Znaczenie
Bardziej szczegółowoMatematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie Katedra Matematyki dr Beata Maciejewska
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje od roku akademickiego
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoDrugi sposób definiowania funkcji polega na wykorzystaniu polecenia:
ĆWICZENIE 6. Scilab: Obliczenia symboliczne i numeryczne Uwaga: Podczas operacji kopiowania i wklejania potrzeba skasować wklejone pojedyńcze cudzysłowy i wpisać je ręcznie dla każdego ich wystąpienia
Bardziej szczegółowoZakłócenia w układach elektroenergetycznych LABORATORIUM
Zakłócenia w układach elektroenergetycznych LABORATORIUM Obliczenia w programie MATLAB Na zajęciach korzystamy z programu MATLAB, w którym wykonywać będziemy większość obliczeń. Po uruchomieniu programu
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu: Matematyka I
24.09.2013 Karta - Matematyka I Opis : Matematyka I Kod Nazwa Wersja TR.NIK102 Matematyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA MATHEMATICS. Forma studiów: studia niestacjonarne. Liczba godzin/zjazd: 3W E, 3Ćw. PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE semestr 1
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Podstawowy obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Inżynieria Materiałowa Poziom studiów: studia I stopnia MATEMATYKA MATHEMATICS Forma studiów: studia
Bardziej szczegółowoGNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej.
1 GNU Octave GNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej. Octave zapewnia: sporą bibliotęke użytecznych funkcji i algorytmów; możliwośc tworzenia przeróżnych wykresów; możliwość
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 15 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim PAKIETY MATEMATYCZNE Nazwa w języku angielskim Mathematical Programming Packages Kierunek studiów (jeśli
Bardziej szczegółowoArchitektura dużych projektów bioinformatycznych
Architektura dużych projektów bioinformatycznych Pakiety do obliczeń: naukowych, Inżynierskich i statystycznych Przegląd i porównanie Bartek Wilczyński 23.11.2014 Plan na dziś Pakiety do obliczeń: przegląd
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: Ma 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Eksploatacja Systemów Mechatronicznych
Bardziej szczegółowoMatlab MATrix LABoratory Mathworks Inc.
Małgorzata Jakubowska Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc. MATLAB pakiet oprogramowania matematycznego firmy MathWorks Inc. (www.mathworks.com) rozwijany od roku 1984 język programowania i środowisko
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2016/2017 Kod: JIS s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Pakiety obliczeniowe Rok akademicki: 2016/2017 Kod: JIS-1-016-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom studiów: Studia
Bardziej szczegółowoObliczenia inżynierskie. oprogramowanie matematyczne
Obliczenia inżynierskie oprogramowanie matematyczne Mathcad środowisko pracy Mathcad 15.0, Mathcad Prime 1.0 Parametric Technology Corporation's 2 PTC Mathcad Prime 1.0 Środowisko obliczeń Document-centric
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoMathCAD cz.1. Spis treści wykładu:
Narzędzia obliczeniowe inżyniera MathCAD cz.1 Opracował: Zbigniew Rudnicki 1 Spis treści wykładu: 1)Narzędzia obliczeniowe inżyniera 2) Mathcad - cechy, struktura dokumentu, kursory,.. 3) Tworzenie regionów
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoZAKRESY NATERIAŁU Z-1:
Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Mathematical analysis
Bardziej szczegółowoTop 38 w roku GeoGebra
Top 38 w roku 2017 GeoGebra 6.0.379.0 GeoGebra to opensource'owy i wielokrotnie nagradzany program do nauki matematyki do zainstalowania na komputerach pracujących pod kontrolą systemów operacyjnych z
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych
Ćwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych Wszystko proszę zapisywać komendą diary do pliku o nazwie: imie_ nazwisko 1. Definiowanie macierzy i odwoływanie się do elementów:
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie numeryczne
Różniczkowanie numeryczne Przyjmijmy, że funkcja ciągła y = f(x) = 4sin(3x)e -x/2, gdzie x 0,2π, dana jest w postaci dyskretnej jako ciąg wartości y odpowiadających zmiennej niezależnej x, również danej
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: Ma 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechanika i budowa maszyn 5. Specjalność: Eksploatacja Siłowni
Bardziej szczegółowoLab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.
Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,
Bardziej szczegółowo