Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu Value at Risk portfela inwestycyjnego

Transkrypt

1 Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t. : 5 38 IN ydzia Zarz dzania U DOI.77/ Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego Nades any:..5 Zaakceptowany do druku:..6 omasz Krawczyk * artykule przedstawiono zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu warto ci zagro on alue at isk portfela inwestycyjnego. Istot obliczenia warto ci zagro onej portfela inwestycyjnego wielosk adnikowego jest zastosowanie podej cia opartego na zastosowaniu oblicze za pomoc algebry macierzy w którym g ówn rol pe ni macierz wariancjikowariancji. ramach oblicze macierzy wariancjikowariancji korygowana jest macierz zmienno ci aktywów w zale no ci od wybranego poziomu ufno ci. Uwzgl dniaj c efekty korelacyjne mo na w ten sposób oszacowa warto zagro on portfela zdywersyfikowanego. przypadku nieuwzgl dnienia efektów korelacyjnych otrzymujemy warto zagro on portfela niezdywersyfikowanego. koncepcji warto ci zagro onej zdywersyfikowanej jak i niezdywersyfikowanej istnieje mo liwo zastosowania symulacji opartej na metodzie Monte Carlo. Najwa niejszym obszarem zastosowania symulacji opartej na metodzie Monte Carlo w koncepcji a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego s przysz e notowania aktywów wchodz cych w sk ad portfela. Zaprezentowane zastosowania metody Monte Carlo w koncepcji a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego mog s u y do budowy systemów zarz dzania ryzykiem rozbudowanych portfeli inwestycyjnych opartych na aktywach takich jak akcje waluty indeksy gie dowe surowce. owa kluczowe: zarz dzanie ryzykiem warto zagro ona symulacja Monte Carlo. he Application of the Monte Carlo Method in the Management of alue at isk of an Investment Portfolio ubmitted:..5 Accepted:..6 his paper describes the use of the Monte Carlo method in the management of alue at isk (a) of an investment portfolio. he essence of calculating the a is the use of a multicomponent investment portfolio approach based on calculations matrix algebra where the main role is played by the variancecovariance matrix. As part of the calculation of the variancecovariance matrix the changes in volatility matrix of assets are made depending on the level of statistic significance. aking into account the correlation effects the a of the diversified portfolio can thus be estimated. If we do not take into account the correlation effects then we get nondiversified portfolio value at risk. he concept of diversified and nondiversified a allows for the use of simulation based on the Monte Carlo method. he most important area of application of simulation based on the Monte Carlo method in the concept of diversified and nondiversified a is the future trading of assets within a portfolio. he presented Monte Carlo application methods in the concept of diversified and nondiversified a can be used to * omasz Krawczyk dr Uniwersytet arszawski ydzia Nauk Ekonomicznych DELab. Adres do korespondencji: Uniwersytet arszawski ydzia Nauk Ekonomicznych ul. Dobra 56/66 3 arszawa; tj.krawczyk@uw.edu.pl.

2 omasz Krawczyk build risk management systems for sophisticated investment portfolios based on underlying assets such as stocks currencies stock indices commodities. Keywords: risk management value at risk Monte Carlo simulation. JEL: C5. prowadzenie Celem artyku u jest przedstawienie mo liwo ci zastosowania symulacji Monte Carlo w metodologii a na przyk adzie warto ci zagro onej portfela inwestycyjnego. Koncepcja alue at isk w portfelu inwestycyjnym umo liwia wyliczenie warto ci zagro onej zdywersyfikowanej oraz niezdywersyfikowanej. przypadku warto ci zdywersyfikowanej istot jest uwzgl dnienie tzw. efektów korelacyjnych zachodz cych pomi dzy aktywami wchodz cymi w sk ad portfela. Ujemne efekty korelacyjne umo liwiaj zmniejszenie warto ci zagro onej portfela. przypadku warto ci niezdywersyfikowanej rozpatrywana jest sytuacja w której nie uwzgl dniamy efektów korelacyjnych lub rozpatrujemy szczególny przypadek warto ci zagro onej zdywersyfikowanej gdzie wspó czynniki korelacyjne pomi dzy aktywami wchodz cymi w sk ad portfela s równe jedno ci. Pomijaj c skrajny przypadek gdy wspó czynnik korelacji jest równy mo na stwierdzi e a zdywersyfikowany jest mniejszy od a niezdywersyfikowanego. ym samym mo na zbudowa system analizy ryzyka oraz systemy podejmowania dzia a opieraj ce si na dwóch poziomach granicznych strat w ramach koncepcji a. Koncepcje alue at isk zdywersyfikowanego oraz niezdywersyfikowanego mo na rozszerzy o zastosowanie metody Monte Carlo. tosuj c metod Monte Carlo w koncepcji a zdywersyfikowanego mo na przeprowadzi symulacj kursów aktywów takich jak akcje waluty indeksy surowce naturalne. Na podstawie symulacji Monte Carlo mo na przeprowadzi próbkowanie stopy zwrotu a tym samym oszacowa parametr zmienno ci danego aktywa w postaci odchylenia standardowego. ten sposób mo na uzyska zasymulowan macierz zmienno ci która dodatkowo korygowana jest przy danym poziomie ufno ci w ramach koncepcji a. przypadku braku efektów korelacyjnych i zasymulowana macierz zmienno ci w sposób bezpo redni umo liwia oszacowanie a niezdywersyfikowanego. przypadku a zdywersyfikowanego stosuj c symulacj Monte Carlo nale y zwróci uwag na wspó czynniki korelacji. Mo na zastosowa niezmienione wspó czynniki lub w ramach oszacowanej próbki oszacowa je na nowo i wstawi do macierzy korelacji. Na podstawie przeprowadzonej symulacji Monte Carlo zarówno dla a zdywersyfikowanego jak i niezdywersyfikowanego mo na przeprowadzi procedur próbkowania na podstawie której mo na wyliczy podstawowe statystyki takie jak warto rednia wariancja odchylenie standardowe wspó czynnik zmienno ci warto maksymalna warto minimalna przedzia ufno 6 DOI.77/

3 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego ci. Przeprowadzona w ten sposób symulacja oparta na metodzie Monte Carlo pozwala na przeprowadzenie porównania warto ci zagro onej zasymulowanej z portfelem referencyjnym umo liwia te przeprowadzenie backtestów oraz potencjalnych prognoz poziomów granicznych strat.. arto zagro ona portfela zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego Obliczenie warto ci zagro onej dla portfela zdywersyfikowanego wieloelementowego wymaga przeprowadzenia oblicze za pomoc algebry macierzy. celu przeprowadzenia oblicze potrzebna jest macierz wag która zawiera informacje na temat udzia u poszczególnych aktywów w portfelu macierz zmienno ci aktywów (zmienno dotoczy w tym przypadku stóp zwrotu aktywów) poziomu ufno ci w celu skorygowania macierzy zmienno ci C macierz wspó czynników korelacji aktywów (Butler 6): v c c3 c4 v c c3 c4 = 6w w w = C. j = c3 c3 c () 34 vik c3 c3 c33 Na podstawie powy szych macierzy mo na przeprowadzi obliczenia dla a zdywersyfikowanego wed ug równania a a= Cl: v c c c v w 3 4 v c c3 c4 v w 6w w w j c3 c3 c 34 j h = vikc3 c3 c33 v ikw k () = Cl= Cl= a a. Z kolej w przypadku oblicze warto ci zagro onej niezdywersyfikowanej obliczenia przeprowadzamy za pomoc formu y : v v 6w w w = a = a a a. j a + + f+ n (3) vik Za ó my e realizowana jest inwestycja w portfel o warto ci mln z. Poni ej przedstawiono poszczególne macierze oraz oszacowania a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego. Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 7

4 omasz Krawczyk = = 4 C= celu przeprowadzenia wylicze a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego dokonujemy skorygowania macierzy zmienno ci przy poziomie ufno ci o warto odczytan z tablic rozk adu normalnego równ 363: 74 = Nast pnie przeprowadzamy obliczenia macierzy C: = = Macierz C mno ona jest przez macierz zmienno ci. ynikiem jest macierz C: 8 DOI.77/

5 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego = = Nast pnie macierz C jest mno ona przez macierz wag. ynikiem jest macierz C: # = = 64 3 Kolejny etapem jest przemno enie macierzy C przez transponowan macierz wag. ynik to macierz C : = 7 5 yci gni ty pierwiastek z C daje wynik dla a zdywersyfikowanego: Cl= 48. celu oszacowania warto ci zagro onej niezdywersyfikowanej potrzebna jest macierz wag oraz skorygowana macierz zmienno ci. ynikiem mno e Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6

6 omasz Krawczyk nia tych dwóch macierzy jest macierz. uma warto ci tej macierzy daje wynik w postaci a niezdywersyfikowanego: = 3 =6 8 4 uma elementów macierzy daje wynik dla a niezdywersyfikowanego: a = a + a + + a = 8. a g Na podstawie przeprowadzonych wy ej oblicze mo na stwierdzi e warto a dla portfela zdywersyfikowanego zale y od konstrukcji portfela tzn. udzia u poszczególnych aktywów w portfelu efektów korelacyjnych zachodz cych pomi dzy aktywami zmienno ci aktywów wchodz cych w sk ad portfela inwestycyjnego oraz przyj tego poziomu ufno ci które s u y korekcie dla macierzy zmienno ci. Udzia poszczególnych aktywów w du ej mierze b dzie zwi zany z informacj na temat ich zmienno ci i efektów korelacyjnych przy uwzgl dnieniu obranej strategii warto ci oczekiwanej portfela. Zmienno poszczególnych aktywów jest uwarunkowana informacj na temat zmienno ci stóp zwrotu poszczególnych aktywów na podstawie danych historycznych ich notowa. Czym wi ksza warto odchylenia standardowego tym bardziej wzrasta warto zagro ona dla warto ci zagro onej zarówno zdywersyfikowanej jak i niezdywersyfikowanej. Niew tpliwie istotny wp yw na warto a zdywersyfikowanego ma korelacja. zrost dodatni wspó czynników korelacyjnych pomi dzy aktywami spowoduje wzrost warto ci zagro onej dla portfela inwestycyjnego. Z kolei w przypadku gdy wspó czynniki korelacyjne uzyskuj znacz ce ujemne warto ci to warto zagro ona w sposób istotny si obni a. Brak jakichkolwiek efektów korelacyjnych spowoduje sytuacj która jest widoczna w przypadku oszacowanej warto ci zagro onej niezdywersyfikowanej. Nale y o tym pami ta szczególnie gdy na gie dzie pojawiaj si symptomy krachu. D enie w sposób szybki warto ci a zdywersyfikowanego do warto ci a niezdywersyfikowanego jest bardzo wa nym sygna em ostrzegawczym dla decydentów portfela inwestycyjnego (Butler 6). n 3 DOI.77/

7 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego 3. ymulacja z zastosowaniem metody Monte Carlo Metoda Monte Carlo nazwa zosta a nadana na cze s ynnej stolicy hazardu w Monako nale y do jednych z najbardziej rozwini tych metodologii. ymulacja oparta na metodzie Monte Carlo to sposób modelowania matematycznego stworzony przez polskiego matematyka tanis awa Ulama który w taki oto sposób opisuje metod Monte Carlo w Przygodach matematyka: Pomys ten nazwany pó niej metod Monte Carlo wpad mi do g owy kiedy podczas choroby stawia em pasjanse. Zauwa y em e znacznie praktyczniejszym sposobem oceniania prawdopodobie stwa u o enia pasjansa jest wyk adanie kart czyli eksperymentowanie z tym procesem i po prostu zapisywanie procentu wygranych ni próba obliczenia wszystkich mo liwo ci kombinatorycznych których liczba ro nie wyk adniczo (Ulam 6 s. 5). Pomys polega na wypróbowaniu tysi cy takich mo liwo ci z przypadkowym wybieraniem zdarzenia okre laj cego los neutronu na ka dym etapie procesu przy u yciu «liczb losowych» (...) Po zbadaniu mo liwych przebiegów procesu jedynie w kilku tysi cach przypadków b dziemy mieli dobra próbk i przybli on odpowiedz na pytanie. szystko czego potrzeba to metoda tworzenia takich przyk adowych przebiegów (Ulam 6 s. 6). Istotnym elementem w symulacji opartej na metodzie Monte Carlo jest zatem losowanie przypadkowe wielko ci charakteryzuj cych proces dotyczy to rozk adów procesów zarówno prostych jak i z o onych. ymulacja sk ada si z nast puj cych g ównych cz ci: sformu owania modeli stochastycznych badanych procesów realnych modelowania zmiennych losowych o danym rozk adzie prawdopodobie stwa rozwi zywania problemu statystycznego z zakresu teorii estymacji. Upraszczaj c proces mo na stwierdzi e symulacja Monte Carlo umo liwia wygenerowanie tysi cy a nawet setek tysi cy próbek wyników co umo liwia wykorzystanie jej do analizy ryzyka jego kwantyfikacji analizy wra liwo ci a tak e prognozy. arto mie na uwadze jeszcze jedno przes anie tanis awa Ulama w tej metodzie: Cech metody Monte Carlo jest to e nigdy nie daje ona dok adnej odpowiedzi; wnioski z niej pokazuj raczej e odpowied jest zawarta w pewnym przedziale b du z takim a takim prawdopodobie stwem (Ulam 6 s. 8). Podstaw zastosowania metody Monte Carlo w symulacji jest znajomo rozk adów prawdopodobie stwa. przypadku analizy pomiarów metoda Monte Carlo polega na losowaniu wyników pomiarów podlegaj cych za o onemu rozk adowi i mo e by wykorzystywana do symulacji procesu pomiaru. Matematycznie metod Monte Carlo mo na przedstawi rozwa aj c przyk ad szacowania ca ki funkcji f w danym przedziale: a= # f^xdx h (4) Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 3

8 omasz Krawczyk gdzie warto oczekiwana E [f (U)] gdzie U jest rozk adem jednostajnym zawartym w przedziale od do. Przyjmuj c kolejne warto ci U U w ramach rozk adu jednostajnego z przedzia u [] mo na wykona wyliczenia funkcji f na n losowych warto ciach a nast pnie oszacowa redni rezultatów w ramach estymacji metod Monte Carlo: a t n= n fu ^ ih n / i= (5) je li f jest rzeczywi cie ca kowana w przedziale [] wtedy na mocy prawa wielkich liczb a t n " a z prawdopodobie stwem jako n"\ je li f jest zatem ca kowalna dla funkcji kwadratowej to otrzymujemy v f = # ^f^xhah dx (6) wtedy b d a t n " a w ramach estymacji metod Monte Carlo aproksymowany jest do rozk adu normalnego z redni i odchyleniem standardowym v n a jako aproksymacji poprawia si wraz ze wzrostem n. f Parametr f który jest nieznany w odniesieniu do mo e by oszacowany za pomoc wzoru na odchylenie standardowe próbki: f n = n /^fu ^ iha th i=. (7) t d z warto ci funkcji f (U ) f (U n ) uzyskujemy nie tylko oszacowanie ca ki dla parametru ale tak e pomiar b du oblicze (Glasserman 3). 4. ymulacja Monte Carlo a portfela zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego Przeprowadzenie symulacji Monte Carlo dla portfela zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego wymaga zastosowania okre lonego algorytmu obliczeniowego który sprowadza si do realizacji poszczególnych etapów:. Aktywa wchodz ce w sk ad portfela inwestycyjnego s analizowane ze wzgl du na notowania kursu. Istotnym aspektem jest okre lenie historycznego fragmentu czasowego jaki b dzie uwzgl dniony do szacowania poszczególnych miar statystycznych. a na jest te stosowana miara czasu. 3 DOI.77/

9 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego. Kolejnym etapem jest oszacowanie miar statystycznych takich jak warto rednia wariancja i odchylenie standardowe wspó czynnik zmienno ci dla ka dego aktywa wchodz cego w sk ad portfela inwestycyjnego. ozpatrywan warto ci jest w tym przypadku stopa zwrotu z inwestycji wyra ona w postaci szeregu czasowego przy uwzgl dnieniu okre lonej miary czasu. 3. Nast pnie posiadaj c warto redni oraz odchylenia standardowego dla ka dego aktywa wchodz cego w sk ad portfela inwestycyjnego za pomoc liczb losowych o rozk adzie jednostajnym oraz funkcji rozk adu normalnego tworzymy dla ka dego z osobna aktywa generator losowy przy pomocy którego przeprowadzamy próbkowanie. 4. Po utworzeniu odpowiedniej liczebnej próby dla ka dego aktywa wchodz cego w sk ad portfela inwestycyjnego budujemy przedzia w celu wyznaczenia cz sto ci oraz szacujemy funkcj prawdopodobie stwa dla przyj tego w za o eniach rozk adu statystycznego. rozpatrywanym przypadku jest to rozk ad normalny. 5. Kolejnym etapem jest oszacowanie podstawowych statystyk opisowych dla ka dej przeprowadzonej symulacji. Na podstawie opracowanej próby otrzymanej z symulacji Monte Carlo obliczamy warto redni wariancj Oszacowanie wartości średnich i odchyleń standardowych dla wybranych aktywów wchidzących w skład portfela inwestycyjnego Opracowanie generatorów losowych wartości przy zadanych wartościach średnich i odchyleniach standardowych i rozkładzie prawdopodobieństwa Próbkowanie a następnie oszacowanie podstawowych statystyk opisowych częstości i rozkładu prawdopodobieństwa Podstawienie wartości symulowanych odchyleń standardowych do macierzy zmienności Oszacowanie a zdywersyfikowanego oraz a niezdywersyfikowanego Próbkowanie a zdywersyfikowanego oraz a niezdywersyfikowanego Obliczenie statystyk opisowych częstości i rozkładu prawdopodobieństwa oddzielnie dla a zdywersyfikowanego i a niezdywersyfikowanego ys.. chemat realizacji dla symulacji a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego. ród o: opracowanie w asne. Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 33

10 omasz Krawczyk odchylenie standardowe wspó czynnik zmienno ci warto maksymaln warto minimaln przedzia ufno ci. 6. Oszacowane warto ci odchyle standardowych z poszczególnych symulacji s wstawiane do macierzy zmienno ci. Nast pnie macierze zmienno ci jest korygowana o warto odczytan z tablic rozk adu normalnego przy zadanym poziomie ufno ci. 7. przypadku przyj cia za o enia o niezmienianiu wspó czynników korelacji nale y oszacowa a zdywersyfikowany oraz a niezdywersyfikowany. przypadku gdy wspó czynniki zmienno ci z statystyk opisowych s wi ksze ni nale y oszacowa wspó czynniki korelacji na nowo na podstawie zasymulowanych próbek poszczególnych aktywów. 8. ynik a zdywersyfikowanego oraz a niezdywersyfikowanego nale y oddzielnie spróbowa i obliczy statystki opisowe tzn. redni wariancj odchylenie standardowe wspó czynnik zmienno ci warto maksymaln warto minimaln przedzia ufno ci.. ynik symulacji nale y porówna z wynikami referencyjnymi. Poni ej przedstawiono przyk adow symulacj Monte Carlo dla a zdywersyfikowanego sk adaj cego si pi ciu aktywów: = = C= celu przeprowadzenia wylicze a zdywersyfikowanego i niezdywersyfikowanego dokonujemy skorygowania macierzy zmienno ci przy poziomie ufno ci o warto odczytan z tablic rozk adu normalnego równ 363: 5 = DOI.77/

11 Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego Nast pnie przeprowadzamy obliczenia macierzy C: = = Macierz C mno ona jest przez macierz zmienno ci. ynikiem jest macierz C: = Nast pnie macierz C jest mno ona przez macierz wag. ynikiem jest macierz C: = Kolejny etapem jest przemno enie macierzy C przez transponowan macierz wag. ynik to macierz C :

12 omasz Krawczyk = yci gni ty pierwiastek z C daje wynik dla a zdywersyfikowanego: Cl=. ramach symulacji Monte Carlo wynik jest próbkowany a nast pnie szacowane s podstawowe statystyki opisowe (tabela ). Na rysunku przedstawiono te wykres cz sto ci. a MC rednia 8668 B d standardowy Mediana 54 Odchylenie standardowe ariancja próbki Kurtoza ko no 7534 Zakres Minimum Maksimum uma Licznik 5 Poziom ufno ci () ab.. Podstawowe statystyki opisowe otrzymane z próby w ramach symulacji Monte Carlo dla n = 5. ród o: opracowanie w asne. ys.. Oszacowana cz sto na podstawie przeprowadzonej symulacji Monte Carlo. ród o: opracowanie w asne. 36 DOI.77/

13 Zastosowanie metody Monte Carlo w zarz dzaniu alue at isk portfela inwestycyjnego 5. Dalsze kierunki bada Zastosowanie metody Monte Carlo nie ogranicza si tylko do symulacji portfela inwestycyjnego opartego na takich aktywach jak akcje indeksy waluty. Metodologia alue at isk jest obecnie ca y czas rozbudowywana o nowe zastosowania w obszarze inwestycyjnym tworz c tym samym szeroki obszar badawczy. Interesuj cym aspektem badawczym s mo liwe zastosowania symulacji Monte Carlo wraz z metodologi a w obszarze analizy ryzyka kredytowego oraz kredytowych instrumentów pochodnych szczególnie opartych na obligacjach korporacyjnych. yniki przeprowadzonego badania przez Bia ekjaworska i Krawczyk (5) wskazuj na dodatni wp yw zmienno ci stóp zwrotu akcji na udzia wielko ci emisji obligacji korporacyjnych w sumie bilansowej a silny ujemny wp yw na substytucyjno d ugu publicznego (emisji obligacji korporacyjnych) i prywatnego (zad u enia w banku). y sze ryzyko inwestycyjne towarzysz ce relatywnie wi kszym emisjom obligacji korporacyjnych (w stosunku do aktywów ogó em) wywo uje potrzeb stworzenia alternatywnych modeli wyceny alue at isk dla obligacji korporacyjnych i kredytowych instrumentów pochodnych tym bardziej ze wzgl du na brak ratingów kredytowych emitentów instrumentów d u nych. pó ki o rednich ratingach kredytowych (od BB do B ) ustalonych wed ug modelu Altmana dla Polski (Z score for Emerging Markets wykorzystywanych przez tockatch.pl) emituj relatywnie wi cej obligacji korporacyjnych w stosunku do aktywów ni spó ki o najlepszych ratingach kredytowych (od AAA do BBB). Natomiast spó ki o najgorszych ratingach kredytowych (od CCC to D) bardziej zad u aj si w banku w relacji do aktywów ogó em (Bia ekjaworska i Krawczyk 5). ramach wybranych kredytowych instrumentów pochodnych istniej mo liwo ci rozwini cia bada nad zastosowaniem pog bionej metody Monte Carlo nad instrumentem CD (Credit Default wap). Obszarem do pog bionych bada jest w tym przypadku budowa metodologii cz cych ten instrument z aktywami przedsi biorstwa przy wykorzystaniu metody Monte Carlo oraz a (Krawczyk 3). Innym interesuj cym obszarem bada nad wykorzystaniem metody Monte Carlo w ramach szeroko poj tej metodologii warto ci zagro onej jest mo liwo zastosowa szeregów czasowych. Dotychczasowe badania prowadzone w tym zakresie pokazuj mo liwo wykorzystania takich modeli szeregów czasowych jak modele autoregresji i redniej ruchomej (AiMA) oraz modele ogólnej heteroskedastyczno ci warunkowej (GACH). Zw aszcza modele GACH wraz z specjalnymi odmianami pozwalaj na oszacowanie w sposób dok adniejszy parametrów zmienno ci które pe ni istotn funkcj w obliczeniach a. Zastosowanie modeli szeregów czasowych w zestawieniu z metod Monte Carlo oraz warto ci zagro on pozwala na budow licznych odmian systemów zarz dzania ryzykiem które b d wymaga y prowadzenia dalszych bada. Problemy Zarz dzania vol. 4 nr 4 (63) t. 6 37

14 omasz Krawczyk 6. Zako czenie artykule przedstawiono mo liwo ci zastosowania symulacji Monte Carlo w ramach warto ci zagro onej zdywersyfikowanej oraz niezdywersyfikowanej dla portfela inwestycyjnego. Przedstawione zastosowania symulacji Monte Carlo w koncepcji a portfela inwestycyjnego ukazuj mo liwo ci tworzenia systemów zarz dzania ryzykiem inwestycyjnym. szczególno ci zastosowanie symulacji Monte Carlo na przyk adzie a portfela zdywersyfikowanego oraz niezdywersyfikowanego otwiera mo liwo ci na prowadzenie bada nad innymi zastosowaniami a wraz z metod Monte Carlo w zagadnieniach dotycz cych ryzyka kredytowego oraz kredytowych instrumentów pochodnych. Bibliografia Bia ekjaworska A. i Krawczyk. (5). Corporate Bonds or Bank Loans? he Choice of Funding ources and Information Disclosure of Polish Listed Companies. Argumenta Oeconomica (in review). Butler C. (8). Mastering alue isk. London: Prentice Hall. Glasserman P. (3). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: pringer. Krawczyk. (3). Metoda Monte Carlo w procesie inwestycyjnym. Zastosowania praktyczne w Microsoft Excel. arszawa: itkom. Ulam.M. (6). Przygody matematyka. arszawa: Prószy ski i ka. 38 DOI.77/