Modelowanie ruchu z oporami

Transkrypt

1 Modelowanie ruchu z oporami Poznanie wpływów ośrodka na ruch ciał, matematyczny opis ruchu. Joanna Mańko

2 1. Klasyfikacja, opis oraz wpływ oporów na ruch ciał. 2. Metody zmniejszania oporów ruchu. 3. Jak można wykorzystać opory ruchu? 4. Symulacja komputerowa- spadek swobodny- opis i wnioski z doświadczenia; tekst źródłowy. 5. Arkusz kalkulacyjny- zastosowanie fizyczne matematyki i informatyki (matematyczny model ruchu z oporami).

3 1. Klasyfikacja, opis oraz wpływ oporów na ruch ciał. Tarcie Tarcie jest siłą, która przeciwstawia się ruchowi obiektów; inaczej mówiąc jest to siła utrudniająca wzajemne przemieszczanie się dwóch stykających się powierzchni.

4 Tarcie posuwiste Jeżeli będziemy przesuwali względem siebie dwie stykające się powierzchnie, to zaobserwujemy zjawisko tarcia posuwistego, czyli fakt, że ruch ten wymaga stałego działania siły. Przyczyną tego rodzaju tarcia są mikroskopijne zadziory zaczepiające o siebie na trących powierzchniach. Dlatego nawet pozornie gładkie powierzchnie nie ślizgają się swobodnie.

5 W typowych sytuacjach tarcia posuwistego stosunek siły tarcia do nacisku trących powierzchni jest stały. Jego wartość nazywana jest współczynnikiem tarcia. f współczynnik tarcia (wielkość niemianowana) T siła tarcia posuwistego [N] N siła dociskająca trące powierzchnie [N] Współczynnik tarcia zależy od rodzaju materiału, z których wykonane są trące się powierzchnie i ich chropowatości.

6 Tarcie statyczne i dynamiczne Z przypadkiem tarcia statycznego mamy do czynienia wtedy, gdy zaczynamy przesuwać (ruszamy z miejsca) stykające się powierzchnie różnych ciał. W odróżnieniu do niego tarcie dynamiczne zachodzi już podczas ruchu. Ponieważ najczęściej trudniej jest ruszyć ciało z miejsca, niż później podtrzymywać jego prędkość, to w większości przypadków tarcie statyczne jest większe od dynamicznego.

7 Tarcie toczne Tarcie toczne występuje dla sytuacji, w których mamy do czynienia z kulą, kołem, lub walcem toczonym po jakimś podłożu. Ponieważ toczenie jest zazwyczaj łatwiejsze niż bezpośrednie przesuwanie ciał z tarciem posuwistym, to siła tarcia tocznego jest w większości przypadków wyraźnie mniejsza od siły tarcia posuwistego. Najważniejsze zjawiska wywołujące tarcie toczne to: tworzenie się wałka przed toczącym się ciałem i praca tracona na jego tworzenie i pokonywanie, tarcie suwne - przy dużej powierzchni styku (miękkie materiały) toczące się ciało rozsuwa podłoże z miejsca największego nacisku. deformacja plastyczna i przemieszczanie płynów, gdy na styku występuje płyn lub materiały są plastyczne.

8 W przypadku ciał toczących się wzór na współczynnik tarcia jest inny. Wynika to z faktu, że łatwiej jest toczyć koło (walec) o większym promieniu niż o mniejszym. Dlatego współczynnik tarcia tocznego obliczany następująco: μ - współczynnik tarcia tocznego [m] T siła tarcia tocznego [N] N siła dociskająca powierzchnie [N] R - promień toczącego się koła lub walca [m] Z powyższego wzoru widać, że wzrost promienia toczącego się obiektu powoduje proporcjonalne zmniejszenie siły tarcia.

9 Ruch obiektów w płynach (zarówno w cieczach, jak i w gazach) podlega dość złożonym regułom. Opór dla małych i średnich prędkości jest różny. Ruch kulki w płynie z małą prędkością: Obowiązuje tu tzw. prawo Stokesa: FT = 6 π R η v FT siła oporu płynu [N] R promień kulki [m] η - lepkość płynu - grecka litera eta [ kg/ms] v - prędkość kulki [m/s]

10 Opór płynu dla średnich prędkości ruchu obiektów: Ten przypadek związany jest z ruchem takich obiektów jak samochody, lecące piłki itp. Teraz wzór na siłę oporu aerodynamicznego (siłę oporu czołowego) przyjmuje inną postać (wzór Newtona): ρ - gęstość płynu (najczęściej w kg/m3) S pole przekroju poprzecznego obiektu (w metrach kwadratowych m2) C współczynnik zależny od kształtu ciała (niemianowany) Producenci samochodów i innych pojazdów starają się, aby współczynnik C miał jak najmniejszą wartość, dzięki czemu zużywają one mniej paliwa (więcej o tym w drugiej części prezentacji).

11 Tarcie aerodynamiczne/ hydrodynamiczne Nie ma jednolitego wzoru na tarcie aerodynamiczne. Dla małych prędkości obowiązuje liniowa zależność od prędkości i rozmiarów; dla większych siła rośnie z kwadratem prędkości i rozmiarem. Dla bardzo dużych prędkości siła oporu rośnie z sześcianem prędkości. Tarcie (opór) nie jest jedyną siłą związaną z ruchem w płynach wyróżnia się też np. siłę nośną, czy inne siły nie związane z hamowaniem.

12 Tarcie wewnętrzne (lepkość) Jest to stawianie oporu między poruszającymi się warstwami cieczy lub gazu względem siebie i rozproszenie energii tj. przekształcenie w ciepło energii mechanicznej dostarczonej do ciała w pięciu procesach jego odkształcenia innymi słowy jest to zjawisko powstawania sił stycznych, przeciwdziałających wzajemnemu przesuwaniu się części cieczy lub gazu.

13 Od czego zależy współczynnik tarcia? - tarcie posuwiste może zależeć od rodzaju materiału i ich chropowatości, pokrycia obiektów smarami, gładkości i ścieralności powierzchni, a także ich wilgotności i temperatury; - tarcie toczne może zależeć od struktury podłoża, od lepkości, przywieralności cząsteczek podłoża do toczonego koła, czy walca oraz od promienia toczonego obiektu; - tarcie aerodynamiczne zależy od temperatury, lepkości, i gęstości płynu, a także kształtu obiektów.

14 Energia związana z pracą sił oporu W większości przypadków energia ta zamieniana jest na energię cieplną. Dlatego opony samochodów, które wróciły z trasy są ciepłe, a tarcie kawałków drewna o siebie jest starą metodą rozniecania ognia. Jeżeli więc w jakimś ruchu pojawia się tarcie, to oznacza, że w ruchu tym energia mechaniczna nie jest zachowana, ponieważ jej część zamienia się na energię wewnętrzną- ciepło. Mówimy w tym przypadku o rozpraszaniu energii. Co prawda energia całkowita (czyli uwzględniająca też energię wewnętrzną) dalej jest zachowana, jednak suma: energia kinetyczna plus energia potencjalna - zmniejsza się.

15 2. Metody zmniejszania oporów ruchu Stosowanie olejów smarowych W celu zmniejszenia tarcia stosuje się przede wszystkim smarowanie trących się powierzchni. Smary przyczyniają się w dużym stopniu do zmniejszenia tarcia dzięki swej właściwości, którą jest lepkość. Działanie olejów polega na tym, że powlekają one powierzchnie elementów trących o siebie swą powłoką, która jest gładka i śliska. Warstwa oleju powoduje, że elementy nie stykają się ze sobą, dzięki czemu potrzeba mniejszej energii, by części były w ruchu, a one same są chronione są przed nadmiernym zużyciem, korozją oraz działalnością otoczenia a przez to do zmniejszenia strat energii i materiałów. Smarowanie chroni ponadto trące się powierzchnie przed nagrzaniem.

16 Stosowanie łożysk kulkowych Jest to rodzaj łożysk tocznych, elementami tocznymi są w nim kulki. Ruch, między pierścień wewnętrzny a pierścień zewnętrzny jest przekazywany za pomocą kulek. Kulki te stykają się z pierścieniami bardzo małą powierzchnią co przyczynia się do zmniejszenia tarcia.

17 Zmniejszenie siły nacisku między trącymi elementami Wzór na obliczanie tarcia to T=μN Siła tarcia to iloczyn współczynnika tarcia i siły nacisku, więc gdy zmniejszymy siłę nacisku, tarcie będzie mniejsze.

18 Użycie materiałów o niskim współczynnika tarcia Jeżeli tarcie to iloczyn współczynnika tarcia i siły nacisku to, gdy części trące będą wykonane z materiałów o niskim współczynniku tarcia to zmniejszy to siłę tarcia. Pomocne będzie gładzenie przemieszczających się względem siebie powierzchni.

19 Zmniejszanie oporu aerodynamicznego- pojazdy Na siłę oporu aerodynamicznego (zależną od wspomnianego w pierwszej części prezentacji współczynnika oporu aerodynamicznego C) wpływ mają powierzchnia czołowa pojazdu, masa i kształt pojazdu, opływowości nadwozia, kształt powierzchni bocznej, nierówności karoserii, opory układu chłodzenia i wentylacji. Dlatego większość firm produkujących samochody stara się nadawać karoserii samochodów takie kształty, aby osiągnąć jak najmniejszy współczynnik oporu powietrza. Jego wartość w nowych aerodynamicznych autach wynosi poniżej 0,3.

20 Współczynnik oporu wybranych samochodów

21 Zwierzęta też nauczyły się radzić sobie z negatywnymi skutkami tarcia. Ryba, by zmniejszyć opór wody podczas pływania wykształciła łuski pokryte śluzem i opływowy kształt ciała. Niektóre mięczaki, np. ślimak, aby poruszać się, produkują śluz którego zadaniem jest zmniejszanie tarcia jego stopy z podłożem podczas poruszania.

22 3. Jak można wykorzystać opory ruchu? Nie każde opory ruchu mają negatywne działanie. Bywają także pożyteczne. Aby zahamować pociąg, samochód lub tramwaj, dociskamy do kół szczęki hamulców. W ten sposób zwiększamy tarcie, które hamuje ruch pojazdu. Natomiast tarcie występujące między kołem a jezdnią jest siła pożyteczną, umożliwiająca ruch. Tarcie jest niezbędnym warunkiem poruszania się istot żywych oraz maszyn, a także funkcjonowania wielu mechanizmów, np. sprzęgła czy przekładni. Tarciu zawdzięczamy możliwość chodzenia, pisania, przytrzymywania w ręku różnych przedmiotów.

23 Większa wartość siły tarcia statycznego od kinetycznego została wykorzystana w samochodach, w których zastosowano ABS. Jest to system uniemożliwiający blokowanie się kół podczas hamowania. Dzięki temu po naciśnięciu hamulców koła nie ślizgają się po jezdni. Występuje wtedy między oponami a jezdnią tarcie statyczne, które jest większe od kinetycznego, dzięki czemu droga hamowania jest krótsza.

24 Podobnie jest podczas wchodzenia na oblodzoną górę. Stawiamy względnie wolno nogi, aby występowało tarcie statyczne Ts równoważące siłę ściągającą Fs. Jeżeli góra jest dość stroma, siła tarcia osiąga prawie maksymalną wartość. Gdy wtedy się poślizgniemy zaczyna działać siła tarcia kinetycznego, która jest mniejsza niż statyczne. Wtedy siła ściągająca jest większa od siły tarcia kinetycznego.

25 Pozytywne zastosowanie sił tarcia statycznego można także zaobserwować podczas jazdy samochodem z prędkością v po zakręcie o promieniu R. Działająca wtedy na samochód siła odśrodkowa Fo jest równoważona siłą tarcia Ts. Zgodnie ze wzorem widać, że im większa prędkość samochodu, tym działa większa siła tarcia statycznego. Trwa to aż do momentu, gdy siła odśrodkowa nie przekroczy maksymalnej siły tarcia statycznego. Wtedy tarcie statyczne zmieni się w tarcie kinetyczne. A ponieważ jest ono mniejsze od statycznego to równowaga zostanie zachwiana i siła odśrodkowa wyrzuci nas z zakrętu.

26 4. Symulacja komputerowa- spadek swobodny- opis i wnioski z doświadczenia Symulacja komputerowa, którą wykonałam na stronie internetowej gowzduosiypoziomredni,10703.html Dotyczyła modelu spadku swobodnego piłki wzdłuż osi y w zależności od współczynnika oporu powietrza. Oś x stanowił czas spadku. Wysokość, z jakiej spadała piłka wynosiła 100 m, a przyspieszenie ziemskie wynosiło 9,8 m/s^2.

27 Różowa linia odnosi się do spadku bez oporu powietrza, jasnoniebieska- do ruchu ze współczynnikiem oporu powietrza 0,4 N/(m/s) A ciemnoniebieska- ze współczynnikiem 0,8 N/(m/s)

28 Ruch bez oporu jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, co wskazuje wykres (różowa linia) Dla II ruchu- niebieska linia, gdzie był już współczynnik oporu, czas spadku stał się dłuższy, a dla III ruchu z największym oporem czas spadku był najdłuższy. Widać, że początkowo w każdym z trzech ruchów piłka spadała niemal tak samo, a wraz z prognozowanym wzrostem prędkości, jak powinno być w ruchu przyspieszonym, piłka jednak przyspiesza coraz wolniej, ponieważ czas spadku się wydłuża. Przy największym współczynniku oporu- linia ciemnoniebieska- linia przypomina prostą, co oznacza że w tym samym czasie pokonywała ten sam odcinek drogi, tak jak się dzieje w ruchu jednostajnym. Oznacza to, że siła oporu rośnie wraz ze wzrostem prędkości, aż do osiągnięcia ruchu jednostajnego.

29 Siła ciężkości i siła wyporu pozostają stałe podczas ruchu, natomiast siła oporu wzrasta wraz z prędkością ciała. W początkowej fazie ruchu, kiedy prędkość jest mała, opór jest mały i (dla niewielkich ciał w powietrzu) wypór jest też mały. Zatem w początkowych sekundach ruch jest jednostajnie przyspieszony prędkość narasta liniowo w czasie. W miarę wzrostu prędkości wzrasta opór, a przyspieszenie ciała maleje. Gdy prędkość wzrośnie znacznie, to siła oporu wzrośnie do tego stopnia, że zrównoważy siłę ciężkości i przyspieszenie spadnie do zera, a=0. Wtedy ruch stanie się jednostajny ciało będzie opadać ze stałą prędkością, zwaną prędkością graniczną. Dzieje się tak na przykład ze spadającą kroplą deszczu lub podczas skoku ze spadochronem.

30 Skok spadochroniarza- opór powietrza Zaraz po wyskoczeniu z samolotu spadochroniarz porusza się w przybliżeniu tak jak ciało swobodnie spadające. Trwa to stosunkowo krótko. Dalszy ruch jest inny jest to ruch z malejącym przyspieszeniem. Prędkość opadania spadochroniarza rośnie ale coraz wolniej. W efekcie spadochroniarz opadający długo osiągnie pewną graniczną prędkość opadania. Największa prędkość spadochroniarza (bez otwartego spadochronu) ma wartość około 280 km/h. Jest to prędkość, która nie daje żadnych szans na przeżycie. W chwilę po otwarciu spadochronu gwałtownie rośnie siłą oporu i gwałtownie maleje prędkość opadania. Kolejny etap skoku spadochroniarza to ruch (na ogół) jednostajny. Oznacza to, że w tej części skoku równoważą się siły ciężaru spadochroniarza i siły oporu powietrza. Spadochroniarz może w pewnym zakresie zmieniać prędkość opadania poprzez zmianę siły oporu ruchu. Wykonuje to wykorzystując specjalne otwory (szczeliny) w spadochronie.

31 Tekst źródłowy FIFA i fizyka Gra nareszcie poprawnie uwzględnia opór powietrza. Kiedy jesienią minionego roku w sprzedaży pojawiła się gra FIFA 2014, wśród jej zalet wymieniano poprawne zachowanie piłki w powietrzu. We wszystkich wcześniejszych wersjach piłka sprawiała wrażenie nienaturalnie zwiewnego obiektu, który poruszał się po zbyt prostej trajektorii. W ubiegłym roku zespół inżynierów i projektantów odpowiedzialnych za animację postanowił definitywnie rozwiązać problem. W wyniku drobiazgowego przejrzenia kodu odpowiedzialnego za fizyczny opis lotu, ustalono, że przyczyną błędu jest nieprawidłowa wartość współczynnika we wzorze na opór powietrza. Współczynnik jest potrzebny, aby obliczać siłę oporu powietrza, jaka działa na obiekt w locie, a więc prawidłowo modelować zmiany i trajektorie lotu. Piłka porusza się z największą prędkością tuż po kopnięciu jej przez piłkarza, ale opór powietrza od razu ją spowalnia, aż do minimalnej prędkości osiąganej w najwyższym punkcie lotu wyjaśnia John Eric Goff, fizyk z Lynchburg Collage Opadając, piłka powinna ponownie przyspieszyć. W poprzednich wersjach piłka poruszała się niezgodnie z prawami fizyki; opóźnienie i przyspieszenie były praktycznie niezależne od prędkości początkowej. A więc jeśli kopnięta piłka leciała z prędkością 50 czy 80km h, zwalniała tak samo, jak przy zaledwie 8km/h przyznaje Aaron McHardy, starszy projektant EA Sports [...]. Julianne Chiaet, FIFA i fizyka, Świat Nauki, styczeń 2014, s. 9.

32 5. Arkusz kalkulacyjny- zastosowanie fizyczne matematyki i informatyki (matematyczny model ruchu z oporami). Ruch z oporami można modelować m.in. w programie Microsoft Excel. Opracowałam w tym programie ruch ciała z oporem o określonym współczynniku oraz danymi- prędkością i położeniem początkowym oraz masą ciała. Po zapisaniu równań korzystających z zależności pomiędzy prędkością, przyspieszeniem, siłą i czasem w ruchu z oporami, program policzył wartości tych szukanych po upływie 100 jednostek czasu [s]. II zasada dynamiki: am = mg Foporu - Fwyporu Siła oporu ośrodka: F = - v Dane: odstęp czasu t = 0,5 masa m= 1 prędkość początkowa vo = 1 położenie początkowe xo = 0 współczynnik siły hamującej = 0,05

33

34 Wykresy, które utworzyłam na podstawie obliczonych wartości przyspieszenia, prędkości i położenia w zależności od czasu, potwierdzają zależność siły oporu i prędkości omówioną w poprzedniej części prezentacji. Przyspieszenie w funkcji czasu a(t) Przyspieszenie dąży do zera, czyli ruch przyspieszony ostatecznie staje się jednostajnym, gdzie a=0.

35 Prędkość w funkcji czasu v(t) Widać, że siła oporu jest największa, gdy prędkość również jest największa, w zaznaczonym fragmencie prędkość spada najbardziej, następnie dąży do osiągnięcia stałej wartości.

36 Położenie w funkcji czasu x(t) Ciało przebywa coraz krótszą drogę, co jest związane ze spadającą wartością prędkości.

37 file:///c:/users/dell/downloads/matura-fizyka-rozszerzona operon-arkusz.pdf