Algorytmy i struktury danych

Transkrypt

1 Cl ćwzn Alorytmy struktury ny Instytut Strown Systmów Inormtyzny Wyzł Elktrotnk, Inormtyk Tlkomunkj Unwrsytt Zlonoórsk Gry Ćwzn m n lu zpoznn stuntów z wyrnym znnm otyząym rów zrówno skrowny jk nskrowny. Wstęp W normty występuj wl zstosowń l rów. Njrzj populrn z n to prolmy: rprzntj ru w pmę komputr; ktywno przląn ru; wyznzn njkrótszj śżk z ustlono wrzołk o nno, orz wl nny. Gry skrown ry nskrown Kży r skł sę z zoru wrzołków V (n. vrtx wrzołk) orz zoru krwęz E (n. krwęź), o symolzn zpsujmy G = (V, E). W lszj zęś to oprown ęzmy zjmowć sę rm, l który o zory są zorm zwrjąym skońzoną lzę lmntów t.j. V, E < ( V lz wrzołków w r; E lz krwęz w r). Istnj wl rozjów rów, przy zym, orą po uwę smą strukturę ru możmy pozlć j n ry skrown ry nskrown. Formln, r nuj sę jko zwórkę G = (V, E, γ, ω), z V jst zorm wrzołków, E - zorm krwęz, ω : E R + jst unkją przyporząkowująą kżj krwęz opowną, nujmną wę. Różn pomęzy nją ru skrowno (r) nskrowno wyrż sę w post )=. v )= v v 5)= v 5 )= 4)= )=. 6)=.6 6)= )=4 v 5 )= 4)=. )=.4 v 5 )= )=. )=9 )=5 v 4 () Gr (A) 9)=.9 Rys. : Gry )=. v 4 () Dr r skrowny (B)

2 Gry E γ : E {{u, v} : u, v V } {v, v } {v, v 4 } {, v 4 } 4 {v, v 5 } 5 {v, v 5 } 6 {v, } {v 5, } {, } E ω : E R T. : Funkj γ ω l ru nskrowno. E γ : E V V (v, v ) (v 4, v ) (v 4, ) 4 (, v ) 5 (v, v ) 6 (v, v 5 ) (v 5, ) (v 5, v ) 9 (, ) (v, v 4 ) E ω : E R T. : Funkj γ ω l ru skrowno. unkj γ, któr nuj strukturę ru. Dl ru unkj t przstw sę nstępująo: γ : E {{u, v} : u, v V }, ntomst l ru unkj t jst post: γ : E V V. Zps tn oznz okłn tyl, ż w przypku ru możmy l kżj krwęz wyróżnć jj pozątk orz kon, ntomst l ru nskrowno tk rozróżnn jst nmożlw. Rozwżmy ry przstwon n Rys.. Mtmtyzn zps ru nskrowno Rys. () możmy przstwć nstępująo: G = (V, E, γ, ω) V = {v, v,, v 4, v 5 } E = {,,, 4, 5, 6,, } Funkj γ, ω moą yć zprzntown tk jk pono w T.. Anlozn znujmy r skrowny Rys. () jko zwórkę: G = (V, E, γ, ω) V = {v, v,, v 4, v 5 } E = {,,, 4, 5, 6,,, 9, } Funkj γ ω moą yć zprzntown tk jk pono w T.. 4 Rprzntj rów Gry w pmę komputr njzęśj rprzntuj sę z pomoą lsty sąsztw orz z pomoą mrzy sąsztw. Kż z ty mto m ozywś swoj wy zlty, stą tż

3 Gry wyór opownj rprzntj pownn yć oprty n postw wzy o prolm, który my sormułowć w post ru. Pojmują yzję otyząą rprzntj, ry możn pozlć n w ktor: ry rzk orz ry ęst. Prwsz kls rktryzuj sę młym stosunkm lzy krwęz o lzy wrzołków t.j. E V. Dl rów ęsty stosunk tn jst lsk jnoś tzn.: E V. 4. Rprzntj mrzow Jśl my posłużyć sę rprzntją mrzową ru, musmy njprw nć tykty poszzólnym wrzołkom ru. Możn to zroć n wl sposoów, np.: nć tykty ltrow (np.:,,,,...); nć nzwy mjsowoś (jśl r rprzntuj szlk komunkyjn męzy mstm); ponumrowć j koljnym lzm (np.,,,..., V lu z ltrą v, v,,..., v V ); lu w jkkolwk nny kwtny sposó. Rprzntj mrzow sprowz sę o rozwżn mrzy A = (,j ) wymru V V tkj ż: ( ) ω γ(, j), jżl γ(, j) E,j = lu, w przwnym rz zyl lmnt o nks (, j) w powyższj mrzy zwr wę połązn pomęzy wrzołkm orz wrzołkm j (jśl opown krwęź stnj), orz lu (w zlżnoś o rozwżno prolmu), y opown krwęź n nlży o zoru E. Rozwżmy ry przstwon n Rys.. Mrz sąsztw przstwją sę l ty rów opowno: (A) v v v 4 v 5 v v v 4 5 v 5 4 (B) v v v 4 v 5 v v v 4. v Lst sąsztw W rprzntj ru z pomoą lsty sąsztw, n jst tl L, zwrją V lst, po jnj l kżo wrzołk. Dl kżo wrzołk v V lmntm jo lsty sąsztw L[v] są wszystk wrzołk u tk, ż stnj krwęź z wrzołk v o u. Koljność wrzołków n lst sąsztw, zzwyzj jst owoln (moż jnkż yć ułożon włu jkoś porząku np. numrj wrzołków). Rozwżmy ponown ry z Rys. przślźmy lstę sąsztw pokzny n Rys.. 5 Przszukwn rów W tj skj zjmmy sę omównm lorytmów służąy o przszukwn rów.

4 Gry 4 (A) v v v 5 nl (B) v v nl v v 4 v 5 v nl v v 4 v 5 v nl v v 5 v 4 nl v nl v 4 v nl v 4 v nl v 5 v v nl v 5 v nl Rys. : Lsty sąsztw l rów przstwony n Rys. Prour DFS(G). Dl kżo v V wykonj. K[v] BIAŁY. P [v] NIL 4. zs 5. Dl kżo v V wykonj 6. Jśl K[v] =BIAŁY to wykonj. OwźDFS(v) T. : Prour DFS. 5. Przszukwn w łą (n. pt-rst sr) Przy przszukwnu ru w łą, n są krwęz osttno owzono wrzołk, z któro jszz wyozą otyzs nzn krwęz. Wyrmy spośró n prwszą nowzoną krwęź przozmy o nstępno wrzołk. Pros tn jst kontynuowny opók jst jszz jkś nowzon krwęź. Gy wszystk krwęz wrzołk zostną zn, przszukwn wr o wrzołk, z któro wrzołk tn ył owzony pozostł (jśl są) nzn krwęz. Jśl tk krwęz n m znów omy sę o poprzno wrzołk. Prour t jst rkurnyjn, ztm przląn wrzołków jst kontynuown, opók wszystk wrzołk osąln z pozątkowo wrzołk n zostną owzon. Moż sę zrzyć, ż w wynku tk sormułowno przszukwn, n wszystk wrzołk w r zostną owzon. Wówzs nlży wyrć nowzony jszz wrzołk jko nowy wrzołk strtowy pros przszukwn kontynuowć o momntu owzn wszystk wrzołków ru. Alorytm przląn ru w łą zostł przstwony w T.. Oznzn przyjęt w tj prourz są nstępują: G rozwżny r; V wrzołk ru G; K wktor, w którym l kżo wrzołk przowywn jst normj o jo kolorz; zs zmnn, któr służy o onotown, w którym kroku lorytmu zostł owzony wrzołk; T p wktor, w którym l kżo wrzołk jst przowywny zs jo owzn;

5 Gry 5 Prour OwźDFS(u). K[u] SZARY. zs zs +. T p [u] zs 4. Dl kżo v L[u] wykonj Zj krwęź (u, v) 5. Jśl K[v] =BIAŁY to wykonj 6. P [v] u. OwzDFS(v). K[u] CZARNY 9. zs zs +. T k [u] zs T. 4: Prour OwźDFS. T k wktor, w którym l kżo wrzołk jst przowywny zs jo prztworzn; P wktor, w którj pmętny jst poprznk no wrzołk. Alorytm DFS rozpozyn sw złn o pokolorwn wszystk wrzołków ru G kolorm łym ustwnu poprznków no wrzołk v n wrtość NIL (ln lorytmu). Wrtość zmnnj zs ustwn jst n zro. Nstępn l kżo wrzołk w r wykonn jst prour OwźDFS jśl ny wrzołk jst ły. Prour OwźDFS rozpozyn sw złn o pokolorwn wrzołk ło n kolor szry. Zwększmy jo zs o jn w wrzołku, już szrym, wpsujmy zs owzn. Nstępn n są jo sąsz (ln 4). Jśl jkkolwk jo sąs n zostł jszz owzony (m kolor ły) to ustwny jst poprznk wrzołk v n swo roz u orz zostj wywołn prour rkurnyjn l wrzołk v. Gy przląn krwęz wzlęm u sę zkońzy, wykonywny jst ko w ln, z wrzołk u zostj pokolorowny n zrno, zs zostj zwększony o jn orz wpsny zostj zs prztworzn wrzołk u w wktorz T k. Przykł złn lorytmu zostł przstwony n Rys. l lsty sąsztw ru przstwono n Rys. 4 (A). W tj lś sąsztw wrzołk uporząkown są ltyzn, stą lorytm przszukwn wyznzył rzwo DFS tk jk pokzno n Rys. (krwęz zznzon zrwonym kolorm). Ntomst, jśl yśmy zmnl uporząkown wrzołków w lś sąsztw n przstwon n Rys. 5 (A), to otrzymlyśmy rzwo DFS przstwon n Rys. 5 (B). Możn ztm zuwżyć, ż wynk przszukwn w łą zlży o koljnoś przląn wrzołków (ln 5) w prourz DFS, tkż o koljnoś przląn sąsów (ln 4) w prourz OwźDFS. Mmo, ż uzyskmy różn rzw DFS, l różno uporząkown wrzołków koljnoś przląn sąsów, to n powouj to zzwyzj prolmów w późnjszy zstosown tk uzyskny rzw DFS (ją on zzwyzj równowżn rzultty l różny rzw DFS). N Rys. 4 (B) przstwono poprznków l kżo z wrzołków ru przstwono n Rys. (R). Korzystją z poprznków umszzony w zmnnj P możn poć prourę wypsująą njkrótszą śżkę z no wrzołk strtowo s (jśl yłoy klk, to l kżo wrzołk strtowo nlżłoy wywołć tę prourę osono) o nno

6 Gry 6,,,,,,, (A) (B) (C),,,,,,,, 4, 5, 4, 6, 5, 4, (D) (E) (F),,,,,,,,, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4,,,,,,9 (G) (H) (I),,,,,,,,, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4,,,9,,9,,9, (J) (K) (L),,,,,,,, 6, 5, 4,, 6, 5, 4,,4 6, 5, 4,5,,9,,9,,9, (M) (N) (O),,6,,,6,,,6,4 6, 5, 4,5,4 6, 5, 4,5,4 6, 5, 4,5,,9,,9,,9 (P) () (R),4 Rys. : Ilustrj złn lorytmu przszukwn ru w łą (DFS). W wrzołk są wpsn zsy owzn. Prwsz lz oznz zs owzn wrzołk, ru lz (po prznku) oznz zs prztworzn wrzołk. Krwęz zrwon rozpnją rzwo DFS n postw lsty poprznków P. Wrzołk szry oznz, ż zostł on wyrny o prztworzn l n wszysy jo sąsz zostl jszz owzn. Wrzołk zrny oznz, ż wszysy sąsz to wrzołk, zostl już owzn węj tn wrzołk n ęz rny po uwę w lorytm.

7 Gry nl nl nl nl nl nl nl nl nl nl (A) (B) Rys. 4: Dl Rys. : (A) Lst sąsztw, (B) poprzny przown w zmnnj P w wl zkońzn lorytmu. nl nl nl nl nl,,,4 (A) nl nl nl nl,,6 4,5 6,9 5, (B), Rys. 5: (A) Lst sąsztw z nnym uporząkownm wrzołków n lst l ru przstwono n Rys.. Dl tkj lsty sąsztw uzyskno nn rzwo przszukwń DFS (B).

8 Gry Prour WypszŚżkę(G, P, s, v). Jśl v = s to wykonj. wypsz s. w przwnym rz jśl P [v] =NIL to wykonj 4. wypsz N m śżk z s o v 5. w przwnym rz 6. WypszŚżkę(G, P, s, P [v]). wypsz v T. 5: Prour wypsują śżkę z wrzołk strtowo (s) o zno (v) w r (G). Wrzołk Uzyskn Czs Czs źrółowy olowy śżk T p [v] T k [v],,, 6,,, 4 5,,,, 5,,,,, 6,,,,,,,,,,,,, 9,,,, 4 T. 6: Wyznzn njkrótszy śżk przy pomoy proury WypszŚżkę orz zsy owzn wrzołków. wrzołk v w r G. Prourę tę przstwono w T. 5. W T. 6 zostły pokzn njkrótsz śżk zsy owzn, wzlęm wrzołk strtowo l przykłu przstwono n Rys.. 5. Przszukwn wszrz (n. rt-rst sr) Przszukwn w szrz jst jnym z njprostszy lorytmów przszukwn ru. Alorytm rozpozyn sw złn o ustlono wrzołk źrółowo s systmtyzn przlą wszystk krwęz wyozą z to wrzołk, oją okryt w tn sposó wrzołk, o koljk. Nstępn y wrzołk źrółowy n m już węj krwęz o zn, porny jst wrzołk z koljk prour t powtrz sę o pozątku, tk, jk y to yło wykonywn l wrzołk źrółowo ż o prztworzn w tn sposó wszystk wrzołków umszzony w kolj. Tn typ przszukwn ru rktryzuj sę tym, ż wrzołk w olłoś o źrół są przszukwn wzśnj nż wrzołk w olłoś wększj nż. Możmy ztm powzć, ż njprw przląn są wrzołk w olłoś, o wrzołk źrółowo, nstępn wrzołk w olłoś olonj o wrzołk źrółowo, t. Alorytm przląn ru wszrz (BFS) możmy opsć przy pomoy proury zmszzonj w T..

9 Gry 9 (A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) (J) Rys. 6: Ilustrj złn lorytmu przszukwn ru wszrz (BFS). W wrzołk są wpsn olłoś o wrzołk źrółowo (D[s]). Stn koljk, w poszzólny krok lorytmu, zostł przstwony ponżj kżo z rysunków. Krwęz zrwon rozpnją rzwo BFS. Wrzołk szry oznz, ż zostł on ony o koljk włu nj ęz prztwrzny w lu zn wszystk swo sąsów, którzy jszz n zostl owzn. Wrzołk zrny oznz, ż wszysy sąsz to wrzołk zostl już owzn (wrzołk zostł usunęty z koljk ).

10 Gry Prour BFS(G, s). Dl kżo v V wykonj. K[v] BIAŁY. D[v] 4. P [v] NIL 5. K[s] SZARY 6. D[s]. P [s] NIL. 9. DojDoKoljk(, s). Dopók wykonj. u UsuńZKoljk(). Dl kżo v L[u] wykonj Zj krwęź (u, v). Jśl K[v] =BIAŁY to wykonj 4. K[v] SZARY 5. D[v] D[v] + 6. P [v] u. DojDoKoljk(, v). K[u] CZARNY T. : Prour BFS. W lorytm zostły przyjęt nstępują oznzn: D wktor, w którym przowywn są l kżo wrzołk olłoś o wrzołk źrółowo s; koljk typu FIFO (lmnty są prztwrzn w tkj koljnoś w jkj sę pojwły); pozostł prmtry są poon jk przy ops proury przląn w łą (zoz T. ). Prour BFS rozpozyn sw złn o nn wrtoś pozątkowy swym prmtrom (ln ). Nstępn o koljk zostj ony wrzołk źrółowy s. W ln rozpozyn sę łówn pętl proury, któr ęz tk łuo wykonywn, opók koljk n ęz pust. Nstępn z tj koljk porny jst wrzołk u. Dl tk porno wrzołk sprwzn są wszysy jo sąsz L[u]. Jśl sąsn wrzołk v, n ył jszz zny (m kolor ły), to zostj pokolorowny n szro; zostj wpsn olłość o wrzołk źrółowo w D[v]; zostj wpsny poprznk l wrzołk v n sm kon wrzołk v tr o koljk typu FIFO (w kolj przowywn są wrzołk o kolorz szrym). Po prztworznu wszystk sąsów wrzołk u, wrzołk tn zostj pokolorowny n zrno tym smym n ęz już węj rny po uwę. W T. zostły pokzn njkrótsz śżk olłoś, wzlęm wrzołk strtowo l przykłu przstwono n Rys. 6. W T. 9 zostł pokzn wrtość poprznków l przykłu przstwono n Rys. 6 w wl zkońzn złn lorytmu.

11 Gry Wrzołk Njkrótsz Olłość źrółowy olowy śżk D[v],,,,,,,,,,,,,,,,, T. : Wyznzn njkrótszy śżk przy pomoy proury WypszŚżkę orz zsy owzn wrzołków. Wrzołk v P[v] NIL T. 9: Poprzny l rzw przszukwń BFS. 6 Prolm njkrótszj śżk Jno z postwowy znń zwązny z rm skrownym otyzy znjown njkrótszj śżk pomęzy wom wyrnym wrzołkm. Możn znlźć szr prktyzny prolmów, z znn onlzn njkrótszj śżk m oromn znzn. Możmy wyorzć so, ż musmy otrzć z mst A o mst B w sposó możlw njtńszy. Jśl złożymy, ż koszt przjzu jst zwązny z lośą przyty klomtrów, rzźą trnu (jśl pokonujmy wl wznsń to smoó spl węj plw), wlkośą opłt z pokonywn onk utostr, wlkośą ntężn ruu tp., to zn njtńszo przjzu możmy sprowzć o post ru skrowno. Wrzołk to ru, w tym wypku, rozrnzją onk pokonywnj trsy o stły koszt przjzu. Koszty t możn utożsmć z wm n krwęz, pomęzy poszzólnym wrzołkm. Ozywś jśl poptrzymy n tls smooowy, wzmy (złóżmy ntrywlny przypk), ż stnj rzo wl możlwoś pokonn ntrsująj ns trsy. Którą z n nlżłoy wyrć? W jk sposó? I zy sposó wyoru, ktyzn zwrntuj nm optymlny wyór? Szukją opowz n t pytn, zpoznmy sę z wom postwowym lorytmm, służąym o rozwązywn poony prolmów rowy: lorytmu Djkstry orz lorytm Wrsll. Prolm opsny powyżj możn prwłowo zmolowć n postw ru skrowno, z pętl krwęz wlokrotny, tk wę nsz rozwżn ęą otyzyć jyn rów, l który E V V. Funkję ω możn znowć z pomoą mrzy sąsztw W, tk ż W (, j) oznz wę połązn pomęzy wrzołkm v wrzołkm v j. Alorytmy poszukwn mnmlny w (zrówno Djkstry jk lorytm Wrsll), njprw przląją ro o łuoś, nstępn systmtyzn sprwzją orz to łuższ ro męzy wrzołkm. W zs złn, lorytmy t znjują ro o orz to mnjszy w, tk ż w wl zkońzn znmy njmnjsz w połązń.

12 Gry Prour Djkstr(G, W, s). Dl kżo v V wykonj. D[v]. P [v] NIL 4. D[s] 5. S 6. V. Dopók wokonj. u WyrzMn() 9. S S {u}. Dl kżo v L[u] wykonj Zj krwęź (u, v). Jśl D[u] + W (u, v) < D[v] to wykonj. D[v] D[v] + W (u, v). P [v] u 6. Alorytm Djkstry T. : Prour Djkstr. Prwszy z przstwny lorytmów znjuj w mnmln ró z wyrno wrzołk źrółowo s o wszystk nny wrzołków ru skrowno G. Alorytm złn Djkstry możmy opsć przy pomoy proury zmszzonj w T.. W lorytm przyjęto nstępują oznzn: W mrz sąsztw ru G; s wrzołk źrółowy, o któro zzynmy szukć njkrótszy śżk o pozostły wrzołków ru G; S zór zwrjąy wrzołk, l który w njkrótszy śżk z źrół s zostły już olzon; D wktor V lmntowy opowjąy loś wrzołków w r G, w którym przowywn są wrtoś oszowń w l njkrótszj śżk wyznzonj z wrzołk źrółowo s o no wrzołk v. Zps D[v] oznz, wrtość oszownj śżk w wrzołku v z wrzołk źrółowo s; koljk proryttow z oprją mnmum wzlęm wrtoś wktor D; L[u] lst sąsztw l wrzołk u. P wktor, w którj pmętny jst poprznk no wrzołk. Alorytm rozpozyn sw złn o przypsn w o wrtoś nskońzonj, kżmu wrzołkow nlżąmu o ru G, w wktorz D orz ustwn poprznków w lś P n wrtość NIL. Nstępn wrzołkow źrółowmu s w tly D nn jst wrtość zro. W ln nr 5 njlzujmy zór wrzołków S n zór pusty, w ln nr 6 ojmy wszystk wrzołk (łązn z źrółowym) o koljk proryttowj (z oprją mnmum wzlęm wrtoś oszowń w njkrótszj śżk zwrtj w wktorz D). W ln wykonywn, jst pętl tk łuo, opók koljk n jst pust. Prwszym krokm w tj pętl jst wyrn wrzołk u z koljk. Zps, WyrzMn() oznz

13 Gry (A) (B) (C) (D) (E) (F) Rys. : Ilustrj złn lorytmu Djkstry. Oszown njkrótszy śżk znjują sę w wrzołk. Czrn wrzołk nlżą o zoru S. Szry wrzołk oznz, ż wrzołk tn zostł wyrny o prztwrzn w nstępnym kroku lorytmu. Bł wrzołk nlżą o koljk proryttowj z oprją mnmum wzlęm wrtoś D. Krwęz zrwon wskzują wrtoś poprznków. W nl nl nl nl nl Rys. : Mrz sąsztw orz lst sąsztw rozwżno ru. wyrn wrzołk z koljk proryttowj. Z włsnoś, tjż koljk, wynk, ż zostn wyrny wrzołk o njmnjszj wz (njkrótszj śż, njmnjszj wrtoś) z wktor D, spośró wszystk wrzołków ęąy w tj kolj. Nstępn ojmy tk wyrny wrzołk u o zoru S (o oznz, ż w l tk wyrno wrzołk jst już mnmln) wrzołk tn n ęz już lj rozptrywny. Drum krokm tj pętl jst wylzn nowy wrtoś w (oszown njkrótszj śżk) w wktorz D, l kżo wrzołk nlżąo o lsty sąsztw wrzołk u orz wpsn poprznk l wrzołk v w lś P, jśl wrunk w ln jst spłnony. Rozwżny przykł, z mrz sąsztw lst sąsztw jst n n Rys.. Złóżmy, ż wrzołkm strtowym ęz wrzołk. Alorytm rozpozyn sw złn o przypsn wrtoś pozątkowy w ln 6. Wrzołk oznzon kolorm łym nlżą o koljk (zoz Rys.. Uw: l zwększn zytlnoś szrym kolorm oznzono wrzołk, któr w nym kroku lorytmu mją njmnjszą wrtość). Nstępn lorytm wyr z koljk wrzołk o njmnjszj wrtoś (ęz to, w tym przypku, wrz-

14 Gry 4 Nr trj D[] D[] D[] D[] D[] * 4* 4 * 4 9* 4 * T. : Zmn wrtoś oszowń njkrótszj śżk w wktorz D. Czrwonym kolorm orz wzką oznzono znlzon rozwązn (zostł znlzon njkrótsz śżk z wrzołk źrółowo o rozptrywno wrzołk). Kolorm nskm oznzono t wrzołk, któr nlżą o zoru S jko wrzołk, l który znlzono już optymln rozwązn (są to wrzołk pokolorown n zrno zoz Rys. ). Wrzołk Njkrótsz Oszown źrółowy olowy śżk śżk, 4,,,,, 9,,,, T. : Wyznzn njkrótszj śżk jj oszown z wrzołk źrółowo o olowo. ołk strtowy ) oj o o zoru S (n rysunku (B) oznzony jst kolorm zrnym). Nstępn lorytm przlą, l tk wyrno wrzołk, zy przozą przz lstę swo sąsów, możn znlźć krótszą roę o on znlzonj (ktuln oszown ro jst zpsn w wktorz D n Rys. oszown to jst wpsn w wrzołk). Przląją sąsów wrzołk źrółowo (wrzołk ) uktulnmy oszown ro l ty wrzołków, yż w ty wrzołk wrtoś oszowń yły nskońzon, ztm wrunk w ln zostł spłnony. Pojwły sę wrtoś 4 opowno l wrzołk, orz lst poprznków wskzuj n wrzołk źrółowy (krwęz zrwon n rysunku (B)). Nstępn lorytm rozpozyn łówną pętlę o now, wyrją z koljk wrzołk o njmnjszj wrtoś ęz to wrzołk. Prour t powtrz sę tryjn l kżo wrzołk, z kżym rzm wyrją wrzołk o njmnjszj wrtoś oszown ro z wrzołk źrółowo. Prz ło lorytmu zostł zlustrowny n Rys.. W T. zostł pokzn zmn wrtoś oszowń njkrótszj śżk w wktorz D l poszzólny trj lorytmu. Możn tkż zuwżyć n postw tj tl, ż wrtoś umszzon w wktorz D stnową ą nrosnąy. W T. zostły pokzn njkrótsz uzyskn śżk oszown, wzlęm wrzołk źrółowo. W T. zostł pokzn wrtość poprznków l przykłu przstwono n Rys. w wl zkońzn złn lorytmu.

15 Gry 5 Wrzołk v P[v] NIL T. : Poprzny l rzw przszukwń BFS. Prour Wrsll(W ). Dl kżo v, u V wykonj. P (v, u) NIL. D(v, u) W (v, u) 4. S 5. V 6. Dopók wokonj. k WyrzMn(). S S {k} 9. Dl kżo v, u V wykonj. Jśl D(v, k) + W (k, u) < D(v, u) to wykonj. D(v, u) D(v, k) + D(k, u). P (v, u) k 6. Alorytm Wrsll T. 4: Prour Wrsll. Alorytm Djkstry znjuj w ró mnmlny prowząy z no wrzołk. Ay znlźć mnmln ro l wszystk pr wrzołków możn po prostu wykonć tn lorytm n rzy, wyrją z kżym rzm nny wrzołk strtowy. Istnj jnk nny lorytm, który j w wynku wszystk możlw ro o njmnjszj wz, przy tym jst rzo łtwy o zprormown. Prolm opsny przy pomoy lorytmu Wrsll możn prwłowo zmolowć n postw ru skrowno, z pętl krwęz wlokrotny, tk wę nsz rozwżn ęą otyzyć jyn rów, l który E V V. Funkję ω możn znowć z pomoą mrzy sąsztw W, tk ż W (u, v) oznz wę połązn pomęzy wrzołkm u wrzołkm v, u = v W (u, v) =, n m krwęz męzy u v; w uv, stnj krwęź męzy u v o wz w uv Poon jk lorytm Djkstry, lorytm Wrsll, przlą krwęz ru szukją njkrótszj ro przoząj przz wrzołk v, k, u, l ktuln porno wrzołk k z koljk o njmnjszj wrtoś. Alorytm tn opr sę n tryjny prztwrznu mrzy w oszowń njkrótszy śżk D orz systmtyznym umszznu owzony wrzołków w zorz S. Pozątkowo mrzy D zostj przypsn wrtość mrz sąsztw W, mrz P przowują poprznków wrzołków v u jst wypłnon wrtośą pustą (NIL). Rszt lorytmu prz w poony sposó jk mło to mjs w przypku lorytmu Djkstry.

16 Gry 6 Prour WrsllM(W ). D W. n rozmr(w). Dl k = o n wykonj 4. Dl v = o n wykonj 5. Dl u = o n wykonj 6. Jśl D(v, k) + W (k, u) < D(v, u) to wykonj. D(v, u) D(v, k) + D(k, u) T. 5: Prour WrsllM wrsj mrzow. W nl nl nl nl nl Rys. 9: Mrz sąsztw orz lst sąsztw rozwżno ru. Alorytm złn Wrsll możmy opsć przy pomoy proury zmszzonj w T. 4 lu możmy o zpsć w rzo prostj orm mrzowj pokznj w T. 5. Rozwżny przykł, z mrz sąsztw lst sąsztw jst n n Rys.. Ssj olznow lorytmu Wrsll l tko ru skrowno, przstw sę w post koljny moykj mrzy w: D = D = , D =, D 4 = , D =, D 5 = Przślzmy ssję olznową l śżk pomęzy wrzołkm (wrsz, kolumn w mrzy sąsztw D, =,,..., k, z k = n). Pozątkowo wzmy ż w tj śżk jst równ, o oznz, ż n tym tp lorytmu (k=) n stnj śżk męzy tym wrzołkm (D ). W kroku k = nl n sę n zmn, opro w rum kroku k = w mrzy sąsztw pojw sę połązn męzy wrzołkm. W krok 4 n sę n zmn l to połązn. Dopro w kroku 5 pojw sę lpsz połązn męzy tym wrzołkm o wrtoś. Dl porównn uzyskny wynków, proszę porównć wynk jk uzyskno l to smo ru w przypku lorytmu Djkstry (zoz T. )..

17 Gry Ltrtur [] L. Bnowsk n. Alorytmy struktury ny; WNT, 996. [] T. H. Cormn n. Wprowzn o lorytmów, WNT, [] A. Drozk Struktury ny w jzyku C, WNT, 996 [4] D. E. Knut Sztuk prormown, WNT, [5] R. Swk Alorytmy w C++, Wywntwo RM, 999 [6] P. Wrólwsk, Alorytmy, struktury ny tnk prormown, HELION, 996 [] N. Wrt, Alorytmy + struktury ny = prormy, WNT,