Konspekt. Piotr Chołda 10 stycznia Modelowanie niezawodności systemów złożonych

Transkrypt

1 Konspekt Piotr Chołda 0 stycznia 207 Modelowanie niezawodności systemów złożonych. Obiekty naprawialne. Czas (do) wystąpienia uszkodzenia (time to failure, T TF ), prawdopodobieństwo przeżycia (probability of survival), średni czas (do) wystąpienia uszkodzenia (MTTF ), warunki zachodzenia równości MTTF = MTFF. 2. Modelowanie czasu naprawy, czas (do) naprawy (time to repair/recover[y], T TR ), funkcje rozkładu oraz gęstości prawdopodobieństwa T TR (maintainability function M(t); m(t)), średni czas naprawy/wznowienia pracy (MTTR), intensywność naprawy ([instantaneous] repair rate, µ(t)). 3. Proces odnowy (renewal process), czasy definiowane na potrzeby badania niezawodności odniesione do procesu odnowy. Czasy między dwoma zdarzeniami (inter-event times): T FF : czas (do) wystąpienia pierwszego uszkodzenia; T BF : czas między kolejnymi uszkodzeniami (time between failures), średni czas między kolejnymi uszkodeniami (MTBF ); T U : czas poprawnej pracy (up time); T U : czas przestoju (downtime). Czasy rekurencyjne mierzone w przód (forward recurrence times): T TF : czas (do) wystąpienia (kolejnego) uszkodzenia, T TR : czas (do) naprawy. Czasy rekurencyjne mierzone wstecz (backward recurrence times): czas od poprzedniego uszkodzenia (time from previous failure); czas od poprzedniej naprawy (time from previous repair). 4. Gotowość/dyspozycyjność (availability): natychmiastowa/chwilowa (instantaneous/pointwise), A(t), oraz jej związek z funkcją niezawodności; przedziałowa (interval/mean), A (t, t 2 ); asymptotyczna/stacjonarna (asymptotic/steady-state), A; związek gotowości i różnych czasów między dwoma MUT zdarzeniami (podstawowa zależność: A = MUT +MDT ); niegotowość (unavailiability, U); pojęcie k dziewiątek (k-nines availability). Strona

2 .2 Modelowanie niezawodności systemów złożonych 5. Modele kombinatoryczne: diagramy blokowe niezawodności (RBD, reliability block diagram[s]): założenia dotyczące stosowalności; układ szeregowy (series system), prawo Lussera, wzór uproszczony, niezawodność układu szeregowego złożonego z elementów charakteryzujących się rozkładami wykładniczymi; układ równoległy (parallel system), utrata bezpamięciowości dla elementów charakteryzujących się rozkładami wykładniczymi; metody obliczania niezawodności/gotowości układów złożonych: rozkład na układy szeregowe i równoległe, metoda enumeracyjna, dekompozycja Moskovitza; układ r-z-n (k-out-of-n). 6. Badanie istotności/ważności elementów niezawodnościowych układów (wrażliwość systemów): miara istotności Birnbauma (Birnbaum s importance). 7. Modele z przestrzenią stanów: modele markowowskie podstawowe definicje, modele systemów nienaprawialnych i naprawialnych..3 Zadania. Proszę zaznaczyć na rysunku (a) obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które charakteryzują się wartością niegotowości U = 0,2. Jednostki na obu osiach proszę ustalić samodzielnie. 2. Proszę zaznaczyć na rysunku (a) obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania wartości gotowości większej niż 0,9. Jednostki na obu osiach proszę ustalić samodzielnie. 3. Na rysunku (b) zaznaczono na szaro obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania wartości gotowości A a. Proszę zaznaczyć na tym rysunku obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania spełnienia obu warunków: (a) czasów przestojów nie dłuższych niż 7 godz., (b) gotowość A a Na rysunku (c) zaznaczono na szaro obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania wartości gotowości A a 2. Proszę zaznaczyć na tym rysunku obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania spełnienia obu warunków: (a) przerw w poprawnej pracy nie częstszych niż co 7 godz., (b) gotowość A 2a Na rysunku (d) zaznaczono na szaro obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania wartości gotowości A a 3. Proszę zaznaczyć na tym rysunku obszar dopuszczalnych wartości (MDT, MUT ) dla systemów, które wymagają do poprawnego działania spełnienia obu warunków: (a) przerw w poprawnej pracy nie częstszych niż co 7 godz., (b) gotowość A a3 2. Strona 2

3 MUT [godz.] MUT [mies.] A a (a) Wykres uniwersalny. (b) Wymagania dla pewnego systemu. MUT [godz.] MUT [godz.] A a 2 A a 3 (c) Wymagania dla pewnego systemu. 0,0 (d) Wymagania dla pewnego systemu. Rysunek : Wykresy wzajemnych zależności średnich czasów poprawnej pracy i średnich czasów niezdatności/przestojów. Proszę zwrócić uwagę na jednostki (można przyjąć, że miesiąc ma 30 dni). Strona 3

4 Rysunek 2: Przykładowy schemat niezawodnościowy z pięcioma elementami do zadania System składa się 80 niezależnych elementów o jednakowej gotowości, z których każdy jest niezbędny do poprawnego działania. Jaka co najmniej powinna być gotowość każdego z elementów, aby gotowość systemu nie była mniejsza niż 0,94? 7. System składa się z trzech identycznych i niezależnych elementów niezbędnych na raz do jego działania. Stwierdzono, że jego gotowość jest zbyt mała i postanowiono zdublować każdy z elementów (tj. zastąpić każdy element modułem o strukturze równoległej z dwoma identycznymi elementami), wtedy gotowość całego systemu będzie nie mniejsza niż 0,97. Proszę znaleźć wartość graniczną gotowości pojedynczego elementu. 8. Do poprawnego działania pewnego urządzenie wymagana jest współpraca 2000 elementów nienadmiarowych, z których każdy charakteryzuje się przybliżoną intensywnością uszkodzeń 0,4 0 5 godz.. Jaki jest oczekiwany czas zdatności tego urządzenia (tj. średni czas do wystąpienia jego pierwszego uszkodzenia)? 9. Proszę znaleźć funkcję intensywności uszkodzeń systemu złożonego z pięciu elementów składowych, którego diagram niezawodnościowy przedstawiono na rys. 2. Za pomocą oznaczono pojedynczy element składowy. Wiemy, że czas zdatności każdego z obiektów składowych rozpatrywanego oddzielnie jest modelowany wykładniczo z intensywnością λ. Obiekty składowe uszkadzają się niezależnie od siebie. 0. Pewne połączenie telekomunikacyjne można zamodelować jako system składający się z pięciu elementów o gotowościach odpowiednio: A dla pierwszego, B dla drugiego, C dla trzeciego, D dla czwartego oraz E dla piątego elementu. Proszę przedstawić blokowy diagram niezawodności tego systemu (tj. diagram obrazujący jego strukturę z punktu widzenia niezawodności), jeśli przy założeniu o niezależności elementów gotowość całego tego systemu można zapisać jako: [ ( A) ( B)] [ ( C) ( D)] E. Pewien system jest złożony z pięciu elementów składowych o gotowościach odpowiednio: A, B, C, D oraz E. Proszę przedstawić blokowy diagram niezawodności, obrazujący jego strukturę z punktu widzenia niezawodności, Strona 4

5 0,9 0,8 0,9 0,8 Rysunek 3: Przykładowy schemat niezawodnościowy układu do zadania 2. jeśli przy założeniu niezależności elementów gotowość całego tego systemu można zapisać jako: ( A) [ ( BC) ( DE)]+A [ ( B) ( D)] [ ( C) ( E)] 2. Pewien układ charakteryzuje się strukturą niezawodnościową przedstawioną za pomocą diagramu blokowego podanego na rys. 3 (w blokach podano gotowość). Wiadomo, że w ramach budżetu na poprawę niezawodności można poprawić gotowość każdego elementu o 0,4589, ale można to zrobić tylko dla jednego elementu. Proszę określić, który element najlepiej byłoby zmodernizować..4 Lektury.4. Materiał wykładu Zagadnienia omówione w ramach tego wykładu są w dużym stopniu opisane w następującej książce: Kishor S. Trivedi. Probability and Statistics with Reliability, Queuing, and Computer Science Applications. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 200: chapter 3.7, 3.8, 4.6, , , 8., Lektura obowiązkowa Lektura obowiązkowa związana z niniejszym wykładem: Mohamed Al-Kuwaiti, Nicholas Kyriakopoulos, and Sayed Hussein. A Comparative Analysis of Network Dependability, Fault-tolerance, Reliability, Security, and Survivability. IEEE Communications Surveys & Tutorials, (2):06 24, April/June Na podstawie lektury należy sobie przede wszystkim opracować następujące zagadnienia: wzajemnie związane pojęcia oraz ich związki: dostępność (accessibility), częściowa degradacja (graceful degradation), niezawodność w szerokim rozumieniu (dependability), odporność na uszkodzenia (fault-tolerance), niezawodność (reliability), gotowość (availability), bezpieczeństwo (security), przeżywalność (survivability) funkcja niezawodności R(t) (reliability function) funkcja intensywności uszkodzeń (failure rate function) ocena ryzyka..4.3 Bibliografia uzupełniająca Dobiesław Bobrowski. Modele i metody matematyczne teorii niezawodności w przykładach i zadaniach. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, War- Strona 5

6 szawa, Poland, 985: zbiór zadań z teorii niezawodności (każdy rozdział jest uzupełniony powtórką teorii). Manish Malhotra and Kishor S. Trivedi. Power-Hierarchy of Dependability- Model Types. IEEE Transactions on Reliability, 43(3): , September 994: przegląd różnych metod modelowania niezawodności. Jogesh K. Muppala, Manish Malhotra, and Kishor S. Trivedi. Markov Dependability Models of Complex Systems: Analysis Techniques. In S. Özekici, editor, Reliability and Maintenance of Complex Systems, chapter 0, pages Springer-Verlag, Berlin, Germany, 996: modelowanie niezawodności za pomocą procesów markowowskich. Jogesh K. Muppala, Ricardo M. Fricks, and Kishor S. Trivedi. Techniques for System Dependability Evaluation. In W. Grassman, editor, Computational Probability. Vol. 24 of Operations Research and Management Science, chapter 2, pages Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000: definicje i modelowanie niezawodności. Martin L. Shooman. Reliability of Computer Systems and Networks: Fault Tolerance, Analysis, and Design. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, 2002: modelowanie niezawodności w sieciach i systemach komputerowych. Michael Todinov. Reliability and Risk Models: Setting Reliability Requirements. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, UK, 2005: definicje i modelowanie niezawodności. Strona 6