IMPLEMENTACJA MES MODELI KONSTYTUTYWNYCH HIPERSPRĘŻYSTYCH MATERIAŁÓW ZBROJONYCH WŁÓKNAMI

Transkrypt

1 IPLEENACJA ES ODELI KONSYUYWNYCH HIPERSPRĘŻYSYCH AERIAŁÓW BROJONYCH WŁÓKNAI arcin Gajewski*, Stanisław Jemił**. Wstęp agadnienia związane z mdelwaniem knstytutywnym hipersprężystych materiałów aniztrpwych są statni craz częściej rzpatrywane, np. w mechanice kmpzytów elastmerwych matrycach, bimechanice miękkich tkanek raz terii sprężystplastycznści dwlnych defrmacji, pr. [,6,7]. Sfrmułwanie mdeli materiałów aniztrpwych, z zastswaniem terii reprezentacji funkcji tensrwych [3], prwadzi d relacji knstytutywnych, w których prócz tensrów parametrycznych występuje znaczna liczba stałych materiałwych. Stwarza t znaczne trudnści przy ich interpretacji i wyznaczaniu na pdstawie, z reguły niekmpletnych, wyników badań dświadczalnych, patrz np. [6]. Wbec teg celem pracy jest zaprpnwanie i implementacja numeryczna w prgramie ABAQUS [,], najprstszych mdeli hipersprężystych materiałów transwersalnie iztrpwych. Analizwane mdele mgą być interpretwane jak dwuskładnikwy kmpzyt, w którym iztrpwa matryca jest zbrjna jedną rdziną włókien. Punktem wyjścia prpnwanych mdeli jest załżenie addytywnej dekmpzycji funkcji jednstkwej energii sprężystści (JES) na dwie części, z których jedna pisuje energię nagrmadzną w matrycy, a druga energię rdziny włókien. Wyznaczenie danych materiałwych w takim przypadku sprwadza się m.in. d kreślenia stałych sprężystści części składwych kmpzytu i ich udziałów bjętściwych. *) arcin Gajewski, gr inż., Plitechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądwej, Instytut echaniki Knstrukcji Inżynierskich, Al. Armii Ludwej, 6, -637, Warszawa, Plska. el.: , Fax: , m.gajewski@il.pw.edu.pl. **) Stanisław Jemił, Prf. nzw. dr hab. inż., Plitechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądwej, Instytut echaniki Knstrukcji Inżynierskich, Al. Armii Ludwej, 6, -637, Warszawa, Plska. el.: , Fax: , s.jemil@il.pw.edu.pl..

2 . Prpzycja mdeli knstytutywnych hipersprężystych materiałów zbrjnych włóknami.. ależnści pdstawwe zasady zachwania energii mechanicznej raz zasady zachwania pędu, mmentu pędu i masy, trzymuje się następujące zależnści na pchdną materialną funkcji JES: W& = Jσ. D = τ. D= SF.& = E.&, () gdzie σ, τ, S i, są dpwiedni tensrami naprężenia Cauchy eg, Kirchhffa raz I i II tensrem naprężenia Pili-Kirchhffa. Pnadt w () J znacza wyznacznik tensra gradientu defrmacji F, D jest tensrem prędkści defrmacji, a tensr E jest tensrem dkształcenia Lagrange a (krpka w () znacza ilczyn skalarny tensrów). lkalneg sfrmułwania zasady zachwania energii mechanicznej (), dla dstatecznie regularneg ptencjału jednstkwej energii sprężystej W F,X, wynika, że S ( F, X) ( ) W = F ( F, X), () gdzie X jest wektrem kreślającym płżenie cząstki w ciele (w knfiguracji dniesienia, która w tej pracy jest knfiguracją naturalną). Wart przypmnieć, że między I i II tensrem naprężenia Pili Kirchhffa raz tensrem naprężenia Cauchy eg zachdzą następujące tżsamści: S = F, J σ = SF. ensry S i σ występują dpwiedni w równaniach równwagi w knfiguracji dniesienia i w knfiguracji aktualnej. zasady biektywnści i danej w knfiguracji pczątkwej symetrii materiału, kreślnej P, wynika że funkcja JES nie mże być przez zbiór tensrów parametrycznych { } i bezpśredni zależna d tensra F, jak i d wektra X, pr. [6]. Spełnienie zasady biektywnści i wymagania symetrii, wymusza rzpatrywanie JES jak funkcji zależnej d nieredukwalnych niezmienników: dwlneg, biektywneg pla tensra dkształcenia (np. E ) lub pla tensra defrmacji (np. C= F F, B= FF ) i pól tensrów parametrycznych. Wbec pwyższych uwag mżna rzpatrywać funkcje JES, np. w pstaci: W = W % ( BP) =Ψ( I ) ; i =,.., I, (3), i i gdzie { I i } jest zbirem niezmienników bazy funkcji JES. ()-(3) wynika relacja knstytutywna między tensrem Kirchhffa τ = Jσ = SF i tensrem defrmacji Cauchy'eg- Greena B. eg typu relacje knstytutywne są wygdne d implementacji w prgramie ES ABAQUS. Szczegółwą analizę wymagań stawianych funkcji JES mżna znaleźć np. w pracach [5,6]. Pruszane są tam zagadnienia dtyczące wymagań: wypukłści, pliwypukłści, quasiwypukłści i wypukłści pierwszeg rzędu. Wymagania te zapewniają m.in. istnienie rzwiązań dpwiednich zagadnień brzegwych hipersprężystści, pr. [5] i literaturę tam cytwaną.

3 .. Prpzycje funkcji JES kmpzytu iztrpwej matrycy ze zbrjeniem jedną rdziną włókien delwany kmpzyt składa się z iztrpwej matrycy i włókien, udziale bjętściwym p [,), ułżnych zgdnie z plem m ( X). akłada się pełną przyczepnść między włóknami a matrycą. Ddatkw przyjmuje się, że włókna pracują jednwymiarw, tzn. tylk wzdłuż wektra m. najmść pla wektrweg m pzwala zdefiniwać ple tensrwe = m m, w którym tensr jest interpretwany jak tensr parametryczny w (3). akładamy, że JES kmpzytu składa się z dwóch części, których udział jest prprcjnalny d udziału bjętściweg i ma pstać: ( p) Ψ = Ψ + pψ, () gdzie Ψ jest funkcją JES matrycy i zależy tylk d niezmienników iztrpwych tensra B, natmiast Ψ jest funkcją JES włókien: gdzie I = trˆ, raz E ( I ) Ψ =, (5) ˆ = FF. (6) Parametr E z ma interpretację pczątkweg mdułu Yunga rdziny włókien. Funkcja JES materiału matrycy pisana zstanie przy pmcy dwóch znanych w literaturze mdeli hipersprężystych materiałów ściśliwych: ne-hke a (NH) i Ciarleta (C), pr. [5]. W przypadku mdelu NH funkcja JES ma pstać: µ CNH ( I 3) λ ( J ) λ Ψ = + µ + lnj, (7) gdzie I = trb, zaś µ i λ znaczają stałe sprężystści (identyczne jak w związku Hke a terii liniwej sprężystści). Na rys. przedstawin wykresy warstwicwe funkcji JES kreślnej wzrem () z uwzględnieniem (5) i (7) (w zależnści d wydłużeń głównych λ i λ (przy załżeniu płaskieg stanu dkształcenia λ 3 = (PSO)), w przypadku materiału iztrpweg (linie przerywane) raz materiału kmpzytweg (tj. p =.) i różnych stsunkach mdułu Yunga włókien zbrjenia i matrycy (linie ciągłe). Na rys. włókna zbrjenia mają kierunek zgdny z λ. W przypadku defrmacji jednrdnych PSO mamy S α = W / λ α ( α =, ), czyli gradient funkcji JES definiuje stan naprężenia. Na rys.b wyraźnie zauważalna jest silna aniztrpia materiału. Kierunek wyróżniny materiału zmienia się zgdnie z (6), c jest charakterystyczne dla terii nieliniwej. CNH Pnieważ ptencjał Ψ w przypadku materiału NH nie jest funkcją pliwypukłą, pr. [5], t także ptencjał materiału kmpzytweg (KNH) wg ()-(7) nie jest funkcją pliwypukłą. Wbec teg rzpatrujemy także funkcję JES materiału matrycy w pstaci:

4 µ f I f I f λ + µ ln J λ µ ( f ), ( 3) ( )(% 3) λ µ ( ) J C Ψ = (8) która wynika z zastswania mdelu C. We wzrze (8) występuje niezmiennik: I % = tr ( cfb ), zaś pzstałe znaczenia są identyczne jak w (7). Funkcja (8) jest pliwypukła i spełnia dpwiednie warunki wzrstu ptencjału sprężystści gdy: µ >, f (,) i ( ) λ > µ f, patrz [5]. del materiału kmpzytweg (KC) trzymamy pdstawiając (5) i (8) d (). a) b) Rys.. Wykresy warstwicwe JES w przypadku PSO w funkcji wydłużeń głównych λ i λ. ateriał iztrpwy NH (linie przerywane), kmpzyt KNH matrycy iztrpwej ( µ = E, λ =.6 E ) zbrjnej rdziną włókien ułżnych w kierunku, udziale bjętściwym p =. (linie ciągłe): a) E E =, b) E E = Fig.. Cntur plts f stred energy functin fr plane strain case as a functin f main elngatin λ and λ. Istrpic material NH (dashed lines), cmpsite KNH with istrpic matrix ( µ = E, λ =.6 E ) reinfrced with fibers family set in directin, f vlume rati p =. (slid lines): a) E E =, b) E E = 3. Implementacja numeryczna w prgramie ES ABAQUS dele materiałów transwersalnie iztrpwych przedstawine w pkt. zaimplementwan w prgramie metdy elementów skńcznych ABAQUS. W tym celu zaprgramwan w języku FORRAN tzw. prcedurę materiałwą UA, pr. []. Oprócz związków knstytutywnych mdeli KNH i KC, niezbędna jest również znajmść pstaci styczneg peratra czwarteg rzędu w związku przyrstwym: τ = C.D, ()

5 gdzie symbl. znacza pełne nasunięcie tensrów. Symblem znaczn pchdną Jaumana, pr. np. []. Spsób wyznaczenia peratra w związku () pkażemy na przykładzie mdelu KNH. Funkcja JES w pstaci (), przy uwzględnieniu (5) i (7), jest funkcją trzech niezmienników, czyli: Ψ Ψ Ψ Ψ= & I& + J& + I&, () I J I gdzie Ψ µ Ψ λ = ( λ p), = ( p) J + µ I J J, Ψ = pe ( I ). () I klei pchdne materialne niezmienników I, J i I wynszą dpwiedni: I & = BD., J& = J trd, I& ˆ (3) = D. P pdstawieniu () i (3) d () i uwzględnieniu zależnści (), wyznaczamy relację knstytutywną mdelu KNH: ( p) λ λ τ = µ J µ pe ( ) ˆ B+ + I I. () Następnie bliczamy pchdną Jaumana tensra naprężenia Kirchhffa, prawstrnne wyłączamy z trzymaneg wyrażenia tensr D i w wyniku trzymujemy peratr czwarteg rzędu: C= ( p) µ ( I B+ B I) + λj I I + (5) + pe ˆ ˆ + pe I ˆ I+ I ˆ. ( )( ) W przypadku mdelu KC pstępujemy pdbnie. Relacja knstytutywna mdelu KC ma następującą pstać: τ = p fµ B+ p µ f I B B + Natmiast w () mamy: ( ) ( ) ( )( ) λ λ + ( p) µ ( ) f J µ pe ( ) ˆ + I I. (6) C= ( p) µ ( f I( f ))( ) ( p) µ ( f ) + I B+ B I + B B ( p) µ ( f )( ) ( p) µ ( f ) I B + B I B B+ λ ( p) ( f ) J pe ˆ ˆ ( )( ˆ ˆ µ I I pe I I I ) (7) Pprawnść implementacji mdeli: KNH i KC w prgramie ABAQUS sprawdzn testami numerycznymi dla jednrdnych pól stanu naprężenia i dkształcenia. W tych przypadkach rzwiązania analityczne zadań wynikają z relacji knstytutywnych () i (6).

6 Stsując zaprgramwaną prcedurę UA trzymywan wyniki numeryczne z dkładnścią c najmniej d czterech cyfr znaczących w prównaniu d wyników rzwiązań analitycznych.. Przykład numeryczny adanie dtyczy dwukierunkweg rzciągania hipersprężystej, kwadratwej tarczy (PSO) z twrem kłwym, w której zadane jest następujące ple tensra parametryczneg: m X XX ( X) = ( X b + X b ) ( X) X + X. (8) X + X XX X W knsekwencji (8) tensry sztywnści mdeli materiałów transwersalnie iztrpwych KNH i KC (dpwiedni (5) i (7)) są zależne d zmiennej Lagrange a X. Oznacza t, że tarcza zbrjna jest włóknami ułżnymi jak na rys.a. Wbec teg materiał tarczy jest niejednrdny. Pszukujemy rzwiązania zadania symetriach pkazanych na rys.a, czyli rzwiązujemy tylk jedną czwartą tarczy, z siatką ES jak na rys.b. Przyjęt następujące wymiary tarczy: OA = AB = OC = CD =[jd] (jd znacza jednstkę długści), czyli =[jd]. R a) b) Rys.. a) Gemetria, warunki brzegwe raz spsób ułżenia włókien zbrjenia, b) Siatka ES Fig.. a) Gemetry, bundary cnditins and fibers reinfrcement arrangement, b) FE mesh Na brzegu AB i CD przyjęt warunki symetrii dpwiedni w pstaci: u = i u =. Na brzegu AC załżn zerwe naprężeniwe warunki brzegwe. Obciążenie tarczy jest realizwane na brzegu BF i DF przez przemieszczeniwe warunki brzegwe, które dpwiedni mają pstać: =[jd] i u =[jd]. u Pdstawwym celem teg przykładu jest prównanie rzwiązań zadania w przypadku hipersprężysteg materiału iztrpweg i zaimplementwanych mdeli hipersprężystych materiałów zbrjnych włóknami. W analizwanym przykładzie przyjęt następujące dane materiałwe: p =.5, µ =. E, λ =.5 E, E =6 E (mdel KNH), gdzie E jest pczątkwym mdułem Yunga materiału matrycy. Ddatkw w przypadku mdelu materiału KC przyjęt f =.,

7 pr. (8). Przykładwe wyniki, dtyczące mdelu KC, w prównaniu d mdelu jednrdneg materiału iztrpweg pkazan na rys.3. Na wykresach naprężeń głównych widczne są isttne, jakściwe i ilściwe różnice wyników w knfiguracji aktualnej, między rzwiązaniami dla materiału iztrpweg i aniztrpweg. Pnieważ rzpatrywane w teście defrmacje nie były bardz duże z punktu widzenia terii hipersprężystści, t różnice wyników między mdelami KC i KNH były pmijalnie małe. a) b) Rys. 3. Wykresy warstwicwe maksymalneg i minimalneg naprężenia główneg w płaszczyźnie PSO w przypadku: a) materiału iztrpweg C, b) materiału zbrjneg włóknami bwdw KC Fig. 3. Cntur plts in plane strain plane f maximal and minimal main stresses fr: a) istrpic material C, b) material KC with circular reinfrcement. Pdsumwanie W pracy zaprpnwan stsunkw prstą klasę mdeli knstytutywnych hipersprężystści dla niejednrdnych materiałów transwersalnie iztrpwych, interpretacji materiałów kmpzytwych z iztrpwą matrycą zbrjną ciągłymi włóknami. Przyjęt załżenie addytywnej dekmpzycji funkcji jednstkwej energii sprężystści, w pstaci (). aprpnwana klasa mdeli sprwadza się, w aprksymacji d terii liniwej, d klasyczneg mdelu kmpzytu włóknisteg, w którym przyjmuje się pełną przyczepnść

8 włókien d matrycy raz wprwadza załżenie jednwymiarwej dkształcalnści włókien. Pdan dwa przykłady teg typu mdeli hipersprężystści i zaimplementwan je w prgramie ES ABAQUS. aprgramwan tzw. prcedurę użytkwnika UA. aprpnwan testy numeryczne sprawdzające pprawnść implementacji. Literatura [] ABAQUS hery manual, Versin 6..,, Hibbitt, Karlssn and Srensen, Inc., Pawtucket. [] ABAQUS/Standard User s manual, Versin 6..,, Hibbitt, Karlssn and Srensen, Inc., Pawtucket. [3] Behler J.P. (ed): Applicatins f tensr functins in slid mechanics. CIS Curses and Lectures, n. 9, 987, Wien-New Yrk, Springer-Verlag. [] Bnet J., Burtn A.J.: A simple rthtrpic, transversely istrpic hyperelastic cnstitutive equatin fr large strain cmputatins, Cmput. ethds Appl. ech. Engrg., 6, 998, pp [5] Jemił S.: Studium hipersprężystych własnści materiałów iztrpwych. delwanie i implementacja numeryczna, Prace Naukwe, Budwnictw z.,, str. -38, OWPW. [6] Jemił S., elega J.J.: delling elastic behaviur f sft tissues, Part II. ransverse istrpy, Eng. rans., vl. 9, n. -3,, pp. -8. [7] Spencer A.J..: Defrmatins f fibre-reinfrced materials, 97, Oxfrd, Clarendn Press. FE IPLEENAION OF HYPERELASIC CONSIUIVE ODELS FOR AERIALS WIH FIBERS REINFORCEEN arcin Gajewski, Stanisław Jemił he main bjective f this article is prpsitin and FE implementatin in ABAQUS system a simplest class f hyperelastic cnstitutive mdels fr transversally istrpic nnhmgeneus materials. Used simplificatin is needed because there is n cmplete experimental data fr transversally istrpic materials fr large defrmatins. A key pint fr frmulatin f afrementined cnstitutive mdels is assumptin f additive decmpsitin f stred energy functin int tw parts: ne cnnected with istrpic matrix and the ther with the fibers family. Experimental data in such case can be determined in separate tests fr istrpic matrix and fr fibers family and cmbined via vlume rati parameter. w hyperelastic transversally istrpic mdels f nn-hmgeneus materials are prpsed and implemented in ABAQUS using UA subrutine written in FORRAN cde. Numerical prblem f bi-directinal elngatin f plane strain slab with circular hle and circular reinfrcement slved in this paper is treated as illustrative and benchmark task.