Materiały pomocnicze do wykładu: Podstawy Automatyki

Transkrypt

1 Mrił pomocicz do włd: Podw Aomi Oprcowł: doc. dr iż. Mr Żlz

2 Wprowdzi Niijz mrił pomocicz i owią modzilgo zępjącgo włd. Oprcowo j, b łwić dom łchi włdów, b wolić ich od przozi do włch o więzości rów i blic przowch podcz włd. Mrił owić będą ioą pomoc w przgoowi łchcz do ćwiczń, lbororiów i gzmi, jżli zpłio zoą włmi omi i omrzmi podcz włdów. Nlż bowim pmięć, ż włd zwir wil dodowch lmów i lo jgo włchi, połączo z możliwością dji i wjśii wąpliwości, dj gwrcję dobrgo opowi przdmio PODSAWY AUOMAYKI.

3 Spi rści: POJĘCIA PODSAWOWE OPIS MAEMAYCZNY UKŁADÓW LINIOWYCH...9. PODSAWOWE ELEMENY LINIOWE Złożi przczjąc Elm bzircj proporcjol Elm ircj pirwzgo rzęd Elm cłjąc Elm różiczjąc Elm oclcj Elm opóźijąc UKŁADANIE SCHEMAÓW BLOKOWYCH Zd bdow chmów bloowch Węzł iformcj i mcj Przzłci chmów bloowch Przłd łdi worzi chmów bloowch CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE rmicj widmow. Rodzj chrr częoliwościowch Logrmicz chrri mplidow i fzow lm ircjgo pirwzgo rzęd Chrr mplidowo-fzow orz logrmicz chrri mplidow i fzow lm różiczjącgo rzczwigo Chrr mplidowo-fzow orz logrmicz chrri mplidow i fzow lm drgigo rzęd Logrmicz chrri częoliwościow zrgowgo połączi lmów UKŁADY LINIOWE DYSKRENE IMPULSOWE Pojęci podwow OBIEKY REGULACJI I REGULAORY PRZEMYSŁOWE Dfiicj i lficj obiów Mod idficji Rglor PID Rglor miroprocorow Worzi rowiów PLC do rglcji Rglcj lb rowi w rbi of-corol WYMAGANIA SAWIANE UKŁADOM AUOMAYKI Sbilość

4 7.. Dołdość cz Jość dmicz DOBÓR RODZAJU I NASAW REGULAORÓW Wbór rodzj p rglor Dobór w rglor SRUKURY UKŁADÓW REGULACJI Uogólio rr jdoobwodow Rglcj dow Rglcj o Kdow rglcj o Ułd z pomociczą orcją dmiczą: Ułd zmięo-owr WŁAŚCIWOŚCI SAYCZNE I SABILNOŚĆ UKŁADÓW NIELINIOWYCH Rodzj lmów iliiowch. Chrri cz Sbilość łdów iliiowch MEODA PŁASZCZYZNY FAZOWEJ...5. MEODA FUNKCJI OPISUJĄCEJ Pojęci fcji opijącj Zoowi fcji opijącj do bdi bilości łdów iliiowch REGULACJA DWUPOŁOŻENIOWA REGULACJA RÓJPOŁOŻENIOWA Srr podwow Rglor roow ANALIZA PRZEKAŹNIKOWYCH UKŁADÓW SEROWANIA MEODĄ GRAFICZNĄ

5 . POJĘCIA PODSAWOWE Szroi zr zoowń omi zmz do żwi brdzo ogólch pojęć podwowch i rprzcji grficzj w poci chmów bloowch, ór o pojęci i chm mogą bć oow zrówo prz omwii zgdiń orczch j i plicji przmłowch, mdczch, wojowch lb w dowolj ij - omzowj - dzidzii dziłlości człowi. Kil zdiczch pojęć: Sgł - wilość fizcz wępjąc w proci rowi będąc ośiim iformcji. Iformcj - wrość lb zł przbig gł. Elm omi czło - podzpół, zpół, przrząd lb rządzi. w órm moż wróżić gł wjściow i gł wjściow - r., lb gł wjściow i wjściow - r. b. b m Ułd omi - zpół wzjmi powiązch lmów biorącch dził w rowi omczm dgo proc porządow zgodi z irim przzwi głów Srowi omcz - oddziłwi proc, órgo zmirzo przbig chcm zć bz dził człowi, z pomocą rządzń zwch ogóli prrą omi. Wróżi ię: rowi w łdzi owrm rowi w łdzi zmięm Ogól chm owrgo łd rowi przdwioo iżj: z z w U.S. O Nomlr: w - wrość zd wilości rowj - gł rjąc - wilość row z - gł złócjąc złóci 5

6 U.S. - rządzi rjąc O - obi proc podlgjąc rowi Zmię łd rowi, zw częo łdm z przężim zwrom, m ępjąc chm bloow: w - w- z U.S. or głów w O z przężi zwro gdzi: - odchł chb rowi or głów wzj zwz zdiczą wilość wjściową łd w m przpd w i wilość wjściową. or ilrj zwl przpłw główgo rmii mrił lb rgii w łdzi. or przężi zwrogo łż do przzwi iformcji. Zporzbowi rgcz go or j zwl pomiji mł. Z względ zdi rlizow przz łd wróżi ię: łd bilizjąc b łd progrmow c łd dąż d i grp zmięch łdów rowi, zwłzcz dwi pirwz, zw ię częo łdmi rglcji omczj. Pociąg o z obą zmię zwicw: - wilość rglow w - wrość zd wilości rglowj - odchł rglcji R - rglor zmi rządzi rjącgo O - obi rglcji proc rglow A. Ułd bilizjąc łd rglcji łowrościowj, wco. Zdim łd j rzmi możliwi łj, pożądj wrości wilości wjściowj orz miimlizcj wpłw złócń ę wilość. Częo głów złóci wchodzą wrz z rmiim mrił lb rgii obi, worząc or głów od z do. 6

7 z Schm bloow podwow: -w z - O R - w z Rprzcj rówowż: z O - Z rgł rozprj ię przbigi woół omilgo p prc opzczjąc mbol " " R Przłd: rglcj ciśii, poziom cicz, ężi przpłw, ph id. B. Ułd progrmow rglcji progrmowj, rowi progrmowgo, ww. Zdim łd j zi przwidzich orślom progrmm czowm zmi wilości rglowj rowj. Dl powolch zmi w, p. rglcj mprr w bd, chm bloow m poć j dl p. A, dl zbich zmi w - j dl p.,.c. I przłd: progrmow rglcj mprr w pic hrowiczm, w olwi, progrmow rglcj jdj lb il wilości w proci rozrch opiow dochodzi do omilgo prc. C. Ułd dąż rwomchizm, ww[ϕ]. Zdim łd j dążi wilości wjściowj z zmiijącą ię w iz m poób wrością zdą w. Schm bloow podwow: 7

8 z w - R O Gd złóci wchodzą wjści obi: z O Przłd: rowi położim dził przciwloiczch wg wzń rdr orśljącgo położi w molo; rowi położim pi rjror wg lj wrości w mirzoj i rjrowj wilości fizczj. D. I W pch,b,c wmiioo jczęścij rlizow zdi łdów omi o dziłi ciągłm, omwich w przdmioci PODSAWY AUOMAYKI. Pł li zdń j brdzo zro, l zpłi i objmj m.i. opmlizcję przbig proców p. miimlizcję zżci rgii, miimlizcję ozów lb mmlizcję z prz złożoch ogriczich, rlizcję proców drch wcjch, p. moż orz wil ich. 8

9 . OPIS MAEMAYCZNY UKŁADÓW LINIOWYCH Ułd rzczwi zwl ą iliiow, l dl prozczi opi mmczgo przprowdz ię ich lirzcję, co pozwl formłowi przbliżogo opi liiowgo, wżgo w ooczi wbrgo p prc chrrc czj p odpowid jczęścij omilm lb śrdiom wrom prc łd. Po lirzcji łd opiw ą z pomocą liiowch rówń różiczowch o łch wpółczich i i b i. Ogól poć rówi różiczowgo łd liiowgo: m m d d d d bm bm b K m K. m d d d d Począ łd wpółrzędch ozcz omil p prc i ą odchłmi głów od go p. Opi włości łdów: Chrr cz łd liiowgo lb zlirzowgo w ooczi omilgo p prc, ą odchłmi od go p m poć: b Począ łd wpółrzędch ozcz omil p prc, i ą odchłmi głów od go p. Włściwości dmicz ilrj ię zwl wzczjąc przbig wilości wjściowj po wprowdzi wjści jdgo z powch wmzń. Wr i moż rowć łączi w ępjącm łdzi wpółrzędch: pow wmzi: 9

10 δ Wzczi. mod lcz b. mod oprorow f f, ω j c d f f ] [ ] [ f L f f L f Mod oprorow pozwl ząpić rówi różiczow zw. rmicją oprorową. rmicj oprorow: G. Wzczi G z rówi różiczowgo.: b b b m m m m K K.3 m b b b G m m m m, K K.4 N M G Opi lmów chmch bloowch: G MG m

11 G G G G G G G G G MG m m m K M M M M K K m i G i i K K,, pozoł wjści i wri począow ą rów zr Wzczi chrri czj z rmicji oprorowj Dl orzmjm: lim lim lim G lim G lim G x.5 Końcow rówi chrri czj dl łdów o jdm wjści i jdm wjści: b

12 ABLICA RANSFORMA L.p. rform F Orgił f L.p. rform F Orgił f. δ b 4. b b b b. 5. b b b c b c b b c b b c c! ± 7. m 8. ± m 9. [ ] 7.! b. b 5. 3 b i co i co b i b co co c

13 3 Opi łdów z żcim wpółrzędch : W ogólm opii łdów wilowmirowch pozczgól wilości orślo ą w poci worów i ozczją: U M - wor wjść, órgo łdowmi ą wilości wjściow,, x x x X M - wor, órgo łdowmi ą wpółrzęd x,, x Y l M - wor wjść, órgo łdowmi ą wilości wjściow,, l Zbiór wzich możliwch wrości wor X w chwilch worz przrzń ów łd przrzń fzową. Zbiór wrości wor łd w oljch chwilch cz worz w j przrzi rzwą, zwą rjorią łd rjorią fzową. Rówi łd opij ię zwl w poci: ], [ U X F X.6 z wrmi począowmi X X.7 Rówi.6 j zwz rówim różiczowm pirwzgo rzęd, w ogólm przpd iliiowm i zlżm jwi od cz, F j -lmową fcją worową. Rówi.6 i.7 moż więc rozpić zczgółowo: ; ;,,, ;,,, ; ;,,, ;,,, x x x x x f d dx x x x x x f d dx K K LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL K K.8 Rówi wjści łd m poć: ], [ U X G Y.9 prz czm G j l-lmową fcją worową. Ni j o rówi różiczow gdż cł dmi łd opi j rówim, j omi zlż od cz. Rozpijąc zczgółowo rówi.9 orzmm:

14 4 ;,,, ;,,, ;,,, ;,,, x x x g x x x g l l K K LLLLLLLLLLLLLLLL K K. Rówi.8 i. mogą bć lirzow w ooczi wbrgo logo omilgo p prc, przjmją wówcz poć: f f f f x x f x x f x x f d dx K K. i dlj, omi g g g g x x g x x g x x g K K. i dlj. Rówi. i. zpij ię zwl róowo w poci mcirzowj: U B X A X &.3 U D X C Y.4 prz czm: A mcirz łd opi B mcirz wjść opi C mcirz wjść opi l D mcirz rmij łd opi l Pozczgól lm mcirz A,B,C,D odpowidją pochodm cząowm wępjącm w rówich. i.. W przpd zczgólm, gd łd j liiow cjor o prmrch izlżch od cz, pochod cząow względm zmich x,,x,,,, i zwirją cz i pochod cząow względm cz ą rów zr. Elm mcirz ą wówcz ł i rówi.3 i.4 moż zpić w poci: DU CX Y BU AX X &.5

15 . PODSAWOWE ELEMENY LINIOWE.. Złożi przczjąc Wil lmów omi moż rowć jo liiow, jżli ogricz ię zr ich prc i przjmi ępjąc złożi przczjąc: w odiii do lmów mchiczch - wępj jdi rci lpi wiocz, i rci ch Colomb; ił rci j proporcjol do prędości; - zwości lmów prężch ą l, pozołch lmów orz ich połączń i zmocowń iończi wili; w odiii do lmów płowch hdrliczch i pmczch - opór przpłw j ł, z. ężi przpłw pł j proporcjol do różic ciśiń; - modł prężości objęościowj pł odwroość wpółczi ściśliwości j ł; b w odiii do lmów lrczch - rzcj, idcjości i pojmości ą ł, izlż od prąd i pięci. Prócz ch złożń r ogólj, w pozczgólch przpdch robić będzim jzcz złożi zczgól, p. idl zczlość lmów hdrliczch lb pomijl m iórch części rchomch. Nlż więc pmięć, ż rówi i chrri lmów liiowch ą prozczo i częo moż j oowć lo do obliczń wępch. Elm liiow lfij ię jczęścij z względ ich włości dmicz. Wróżim zść grp lmów podwowch: bzircj proporcjol, ircj, 3 cłjąc, 4 różiczjąc, 5 oclcj, 6 opóźijąc. Włości cz wzich lmów orślć będzim podjąc rówi i wr chrri czj f, włości dmicz podjąc rówi różiczow i odpowidjącą m rmicję oprorow orz wr odpowidzi wmzi oow. Kżdą grpę lmów ilrj il przłdów, prz czi w rmch dj grp ą o przłd rządzń orcji odmich, b podrślić, ż podził z względ włości dmicz i j zlż od r fizczj lmów i ż p. lmm ircjm moż bć zrówo rządzi mchiczo, j i hdrlicz, pmcz lb lrcz. Przjęo ępjąc m ozczń:. Wrości bol głów wjściowch i wjściowch ozczć będzim idm O, p.,. Porzb wróżii wrości bolch zchodzi prz lizi ów loch, gdż częo i wrcz zjomość rówi 5

16 chrri czj f w ooczi wbrgo p prc, lcz rzb zć rówiż rówi lb wr chrri czj f w cłm zri zmiości głów. b. Odchłi głów wjściowch i wjściowch od począowgo logo ozczć będzim i dodjąc żdch idów, p.,. Odchłmi oprjm zwz prz zpii ów iloch orz prz zpii ogólm. 6

17 .. Elm bzircj proporcjol Ogól poć rówi lm bzircjgo j ępjąc; gdzi: wilość wjściow, wilość wjściow, wpółczi proporcjolości wpółczi wzmocii. rmicj lm bzircjgo j rów wpółcziowi proporcjolości: G Rówi chrri czj będzi: lb C gdzi: C j łą, orśljącą przięci chrri w o do począ łd wpółrzędch. Odpowidź wmzi oow: będzi: Przłd il lmów rowch częo jo bzircj przdwioo r.. z b F F b z F F b f p A c R R c 7

18 d r x ω g α x ω R. Przłd lmów bzircjch proporcjolch:, b dźwigi, c dzili pięci, d przłdi cir, przłdi zęb, f iłowi pmcz, g mchizm rzwow 8

19 .3. Elm ircj pirwzgo rzęd Ogól poć rówi różiczowgo lm ircjgo pirwzgo rzęd j ępjąc: ąd wi rmicj gdzi: d d G wpółczi proporcjolości ł czow m wmir cz Rówi chrri czj będzi Odpowidź wmzi oow woi: L [ ],63 R. Odpowidź lm ircjgo pirwzgo rzęd wmzi oow. Wr przdwioo r... Słą czową moż orślić wwijąc czą w dowolm pci rzwj włdiczj i wzczjąc odci podczj mpoci: podcz d d Słą czową moż rówiż orślić jo cz od chwili do chwili, id oiąg 63,% wj ońcowj wrości loj. Podwijąc orzmjm bowim: 9

20 , 63 Przłd proc, ór po lirzcji opiw j rówim lm ircjgo I rzęd przdwio j r..3. Sgłmi wjściowmi ą Q ężi przpłw cicz orz f przrój przpłwow zwor. Sgłm wjściowm j h poziom cicz w zbiori. Wrim logo j: Q Q Q A h f Q R.3 Zbiori z wpłwm wobodm cicz Ułdm rówi Brolligo dl przrojów - i - v p v p h g γ g γ Przjmjąc prędość v orz p p ciśii mofrcz orzmm v gh N podwi rówi ciągłości Q fv orzmjm Q f gh Orzmjm zm rówi chrri czj: Q h gf Wr chrri czj dl f co przdwioo r..4, dl Q co r..4b b h h h f co h Q co Q Q f f R.4 Chrri cz proc gromdzi cicz w zbiori z wpłwm wobodm

21 W ch iloch zmi poziom cicz w zbiori moż opić z pomocą rówi: dh A Q Q d gdzi A j powirzchią przroj poprzczgo zbiori w m. Poiwż chrri cz ą rzwoliiow, b opić lm z pomocą liiowgo rówi różiczowgo, lż przprowdzić lirzcję. Wpółrzęd omilgo p prc ozczm h, Q, f. W ooczi go p rzczwi przro zmich h orz Q ząpim przromi przbliżomi, ór wąpiłb w przpd liiowj chrri czj o chli pozm r..4. Dl odróżii zpi wzi przro ozczm rz dodjąc mbol. Orzmm więc: d h A Q Q d Przro Q zępjm różiczą zpłą Zm orzmm: Q Q f f Q h h gh f f g h h d h h Q f d gdzi: A, g f h, g f h h f W dlzm ciąg częo opzczć będzim zi, pmięjąc jd zwz, ż w rówi wępją przro pozczgólch wilości. Npizm wówcz dh h Q f d W przpdch zczgólch, id f co f, id Q co Q, dh h Q, d dh d h f

22 .4. Elm cłjąc Ogól poć rówi różiczjącgo lm cłjącgo j ępjąc: d d lb po cłowi, prz zrowch wrch począowch, d ąd wi rmicj G Rówi chrri czj m poć jj wr podo r..5 b R.5 Chrr cz lm cłjącgo: wpółrzęd odchł, b wpoł zęd wrości bolch Odpowidź wmzi oow wzczm: L [ ] Wr podo r..6. W przpd zczgólm, id wjści i wjści ą głmi jdoimimi, wpółczi m wmir odwroości cz. Wówcz ogól poć rówi różiczowgo lm cłjącgo m poć: d d órj odpowid rmicj G gdzi j łą czową cji cłjącj lb rócj łą cłowi. Słą ę moż odzć wri odpowidzi oowj zgodi z r..6b.

23 b rcg R.6 Odpowidzi oow lm cłjącgo: G/, b G/ Przłd lm cłjącgo: zpół rozdzilcz iłowi hdrlicz Schm zpoł przdwioo r..7. Wilością wjściową j przięci łoczów rozdzilcz, wilością wjściową j przięci łocz iłowi. Złożi: p z co, p co b obciążi iłowi m wrość zrową c prędość przpłw olj przz zczli rozdzilcz v co wi o z złożń i b. S lo co zchodzi dl. Chrr cz m zł pod r..6. S dmicz: gdzi: d Q A d Q ężi przpłw olj przz zczli rozdzilcz A powirzchi fw ło iłowi Uwzględijąc rówi ciągłości Q bv b j przrojm zczli przpłwowj orzmm d d gdzi A/ bv rmicj lm G p z p A R.7 Zpół rozdzilcz-iłowi hdrlicz 3

24 .5. Elm różiczjąc.5.. Idl lm różiczjąc Rówi idlgo lm różiczjącgo j ępjąc: d d ąd wi rmicj G Wpółczi dfiij ię jo d d W i lom co dl wzich. Wr chrri czj podo r..8. b R.8 Chrr cz lm różiczjącgo: wpółrzęd odchł, b wpółrzęd wrości bolch Odpowidź wmzi oow j fcją Dirc pomożoą przz orz przz mplidę o. Mm bowim L [ ] dl < dl dl > W przpd zczgólm, id wjści i wjści ą głmi jdoimimi, rówi idlgo lm różiczjącgo zpij ię w poci d d órj odpowid rmicj G gdzi j łą czową cji różiczjącj lb rócj łą różiczowi. Odpowidź wmzi oow j w m przpd fcją Dirc pomożoą przz. Idlgo lm różiczjącgo i moż zrlizowć prczi, l pozi jgo włości j clow z go względ, ż częo w lmch złożoch wodrębi jo jd z łdiów idl dziłi różiczjąc. Podo, idl lm δ 4

25 różiczjąc rj ię iid jo pirwz przbliżi rzczwigo lm różiczjącgo..5.. Rzczwi lm różiczjąc Ogól poć rówi rzczwigo lm różiczjącgo j ępjąc: d d d d ąd wi rmicj G gdzi wpółcziim proporcjolości, łą czową lm. Jżli wjści i wjści ą głmi jdoimimi, rówi różiczow zpij ię w poci: órj odpowid rmicj d d d d G Chrr cz będzi oczwiści idcz z podą r..8, omi odpowidź wmzi oow wzczm z ogólj poci rmicji L [ ] Wzczjąc ę odpowidź z rmicji gdzi wjści i wjści ą głmi jdoimimi orzmm: Wr przdwioo r..9. R.9 Odpowidź rzczwigo lm różiczjącgo wmzi oow 5

26 .6. Elm oclcj Ogól poć rówi różiczowgo lm oclcjgo j ępjąc: d d * d d prz czm < 4. Rówi * odpowid rmicj: G ** gdzi j wpółcziim proporcjolości, i ą łmi czowmi lm. Nlż podrślić, ż o i poć rówi * lb ** dcdj o m, ż lm j oclcj m moż bć poć rówń lm ircjgo drgigo rzęd, w órm żd oclcj odpowidzi oowj i wępją, l wr < 4. Częo po ię rówiż ępjącą poć rówi różiczowgo, ór łwi irprcję przbigów przjściowch lm oclcjgo: d d ζω ω ω d d prz czm ζ <. Wówcz rmicj ω G ζω ω gdzi: wpółczi proporcjolości ω plcj oclcji włch lm / ζ / zrdow względ wpółczi łmii Rówi chrri czj w wpółrzędch odchł będzi w wpółrzędch wrości bolch C gdzi C j łą wijącą z wrów począowch. Wr chrri czj podo r... b c R. Chrr cz lm oclcjgo: wpółrzęd odchł b wpółrzęd wrości bolch Odpowidź wmzi oow obliczm wdłg wzor: L M N L L 6

27 7 Pirwimi wilomi N ą: ± 4, m lb dl ozczń: ω orz ζ, ζ ζ ω m Odpowidź wmzi oow będzi mić chrr oclcj, jżli płio j pod wępi wr: 4 < lb, co j jdozcz: < ζ Pirwii i zpizm wówcz w poci:, j m lb, ζ ζ ω j m orzmjm Sojąc wzor Elr * orz wczśij przję ozczi, moż przdwić w poci: i ϕ ζ ω ζ ζω gdzi: ζ ζ ϕ rcg R. Odpowidź lm oclcjgo wmzi oow * i co v j v jv, i co v j v jv

28 Wr przdwioo r... Słdow lo przbig woi, łdow przjściow j gącą ioidą, órj or j ł i woi: π ω ζ W przpd zczgólm, id ζ z., wępją drgi zchowwcz i łmio o plcji ω. Wówcz: [ i ω 9 [ coω ] o ] Przłd lm oclcjgo Schm lm podo r... Sgłm wjściowm j ił F, głm wjściowm j przięci. F c c m R. Zpół m-łmi-pręż W i lom ił F orz ciężr mg ą rówowżo iłą wwirą przz gięą prężę. W wpółrzędch wrości bolch wr zpizm F mg c ąd F mg c omi w wpółrzędch odchł przroów F c Wr chrri czj ą przdwio r..3. W ch iloch, względijąc złożi przczjąc, pod w p.., orzmm ępjąc rówi rówowgi: d d F m c c d d ąd d d F d d 8

29 gdzi m c,, c c Przdwiom rówi odpowid rmicj: G F c b rcg /c rcg /c F - mg F R.3 Chrr cz lm przdwiogo r..: wpółrzęd odchł, b wpółrzęd wrości bolch 9

30 .7. Elm opóźijąc Rówi lm opóźijącgo m poć ąd wi rmicj τ G τ τ R.4 Wmzi i odpowidź -τ lm opóźijącgo Z podch rówń wi, ż lm opóźijąc i zizłc gł wjściowgo, lcz jdi przw go w czi. Chrr cz będzi zm lb odpowidź wmzi oow będzi im mm głm oowm przięm w czi o wilość opóźii τ. Wr wmzi i odpowidzi oowj pozo r..4. Elmmi opóźijącmi ą w zczgólości rządzi łżąc do przmizczi rpor bcji, jżli mijc wprowdzi gł wjściowgo i mijc odbior gł wjściowgo zjdją ię w pwj odlgłości od ibi. 3

31 Przłd. Podji śmow. Schm lm przdwioo r..5. Sgłm wjściowm j grbość wrw począ podji, głm wjściowm grbość wrw ońc podji. Opóźii τ woi: gdzi: l odlgłość [m] v prędość śm [m/] l τ v rmicj podji G τ, v l R.5 Schm podji śmowgo Przłd. Odci rrociąg. Schm lm podo r poiżj. Sgłm wjściowm j ężi bcji γ w przroj A, głm wjściowm ężi j bcji w przroj B rrociąg. H O A B γ Prz złożi, ż ępj dołd wmizi bcji i w dm przroj jj ężi j jdow, orzmm gdzi: C A ężi bcji γ w przroj A, C B ężi bcji γ w przroj B, τl/v opóźii CB G C A τ v 3

32 3. UKŁADANIE SCHEMAÓW BLOKOWYCH 3.. Zd bdow chmów bloowch Schm bloow, zw rówiż rrlmi, przdwiją wzjm powiązi pomiędz pozczgólmi zpołmi lizowgo lm lb łd, z. podją iri przpłw głów orz związi międz głmi wjściowmi i wjściowmi wzich zpołów. Zjomość chm bloowgo łwi wzczi opi mmczgo jczęścij rmicji łd i lizę jgo włości. Sporządzi chmów bloowch lmów lb łdów omi podwi ich chmów orcjch prwi zwl począowo wil rdości. Przczą go j oiczość dołdgo zrozmii dziłi rozprwgo rządzi, rozróżii wjść i wjść, zm oljości oddziłwi jdch zpołów drgi, wzięci pod wgą r fizczj wępjącch głów id. Pro lm rprzow ą chmch bloowch przz jd blo prooą, wwąrz órgo wpij ię rmicję rzdzij rówi różiczow lb wrowj ię chrrę dgo lm, jczęścij odpowidź oową dl lmów liiowch lb chrrę czą dl lmów iliiowch. Złożo lm mją wł chm bloow, w órch pozczgól bloi rprzją z rgł olj zpoł lm podwow wchodząc w łd lm złożogo. Schm bloow łdów, zwłzcz zwirjącch lm złożo mogą bć doć rozbdow. Dl zwięzi ich czlości przzłcm częo chm lmów złożoch do poci pojdczgo blo i dopiro wówcz wwim j do chm cłgo łd. Kir przpłw głów j jdozcz, poiwż w żdm łdzi wępj co jmij jd lm irow, z. lm o dziłi jdoirowm. 3.. Węzł iformcj i mcj Węzł iformcj zczpow rprzją chmch bloowch rządzi, ór pozwlją pobirć ę mą iformcję do il głęzi łd. Smbol grficz podwowgo węzł iformcjgo, w órm pobir ię iformcję do dwóch głęzi łd, j ępjąc: Przłd rządzń płijącch rolę węzłów iformcjch podo r. 3. 3

33 b p p M p p p p R 3. Pirwz przłd pozj zbiori ciśiiow, w órm zjdj ię mdim o ciśii p, odprowdz rrociągim do dlzch części ilcji orz dziłjąc czji przwori pomirowgo lb miri M go ciśii. Jżli złożm, ż w cłm zbiori i wchodzącch z igo przwodch pj o mo ciśii p, o orzm pow przpd węzł iformcjgo, z órgo wchodzi l głęzi o głch p, il j wprowdzń go ciśii z zbiori. Drgi przłd pozj łoczo iłowi hdrliczgo, órm zilow j rzw. Przięci j zm zrówo przięcim łocz i związgo z im ońc dźwigi, j i przięcim rzwi. Węzł mcj rprzją chmch bloowch rządzi, w órch zchodzi lgbricz z względiim zów mowi głów. Smbol grficz podwowgo węzł mcjgo, w órm zchodzi mowi dwóch głów, j ępjąc: - z z- W rządzi rprzowm przz węzł rlizow j zlżość z. Kil przłdów rządzń płijącch rolę węzłów mcjch przdwioo r

34 p C p p - p -p A C A p b p A C A C - p ε ε b b ε b ε - b 3 ω 4 ω ω ω 3 ω ω ω ω 3 ω ω 4 rω rω 3 rω rω 4 R 3. czji mizow różic ciśiń, dźwigi, 3 mchizm różicow 34

35 Przdwio r. 3. chm bloow owią grficz odzwircidli rówń opijącch włości ch rządzń.. Rówi ił dziłjącch miz pręż p p A c ąd A p p 3. c Gdzi: p,p gł wjściow ciśii gł wjściow przięci A powirzchi fw miz prężgo C - zwość miz Schm bloow orz b odpowidją rówi 3. i żd z ich j poprw. Prz iwilich przmizczich ońców dźwigi moż pić, zgodi z zdą prpozcji: b ε ε 3. b b Gdzi:, gł wjściow przięci gł wjściow przięci ε,ε łdow przięci, b rmio dźwigi 3. Mchizm różicow opizm z pomocą rówń prędości pozczgólch pów oł różicowgo: rω rω rω Dodjąc romi orzmm rω rω rω 3 3 ω 3 ω ω 3.3 Gdzi: ω, ω gł wjściow prędości ąow ω 3 gł wjściow r promii podziłow wzich ół zębch. Jżli głmi wjściowmi i wjściowmi będą ą obro ół zębch, orzmm α 3 α α 3.4 Bdow chm bloowgo pozoi więc idcz, jdi zmi ω lż wzędzi wpić α. Zmii ir prędości ąowj lb ą odpowid zmi z wjści węzł mcjgo

36 3.3. Przzłci chmów bloowch Pirwo poć chm bloowgo j iid doć wił i i moż bzpośrdio zoowć do ij żdgo z wzorów orśljącch rmicj połączń podwowch. W pirwzj oljości lż więc przzłcić chm bloow do ij poci, b wępowł w ij lo połączi zrgow, rówolgł i z przężim zwrom. Poci ogól rmicji ch połączń dl lmów o jdm wjści i wjści jdowmirowch ą ępjąc: połączi zrgow b połączi rówolgł G G i 3.5 i G G i 3.6 i c połączi z przężim zwrom G G 3.7 ± G G Gdzi: mbol ilocz mbol m G i rmicj lmów łdowch G rmicj or główgo G rmicj or przężi zwrogo obowiązj dl jmgo przężi zwrogo obowiązj dl dodigo przężi zwrogo Dl lmów o wil wjścich i wjścich wilowmirowch odpowidi zlżości mją idczą poć, jdi zmi rmicji G wępją wzędzi mcirz rmicji G. W iloczi 3.5 i wolo zmiić oljości mcirz. Przzłci prowdzjąc chm bloow do poci pozwljącj zoowi wzorów 3.5 i 3.7 polgją przięcich węzłów iformcjch i lb mcjch. W żdm przpd przzłci chm bloowgo mi bć płio wr, ż w części łd i podlgjącj przzłci żd wilość i lg zmii ozcz o, ż wjści i wjści przzłcoj części chm mzą pozoć i zmiio Kil jczęścij oowch przzłcń chmów bloowch lb ich części zwirjącch włączi lm liiow zwioo w b. 3.. Przzłci r 4 polgją przięcich węzłów iformcjch lb mcjch w przód lb w ł, z. z wjści blo o rmicji G jgo wjści lb odwroi. Przzłci pozoją wż rówiż dl lmów o wil wjścich i wjścich, z m zrzżim, ż przzłci r i 4 ą wol lo dl mcirz wdrowch ioobliwch o wzczi różm od zr, gdż lo wówcz iij mcirz odwro [G] -. Przzłci r 5 i 6 pozją, ż moż zmiić oljość węzłów jdgo rodzj iformcjch lb mcjch, r 7 i 8 podją zd zmi oljości węzłów różgo rodzj, z. przwi węzł iformcjgo przd mcj lb odwroi. 36

37 Niżj pod zoą dw przłd wzczi rmicji złożoch łdów podwi ich chmów bloowch. Wbro i przpdi, w órch oicz ą obdw p poępowi, z. jpirw doprowdzi chm z pomocą przzłcń podch w bl. 3. do poci połączń podwowch, ępi zwiji ch połączń z pomocą zlżości 3.5 do 3.7,ż do poci pozwljącj wzczi rmicji cłgo łd. 37

38 blic 3. Przięci węzłów iformcjch i mcjch L.p. Schm pirwo Schm rówowż L.p. Schm pirwo Schm rówowż G G G G - G 5 - G G G G G G G G G G - G

39 Przłd. G 4 - G - G G 3 G b G 4 G 3 - G - G G 3 G 5 c G 4 G 3 - G G G 3 G G 3 G 5 d - G G G 3 G G 3 G 5 - G 4 G 3 GGG3 G G G G G G 3 5 R 3.3 G 3 G 4 39

40 Przłd. G - - G 4 G G 3 - G 5 b G 4 G - G - G G 3 G 5 c G G 4 - G - G -G G 3 G 5 d G G -G 4 G G G 3 G G 3 G 5 - GG3 G G4 G G G G 3 5 R 3.4 4

41 3.4. Przłd łdi worzi chmów bloowch Schm opił hdrliczgo Ułożi chm bloowgo: c x cd - x d cd m b G c c d gdzi:, bd bd Wzczi odpowidzi wmzi w: / w[ ] 4

42 3.4.. Przłd łd rglcji poziom cicz w zbiori Schm bloow: - Q Q -Q h rmicj łd: Q α - h b G Q b b Wzczi chrri czj: b - β h h h Q b rcg Q Q 4

43 4. CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE 4.. rmicj widmow. Rodzj chrr częoliwościowch. Jżli wjści lm lb łd liiowgo bilgo wprowdzo zoi wmzi ioidl o łj częoliwości, o wjści, po ziięci przbig przjściowgo, li ię odpowidź ioidl o j mj częoliwości, l w ogólm przpd, o ij mplidzi i fzi iż wmzi. N r przdwioo przpd, gd odpowidź j przię w ir jmm względm wmzi, z. ϕ ω <. x x A ω π/ω x A ωiω A ωi[ ω ϕ ω] A ω ϕω π/ω R 4. Przchodzi gł ioidlgo przz lm liiow Chrri częoliwościow orślją zchowi ię lm lb łd prz wzich częoliwościch wmzi, podjąc o mplid odpowidzi do wmzi orz przięci fzow międz odpowidzią wmzim jo fcj częoliwości. orczą podwę chrr częoliwościowch owi rmicj widmow, órą moż wżć z zczgól przpd rmicji oprorowj: i órą dfiij ię częo: G jω jϕ ω G jω A ω 4. G jω 4. x gdzi j wrością zpoloą łdowj loj odpowidzi łd wwołj wmzim ioidlm, x wrością zpoloą go wmzi. Podwijąc z x i prę odpowidjącch obi fcji hrmoiczch zpich w poci włdiczj * : * Jżli wjści lm lb łd liiowgo wprowdzim wmzi hrmoicz j A ω ω A ω[coω j iω ], o wjści li ię odpowidź hrmoicz A j[ ω ϕ ω] ω A ω{co[ ω ϕ ω] j i[ ω ϕ ω ]}. 43

44 orzmm: x jω, Aω A ω G jω j[ ω ϕ ω] A ω, jω jϕ ω jϕ ω M ω 4.3 jω A ω gdzi: M ω A ω / A ω j modłm chrri częoliwościowj oim mplid odpowidzi do wmzi. Wr G jω zw ię chrrą mplidowo-fzową lb zpoloą chrrą częoliwościową, lb wrm rmicji widmowj. Wr j mijcm gomrczm ońców worów, órch dłgość rprzj o mplid odpowidzi do wmzi, ą - przięci fzow międz odpowidzią wmzim. Zmi wr G jω moż podć oddzil wr jgo wpółrzędch bigowch M jω i ϕ j ω. Nzwją ię o: M ω G jω - mplidow chrr częoliwościow wr modł chrri częoliwościowj, ϕ ω rgg jω - fzow chrr częoliwościow wr rgm chrri częoliwościowj. Poiwż G jω j fcją zpoloą, moż rozłożć ją część rzczwią i część rojoą [wpółrzęd prooą G jω ]: gdzi G jω P ω jq ω 4.4 P ω R[ G jω] - część rzczwi G jω Q ω Im[ G jω] - część rojo G jω Z r 4. wiją ępjąc związi, brdzo io prz liczm wzczi chrr częoliwościowch: M jω ω [ P ω] [ Q ] 4.5 Q ω ϕ ω rcg 4.6 P ω Im[Gjω] b Mω ω Pω i ω Qω i Mω i R[Gjω] b ω i ω ω ω ω i ϕω ω i ω ω R 4. Chrri częoliwościow: chrr mplidowo-fzow zpolo chrr częoliwościow, bl chrr mplidow, b chrr fzow 44

45 Chrri mplidow i fzow ą przdwi zwl w wpółrzędch logrmiczch i zwją ię wówcz: L ω log M ω logrmicz chrr mplidow ϕ ω logrmicz chrr fzow. Lω Mω b ϕω 4dB 8 π/ db 9 π/4.. - db. ω.. 9 π/4 ω - 4dB. 8 π/ R 4.3 Wpółrzęd logrmiczch chrr mplidowj Lω i fzowj ϕω Wpółrzęd ch chrr przdwioo r Podził oi ω j logrmicz, ddow, z. żdj ddzi ω przporządow j odci o jdowj dłgości oi co. Podziłą oi Lω j liiow, low w dcblch db. Częo j oi odłd ię bzpośrdio o mplid Mω. Podził oi Mω j wówcz logrmicz. Wrości Lω obliczm wdłg wzor: L ω log M ω Logrmicz chrri mplidow i fzow lm ircjgo pirwzgo rzęd rmicj widmow lm ircjgo pirwzgo rzęd j ępjąc: G jω 4.8 jω Części rzczwią i rojoą Gjω wzczm możąc liczi i miowi rmicji przz liczbę zpoloą przężoą z miowiim: jω jω jω jω ω Sąd: P ω, ω ω Q ω 4.9 ω Logrmicz chrr mplidow: L ω log M ω log [ P ω ] [ Q ω ] log ω 45

46 L ω log log ω 4. Im[Gjω] ω ω R[Gjω] ω ω i Gjω R 4.4 Chrr mplidowo-fzow Gjω lm ircjgo pirwzgo rzęd Wr Lω moż prościć, pomijjąc w wzorz 4. dl ω < / łdi ω, dl ω > / łdi pod pirwiim. Orzmm wówcz zw. mpoczą logrmiczą chrrę mplidową: dl ω < / L ω log dl ω > / L ω log logω Plcj częoliwość ąow ω / zw j plcją przęgjącą i ozcz ię ją mbolm ω lb ω. Lω db b - db/d. ω/ω R 4.5 Logrmicz chrr mplidow lm ircjgo pirwzgo rzęd dl : rzczwi, b mpocz Wr rzczwij i mpoczj chrri mplidowj podo r Nchli opdjącgo odci chrri mpoczj dl ω < / orślim obliczjąc przro L ω ddę: Lω L ω log log ω log log ω log db 4. 46

47 W blic 4. zwioo il wrości błęd popłigo prz oprowi chrrą mpoczą, r. 4.6 przdwioo wr go błęd jo fcję ω / ω. blic 4. S ω ω S,,5,4,5,,5 4,, Lω,4,3,65, 3,,,65,3,4 Lω db 3. R 4.6 Wr błęd Lω ω/ω W prc, prz obliczich wępch połgjm ię chrrmi mpoczmi, prz obliczich dołdch chrrmi rzczwimi, ór orzmjm przz dodi wr przdwiogo r. 4.8 lb poprw wdłg blic 4. do chrr mpoczch. Logrmicz chrr fzow: Q ω ϕ ω rcg rcg ω rcg ω P ω Wr ϕ ω podo R 4.7. N m mm r liimi rowmi zzczoo oow iid promcj rójodciow rzwj ϕ ω. R 4.7 Logrmicz chrr fzow lm ircjgo pirwzgo rzęd 47

48 4.3. Chrr mplidowo-fzow orz logrmicz chrri mplidow i fzow lm różiczjącgo rzczwigo rmicj widmow rzczwigo lm różiczjącgo m poć: jω G jω 4. jω Części rzczwi i rojo G jω : ω ω P ω, P ω 4.3 ω ω Wr G jω m poć półoręg o śrdic l, z środim w pci, j r ω L ω log [ P ω ] [ Q ω ] log 4.4 ω L ω logω log ω Q ω ϕ ω rcg rcg 9 rcg ω 4.5 P ω ω R 4.8 Chrri rzczwigo lm różiczjącgo: chrr mplidowo-fzow, b logrmicz chrri mplidow i fzow Wr L ω i ϕ ω przdwioo powżj. Liimi ciągłmi zzczoo chrri rzczwi, liimi rowmi chrri mpocz, prz czm mpoczą chrrę fzową rowo zgodi z promcją ϕ b ω. Wzi wgi docząc dołdości chrr mpoczch, w zczgólości wr błęd pod r. 4.6, pozoją wż. 48

49 4.4. Chrr mplidowo-fzow orz logrmicz chrri mplidow i fzow lm drgigo rzęd Zbdm chrri lm o rmicji widmowj: ω ω G jω 4.6 jω ζω jω ω ω ω j ζωω Gdzi: wpółczi proporcjolości ω plcj oclcji włch lm ζ zrdow względ wpółczi łmii Elm omówioo w p..6, zlżi od wrości ζ jgo odpowidzi oow mogą bć oclcj lb priodcz. Części rzczwi i rojo: ω ω ω P ω, ω ω ζω ω 3 ζω ω Q ω 4.7 ω ω ζω ω jqω ξ 3 <ξ <ξ ω ω Pω ξ ξ R 4.9 Chrr mplidowo-fzow G jω lm drgigo rzęd dl różch wrości ζ Wr G jω przdwioo r Wr rozpocz ię zwz w pci, j, poiwż: ończ ię w pci P, Q, j, poiwż: ξ3 P, Q Kzł rzwj zlż od wrości dowgo wpółczi łmii ζ. Logrmicz chrr mplidow: ω L ω log 4.8 ω ω ζω ω 49

50 L ω log log ω ω ω ζ ω Wr Lω dl il wrości ζ podo r. 4.. Dl ζ < chrr L ω ω oiąg mimm prz ζ, prz czm wrość go-mimm j m ω więz, im mijzą wrość m zrdow wpółczi łmii ζ. Dl ζ mimm ω wępj prz i m wrość iończi wilą. Wr r. 4. i 4. objmją ω obzr wrości ζ chrrcz dl lmów oclcjch ζ<. Wrością griczą j ζ, id lm przj bć oclcj odpowidź oow j wd priodcz, j o przpd zczgól przbig priodcz jrócj rwjąc. 4.9 Lω 4 ξ. ξ.3 ξ ξ 4.7 ξ ω/ω R 4. Logrmicz chrr mplidow lm oclcjgo, dl log Z względ irglr zł chrr L ω promcj z pomocą chrr mpoczch j oow lo prz obliczich wępch, dl,3 ξ wówcz błąd Lω j mijz od 6 db. Ampoczą chrrę mplidową orz wr błęd Lω przdwioo r

51 Lω.. ω/ω - db - 4dB - 4 db/d b Lω 6 4 ξ.3 ξ.5 4 ξ.7 ξ 6. ω/ω R 4. mpocz chrr mplidow lm oclcjgo dl b wr błęd Lω Logrmicz chrr fzow: ζω 4. ω ϕ ω rcg ω ω ω ζ ω 4. ϕ ω rcg ω ω Wr ϕ ω podo r. poiżj. Prz zmii ω od przięci fzow zmii wrość od do -8 ω, prz czm dl woi zwz -9. ω 5

52 ϕω [ ] ξ 5 ξ 4.7 ξ 3.5 ξ.3 ξ R 4. Logrmicz chrr fzow lm oclcjgo ω/ω blic chrr częoliwościowch wzich lmów podwowch przdwio zoł r

53 L.p. CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE ELEMENÓW PODSAWOWYCH rmicj Wr chrri mplidowo-fzowj Wr logrmiczch chrr mplidowj L ω i fzowj oprorow G G jω rmicji widmowj ϕ ω jqω Gjω Pω P ω Q ω Lω db log ω ϕω ω jqω ω ω Gjω Pω P ω ω ω Q ω ω Lω db ω - db/d ϕω ω 3 jq ω ω ω Pω P ω Lω db Q ω ω ω - db/d ϕω 9 ω 4 jqω ω ω Pω P ω Q ω ω Lω db db/d ω ϕω 9 ω 5 ω ξω ω jqω ω ξ ω Pω ξ ξ3 ξ < 3 < ξ ξ Lω db ξ ω ξ 3-4 db/d ϕω 9 8 ω ξ 3 ξ ω 6 τ ω π/τ jqω ω 3π/τ ω π/τ ω Pω P ω coωτ Q ω iωτ Lω db db ω 45 ω ϕω π/τ π/τ 9 53

54 4.5. Logrmicz chrri częoliwościow zrgowgo połączi lmów Rozwżm zrgow połączi lmów, órch rmicj widmow ozczm G jω, G jω, K, G j. ω G jω G jω G jω N podwi wzor 4.3 pozczgól rmicj wrzim w poci: G jω M G jω M KKKK G jω M ω ω ω jϕ ω jϕ ω jϕ ω rmicj widmow zrgowgo połączi lmów rów ię iloczowi rmicji ch lmów: gdzi: G ω ω ω K ω j[ ϕ ω ϕ ω K ϕ ω] jϕ ω j M M M M M ω M ω M ω KM ω ϕ ω ϕ ω i i ω Logrmicz chrr mplidow, podwi 4.7 L ω log M ω log M ω log M ω K log M ω L i i L ω ω gdzi L ω, L ω, K, L ω ą logrmiczmi chrrmi mplidowmi oljch lmów. Logrmicz chrri mplidową L ω i fzową ϕ ω zrgowgo połączi lmów będzim więc wzczć zgodi z wzormi, mjąc odpowidi chrri oljch lmów. 54

55 5. UKŁADY LINIOWE DYSKRENE IMPULSOWE 5.. Pojęci podwow Ułdmi drmi rglcji omczj zwm łd, w órch iformcj j przzw z pomocą głów drch iciągłch w poziomi lb w czi. Kwowim gł zw ię przzłci gł ciągłgo w dr. Kwowi gł w czi zw ię próbowim. Ułd z wowim gł w czi zw ię łdmi implowmi. W łdch ch iformcj przzw j lo w drch chwilch, zw. chwilch implowi. W łdch implowch liiowch wrości głów w drch chwilch cz ą związ zlżościmi liiowmi. Modlcją implów zw ię przdwii fcji ciągłj w poci ciąg implów, órch mplid, zroość lb położi wwąrz or próbowi - zwgo ż orm implowi i - zlżą od wrości j fcji w drch chwilch cz i,,,... Ułd z modlcją mplid implów o liiowj części ciągłj j łdm liiowm, łd z modlcją zroości implów - iliiowm. Jżli jd jwięz zroość impl j o wil mijz od or implowi, o łd i o liiowj części ciągłj moż w przbliżi rowć j łd liiow. Schm bloow jdowmirowgo łd implowgo rglcji omczj moż przdwić ępjąco: Część ciągł w - Implor idl * Elm formjąc rglor Proc Implor idl j lmm irlizowlm ściśl fizczi przzłcjącm fcję ciągłą cz w ciąg implów Dirc δ, i δ- i, i δ- i, przięch względm ibi o or implowi i, o polch implów rówch wrościom fcji w chwilch implowi i, l,,... Proc modlcji rlizow przz implor idl j rówowż mmczi pomożi fcji przz zw. fcję implowi S S δ i 55

56 Biorąc pod wgę, ż dl <, moż pić * S E * L[ * ] δ i i Ciąg implów prooąch lb fcję chodową b moż rowć jo przłdow odpowidzi łdów zwch lmmi formjącmi, wmzi w poci ciąg implów Dirc. i i f f b τ i i i i Impl prooą g o mplidzi jdoowj i zroości moż zpić: g τ G L[ g ] Odpowidź łd o rmicji G wmzi w poci impl δ m poć impl prooągo g, wmzi w poci ciąg implów Dirc f δ, f i δ- i, f i δ- i poć ciąg implów prooąch f r. W przpd zczgólm gd τ i z ciąg implów prooąch orzmjm fcję chodową f, gd τ - fcję drą. Dl zpi przbigów wępjącch w łdch implowch oj ię fcj dr lb fcj chodow. W pch iciągłości wrość fcji chodowj j rów jj prworoj gric w m pci. Dlj rozprwć będzim fcj dr dl i Różic pirwzgo rzęd fm fcji drj f w pci m j logim pochodj fcji ciągłj: df τ f m f m f m m,,, K 5. Różic -go rzęd: df f m f m f m 56

57 Dl : f m f m f m f m Sm ϕm fcji drj f j logim cłi fcji ciągłj: df m i ϕ m f i 5. Liiow rówi różicow Liiowm rówim różicowm -go rzęd o łch wpółczich, -,, zwm rówi o poci: x x K x f Gd f - rówi jdorod, gd f ijdorod. Wri począow: x x x x x KKKKK Wprowdzjąc ow zmi: x x x, x x, K x x możm pod rówi różicow zpić w poci łd rówń różicowch pirwzgo rzęd: xaxbf prz czm: x x x M x A B M Przzłci Z i rmicj dr Przzłcim rformcją Z zwm przzłci orślo wzorm: df F z f z

58 przporządowjąc fcji drj f powłj z drzcji dj fcji ciągłj f f dl < fcję Fz zmij zpoloj z. Nzw: f - orgił ciągł f - orgił dr Fz - rform Z fcji f Fz iij jżli zrg 5.3 j zbiż. rform Z iiją dl fcji drch, ór roą i zbcij od fcji włdiczch. Np. dl fcji drch f! orz f rform Z i iiją. blicę rform Fz il częścij wępjącch fcji przdwioo ępj roi. wirdzi o wrości począowj f fcji drj f: f lim f lim F z z wirdzi o wrości ońcowj fco fcji drj f: 5.4 Wzor 5.4 i 5.5 moż rówiż zpić w poci: f lim f lim z F z 5.5 z z f lim F z 5.6 z z z f lim F z 5.7 z z rmicją drą Gz łd zwm o rform Z odpowidzi Yz do rform Z wmzi Uz prz złożi, ż wri począow ą zrow. Y z G z df 5.8 U z Drą chrrą odpowidzią implową g zwm drą odpowidź łd implowgo wmzi w poci fcji Dirc prz zrowch wrch począowch. Pomiędz drą chrrą implową g i ciągłą chrrą implową g łd implowgo zchodzi zlżość: 5.9 g g i rmicj dr Gz j rformą Z drj chrri implowj g go łd G z Z[ g ] 5. Drą chrrą odpowidzią oową h zwm drą odpowidź łd implowgo wmzi l prz zrowch wrch począowch 5. h h i gdzi h - ciągł chrr oow łd implowgo. 58

59 ABLICA RANSFORMA Fcj ciągł f Fcj dr f rform Fz i z z Promiń zbiżości zrg z > i A A i i i i 3 z A z > z z i z > z z z i z > z i 3 z z 4z i i z > 4 z i 4 3 z z z z i i z > 5 z i z z 6z 66z 6z i i z > 6 z i z i z > i z i i i z z i z > i i i i i z z z i z > i i β i i i i β i i co β co β i i i β i i β i i i co β co β i i z z z i z z i i z i βi z co β i i z z co βi z z co β z z z z i i z i i β co β i co β i i i co β i i i z > i z > z > z > z > i i 59

60 6. OBIEKY REGULACJI I REGULAORY PRZEMYSŁOWE 6.. Dfiicj i lficj obiów Wg PN-88/M-4: Obi rglcji rowi - rządzi lb zw rządzń, w órm przbig proc chologicz i w órm przz zwęrz oddziłwi rjąc rlizj ię pożąd lgorm dziłi. Z p widzi om: Obi rglcji rowi j jdm z lmów łd rglcji rowi, o orśloch wjścich i wjścich, o włościch opich orślom modlm mmczm. Obim m j proc chologicz fizcz, biologicz, i zchodząc w orślom rządzi lb zwi rządzń, podlgjąc rglcji rowi zpwijącj jgo pożąd przbig. Klficj obiów: liiowość liiow iliiow b oiągi lb i rówowgi rwłj po wmzi oowm cz bz cji cłjącj cz z cją cłjącą cz cz c cjorość cjor icjor d wmirowość jdowmirow wilowmirow 6

61 Modl obiów oow do idficji : drmiicz p.: dl obiów czch: τ G lb G ' τ ' τ dl obiów czch: G lb jω dl wzich obiów liiowch: G jω jω τ G b ochcz MA - modl rchomj śrdij, Bz η AR - modl orgrj, Azz ARMA - Az Bz η ARMAX- Az Bz Dz η i i 6.. Mod idficji A. Alicz N podwi opi włości fizo-chmiczch proc, rówń bil mriłowgo i bil rgczgo zj ię licz opi włości obi, zw. modl globl, wż w cłm zri prc. B. Eprml Mogą bć opr prmci czm drmiicz i ochcz lb birm lo obrwcj rlch wjść i wjść. Spośród mod drmiiczch jproz i jpoplrijz j mod odpowidzi oowj obi, pozwljąc wzczi prmrów obi podwi proch orcji grficzch obi cz modl opóźii ircj I rzęd τ G τ i - z wr 6

62 modl Srjc G ' τ ' Srjc wzł, ż dl obiów ircjch wżzgo rzęd o τ b / orz φ i zlżą lo od τ b / φ i / τ b /,4,64,7,8 3,8,33 3,7,8 4,39,353 4,46,4 5,4,37 5,, Zmirzo wrość τ b / pozwl orślić. Prz br dołdj odpowidiości τ b / wbir ię wrość bzpośrdio iżzą i odczj ię odpowidjącą jj wrość τ b / τ b / τ b / d τ d τ τ τ Przłd W obici wprowdzoo złóci oow 5V l i zmirzoo ępjąc prmr zrjrowj odpowidzi oowj: τ τ b 3,7 τ b /,57 V Wbir ię 3, więc τ b /,8, / 3,7 Obliczm: / 3,7 3,6 d τ b / τ b /,39 3 /,4 oczi: G τ d,45, τ τ,45,45,4 3,6 3 6

63 b obi cz Njczęścij oow modl obiów: lb G τ G dl τ τ G i G dl τ τ i τ Podcz oowi ochczch mod idficji ojm wczśij wmiio modl AR, MA, ARMA, ARMAX, ARX, Box'-Ji,..., prz żci ępjącch morów: jmijzj m wdrów LS zmij irmlj IV jwięzj wirgodości ML Soow ą ż mod orlcj orz mod modl odiii mlcj polgjąc worzi modl obi i jgo dorji ż do zi zgodości wjści modl z wjścim obi Więzość wmiioch oio mod wmg żci oprogrmowi pcjliczgo. Przłd igo oprogrmowi: MALAB - Sm Idificio oolbox EDIP - Oprcow w Polichic Śląij IdCAD - Oprcow w Ici Aomi i Roboi PW Procdr idficj mją zwl chrr ircj i dziłją wg ępjącgo chm 63

64 Wbór l modl Wbór rr modl Emcj prmrów modl o wbrj rrz Zmi rr modl Sprwdzi dołdości modl NIE Dołdość modl zdowljąc? AK Soowi modl 6.3. Rglor PID Uowi rglor w łdzi rglcji omczj pozo poiżzm r. Sgłm wjściowm j odchli rglcji -w, wjściowm gł rjąc. z O - R R - - w Podwow rodzj rglorów o dziłi ciągłm lb qi-ciągłm rlizją fcj PID dziłi: P proporcjol, I cłjąc, D różiczjąc. 64

65 Dl liiowch rglorów o dziłi ciągłm lgorm PID m poć: idl b rzczwi G p d G p i d i gdzi: p wzmocii proporcjol i cz zdwoji ł czow cji cłjącj d cz wprzdzi ł czow cji różiczjącj d d wzmocii dmicz jczęścij 4 Jżli dziłi PID rlizow j drodz cfrowj w rglorz miroprocorowm lb omprz, o zj ię j z pomocą lgorm pozcjgo lb przroowgo, l dl opror f ońcow j i m. blic odpowidzi oowch rglorów PID przdwio j ępj roi. W orch rozwiązich orcjch rglorów przrząd rlizją oprócz lgormów PID wil dodowch fcji. W zczgólości w rglorch wzcz ą zwz odchłi rglcji -w lb w- dziłi pro lb odwro orz grow j wwęrz gł wrości zdj w. 65

66 Rodzj rglor rmicj i rówi chrri oowj Chrr oow Rodzj rglor rmicj i rówi chrri oowj Chrr oow P p p PD rzczwi d p d p I i i PID p d i p [ dδ ] i gdzi: δ j fcją Dirc PI PD p i p p [ δ ] p gdzi: δ j fcją Dirc d d i PID rzczwi p d i d p i 66

67 6.4. Rglor miroprocorow Są rządzimi progrmowlmi o brdzo zroich możliwościch fcjolch, o wil wjścich i wjścich, z ilom blomi PID, z możliwością złowi wjściowch głów rjącch qi-ciągłch, dwwch P lb rójwch 3P. Przłdow rr fcjol rglor miroprocorowgo EFRONIK X poz zoł iżj. W rrz j moż wróżić 6 wrw, w órch zjdją ię progrmowl bloi fcjol w wrji 4-wjściowj zw ż blomi progrmowlmi lb róo blomi. Ozczi: AI wjści logow Alog Ip DI wjści dr Digil Ip AO wjści logow Alog Op DO wjści dr Digil Op H wrość gór High L wrość dol Low Wjści bloów w wrwi ą bzpośrdio połączo z wjścimi przworiów /c, wjści bloów w wrwi 5 z wjścimi przworiów c/, w związ z czm żd wjściow gł logow mi przchodzić przz wrwę, zi logowgo gł wjściowgo mi odbwć ię przz wrwę 5. Ozczi pozczgólch bloów ą dwcfrow: pirwz cfr ozcz mr wrw, drg olj mr blo w dj wrwi. Kżd blo moż rlizowć jd z lgormów, wbr w rci progrmowi, z biblioi lgormów dl dj wrw. Wwąrz dj rr fcjolj wzi oprcj rlizow ą głch cfrowch, órch zormlizow zr zmiości woi. 67

68 PRZYKŁADY Z BIBLIOEKI ALGORYMÓW EF-X * 4* 5** 6** 7** 8** -- 3* 4* 5** 6** 7** 8** --3 3* 4* 5** 6** 7** 8**...7 [] f ł filrcji lą czow czło ircjgo - go rzęd wi od do PV mi. Wrość miiml wilości mirzoj w jdoch fizczch PV mx. Wrość mml wilości mirzoj w jdoch fizczch --8 Algorm fcji przwrzi gł: -YX; 3* -Y K*XK; 4* -YK*-XK; 5** 3 -YK*SQRXK; 6** 4 -YKl*X -fk; 7** 5 -YK*SQRX 3 K; 8** 6 - REZERWA; 7 -Y SQRK*XK; 8 -Y K*%; 9 - lirzcj chrri rmorzor P 3--5 Kod lgorm: -.Y- Xl; 3 - Y KK*XX/K; Y KKl*Xl-X/Kll; 5 4 -Y K*X*XK; 6 5 -Y K*X/XK X>X; Y mx X,X wbir mx ; 7 - Y mi Xl,X wbir mi ; 8 - YK*XlXK; - Y K*X-XK; 4--8 Algorm rglcji: -PID- 3* - PID RAIO; 4* 3 -PID AUO RAIO; 5** 4 -PID AUO BLAS; 6** 5 - P z wm pm prc 4 - x - 9; 7** 6 -PID DDCCM; 7 -PID DDC CMA; 8 -PID DDCSPC; REZERWA; 68

69 6.5. Worzi rowiów PLC do rglcji Więzość rowiów, oprócz możliwości rlizcji rowi wcjgo, m ż lgorm PID w wj biblioc, co pozwl worzć łd omi o zróżicowch zdich rowi, zwirjącch m.i. lcz obwod rglcji Rglcj lb rowi w rbi of-corol Niór firm propoją jż chię rowi polgjącą rlizcji wzich fcji rglor lb rowi przz ompr. chi m jzcz ogriczo zięg, gdż w rozwiązich przmłowch jioijz j izwodość dziłi i rzb dpoowć rządzimi mogącmi przjąć rowi w przpd wrii ompr. 69

70 7. WYMAGANIA SAWIANE UKŁADOM AUOMAYKI 7.. Sbilość A. Dfiicj i wri bilości łdów liiowch ciągłch, cjorch Sbilość j cchą łd, polgjącą powrci do rówowgi łj po i dziłi złóci, ór wrąciło łd z go. z - O R - w R 7. Schm zmięgo łd rglcji omczj: O obi rglcji, R - rglor Zmię łd liiow r 7. będzim więc wżć z bil, jżli prz żdj ończoj wrości złóci z i wrości zdj w orz dl dowolch wrów począowch gł wjściow dążć będzi do ończoj wrości loj dl cz dążącgo do iończoości. Niid prczj ię dodowo, ż gd po ziięci złóci łd powrc do go mgo rówowgi co zjmow poprzdio, wówcz j bil mpoczi. Przłd przbigów wępjącch w łdch bilch i ibilch pozo r 7.. Jżli łd zmię opi j z pomocą liiowgo rówi różiczowgo m m d d d z d z bm bm b z K m K m 7. d d d d lb odpowidjącj m rmicji oprorowj: m m bm bm K b M G 7. z K N o czow przbig gł wjściowgo po dowolm złóci o wrości ończoj opi j wzorm o ępjącj poci ogólj * : A A z 7.3 gdzi ą pirwimi rówi chrrczgo łd zmięgo miowi rmicji oprorowj rówgo zr * Prz złożi, ż rówi chrrcz i m pirwiów wiloroch i rówch zr. 7

71 N 7.4 z j wrością złóci. Złóci z moż bć wprowdzo w dowolm mijc łd, w zczgólości złócim moż bć rówiż zmi wrości zdj w. b R 7. Przbigi przjściow: w łdch bilch, b w łdch ibilch Koiczm i doczm wrim bilości mpoczj łd j, b pirwii rówi chrrczgo łd zmięgo mił jm części rzczwi. Wówcz R < 7.5 lim A z 7.6 gdzi A j wpółcziim o wrości ończoj i łd j bil w podm przdio i. Słdow przjściow wilości wjściowj ziją wówcz do zr prz, pozoj jdi łdow lo, orślo czmi włościmi łd. Przpdi pirwiów zpoloch orz wiloroch omówio ą w []. B. Krrim Hrwiz Ab wzi pirwii rówi chrrczgo * K 7.7 mił części rzczwi jm, mzą bć płio ępjąc wri: wzi wpółczii rówi 7.7 iiją i ą więz od zr j o wr oicz, l i docz >, >, K, > * Rówi o odpowid rówi 7.4 7

72 7 b podwzczii i, od i do i-, wzczi główgo ą więz od zr. Wzczi, worzo z wpółcziów rówi 7.7,m wirz i olm: K K K K K K K K K K Podwzczii i mją poć: KK,, Przdwioo prcz formłowi rrim. W orgilm formłowi Hrwiz wmg ię, b wzi podwzczii i, z. Od i do i, bł więz od zr. Poiwż jd zchodzi:, zm w przpd płii wr. prwdzi dodiości podwzczi i wzczi główgo j iclow. C. Krrim Michjłow Krrim Michjłow pozwl wrśl prwdzi bilości łd rglcji omczj. Pod zoi wprowdzi go rrim. Rówi chrrcz łd zmięgo moż przdwić w poci:... N 7.8 gdzi,, ą pirwimi go rówi. Jo zmią izlżą możm wbrć m.i. zbiór pów położoch oi liczb rojoch, wówcz jω i lw ro rówi chrrczgo przjmj ępjącą poć:... j j j j N ω ω ω ω 7.9 Kżd z cziów jω moż przdwić grficzi jo różicę dwóch worów, wor jω orz wor przdwijącgo - pirwi rówi chrrczgo. Fcję Njω, jo fcję zmij zpoloj, moż przdwić w poci włdiczj: φ ω ω j j N j N gdzi: j j j j N ω ω ω ω... ozcz modł fcji Njω, omi

73 φ rg N jω rg jω rg jω... rg jω 7. ozcz rgm fcji Njω. Jżli przjmjm, ż pośród pirwiów rówi chrrczgo -m pirwiów zjdj ię w lwj półpłzczźi, m pirwiów w prwj, o zmi rgm Njω prz zmii ω od - do wii: rg N jω m π < ω< 7. Poiwż wrim bilości j, b wzi pirwii rówi chrrczgo mił jm części rzczwi, łd będzi więc bil, jżli m, z. jżli rg N jω π < ω< Wr moż prościć, jżli wżm, ż Njω j rzwą mrczą względm oi liczb rzczwich. Podwijąc w rówi 7.7 jω zpizm lwą roę w poci: Orz N 7. jω jω jω K jω 7.3 Czść rzczwi i rojo Njω wozą: P ω 4 6 ω ω ω K Q ω ω ω ω ω K N jω P ω jq ω, N jω P ω jq ω 7.5 Wrcz więc zbdć przbig jdj z głęzi rzwj Njω, dl plcji zmiijącj ię od do. Krrim Michjłow moż formłowć oczi j ępj: łd rglcji omczj j bil wd i lo wd, gd zmi rgm rzwj Njω prz zmii plcji od do woi π/, gdzi ozcz opiń rówi chrrczgo. π rg N jω ω< < Krzwą Njω zw ię iid rzwą chrrczą lb hodogrfm Michłow

74 b jqω ω ω ω jqω ω ω Pω 3 4 ω R 7.3 Krzw chrrcz łdów: bilch, b ibilch D. Krrim Nqi Pω Krrim Nqi m dż zczi prcz, poiwż pozwl bdć bilość łd zmięgo podwi przbig chrri częoliwościowj łd owrgo, órą moż wzczć zrówo liczi, j i doświdczli. Rozprzm łd liiow o chmci bloowm przdwiom poiżj: w G - G R 7.4 Schm bloow łd rmicj łd owrgo woi G O G G 7.7 w Przdwijąc ę rmicję w poci ilorz wilomiów zmij orzmm: prz czm M O GO 7.8 N O N O 7.9 j rówim chrrczm łd owrgo; złdm, ż opiń go rówi rów ię. rmicj łd zmięgo woi 74

75 G G Z 7. w G G Rówi chrrcz łd zmięgo N Z M O NO 7. j rówiż opi, poiwż opiń M O i j igd więz od opi N O. Zbdm zmię rgm fcji N Z jω GO jω 7. N jω O rg[ G < ω< O jω] rg N < ω< Z jω rg N < ω< O jω 7.3 Przpd. Ułd owr j bil. Rówi chrrcz łd owrgo m wzi pirwii w lwj półpłzczźi zmij. Zgodi z rrim Michjłow: π rg N O jω < ω< Ułd zmię będzi bil, jżli π rg N Z jω < ω< Wr bilości łd zmięgo moż więc zpić rg[ < ω< G O jω] 7.4 Ozcz o, ż wr rzwj [ G O jω] i moż objmowć począ łd wpółrzędch mi ię zczć i ończć jdj proj wchodzącj z począ łd. m wr odiio do chrri częoliwościowj mplidowofzowj łd owrgo G O jω będzi formłow j ępj: Jżli owr łd rglcji omczj j bil i jgo chrr mplidowo-fzow G O jω dl plcji ω od do i objmj p -,j, o wd i lo wd po zmięci będzi o rówiż bil. Przłdow wr rzwch [ G O jω] orz G O jω łdów bilgo i ibilgo po zmięci zwioo r 7.5: 75

76 b jqω jqω ω ω Pω ω ω Pω G jω G jω jqω jqω -,j ω ω Pω -,j ω ω Pω G jω G jω R 7.5 Chrri łdów, ór po zmięci będą: bil, b ibil W przpd złożogo zł rzwch G O jω wgodi j połgiwć ię wijącą bzpośrdio z podgo rrim zw. rgłą lwj ro, ór mówi, ż łd zmię j bil wd, id p -,j zjdj ię w obzrz lżącm po lwj roi chrri G O jω, idąc w roę roącch ω. Zoowi j rgł moż prwdzić przłdzi chrr podch r b jqω jqω -,j ω ω ω ω Pω -,j Pω G jω G jω jqω jqω -,j ω ω G jω Pω -,j G jω Pω ω ω R 7.6 Chrri G O jω łdów, ór po zmięci będą: bil, b ibil 76

77 Przpd łdów czch, órch chrri pozo w dolj części r. 7.6, wmg bliżzgo wjśii. Jżli łd owr zwir p. jd lm cłjąc, o chrr G O jω dl ω zcz ię w pci o wpółrzędj rojoj j i mogą powć wąpliwości, cz chrr objmj p -,j, cz i. rmicj oprorow łd owrgo m wówcz poć M G O N rmicj widmow G O jω j odwzorowim oi liczb rojoch płzczz zpoloj z pomocą fcji G O. W dm przpd chrr G O jω m dl plcji ω p iciągłości; mplid przjmj wrość iończi wilą, fz zmii ię oowo o 8 o. Jżli zliczm big zrow rmicji G do lwj półpłzczz, o możm objść go półoręgim o iończi młm promii r, zgodi z r Dl wrości bliich zr mm wd: prz czm jϕ r π π < ϕ <, rmicj G O przjmj poć: M GO N r M Poiwż ilorz wilomiów N jϕ dl m łą wrość, zm: GO r R jϕ jϕ jϕ prz czm R. Jżli rz wor r zmii wój rgm od do π/ irją dodi wrości ω, o G O zmii rgm od do π/ po oręg o promii R. b jω jqω ω ϕ Pω α G jω -jω ω ϕ π/ R 7.7 Odwzorowi oi jω z włączim big zrowgo dl łd czgo o rmicji G jω / jω jω α Przpd. Ułd owr j ibil. Rówi chrrcz łd owrgo m -m pirwiów w lwj półpłzczźi zmij orz m pirwiów w prwj półpłzczźi. Zgodi z wzorm 7.: 77

78 rg N jω m π < ω< lb, poiwż N jω j rzwą mrczą względm oi liczb rzczwich, π rg N jω m < ω< Ułd zmię będzi bil, jżli π rg N z jω < ω< Wr bilości łd zmięgo moż więc zpić m rg[ G jω] π < ω< 7.5 Wr, odiio do chrri mplidowo-fzowj łd owrgo Gjω, będzi formłow j ępj: Jżli owr łd rglcji omczj j ibil i m m pirwiów wgo rówi chrrczgo w prwj półpłzczźi zmij, o po zmięci będzi o bil wd i lo wd, gd chrr mplidowo-fzow łd owrgo dl plcji ω od do orąż m/ rz p -,j w ir dodim *. Zoowi rrim Nqi w podm oio formłowi wmg więc zjomości liczb pirwiów rówi chrrczgo łd owrgo z dodią częścią rzczwią, co brdzo ogricz jgo zczi. Omwi przpd j brdzo rzdi, gdż łd omi po w prc ą zwl w i owrm bil m. * Jo ir dodi przjmj ię ir przciw do rch wzów zgr. 78

79 E. Logrmicz rrim Nqi Rozwżm dw łd owr, órch chrri mplidowo-fzow przdwioo r R 7.8 Chrri mplidowo-fzow G O jω łdów owrch: łd zmię bil, M zp modł, φ zp fz, b- łd zmię ibil Ułd będzi po zmięci bil, omi łd b ibil. Z rrim Nqi wi bzpośrdio ępjąc wr bilości: Gdzi ω x j plcją, dl órj G jω O x < 7.6 rgg j 8 O ω O x 7.7 Rówoczśi wri orślić moż zw. zp bilości łd, w poci zp modł M i zp fz φ. Jżli chrr częoliwościow łd owrgo pod j w poci logrmiczch chrr mplidowj Lω i fzowj φω, o wr 7.6 moż ząpić rówowżm wrim: L ω x log GO jωx < 7.8 Dl proch łdów omi o chrrch częoliwościowch p przdwiogo r. 7.8 rrim bilości moż formłowć ępjąco: Zmię łd rglcji omcz j bil wd, gd logrmicz chrr mplidow bilgo łd owrgo m wrość jmą prz plcji odpowidjącj przięci fzowm -8 o. 79

80 R 7.9 Wzczi zp modł M i zp fz φ wrch chrr logrmiczch W przpdch łdów o chrrch brdzij złożoch, p przdwiogo r poiżj, iij il plcji ω z, dl órch chrr fzow przjmj wrość -8 o. jqω -,j ω ω ω Pω b R 7. Przłd chrr złożoch łdów: bilch, b ibilch Kżdj z ch plcji odpowid jd wrość logrmiczj chrri mplidowj Lω. Jżli łd owr j bil, o łd zmię bil j wd, gd liczb wrości dodich Lω x j prz, ibil gd liczb wrości dodich Lω x j iprz. Wr zilrowo r. 7., gdzi przdwioo chrri Lω i φω odpowidjąc chrrom G O jω z r

81 R 7. Logrmicz chrri mplidow i fzow łd owrgo: łd zmię bil; b łd zmię ibil F. Sbilość łdów drch rmicję drą łd implowgo przwim w poci: L z G z 7.9 M z Gdzi: L z b z M z z l l K b z b K z Rówim chrrczm łd implowgo zmięgo j: M z 7.3 Ułd implow zwm bilm mpoczi, jżli dr wrości łdowj przjściowj odchłi chb rglcji w chwilch implowi mlją do zr. Liiow cjor łd implow j bil wd i lo wd, gd pirwii z i rówi chrrczgo Mz go łd płiją wr: z < dli,, K, i z. lżą płzczźi zmij zpoloj z wwąrz oręg o promii rówm jdości i o środ w począ łd wpółrzędch. Jżli d łd dr opi j rówim : xaxb 7.3 8

82 prz czm x i ą odpowidio wormi i rowi, A i B mcirzmi o łch, izlżch od lmch, o j o bil wd i lo wd, gd wrości wł z i mcirz A czli pirwii rówi Mzd[zI-A] 7.3 lżą płzczźi zmij zpoloj z wwąrz oręg o promii jdości i środ w począ łd wpółrzędch. Krri bilości Hrwiz i Nqi liiowch cjorch łdów implowch. Moż wzć [Kczor], ż fcj w w z lb z w w odwzorowj obzr oł o promii r i środ w lwą półpłzczzę płzczz zmij zpoloj w. Im z Im w - R z R w Zm dl z < zchodzi R w < Krrim Hrwiz Rówi chrrcz o poci M z z z K z, > 7.33 lb po przzłci N w M z b w b w K b w b 7.34 w z w m wzi pirwii płzczźi zmij zpoloj z wwąrz oręg o promii r w lwj półpłzczźi w wd i lo wd, gd wzi wrz ciąg,,, ą dodi 8