Jednak najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu pierwszego jest równanie postaci

Transkrypt

1 RÓWNNI RÓŻNIZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO POJĘI WSTĘPNE D rówi różizow zwzj irwzo rzędu Rówi różizow zwzj rzędu irwzo zw rówi oi: R Uw Będzi ię rówiż ołuiwli zw orą różizową rówi różizowo zli rówi oi P d Q d Jd joólijzą orą rówi różizowo rzędu irwzo j rówi oi F Izj ówią rówi różizow rzędu irwzo j zlżośią iędz ują iwidoą zią izlżą i irwzą oodą uji iwidoj D rozwiązi rówi różizowo Fuję zw rozwiązi rówi różizowo R rzdzil b jżli j o różizowl rzdzil orz zii o rówi w ożość rwdziwą dl wzi b Wr r rozwiązi rówi różizowo zw jo rzwą łową R Krzw łow Uw loizi orśl rozwiązi rzdził oi: [b b] [b] - b - b] [ - Prz z w rzdu d rozwiązi orślo j rzdzil doię z jdo lub obu ońów rzz jo oodą ońu rzdziłu rozui odowidią oodą jdoroą Rozwiązi rówi różizowo zd w oi uwiłj Φ zw łą o rówi Poiwż żd rozwiązi j łą ioizi odwroi wię zęo w odiiiu do rozwiązń użw ię ż riu ł Sąd ówi zwzjowo łowć rówi różizow zi rozwiązć rówi D 3 zdii oząow Rówi różizow R orz wru W zw zdii oząow lub zdii u o Uw Zdii oząow będzi ziwli róo RW Prz z lizb i zw wrośii oząowi wru W zw wrui oząow D 4 rozwiązi zdii oząowo Fuj j rozwiązi zdii oząowo RW jżli j rozwiązi rówi R w rzdzil zwirją i łi wru W R

2 Uw W irrji orzj rozwiązi zdii oząowo ol zlziiu wśród wzi rzw łow rówi R j ór rzodzi rzz u r Jd zdii o ioizi ui ić jdozz rozwiązi Moż iić więj iż jdo rozwiązi do zdii oząowo Iii rozwiązń zdii oząowo orz i jdozzość j jd z łów roblów orii rówń różizow zwzj Tw 5 o iiiu i jdozzośi rozwiązń rówi R Ni uj orz jj ood ząow będą orślo i iął obzrz doię D R Wd dl żdo uu D zdii oząow RW dołdi jdo rozwiązi Uw Izj ówią rz dowol wrośi oząow wbr z obzru D iij zwz rozwiązi zdii oząowo RW o więj jżli d ą dw rozwiązi o wrośi oząow W rz z żd z rozwiązń orślo j w rzdzil zwirją u o rozwiązi orwją ię wólj zęśi rozwż rzdziłów D 6 rozwiązi oól i zzól rówi różizowo Rodzię uji zlż od rru rzzwio zw rozwiązi oól rówi R jżli: żd uj j rodzi j jo rozwiązi dl żdo wruu oząowo dl óro rozwiązi iij i j jdozz oż dobrć łą b Kżdą uję orzą z rozwiązi oólo rówi R rz uloj wrośi rru zw rozwiązi zzól o rówi Uw Rozwiązi zdii oząowo jżli iij i j jdozz j rozwiązi zzól W r zjoość rozwiązi oólo j brdzo dood dż rzz odowidi dobór rru oż orzć rozwiązi zdii oząowo Rozwiązi oól rówi różizowo orślo w oi uwiłj Φ zw łą oólą o rówi RÓWNNI RÓŻNIZKOWE O ZMIENNYH ROZDZIELONYH D rówi różizow o zi rozdzilo Rówi różizow o zi rozdzilo zw rówi oi S Uw Zuwż ż jżli dl wo o uj j jd z rozwiązń owżzo rówi W ori różizowj o zi rozdzilo rzjuj oć d d F ł oól rówi S Ni uj i będą iął odowidio rzdził b i d rz z dl żdo d Wd ł oól rówi różizowo o zi rozdzilo S d j wzor d d Uw łi w owżz wzorz rozui ą jo dowol lz ulo uj irwo Tw 3 o iiiu i jdozzośi rozwiązń rówi S Ni uj i będą iął odowidio rzdził b i d rz z dl żdo d Wd dl żdo uu dzi b d zdii oząow dołdi jdo rozwiązi Uw Izj ówią rzz żd u rooą b d rzodzi dołdi jd rzw łow r3 rówi

3 R 3 3 RÓWNNI RÓŻNIZKOWE JEDNORODNE D 3 rówi różizow jdorod Rówi różizow jdorod zw rówi oi J Uw Jżli u u o rówi jdorod rzjuj oć i łuj ię rz oo od rozdzilo zi Jo rozwiązi oól d j wd wzor dzi R jżli u u dl wo u o jd rozwiązi rówi J j uj u F 3 o zii zi w rówiu jdorod Rówi jdorod J rzz zię zi u rowdz ię do rówi o zi rozdzilo oi u u u Tw 33 o iiiu i jdozzośi rozwiązń rówi J Ni uj u będzi iął rzdzil b i i łi i wru u u Wd dl żdo uu io ż < < b zdii oząow dołdi jdo rozwiązi R 4 Uw Izj ówią rzz żd u obzru : < < b rzodzi dołdi jd rzw łow r 4 rówi J

4 4 RÓWNNI RÓŻNIZKOWE LINIOWE D 4 rówi różizow liiow Rówi różizow liiow irwzo rzędu zw rówi oi L q Jżli q o rówi zw ijdorod W rzdu rziw zw j jdorod Uw Rówi różizow liiow jdorod j zzól rzdi rówi różizowo o zi rozdzilo w ór rzjęo Tw 4 o iiiu i jdozzośi rozwiązń rówi L Ni uj i q będą iął rzdzil b dzi < b Wd dl żdo uu dzi b orz R zdii oząow q dołdi jdo rozwiązi Rozwiązi o j orślo rzdzil b R 5 Uw Izj ówią rzz żd u b R rzodzi dołdi jd rzw łow r 5 rówi różizowo liiowo 5 RÓWNNIE RÓŻNIZKOWE BERNOULLIEGO D 5 rówi różizow Broullio Rówi różizow Broullio zw rówi oi r q dzi r R-{} Uw Gdb douśić r o rówi Broullio błob rówi różizow liiow ijdorod Noi dl r rówi o błob rówi różizow liiow jdorod Zuwż jzz ż dl r > uj j zwz jd z rozwiązń rówi Broillio F 5 rowdzi rówi Broullio do rówi liiowo Rówi Broullio r q dzi r rzz zię zi z r rowdz ię do rówi liiowo ijdorodo oi z r z r q 6 KRZYWE ORTOGONLNE D 6 rówi rodzi rzw Jżli rówi Φ dl żdj wrośi rru z wo rzdziłu orśl rzwą o zw j rówi rodzi rzw r 6 D 6 rodzi rzw orool Mówi ż rodzi rzw Φ Ψ ą orool jżli w żd ui rzięi rzw z obu rodzi rzw worzą iędz obą ą ro r 7

5 R 6 R 7 F 6 rówi różizow rodzi rzw orool Jżli F j rówi różizow rodzi rzw o rówi różizow rodzi rzw orool oć F 7 POJĘI WSTĘPNE DL RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH WYŻSZYH RZĘDÓW D 7 rówi różizow zwzj -o rzędu Rówi różizow zwzj rzędu zw rówi oi R Uw Njoólijzą orą rówi różizowo rzędu j wrżi oi F D 7 rozwiązi rówi różizowo -o rzędu Fuję różizowlą -roi rzdzil owr b zw rozwiązi rówi różizowo R rzdzil jżli zii o rówi w ożość rwdziwą dl wzi lżą do rzdziłu b Wr rozwiązi rówi różizowo zw jo rzwą łową D 73 zdii oząow Rówi różizow R orz wrui W zw zdii oząow lub zdii u o Uw Zdii oząow będzi ziwli róo RW rz z lizb i - zw wrośii oząowi wru W zw wrui oząow D 74 rozwiązi zdii oząowo Fuj j rozwiązi zdii oząowo RW jżli j rozwiązi rówi R rzdzil zwirją u i jżli łi wrui W D 75 rozwiązi oól i zzól rówi różizowo Rodzię uji zlż od rzzwi rrów zw rozwiązi oól rówi jżli: żd uj j rodzi j rozwiązi o rówi dl żdo ułdu wruów oząow dl óro rozwiązi iij i j jdozz oż dobrć ł b Kżdą uję orzą z rozwiązi oólo rówi R rz ulo wrośi rrów zw rozwiązi zzól o rówi

6 Uw Rozwiązi zdii oząowo jżli iij i j jdozz j rozwiązi zzól W r zjoość rozwiązi oólo j brdzo dood dż rzz odowidi dobór rrów oż orzć rozwiązi zdii oząowo 8 RÓWNNI RZĘDU DRUGIEGO SPROWDZLNE DO RÓWNŃ RZĘDU PIERWSZEGO F 8 rówi różizow oi Rówi różizow druio rzędu oi rzz odwii u rowdz ię do rówi różizowo rzędu irwzo oi u u F 8 rówi różizow oi Rówi różizow druio rzędu oi rzz odwii q rowdz ię do rówi różizowo rzędu irwzo oi dq q q d RÓWNNI RÓŻNIZKOWE LINIOWE WYŻSZYH RZĘDÓW POJĘI WSTĘPNE D Rówi różizow liiow rzędu Rówi różizow liiow rzędu zw rówi oi L Uw Jżli o będzi ili i q zi odowidio i Rówi różizow liiow rzędu druio wd oć L q Tw o iiiu i jdozzośi rozwiązń dl rówi L Ni uj i będą iął rzdzil b Wd dl żdo uu - b R zdii oząow dołdi jdo rozwiązi Rozwiązi o j orślo rzdzil b RÓWNNI RÓŻNIZKOWE LINIOWE JEDNORODNE D rówi różizow liiow jdorod Rówi różizow jdorod rzędu zw rówi oi LJ Uw Dl rówi druio rzędu w rzdu LJ iz i q zi odowidio i zli LJ q F o obiji liiowj rozwiązń rówi jdorodo Ni ϕ ψ będą rozwiązii rówi jdorodo LJ Wd dl dowol ł uj ϕ ψ j ż rozwiązi o rówi Uw Izj ówią dowol obij liiow rozwiązń rówi różizowo liiowo jdorodo j rówiż rozwiązi o rówi D 3 ułd udl rówi LJ Ułd rozwiązń rówi jdorodo LJ orślo rzdzil b zw ułd udl o rówi rzdzil jżli dl żdo b łio j wru

7 d Uw Powżz wzzi ozz rzz W i zw wrońi ułdu uji F 4 Wzór Liouill Ni będzi ułd rozwiązń rówi jdorodo LJ orślo rzdzil b Wd i wrońi W W łi wru dzi j dowol u z rzdziłu b W W τ dτ F 5 o oi rozwiązi oólo rówi liiowo jdorodo Ni będzi ułd udl rówi jdorodo LJ Wd rozwiązi oól o rówi d j wzor dzi ą dowoli łi rzzwii Uw Przoi ż z rozwiązi oólo rzz odowidi dobór ł oż orzć rozwiązi żdo zdii oząowo Rozwiązi oól rówi liiowo jdorodo będzi ozzli bol RORLJ F 6 o obiżiu rzędu rówi liiowo jdorodo Ni ϕ będzi róż od zr rozwiązi rówi różizowo liiowo jdorodo rzędu Wd rzz odwii ϕ zd rówi o rowdz ię do rówi liiowo jdorodo rzędu - wzlęd owj zij z Uw Jżli z jdo rozwiązi rówi liiowo jdorodo rzędu druio o zlzii rozwiązi oólo o rówi rowdz ię do rozwiązi orzo rzz odwii rówi liiowo jdorodo rzędu irwzo 3 RÓWNNI RÓŻNIZKOWE LINIOWE O STŁYH WSPÓŁZYNNIKH D 3 rówi różizow liiow o ł wółzi Rówi różizow liiow jdorod rzędu o ł wółzi zw rówi oi LS dzi R Uw Kżd rozwiązi rówi różizowo liiowo o ł wółzi LS j orślo R Przoi ż zodi z orzdią uową rówi różizow jdorod rzędu druio o ł wółzi oć LS q D 3 wiloi i rówi rrz Rówi oi zw rówi rrz rówi różizowo liiowo o ł wółzi LS Noi wiloi w zw wiloi rrz o rówi F 33 o oi ułdu udlo rówi LS Ni będą rzzwii irwii o roośi odowidio i i i i i i dzi będą zoloi irwii o roośi odowidio l l wiloiu rrzo w rówi liiowo o

8 ł wółzi LS rz z l l Wd ułd udl o rówi worzą uj: l o o o l i i i o i o i Uw W zwiiu: irwiowi rzzwiu jdorou odowid uj irwiowi rzzwiu -rou odowid uji l l ; o i 3 rz jdoro rzężo z obą irwiów zolo i i odowid r uji o ; i 4 rz l-ro rzężo z obą irwiów zolo i i odowid l r uji o i o i F 34 lor rozwiązwi rówń o ł wółzi l l o i Rówi jdorod o ł wółzi LS ; Rówi rrz Pirwii rówi rrzo Ułd udl rówi LS Rozwiązi oól rówi LS RORLS 4 RÓWNNIE EULER D 4 rówi Eulr Rówi różizow Eulr rzędu zw rówi oi E dzi R Uw Do rówi Eulr E rowdz ię rówi różizow oi b b b b o dooć lż odwić b

9 F 4 o rowdziu rówi Eulr do rówi liiowo Podwii τ rz > lub τ rz < rowdz rówi Eulr do rówi różizowo liiowo jdorodo o ł wółzi 5 RÓWNNI RÓŻNIZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE D 5 rówi różizow liiow ijdorod Rówi różizow liiow ijdorod rzędu zw rówi oi LN dzi Uw Przoi ż zodi z orzdią uową rówi różizow liiow ijdorod rzędu druio oć LN q F 5 o oi rozwiązi oólo rówi ijdorodo Ni będzi ułd udl rówi jdorodo LJ i i ϕ będzi dowol rozwiązi rówi ijdorodo LN Wd rozwiązi oól rówi ijdorodo d j wzor ϕ dzi ą dowoli łi rzzwii Uw Rozwiązi oól rówi ijdorodo LN będzi ozzli bolr RORLN Zuwż ż rozwiązi o j uą rozwiązi oólo RORLJ rówi jdorodo i dowolo rozwiązi ϕ rówi ijdorodo o oż zić w oi RORLN RORLJ ϕ Kżd rozwiązi rówi liiowo j rozwiązi zzól o rówi 6 METOD UZMIENNINI STŁYH F 6 od uziii ł Ni będzi ułd udl rówi jdorodo LJ Wd uj dzi ą dowoli rozwiązii ułdu rówń j rozwiązi zzól rówi ijdorodo LN Uw Powżz ułd rówń wzlęd iwido jdozz rozwiązi dż jo wzzi j wrońi ułdu udlo rówi jdorodo LJ ór j róż od zr 7 METOD WSPÓŁZYNNIKÓW NIEOZNZONYH METOD PRZEWIDYWNI D 7 ł orol Ni uj oć [ ] l l l l b b b b o i Słą orolą j uji zw lizbę σ i F 7 o rozwiązi zzól rówi liiowo ijdorodo Ni rw ro rówi liiowo ijdorodo o ł wółzi oć [ ] l l l l b b b b o i i i w będzi wiloi rrz o rówi σ i łą orolą uji Wd jżli σ i j irwii wiloiu w o uj oi S B B B B ] i o [

10 jżli σ j -ro irwii wiloiu w o uj oi S S B B B B ] i o [ dzi x{l} B B ą odowidio dobri wółzii rzzwii j rozwiązi zzól o rówi F 73 o urozji rozwiązń Ni uj ψ i ϕ będą rozwiązii odowidio rówń Wd i u ψ ϕ j rozwiązi rówi 3 UKŁDY RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH 3 POJĘI WSTĘPNE D 3 ułd rówń różizow Ułd rówń różizow rzędu irwzo zw ułd rówń oi U Uw Jżli o będzi ili x zi orz w ij Podobi jżli 3 o będzi ili x z zi 3 orz w ij 3 D 3 rozwiązi ułdu rówń ią uji orślo i różizowl rzdzil b zw rozwiązi ułdu rówń U rzdzil jżli zii o wzi rówi o ułdu w ożośi rzdzil b Uw W oji worowj ułd rówń różizow U oż zić w oi dzi Wd rozwiązi ułdu rówń U j ują worową

11 D 33 zdii oząow dl ułdu rówń Ułd rówń różizow U orz ułd wruów W zw zdii oząow lub zdii u o Uw Lizb i zw wrośii oząowi wru W zw wrui oząow Użwją oji worowj zdii oząow oż zić w oi UW D 34 rozwiązi zdii oząowo ią uji j rozwiązi zdii oząowo UW jżli j rozwiązi ułdu rówń U w rzdzil zwirją u i łi wrui W Tw 35 o iiiu i jdozzośi rozwiązń ułdu U Ni uj i dzi i wrz z woii oodi ząowi j i dzi i j będą orślo i iął obzrz D R Wd dl dowolo uu D zdii oząow UW dołdi jdo rozwiązi Rozwiązi o j orślo w ooziu uu D 36 rozwiązi oól i zzól ułdu rówń Rodzię uji worow zlż od rrów rzzwi zw rozwiązi oól ułdu rówń U jżli: żd uj worow z j rodzi j rozwiązi ułdu dl żdo ułdu wruów oząow dl óro rozwiązi iij i j jdozz oż dobrć ł b Kżdą uję worową orzą z rozwiązi oólo ułdu U rz ulo wrośi rrów zw rozwiązi zzól o ułdu Uw Rozwiązi zdii oząowo jżli iij i j jdozz j rozwiązi zzól W r zjoość rozwiązi oólo j brdzo dood dż rzz odowidi dobór rrów oż orzć rozwiązi zdii oząowo 3 UKŁDY RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH LINIOWYH D 3 ułd rówń różizow liiow Ułd rówń różizow liiow rzędu irwzo zw ułd rówń oi UL Uw W oji worowj ułd rówń UL rzjuj oć lub róo

12 Tw 3 o iiiu i jdozzośi rozwiązń dl ułdu UL Ni uj ij dzi ij orz i dzi i będą iął rzdzil b Wd dl żdo uu R b zdii oząow dołdi jdo rozwiązi Rozwiązi o orślo j rzdzil b 33 UKŁDY JEDNORODNE RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH LINIOWYH D 33 ułd jdorod rówń różizow jdorod Ułd jdorod rówń różizow liiow rzędu irwzo zw ułd rówń oi UJ Uw W oji worowj ułd jdorod UJ rzjuj oć F 33 o obiji liiowj rozwiązń ułdu jdorodo Ni ϕ ψ będą rozwiązii ułdu jdorodo UJ Wd dl dowol ł R uj worow ψ ϕ j rówiż rozwiązi o ułdu D 333 ułd udl ułdu jdorodo UJ Ułd rozwiązń ułdu jdorodo UJ orślo rzdzil b zw ułd udl o ułdu rzdzil jżli dl żdo b łio j wru d Uw Powżz wzzi ozz rzz W i zw wrońi ułdu uji worow F 334 o oi rozwiązi oólo ułdu jdorodo Ni będzi ułd udl ułdu jdorodo rówń różizow UJ Wd rozwiązi oól o ułdu rówń d j wzor dzi ą dowoli łi rzzwii Uw Przoij ż z rozwiązi oólo rzz odowidi dobór ł oż orzć rozwiązi żdo zdii oząowo Rozwiązi oól ułdu jdorodo UJ będzi ozzli bol ROUJL 34 UKŁDY RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH LINIOWYH O STŁYH WSPÓŁZYNNIKH D 34 ułd jdorod rówń liiow o ł wółzi Ułd jdorod rówń różizow liiow o ł wółzi zw ułd rówń oi

13 US dzi ij R dl i j Uw W oji worowj ułd jdorod rówń różizow liiow o ł wółzi US rzjuj oć Kżd rozwiązi ułdu US orślo j R Ułd US oż rozwiązwć odą liiji D 34 wiloi i rówi rrz irz będzi irzą wdrową oi Wiloi rrz irz zw wiloi ij Ni [ ] d w d I d dzi I ozz irz jdoową oi Rówi rrz irz zw rówi w D 343 wrośi wł i wor wł irz będzi rzzwią irzą wdrową oi Wrośią włą irz zw żd ij Ni [ ] rzzwi lub zolo irwi wiloiu rrzo j irz j lizbę łijąą rówi w Nizrow wor o rzzwi lub zolo wółrzęd zw wor wł irz odowidją wrośi włj rzzwij lub zoloj j irz jżli łi wru Uw Oią rówość oż zić w oi ułdu rówń F 344 o oi ułdu udlo ułdu US od Eulr I Jżli irz ułdu jdorodo rówń o ł wółzi US róż rzzwi wrośi wł o jo ułd udl łd ię z uji worow: dzi ą wori włi odowidjąi wrośio wł F 345 o oi ułdu udlo ułdu US od Eulr II Jżli irz ułdu jdorodo rówń o ł wółzi US ri róż zolo wrośi wł i i i i i i dzi j dl j o jo ułd udl łd ię z uji worow: R w I w 3 R w 4 I w R w I w dzi w w w ozzją wor wł odowidją wrośio wł F 346 o oi ułdu udlo ułdu US od Eulr III Jżli irz ułdu jdorodo rówń o ł wółzi US ri róż zolo wrośi wł orz ri róż zolo wrośi wł i i

14 i i i i dzi j dl j o jo ułd udl łd ię z uji worow: R I R I dzi ozzją wor wł odowidją rzzwi wrośio wł ozzją wor wł odowidją zolo wrośio wł 35 UKŁDY NIEJEDNORODNE RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH LINIOWYH D 35 ułd ijdorod rówń różizow liiow Ułd ijdorod rówń różizow liiow irwzo rzędu zw ułd rówń oi UN dzi i dl wo i Uw W oji worowj ułd ijdorod UN rzjuj oć F 35 o oi rozwiązi oólo ułdu ijdorodo Ni będzi ułd udl ułdu jdorodo UJ i i ϕ będzi dowol rozwiązi ułdu ijdorodo UN Wd rozwiązi oól ułdu ijdorodo d j wzor ϕ dzi ą dowoli łi rzzwii Uw Przoij ż z rozwiązi oólo rzz odowidi dobór ł oż orzć rozwiązi żdo zdii oząowo Rozwiązi oól ułdu ijdorodo UN będzi ozzli bol ROUNL Rozwiązi o ą ą oć j rozwiązi oól rówi liiowo ijdorodo LN ϕ ROUJL ROUNL 36 METOD UZMIENNINI STŁYH D 36 od uziii ł Ni d będzi ułd udl ułdu jdorodo UJ Wd uj worow dzi ą dowoli rozwiązii ułdu rówń j rozwiązi zzól ułdu ijdorodo UN Uw Powżz ułd rówń wzlęd iwido jdozz rozwiązi dż jo wzzi j wrońi ułdu udlo ułdu UJ ór j róż od zr

15 4 ELEMENTY RHUNKU OPERTOROWEGO 4 PRZEKSZTŁENIE LPLE D 4 ror Ll Ni uj będzi orślo rzdzil [ Trorę Ll uji ozz bol F lub L{} i diiuj wzor d F L{} d dzi j zią rzzwią Fuję F zw ż L-rorą lub obrz uji F 4 ror wżijz uji Fuj i o Tror! F 43 wrui wrzją iii ror Ll Ni uj :[ R ońzoą lizbę uów iiąłośi irwzo rodzju żd rzdzil [T] dzi T > ; M R M > Wd ror Ll L{} iij dl > Uw Fuję łijąą wrui i owżzo u będzi zwli orił F 44 o liiowośi rzzłi Ll Jżli iiją ror Ll uji i orz R o iij ror Ll uji orz L{} L{} L{}; iij ror Ll uji orz L{} L{} F 45 o jdozzośi ror Ll Jżli uj iął :[ R ją i ror Ll : F G o ą rów rzdzil [ 4 METOD OPERTOROW ROZWIĄZYWNI RÓWNŃ RÓŻNIZKOWYH F 4 ror -j oodj Jżli uj orz jj ood - ą oriłi odo uj rzdzil iąłą - ą oodą o iij ror L{} orz L{ } L{} F dzi F L{} li li li Uw Jżli uj - ą iął rworoi w ui o - -

16 43 WŁSNOŚI PRZEKSZTŁENI LPLE F 43 zi li Jżli uj j orił o dl dowolj łj > dzi F ozz obrz uji L{} F F 43 o różizowiu obrzu Jżli uj j orił o dzi F ozz obrz uji L{ } - F F 433 o rzuięiu ruów obrzu Jżli uj j orił o dl dowolj łj R L{ } F dzi F ozz obrz uji F 434 o rzuięiu ruów oriłu Jżli uj j orił o dl dowolj łj τ > L{ τ τ} -τ F dzi F ozz obrz uji F 434 o łowiu oriłu Jżli uj j orił o dzi F ozz obrz uji L F τ dτ F 435 ror wżijz uji d Fuj Tror! i o 44 SPLOT FUNKJI D 44 lo uji Ni uj i będą łowl żd rzdzil [T] dzi T > Slo uji i ozz bol i orśl wzor d τ dτ τ

17 F 44 włośi lou uji Ni uj będą łowl żd rzdzil [T] dzi T > i i R Wd ; [ ] ; 3 [ ] [ ] ; 4 [ ] [ ] Tw 443 wzór Borl Jżli uj i ą oriłi o iij ror Ll i lou orz L{ } L{} L{}