Elektrotechnika elektronika miernictwo

Transkrypt

1 Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek Wykład 05 i 06 Filtry i układy RLC

2 Decybel Decybel to jednostka logarytmiczna. 1B = log10(p/po), 1dB = 0,1B. Decybele służą do porównania dwóch sygnałów (oczywiście o identycznych jednostkach) i wyrażają ich logarytmiczny stosunek. Decybele stosujemy przede wszystkim w akustyce (tam gdzie reakcja układu biologicznego jest proporcjonalna do logarytmu natężenia bodźca). Stosujemy je również w elektronice. W przypadku porównywania amplitud mocy obowiązuje: kp[db] = 10log10(P2/P1). Dla napięciowych lub prądowych amplitud mamy: ka[db] = 20log10(A2/A1) bo 10log10(A22 /A12 ) = 10log10(A2/A1)2 = 20log10(A2/A1). Przy porównywaniu sygnałów o różnych przebiegach np. sygnału sinusoidalnego i szumu bierzemy wartości RMS czyli wartości skuteczne. Czasem wyrażamy daną wielkość odniesioną do wzorca lub wartości progowej np. 1V, lub w akustyce 20µP jako próg słyszalności (120dB oznacza µp). Jako wartości odniesienia można spotkać napięcia zapewniające wydzielanie mocy 1mW na standardowej oporności 50 Ω lub 600 Ω. Wartości skuteczne napięć wyrażone jako 0 dbm (m oznacza mw) wynoszą odpowiednio 0.22V dla obciążenia 50 Ω i 0.78V dla 600 Ω).

3 Decybel W komunikacji moc bywa wyrażana w jednostkach: dbw lub dbm: 100 W to 20 dbw, 1 W to 0 dbw, 0,5 W to -3 dbw, 1 W to 30 dbm. Napięcie bywa wyrażane w jednostkach dbv, co należy rozumieć jako:

4 Z poprzednich wykładów wiemy że: indukcyjność i pojemność, w odróżnieniu od idealnej rezystancji, przyczyniają się do powstawania różnicy faz między napięciem i prądem a ich impedancje zależą od częstotliwości wymuszeń elektrycznych: XL = jωl, XC = 1/jωC. Przypomnijmy nazwy: Impedancja (oporność zespolona): Z = R + X, R rezystancja, X reaktancja. Dla szeregowo połączonych idealnych L i C - gdy pomijamy rezystancję cewki i upływność kondensatora: X = j(xl XC) = j(ωl 1/ωC), Z = R + j(xl XC). Admitancja (przewodność zespolona): Y = 1/Z = G + jb G konduktancja, B susceptancja. Dla równolegle połączonych idealnych L i C: B = j(bc BL) = j(ωc 1/ωL) Z = (R2 + X2), Y = (G2 + B2), Z = Z ej[arctg(r/x)], Y = Y ej[arctg(b/g)]

5 Dla realnej cewki L obok jej indukcyjności Istotna jest również rezystancja uzwojenia RL Z = RL + jωl. Przy wysokich częstotliwościach napięć mogą okazać się istotne również pojemności pasożytnicze między doprowadzeniami i zwojami. Dla realnego kondensatora obok jego pojemności C istotnymi mogą okazać się: rezystancja upływności R u, rezystancja doprowadzeń Rd i indukcyjność doprowadzeń Ld Z = Rd + jωld + 1/(jωC + 1/RU)

6 W tym wykładzie pokażemy dalsze konsekwencje obecności pojemności i indukcyjności w obwodach elektrycznych. Między innymi zbadamy jaki wpływ mają one na tzw. pasmo przenoszenia oraz kształtowanie impulsów i skoków napięcia. Dowiemy się co to jest współczynnik dobroci (tzw. Q-factor). Poznamy też najprostsze filtry i dzielniki napięcia zawierające impedancję zależną od częstotliwości sygnału.

7 Pasmo częstotliwości Pasmo częstotliwości jest ważną wielkością i podstawowym pojęciem w systemach komunikacji. Pasmem częstotliwości dla danego sygnału nazywamy zakres częstotliwości jaki obejmuje spektrum tego sygnału. FM modulacja częstotliwości Aby przesłać informację przy pomocy fali nośnej o częstotliwości ωo trzeba ją zmodulować (zdeformować) w takt informacji. AM modulacja amplitudy Taka modulacja oznacza zamianę sygnału nośnego o jednej częstości na spektrum, które zajmuje pewne pasmo.

8 Filtrem nazywamy urządzenie, które wpływa na spektralny rozkład energii sygnałów elektrycznych. Filtry eliminujące zakłócenia

9 Rodzaje filtrów Podział pod względem pasma przenoszenia wyróżnia filtry: dolnoprzepustowe, górno-przepustowe, pasmowe (wąsko-pasmowe, szeroko-pasmowe), pasmowo zaporowe. Filtry dzielimy pod względem technologii wykonania: a) Pasywne - są nimi dzielniki napięcia (lub prądu) z elementami pasywnymi: R, C i L). b) Aktywne (zawierają, oprócz elementów R, C i L, tranzystory lub wzmacniacze operacyjne). c) Cyfrowe, w których sygnał jest zamieniany na postać cyfrową a następnie szeregi liczb są przetwarzane, filtrowane i ponownie zamieniane na sygnał. Filtry dzielą się też na liniowe i nieliniowe. Filtry dzielimy pod względem złożoności na jednobiegunowe i wielobiegunowe. Inne np. atomowe, kwarcowe... Filtry mają za zadanie przenosić sygnały o interesujących nas częstotliwościach i tłumić sygnały o częstotliwościach niepożądanych. Filtry, poprzez zmianę składowych harmonicznych, modelują impulsy elektryczne.

10 W śród innych filtrów należy wymienić: Filtry atomowe. Filtry kwarcowe. Filtry z akustyczną falą powierzchniową SAW, lub objętościową BAW. Grzebieniowe. Filtry Nyquista. Filtry adaptacyjne (przestrajalne). Filtry obrazu.

11 Filtry kwarcowe, Rezonatory kwarcowe

12 Filtry z akustyczną falą powierzchniową.

13 Obrazkowa ilustracja działania filtru Zauważmy, że sinusoida nie jest deformowana!

14 Pasmo przenoszenia filtra Jest to obszar częstotliwości o najlepszym przenoszeniu sygnału zawarty między granicami pasma. Granice pasma przenoszenia to takie częstotliwości fg1, fg2, przy których moc sygnału spada o 50%. Oczywiście moduł współczynnika przenoszenia sygnału ku= IUwy/UweI lub ki = IIwy/IweI przy tych granicach jest 2 razy mniejszy od swej maksymalnej wartości. W decybelach: 20log(1/ 2) = -3 db, czyli stosunek k(fg)/kmax wyrażony w decybelach wynosi -3 db. Pamiętając, że moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia jak również do kwadratu natężenia prądu, P = U2/R = I2R stwierdzamy, że graniczne częstotliwości fg spełniają równość: IK(fg)/KmaxI = k(fg)/kmax = 1/ 2 P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2max = I2(fg)/I2max =1/2

15 Pasmo przenoszenia dowolnego układu W zasadzie każdy układ, przez który następuje propagacja jakiegokolwiek sygnału ma jakieś ograniczenia dotyczące częstotliwości propagowanego sygnału, zatem charakteryzuje się pasmem przenoszenia. KP(fg) = P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2max = I2(fg)/I2max = 1/2 IK(fg)/KmaxI = k(fg)/kmax = 1/ 2

16 Filtry pasywne jako dzielniki napięcia lub prądu, zależne od częstotliwości, są zwykle filtrami RC (złożonymi z rezystorów i kondensatorów) i stanowią bardzo ważne zastosowanie kondensatorów. Obliczenia parametrów tych dzielników w dziedzinie częstotliwości wymagają stosowania uogólnionych praw Ohma i Kirchhoffa czyli praw w zapisie zespolonym. Przy analizie filtrów warto też stosować wykresy wskazowe bo mogą one stanowić dogodną ilustrację relacji między sygnałem wejściowym i wyjściowym danego filtra dla wybranej częstotliwości.

17 Współczynnik przenoszenia ku i przesunięcie fazy ϕ. Rysunek przedstawia dzielnik napięcia złożony z zespolonych impedancji Z 1 i Z2, zasilany przez źródło o pomijalnie małej impedancji wewnętrznej Z 0 ~ 0 Ω. Zatem Z0 ma pomijalny udział w podziale napięcia Thevenina. Ponadto dzielnik jest nieobciążony, gdyż obciążenie Z3 ~. Aby obliczyć współczynnik przenoszenia tego dzielnika, zwanego też czwórnikiem bo ma dwa zaciski wejściowe i dwa zaciski wyjściowe razem cztery, stosujemy taką logikę postępowania jak przy zwykłych opornikach ale z użyciem liczb zespolonych. Zespolony stosunek Uwy/Uwe= KU = kueiϕ zawiera współczynnik przenoszenia ku, czyli stosunek wartości skutecznych lub amplitud napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego ku = IUwyI/IUweI oraz względne przesunięcie fazy ϕ. Napięcie wyjściowe to spadek napięcia na Z2: Uwy= U2 = I1 Z2. Napięcie wejściowe to spadek na szeregowo połączonych Z1 i Z2 czyli Uwe= I1Z1+I1Z2. ku = IUwyI/IUweI = IZ2I/IZ1+Z2I, ϕ = arctg((im(ku))/(re(ku))).

18 Filtr dolnoprzepustowy, opis w dziedzinie częstotliwości. Opis ten mówi jak, w funkcji częstotliwości ma się stosunek amplitud napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego - ku oraz względna różnica faz - ϕ sygnału wyjściowego względem wejściowego. Obie te wielkości mamy w funkcji zespolonej przedstawiającej stosunek zespolonych wartości napięcia wyjściowego do wejściowego. Zakładamy, że źródło sygnału ma zerową a obciążenie nieskończoną oporność wewnętrzną.

19 Charakterystyki Bodego Henrik Wade Bode ( ) Charakterystyka, która obrazuje logarytmiczną zależność amplitudy i fazy od częstotliwości nazywa się charakterystyką Bodego!

20

21 Ważne

22

23 Bardzo często podczas łączenia układów elektronicznych powstają pasożytnicze układy całkujące - filtry dolno-przepustowe (lub różniczkujące, czyli filtry górno-przepustowe). Zwykle składają się one z rezystancji wyjściowej jednego układu i pojemności wejściowej następnego lub pojemności przewodów łączących. Te pasożytnicze elementy mogą przyczyniać się do zmniejszenia górnej częstotliwości granicznej danej aparatury oraz wpływać na kształt i czas trwania impulsów. Przykład 5.3. Co pojawia się na nieobciążonym wyjściu dolnoprzepustowego filtru RC gdy na jego wejściu wymuszamy skok napięcia o wartości U0? Rozwiązania, jak na poprzedniej stronie: Dla skoku 0 do U0: uwy(t) = U0(1 - e-t/rc) Dla skoku U0 do 0: uwy(t) = U0e-t/RC. Iloczyn RC, zwany stałą czasową τ, określa czas, po którym uwy(t) zbliża się do swej asymptotycznej wartości na odległość = 1/e wysokości skoku. τ = RC

24 Oszacujmy ile wynosi czas narastania impulsu prostokątnego zdeformowanego filtrem dolnoprzepustowym. Czyli w jakim czasie Uwy(t) wzrośnie od 10% do 90% swej wartości maksymalnej? 0.9 U0 = U0(1 - e-t/rc) -> t90%= -RCln0.1(U0 wartość maksymalna) 0.1 = 1 - e-t/rc -> t10%= -RCln0.9 tr = t90% - t10% = RC(ln0.9 - ln0.1) = RCln9 2.2RC. Pamiętając, że fg = 1/(2πRC) -> RC = 1/2πfg otrzymamy związek: tr 2.2RC = 2.2/(2π fg). Zatem możemy napisać: tr 1/(3fg). Rysunek przedstawia odpowiedź filtru dolnoprzepustowego na ciąg impulsów prostokątnych o różnych częstotliwościach.

25

26 Filtr górno-przepustowy, opis w dziedzinie czasu.

27 Filtr pasmowo-przepustowy tłumi jednocześnie sygnały o częstotliwościach niższych od fg. dolna oraz sygnały o częstotliwościach wyższych od fg. górna. Przykładem takiego filtra może być kaskadowe połączenie filtrów: górno i dolno przepustowego o odpowiednio dobranych częstotliwościach granicznych. Przykład z identycznymi fg poniżej.

28 Zastosowanie filtrów Filtry są stosowane do kształtowania charakterystyk częstotliwościowych układów elektronicznych i do kształtowania impulsów napięciowych. Wybierania jednych i eliminowania innych sygnałów (zakłócających) np. tunery to po prostu przestrajalne filtry pasmowe. W zasadzie każde urządzenie elektroniczne zawiera filtry. Filtry górnoprzepustowe stosowane są często jako pojemnościowe sprzężenie między układami elektronicznymi (np. wzmacniaczami) celem zablokowania tzw. składowej stałej. Sygnały w.cz. mogą nieoczekiwanie przeniknąć przez pojemności wyłączników, albo zbliżonych do siebie przewodów powodując wzajemne zakłócanie obwodów elektronicznych. Warto pamiętać, że filtry typu RC lub RL wykazują raczej łagodne stromości charakterystyk. Natomiast bardziej złożone filtry typu RLC (wielostopniowe lub zawierające obwody rezonansowe o dużej dobroci) mogą wykazywać bardzo duże stromości na brzegach pasm!

29

30

31

32

33

34 Prosta zasada łączenia układów (np. pojedynczych filtrów w filtry wielostopniowe) mówi, że jeżeli obwód A steruje obwodem B (B obciąża obwód A) to warto zadbać o to aby Rwy układu A < 0,1RWE układu B. Wtedy wpływ B układu obciążenia na A układ sterujący będzie mało znaczący. Układ A po obciążeniu go takim układem B działa z zaburzeniem nie przekraczającym 10% (A wystawia na swoim wyjściu o 10% napięcie niższe niż w przypadku braku obciążenia). W sytuacji gdy takie 10%-we odchylenie możemy zaniedbać uzyskujemy prosty sposób na projektowanie wielostopniowych układów. Po prostu każdy podukład (stopień) projektujemy i obliczamy osobno (obliczenia są proste).

35 Dla poprawienia efektu filtracji stosowane są bardziej rozbudowane filtry, w tym filtry aktywne czy filtry cyfrowe. Filtry aktywne powstają poprzez zastosowanie układów aktywnych (tranzystorów, wzmacniaczy operacyjnych itp.) w obwodach filtrujących RLC. Elementy aktywne (dzięki dużej impedancji wejściowej i efektowi wzmacniania sygnału) pozwalają na budowanie filtrów wielostopniowych o bardzo stromym przebiegu charakterystyk na brzegach filtrowanych pasm. Filtry cyfrowe to układy filtrujące i przetwarzające sygnały dyskretne (cyfrowe). Filtry cyfrowe są coraz częściej i szerzej stosowane w wielu dziedzinach techniki bowiem każdy sygnał analogowy (prosty jednowymiarowy jak i złożony wielowymiarowy, fotografia, film itp) można zamieniać na sygnał cyfrowy odpowiednimi przetwornikami analogowo-cyfrowymi. (Skrót DSP oznacza: digital signal processing)

36 Poprawianie stromości charakterystyki przez zastosowanie filtrów wyższego rzędu.

37 Rezonans Obwody rezonansowe to szczególna grupa obwodów, które w zasadzie możemy zaliczyć do filtrów. Zasługują one jednak na odrębne potraktowanie co najmniej z dwu powodów: 1) Wykorzystywane są przy wymuszaniu oscylacji o ściśle określonej częstotliwości fali nośnej stacji nadawczych (emitujących fale elektromagnetyczne). 2) Jako przestrajane obwody rezonansowe wykorzystywane są w odbiornikach radio, TV itp. do wybierania pożądanych sygnałów (tj. pożądanych stacji nadawczych). Przykładowa krzywa rezonansowa pokazana jest na rys. obok. Widać tu reakcję o dużej amplitudzie tylko dla pewnego zakresu częstości w otoczeniu częstotliwości rezonansowej fr Dla sygnałów o bardziej oddalonych częstościach reakcja jest znikoma.

38 Rezonans szeregowo połączonych elementów R, L i C. Indukcyjność L i pojemność C są tu konieczne natomiast rezystancja R zwykle pojawia się jako oporność wewnętrzna źródła wymuszania i jako rezystancja przewodu uzwojenia solenoidu stanowiącego indukcyjność L. Czasem należy uwzględnić nawet rezystancję połączeń. Gdy impedancje źródła można pominąć to zawadą (impedancją) szeregowego układu rezonansowego RLC jest Z = R + XL + XC = R + j(ωl 1/ωC). Rezonans wystąpi dla pulsacji ω = ω0, przy której Z = R i (ω0l 1/ω0C) = 0. Dla rezonansu zawada Z = R ma najmniejszą wartość co skutkuje największym prądem: I = UT/(ZT + Z) UT/R gdy ZT jest do zaniedbania. Poza rezonansem, dla ω > ω0 lub ω < ω0, moduł Z ma wartość większą co zmniejsza prąd I a UC i UL mają różne moduły. Gdy ZT nie pomijamy to: Z = R + RT + j[ω(l + LT) 1/ω(C CT/(C + CT))].

39 Czasem mówi się, że rezonans szeregowo połączonych elementów R, L i C jest rezonansem napięć. Łatwo to zrozumieć gdy w rezonansie Impedancje XL = XC >> R. Wówczas spadki napięcia na Indukcyjności i pojemności są wielokrotnie większe od napięcia wymuszającego UT, a UR = UT. Dla zadanych wartości L i C pulsacja rezonansowa spełnia równość: ω0l = 1/ω0C, ω0 = 1/ (LC) a wartość częstotliwości rezonansowej wynosi: Z czego wynika, że chcąc dostroić obwód rezonansowy do częstotliwości wybranego sygnału należy zmieniać wartość L lub C, w praktyce zwykle zmieniamy pojemność.

40 Rezonans równolegle połączonych elementów R, L i C. Dla zadanych wartości L i C pulsacja rezonansowa spełnia równość susceptancji (przewodności zespolonych) BL i BC: 1/ω0L = ω0c, ω0 = 1/ (LC) a wartość częstotliwości rezonansowej wynosi: Mamy tu rezonans prądów, gdyż przy małym G = 1/R (dużym R) i jednocześnie dużych BL i BC (czyli małych XL i XC) mamy olbrzymi prąd w L i C wielokrotnie większy od prądu wymuszenia, który płynie przez rezystor R. Niestety w praktyce nie możemy pomijać rezystancji przewodów cewki stanowiącej Indukcyjność i otrzymany tu wzór na częstotliwość rezonansową jest tylko przybliżeniem.

41 Rzeczywisty równoległy obwód rezonansowy. Aby wyznaczyć częstotliwość rezonansową fp r szeregowy układ L i RL zastąpimy równoważnym mu obwodem równoległym:

42 Dla tak przekształconego ale równoważnego układu mamy: Zerowanie się części urojonej (rezonans) oznacza: XLp = XC

43 Oba powyższe wzory mówią między innymi, że chcąc zwiększać częstotliwość rezonansową (w obszar wielu GHz) musimy zmniejszać L i C. Zmniejszając L i C niemal do granic możliwości osiągamy tzw. rezonatory wnękowe:

44 Filtry mikrofalowe (tu zamiast zwoi i okładek mamy wnęki rezonansowe!)

45 Współczynnik dobroci Q, Q factor (quality factor) Dobroć Q dotyczy tracenia energii przez układ, który może oscylować (elektryczny lub elektroniczny obwód rezonansowy, huśtawka, struna itp.) i wyraża się stosunkiem posiadanej energii do względnej szybkości jej tracenia. Dobroć układu decyduje o kształcie (ostrości) jego krzywej rezonansowej. DEFINICJA Po prostym przekształceniu: widzimy, że Q jest stosunkiem posiadanej energii do jej porcji traconej w ciągu jednostkowej części cyklu (w rezonansie) jaką jest 1 radian! Dla dowolnego układu elektrycznego to część rzeczywista R jego impedancji Z jest tym czynnikiem, który odpowiada za straty (rozpraszanie) energii.

46 Współczynnik Q zależy oczywiście od budowy elementów składowych. U idealnych indukcyjności L i pojemności C przyjmujemy, że gromadząc energię nie rozpraszają jej. W rzeczywistych L i C rozpraszanie energii nie jest zerowe ale może być małe, a czasem pomijalnie małe. Rozważmy układ równoległy RLC, którego admitancja (przewodność zespolona) wyraża się przez:

47 Zatem dla obwodu równoległego RLC (L i C idealne) jak na rysunku mamy Q faktor wyrażony przez: Widać, że rezystancja równolegle włączona do równoległego układu LC powinna być jak największa dla największego Q (najlepiej ten rezystor usunąć). Opornik R tak włączony osłabia dobroć Q. W praktyce jednak należy uwzględniać przynajmniej nieidealność L czyli niezerową oporność drutu z jakiego wykonana jest indukcyjność. Wtedy obowiązuje schemat jak obok:

48 Dobroć Q jest również miarą ostrości krzywych rezonansowych wyrażanej jako: Dla sprawdzenia równoważności tego wyrażenia na Q, przydatnego do analizy filtrów RLC, z innymi wyrażeniami, policzmy ωrez i ω3db. Niech np. UWY = UR to ku = UR/URLC i kumax = 1. Dla ω3db: ku/kumax = Zatem dla szeregowego układu RLC mamy cały szereg wyrażeń na Q!

49 Dodajmy, że w elektronice poza dobrocią układów rezonansowych można mówić o dobroci innych układów czy elementów. Przykładowo straty energii w cewkach lub kondensatorach można wyrażać przy pomocy współczynnika dobroci Q. Dobroć cewki zdefiniowana jest jako stosunek: ωl/r Q = ωol/r albo R = ωol/q (gdzie L-indukcyjność cewki, R oporność cewki). Traktując kondensator jako równoległe połączenie idealnej pojemności i rezystancji R (reprezentującej straty w dielektryku) definiujemy dobroć kondensatora jako stosunek prądów Q = IC/IR = (U/XC)/(U/R) = R/XC= ωcr. Wynika z tego, że układy o dużej dobroci to takie, które marnotrawią mało energii na straty w rezystancjach przewodów cewki, ewentualnego rezystora R oraz w materiale kondensatora.

50

51 Filtry w radiu..

52 Akcelerometry i zastosowanie pojemności MEMS (ang. Micro Electro-Mechanical Systems) czyli Mikrosystemy, są to zintegrowane układy elektro-mechaniczne, u których co najmniej jeden wymiar szczególny mieści się w skali mikro (0,1-100 μm). Akcelerometr piezoelektryczny.

53 Przykładowe ekstra zastosowanie pojemności: Trzy-osiowy akcelerometr: MMA7260Q, MMA7261QT, LIS3L06AL i inne. (też MEMS) MMA7260Q LIS3L06AL LIS3L06AL Inne ekstra zastosowanie pojemności to czujniki pojemnościowe w ekranach dotykowych.

54 Trzy-osiowy akcelerometr ADXL330 Czułość do 330mV/g LIS3L06AL

55 E-E-M. Lista-05 1 Narysuj wykres wskazowy dla układu równolegle połączonych L = 10mH i C = 50µF, zasilanych z generatora napięcia sinusoidalnego o pulsacji ω = 1000 rad/s i amplitudzie 1V. Impedancja wewnętrzna generatora wynosi Rwe = 1Ω. 2 Na zaciski układu RC podano sygnał o złożonym (prostokątnym) przebiegu. Naszkicuj przebiegi napięć UR i UC. 3. Szeregowy obwód rezonansowy zawiera: R = 1Ω, L = 1mH, C = 1µF. Oblicz dobroć układu i stosunki: UR/UWe, UC/UWe i UL/UWe w rezonansie (Uwe napięcie zasilające o częstotliwości rezonansowej). 4. Wylicz częstotliwości graniczne i określ pasma przenoszenia układów: 5. Zaprojektuj filtr pasmowy dla pasma 1 khz-10khz wykorzystując prostą zasadę ułatwiającą obliczenia: Zwy/Zwe 1/10 (strona 25).