ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony)

Transkrypt

1 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 5 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 160 Podręczniki i książki pomocnicze Gdańskiego Wydawnictwa Oświatowego: Matematyka II. Podręcznik dla liceum i technikum. Zakres roszerzony. Nowa wersja M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, M.M. Karpiński Matematyka II. Zbiór zadań M. Braun, M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, E. Zamościńska Matematyka II. Sprawdziany U. Sawicka Patrzałek, D. Figura, B. Jeleńska, A. Wola, W. Urbańczyk Treści nieobowiązkowe zapisano na szarym tle. ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II Liczba godzin Potęgi, pierwiastki, logarytmy 28 Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach wymiernych 2 Potęgi o wykładnikach rzeczywistych 2 Logarytmy 2 Własności logarytmów 2 Funkcje wykładnicze 2 Funkcje logarytmiczne 2 Równania i nierówności wykładnicze 2 Równania i nierówności logarytmiczne 2 Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych 3 Powtórzenie i praca klasowa 3

2 2 Wielomiany 23 Przykłady wielomianów 2 Rozkład wielomianu na czynniki 2 Równania wielomianowe 3 Dzielenie wielomianów 2 Twierdzenie Bezout 1 Równania wielomianowe (cd.) 2 Rozwiązania wymierne równań wielomianowych 2 Nierówności wielomianowe 2 Funkcje wielomianowe 2 Nierówności wielomianowe (cd.) 2 Powtórzenie i praca klasowa 3 Figury i przekształcenia 24 Przekształcenia geometryczne. Symetrie 2 Przesunięcie 2 Działania na wektorach 2 Przekształcenia w układzie współrzędnych 2 Równanie prostej 3 Długość odcinka. Równanie okręgu. 3 Proste i okręgi 3 Wektory w układzie współrzędnych 2 Działania na wektorach (cd.) 2 Powtórzenie i praca klasowa 3

3 3 Trygonometria 38 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 Kąty o miarach dodatnich i ujemnych 1 Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta 3 Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi 2 Wykres funkcji y=sin α 3 Wykres funkcji y=cos α 3 Wykresy funkcji y=tg α 3 Miara łukowa kąta 2 Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej 2 Powtórzenie i praca klasowa 3 Funkcje y=asinx, y=sinax 2 Przekształcanie wykresów funkcji 2 Równania trygonometryczne 4 Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów 2 Suma i różnica sinusów i cosinusów kątów 2 Powtórzenie i sprawdzian 3 Ciągi 20 Przykłady ciągów 2 Ciągi arytmetyczne 3 Ciągi geometryczne 3 Procent składany 3

4 4 Granice ciągów 2 Obliczanie granic 2 Szeregi geometryczne 2 Powtórzenie i praca klasowa 3 Figury podobne 12 Wielokąty podobne 2 Jednokładność 2 Cechy podobieństwa trójkątów. Twierdzenie Talesa 3 Pola figur podobnych 2 Powtórzenie i praca klasowa 3 Statystyka 10 Przybliżenia 1 Średnia arytmetyczna, mediana, dominanta 2 Średnia ważona 2 Odchylenie standardowe 2 Powtórzenie i praca klasowa 3 RAZEM W CIĄGU ROKU 155

5 Potęgi, pierwiastki, logarytmy 28 h DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 5 PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II WRAZ Z PLANEM WYNIKOWYM (ZAKRES ROZSZERZONY) Kategorie celów nauczania: A zapamiętanie wiadomości B rozumienie wiadomości C stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych D stosowanie wiadomości w sytuacjach problemowych Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczająca (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) R rozszerzający ocena dobra (4) D dopełniający ocena bardzo dobra (5) W wykraczający ocena celująca (6) CELE KSZTAŁCENIA W UJĘCIU OPERACYJNYM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ JEDNOSTKA TEMATYCZNA podstawowe ponadpodstawowe KATEGORIA A Uczeń zna: KATEGORIA B Uczeń rozumie: KATEGORIA C Uczeń potrafi: KATEGORIA D Uczeń potrafi: 1 Lekcja organizacyjna. 2 4 Potęgi. definicję potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym pojęcie notacji wykładniczej prawa działań na potęgach potrzebę stosowania notacji wykładniczej w praktyce obliczać potęgi o wykładnikach naturalnych i całkowitych ujemnych (K P) zapisywać liczby w postaci potęg zapisywać liczby w postaci iloczynu potęg zapisywać liczby w notacji wykładniczej mnożyć i dzielić potęgi o jednakowych podstawach mnożyć i dzielić potęgi o jednakowych wykładnikach przedstawiać potęgi w postaci iloczynu i ilorazu potęg o jednakowych podstawach przedstawiać potęgi w postaci iloczynu i ilorazu potęg o jednakowych wykładnikach potęgować potęgi przedstawiać potęgi jako potęgi potęg porównywać potęgi (P-R) rozwiązywać nietypowe zadania z zastosowaniem działań na potęgach (D W) porównywać ilorazowo i różnicowo liczby podane w notacji wykładniczej (R)

6 6 5 7 Pierwiastki. definicję pierwiastka arytmetycznego n tego stopnia (n N i n > 1) prawa działań na pierwiastkach; w tym wzór na obliczanie pierwiastka n tego stopnia z n tej potęgi oraz wzór na obliczanie n tej potęgi pierwiastka n tego stopnia 8 9 Potęgi o wykładnikach wymiernych Potęgi o wykładnikach rzeczywistych. definicję potęgi o wykładniku wymiernym prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych pojęcia potęg o wykładnikach : definicję pierwiastka arytmetycznego n tego stopnia (n N i n > 1) jak oblicza się pierwiastek n tego stopnia z n tej potęgi oraz jak oblicza się n tą potęgę pierwiastka n tego stopnia z liczby nieujemnej definicję potęgi o wykładniku wymiernym pojęcia potęg o wykładnikach : potęgować iloczyny i ilorazy doprowadzać wyrażenia do najprostszych postaci, stosując działania na potęgach obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują potęgi przekształcać wyrażenia algebraiczne, w których występują potęgi rozwiązywać zadania tekstowe z zastosowaniem potęg (R) stosować notację wykładniczą do zamiany jednostek (R) obliczać pierwiastki n tego stopnia (n N i n > 1) obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki obliczać pierwiastki iloczynu i ilorazu liczb nieujemnych obliczać iloczyny i ilorazy pierwiastków z liczb nieujemnych wyłączać czynnik przed znak pierwiastka włączać czynnik pod pierwiastek oszacować wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego pierwiastek usunąć niewymierność z mianownika obliczać potęgi o wykładnikach wymiernych zapisywać potęgi o wykładnikach wymiernych w postaci pierwiastków (K-P) porównywać potęgi o wykładnikach wymiernych (P-R) wykonywać działania na potęgach o wykładnikach wymiernych (P-R) obliczać potęgi o wykładnikach wymiernych (K-R) obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki (R przekształcać wyrażenia zawierające potęgi i pierwiastki (R) porównać wyrażenia zawierające pierwiastki ( przekształcać wyrażenia arytmetyczne z zastosowaniem praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (R zastosowaniem działań na

7 7 - całkowitym - wymiernym - rzeczywistym prawa działań na potęgach Logarytmy. pojęcie logarytmu pojęcia: logarytm dziesiętny oraz logarytm naturalny własności logarytmów (K P) Własności logarytmów. twierdzenia o: logarytmie iloczynu logarytmie ilorazu logarytmie potęgi zmianie podstawy logarytmu Funkcje wykładnicze. definicję funkcji wykładniczej własności funkcji wykładniczych Funkcje logarytmiczne. definicję funkcji logarytmicznej własności funkcji logarytmicznych Równania i nierówności wykładnicze. własność różnowartościowości funkcji wykładniczej równań wykładniczych (K R) nierówności wykładniczych - całkowitym - wymiernym - rzeczywistym prawa działań na potęgach pojęcie logarytmu pojęcia: logarytm dziesiętny oraz logarytm naturalny własności logarytmów (K P) twierdzenia o: logarytmie iloczynu logarytmie ilorazu logarytmie potęgi zmianie podstawy logarytmu definicję funkcji wykładniczej własności funkcji wykładniczych definicję funkcji logarytmicznej własności funkcji logarytmicznych własność różnowartościowości funkcji wykładniczej równań wykładniczych (K R) nierówności wykładniczych zapisywać liczby w postaci potęg wykonywać działania na potęgach (K-R) porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych (P-R) obliczać logarytmy (K R) wykorzystywać kalkulator do obliczania logarytmów dziesiętnych oraz naturalnych (K P) rozwiązywać równania, stosując definicję logarytmu (K R) wykonywać działania na logarytmach, stosując poznane twierdzenia sporządzać wykresy i określać własności funkcji wykładniczych dopasowywać wzory do wykresów funkcji wykładniczych określać wzory funkcji wykładniczych spełniających określone warunki (R sporządzać wykresy i określać własności funkcji logarytmicznych dopasowywać wzory do wykresów funkcji logarytmicznych (PR) określać wzory funkcji logarytmicznych spełniających dane warunki (R rozwiązywać równania wykładnicze (K R) rozwiązywać nierówności wykładnicze potęgach (R- zastosowaniem definicji oraz własności logarytmów (R zastosowaniem poznanych twierdzeń (R przekształcać wykresy funkcji wykładniczych (R-W) zastosowaniem funkcji wykładniczych i ich własności (R-W) przekształcać wykresy funkcji logarytmicznych (R-W) zastosowaniem funkcji logarytmicznych i ich własności (R-W) rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze (R W)

8 Wielomiany 23 h Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej Równania i nierówności logarytmiczne Zastosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych. 27 Powtórzenie wiadomości. własność różnowartościowości funkcji logarytmicznej równań logarytmicznych (K R) nierówności logarytmicznych własność różnowartościowości funkcji logarytmicznej równań logarytmicznych (K R) nierówności logarytmicznych potrzebę stosowania funkcji wykładniczych i logarytmicznych do opisu zjawisk z różnych dziedzin (R W) rozwiązywać równania logarytmiczne (K R) rozwiązywać nierówności logarytmiczne określać własności funkcji wykładniczych i logarytmicznych opisujących zjawiska z różnych dziedzin ( rozwiązywać równania i nierówności logarytmiczne (R W) stosować model wykładniczy do opisu wielkości, które zmieniają się w stałym tempie (R W) Praca klasowa i jej omówienie Przykłady wielomianów. pojęcie jednomianu pojęcie wielomianu stopnia n pojęcie wielomianu zerowego pojęcie wielomianów równych pojęcia: dwumian, trójmian, trójmian kwadratowy Rozkład wielomianu na czynniki Równania wielomianowe. pojęcie rozkładu wielomianu na czynniki wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów dwóch wyrażeń, suma i różnica sześcianów, sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń (K-P) własność rozkładu wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej drugiego pojęcie równania wielomianowego stopnia n pojęcie jednomianu pojęcie wielomianu stopnia n pojęcie wielomianu zerowego pojęcie wielomianów równych pojęcia: dwumian, trójmian, trójmian kwadratowy pojęcie rozkładu wielomianu na czynniki wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów dwóch wyra-żeń, suma i różnica sześcianów, sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń (K P) własność rozkładu wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej drugiego pojęcie równania wielomianowego stopnia n określać stopień wielomianu dodawać, odejmować, mnożyć wielomiany (K R) przekształcać wielomiany do najprostszej postaci (K-R) przedstawiać wyrażenia w postaci jednomianów (K- P) obliczać wartości wielomianów (K P) obliczać, dla jakich wartości współczynników wielomiany są równe rozkładać wielomiany na czynniki, stosując: wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias, wzory skróconego mnożenia metodę grupowania wyrazów (K rozwiązywać równania wielomianowe (K wykonywać działania na wielomianach i przedstawiać otrzymane wielomiany w najprostszej postaci (R obliczać wartości współczynników wielomianu, gdy dane są wartości wielomianu dla określonych wartości zmiennych (R podawać przykłady wielomianów spełniających określone warunki (R określać, dla jakich wartości zmiennej wielomian przyjmuje wartości dodatnie, ujemne (P uzasadniać, że dane wielomiany spełniają określone warunki (R W) podawać przykłady wielomianów spełniających

9 9 pojęcie pierwiastka wielomianu pojęcie k-krotnego pierwiastka wielomianu pojęcie postaci iloczynowej wielomianu drugiego stopnia Dzielenie wielomianów. określenie podzielności wielomianu przez dwumian metodę dzielenia wielomianu przez jednomian metodę dzielenia wielomianu przez dwumian (K R) pojęcie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian (K P) 39 Twierdzenie Bezout. twierdzenie Bezout własność wielomianu dotyczącą reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez x a Równania wielomianowe (cd.). zastosowanie twierdzenia Bezout do rozwiązywania równań wielomianowych twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych równania pojęcie pierwiastka wielomianu pojęcie k-krotnego pierwiastka wielomianu pojęcie postaci iloczynowej wielomianu drugiego stopnia określenie podzielności wielomianu przez dwumian metodę dzielenia wielomianu przez jednomian metodę dzielenia wielomianu przez dwumian (K R) pojęcie reszty z dzielenia wielomianu przez dwumian (K R) twierdzenie Bezout własność wielomianu dotyczącą reszty z dzielenia wielomianu W (x)przez x a potrzebę stosowania twierdzenia Bezout do rozwiązywania równań wielomianowych twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych równania znajdować pierwiastki danych wielomianów i ustalać ich krotności (P dzielić wielomiany przez jednomiany i przez dwumiany (P- podawać przykłady wielomianów podzielnych przez dane dwumiany obliczać resztę z dzielenia wielomianu znajdować wielomiany spełniające określone warunki wykonywać dzielenie wielomianu przez dwu-mian, korzystając ze schematu Hornera (R) rozwiązywać równania, korzystając z twierdzenia Bezout (P sprawdzać, że dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu rozwiązywać równania wielomianowe, stosując twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych określone warunki (R-W) ustalać liczbę rozwiązań równania wielomianowego (R ustalać wartości parametrów, dla których wielomian ma określoną liczbę pierwiastków (R znajdować wielomiany spełniające określone warunki (R znajdować wielomiany spełniające określone warunki, korzystając ze schematu Hornera (R znajdować resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian (R-W) rozwiązywać zadania, korzystając z twierdzenia Bezout (R rozwiązywać zadania, korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych równania wielomianowego (R Rozwiązania wymierne równań wielomianowych. twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych równania wielomianowego twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych równania wielomianowego sprawdzać, czy dana liczba wymierna jest rozwiązaniem równania wielomianowego (K P) znajdować wszystkie rozwiązania wymierne danych równań wielomianowych (P uzasadniać niewymierność liczb, korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach wymiernych (R uzasadniać, że dane równanie wielomianowe nie ma pierwiastków wymiernych (R określać, dla jakich wartości parametru dane równanie wielomianowe ma pierwiastek wymierny (R

10 Figury i przekształcenia 24 h Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej Nierówności wielomianowe. pojęcie nierówności wielomianowej Funkcje wielomianowe pojęcie funkcji wielomianowej własności funkcji wielomianowych Nierówności wielomianowe (cd.). 50 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej omówienie. Przekształcenia geometryczne. Symetrie sposób szkicowania wykresu przedstawiającego zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej (K-P) pojęcia przekształcenia geometrycznego pojęcie izometrii pojęcie obrazu punktu (figury) w przekształceniu geometrycznym pojęcia: symetria osiowa i środkowa pojęcia: figura osiowosymetryczna oraz oś symetrii figury pojęcia: figura środkowosymetryczna oraz środek symetrii figury pojęcie nierówności wielomianowej pojęcie funkcji wielomianowej własności funkcji wielomianowych sposób szkicowania wykresu przedstawiającego zmianę znaku wartości funkcji wielomianowej (K-P) pojęcia przekształcenia geometrycznego pojęcie izometrii pojęcie obrazu punktu (figury) w przekształceniu geometrycznym pojęcia: symetria osiowa i środkowa pojęcia: figura osiowosymetryczna oraz oś symetrii figury pojęcia: figura środkowosymetryczna oraz środek symetrii figury rozwiązywać nierówności wielomianowe, wykorzystując wiedzę o znaku iloczynu dwóch liczb oraz wykresy funkcji liniowej i kwadratowej rozwiązywać nie-równości wielomianowe, korzystając z twierdzenia Bezout (K R) określać dziedzinę funkcji (R badać własności funkcji wielomianowych (K- rozwiązywać nierówności wielomianowe (K- wyznaczać punkty symetryczne do danych punktów względem danej prostej oraz proste, względem których dane punkty są symetryczne (K P) wskazywać figury osiowo i środkowosymetryczne (K P) wskazywać osie i środki symetrii danych figur (K P) wyznaczać punkty (figury) symetryczne do danych względem danego punktu (K P) określać, dla jakich wartości parametru zbiorem rozwiązań nierówności wielomianowej jest dany zbiór (R zastosowaniem nierówności wielomianowych (R- podawać przykłady funkcji wielomianowych spełniających określone warunki (R- szkicować wy-kresy funkcji wielomianowych (R- znajdować argumenty, dla których dane funkcje wielomianowe spełniają określone warunki (R- zastosowaniem symetrii osiowej i środkowej (R Przesunięcie pojęcia: wektor, wektor zerowy, wektory równe, wektory przeciwne pojęcie przesunięcia równoległego o wektor pojęcia: wektor, wektor zerowy, wektory równe, wektory przeciwne pojęcie przesunięcia równoległego o wektor wskazywać wektory równe i wektory przeciwne wskazywać obrazy punktów w przesunięciu równoległym o dany wektor rysować obrazy figur w zastosowaniem przesunięcia równoległego (R

11 Działania na wektorach. Przekształcenia w układzie współrzędnych. pojęcia: suma wektorów, różnica wektorów, iloczyn wektora przez liczbę (K P) własności działań na wektorach zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem osi układu współrzędnych zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych wzór na współrzędne środka odcinka wzór na odległość punktów na płaszczyźnie pojęcia: suma wektorów, różnica wektorów, iloczyn wektora przez liczbę (K P) własności działań na wektorach zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem osi układu współrzędnych zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych wzór na współrzędne środka odcinka wzór na odległość punktów na płaszczyźnie przesunięciu równoległym o dany wektor (K-P) wykonywać działania na wektorach (K R) wyznaczać współrzędne punktów symetrycznych do danych punktów względem osi lub początku układu współrzędnych wyznaczać współrzędne obrazów danych punktów w symetrii względem prostej równoległej do osi x oraz osi y wyznaczać równanie prostej, względem której dane punkty są symetryczne wyznaczać środek symetrii figury złożonej z dwóch punktów (K P) obliczać odległość punktów na płaszczyźnie zastosowaniem działań na wektorach (R uzasadniać twierdzenia, korzystając z własności wektorów i własności działań na wektorach (R W) rozwiązywać zadania, korzystając z zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem osi lub początku układu współrzędnych (R) zastosowaniem przekształceń w układzie współrzędnych (R Równanie prostej. pojęcia: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej pojęcie współczynnika kierunkowego prostej związek między tangensem kąta nachylenia prostej y = ax + b do osi x a jej współczynnikiem kierunkowym warunek równoległości prostych warunek prostopadłości prostych pojęcia: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej pojęcie współczynnika kierunkowego prostej związek między tangensem kąta nachylenia prostej y = ax + b do osi x a jej współczynnikiem kierunkowym interpretację geometryczną układu dwóch równań liniowych przekształcać ogólne równanie prostej na równanie kierunkowe i odwrotnie obliczać współrzędne punktów przecięcia danej prostej z osiami układu znajdować równanie prostej: przechodzącej przez dwa dane punkty przechodzącej przez dany punkt i równo-ległej do danej prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej określać liczbę rozwiązań układu równań liniowych, korzystając z jego interpretacji geometrycznej sprawdzać, czy dane trzy punkty są współliniowe obliczać, dla jakich wartości parametrów dany układ dwóch równań liniowych ma określoną liczbę rozwiązań (R obliczać miarę kąta, pod jakim przecinają się proste o danych równaniach (R rozwiązywać zadania dotyczące równania prostej (R W) Długość odcinka. wzór na odległość równanie okręgu (R) obliczać odległość punktów na wyznaczać równanie okręgu o

12 Równanie okręgu. punktów na płaszczyźnie (wzór na długość odcinka) równanie okręgu (R) warunek koła (R) interpretację geometryczną zbioru punktów, których współrzędne spełniają określone warunki (R) warunek koła (R) interpretację geometryczną zbioru punktów, których współrzędne spełniają określone warunki (R) płaszczyźnie (długość odcinka) zastosowaniem obliczeń długości odcinka (P-R) danym środku i promieniu (R) rozwiązywać zadania dot. okręgu (R) opisać koło za pomocą nierówności (R) zaznaczać w układzie współrzędnych zbiory punktów, których współrzędne spełniają określone warunki, i opisywać zaznaczone zbiory punktów (R zastosowaniem równania okręgu (R Proste i okręgi. Wektory w układzie współrzędnych. Działania na wektorach (cd.). sposoby wzajemnego położenia prostej i okręgu na płaszczyźnie wzór określający odległość punktu od prostej pojęcia: współrzędne wektora, długość wektora wzór określający współrzędne obrazu punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor wzory na współrzędne sumy, różnicy wektorów oraz współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę warunek równoległości wektorów sposoby wzajemnego położenia prostej i okręgu na płaszczyźnie wzór określający odległość punktu od prostej pojęcia: współrzędne wektora, długość wektora wzór określający współrzędne obrazu punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor wzory na współrzędne sumy, różnicy wektorów oraz współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę warunek równoległości wektorów wyznaczać współrzędne punktów wspólnych: prostych i okręgów dwóch okręgów okręgu i paraboli (P obliczać: odległość punktu od prostej odległość między dwoma prostymi obliczać współrzędne i długości wektorów (K P) obliczać współrzędne obrazów punktów w przesunięciu równoległym o dany wektor (K P) obliczać współrzędne sumy oraz różnicy danych wektorów (K P) obliczać współrzędne iloczynu danego wektora przez liczbę (K P) wyznaczać równania okręgów spełniających określone warunki (R wyznaczać równania stycznych do danych okręgów spełniających określone warunki (R rozwiązywać zadania dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz obliczania odległości punktu od prostej (R) wyznaczać wartości parametrów, dla których wektor spełnia określone warunki (R zastosowaniem obliczania współrzędnych i długości wektorów oraz współrzędnych obrazów punktów w przesunięciach równoległych o dane wektory (R zastosowaniem obliczania współrzędnych sumy, różnicy danych wektorów oraz iloczynu danego wektora przez liczbę (R

13 Trygonometria 38 h Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej Powtórzenie wiadomości. Praca klasowa i jej omówienie. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego. Kąty o miarach dodatnich i ujemnych. pojęcia: funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30, 45º, 60º pojęcia: kąt o mierze dodatniej, kąt o mierze ujemnej pojęcie kąta umieszczonego w układzie współrzędnych pojęcia: funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym pojęcia: kąt o mierze dodatniej, kąt o mierze ujemnej pojęcie kąta umieszczonego w układzie współrzędnych rozwiązywać trójkąty prostokątne (P-R) konstruować kąty ostre, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych (K P) korzystać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych rysować kąty dodatnie i ujemne o danych miarach zaznaczać w układzie współrzędnych kąty o podanych miarach (K-P) ustalać, w której ćwiartce układu współrzędnych leży drugie ramię kąta o podanej mierze (K P) zastosowaniem warunku równoległości wektorów (R rozwiązywać zadania stosując wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (R- porządkować kąty ostre, znając wartości ich funkcji trygonometrycznych i odwrotnie (R- podawać przykłady kątów spełniających określone warunki (R) Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta znaki wartości funkcji trygonometrycznych kątów z poszczególnych ćwiartek układu współrzędnych zależności: sin(α + k 360 )=sin α cos(α + k 360 )=cos α tg(α + k 180 )=tg α definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na drugim ramieniu kąta (K P) ustalać znaki wartości funkcji trygonometrycznych kątów z poszczególnych ćwiartek układu określać, w której ćwiartce układu leży końcowe ramię kąta, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych kąta (K P) obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kątów, których końcowe ramię leży na prostej o równaniu y = ax rysować w układzie kąt, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych (K P) obliczać wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów dodatnich i ujemnych, wykorzystując definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym oraz wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30,45,60 (P podawać wszystkie kąty spełniające określone warunki, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych (R obliczać wartości wyra-żeń, w których występują funkcje trygonometryczne dowolnych kątów (R Podstawowe związki związki między funkcjami związki między funkcjami obliczać wartości pozostałych rozwiązywać zadania,

14 między funkcjami trygonometrycznymi. Wykres funkcji y = sin α. Wykres funkcji y = cos α. Wykres funkcji y = tg α trygonometrycznymi tego samego kąta (tożsamości trygonometryczne) sposób sporządzania wykresu funkcji y =sin α własności funkcji y =sin α wzór na pole trójkąta, gdy dane są długości dwóch jego boków i sinus kąta zawartego między nimi wzory: sin α = sin (α + k 360º), sin α = sin (180º α) sin ( α) = sin α związek cos α = sin(α +90º) sposoby sporządzania wykresu funkcji y =cos α własności funkcji y =cos α wzory: cos α = cos (α +k 360º), cos α = cos (180º α) cos ( α)= cos α wykres funkcji y =tg α pojęcie asymptoty wykresu trygonometrycznymi tego samego kąta własności funkcji y = sin α wzór na pole trójkąta, gdy dane są długości dwóch jego boków i sinus kąta zawartego między nimi wzory: sin α = sin (α + k 360º ), sin α = sin (180º α) sin ( α) = sin α związek cos α = sin (α +90º) sposoby sporządzania wykresu funkcji y = cos α własności funkcji y = cos α pojęcie asymptoty wykresu własności funkcji tangens funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna z nich (K R) sprawdzać tożsamości trygonometryczne (P upraszczać wyrażenia zawierające funkcje trygonometryczne (P ustalać najmniejszą i największą wartość wyrażenia zawierającego funkcje trygonometryczne (P narysować wykres funkcji y = sin α,wykorzystując koło trygonometryczne odczytywać z wykresu własności funkcji y = sin α ustalać znak i porównywać wartości funkcji sinus dla podanego kąta, korzystając z sinusoidy (K P) obliczać i porównywać wartości funkcji sinus dla podanych kątów, posługując się sinusoidą (K P) obliczać pole trójkąta, gdy dane są długości dwóch jego boków i sinus kąta zawartego między nimi (K P) zastosowaniem wzoru na pole trójkąta narysować wykres funkcji y =cos α, wykorzystując koło trygonometryczne lub związek cos α = sin(α +90º) odczytywać z wykresu własności funkcji y =cos α (K-R) ustalać znak funkcji cosinus dla podanego kąta, korzystając z cosinusoidy (K P) obliczać wartości funkcji cosinus dla podanych kątów, wykorzystując cosinusoidę (K P) porównywać wartości i własności funkcji y =sin α i y =cos α (K P) narysować wykres funkcji y =tg α, wykorzystując koło trygonometryczne wykorzystując podstawowe tożsamości trygonometryczne (R ustalać wartości funkcji sinus dowolnego kąta, wykorzystując tablice wartości funkcji trygonometrycznych oraz: sin α = sin (α + k 360º), sin α = sin (180º α) sin ( α)= sin α (R) znajdować argumenty, dla których funkcja sinus spełnia określone warunki (R ustalać wartości funkcji cosinus dowolnego kąta, wykorzystując tablice wartości funkcji trygonometrycznych oraz wzory: cos α =cos (α +k 360º), cos α = cos (180º α) cos ( α)= cos α (R) znajdować argumenty, dla których wartości funkcji cosinus spełniają określone warunki (R ustalać argumenty, dla których wartości funkcji sinus i cosinus spełniają określone warunki (R ustalać argumenty, dla których wartości funkcji trygonometrycznych spełniają

15 Miara łukowa kąta. własności funkcji tangens związek tg α =tg(α + 180º) zasadę sporządzania wykresów funkcji: y = f (x), y = f (x + a), gdy dany jest wykres funkcji y = f (x) wzór na długość łuku definicję miary łukowej kąta środkowego zależność między miarą łukową a stopniową kąta związki: tg α =tg(α + 180º) zasadę sporządzania wykresów funkcji: y = f (x), y = f (x + a), gdy dany jest wykres funkcji y = f (x) wzór na długość łuku definicję miary łukowej kąta środkowego jednostkę miary łukowej kąta zależność między miarą łukową a stopniową kąta odczytywać własności funkcji y =tg α z wykresu (R) obliczać miarę łukową kąta środkowego (K P) rozwiązywać zadania, stosując wzór na miarę łukową kąta środkowego (K P) zamieniać miarę łukową kąta na miarę stopniową i odwrotnie (K P) określone warunki (R ustalać wartości funkcji dowolnego kąta, wykorzystując tablice oraz związki: tg α =tg (α + k 180º) tg ( α)= tg α (R) znajdować argumenty, dla których wartości funkcji tangens spełniają określone warunki (R zastosowaniem miary łukowej i stopniowej (R Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Powtórzenie i praca klasowa Funkcje y =sin ax, y = a sin x... Przekształcanie wykresów funkcji. własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej (P własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość zasady sporządzania wykresów funkcji y =sin ax, y = a sin x... (P R) zasady sporządzania wykresów funkcji: y = f(x), y = f(x + a)+ b, y = f(x), gdy dany jest wykres funkcji y = f(x) (P własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej (P własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość zasady sporządzania wykresów funkcji y =sin ax, y = a sin x... zasady sporządzania wykresów funkcji: y = f(x), y = f(x + a)+ b, y = f(x), gdy dany jest wykres funkcji y = f(x) (P rysować wykresy funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej i określać ich własności (P wyznaczać argumenty, dla których funkcje trygonometryczne przyjmują określone wartości rysować wykresy funkcji y =sin ax, y = a sin x... odczytywać własności funkcji y =sin ax, y = a sin x..., korzystając z wykresów (R sporządzać wykresy przekształconych funkcji, mając dany wykres funkcji y = f(x) (P odczytywać własności funkcji z wykresów (P określać własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej (okresowość, parzystość, nieparzystość) (R) wyznaczać argumenty, dla których wartości funkcji spełniają dane warunki (R określać wzory funkcji y =sin ax, y = a sin x... spełniających określone warunki (R rysować wykresy funkcji y =sin ax, y = a sin x... i określać ich własności (R-W) przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych (R-W) Równania trygonometryczne. równań i nierówności trygonometrycznych (P sposoby wykorzystania wykresów funkcji trygonometrycznych do rozwiązywać równania trygonometryczne postaci sin x = a, cos x = a, tg x = a, (PR) rozwiązywać trudniejsze równania i nierówności

16 Ciągi 20 h Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Suma i różnica sinusów i cosinusów kątów Powtórzenie i sprawdzian Przykłady ciągów Ciągi arytmetyczne. sposoby zapisywania rozwiązań niektóre wzory trygonometryczne ( wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów pojęcia: ciąg, wyrazy ciągu pojęcia: ciąg skończony, ciąg nieskończony pojęcie ciągu liczbowego pojęcie wzoru ogólnego ciągu (K P) pojęcie wzoru rekurencyjnego ciągu (K P) pojęcia: monotoniczność ciągu, ciąg malejący, ciąg rosnący, ciąg stały pojęcia: ciąg arytmetyczny, różnica ciągu arytmetycznego rozwiązywania równań i nierówności równań i nie-równości trygonometrycznych (P przydatność wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów do wyznaczania dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych nietypowych kątów np. 75 stopni przydatność wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych przydatność wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów przy rozwiązywaniu równań i dowodzeniu tożsamości trygonometrycznych pojęcia: ciąg, wyrazy ciągu pojęcia: ciąg skończony, ciąg nieskończony pojęcie ciągu liczbowego sposób określania ciągu za pomocą wzoru ogólnego (K P) sposób określania ciągu za pomocą wzoru rekurencyjnego pojęcia: ciąg malejący, ciąg rosnący, ciąg stały pojęcia: ciąg arytmetyczny, różnica ciągu arytmetycznego rozwiązywać proste nie-równości trygonometryczne, np. sin x a (P stosować wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów do wyznaczania dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych nietypowych kątów rozwiązywać proste równania i nierówności trygonometryczne, stosując wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta stosować wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów do uproszczenia wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne zapisywać dowolne wyrazy ciągów na podstawie ich wzorów ogólnych (K P) zapisywać dowolne wyrazy ciągów na podstawie ich wzorów rekurencyjnych (K P) podawać przykłady ciągów (K P) określać monotoniczność ciągu na podstawie wzoru ogólnego określać monotoniczność ciągu na podstawie wzoru rekurencyjnego określać ciąg za pomocą wzoru ogólnego (P określać ciąg za pomocą wzoru rekurencyjnego obliczać różnicę i kolejne wyrazy danego ciągu arytmetycznego obliczać dowolne wyrazy ciągu trygonometryczne (R-W) np. sin 2x =1/2 sin 2 x +cos x =1 cos 2x<1/2 rozwiązywać trudniejsze równania i nierówności trygonometryczne, stosując wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów stosować wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów w rozwiązywaniu równań i dowodzeniu tożsamości trygonometrycznych obliczać sumę k początkowych wyrazów ciągu na podstawie jego wzoru ogólnego (R obliczać kolejne wyrazy ciągu oraz określać ogólny wzór ciągu na podstawie danego wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu znajdować wzór ogólny ciągu określonego rekurencyjnie (R- W) określać wartości parametru, dla którego podane wyrażenia są kolejnymi wyrazami ciągu

17 Ciągi geometryczne. Procent składany. Granice ciągów wzór ogólny ciągu arytmetycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego pojęcia: ciąg geometryczny, iloraz ciągu geometrycznego wzór ogólny ciągu geometrycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej dwóch liczb nieujemnych pojęcia: procent prosty, procent składany definicję granicy ciągu pojęcia: ciąg zbieżny, ciąg wzór ogólny ciągu arytmetycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego pojęcia: ciąg geometryczny, iloraz ciągu geometrycznego wzór ogólny ciągu geometrycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej dwóch liczb nieujemnych pojęcia: procent prosty, procent składany definicję granicy ciągu pojęcia: ciąg zbieżny, ciąg arytmetycznego, gdy dane są jeden wyraz i różnica ciągu lub dwa dowolne wyrazy tego ciągu (K R) podawać przykłady ciągów arytmetycznych spełniających dane warunki (K P) zapisywać wzory ciągów arytmetycznych zapisywać wzory ogólne ciągów arytmie-tycznych określonych rekurencyjnie i odwrotnie obliczać sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (K R) sprawdzać, czy dana liczba jest wyrazem danego ciągu arytmetycznego ustalać, ile wyrazów ma podany ciąg arytmetyczny obliczać ilorazy oraz kolejne wyrazy danych ciągów geometrycznych (K P) sprawdzać, czy podany ciąg jest ciągiem geometrycznym (K P) zapisywać dowolne wyrazy ciągu geometrycznego, gdy dany jest: iloraz i dowolny wyraz tego ciągu dwa dowolne wyrazy ciągu geometrycznego (K R) sprawdzać, czy dana liczba jest wyrazem danego ciągu geometrycznego określać monotoniczność ciągów geometrycznych (R) zapisywać wzory ogólne ciągów geometrycznych określonych rekurencyjnie i odwrotnie (P obliczać sumę wyrazów ciągu geometrycznego zastosowaniem procentu prostego i składanego obliczać granice niektórych ciągów (P- arytmetycznego (R) rozwiązywać zadania dotyczące ciągu arytmetycznego (R rozwiązywać równania, których jedna strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego (R obliczać wartości zmiennych, które wraz z danymi liczbami tworzą ciąg geometryczny (R rozwiązywać zadania dotyczące ciągów geometrycznych (R W) zastosowaniem procentu prostego i składanego (R na podstawie wzoru ogólnego określać zbieżność oraz

18 Wielokąty. Figury podobne 12 h Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej Obliczanie granic Szeregi geometryczne 132 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej omówienie. Wielokąty podobne rozbieżny, ciąg rozbieżny do +, ciąg rozbieżny do -, warunek zbieżności i rozbieżności ciągu geometrycznego własności granic ciągów własności granic ciągów rozbieżnych symbole nieoznaczone pojęcie szeregu geometrycznego wzór na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie q <1 pojęcie figur podobnych pojęcie skali podobieństwa własności figur podobnych rozbieżny, ciąg rozbieżny do +, ciąg rozbieżny do -, warunek zbieżności i rozbieżności ciągu geometrycznego własności granic ciągów własności granic ciągów rozbieżnych pojęcie szeregu geometrycznego wzór na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie q <1 pojęcie figur podobnych pojęcie skali podobieństwa własności figur podobnych podawać przykłady ciągów zbieżnych oraz rozbieżnych określać zbieżność oraz rozbieżność ciągu na podstawie jego wykresu (P- obliczać granice ciągów z wykorzystaniem własności granic (P-R) obliczać sumy szeregów geometrycznych (P-R) rozpoznawać figury podobne (K P) znajdować długości boków wielokątów podobnych, gdy dana jest skala podobieństwa i odwrotnie (R) rozbieżność ciągu (R- określać wartość parametru, dla którego granica danego ciągu spełnia określone warunki (R- obliczać granice ciągów z wykorzystaniem własności granic (R- zastosowaniem obliczania sum szeregów geometrycznych (R zastosowaniem własności podobieństwa (R Jednokładność. Cechy podobieństwa trójkątów. Twierdzenie Talesa. pojęcie jednokładności własności figur jednokładnych (K P) cechy podobieństwa trójkątów twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa pojęcie jednokładności własności figur jednokładnych (K P) cechy podobieństwa trójkątów twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa rozpoznawać figury jednokładne konstruować figury jednokładne obliczać współrzędne obrazów punktów w jednokładności o danym środku i skali zastosowaniem cech podobieństwa trójkątów (K R) stosować twierdzenie Talesa oraz twierdzenie do niego odwrotne w zadaniach rachunkowych obliczać współrzędne środka jednokładności, gdy dane są współrzędne punktu i jego obrazu obliczać skalę jednokładności, gdy dane są współrzędne środka jednokładności oraz punktu i jego obrazu rozwiązywać zadania, stosując definicję i własności jednokładności (R zastosowaniem twierdzenia Talesa i twierdzenia do niego odwrotnego (R

19 Statystyka 10 h Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 19 stosować twierdzenie Talesa w zadaniach konstrukcyjnych (PR) Pola figur podobnych. 144 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa i jej omówienie. Przybliżenia Średnia arytmetyczna, mediana, dominanta. Średnia ważona. Odchylenie standardowe. zależność między stosunkiem pól figur podobnych a skalą podobieństwa sposoby zaokrąglania liczb pojęcie średniej arytmetycznej pojęcia: mediana, dominanta pojęcia: dolny kwartyl, górny kwartyl, rozstęp danych, rozstęp międzykwartylowy (R) pojęcie średniej ważonej pojęcie odchylenia standardowego 154 Powtórzenie wiadomości Praca klasowa. Pozostałe godziny do dyspozycji nauczyciela zależność między stosunkiem pól figur podobnych a skalą podobieństwa potrzebę zaokrąglania liczb różnicę między błędem bezwzględnym a błędem względnym pojęcie średniej arytmetycznej pojęcia: mediana, dominanta pojęcia: dolny kwartyl, górny kwartyl, rozstęp danych, rozstęp międzykwartylowy (R) pojęcie średniej ważonej pojęcie odchylenia standardowego interpretację wartości przeciętnej i odchylenia standardowego obliczać pola figur podobnych (P R) obliczać skalę podobieństwa, gdy dane są pola figur podobnych wykonywać obliczenia na liczbach rzeczywistych oraz szacować różne wielkości i wyniki działań obliczać błędy bezwzględne i błędy względne przybliżeń obliczać dokładne wartości, znając błąd bezwzględny oraz rodzaj przybliżenia (P-R) obliczać średnią arytmetyczną, medianę i dominantę (K R) rysować diagramy pudełkowe oraz obliczać dolny i górny kwartyl oraz rozstęp danych i rozstęp międzykwartylowy (R obliczać średnie ważone zestawu danych (K P) obliczać odchylenie standardowe interpretować wartości przeciętne i odchylenia standardowe rozwiązywać zadania dotyczące pól figur podobnych (R zastosowaniem obliczania średniej arytmetycznej, mediany i dominanty (R zastosowaniem obliczania dolnego i górnego kwartyla oraz rozstępu danych i rozstępu międzykwartylowego (R-W) zastosowaniem obliczania średniej ważonej ( zastosowaniem obliczania odchylenia standardowego (R