Tytuł: Badanie efektywności liczników w bliskim detektorze eksperymentu T2K przy użyciu mionów atmosferycznych.

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki Aleksander Kiliński Nr albumu: Tytuł: Badanie efektywności liczników w bliskim detektorze eksperymentu T2K przy użyciu mionów atmosferycznych. Praca magisterska na kierunku fizyka w zakresie fizyka cząstek elementarnych i oddziaływań fundamentalnych Praca wykonana pod kierunkiem prof. Danuty Kiełczewskiej Uniwersytet Warszawski Warszawa, październik

2 Streszczenie Głównym tematem pracy są efektywności liczników detektora SMRD, które zostały wyznaczone przy użyciu trzech metod. W analizie statystycznej porównano również podejście klasyczne z Bayesowskim. Zbadano hipotezę o jednakowej efektywności wszystkich badanych liczników. Sprawdzono czy efektywności liczników są jednakowe w różnych okresach zbierania danych. Zbadano zależność efektywność od pozycji przejścia mionu przez licznik. Przeanalizowano różne wkłady przyczyniające się do nieefektywności liczników wskazując największy. Słowa klucze liczniki scyntylacyjne, efektywności, metoda klasyczna, metoda Bayesowska, przyczyny nieefektywności liczników Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus): 13.2 Fizyka Tytuł pracy w tłumaczeniu na język angielski: Analysis of the efficiency of counters in the T2K near detector with atmospheric muons Wersja druga 2

3 Spis treści 1 Wstęp do pracy Historia neutrina w skrócie Eksperyment T2K - Tokai to Kanioka Detektor SMRD i miony atmosferyczne Podstawy statystyczne Wyznaczanie efektywności liczników SMRD przy użyciu mionów atmosferycznych Dane z eksperymentu Metoda wewnętrznych liczników Metoda używająca rekonstrukcji mionów Metoda używająca rekonstrukcji mionów z cięciami Wnioski z porównania metod Możliwe przyczyny nieefektywności liczników Próba odtworzenia rozkładu efektywności Wynik dla symulacji wyznaczania efektywności liczników Wiadomości wstępne Metoda wewnętrznych liczników Metoda używająca rekonstrukcji mionów Podsumowanie wyników dla powyższych metod Zaawansowana analiza efektywności przy użyciu rekonstrukcji na zbiorze danych Podstawowe informacje Efektywność dla liczników w funkcji szerokości i długości Stabilność efektywności liczników w funkcji czasu Efektywność dla liczników poziomych w funkcji okna czasowego używanego do rekonstrukcji podwójnych zliczeń Wnioski Analiza czasów otrzymania sygnału Wstęp do analizy czasów otrzymania sygnału Analiza okna czasowego Efektywność w funkcji ocenianej wartości długości z Podsumowanie analizy czasów dotarcie sygnałów Podsumowanie pracy

4 1 Wstęp do pracy 1.1 Historia neutrina w skrócie Neutrino to cząstka elementarna zaliczana do grupy leptonów. Pierwszy raz została zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1930 jako wyjaśnienie ciągłego spektrum energii elektronu w rozpadzie beta, charakterystycznego dla rozpadu trójciałowego. Wówczas spodziewano się widma charakterystycznego dla rozpadu dwuciałowego, gdyż obserwowano jedynie jądro i elektron. Na bezpośrednie odkrycie neutrina trzeba było poczekać do roku 1956, odkrycia tego dokonali Reines i Cowan [1]. W 1962 Leon M. Lederman, Melvin Schwartz i Jack Steinberger odkryli neutrino o zapachu mionowym. Trzeci zapach neutrina został odkryty w 2000 przez kolaboracje DONUT w Fermilabie. Z pośrednich pomiarów, takich jak rozpad bozonu Z, można spodziewać się 3 zapachów neutrin o masie poniżej 45 GeV. Neutrina oddziałują [2] słabo oraz grawitacyjnie, chociaż w teorii cząstek elementarnych można pominąć oddziaływania grawitacyjne jako zaniedbywalnie małe. Żeby uświadomić sobie fakt jak małe jest oddziaływanie neutrina z materią, warto zaznaczyć, iż średnia droga swobodna dla nisko energetycznego neutrina o energii kilku MeV w wodzie przekracza rok świetlny. Niezerową masę neutrina udowodniono na podstawie zachodzenia zjawiska oscylacji. Pierwszą obserwacją wskazującą na istnienie oscylacji neutrin był deficyt strumienia neutrin słonecznych pochodzących z reakcji jądrowych w Słońcu, zmierzony w eksperymencie Homestake [3], zbierającym dane od 1968 r. Jednak do potwierdzenia hipotezy należało poczekać na eksperyment SNO pozwalający na bezpośrednie zmierzenie zarówno strumienia wszystkich neutrin, jak i strumienia neutrin elektronowych[4]. Równie istotny przy weryfikacji hipotezy okazał się pomiar przy użyciu detektora Super-Kamiokande[5]. Fakt oscylacji neutrin implikuje posiadania przez nie masy, jednak ze względu na bardzo małą jej wartość do dnia dzisiejszego nie udało się dokonać bezpośredniego pomiaru masy neutrina ani ustalić hierarchii mas w rodzinie neutrin. 1.2 Eksperyment T2K - Tokai to Kanioka Cele eksperymentu Największą zagadką teorii oscylacji jest wartość kąta θ13. W przypadku gdyby okazało się, iż jego wartość jest różna od zera, powstaje dodatkowe pytanie o łamanie symetrii CP w sektorze neutrin. Oczywiście istotne jest również dokładniejsze zmierzenie znanych parametrów oscylacji neutrin. Przy okazji można również zbadać niektóre bardziej egzotyczne teorie jak istnienie czwartego zapachu neutrina. Od eksperymentu T2K [6] należy oczekiwać odpowiedzi na powyższe pytania. Zalicza się on do eksperymentów akceleratorowych z długą bazą. Najważniejsze jego części to: źródło neutrin, w tym przypadku odpowiada za to kompleks akceleratorowy J-PARC, bliski detektor nazwany przez kolaborację detektorem ND280 oraz daleki detektor, którego rolę pełni detektor Super-Kamiokande Wiązka neutrin Wiązkę do eksperymentu T2K wytwarza się w kompleksie akceleratorowym J-PARC. Wytwarzanie wiązki neutrinowej przebiega w kilku etapach. Pierwszym jest wytworzenie wiązki protonowej. Idea przyspieszania polega na wykorzystaniu pola elektrycznego do przekazania energii wiązce cząstek naładowanych, w tym przypadku protonów. Następnie korzystając z pola magnetycznego nadaje się wiązce pożądany kierunek. W akceleratorze wykorzystywanym przez 4

5 eksperyment T2K wiązka ma nominalną energię po przyśpieszeniu równą 30 GeV. Następnie tak otrzymaną wiązkę protonów należy skierować na tarczę. W przypadku eksperymentu T2K wykorzystuje się tarczę grafitową. Ponieważ zarówno materia tarczy, jak i wysokoenergetyczny proton są hadronami, w zderzeniu dominującą rolę będą odgrywać oddziaływania silne. Jako wynik zderzenia protonu z tarczą powstają różne cząstki, jednak najistotniejsze dla eksperymentu będą mezony. Jako, że układ tarcza-proton ma sumaryczny pęd w kierunku wiązki protonowej, produkty oddziaływania będą preferowały zachowania kierunku wiązki. Kolejną fazą jest wybranie interesujących produktów oddziaływania, w tym celu stosuje się rogi magnetyczne. Cząstka w zależności od posiadanego pędu oraz ładunku jest rozpraszana lub ogniskowana do tunelu rozpadowego. Ten etap jest szczególnie ważny, gdyż zależy nam na jak największej czystości wiązki. W wytwarzaniu wiązki neutrinowej rogi magnetyczne ustawia się tak, aby do tunelu rozpadowego wleciało jak najwięcej pionów naładowanych dodatnio. Piony naładowane dodatnio rozpadają się na dodatnio naładowane leptony oraz neutrina im odpowiadające. Dominującym kanałem tej reakcji jest pion rozpadający się na anty-mion i neutrino mionowe, reszta stanowi niechciane tło. Ponieważ eksperyment chce dokładnie zmierzyć zarówno znikanie neutrin mionowych jak i pojawianie się neutrin elektronowych, które są jednym z produktów rozpadu mionu, należy zadbać o odpowiednią czystość wiązki. Im większa jest długość tunelu rozpadowego, tym więcej mezonów się rozpadnie, ale też zwiększa się prawdopodobieństwo rozpadu powstałego mionu i tym samym zmniejszenia czystości wiązki Rola detektora ND280 Główna rola detektora ND280 polega na jak najdokładniejszym zbadaniu stworzonej wiązki zanim jeszcze zdążą zajść oscylacje. W tym celu zostały zbudowane różne układy detektorów. W skład bliskiej stacji wchodzą: detektor znajdujący się na osi wiązki INGRID oraz detektor poza osiowy, w skład którego wchodzi detektor SMRD, znajdujący się kilka stopni poza osią wiązki (2,5o) takim samym, jak daleki detektor Super-Kaniokande. Detektor INGRID służy do bezpośredniego monitorowania wytwarzanej wiązki neutrin, ze względu na natężenie padającego na niego strumienia jako pierwszy powinien zauważyć nawet minimalne zmiany kąta padania wiązki czy też jej natężenia. Detektor SMRD zostanie dokładniej omówiony później, przy okazji omawiania mionów atmosferycznych Budowa i rola detektora Super-Kamiokande Detektor Super-Kamiokande ma za zadanie dokładne zmierzenie strumienia neutrin, który do niego doleciał. Ponieważ detektor jest ustawiony w odległości 295 km, bada wiązkę po zajściu oscylacji. Jest to wielki detektor wykorzystujący promieniowanie Czerenkowa. Został on przedstawiony na rys. 1. Główną częścią detektora jest olbrzymi zbiornik z bardzo czystą wodą otoczony fotopowielaczami. Pomimo swoich dużych rozmiarów ilość przypadków jakie jest on w stanie zarejestrować z eksperymentu jest niewielka ze względu na dużą odległość od źródła neutrin. Głównym kryterium rozróżniającym przypadki z eksperymentu od tła jest okno czasowe dopasowane do impulsowego charakteru wiązki. 5

6 rys. 1 Szkic budowy detektora Super-Kamiokande. 1.3 Detektor SMRD i miony atmosferyczne Budowa detektora SMRD Jest to detektor wchodzący w skład układów detektorów pozaosiowych ND280, który został przedstawiony na schemacie na rys. 2. SMRD składa się z ośmiu pierścieni, każdy z pierścieni składa się z czterech ścian po cztery wieże w każdej z nich. Taka wieża posiada w zależności od pierścienia od trzech do sześciu warstw. Pojedyncza warstwa składa się z czterech lub pięciu ułożonych obok siebie liczników scyntylacyjnych. Szczegółowe informacje z podziałem na pierścienie zawiera Tabela 1. Długość licznika jest zawsze taka sama i wynosi 870 mm. Widok pojedynczego elementu przedstawia rys. 3. Jak widać, składa on się z licznika wypełnionego scyntylatorem, wewnątrz którego przeprowadzony jest światłowód. Natomiast do obu końców światłowodu został przymocowany moduł zbierający sygnał w postaci fotodiod MPPC. Poziome (8 wież) Liczba warstw w wieży Liczba liczników w warstwie Pionowe (8 wież) Liczba warstw Liczba liczników w warstwie Suma 24 pierścień Tabela 1. szerokość 180 mm szerokość 170 mm 31 Ilość liczników w poszczególnych warstwach wewnątrz danego pierścienia. 6

7 rys. 2 Schemat układu detektorów pozaosiowych ND280 z lewej. Po prawej natomiast widać dokładniej pojedynczy półpierścień magnesu. Z podziałem na wieże wewnątrz pierścienia. rys. 3 Budowa pojedynczego licznika scyntylacyjnego dla detektora SMRD (po lewej) oraz element MPPC służący do sczytywania sygnały z licznika (po prawej) Powstawanie mionów atmosferycznych. Nasza planeta jest nieustannie bombardowana przez promieniowanie kosmiczne. Jego pierwotny skład stanowią protony w 90 %, cząstki alfa w 9 %, elektrony w 1 % oraz inne cząstki, których wkład procentowy można pominąć. Promieniowanie kosmiczne dzielimy na wtórne oraz pierwotne. Promieniowanie pierwotne jest zdefiniowane jako te cząstki, które powstały daleko poza Ziemią, natomiast promieniowanie wtórne to cząstki, które powstały wskutek oddziaływań cząstek promieniowania pierwotnego w atmosferze Ziemi. Termin miony atmosferyczne dotyczy mionów, które powstały w atmosferze i z tego powodu zaliczają się do cząstek promieniowania wtórnego. Ze 7

8 względu na produkcję mionów atmosferycznych najważniejszym źródłem są rozpady naładowanych pionów powstałych z oddziaływań wysoko energetycznych hadronów, głównie protonów z promieniowania pierwotnego w atmosferze. Takie hadrony powstają w jądrach aktywnych galaktyk, wybuchach supernowych oraz innych procesach. Kiedy wysokoenergetyczny proton zderzy się z cząstkami w atmosferze, w wyniku oddziaływań silnych powstaje dużo cząstek wtórnych, głównie mezonów, w szczególności naładowanych pionów. Jak wiadomo, naładowany pion jest cząstką niestabilną o stosunkowo krótkim czasie życia. Dodatnio naładowany pion rozpada się na anty-mion i neutrino mionowe, inne rozpady stanowią tylko 0,3 procent. Natomiast ujemnie naładowany pion rozpada się analogicznie na mion i anty-neutrino mionowe. Miony mogą powstawać również z rozpadów innych cząstek, jak na przykład naładowane kaony, jednak wkład do widma mionów [7] od tego typu procesów jest mniejszy. Mion jest również cząstką niestabilną, jednak mającą stosunkowo długi czas życia wynoszący 2,2 μs. Ponieważ typowe miony mają energie kilku GeV, w układzie związanym z Ziemią poruszają się z prędkością bliską prędkości światła. Gdyby zaniedbać dylatację czasu, która jest efektem szczególnej teorii względności, mion przed rozpadem przeleciałby średnio tylko 660 m. Dla przykładu dla mionu o energii 1 GeV wskutek dylatacji średnia droga, jaką przebędzie przed rozpadem wzrasta do około 6 km. Tak więc wysokoenergetyczny mion może być uznawany za cząstkę quasi-stabilną, czyli cząstkę, dla której można zaniedbać prawdopodobieństwo rozpadu w detektorze Rola mionów atmosferycznych dla eksperymentu w detektorze ND280 W detektorze SMRD miony kosmiczne mogą pełnić bardzo ważną funkcję służącą precyzyjnemu badaniu odpowiedzi poszczególnych elementów detektora i to nie tylko tych wchodzących w skład układu SMRD [8]. Miony atmosferyczne jako cząstki naładowane są bardzo łatwe do zarejestrowania przez detektory eksperymentu. Ponadto są bardzo podobne do mionów pochodzących z oddziaływań neutrin mionowych z wymianą prądów naładowanych. Ponieważ typowa droga swobodna mionu, liczona jako średni czas życia w układzie własnym pomnożony przez prędkość światła w próżni.jest ponad 100 razy większa od wysokości detektora, to szansa zaobserwowania mionów, które się rozpadną w detektorze, jest bliska zeru. Dla wysokoenergetycznych mionów można ją oszacować z góry na mniejszą niż 0,6 %, natomiast dokładna wartość zależy od kąta oraz energii mionu. Dla pionowego mionu o energii 1 GeV wynosi ono około 0,09 % i wartość ta maleje wraz ze wzrostem energii. Kolejną zaletą mionów atmosferycznych jest fakt, iż są do dyspozycji w szerokim rozkładzie kątowym, co umożliwia dość dobre badanie wszystkich liczników. Jednak podczas trwania impulsu wiązki oddziaływania mionów kosmicznych będą tłem. Innym ciekawym zastosowaniem dla mionów kosmicznych jest możliwość badania jak zmienia się efektywność pomiędzy różnymi okresami zbierania danych. Daje to możliwość kontrolowania wpływu zmęczenia materiału oraz zmian związanych z porami roku Tryger kosmiczny detektora ND280 System wyzwalania detektora ND280 ma wiele kombinacji. Najważniejszy jest podział na tryger wiązki oraz tryger kosmiczny. Główną cechą pierwszego z nich jest korelacja czasowa z impulsem wiązki, nie jest on jednak istotny z punktu badania mionów atmosferycznych. Do tego celu został specjalnie przygotowany drugi rodzaj trygera. Wieża SMRD daje sygnał, jeżeli w co najmniej dwóch warstwach mamy przekroczony próg w dwóch końcach licznika scyntylacyjnego, takie zdarzenie uważamy też za równoznaczne z pozytywnym sygnałem od ściany jej odpowiadającej. W 8

9 zależności od ustawienia trygera żądamy koincydencji dowolnych dwóch ścian lub konkretnych. Do najpopularniejszych należą ustawienie trygera na ściany górą i dolną oraz na ściany boczne. W tym konkretnym przypadku żąda się, aby mion przeleciał przez dwie przeciwległe ściany i dał sygnał w każdej z nich w co najmniej dwóch licznikach scyntylacyjnych znajdujących się w różnych warstwach. 1.4 Podstawy statystyczne Podstawy teorii estymacji i testów zgodności Na pytanie o zgodność z teorią odpowiada test chi kwadrat. Tu kluczowym elementem jest niepewność pomiarowa. W przypadku tej pracy mogę się ograniczyć do testu na zgodność dwóch rozkładów. Procedura ta wygląda następująco: Najpierw badany przedział zakresu zmiennej dzieli się na odcinki tak, żeby w każdym z nich były jakieś przypadki spodziewane przez teorię lub z wyniku eksperymentu. W mojej pracy przyjąłem, że musi być co najmniej pięć przypadków spodziewanych przez teorię. Za niepewność pomiarową dla histogramów uznaje się pierwiastek z liczby zliczeń. Następnie dla każdego z nich bierze się różnicę pomiędzy wartością otrzymaną, a przewidywaną przez teorię podzieloną przez niepewność pomiarową. Suma kwadratów tych wielkości to wynik w teście chi kwadrat. Liczba stopni swobody to ilość przedziałów minus jeden. Jeśli prawdopodobieństwo otrzymania gorszego wyniku dla danej teorii jest niższe niż 0,3 % uznaje wynik za niezgodny z teorią. Wartość ta odpowiada w przybliżeniu prawdopodobieństwu wylosowania liczby co do modułu większej niż trzy sigma z unormowanego rozkładu Gausa. Ten poziom ufności odpowiada temu stosowanemu w teście trzy sigma. Kolejną kwestią są zgodności dwóch liczb ze sobą. Dla zachowania konwencji uznaję ją za zgodne jeżeli ich różnica jest mniejsza co do licznika niż trzykrotność jej niepewności. Głównym celem dowolnego eksperymentu fizycznego jest określenie parametrów teorii lub ewentualnie stwierdzeniu braku zgodności z nią. Na pytanie o parametry odpowiada teoria estymacji. Dane z pomiaru traktujemy jako próbę z rozkładu, który jest wynikiem złożenia efektów pomiarowych oraz własności fizycznych opisywanego zjawiska. Funkcję z próby rozkładu w przestrzeń parametrów rozkładu nazywamy estymacją lub oceną, w przypadku gdy dotyczy pojedynczej wielkości. Z fizycznego punktu widzenia równie ważna jest niepewność oceny. Niestety podejście analityczne jest w stanie wyznaczyć ją tylko dla danych parametrów rozkładu, które w realnym eksperymencie pozostają niewiadomą. W związku z tym możemy uzyskać jedynie ocenę niepewności. W przypadku mojej pracy najważniejsza będzie ocena efektywności badanych elementów. Jest to prawdopodobieństwo zarejestrowania cząstki i otrzymania zliczenia, dla cząstki, która przelatuje przez dany element. Rozkład liczby oczekiwanych zliczeń dany jest poprzez rozkład dwumianowy: () P (s, n p) = n ps (1 p)( n s), dla s {0,1.. n} s p efektywność detekcji cząstki s liczba zliczeń n ilość cząstek przechodzących przez dany element W mojej pracy ograniczam się do odpowiedzi na pytanie o prawdopodobieństwo zarejestrowania mionu. Tu również będzie ważna niepewność jej wyznaczenia. Te dwie wielkości można ocenić w dwóch alternatywnych podejściach. 9

10 1.4.2 Ocenianie wielkości w podejściu klasycznym Najważniejszym aspektem, z punktu widzenia tej pracy, jest ocenianie wartości efektywności oraz niepewności jej wyznaczenia. Do tego celu używam przede wszystkim metody klasycznej, którą tutaj omówię. Droga rozumowania w tym podejściu jest stosunkowo prosta. Ponieważ średnia oczekiwana liczby zarejestrowanych sygnałów to iloczyn efektywności oraz liczby cząstek, które przeszły przez dany element, naturalne wydaje się ocenienie efektywności jako stosunek zarejestrowanych cząstek do wszystkich, które przez niego przeleciały. Na potrzeby wyznaczenia niepewności przyjmuje się, że wyznaczona w ten sposób efektywność wystarczająco przybliża wartość rzeczywistą. Stąd dla niej można wyznaczyć niepewność pomiarową dla opisanej wyżej procedury. Oszacowanie efektywności oraz niepewności pomiarowych jej wyznaczenia w metodzie klasycznej wyrażają się wzorami: P est = σ 2p = s n P est (1 Pest ) n Pest estymacja efektywności dla metody klasycznej s liczba zarejestrowanych przypadków n liczba możliwych do zarejestrowania przypadków Bardzo często w mojej pracy pojawiają się różne histogramy dla danych wartości. Przy szacowaniu niepewności wyznaczenia średniej rozkładu wygodnie posłużyć się rozmyciem statystycznym. Wówczas wyraża się ona wzorem: 2 σ = V n 1 V wariacja rozkładu n liczba wejść w histogramie To uproszczone podejście, którego będę używał zakłada, iż dominujące są błędy statystyczne. Wartom dodać, że błędy systematyczne wyznaczenia średniej są równe temu błędowi dla pojedynczego pomiaru przy tego typu jej wyznaczania Ocenianie wielkości w podejściu Bayesowskim Pomocniczo używam też w pracy alternatywnej metody. Metoda Bayesowska [9] polega na probabilistycznym podejściu do pomiaru. Do omówienia tej teorii wygodnie jest przyjąć założenie, iż mierzona wielkość A jest zmienną losową o jakimś rozkładzie P(A). Wówczas zasadne jest pytanie o jej rozkład, jeżeli dana jest zbiór obserwacji B. Na powyższe pytanie można otrzymać odpowiedź stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: P ( A B) = P (B A) P (A) P (B A) P ( A) = P ( B) P ( B Ai ) P ( Ai ) i P(B A) jest dane przez teorię, natomiast P(A) jest nieznanym rozkładem wielkości mierzonej. Głównym założeniem przy tej metodzie jest rozkład P(A). Z teoretycznego punktu widzenia każdy dający się unormować rozkład P(A) jest dobry. Najczęściej jednak za P(A) przyjmuje się rozkład jednostajny na ograniczonym przedziale. W moim przypadku, jako iż efektywność mieści się w przedziale od 0 do 1, naturalnym założeniem jest rozkład jednostajny na przedziale od 0 do 1. 10

11 Natomiast obserwablą B jest zbiór s sukcesów przy n próbach dany przez rozkład dwu-mianowy: () P (s, n p) = n p s (1 p)(n s), dla s {0,1.. n} s Wówczas otrzymujemy rozkład ciągły dany wzorem: P ( p s, n) = p s (1 p)(n s) 1 0 p si (1 pi )(n s) dp i Na tej postawie tego rozkładu wyznacza się wynik. Aby to zrobić, trzeba przyjąć jakieś kryterium oceniające jakość zwróconego wyniku. Analogicznie do testu chi kwadrat, zwykle jest to średnia wartość kwadratu błędu pomiędzy wartością zwracaną przez estymator, a rzeczywistą, następnie zażądać jej minimalizację. Wartość niepewności estymacji uzyskuje się poprzez wymaganie, aby wartość oczekiwana kwadratu różnicy po podzieleniu przez niepewność wyniku wynosiła 1. Wówczas jako wynik pomiaru otrzymujemy średnią rozkładu P(A), a jej niepewność wyraża się jako wariancja tego rozkładu. W moim przypadku otrzymane w ten sposób wzory będą się wyrażać przez funkcje beta (całki Eulera pierwszego rodzaju), które po uproszczeniu sprowadzają się do gotowych do użycia wzorów: P est = s+1 n+2 σ 2p = Pest (1 P est) n+3 Co ciekawe, Pest jest równoważne z estymatorem klasycznym po dodaniu jednego sukcesu i porażki do próby. Również estymacja niepewności wygląda podobnie Porównanie obu podejść Metoda klasyczna nie sprawdza się przy bardzo wysokich lub niskich efektywnościach, głównie za sprawą zwracania bardzo małego błędu. W skrajnych przypadkach np: same sukcesy z n prób, dostajemy oszacowanie efektywności na poziomie 100 % z zerowym błędem, niezależnym od liczby n. Niewątpliwie wynik ten nie jest w żaden sposób miarodajny. Natomiast metoda Bayesowska zawsze zwraca niezerowe oszacowanie na błąd wyznaczenia efektywności. Niestety średnia oczekiwana estymatora efektywności dla metody Bayesowskiej nie jest równa parametrowi rozkładu dwumianowego, jak to ma miejsce w podejściu klasycznym. W metodzie Bayesowskiej bardzo istotne jest założenie o początkowym rozkładzie wartości mierzonej, który należy wyznaczyć jeszcze zanim się dokona pomiarów. W zależności od niego można uzyskać różne wyniki dla tego samego zbioru danych. Nietrywialny jest fakt, iż przy standardowych założeniach, jakie czyni się w metodzie bayesowskiej, wyniki zwracane przez obie metody są ze sobą zgodne w ramach wyznaczonych przez siebie błędów. Przy próbie z rozkładu dwumianowego dążącej do nieskończoności wyniki obu metod są sobie równe. Podsumowując, metoda Bayesowska ma przewagę w wyznaczaniu wartości niepewności. Natomiast z drugiej strony w podejściu klasycznym jest lepsza kontrola nad estymacją efektywności oraz nie wymaga ona dodatkowych założeń. 11

12 2 Wyznaczanie efektywności liczników SMRD przy użyciu mionów atmosferycznych 2.1 Dane z eksperymentu Pojedynczy licznik scyntylacyjny składa się z scyntylatora, wewnątrz którego przeprowadzony jest światłowód. Na jego końcach po obu stronach zamieszczono fotodiody MPPC. W przypadku, gdy tryger kosmiczny zaakceptuje przypadek, każdy zarejestrowany przez MPPC sygnał, który przekroczył próg wyzwalania, zostaje zapisany wraz z informacją o czasie oraz amplitudzie. Do tego sygnału można też jednoznacznie przypisać element detektora, z którego on pochodził. Jest to pojedyncze zliczenie, którego umowne współrzędne przestrzenne odpowiadają środkowi elementu detektora. Pozycja elementu danego licznika w przestrzeni jest przyjmowana na podstawie planowanego rozmieszczenia, czyli zakłada idealne pozycjonowanie elementów. Program SMRDCalib łączy w pary pojedynczych zliczeń z dwóch końców licznika scyntylacyjnego w oknie czasowym o szerokości 46 ns. Następnie na podstawie różnicy czasów dojścia sygnału do końców licznika scyntylacyjnego i położenia elementu detektora odpowiedni algorytm stara się określić położenie takiego sparowanego sygnału, wewnątrz licznika scyntylacyjnego. Taki sygnał nazywam dalej podwójnym zliczeniem. Z różnicy czasu można zrekonstruować tylko jedną współrzędną na osi z za pozostałe dwie przyjmuje się środek licznika. Do tej analizy używam danych zebranych w kwietniu 2010r. W tym okresie zbierania danych liczba przypadków dla trygera góra-dół jest porównywalna z tą dla trygera bok-bok. Uzyskuje w ten sposób po 40 tys. przypadków dla każdego z dwóch ustawień trygera. 2.2 Metoda wewnętrznych liczników Opis metody wewnętrznych liczników Metoda ta jest wyjątkowo prosta. Dana wieża licznika SMRD składa się z 3-6 warstw scyntylatorów. Zostało to szerzej omówione w rozdziale na stronie 6. Liczniki scyntylacyjne można połączyć w mniejsze wieże złożone z kilku scyntylatorów znajdujących się jeden nad drugim. Oczekuję zliczenia w danym scyntylatorze, jeżeli otrzymałem sygnał od jego dwóch odpowiedników (najbliższych) z takiej mniejszej wieży nad i pod danym licznikiem. Na rys. 4 przedstawiono schemat takiego postępowania. Kolorem czerwonym i pomarańczowym zaznaczono liczniki scyntylacyjne wchodzące w skład takiej mniejszej wieży. W tym przykładzie spodziewam się sygnału w zaznaczonym na pomarańczowo liczniku scyntylacyjnym, jeżeli był sygnał w tych oznaczonych na czerwono. W przypadku większej ilości warstw biorę pod uwagę kolejne trzy warstwy, dla przykładu oznaczone numerami 2,3,4. W kontekście tej metody liczniki można podzielić na zewnętrzne, należące do skrajnych warstw i wewnętrzne, czyli nienależące do pierwszej lub ostatniej warstwy. Metoda ta pozwala wyznaczyć efektywność tylko dla liczników wewnętrznych. 12

13 rys. 4 Schemat poglądowy ilustrujący metodę wewnętrznych liczników. Na rysunku zamieszczono trzy kolejne warstwy. Kolorem czerwonym oznaczono liczniki scyntylacyjne, w których pojawił się sygnał - warstwy trygerujące A i B. Natomiast kolorem pomarańczowym zaznaczony jest licznik, w którym oczekujemy pojawienia się sygnału, znajdujący się w warstwie T. Na niebiesko zaznaczono pozostałe liczniki, natomiast kolorem ciemniejszym zaznaczono te należące do badanej warstwy Zalety i wady dla metody wewnętrznych liczników Metoda ta z definicji może zostać użyta tylko dla wewnętrznych liczników, to znaczy nienależących do pierwszej i ostatniej warstwy. Metoda jest niewrażliwa na ewentualne błędy rekonstrukcji, ponieważ w żaden sposób nie używa ona rekonstrukcji. Metoda ta zakłada, iż każdy mion, który przeleciał przez licznik nad i pod danym licznikiem, musiał także przelecieć przez niego samego. W związku z tym nie uwzględnia ewentualnej krzywizny toru, co dla odległości rzędu 65 mm między warstwami jest bardzo dobrym przybliżeniem. Żeby mion został uwzględniony, musi przejść przez liczniki scyntylacyjne oznaczone na czerwono, co sprawia, iż nie wykorzystuję w niej mionów z pełnego zakresu kątowego. Najlepiej to widać na schemacie tej metody, który został przedstawiony on został na rys. 4 na stronie 13. Metoda ta liczy efektywność na całej powierzchni licznika. Podsumowując, główną wadą metody jest fakt, iż może ona zostać użyta tylko na specyficznej podpróbce liczników. W związku z powyższym metoda nie pozwala na kontrolowanie wszystkich liczników. W zamian za to może ona bardzo dobrze pełnić funkcje metody odniesienia. 13

14 2.2.3 Otrzymane wyniki dla metody wewnętrznych liczników Otrzymane wyniki wyznaczenia efektywności przedstawione są na rys. 5, jako rozkład wartości efektywności poszczególnych liczników. Tę metodę można zastosować do 856 liczników. Na histogramie efektywności widać maksimum dla wartości 100 %. Jest to wynikiem złożenia dwóch efektów: wysokiej efektywności oraz stosunkowo małej liczby przypadków na podstawie których jest ona wyznaczana. W rezultacie daje to dużą szansę na estymację wartości 100 %. Na histogramie na rys. 6 przedstawiono ile razy oczekiwano sygnału z środkowego licznika. Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 96,61±0,12 %. rys. 5 Histogram otrzymanej efektywności dla metody wewnętrznych liczników, każde wejście oznacza jeden licznik. Na osi poziomej odłożono wyznaczoną efektywność (Eff cent). Histogram zawiera 856 wejść. rys. 6 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń dla metody wewnętrznych liczników. Każde wejście to jeden licznik. Na osi poziomej odłożono liczbę oczekiwanych zliczeń (stat cent). Histogram zawiera 856 wejść. 14

15 2.3 Metoda używająca rekonstrukcji mionów Rekonstrukcja prostej poprzez algorytm PCA Wyznaczenie efektywności dla wszystkich liczników wymaga wykorzystania rekonstrukcji, bo tylko wtedy można na podstawie wyznaczonego toru oczekiwać sygnału od liczników znajdujących się w pierwszej i ostatniej warstwie. Rekonstrukcja mionów w SMRDCalib dopasowuje prostą do zbioru punktów, które odpowiadają współrzędnym podwójnych zliczeń. Wynik zwracany jest w postaci dwóch punktów, zdefiniowanych jako dwa najbardziej odlegle rzuty prostopadłe współrzędnych podwójnych zliczeń na dopasowaną prostą. Jako wynik działania rekonstrukcji można otrzymać albo dwa punkty, albo zbiór pusty. Ta druga możliwość oznacza brak dopasowania lub błąd algorytmu. W rekonstrukcji do znalezienia prostej używa się powszechnie stosowanego algorytmu PCA, którego pełna nazwa angielska brzmi Principal Component Analysis. [10] Opis metody używającej rekonstrukcji bez cięć Z dwóch punktów będących wynikiem rekonstrukcji odtwarzam prostą którą identyfikuję jako tor mionu. Następnie wyznaczam miejsce przecięcia otrzymanej prostej z płaszczyzną licznika. Obszar aktywny definiuję jako cały obszar licznika. Jeżeli punkt przecięcia prostej jest wewnątrz obszaru aktywnego dla danego licznika, to spodziewam się w nim podwójnego zliczenia, nie nakładam również żadnego kryterium na miejsce w liczniku, w którym ma się ono pojawić. Schemat tej metody przedstawia rys. 7. Pozycję licznika wyznaczam zakładając idealne pozycjonowanie i nominalne wymiary. rys. 7 Schemat poglądowy dla metody z użyciem rekonstrukcji bez cięć. Kolorem niebieskim zaznaczono obszar licznika, który zawiera się w ustalonej płaszczyźnie. Tor mionu jest reprezentowany przez brązową linię, a punkt przecięcia jest zaznaczony na czerwono Zalety i wady dla metody rekonstrukcji bez dodatkowych cięć Główną zaletą jest to, iż metoda ta działa na całym obszarze licznika, w związku z tym można próbować zobaczyć, jak się zmienia efektywność na brzegach licznika. Ponadto ta metoda będzie się charakteryzować dużą liczbą, trochę większą niż w poprzedniej metodzie, spodziewanych zliczeń w danym liczniku. Dzieje się tak, ponieważ nie jest wymagany warunek przejścia przez dwa liczniki znajdujące się w danej mniejszej wieży, jak to ma miejsce w metodzie wewnętrznych 15

16 liczników. Kolejnym plusem tej metody jest fakt, iż może ona posłużyć do wyznaczenia efektywności wszystkich liczników. Niestety posiada też poważne wady, mianowicie jest bardzo czuła na wszelkie niepewności rekonstrukcji. Ponadto zakłada ona przybliżenie, iż tor mionu jest prostą, pomija na przykład zagięcie toru w polu magnetycznym, jednak jest to dobre przybliżenie dla mionów atmosferycznych. Podsumowując, jest to dobra metoda do próby oszacowania efektywności wewnątrz licznika, chociaż przy interpretacji wyników trzeba zachować szczególną ostrożność ze względu na niedoskonałości rekonstrukcji Otrzymane wyniki dla metody z użyciem rekonstrukcji bez cięć Otrzymane wyniki przedstawione są na rys. 8, jako rozkład wartości efektywności poszczególnych liczników. Na histogramie widać klasyczny ciągły rozkład z maksimum na wartości około 87 %, natomiast powstałe mniejsze struktury są wynikiem fluktuacji statystycznych. W porównaniu z poprzednim wynikiem nie ma maksimum dla wartości 100 %. Dzieje się tak z powodu statystyki wystarczającej do zauważenia różnicy na poziomie kilkunastu procent. Liczbę oczekiwanych zliczeń przedstawia histogram na rys. 9. Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 88,06±0,14 %. Otrzymałem efektywność wyraźnie niższą od tej dla poprzedniej metody, co omówię oraz przeanalizuję dokładniej później przy porównaniu obu metod. rys. 8 Histogram otrzymanej efektywności dla metody używającej rekonstrukcji (Eff rec), na każde wejście przypada jeden licznik. Histogram zawiera 2007 wejść. Dodatkowo znaleziony został jeden licznik z zerową efektywnością. 16

17 rys. 9 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń dla metody używającej rekonstrukcji (stat rec), gdzie jedno wejście odpowiada jednemu licznikowi dla metody używającej rekonstrukcji. Histogram zawiera 2008 wejść Porównanie metody z użyciem rekonstrukcji bez cięć z metodą wewnętrznych liczników Aby zrobić porównanie pomiędzy metodami, należy ograniczyć się do podpróbki wewnętrznych liczników, w której skład wchodzi 856 liczników. Jeśli popatrzy na histogram różnicy pomiędzy wyliczonymi efektywnościami zamieszczony na rys. 10, pierwszą rzucającą się różnicą jest fakt, iż metoda wewnętrznych daje wynik średnio 5,8±0,2 % wyższy od metody bez ograniczania obszaru aktywnego. rys. 10 Histogram różnicy między wartością zwracaną przez metodę z użyciem rekonstrukcji (Eff rec) bez cięcia na obszar aktywny z metodą wewnętrznych liczników (Eff cent) dla wewnętrznych scyntylatorów. Histogram zawiera 856 wejść. Jeśli popatrzeć na korelacje wyników z rys. 11 można otrzymać te same wnioski co dla poprzedniego porównania. Ostatecznie otrzymuję wniosek, że metoda bez ograniczania obszaru aktywnego zaniża efektywność o 6 % na podpróbce liczników wewnętrznych. 17

18 rys. 11 Histogram obrazujący zależność wartości efektywności zwracanej przez metodę wewnętrznych liczników (Eff cent) od wyniku metody bez cięć na obszar aktywny licznika (Eff rec), jednemu wejściu odpowiada jeden licznik. Histogram zawiera 856 wejść. Ponieważ, wyniki obu metod są różne, to zachodzi podejrzenie, iż metoda bez cięć zaniża wynik pomiaru, co może być spowodowane: Niepewnościami rekonstrukcji. Do tej grupy zalicza się sytuację, w której mion przechodzi przez dany licznik, natomiast jego zrekonstruowany tor go omija celując w inny licznik. Ponadto dodatkowym czynnikiem jest zakładaniem środka licznika jako miejsca pojawienia się sygnału na osi szerokości licznika. Ponieważ te punkty wchodzą później do dopasowania, to uzyskany efekt może dawać wpływ analogiczny do niepewności rekonstrukcji. Trochę innym rozkładem kątowym mionów, których używamy do wyznaczenia efektywności. Efektywność może zależeć od kąta pod jakim mion przecina dany licznik. Wówczas z powodu cięcia na kąt mionu w metodzie wewnętrznych liczników możemy się spodziewać innej efektywności. Ten efekt nie powinien jednak stanowić istotnego wkładu, gdyż rozkłady kątowe są do siebie zbliżone. Nie można jednak w ten sposób wyjaśnić aż 6 % różnicy w wynikach. Niepewność pozycjonowania liczników. Położenie liczników może się różnić od rzeczywistego, wówczas mion może przelecieć przez obszar zakładany lecz nierzeczywisty, wskutek czego spodziewamy się sygnału w liczniku, przez który nie przeleciał mion. Ten efekt nie powinien być istotny, ponieważ w obu metodach powinien mieć zbliżony wkład do wyniku. Jeśli przyczyną jest niepewność rekonstrukcji lub pozycjonowania liczników, można ograniczyć obszar uznawany przez metodę liczenia efektywności za aktywny. Tak zmodyfikowaną metodę można wówczas porównać z metodą bez cięć oraz metodą wewnętrznych liczników. Jeżeli ta hipoteza jest słuszna, to zmodyfikowana metoda będzie dawała takie same rezultaty na podpróbce liczników wewnętrznych jak metoda bez użycia rekonstrukcji. Ponadto z porównania obu metod używających rekonstrukcji będzie można oszacować wpływ niepewności rekonstrukcji. 18

19 2.4 Metoda używająca rekonstrukcji mionów z cięciami Opis metody używającej rekonstrukcji mionów z ograniczonym obszarem aktywnym Postępuję analogicznie jak w pierwszej metodzie wykorzystującej rekonstrukcje, z tą różnicą, iż inaczej definiuję obszar aktywny. Poprzednia metoda została opisana punkcie w na stronie 15. Obszar aktywny definiuję jako wewnętrzny obszar licznika o tym samym środku co środek licznika oraz symetryczny wzdłuż oraz w poprzek licznika scyntylacyjnego, co obrazuje schemat tej metody na rys. 12. Jeżeli punkt przecięcia prostej jest wewnątrz obszaru aktywnego dla danego licznika, to spodziewam się w nim sygnału podwójnego zliczenia. nie nakładam natomiast żadnego kryterium na miejsce w liczniku, w którym powinien się pojawić prawdziwy sygnał (może się on pojawić poza obszarem aktywnym licznika). W tej metodzie obszar aktywny zdefiniowano jako obszar dwa razy mniejszy od faktycznych rozmiarów licznika. Pozycję środka licznika wyznaczam analogicznie do poprzedniej metody. rys. 12 Schemat poglądowy dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym. Kolorem niebieskim zaznaczono obszar licznika. Kontur wewnątrz odpowiada krawędzią obszaru aktywnego, który się zawiera wewnątrz niego. Punkt przecięcia oznaczono kolorem czerwonym, natomiast sam tor lotu mionu jest reprezentowany przez brązową linię Zalety i wady dla metody używającej rekonstrukcji mionów z ograniczonym obszarem aktywnym Wadą jest to, iż metoda ta nie działa na całym obszarze licznika, w związku z tym nie można zobaczyć jak się zmienia efektywność na brzegach licznika. Ponadto ta metoda będzie się charakteryzować mniejszą liczbą spodziewanych zliczeń w danym liczniku ze względu na zawężenie obszaru aktywnego wewnątrz licznika. Zaletą tej metody jest fakt, iż może ona posłużyć do wyznaczenia efektywności wszystkich liczników. Dzięki cięciu na obszar aktywny zmniejsza się niepewność wynikająca z rekonstrukcji. Tak jak w poprzedniej metodzie, również w tym przypadku 19

20 przyjmuje ona przybliżenie, iż tor mionu jest prostą, pomijając niewielkie zagięcie toru w polu magnetycznym. Niestety z powodu cięcia na obszar aktywny zaniedbuje ona efekty związane ze spadkiem efektywności na brzegach liczników. Podsumowując, metoda ta jest bardzo dobra do wyznaczania ogólnej efektywności liczników, gdyż w tym przypadku efektywności na brzegach liczników dają do niej niewielki wkład Wyznaczenie optymalnego obszaru cięcia Na rys. 13 przedstawiono jak zmienia się efektywność wraz ze zmianą obszaru aktywnego oraz jaka jest niepewność jej wyznaczenia dla przeciętnego licznika. Przeciętny licznik definiuję jako licznik mający efektywność równą średniej dla danego cięcia oraz liczbę oczekiwanych zliczeń równą średniej tej wielkości, która powstaje w skutek zastosowania cięcia. Na wykresie odłożono czterech punkty obrazujące różne cięcia: 25 %, 50 %, 75 % oraz 100 %. Procent cięcia mówi jaki odsetek procentowy osi stanowi obszar aktywny licznika. Odsetek ten jest taki sam zarówno dla osi długości jak i szerokości badanego licznika. Jak widać, efektywność rośnie wraz z kurczeniem się obszaru aktywnego, jednak poniżej 50 % ten wzrost jest mniejszy niż wzrost niepewności jej wyznaczenia dla przeciętnego licznika. W związku z powyższym przyjąłem cięcie na poziomie 50 % dla każdej współrzędnej. Aby zobaczyć, czy otrzymane w ten sposób wyniki są miarodajne, warto je później porównać z metodą wewnętrznych liczników. rys. 13 Zależność otrzymanej efektywności (Eff) od selekcji obszaru aktywnego. Słupki błędów oznaczają niepewności wyznaczenia efektywności dla przeciętnego licznika. Na osi pionowej odłożono efektywność, natomiast dla osi poziomej procent używanej współrzędnej. 100 % symbolizuje cały licznik, natomiast 50 % oznacza jego pomniejszenie do połowy nominalnych wartości w każdym wymiarze Wyniki dla metody używającej rekonstrukcji z cięciami Otrzymane wyniki przedstawione są na rys. 14, jako rozkład wartości efektywności poszczególnych liczników. Widać na nim wyraźne maksimum dla wartości 97 %. Jest to mniej więcej wartość średnia rozkładu dla metody wewnętrznych liczników, zamieszczonego w punkcie na stronie 14. Liczba oczekiwanych zliczeń została przedstawiona na histogramie na rys. 15. Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 95,15±0,10 %. Jest ona wyraźnie wyższa od tej uzyskanej dla metody bez cięć, o jakieś 7 %. Dokładniejszą analizę przedstawię później. 20

21 rys. 14 Histogram otrzymanej efektywności dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym (Eff cut), gdzie jedno wejście to jeden licznik. Histogram zawiera 2007 wejść. Dodatkowo znaleziony został jeden licznik z zerową efektywnością. rys. 15 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym (stat cut). Tu również na jedno wejście przypada jeden licznik. Histogram zawiera 2008 wejść Porównanie liczników metody z cięciami z metodą wewnętrznych Wyniki wyliczonych różnic zostały odłożone na histogramie na rys. 16. Pierwszą rzucającą się w oczy różnicą w stosunku do metody bez cięć jest fakt, iż metoda wewnętrznych liczników daje wynik zgodny z metodą wewnętrznych liczników. Średnia różnica pomiędzy metodą z ograniczonym obszarem aktywnym a metodą wewnętrznych liczników wynosi tylko 0,33±0,11 %, co jest zgodne z hipotezą zgodności obu metod na badanej podpróbce liczników. Ponadto wykres jest symetryczny wokół zera zgodnie z oczekiwaniem. Dla lepszej analizy należy sprawdzić histogram korelacji przedstawiony na rys. 17. Powstaje dodatkowy mały pik dla wartości równej zero. Jest on spowodowany sytuacją, w której obie metody estymują wartość efektywności równą 100 %, jest to bin w prawym górnym rogu. Jeśli spróbować dokładniej przeanalizować ten histogram, to otrzymujemy wniosek, że jeśli metoda używająca rekonstrukcji mionów z ograniczonym obszarem aktywnym dała mniejszy wynik niż 100 %, to również metoda wewnętrznych liczników daje chętniej niższy wynik, co świadczy o korelacji obu metod. Istnieje również mała grupa liczników, dla których wynik z metody wewnętrznych liczników jest wyższy od tego z metody z cięciami, jednak różnica ta mieści się w granicach trzech sigma. Podsumowując, metody są ze sobą skorelowane zgodnie z oczekiwaniem. Ponadto wyniki obu metod są ze sobą zgodne w ramach testu trzy sigma. 21

22 rys. 16 Rozkład różnic w pomiarze efektywności pomiędzy metodami. Histogram przedstawia różnicę pomiędzy wartością zwracaną przez metodę z użyciem rekonstrukcji z dodatkowo nałożonym cięciem na obszar aktywny (Eff cut), a z metodą wewnętrznych liczników (Eff cent) dla wewnętrznych scyntylatorów. Na jedno wejście przypada jeden licznik. Histogram zawiera 856 wejść. rys. 17 Histogram korelacji pomiędzy metodą wewnętrznych liczników (Eff cent), a metodą z ograniczonym obszarem aktywnym (Eff cut), obrazujący zależność wyniku jednej metody od drugiej. Histogram zawiera 856 wejść. Jedno wejście to jeden licznik Porównanie pomiędzy dwoma metodami wykorzystujących rekonstrukcje torów Wyniki różnicy efektywności pomiędzy dwoma metodami przedstawiono na histogramie na rys. 18 dla wszystkich liczników. Pierwszym wnioskiem jest fakt, iż metoda z wykorzystaniem cięć na obszar aktywny licznika daje wynik średnio 7,09±0,11 % wyższy od metody bez ograniczania obszaru aktywnego. Różnica między wynikami metod wyraźnie nie jest fluktuacją statystyczną, co bardzo dobrze widać z rozmycia statystycznego oraz kształtu wykresu. Histogram różnicy jest niesymetryczny oraz ma przesuniętą wartość średnią w kierunku wartości dodatnich, co oznacza, że metoda z cięciami daje wyższy wynik pomiaru efektywności. Mam co prawda też małą grupę liczników, dla których wyższy wynik daje metoda bez ograniczania obszaru aktywnego, jednak wynika to najprawdopodobniej z fluktuacji statystycznych. Największa różnica na tej pod-próbce wynosi ledwie 7 %, przy błędzie oszacowanym z wariacji rozkładu na poziomie 4,9 % jako błąd pojedynczego pomiaru. 22

23 rys. 18 Histogram różnicy między wartością zwracaną przez metody z rekonstrukcji mionów. Używającej cięcia na obszar aktywny, który jest dwa razy mniejszy od rzeczywistych rozmiarów licznika (Eff cut) oraz bez tego cięcia (Eff rec). Jedno wejście to jeden licznik. Histogram zawiera 2008 wejść. Nadal jednak otwarte pozostaje pytanie, jaki charakter ma wyznaczona różnica. Najważniejsza jest zależność od wyznaczonej efektywności przez jedną z metod. Takie dokładniejsze porównanie można przeprowadzić patrząc na korelacje wyników pomiędzy metodami na pokazaną rys. 19. Dodatkowa informacja, jaką można otrzymać patrząc na korelacje wyników, jest fakt, iż są one skorelowane zgodnie z oczekiwaniem, czyli widać liniową zależność pomiędzy metodami. W przypadku metody z cięciami liczę efektywność używając pewnego podzbioru oczekiwanych zliczeń z metody bez cięć, ponadto nie widać zależności różnicy od wyliczonej efektywności. Podsumowując, mogę stwierdzić, iż efektywność wyliczona metodą bez cięć jest średnio niższa o 7 % na próbce wszystkich liczników oraz o 5,5 % na podpróbce liczników wewnętrznych. Dla podpróbki otrzymuje się analogiczne wykresy, tylko z mniejszą statystyką, więc ich nie zamieszczam. rys. 19 Histogram, w którym każde wejście to jeden licznik obrazuje zależność wyniku z jednej metod od drugiej. Na osi pionowej odłożony jest wynik z metody, w której ograniczono obszar aktywny (Eff cut), natomiast na osi poziomej jest metoda bez ograniczania obszaru aktywnego (Eff rec). Histogram zawiera 2007 wejść. Dodatkowo dla obu metod został znaleziony licznik z zerową efektywnością. 23

24 2.5 Wnioski z porównania metod Podsumowanie wyników dla użytych metod Dla zbioru danych było zapisane ponad 80 tysięcy przypadków wyzwolenia trygera, w większości rekonstrukcja mionów zwraca dopasowaną prostą, nie otrzymałem toru jedynie w niecałych 400 przypadkach. Szczegółowe dane zawiera Tabela 2. Nazwa metody Liczba spodziewanych zliczeń (ogólnie) Średnio spodziewanych zliczeń na licznik Liczba badanych liczników Otrzymana efektywność (średnia) wewnętrznych liczników 135 tysięcy ,61±0,13 % z rekonstrukcją bez cięć 536 tysięcy ,06±0,14 % z rekonstrukcją z 209 tysięcy cięciem Tabela 2. Zestawienie wyników otrzymanych różnymi metodami metod. 95,03±0,11 % Dla metod z użyciem rekonstrukcji został znaleziony licznik z zerową efektywnością, którego położenie jest zgodne z tym, co wiem z innych źródeł. Jego współrzędne to pierścień nr 5, wieża nr 6, warstwa nr 1. Ponieważ wyniki się różnią, postanowiłem przeprowadzić analizę różnic używając symulacji, aby lepiej poznać przyczynę owych różnic. W przypadku metody liczników wewnętrznych różnice mogą być spowodowane różną pod-próbką badanych liczników. W rzeczywistości każdy licznik może mieć różną efektywność, stąd średnie dla wybranej podpróbki i całej próbki liczników nie muszą być sobie równe. Dla metody wewnętrznych liczników mam do dyspozycji tylko wewnętrzne liczniki, natomiast w pozostałych metodach mogę uzyskać estymacje efektywności dla wszystkich scyntylatorów. Rekonstrukcja może dawać lepsze lub gorsze efekty na licznikach wewnętrznych w stosunku do wszystkich scyntylatorów. Jak widać z porównania pomiędzy wartościami średnimi dla rozkładów pomiędzy metodą wewnętrznych liczników a używającą rekonstrukcji z cięciami, jest to efekt na poziomie 1 %. Najprawdopodobniej jest to spowodowane obecnością dodatkowego licznika przed i po dla liczników w warstwach wewnętrznych. W przypadku metod używających rekonstrukcji istotny wkład może wynikać z niepewności rekonstrukcji oraz nieuwzględniania efektów brzegowych. Z testów przeprowadzonych w warunkach laboratoryjnych spodziewam się spadku efektywności na końcach liczników scyntylacyjnych. W przypadku rekonstrukcji natomiast mamy mniejsze prawdopodobieństwo, iż mion faktycznie przeszedł przez dany licznik, jeżeli zrekonstruowany tor przecina licznik na jego brzegu, dodatkowo mamy również pewien błąd w wyznaczeniu pozycji licznika. Najprawdopodobniej mam do czynienia ze złożeniem tych dwóch efektów. 24

25 2.5.2 Porównanie użytych metod Każda z użytych metod ma swoje mocne i słabe strony. Ich zestawienie pokazuje Tabela 3. Zacznę od podatności na niepewność rekonstrukcji. W tym aspekcie oczywistą przewagę ma metoda niewykorzystująca rekonstrukcji. Natomiast przy metodzie z cięciem jest ona zmniejszona dzięki zredukowaniu obszaru aktywnego. Kolejnym aspektem jest wykorzystanie zakresu kątowego mionów, tutaj jedynie metoda wewnętrznych liczników nie wykorzystuje pełnego zakresu. Dzieje się tak z powodu wymagania, aby był sygnał w liczniku scyntylacyjnym znajdującym się nad i pod testowanym licznikiem w tej samej mini wieży. Z tego samego powodu ta metoda nie działa również dla wszystkich liczników, tylko dla wewnętrznych. Jednak nie spodziewam się, iż to małe cięcie w zakresie kątowym mionów istotnie wpłynie na wyznaczoną efektywność liczników. W przypadku metody z użyciem rekonstrukcji z cięciem, jego wprowadzenie zmniejsza zarówno wpływ niepewności rekonstrukcji jak i wpływ efektów brzegowych. Wpływ efektów brzegowych przy wyznaczaniu może mieć znaczenie, gdyż spodziewam się zmniejszenia efektywności na brzegu licznika scyntylacyjnego. Sygnał, który dotarł do dalszego końca mógł być zbyt słaby aby przekroczyć próg, w efekcie czego nie odtworzy się poprawnie jako podwójne zliczenie. Warto jeszcze pamiętać, iż do wyznaczenia obszaru aktywnego potrzebuję dwóch parametrów: szerokości oraz długości. Podsumowując, dla liczników wewnętrznych spodziewam się, iż najlepszą ocenę efektywności uzyskam z metody liczników wewnętrznych i w związku z tym będzie można ją stosować jako metodę odniesienia przy porównaniach. Natomiast dla wszystkich liczników scyntylacyjnych najlepsza powinna się okazać metoda z użyciem rekonstrukcji z cięciem z ewentualnie odpowiednio zmienionymi parametrami. Aby potwierdzić przypuszczenia, przetestowałem je na symulacji Monte-Carlo, w której efektywność liczników wynosi 100 %. Metoda wewnętrznych Metoda z użyciem liczników rekonstrukcji bez cięć Metoda z użyciem rekonstrukcji z cięciem Czułość na niepewność rekonstrukcji Brak Duża Mała Zakres kątowy mionów Małe cięcie Pełny Pełny Działanie na licznikach Tylko na wewnętrznych scyntylacyjnych Na wszystkich Na wszystkich Efekty brzegowe Uwzględnia Uwzględnia Nie uwzględnia Ilość użytych mionów na dany licznik Średnia (~160) Duża (~260) Mała (~100) Dodatkowe parametry w metodzie Tabela 3. Brak Brak Porównanie metod użytych do wyznaczania efektywności związane z wyznaczeniem obszaru aktywnego

26 2.6 Możliwe przyczyny nieefektywności liczników Ponieważ widać wyraźnie, iż wyliczone efektywności pokazują 5-6 % nieefektywność, warto zastanowić się nad możliwymi przyczynami. Pierwszą i najprostszą mogą być efekty brzegowe. Tę możliwość postaram się lepiej rozważyć przy okazji analizy przyjętego obszaru aktywnego, jednak już teraz na podstawie wyników z metody wewnętrznych liczników i używającej rekonstrukcji mionów z ograniczonym obszarem aktywnym można powiedzieć, iż ten efekt nie będzie dominujący. Drugą możliwością jest gubienie sygnału na drodze algorytmów poprzez zbyt rygorystyczne okna czasowe. Tę możliwość można stosunkowo łatwo sprawdzić poprzez rozszerzenie lub zawężenie tego okna. Ostatnią możliwością, jaką należałoby rozważyć, jest faktyczna nieefektywność liczników. Ten wariant zostanie lepiej rozpatrzony przy analizie czasów otrzymania sygnału. 2.7 Próba odtworzenia rozkładu efektywności Podstawy teoretyczne Dla pojedynczego licznika przy ustalonej liczbie mionów, które przez niego przeleciały prawdopodobieństwo otrzymania danej efektywności jest opisywane przez rozkład dwumianowy. Liczba mionów z kolei podlega rozkładowi Poissona, którego parametr jest złożeniem wielu efektów, w tym: użyta kombinacja układu wyzwalania, czas zbierania danych oraz położenie wewnątrz detektora. Omówiona metoda jest akademickim modelem opisującym, jakie wyniki można uzyskać przy liczeniu efektywności danego układu. Model ten powstał w celu wyjaśnienia skąd biorą się charakterystyczne struktury dwóch maksimów w moich wynikach liczenia efektywności dla mniejszych statystyk. Efekt ten obecnie występuje tylko dla przypadku liczenie efektywności dla symulacji, natomiast dla danych w wyniku zwiększenia statystyki już go nie obserwuję. Jak w każdym modelu, i tu trzeba przyjąć jakieś założenia. Przyjęto więc, iż liczba przypadku do wyznaczania efektywności dana jest rozkładem Poissona z zadanym parametrem N oraz prawdziwa efektywność układu wynosi p. Otrzymany wynik jest analityczny (nie uwzględniając błędów numerycznych) i ma interpretację prawdopodobieństwa wyznaczenia danej efektywności wyrażonej w procentach. Model ten zakłada, iż efektywność będzie oceniania używając metody klasycznej Metoda postępowania Program korzysta z klasy TH1F zdefiniowanej w pakiecie ROOT. Na początku liczę prawdopodobieństwo uzyskania wartości n z rozkładu Poissona, wyrażone w procentach. Jeżeli n jest równe 0, to je pomijam i przechodzę do wyższego n, bo nie można wyznaczyć efektywności. Rozkład Poissona wyraża się wzorem: P (n ; N ) = 100 % e N N n n! Następnie liczę prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów korzystając z rozkładu dwumianowego przy zadanym n. Rozkład ten dany jest wzorem: () P ( k, n ; p) = n p k (1 p)n k, k {0,1... n} s 26

27 Następnie do histogramu reprezentującego wynik wpisuję wyznaczoną wartość efektywności metodą klasyczną z wagą równą prawdopodobieństwu wyrażonemu w procentach jej uzyskania, równemu iloczynowi powyższych prawdopodobieństw. Czynność tę powtarzam dla wszystkich możliwych wartości k. Dodatkowo, ponieważ rozkład Poissona jest nieskończony, należy wprowadzić dodatkowy parametr odpowiedzialny za ucięcie rozkładu. Nie ma on większego wpływu, ponieważ dla jego domyślnej wartości otrzymuję wkład do błędu numerycznego niższy od błędów związanych z wykonywaniem obliczeń na liczbach typu double Przykładowe wyniki dla rozkładu dwumianowego Przykładowy wynik tej procedury przedstawia rys. 20. Jak widać na rysunku, odtwarzam w ten sposób strukturę dwóch maksimów, charakterystyczną dla symulacji. Jednak należy pamiętać, iż ten obrazek ma charakter ilościowy, a nie jakościowy, gdyż założenie, iż n podlega rozkładowi Poissona dla grupy liczników pionowych i poziomych jest zbytnim uproszczeniem. rys. 20 Prawdopodobieństwo otrzymania danej efektywności dla rozkładu dwumianowego i ustalonej efektywności i ustalonej liczbie prób, na podstawie których się ją wyznacza. Na osi poziomej odłożono otrzymaną efektywność, natomiast na osi pionowej prawdopodobieństwo uzyskania danej efektywności wyrażone w procentach. Histogram po sumowaniu daje 100% Uogólnienie powyższej metody dla dowolnego rozkładu P(n). Rzeczywista liczba przypadków nie jest dana rozkładem Poissona, więc wprowadziłem modyfikacje powyższej metody postępowania na przypadek dowolnego rozkładu. Różnica polega na tym, iż wartość P(n) odczytuje się z zadanego histogramu. Aby uzyskać opis ilościowy dla danych, należy wziąć jako wejście rozkład n uzyskany dla danych. Ponieważ mam nadzieję, iż wszystkie liczniki można opisać za pomocą jednej efektywności, zwanej dalej efektywnością globalną, zakładam iż efektywność jest taka sama dla każdego z liczników i wynosi p. Następnie dokonam dopasowania parametru p, tak aby wyznaczony histogram efektywności na danych zgadzał się jak najlepiej z tym uzyskanym przez powyższą procedurę. Funkcję minimalizującą wynik testu chi kwadrat wziąłem z pakietu ROOT. 27

28 2.7.5 Wynik na danych Jeżeli dane liczniki scyntylacyjne można opisać za pomocą jednej globalnej efektywności, to jeżeli mamy również ile razy spodziewaliśmy się sygnału, można spróbować odtworzyć uzyskany rozkład efektywności. Dla lepszego dopasowania do danych można przyjąć dodatkowy podział na dwie klasy liczników: pionowe i poziome. Różnią się one nieznacznie rozmiarami. Otrzymany wynik przedstawia rys. 21. Niestety okazuje się, iż model nie sprawdza się do dokładniejszego opisu rozkładu wyznaczonej efektywności. Wynik testu chi kwadrat wynosi 780 przy 16 stopniach swobody. rys. 21 Próba dopasowania modelu do danych z kwietnia 2011r. Model zakłada, iż liczniki można opisać za pomocą globalnej efektywności, która jest dopasowywanym parametrem. Na osi poziomej odłożono wyznaczoną efektywność zmierzoną przy użyciu rekonstrukcji bez cięć na obszar aktywny wewnątrz licznika, natomiast oś pionowa reprezentuje liczbę przypadków dla liczników poziomych. Kolorem czerwonym oznaczono przewidywanie modelu. Dla danych otrzymujemy 856 wejść, model z konstrukcji ma też taką samą sumę Wnioski Niestety okazuje się, że liczników w detektorze SMRD nie da się opisać za pomocą jednej globalnej efektywności. Może to być spowodowane: Rozkładem kątowym. W tym przypadku należy podzielić zbiór liczników na mniejsze klasy, w których jest podobny rozkład kątowy mionów. Rzeczywistym rozkładem efektywności. W tym przypadku dyspersja rozkładu nie powinna zależeć od liczby przypadków na podstawie której wyznacza się efektywność. Fluktuacją statystyczną. Wynik 780 przy 16 stopniach swobody, co pozwala z dużym prawdopodobieństwem odrzucić tą hipotezę. Przyjęty model w stopniu zadowalającym opisuje dane w sposób jakościowy. Do dokładniejszego zbadania wpływu rozkładu kątowego mionów należałoby dokonać drobniejszego podziału na klasy liczników, co jest niemożliwe z powodu zbyt małej liczby liczników. Natomiast do zbadania rzeczywistego rozmycia efektywności w licznikach należy zebrać większą liczbę mionów na licznik, którą również nie dysponuję. 28

29 3 Wynik dla symulacji wyznaczania efektywności liczników 3.1 Wiadomości wstępne W symulacji wykorzystuję tylko te miony, w które przeszły przez tryger w ustawieniu góra- dól, ponieważ inne ustawienia w szczególności bok- bok nie mają dostatecznej liczby przypadków. W przypadku ustawienia góra-dół dostaje 1500 mionów, natomiast dla ustawienia bok- bok ledwie kilkadziesiąt przypadków trygera. W związku z tym analizę efektywności można przeprowadzić jedynie na licznikach poziomych, których jest 768. W symulacji są zakładane 100 % efektywności liczników. W wyniku dalszego przetwarzania pojedynczych zliczeń do podwójnych można nieznacznie zaniżyć efektywność z powodu tego, iż sygnał na drugim końcu scyntylatora był ma zbyt niską amplitudę, aby przekroczyć ustalony próg i związku z tym żądanie koincydencji na obu końcach licznika scyntylacyjnego nie odtworzy nam sygnału podwójnego zliczenia. Do wyliczenia efektywności używam estymatora najwyższej wiarygodności dla rozkładu dwumianowego, czyli liczbą otrzymanych zliczeń wystąpienia podwójnego zliczenia, gdy się tego spodziewam, podzieloną przez całkowitą liczbę spodziewanych zliczeń. Do wyliczenia niepewności średniej efektywności badanej próbki liczników używam rozmycia statystycznego wyników efektywności. Niepewność wyraża się wtedy jako pierwiastek z wariancji podzielonej przez liczbę liczników. 3.2 Metoda wewnętrznych liczników Histogram wyznaczonej efektywności pokazuje efektywność liczników scyntylacyjnych poziomych na rys. 22 po lewej. Widać wyraźne maksimum dla wartości 100 % oraz pojedyncze przypadki poza nim, jest on wynikiem niemal 100 % efektywności liczników. Efektywność poniżej 1 jest dla 5 przypadków. W każdym z nich brakuje tylko jednego sygnału. Są to prawdopodobnie przypadki, w których pojedyncze zliczenia nie zostały poprawnie odtworzone do podwójnego zliczenia, więcej w rozdziale 3.1 na stronie 29. Na histogramie po prawej przedstawiono liczbę przypadków użytą do wyznaczenia efektywności. Mała liczba przypadków wyjaśnia fakt, iż niektóre liczniki mają wyliczone dość niskie efektywności, gdyż nieudane zarejestrowanie nawet pojedynczego przypadku w próbie przez licznik skutkuje spadkiem efektywności o ponad kilkanaście procent. Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 99,73±0,13 %. Zgodnie z przewidywaniami ta metoda daje poprawny wynik i może być użyta jako punkt odniesienia przy porównywaniu metod, gdyż wynik mniejszy od 100 % jest tylko dla paru przypadków, w których zostało tylko pojedyncze zliczenie nie sparowane z do podwójnego. Jest to zgodne z tym, iż spodziewamy się odtworzenia prawie 100 % efektywności dla tej metody. Więcej na temat zalet i wad metody w rozdziale na stronie 13. Metoda ta może zostać użyta dla 256 liczników poziomych. 29

30 rys. 22 Po lewej histogram otrzymanej efektywności (Eff cent) dla ściany górnej i dolnej. Wynik ten został otrzymany dla symulacji, przy użyciu metody wewnętrznych liczników. Natomiast po prawej widzimy ilość oczekiwanych zliczeń (stat cent). Każde wejście to jeden licznik. Oba histogramy zawierają po 256 liczników. 3.3 Metoda używająca rekonstrukcji mionów Na Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania przedstawiono rozkład obliczonej efektywności dla wszystkich 768 liczników. Widać tutaj charakterystyczną strukturę dwóch maksimów. Jedno dla wartości 100 %, natomiast drugie przy wartości około 94 %. Jest to wynikiem złożenia dwóch efektów wysokiej efektywności i małej liczby przypadków, na podstawie których jest ona wyznaczana (Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania po prawej). Mam dużą szanse na estymację wartości 100 % dla małej liczby przypadków, która maleje przy większej statystyce. Ponieważ jest wyraźna grupa liczników o spodziewanej liczbie zliczeń poniżej 20, to należy się spodziewać, iż powstanie pomiędzy wartościami 95 % oraz 99 % przy liczeniu efektywności, gdyż nie można uzyskać takiej efektywności dzieląc przez siebie dwie liczby naturalne poniżej 20. Analogiczny efekt został przeze mnie odtworzony przy próbie modelowania rozkładu efektywności w rozdziale na stronie 27. Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 93,86±0,16 %, co jest niezgodne ze efektywnością zakładaną w symulacji około 100 %, więcej w 3.1 na stronie 29. Na podstawie tego wyniku można oszacować, iż efektywność jest zaniżana o 6 % w stosunku do rzeczywistej w wyniku niepewności rekonstrukcji. 30

31 rys. 23 Po lewej histogram otrzymanej efektywności dla metody używającej rekonstrukcji (Eff rec), jedno wejście odpowiada jednemu licznikowi. Natomiast po prawej widać liczbę oczekiwanych zliczeń(stat rec). Wynik ten otrzymano na symulacji, na każde wejście przypada jeden licznik. 3.4 Podsumowanie wyników dla powyższych metod Dla zbioru danych było zapisane przypadków wyzwolenia trygera, dla wszystkich przypadków rekonstrukcja mionów zwraca dopasowaną prostą. Na podstawie analizy danych spodziewam się około 8 przypadków, gdy nie dostanę zrekonstruowanego toru. Ten wynik jest zgodny z symulacją, jeżeli uwzględni się niepewność, jaką powinien się charakteryzować ten pomiar. Wynosi ona około 3 przypadków. Nazwa metody Liczba spodziewanych zliczeń (ogólnie) Średnio spodziewanych zliczeń na licznik Liczba liczników dla których metoda działa Otrzymana efektywność (średnia) wewnętrznych liczników 2,4 tysięcy 9, ,73±0,13 % Z rekonstrukcją bez cięć 9,0 tysięcy ,98±0,16 % Z rekonstrukcją 4,4 tysięcy 5,7 765 z cięciem Tabela 4. Porównanie wyników z użytych metod na symulacji detektora. 97,7±0,3 % Wynik dla metody wewnętrznych liczników potwierdza, iż jest to miarodajna metoda dla wewnętrznych liczników. Z symulacji wynika, że metoda używająca rekonstrukcji bez cięć zaniża efektywność o 6 %. Wynik ten jest zgodny z analogicznym szacowanym na danych. Dla metoda z cięciem na obszar dysponuję zbyt małą statystyką. Wobec powyższego nie mam podstaw sądzić, iż wynik metody używającej rekonstrukcji mionów z ograniczonym obszarem aktywnym jest zaniżony. 31

32 4 Zaawansowana analiza efektywności przy użyciu rekonstrukcji na zbiorze danych 4.1 Podstawowe informacje Do tej analizy używam danych z kwietnia 2010r. W tym okresie zbierania danych liczba przypadków dla trygera góra-dół jest porównywalna z tą dla trygera bok-bok. Daje to w sumie 80 tys przypadków trygera. Ponieważ mam do dyspozycji ograniczoną liczbę przypadków, dla zwiększenia statystyki liczniki zostały podzielone na dwie grupy: poziome i pionowe, zamiast dotychczasowego podziału na poszczególne liczniki. Analizę przeprowadzam dla tych grup liczników zamiast każdego z osobna. Główną motywacją takiego podziału są różne wymiary liczników z tych grup, dodatkowo mam też różną liczbę warstw w ścianach, więc można podejrzewać, iż rekonstrukcja działa inaczej na każdej grupie liczników. Szczegółowe informacje zawiera Tabela 1. na stronie 6. Do wyliczenia efektywności oraz jej niepewności używam estymatorów dla rozkładu dwumianowego w podejściu klasycznym. Odpowiednie wzory znajdują się w na stronie Efektywność dla liczników w funkcji szerokości i długości Efektywność dla liczników poziomych w funkcji szerokości i długości badanego licznika. Histogram na rys. 24 przedstawia zależność wyliczonej efektywności w zależności od miejsca, w którym spodziewamy się zliczenia na podstawie dopasowanego toru. Prawy wykres przedstawia efektywność w funkcji na powierzchni licznika, natomiast lewy tylko w funkcji długości licznika poziomego. Na obu wykresach widać spadek efektywności wraz ze zbliżaniem się do brzegów licznika. Obszar z wysoką efektywnością ma szerokość 80 mm oraz długość 740 mm. Prawdopodobnie jest to związane z rzeczywistym spadkiem efektywności w badanych licznikach, jednak nie można wykluczyć, iż jest to skutek wyłącznie niepewności rekonstrukcji. W pierwszym wypadku nie należy się spodziewać istotnych różnic pomiędzy licznikami poziomymi oraz pionowymi, natomiast dla rekonstrukcji może to mieć istotne znaczenie. Dlatego należy zrobić porównanie tych dwóch klas liczników. 32

33 rys. 24 Rozkład wyliczonej efektywności (Eff) dla liczników pionowych dla metody z użyciem rekonstrukcji. Po prawej w funkcji szerokości (u) oraz długości (z) względem środka licznika, natomiast po lewej w funkcji długości (z) Efektywność dla liczników pionowych jako funkcja szerokości i długości. Histogram na rys. 25 przedstawia zależność efektywności w funkcji pozycji wewnątrz licznika scyntylacyjnego. Po lewej uwzględniono jedynie długość, natomiast po prawej dodano jako dodatkowy wymiar szerokość. Pierwszą rzucającą się w oczy różnicą w stosunku do liczników poziomych jest większy obszar z wysoką efektywnością, który uwidacznia się we współrzędnej szerokości. Obszar ten ma rozmiar około 160 mm we współrzędnej szerokości oraz około 760 mm we współrzędnej długości. W porównaniu do poprzedniego rozkładu obszar na osi szerokości wzrósł dwukrotnie, natomiast na osi długości pozostał bez większych zmian, porównaj z rozkładem dla liczników poziomych na rys. 24. Natomiast biorąc pod uwagę tylko długość licznika nie widać wyraźnych różnic. Z tego można wnioskować, iż różnice pomiędzy licznikami nie wynikają z rzeczywistych własności, a jedynie są wynikiem niedoskonałości algorytmów używanych w rekonstrukcji. rys. 25 Rozkład wyliczonej efektywności (Eff) dla liczników pionowych dla metody z użyciem rekonstrukcji. Po prawej w funkcji szerokości (u) oraz długości (z) względem środka licznika, natomiast po lewej w funkcji długości (z). 33

34 4.2.3 Podsumowanie różnic pomiędzy licznikami Z dotychczasowego porównania pomiędzy licznikami można wnioskować o niedoskonałości algorytmów. Pierwszym i najbardziej prawdopodobnym podejrzanym jest rekonstrukcja. Największe różnice pomiędzy klasami liczników widać w rozkładzie liczby spodziewanych zliczeń wewnątrz badanego licznika przedstawionym na rys. 26. Widać na nim złożenie dwóch efektów. Pierwszym z nich jest nierównomierny rozkład na osi długości, wydaje się on być taki sam dla obu klas badanych liczników. Ten efekt jest skutkiem niedoskonałego odtwarzania pozycji miejsca zliczenia na podstawie różnicy czasów. Bardziej jednak ciekawy jest drugi efekt, powstały na osi szerokości, gdyż rozróżnia liczniki scyntylacyjne pionowe od poziomych. Mimo jednak swojego ciekawego wyglądu i pozornie różnego charakteru jego wytłumaczenie jest bardzo proste, mianowicie na osi szerokości pozycja mionu jest oceniana w sposób trywialny poprzez podanie współrzędnej środka licznika. Jeżeli dodamy do tego, iż dla liczników poziomych najczęściej rejestrowane są miony pionowe ze względu na rozkład kątowy mionów atmosferycznych otrzymujemy wręcz banalne wytłumaczenie dużego nagromadzenia się przypadków w okolicy zera dla klasy liczników poziomych. Mianowicie jeżeli mion przeszedł przez trzy leżące nad sobą liczniki i w każdym z nich za pozycje jego przejścia uznamy środek tego licznika, a następnie dopasujemy do tego prostą to ona również zawsze będzie przechodzić przez środek tych liczników. Tutaj znaczenie ma rozkład kątowy, gdyż mionów prostopadłych do licznika jest zdecydowanie mniej dla liczników pionowych. Dodatkowo w tą samą stronę działa również fakt, iż w tych ścianach czasami mamy też więcej warstw liczników. Ten efekt tłumaczy również pozornie lepszą efektywność dla liczników pionowych w współrzędnej szerokości licznika. rys. 26 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń wewnątrz licznika scyntylacyjnego w funkcji pozycji oczekiwanego sygnału. Po lewej zamieszczono rozkład dla liczników pionowych natomiast po prawej dla liczników poziomych. Oś pionowa symbolizuje wymiar w poprzek licznika, natomiast oś pozioma wzdłuż. Histogram ten zawiera 280 tys wejść. Histogram po lewej przedstawia analogiczny rozkład dla liczników pionowych. Histogram zawiera 240 tys wejść. Ponieważ można zauważyć niedoskonałości związane z algorytmami używanymi w rekonstrukcji, należy przeprowadzić analizę również czasów sygnału. Dopiero wtedy będzie można pokazać oraz przeanalizować ewentualny spadek efektywności na brzegach licznika. Jest to kolejny argument za lepszym przyjrzeniem się czasowi otrzymanych sygnałów. Czy zajmie się w rozdziale 5 na stronie

35 4.3 Stabilność efektywności liczników w funkcji czasu Wstęp Do wyznaczenia efektywności użyto danych zebranych w różnym czasie: luty, kwiecień, czerwiec oraz listopad roku Głównym celem analizy jest sprawdzenie czy nie występują efekty takie jak starzenie się materiału lub wpływ różnicy temperatur. Na wykresach przedstawiono tylko wyniki dla metody z użyciem ograniczonego obszaru aktywnego, gdyż jak widać z poprzednich analiz jest ona do tego najlepsza. Pozostałe dwie metody dają analogiczne rezultaty z uwzględnieniem różnic opisanych wcześniej w rozdziale 2 na stronie 12. Najlepszą statystykę mają okresy zbierania danych w kwietniu i listopadzie. Natomiast najgorszą ma okres zbierania danych w czerwcu Efektywność w czasie dla liczników poziomych Na rys. 27 przedstawiono zmienność efektywności w czasie w roku Rozkładu efektywności liczników detektora nie można opisać za pomocą jednej globalnej sprawności i dlatego opisuje je przez średnią i odchylenie standardowe rozkładu. Więcej na ten temat próby odtworzenia rozkładu efektywności w rozdziale 2.7 na stronie 26. Gdyby niepewność wyznaczenia średniej oszacować na podstawie dyspersji rozkładu, to wyznaczone w ten sposób błędy byłyby wielkości punktów na wykresie. Ponieważ średnia rozkładów wyraźnie się zmienia, należy lepiej ją zbadać. Aby w rozkładzie nie uwzględniać liczników, które mają dużą niepewność wyznaczenia średniej, należy odrzucić przypadki z małą liczbą spodziewanych zliczeń. Ponieważ dla liczników poziomych mam do dyspozycji dużą liczbę oczekiwanych zliczeń, postanowiłem do porównania zrobić cięcie na 50 przypadkach. Cięcia to odrzuca jedynie część liczników dla próbki zbieranej w czerwcu. Liczba liczników w rozkładzie efektywności po uwzględnieniu cięć zmienia się z 768 do 70, podczas gdy dla pozostałych okresów zawsze wynosi ona 768. Na rys. 27 po prawej jest przedstawiony w analogiczny sposób rozkład efektywności liczników. W tym przypadku dyspersja rozkładu w czerwcu zmalała, jednak nadal pozostają różnice w rozkładach pomiędzy okresami zbierania danych. Aby lepiej zrozumieć różnice tych rozkładów przeprowadziłem analizę różnic licznik po liczniku dla dwóch pozornie najbardziej różniących się okresów zbierania danych, której wynik zamieszczony jest na rys. 28. Z niego wyraźnie widać, iż owa różnica nie jest systematyczna oraz niezgodność średniej z zerem. Średnia rozkładu wynosi 3,0±0,2 %. Jednak taka prosta analiza nie uwzględnia niepewności, jej dokładniejszą wersję zamieszczę później. Poza najprostszym wyjaśnieniem w postaci różnej efektywności, istnieje możliwość, że za zmiany odpowiada różna statystyka w badanych okresach. Z tego powodu należy wstrzymać się z wnioskami. 35

36 rys. 27 Efektywność w różnych przedziałach czasu w roku 2010 dla liczników poziomych. Na osi poziomej odłożono numer miesiąca, w którym zebrano dane, natomiast na osi pionowej odłożono wyznaczoną średnią efektywność metodą z ograniczonym obszarem aktywnym. Słupki symbolizują dyspersje wyznaczonych rozkładów. Po prawej jest wykres dla rozkładów z cięciem na liczbę oczekiwanych zliczeń większą od 50. rys. 28 Różnica pomiędzy efektywnością uzyskaną dla danego licznika w lutym (Eff lut) i w czerwcu (Eff cze) Efektywność w czasie dla liczników pionowych Analogiczną analizę jak dla liczników poziomych można również przeprowadzić dla liczników pionowych, co przedstawiono na rys. 29. Niestety z powodu zebranej małej liczby przypadków ciężko jest przeprowadzić znaczącą analizę szczególnie z próbek z lutego i czerwca. Dla przykładu w próbce czerwcowej nie było ani jednego licznika z oczekiwaną liczbą zliczeń większą od 20, natomiast dla lutego takich elementów znalazło się ich zaledwie kilka. Ponieważ dla liczników pionowych jest mała statystyka to uważam, że cięcie na 20 przypadkach jest rozsądne. Jeśli porównany wykresy z dodatkowym założeniem liczby oczekiwanych przypadków większej od 20 z tym bez dodatkowego cięcia na liczbę oczekiwanych zliczeń widać wyraźnie, iż nie można twierdzić o żadnej zmienności w czasie dla tych liczników. Tu jednak po dokonaniu cięcia na minimalną liczbą oczekiwanych zliczeń nie widać żadnej zmienności, trochę niepokoi fakt niższej dyspersji w lutym. Jest to spowodowane małą liczbą liczników, które przeszły cięcie. Dla próbek zebranych w lutym liczba liczników wchodzących w skład rozkładu efektywności zmalała wskutek tego cięcia z 1238 do 9. W pozostałych okresach cięcie to odrzuca mniej niż 10 liczników, czego nie sposób zauważyć na tego typu wykresach. 36

37 rys. 29 Efektywność w różnych przedziałach czasu w roku 2010 dla liczników pionowych. Na osi poziomej odłożono numer miesiąca, w którym zebrano dane, natomiast na osi pionowej odłożono efektywność wyznaczoną z metody z ograniczonym obszarem aktywnym. Słupki symbolizują dyspersje wyznaczonych rozkładów. Po prawej analogiczny wykres dla rozkładów z dodatkowym wymaganiem na minimalną liczbę oczekiwanych torów w obszarze aktywnym większą od Dokładniejsza analiza zmienności w czasie poszczególnych liczników detektora SMRD Z poprzednich rozważań można wysnuć podejrzenie, iż efektywności są zmienne w czasie. W związku z tym należy przeprowadzić dokładniejszą analizę. W tym celu najlepiej się posłużyć rozkładem unormowanej różnicy, czyli różnicy podzielonej przez jej niepewność. Jeżeli nie ma rzeczywistych różnic, średnia takiego rozkładu powinna być w okolicy zera. Ponadto jeżeli niepewności pomiarowe są dobrze wyznaczone, to dyspersja rozkładu wynosi jeden. Stąd po uwzględnieniu liczby liczników, która w tym przypadku powinna wynosić około 768, można wyliczyć, iż niepewność wyznaczenia średniej rozkładu z rozmycia statystycznego powinna wynosić 0,04. Zbyt duża dyspersja otrzymanego w ten sposób rozkładu świadczy o niedoszacowaniu błędów, natomiast zbyt mała o ich przeszacowaniu. Żeby nie dzielić przez zero oraz nie obciążać sztucznie rozkładu należy odrzucić takie przypadki, w których oceniana niepewność pomiarowa w obu okresach wynosi 0. Problem ten dotyczy ledwie 4 przypadków dla okresu luty i czerwiec, którym się dalej zajmę. Wykres na rys. 30 po lewej stronie przedstawia rozkład o którym jest mowa. Jego średnia wynosi 0,16. Rozkład ten charakteryzuje się większą niż spodziewana dyspersją wynoszącą 1,4, co sygnalizuje, iż niepewności są niedoszacowane. Najprostszą rzeczą jaką można zrobić jest liniowe zwiększenie teoretycznej niepewności rozkładu, równej 0,04 o 40 %. Wówczas wynik średniej rozkładu jest zgodny z zerem w ramach testu trzy sigma. Niepokojące jest jednak skąd bierze się owe niedoszacowanie. Jeżeli dobrze się rozumie filozofię, jaka stoi za podejściem klasycznym, to za niedoszacowanie powinna głównie odpowiadać sytuacja, kiedy efektywność jest równa 1. Wtedy to w podejściu klasycznym estymacja niepewności wynosi 0 niezależnie od liczby oczekiwanych zliczeń, co jest wartością bez wątpienia niewiarygodną. Jeżeli z histogramu odrzuci się liczniki, w których dla jednego z okresów wyznaczania efektywności oceniana wartość niepewności wynosi zero otrzyma się histogram zamieszczony na rys. 30 po prawej. Zostaje wtedy 610 liczników do porównania. Dla tego rozkładu dyspersja wynosi 0,9, co jest już bliskie teoretycznej jedynce. Stąd wynika, iż sytuacja, w której estymuje się efektywność równą 1, jest przyczyną niedoszacowania niepewności. Jednak średnia wzrosła do 0,72. Ten fakt jest łatwo wytłumaczyć gdyż w próbce czerwcowej liczba oczekiwanych zliczeń, która przypada na jeden licznik była mniejsza. W 37

38 związku z tym więcej było liczników z ocenianą wartością efektywności równą 100 % niż w lutym i prawie wszystkie odrzucone liczniki dotyczą właśnie tej sytuacji. Takie liczniki mają zawsze nie większy wynik w czerwcu niż w lutym, w związku z tym ich odrzucenie spowodowało przesunięcie się średniej. To również dowodzi czułości przyjętej metody, gdyż w drugim przypadku średnia rozkładu nie jest zgodna z zerem w ramach testu trzy sigma. Analizę efektywności przeprowadzono dla czterech różnych okresów czasu z dodatkowym podziałem na dwie klasy liczników. Daje to w sumie 12 kombinacji do porównania, ponieważ procedura w każdym przypadku jest niemal identyczna, przedstawiłem porównanie tylko dwóch najbardziej pozornie różniących się okresów, czyli lutego i czerwca dla liczników poziomych. W każdym innym z tych przypadków jako końcowy wniosek otrzymuję się wniosek o braku zmienności w czasie. rys. 30 Rozkład różnic pomiędzy efektywnością wyznaczoną metodą z ograniczonym obszarem aktywnym podzielony przez niepewność tej różnicy. Dla podpróbki liczników góra dół pomiędzy lutym (Eff lut), a czerwcem (Eff cze) 2010 r. Po lewej stronie dla wszystkich liczników, dla których wyznaczona niepewność różnicy jest różna od zera. Natomiast po prawej tylko dla tych, w których dla każdego okresu niepewność efektywności jest różna od zera. 4.4 Efektywność dla liczników poziomych w funkcji okna czasowego używanego do rekonstrukcji podwójnych zliczeń. W algorytmie odtwarzającym podwójne zliczenia z pojedynczych używane jest ograniczenie na przedział czasowy, w którym są dopasowywane odpowiadające sobie pojedyncze zliczenia. Gdyby uwzględnić, iż opóźnienie wynika tylko z prędkości rozchodzenia się fotonów w światłowodzie należałoby przyjąć okno czasowe około 13 ns. Dla danych zostało przyjęte bezpieczniejsze okno o rozmiarze 23 ns. Ponieważ wartość tą można stosunkowo łatwo podwyższyć i ponownie przeprowadzić rekonstrukcje można oszacować jaki wpływ na błąd ma przyjęte okno, jednak ta zmiana nie może być większa niż kilka ns. Takie graniczenie wynika z dopuszczalnych zakresów wartości dla programów, których używam. Do tego celu użyto zbioru danych z okresu kwiecień Następnie przepuszczono go przez wszystkie programy rekonstrukcyjne, za każdym razem zmieniając tylko okno czasowe wymagane w algorytmie parującym pojedyncze zliczenia na odpowiednio 23 ns oraz 32 ns. Ponieważ przy tego typu operacji duża rolę mogą odegrać efekty brzegowe użyto dwóch metod: metody wewnętrznych liczników oraz metody z ograniczonym obszarem aktywnym. 38

39 Jeśli odłożyć rozkład różnicy pomiędzy wartościami zwracanymi dla różnych okien czasowych, otrzyma się histogram przedstawiony na rys. 31. Jak widać rozkład różnic nie jest symetryczny, co dowodzi, iż uzyskana w ten sposób różnica nie jest efektem statystycznym. Średnie wynoszą zaledwie 0,62±0,06 % dla metody wewnętrznych liczników oraz 0,52±0,03 % dla metody z cięciami. Sam rozkład różnic można rozłożyć na dwa wkłady. Jeden z nich ma maksimum w okolicy zera jest on spowodowany, iż liczba oczekiwanych zliczeń w danym liczniku nie zmienia się. Natomiast drugi wkład wyraźnie przesunięte swoje ekstremum i w związku z tym odpowiada on sytuacji, w której licznik nie dał poprawnie zrekonstruowanego podwójnego zliczenia z powodu zbyt wąskiego okna na koincydencje dwóch sygnałów. Ponieważ dla obu z metod średnia liczba oczekiwanych zliczeń jest niższa niż 200, pojawia się minimum rozdzielające oba wkłady. Nadmiar przypadków z dodatnimi wartościami odpowiada sytuacji, w której poprzez poszerzenie okna otrzymaliśmy dodatkowe podwójne zliczenia, które odpowiadają rzeczywistemu przypadkowi. Natomiast niewielka grupa z ujemnymi odpowiada sytuacji, w której dodanie dodatkowych podwójnych zliczeń spowodowało, że oczekiwaliśmy sygnału, gdzie nie było mionu. Niestety nie można określić dokładniejszego charakteru uzyskanych przyrostów efektywności, ponieważ różnica pomiędzy metodami jest bardzo mała. Uzyskany efekt jest zgodny dla obu metod i wynosi około 0,5 %. rys. 31 Rozkład różnicy pomiędzy efektywnością wyznaczoną dla okna czasowego 23 ns (Eff 23) oraz 32 ns (Eff 32). Rozkład został zrobiony dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym po lewej i dla metody wewnętrznych liczników po prawej. 4.5 Wnioski Jeśli przeanalizować zmienność efektywności w różnych okresach zbierania danych to jest ona stała w granicach błędu. Rozkład efektywności liczników zależy od statystyki w badanym okresie. Dodatkowo z przeprowadzonej porównawczej dla dwóch okien czasowych 23 ns i 32 ns widać, iż poszerzenie okna czasowego na rekonstrukcje podwójnego zliczenia na poziomie oprogramowania podnosi efektywność badanych liczników o 0,5 %. Widać wyraźnie spadek efektywności na brzegach licznika. W dalszej części skupie się bardziej na długości licznika, ponieważ pozycji w szerokości licznika nie można poprawnie zrekonstruować. Powstałe wskutek tego efekty, było widać wyraźnie na danych. Spadek efektywności może być jednak spowodowany kilkoma czynnikami. Pierwszą i najprostszą są niepewności rekonstrukcji i został on oszacowany na około 6 % przez porównanie z innymi metodami w rozdziale 2 na stronie 12. Drugą hipotezą jest spadek realny efektywności na brzegach licznika. 39

40 Aby wyeliminować pierwszą możliwość i móc oszacować wpływ drugiego efektu należy przeprowadzić analizę czasów sygnału oraz uniezależnić się od rekonstrukcji. Ponieważ w analizie z użyciem rekonstrukcji nie widać różnic w zależności od warstwy, w której znajduje się licznik można się ograniczyć do środkowej warstwy. Ponieważ takie warunki zachodzą przy liczeniu metodą wewnętrznych liczników, należy lepiej się przyjrzeć czasowi otrzymanego sygnału. 40

41 5 Analiza czasów otrzymania sygnału 5.1 Wstęp do analizy czasów otrzymania sygnału W eksperymencie są również zapisywane pojedyncze zliczenia z końców licznika scyntylacyjnego, w sytuacji, gdy zadziałał system wyzwalania. W tej analizie używam następujące wzory. Używany wzór na ocenę czasu nadejścia sygnału: t est = t A1+t A2+t B1+t B2 4 (t est) spodziewany czas przyjścia sygnału t A1, t A2, t B1, t B2 czas przyjścia sygnałów do końców licznika A i B Natomiast przyjęta przeze mnie ocena pozycji długości wewnątrz licznika wyraża się wzorem: Δ A+Δ B t A1 t A2 +t B1 t B2 2 2 Δ A, Δ B - różnica czasów w liczniku A i B. Dalej używane będą również oznaczenia: t true czas przyjścia sygnału z końca licznika T Δ T - różnica czasów przyjęcia sygnału pomiędzy pierwszym i drugim końcem licznika T. QT natężenie sygnału W tej analizie używam metody wewnętrznych liczników, gdyż zależy mi na pozbyciu się efektów rekonstrukcji. Ponadto wszystkie liczniki wewnętrzne dziele na dwa zbiory: poziome i pionowe, ażeby uzyskać większą statystykę do analizy zamiast przeprowadzać ją dla każdego licznika osobno. Ocenę pozycji przejścia mionu wzdłuż osi z wewnątrz licznika można uzyskać na podstawie różnicy czasów. Zakres zmiennej, którą przyjmuję za ocenę położenia wzdłuż osi z odpowiadającą rozmiarom licznika, wynosi około od -25 ns do 25 ns w zmiennej ( Δ A,+Δ B )/2. W warstwach trygerujących dla mojej metody nadal wymagam zajścia podwójnych zliczeń. Natomiast w testowanym liczniku badam, czy i kiedy były pojedyncze zliczenia. Pojedyncze zliczenia charakteryzują się dużym szumem około 100 khz, więc pierwszą rzeczą jaką trzeba zrobić jest wyznaczenie okna czasowego, w którym się ich spodziewamy. Do tej analizy używam danych z kwietnia 2010r. W tym okresie zbierania danych liczba przypadków dla trygera góra-dół jest porównywalna z tą dla trygera bok-bok. Daje to w sumie 80 tys przypadków trygera. 41

42 5.2 Analiza okna czasowego Poprawność oceny oczekiwanego czasu sygnału. Pierwszym nasuwającym się pytaniem jest czy moje bardzo proste przybliżenie o liniowym charakterze różnicy czasów pomiędzy końcami daje właściwe rezultaty. W tym celu zrobiłem dwa wykresy dla każdego z końców testowanego licznika zamieszczone są na rys. 32. Oba wykresy są w dobrym przybliżeniu symetryczne ze średnią w okolicy zera. Również można powiedzieć, iż wystarczy symetryczne okno 23 ns jak przy warunku na podwójne zliczenie. Jeżeli przeanalizujemy oba rozkłady razem pod kątem zgodności, na podstawie błędu wyznaczonego z rozmycia statystycznego otrzymamy średnią -0,07±0,02 ns dla jednego końca oraz -0,17±0,02 ns dla drugiego końca licznika. To oznaczałoby, że sygnał jest trochę wcześniej niż się tego spodziewamy, jednak należy pamiętać, iż błąd systematyczny związany z odczytem czasu wynosi 2,5 ns dla pojedynczego pomiaru. Wobec tego ta różnica może wynikać z błędu systematycznego. rys. 32 Różnica pomiędzy czasem przewidywanym przez metodę na podstawie czasów z warstw trygerujących (t est), a czasem rzeczywistym dla podwójnego zliczenia (t true). Z lewej strony znajduje się histogram dla pierwszego końca licznika testowanego, natomiast z prawej strony jest histogram dla drugiego końca. Każdy z histogramów zawiera 130 tys. wejść Wyznaczanie okna czasowego Z poprzedniego porównania dla hitów, które się składają do podwójnego zliczenia wynika, iż można przyjąć symetryczne okno 23 ns, jednak ponieważ zachowanie różnych klas przypadków może się różnic, w szczególności ze względu na wysokość sygnału. Ponieważ szumy elektroniczne są rzędu 100 khz szerokość okna czasowego jest najbardziej istotne dla pojedynczych zliczeń, które nie składają się do podwójnego zliczenia i mogą zostać sztucznie wytworzone przez elektronikę. Dlatego należy przeanalizować właśnie tę podpróbkę. Zależność różnicy czasu od wysokości sygnału została przedstawiona w postaci histogramu na rys. 33. Widać, że im silniejszy sygnał, tym mniejsze opóźnienie w jego zbieraniu, efekt ten zwany jest time walk. Wykres jest wyraźnie niesymetryczny, czego się spodziewam, ze względu na te opóźnienia. Ostatecznie przyjąłem dopuszczalny zakres 50 ns,. Na rys. 34 przedstawiono histogram różnicy czasowej w przyjętym zakresie. Widać strukturę dwóch maksimów, jedno w okolicy zera i drugie opóźnione o około 25 ns w stosunku do spodziewanego czasu. Mamy tu wyraźnie złożenie dwóch sygnałów, aby lepiej zrozumieć skąd bierze się każdy z nich zrobiłem wykres zamieszczony na rys. 35. Obrazuje on korelacje pomiędzy różnicą czasów, a wysokością sygnału. Z tego wykresu wyraźnie widać charakter tych dwóch maksimów. Pierwsze maksimum to lekko przedwczesny 42

43 sygnał, który można zinterpretować jako sygnał o dużym natężeniu, co przekłada się na mniejsze opóźnienie elektryczne. Te drugie maksimum pochodzi od sygnału, który jest bardzo opóźniony o około 25 ns i o niskim natężeniu, co najprawdopodobniej przekłada się na duże opóźnienie elektroniczne. Wiązane się ono z tym, iż sygnał o zdarzeniu zostaje wysłany dopiero po dotarciu całego dostępnego światła ze światłowodu, gdyż wcześniej próg nie mógł zostać przekroczony. Pozostaje jeszcze trzecia klasa sygnałów, która może dać sygnał bardzo opóźniony w stosunku do przewidywanego, którą interpretuje jako sygnał o zbyt małym natężeniu, aby przekroczyć próg, jednak z powodu dodania się szumów MPCC ich suma jest zdolna przekroczyć ustalony próg. Ze względu na to, iż różnice czasów dla tej klasy są kolosalne nawet powyżej 200 ns, a ich wkład niewielki, odrzucam je w przyjętym zakresie. Ta klasa jest widoczna na rys. 33 jako ogon rozkładu. rys. 33 Zależność różnicy pomiędzy czasem rzeczywistym (t true), a oczekiwanym (t est) sygnału w funkcji natężenia sygnału (QT) w jednostkach umownych. Na rysunku przedstawiono przypadki, kiedy oczekiwaliśmy podwójnego zliczenia, natomiast otrzymaliśmy jedynie pojedyncze zliczenia. Jedno wejście to jedno pojedyncze zliczenie. Histogram zawiera 6,4 tys. wejść. 43

44 rys. 34 Różnica pomiędzy oczekiwanym(t est) i rzeczywistym(t true) czasem nadejścia sygnału dla wybranego okna czasowego 50 ns. Czas oczekiwany wyliczono jako średnią arytmetyczną czasu przyjścia do końców z dwóch najbliższych nad i pod nim liczników scyntylacyjnych. Na wykresie przedstawiono przypadki, kiedy oczekiwaliśmy podwójnego zliczenia, natomiast otrzymaliśmy jedynie pojedyncze zliczenia. Jedno wejście to jedno pojedyncze zliczenie. Histogram zawiera 5,6 tys. wejść. rys. 35 Zależność różnicy pomiędzy czasem oczekiwanym (t est) a rzeczywistym (t true) pojawienia się sygnału wyrażonym w ns oraz wysokością sygnału (QT) w jednostkach umownych, dla przyjętego przeze mnie symetrycznego okna czasowego 50 ns. Na wykresie przedstawiono przypadki, kiedy spodziewaliśmy się podwójnego zliczenia, natomiast otrzymaliśmy jedynie pojedyncze zliczenia. Jedno wejście to jedno pojedyncze zliczenie. Histogram zawiera 5,6 tys. wejść. 44

45 5.2.3 Podsumowanie Na podstawie wykresów różnicy czasu rzeczywistego, a oczekiwanego dla przypadków, które zrekonstruowały się do podwójnego zliczenia, widać, iż estymacja czasu oczekiwanego jest dobrym przybliżeniem. Przypadki, które nie rekonstruują się do podwójnego zliczenia można podzielić na cztery klasy sygnału na podstawie różnicy oczekiwanego czasem przyjścia i rzeczywistego: silny, słaby, poniżej progu oraz szum. W symetrycznym oknie czasowym 50 ns mam dwie pierwsze klasy. Wyznaczone okno jest kompromisem pomiędzy efektywnością selekcji, a czystością próbki. Ponadto warto zaznaczyć, iż przyjęta estymacja długości licznika nie jest w pełni liniowa, gdyż nie uwzględnia przesunięć czasów związanych z wartością zebranego ładunku. W związku z tym należy traktować ją tylko jako wartość szacunkową mogącą jednak posłużyć do potwierdzenia istnienia efektów brzegowych. 5.3 Efektywność w funkcji ocenianej wartości długości z Pokazanie poprawności przybliżania pozycji przecięcia mionu z licznikiem poprzez różnice czasów. Pierwszym nasuwającym się pytaniem jest czy taka prosta estymacja długości z jest poprawna. Najprościej można to sprawdzić rysując zależność pomiędzy estymacją dla licznika testowanego, a średnią arytmetyczną estymacji dla liczników trygerujących. Jeżeli nasza estymacja jest słuszna powinna być widoczna duża korelacja pomiędzy tymi wielkościami. Zależność taka została pokazana na rys. 36. Zgodnie ze wcześniejszymi oczekiwaniami widać na nim wyraźną korelacje, co więcej większość punktów znajduję się na diagonali lub blisko niej. W związku z tym średnia różnica czasów z warstw nad i pod licznikiem jest równoważne wzięciu różnicy czasów z środkowej warstwy. Jak wiadomo różnica czasów z środkowej warstwy jest bezpośrednio związana z miejscem, przez które przeleciał mion. rys. 36 Rozkład różnicy czasów, które mają oceniać położenie sygnału wzdłuż osi długości badanego licznika. Na osi pionowej odłożono różnice czasów z środkowego licznika, natomiast na osi poziomej odłożono różnice średnią czasów z warstw nad i pod danym licznikiem. Na histogramie pokazane są przypadki, tylko gdy wszystkie kolejne trzy warstwy z metody wewnętrznych liczników dadzą podwójne zliczenie. Histogram zawiera 130 tysięcy wejść. 45