Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa druga. Poziom rozszerzony.

Transkrypt

1 Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa druga. Poziom rozszerzony. Wymagania ogólne Uczeń: używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników, rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi, buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia, tworzy strategię rozwiązania problemu, tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. Szkoła sprzyja: w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia rozwijaniu umiejętności zdobywania, porządkowania, analizowania i przetwarzania informacji; opanowaniu umiejętności potrzebnych do oceny ilościowej i opisu zjawisk z różnych dziedzin życia; wykształceniu umiejętności budowania modeli matematycznych w odniesieniu do różnych sytuacji życiowych i stosowaniu metod matematycznych w rozwiązywaniu problemów praktycznych; rozwijaniu umiejętności czytania tekstu ze zrozumieniem; rozwinięciu wyobraźni przestrzennej; nabyciu umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej; rozwijaniu zdolności i zainteresowań matematycznych; rozwijaniu pamięci; rozwijaniu logicznego myślenia; nabyciu umiejętności poprawnego analizowania, wnioskowania i uzasadniania; wykształceniu umiejętności operowania obiektami abstrakcyjnymi; precyzyjnemu formułowaniu wypowiedzi; pobudzeniu aktywności umysłowej uczniów; w zakresie kształtowania postaw kształtowaniu wytrwałości w zdobywaniu wiedzy i umiejętności matematycznych; wyrabianiu systematyczności w pracy; motywowaniu uczniów do kreatywności i samodzielności; kształtowaniu postaw dociekliwych, poszukujących i krytycznych; nabyciu umiejętności dobrej organizacji pracy, właściwego planowania nauki; kształtowaniu odpowiedzialności za powierzone zadania; kształtowaniu pozytywnych postaw etycznych (pomoc koleżeńska uczniom mniej zdolnym, piętnowanie nieuczciwości wyrażającej się w ściąganiu, podpowiadaniu itp.); rozwijaniu umiejętności pracy w zespole; kształtowaniu postawy dialogu i kultury dyskusji (komunikacja); dbaniu o estetykę (czytelny rysunek, jasne i przejrzyste rozwiązanie zadań itp.). 1

2 Sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów W ciągu każdego okresu uczeń otrzymuje oceny z co najmniej trzech wymienionych poniżej dwunastu form sprawdzania osiągnięć edukacyjnych. 1. Odpowiedzi ustne: a) odpowiedzi z trzech ostatnich tematów, b) prezentacja rozwiązania zadania, c) referat, d) dyskusja nad rozwiązaniem problemu w czasie lekcji. 2. Prace pisemne: a) krótkie kartkówki obejmujące materiał trzech ostatnich tematów (niekoniecznie zapowiedziane), b) zapowiedziane sprawdziany pisane przez całą lekcję, c) zadania klasowe obejmujące większą część materiału (np. zrealizowany dział), d) badanie wyników okresowej lub całorocznej pracy, np. mini matura, e) mała matura. 3. Zadania domowe. 4. Prezentacja pracy w grupie. 5. Udział w konkursie (olimpiadzie, zawodach). Prace pisemne oceniane są wg następującej skali: poniżej 40% stopień niedostateczny od 40% poniżej 50% stopień dopuszczający od 50% poniżej 65% stopień dostateczny od 65% poniżej 70% stopień plus dostateczny od 70% poniżej 85% stopień dobry od 85% poniżej 90% stopień plus dobry od 90% poniżej 98% stopień bardzo dobry od 98% stopień celujący stopień celujący uzyskuje również uczeń, który spełnił wymagania na stopień bardzo dobry i ponadto rozwiązał zadanie dodatkowe o podwyższonym stopniu trudności lub przedstawił niekonwencjonalny, wartościowy sposób rozwiązania obowiązujących zadań. W przypadku nieobecności ucznia na sprawdzianie lub kartkówce w dzienniku lekcyjnym pojawia się zapis 0. Zapis ten nie ma wpływu na śródroczną i roczną ocenę klasyfikacyjną. Ocenę niedostateczną uczeń może poprawić w terminie ustalonym przez nauczyciela. Ogólne treści nauczania w klasie drugiej (poziom rozszerzony) 1. Funkcja liniowa. 2. Funkcja kwadratowa. 3. Wielomiany. Funkcje wielomianowe. 4. Ułamki algebraiczne. Funkcje wymierne. 5. Ciągi. 6. Trygonometria. 7. Geometria płaska trójkąty, czworokąty. 8. Geometria płaska pole trójkąta, czworokąta, koła. 2

3 WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI klasa 2 (poziom rozszerzony) 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowych o współczynnikach kierunkowych różnych od zera Zastosowanie wiadomości o funkcji liniowej w zadaniach z życia codziennego Równanie liniowe i nierówność liniowa z jedną niewiadomą Równania i nierówności z wartością bezwzględną Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi z parametrem Zastosowanie układów równań liniowych do rozwiązywania zadań tekstowych Nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi i jej interpretacja geometryczna. Układy nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi Zastosowanie układów nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadań ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń: Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: bardzo dobrej, a ponadto: dostrzega proporcjonalność prostą między dwiema wielkościami; wskazuje współczynnik proporcjonalności; rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem proporcjonalności prostej; podaje określenie funkcji liniowej; wyznacza współczynnik kierunkowy funkcji liniowej, gdy dane są współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji, pisze wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu udowadnia, na podstawie definicji, niektóre własności funkcji liniowej, takie jak: monotoniczność, różnowartościowość itp.; rozwiązuje zadania z wartością bezwzględną i parametrem 3 przeprowadza dowód warunku na prostopadłość wykresów funkcji liniowych o współczynnikach różnych od zera; wyznacza wszystkie wartości parametru, dla których rozwiązuje zadania nietypowe o podwyższonym stopniu trudności.

4 interpretuje współczynniki we wzorze funkcji liniowej; sporządza wykres funkcji liniowej danej wzorem; na podstawie wykresu funkcji liniowej (wzoru funkcji) określa monotoniczność funkcji; wyznacza algebraicznie i graficznie zbiór tych argumentów, dla których funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie (ujemne, niedodatnie, nieujemne); sprawdza algebraicznie, czy punkt o danych współrzędnych należy do wykresu funkcji liniowej; podaje własności funkcji liniowej na podstawie wykresu tej funkcji; znajduje wzór funkcji liniowej o zadanych własnościach (np. takiej, której wykres przechodzi przez dwa dane punkty; jest nachylony do osi OX pod danym kątem i przechodzi przez dany punkt); pisze wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie; szkicuje wykres funkcji kawałkami liniowej i na jego podstawie omawia własności danej funkcji; wyznacza algebraicznie miejsca zerowe funkcji kawałkami liniowej oraz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY; wyznacza algebraicznie zbiór danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o podanych współrzędnych; pisze wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o danych współrzędnych; określa, na podstawie wzorów dwóch funkcji liniowych, wzajemne położenie ich wykresów; stosuje wiadomości o funkcji liniowej do opisu zjawisk z życia codziennego (podaje opis matematyczny zjawiska w postaci wzoru funkcji liniowej, odczytuje informacje z wykresu lub wzoru, interpretuje je, analizuje i przetwarza); rozwiązuje układ nierówności liniowych z jedną niewiadomą; interpretuje graficznie równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą; rozwiązuje algebraicznie proste równania i nierówności z wartością bezwzględną i interpretuje je graficznie np. x 2 1 = 3, x + 4 > 2x + 3; rozpoznaje równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; rysuje wykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ; rozpoznaje układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i podaje dotyczące własności funkcji liniowej; i nierówności liniowe z wartością bezwzględną i interpretuje je graficznie; przeprowadza dyskusję liczby rozwiązań równania liniowego z parametrem (z dwoma parametrami); rozwiązuje układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikową; prowadzi dyskusję liczby rozwiązań układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi z parametrem, stosując metodę wyznacznikową. 4 zbiorem rozwiązań nierówności liniowej z parametrem, jest podany zbiór; rozwiązuje układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi z wartością bezwzględną oraz interpretuje go graficznie; wykreśla w prostokątnym układzie współrzędnych zbiory punktów opisane równaniem, nierównością, układem równań lub układem nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi z wartością bezwzględną; stosuje wiedzę o układach nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadań ( programowanie liniowe ).

5 tych argumentów, dla których funkcja kawałkami liniowa przyjmuje wartości dodatnie (ujemne); oblicza wartość funkcji kawałkami liniowej dla podanego argumentu; rozwiązuje równanie liniowe z jedną niewiadomą; rozwiązuje nierówność liniową z jedną niewiadomą i przedstawia jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej; rozpoznaje układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; rozwiązuje algebraicznie (metodą przez podstawienie oraz metodą przeciwnych współczynników) układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi; rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych. 2. Funkcja kwadratowa Tematyka zajęć: ich interpretację geometryczną; rozpoznaje nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi i interpretuje geometrycznie taką nierówność; przedstawia na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych, zbiór tych wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dany układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi; opisuje daną figurę geometryczną (np. kąt, trójkąt, czworokąt) przedstawioną w prostokątnym układzie współrzędnych, za pomocą odpowiedniego układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi. Własności funkcji kwadratowej y = ax 2 Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej Związek między wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej na podstawie wykresu Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym Badanie funkcji kwadratowej zadania optymalizacyjne Równania kwadratowe Równania prowadzące do równań kwadratowych 5

6 Nierówności kwadratowe Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych Wzory Viète a Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną Równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń: Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: szkicuje wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem y = ax 2, gdzie a 0, oraz omawia jej własności na podstawie wykresu; podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y= ax 2 + bx + c, gdzie a 0; podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej y = a(x p) 2 + q, gdzie a 0; podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej y = a(x x 1 )(x x 2 ), gdzie a 0; podaje wzory pozwalające obliczyć: wyróżnik funkcji kwadratowej, współrzędne wierzchołka paraboli, miejsca zerowe funkcji kwadratowej (o ile istnieją); oblicza miejsca zerowe funkcji kwadratowej lub uzasadnia, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych; stosuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania prostych zadań optymalizacyjnych; graficznie rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą; rozwiązuje zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą (w tym także zadania geometryczne); z niewiadomą występującą pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, które można sprowadzić do równań kwadratowych; rozwiązuje proste zadania z parametrem, w których jest mowa o własnościach funkcji rozwiązuje zadania z parametrem o podwyższonym stopniu trudności dotyczące własności funkcji kwadratowej; kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem. 6 rozwiązuje zadania optymalizacyjne, rozwiązuje zadania na dowodzenie dotyczące własności funkcji kwadratowej. wyprowadza wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej; wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli; i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego; rozwiązuje różne problemy dotyczące funkcji kwadratowej, które wymagają niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów.

7 oblicza współrzędne wierzchołka paraboli na podstawie poznanego wzoru oraz na podstawie znajomości miejsc zerowych funkcji kwadratowej; sprawnie zamienia wzór funkcji kwadratowej (wzór w postaci kanonicznej na wzór w postaci ogólnej i odwrotnie, wzór w postaci iloczynowej na wzór w postaci kanonicznej itp.); interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje); podaje niektóre własności funkcji kwadratowej (bez szkicowania jej wykresu) na podstawie wzoru funkcji w postaci kanonicznej (np. przedziały monotoniczności funkcji, równanie osi symetrii paraboli, zbiór wartości funkcji) oraz na podstawie wzoru funkcji w postaci iloczynowej (np. zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne); szkicuje wykres dowolnej funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; na podstawie wykresu funkcji kwadratowej omawia jej własności; pisze wzór funkcji kwadratowej kwadratowej; analizuje zjawisko z życia codziennego opisane wzorem (wykresem) funkcji kwadratowej; opisuje dane zjawisko za pomocą wzoru funkcji kwadratowej; przekształca wyrażenia, tak by można było obliczać ich wartości, stosując wzory Viète a; przekształca wykresy funkcji kwadratowych, stosując poznane w klasie pierwszej przekształcenia, oraz pisze wzór funkcji, której wykres otrzymano w danym przekształceniu; szkicuje wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną; rozwiązuje proste równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną; rozwiązuje proste równania i nierówności kwadratowe z parametrem. 7

8 o zadanych własnościach; pisze wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o jej wykresie; wyznacza najmniejszą oraz największą wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym; podaje i stosuje wzory Viète a; rozwiązuje algebraicznie równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. 3. Geometria płaska czworokąty Tematyka zajęć: Podział czworokątów. Trapezoidy Trapezy Równoległoboki Wielokąty podstawowe własności Okrąg opisany na czworokącie Okrąg wpisany w czworokąt Okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany w czworokąt zadania na dowodzenie Podobieństwo. Figury podobne Podobieństwo czworokątów ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń: Uczeń spełnia wymagania określone Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dla oceny dopuszczającej, dobrej, bardzo a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: podaje podział czworokątów; wyróżnia wśród trapezów: trapezy prostokątne i trapezy równoramienne; poprawnie posługuje się takimi określeniami, jak: podstawa, ramię, wysokość trapezu; rozpoznaje trapezoidy, podaje przykłady takich figur; podaje własności deltoidu; wymienia nazwy czworokątów, w które można wpisać okrąg, i nazwy wnioskuje na podstawie własności czworokąta podanych w zadaniu, jaki to jest czworokąt; rozwiązuje zadania o średnim 8 udowadnia twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trapezu; udowadnia twierdzenie o odcinku łączącym środki udowadnia twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie; rozwiązuje nietypowe

9 podaje i wykorzystuje w prostych zadaniach zależność, że suma kątów przy każdym ramieniu trapezu jest równa ; stosuje twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trapezu w rozwiązywaniu prostych zadań; rozwiązuje proste zadania dotyczące własności trapezów; podaje podstawowe własności równoległoboków i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zadań; podaje własności rombu; podaje własności prostokąta i kwadratu; określa, co to znaczy, że czworokąt jest wpisany w okrąg, czworokąt jest opisany na okręgu; podaje warunki, jakie musi spełniać czworokąt, aby można było okrąg wpisać w czworokąt oraz aby można było okrąg opisać na czworokącie; stosuje te warunki w rozwiązywaniu prostych zadań. czworokątów, na których można opisać okrąg; rozwiązuje proste zadania dotyczące trapezów wpisanych w okrąg i, opisanych na okręgu, w tym również z wykorzystaniem wcześniej poznanych własności trapezu; korzysta z wcześniej zdobytej wiedzy w rozwiązywaniu zadań dotyczących czworokątów (trygonometria, twierdzenie Talesa, twierdzenie Pitagorasa, własności trójkątów itp.); podaje i stosuje w zadaniach wzór na liczbę przekątnych i wzór na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta; wskazuje kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego i podaje sumę miar wszystkich kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego; definiuje podobieństwo; wskazuje figury podobne; rozwiązuje proste zadania dotyczące podobieństwa czworokątów. stopniu trudności dotyczące czworokątów, w tym trapezów i równoległoboków; stosuje twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie do rozwiązania zadań o średnim stopniu trudności dotyczących trapezów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu. przekątnych trapezu; uzasadnia, że suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała i wynosi ; wyprowadza wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu w zależności od długości promienia okręgu i obwodu tego czworokąta; stosuje twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie, w rozwiązywaniu złożonych zadań o średnim stopniu trudności; korzysta z wcześniej poznanych twierdzeń (np. twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów) do rozwiązywania zadań dotyczących czworokątów. zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące czworokątów, czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu, korzystając przy tym z wcześniej poznanych twierdzeń. 4. Geometria płaska pole czworokąta Tematyka zajęć: Pole prostokąta. Pole kwadratu Pole równoległoboku. Pole rombu Pole trapezu Pole czworokąta zadania różne Pola figur podobnych Mapa. Skala mapy 9

10 Uczeń: ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: stosuje wzory na pole kwadratu i prostokąta w rozwiązaniach prostych zadań; podaje wzory na pole równoległoboku; rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące równoległoboków, wykorzystując wzór na jego pole i poznane wcześniej twierdzenia; podaje wzory na pole rombu; rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące rombów, wykorzystując wzory na jego pole i poznane wcześniej twierdzenia; podaje wzór na pole trapezu; rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące trapezów, wykorzystując wzór na jego pole i poznane wcześniej twierdzenia. rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące czworokątów, wykorzystując wzory na ich pola i poznane wcześniej twierdzenia, w szczególności twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i opisanym na czworokącie; podaje związek między polami figur podobnych i korzysta z tego związku, rozwiązując zadania geometryczne o niewielkim stopniu trudności. wyprowadza wzór na pole równoległoboku; wyprowadza wzory na pole rombu; wyprowadza wzór na pole trapezu; rozwiązuje zadania geometryczne o średnim stopniu trudności, wykorzystując wzory na pola trójkątów i czworokątów, w tym również z wykorzystaniem wcześniej poznanych twierdzeń (np. twierdzenia sinusów i cosinusów, twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i opisanym na czworokącie). rozwiązuje zadania geometryczne o podwyższonym stopniu trudności, wykorzystując wzory na pola trójkątów i czworokątów, w tym również z wykorzystaniem wcześniej poznanych twierdzeń (np. twierdzenia sinusów i cosinusów, twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i opisanym na czworokącie). Uczeń spełnia wymagania bardzo dobrej, a ponadto: rozwiązuje nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem wzorów na pola figur i innych twierdzeń. 5. Wielomiany Tematyka zajęć: Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów Równość wielomianów Podzielność wielomianów Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów z resztą Dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy za pomocą schematu Hornera 10

11 Pierwiastek wielomianu Twierdzenie Bezouta Pierwiastek wielokrotny Rozkładanie wielomianów na czynniki Równania wielomianowe Zadania prowadzące do równań wielomianowych Równania wielomianowe z parametrem Funkcje wielomianowe Nierówności wielomianowe ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: Uczeń: rozpoznaje jednomian jednej zmienne i określa stopień tego jednomianu; wskazuje jednomiany podobne; rozpoznaje wielomian jednej zmiennej rzeczywistej; porządkuje wielomian (malejąco lub rosnąco); określa stopień wielomianu jednej zmiennej; oblicza wartość wielomianu dla danej wartości zmiennej; wykonuje dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów; dzieli wielomian przez dwumian ax + b; dzieli wielomian przez dwumian liniowy za pomocą schematu Hornera; rozpoznaje wielomiany równe; rozwiązuje proste zadania, w których dzieli wielomian przez dowolny wielomian; wyznacza wielomian, który jest resztą z dzielenia wielomianu o danych własnościach przez inny wielomian; rozwiązuje proste zadania tekstowe prowadzące do równań wielomianowych; definiuje funkcję wielomianową; szkicuje przybliżony wykres funkcji wielomianowej na podstawie informacji o miejscach zerowych tej funkcji oraz znaku współczynnika przy najwyższej potędze sprawnie wykonuje działania na wielomianach; podaje i stosuje twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych; sprawnie rozkłada wielomiany na czynniki (w tym stosując metodę prób ); rozwiązuje zadania dotyczące własności wielomianów, w których występują parametry; rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności wielomianowych; 11 udowadnia twierdzenie Bezouta; udowadnia twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych; i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną i parametrem; Uczeń spełnia wymagania bardzo dobrej, a ponadto: rozwiązuje różne problemy dotyczące wielomianów, które wymagają niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów.

12 wykorzystuje się twierdzenie o równości wielomianów; sprawdza, czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu; określa krotność pierwiastka wielomianu; podaje twierdzenie Bezouta i stosuje je w rozwiązywaniu zadań; podaje twierdzenie o reszcie i stosuje je w rozwiązywaniu zadań; rozkłada wielomian na czynniki poprzez wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias, zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, zastosowanie metody grupowania wyrazów, a także wówczas, gdy ma podany jeden z pierwiastków wielomianu i konieczne jest znalezienie pozostałych z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta; wielomianowe, które wymagają umiejętności rozkładania wielomianów na czynniki wymienionych w poprzednim punkcie; rozwiązuje proste zadania dotyczące wielomianów, w których występują parametry. zmiennej; rozwiązuje nierówności wielomianowe (korzystając z siatki znaków, posługując się przybliżonym wykresem funkcji wielomianowej). i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną. 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne Tematyka zajęć: Ułamek algebraiczny. Skracanie i rozszerzanie ułamków algebraicznych Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych 12

13 Zadania na dowodzenie z zastosowaniem ułamków algebraicznych Równania wymierne Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych Nierówności wymierne Równania i nierówności wymierne z parametrem Proporcjonalność odwrotna Funkcje wymierne Funkcja homograficzna Zastosowanie funkcji homograficznej w zadaniach Uczeń: ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: rozpoznaje ułamki algebraiczne jednej zmiennej; wyznacza dziedzinę ułamka algebraicznego; podaje przykład ułamka algebraicznego o zadanej dziedzinie; wykonuje działania na ułamkach algebraicznych, takie jak: skracanie ułamków, rozszerzanie ułamków, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych, określając warunki wykonalności tych działań; wykonuje działania łączne na ułamkach algebraicznych; podaje definicję równania wymiernego; rozwiązuje proste równania wymierne; podaje definicję nierówności wymiernej; rozwiązuje proste nierówności wymierne; dostrzega proporcjonalność odwrotną rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do prostych równań wymiernych; rozwiązuje proste zadania na dowodzenie z zastosowaniem ułamków algebraicznych; rozwiązuje proste zadania z parametrem dotyczące funkcji wymiernych; wyznacza przedziały monotoniczności funkcji homograficznej; rozwiązuje proste zadania z parametrem dotyczące funkcji homograficznej. sprawnie wykonuje działania łączne na ułamkach algebraicznych; i nierówności wymierne; i nierówności wymierne z wartością bezwzględną; i nierówności wymierne z parametrem; rozwiązuje układy równań i nierówności wymiernych; pisze wzór funkcji homograficznej na podstawie informacji o jej wykresie; szkicuje wykres funkcji homograficznej z wartością bezwzględną i na podstawie wykresu funkcji opisuje 13 rozwiązuje zadania na dowodzenie z zastosowaniem ułamków algebraicznych (w tym zadania dotyczące związków pomiędzy średnimi: arytmetyczną, geometryczną, średnią kwadratową); dowodzi własności funkcji wymiernej; prowadzi dyskusję liczby rozwiązań równania wymiernego z wartością bezwzględną i parametrem, na podstawie wykresu funkcji homograficznej, we wzorze której występuje wartość bezwzględna. Uczeń spełnia wymagania bardzo dobrej, a ponadto: prowadzi dyskusję liczby rozwiązań równania wymiernego z parametrem; rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące funkcji wymiernych wymagające zastosowania niekonwencjonalnych metod.

14 między dwiema wielkościami; wskazuje współczynnik odwrotnej proporcjonalności; rozwiązuje zadania z zastosowaniem proporcjonalności odwrotnej; podaje definicję funkcji wymiernej; określa dziedzinę funkcji wymiernej; podaje definicję funkcji homograficznej potrafi naszkicować wykres funkcji homograficznej na podstawie wzoru funkcji homograficznej określa jej dziedzinę i zbiór wartości; oblicza miejsce zerowe funkcji homograficznej oraz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY; przekształca wykres funkcji homograficznej w S OX, S OY, S (0, 0), przesunięciu równoległym o dany wektor. własności funkcji; rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące własności funkcji homograficznej; rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności wymiernych; rozwiązuje układy równań i nierówności wymiernych (także z wartością bezwzględną); rozwiązuje zadania dotyczące własności funkcji wymiernej (w tym z parametrem). 7. Ciągi Tematyka zajęć: Określenie ciągu. Sposoby opisywania ciągów Monotoniczność ciągów Ciąg arytmetyczny Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Ciąg geometryczny Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Lokaty pieniężne i kredyty bankowe Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny zadania różne Granica ciągu liczbowego 14

15 Własności ciągów zbieżnych Ciągi rozbieżne do nieskończoności Szereg geometryczny Uczeń: ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: podaje definicję ciągu (ciągu liczbowego); wyznacza dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym; rysuje wykres ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym; bada na podstawie definicji monotoniczność ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym; podaje przykłady ciągów liczbowych monotonicznych; sprawdza, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału; wyznacza wyrazy ciągu o podanej wartości; podaje definicję ciągu arytmetycznego; bada na podstawie definicji, czy dany ciąg określony wzorem ogólnym jest arytmetyczny; podaje przykłady ciągów arytmetycznych; podaje i stosuje w rozwiązywaniu zadań wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego; podaje i stosuje w rozwiązywaniu zadań wzór na sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu rozwiązuje zadania mieszane dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych; odróżnia ciąg geometryczny od szeregu geometrycznego; podaje warunek na zbieżność szeregu geometrycznego i wzór na sumę szeregu; bada warunek na istnienie sumy szeregu geometrycznego (proste przykłady); oblicza sumę szeregu geometrycznego (zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły, proste równania i nierówności wymierne, proste zadania geometryczne); oblicza granice niewłaściwe ciągów rozbieżnych do nieskończoności (proste przykłady). określa ciąg wzorem rekurencyjnym; wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym; podaje granicy ciągu liczbowego zbieżnego; wykazuje na podstawie definicji, że dana liczba jest granicą ciągu; podaje i stosuje twierdzenia dotyczące własności ciągów zbieżnych; oblicza granice różnych ciągów zbieżnych; oblicza granice niewłaściwe różnych ciągów rozbieżnych do nieskończoności; rozwiązuje różne zadania z zastosowaniem wiadomości o szeregu geometrycznym zbieżnym. 15 podaje definicję rekurencyjną ciągu Fibonacciego; wyprowadza wzór na sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; wyprowadza wzór na sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Uczeń spełnia wymagania bardzo dobrej, a ponadto: podaje i stosuje twierdzenie o trzech ciągach do obliczenia granicy danego ciągu; definiuje liczbę e oraz oblicza granice ciągów z liczbą e; rozwiązuje zadania na dowodzenie, w których jest mowa o ciągach.

16 arytmetycznego; wykorzystuje średnią arytmetyczną do obliczenia wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego; podaje definicję ciągu geometrycznego; bada na podstawie definicji, czy dany ciąg określony wzorem ogólnym jest geometryczny; podaje i stosuje w rozwiązywaniu zadań wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego; podaje i stosuje wzór na sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego; wykorzystuje średnią geometryczną do obliczenia wyrazu środkowego ciągu geometrycznego; wyznacza ciąg arytmetyczny (geometryczny) na podstawie wskazanych danych; stosuje procent prosty i składany w zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów; rozumie intuicyjnie pojęcie granicy ciągu liczbowego zbieżnego; podaje i stosuje twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych; oblicza granicę ciągu liczbowego (proste przykłady). 16

17 8. Trygonometria Tematyka zajęć: Miara łukowa kąta Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej Wykresy funkcji y = sin x oraz y = cos x Wykresy funkcji y = tg x oraz y = ctg x Przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych Proste równania trygonometryczne Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych Równania trygonometryczne Nierówności trygonometryczne ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń: Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: określa miarę łukową kąta; stosuje miarę łukową i stopniową kąta (zamienia stopnie na radiany i radiany na stopnie); podaje definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta i posługuje się nimi w rozwiązywaniu zadań; podaje związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta; wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dana jest jedna z nich; podaje i stosuje wzory redukcyjne dla kątów o miarach wyrażonych w stopniach oraz radianach; szkicuje wykres funkcji y = ctg x i omawia jej własności; podaje wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów i stosuje je do rozwiązywania prostych zadań; podaje wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego i stosuje je do rozwiązywania prostych zadań; rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne z zastosowaniem poznanych wzorów. bada, czy funkcja trygonometryczna jest parzysta (nieparzysta); określa zbiór wartości funkcji trygonometrycznej; wyznacza okres podstawowy funkcji trygonometrycznej; przekształca wykresy funkcji trygonometrycznych (stosując przekształcenia) typu y = f(x), y = f( x ), y = sf(x) oraz y = f(s x), gdzie s 0; stosuje wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, wzory 17 i nierówności trygonometryczne z wartością bezwzględną z zastosowaniem poznanych wzorów; trygonometryczne z parametrem; rozwiązuje różne zadania z innych działów matematyki, w których wykorzystuje się wiadomości i umiejętności z trygonometrii. rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności lub wymagające niekonwencjonalnych pomysłów i metod rozwiązywania.

18 szkicuje wykres funkcji y = sin x i omawia jej własności; szkicuje wykres funkcji y = cos x i omawia jej własności; szkicuje wykres funkcji y = tg x i omawia jej własności; przekształca wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując takie przekształcenia, jak: symetria osiowa względem osi OX, symetria osiowa względem osi OY, symetria środkowa względem punktu (0, 0), przesunięcie równoległe o dany wektor); wyznacza zbiór wartości funkcji trygonometrycznej (w prostych przypadkach); wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych; rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne, korzystając z wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych; podaje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zadań. na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta do przekształcania wyrażeń trygonometrycznych; stosuje wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, wzory na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych; i nierówności trygonometryczne z zastosowaniem wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wzorów na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, wzorów na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta. Opracował zespół nauczycieli XI LO w Krakowie 18