GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YSTE

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 8 (1970) GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YSTE PIOTR KLE MM (ŁÓDŹ,) CZESŁAW WOŹ NI AK (WARSZAWA) Modele cią głe gę stych i regularnych siatek sprę ż ystych o doskonale sztywnych wę złach został y okreś lone dla róż nych rodzajów siatek, [1, 2, 3]. Dotychczasowe opracowaa, których przeglą d zawiera ksią ż ka [3], e obejmują jednak waż nej w zastosowaach techcznych siatki heksagonalnej. Schemat takiej siatki przedstawia rys. 1. Celem tej pracy jest wyprowadzee podstawowych równań modelu cią gł ego takiej siatki. Modele cią głe róż nych gę stych i regularnych siatek, utworzonych ze sprę ż ystych prę tów sztywno poł ą czonych w wę złach, są opisywane równaami azotropowego oś rodka Cosseratów z pewną wewnę trzną «wł ókstą» strukturą [1]. Modele cią głe poszczególnych siatek róż ą się mię dzy sobą tylko budową tensorów sztywnoś ci sprę ż ystej, wystę pują cych w zwią zkach konstytutywnych. Tym samym rozważ aa tej pracy dotyczą w pierwszym rzę dzie budowy potencjału sprę ż ystego rozpatrywanych siatek, z którego wyprowadzamy zwią zki konstytutywne oraz, przy wykorzystau podejś cia wariacyjnego, także równaa równowagi. Przyjmujemy, że wszystkie prę ty są pryzmatyczne, a każ de trzy prę ty schodzą ce się w jednym wę źe l mają wspólną pł aszczyznę symetrii sprę ż ystej. Zakładamy ponadto, że odkształ cea są mał e. Oba powyż sze założ ea prowadzą do rozdzielea zwią zków mię dzy stanem napię cia a odkształcea na ezależ ne równaa stanu «tarczowego» i «płytowego». W zwią zku z tym, w pierwszym punkcie pracy rozpatrujemy tarcze siatkowe, a w drugim płyty siatkowe przyjmują c, że siatka jest kształtowana na płaszczyź e. Siatki heksagonalne kształtowane na dowolnej powierzch omawiamy w trzecim punkcie pracy. Zakładamy jednocześ e, że są speł one wszystkie założ ea dotyczą ce stosowalnoś ci modelu cią głego siatki [3]. 1. Tarcze siatkowe Każ dą siatkę heksagonalną moż emy traktować jako złoż oną z wycinków w kształ cie litery Y (rys. 1), połą czonych ze sobą w punktach, które nazwijmy wę złami ograczają cymi (przekroje przy tych wę złach oznaczono na rys. 1 przez S A,A = I, II, ). Oprócz wę z- łów ograczają cych, siatka zawiera także po jednym wę źe l w obrę bie każ dego wycinka (wę zeł So na rys. 1); wę zły te nazwijmy wę złami poś redmi. Celem okreś lea, które wę zły są ograczają ce, a które poś rede wystarczy wyróż ć jeden «typowy» wycinek siatki,

2 278 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK co jest równoznaczne z podział em całej siatki na rozłą czne wycinki, powią zane wę zł ami ograczają cymi. Isteją dwa sposoby podziału rozważ anej siatki na wycinki (wę zły ograczają ce przy jednym podziale stają się wę złami poś redmi przy drugim i odwrote); w dalszym cią gu przyjmujemy jako dany jeden z ch. Płaszczyznę n, na której jest kształ towana siatka, parametryzujemy prostoką tnym ukł adem współ rzę dnych kartezjań skich x K n. Rozpatrują c najpierw tarcze siatkowe, płaszczyznę n traktujemy jako pł aszczyznę Rys. 1 obcią ż ea. Poeważ jest to z założ ea płaszczyzna symetrii sprę ż yste j tarczy, przeto w ramach teorii I rzę du moż emy przyją ć, że wszystkie wę zły siatki doznają przesuę ć i obrotów w płaszczyź e n [3]. Traktują c ukł ad jako regularny [3], wprowadzimy róż czkowalne funkcje u K = u K (x x, x 2 ), v = v(x*, x 2 ), które: 1) w punktach pł aszczyzny n odpowiadają cym wę zł om ograczają cym przyjmują wartoś ci kolejno równe przesuę ciom tych wę złów (w kierunku osi x K ) oraz ich ką tom obrotu, 2) w każ dym sześ cioką ci e odpowiadają cym jednemu «oczku» siatki moż emy z wystarczają cym przybliż eem traktować jako liowe. Wprowadzimy nastę pe róż czkowalne funkcje u K = u K (x l, x 2 ), v v(x x, x 2 ), które w analogiczny sposób opisują składowe wektora przesuę cia oraz obrót poś redch wę złów siatki. Funkcje u K i v wyrazimy przez funkcje u K i v oraz ich pochodne. W tym celu rozpatrzymy typowy wycinek siatki (rys. 1). Składowe wektora przesuę cia i obroty UK(SA)> V (SA) przekrojów S A przy wę złach ograczają cych wycinek moż emy przyją ć jako równe 2) (1-1) UASA) = przy czym tffc są składowymi wektorów jednostkowych t (/ t) oraz / (/ 1) są odległoś ciami wę zła ograczają cego od wę zła poś redego (rys. 2). Wartoś ci funkcji u K,v i ich pochodnych we wzorze (1.1) i dalej należy przyjmować w punkcie S o. Oznaczmy przez N w, Q( A ), K (A), kolejno sił ę podł uż ną, siłę poprzeczną oraz moment zginają cy, dział ają ce w przekroju 'I Wskaź ki K, L, Mprzebiegają cią g 1, 2 obowią zuje dla tych wskaź ków konwencja sumacyjna. 2) Wskaź k A przebiega cią g I, II i, pochodną czą stkową oznaczamy przecinkiem.

3 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YST E 279 przy wę źe lpoś redm So na ten wę zeł. Oznaczmy nastę pe przez E (A) A ia) i E (A) J (A) kolejno sztywność podł uż ną i sztywność zginaa prę ta S 0 ~S A. Z uwagi na regularność ukł adu wszystkie te wielkoś ci traktujemy jako róż czkowalne funkcje argumentów x 1, x 2 [3]. Rys. 2 Zakł adając jednorodność i liową sprę ż ystoś ć każ dego prę ta S 0 S A mamy (porównaj rys. 2) l2e ia) J( A) \v(s {A) + -K u K (S A )- u K ] l '(/ I) L '(/ I) J r * i ^ 2 '( / 1 )/ ( / 1 ) * ~ K u K (S A ) u K \ ~ K. KL K- ta) 1 \V\pA)~T* ~~ il (A) J ' '(/ I) = b L L (A) L 'C) J co po uwzglę deu (1.1) prowadzi do l (A)> t (A) t (A) y LK z t (A) H K l (A) 6 Ą A)J(A) ^ '(A) gdzie oznaczono oraz (1-4) zł u = <o v.

4 280 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK Warunki równowagi wę zła poś redego S o mają postać W której b%, h% są zewnę trznymi sił ami przył oż onymi do tego wę zł. apodstawiając do (1.5) prawe strony wyraż eń (1.2), otrzymamy ukł ad trzech równań dla trzech róż c (1.4) M \ _ / 51 HA HA) Wprowadzimy symetryczną macierz 3x3, podzieloną na cztery bloki oraz zdefiowaną zwią zkiem \DKL, D K - \ _ D 22 Di D 2 D (1.7) - 1 LA A Rozwią zae ukł adu równań (1.6) napiszemy teraz w postaci r AU A n rn K \ V KL \ > K \ [Av J ^ L D K ; D J 2J (1.8). A M YMNn wyraż ając tym samym Au K i Av przez skł adowe stanu odkształ cea (1.3) oraz przez obcią ż e e wę zł ów poś redch. L A

5 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YST E 281 Oznaczmy przez P (A), P (/ t), M (A) kolejno sił ę podł uż ną, sił ę poprzeczną, moment zginają cy dział ają ce w pł aszczyź e n(v) w przekroju poł owią cym pręt S 0 S A oraz zorientowanym dodatm zwrotem wektora t A. Mamy oczywiś cie P (/ 1) = N^A), P (yl) = Q^ A) oraz M (/ 1J = = K^ 0,5 Q(A)l(A), co zgode z (1.2) prowadzi do 3) P ia) = '(A) '(/ I) M la) = Podstawiając do (1.9) wyraż ea dla Au K i Av dane zwią zkami (1.8) oraz oznaczając r m ^SL A -, 2 * (/I )*(/!) ;3 U)[ HA) +L> S? - - j Ww '(/ I) L { \ W ' ~T- U / i ; l ( k Ay(A)\ ' 3 ) Gdy Au K = 0 i Av = 0,to wyraż ee dla / (^) e sprowadza się jednak do podanego w [3] [wzór (9.20)], gdyż w ejszej pracy wartoś ci skł adowych stanu przemieszczea i odkształ cea należy obliczać dla współ rzę dnych punktu skrajnego prę ta (5 0 ), a e w jego poł owie, jak w [3], 6 Mechaka teoretyczna

6 282 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK HA) ) L VS m 6 E J ~L,K j 2h (A) J ia) t (A) \ j % D L? -. l i J 'W L f- ( (A) E (A)J(A)t?Ą, (1.10) "(.AV(A) V 6Eld)J(d) ~L K t l(a) = 1 \ >N 2j *W m z otrzymamy (l.ii) Oznaczmy przez a' potencjał sprę ż yst y tarczy siatkowej. Przyjmują c, że tarcza siatkowa jest obcią ż on a tylko w wę zł ach, dla potencjał u sprę ż ysteg o otrzymamy wyraż ee cm, = JL V l M U)k P ^ V- E (A)J{ i P (A) l?a) _ _ F (A) l (A)

7 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YST E 283 w którym F jest polem sześ ciokąa t stanowią cego «oczko» siatki oraz w którym za P^ A), P(A)>M( A ), należy przyjąć wyraż ea (1.11). Po rozpisau prawej strony (1.12) zgode z (1.11) oraz po wprowadzeu nastę pują cyc h tensorów sztywnoś ci sprę ż yste j AKLMN * V 1 I 'W OKL omff i 'W BKL ymn, HA) (A) A=t ^ ( - A) ' lz^a)- >(,A) Ł (A) A (A) m A^t WW> U^A)J(A) h W A Wi I oraz poż szych wielkoś ci charakteryzują cych obcią ż e a wę zł ów poś redch in KŁ _ \ ^ / 'W PlŁ l/* i ha) nkl p* i '(/ I) * A~i \ Ł W J (.^'> (1.14) P f- j. \ (A K * (4) nk p* i '( i _ f^ h) ^) k^ * \l \ ZŁ >\A) otrzymamy dla potencjał u sprę ż ysteg o wyraż ee (1.15) a 1 = i ^f LMW y KL r M - v+ ' KLJ VL «M + -j Jeż el i wę zły poś rede e są obcią ż one, wtedy Gdy skł adowe stanu napię cia p KL, m K okreś limy zwią zkami (1.16) pu pl, m»= ^- s czyli to warunki równowagi przyjmą postać (por. [3], czę ść I) ( U 8 ) w której b L m oraz /i są funkcjami charakteryzują cymi obcią ż e e wę zł ów ograczają cych. 6*

8 284 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK Okreś limy teraz zwią zki zachodzą ce mię dzy wprowadzonymi składowymi stanu napię cia p KL, m K a wielkoś ciami P w, P {A), M (Ay Zgode z.deficjami (1.16), oraz zwią zkiem (1.12), po oznaczeu (1.19) mamy '2 (. // (1.20) r i \ i 4-4L, \ \ 2E, A sl A=l *- 2Ł (A)J(A) Należy zauważ yć, że dla rozpatrywanych tu siatek składowe p KL zależą także od M (A), a składowe m K od P (A) oraz l\ Ay Jeż el i obcią ż e a b% i h* przyłoż one do wę złów poś redch są takie, że Au K = 0 i Av = 0, wtedy z (1.20), (1.9) i (1.11) wyka, że pkł/ 2 _ / K *L (A)HA fk O0 ) (A) HVW> - n u, f K yk \A) E (A) A ia) co sprowadza wzory (1.20) do postaci podobnej jak w [3] [por. wzory (9.21) w cytowanej ksią ż e c oraz ostat odsył acz]. V Rys. 3 Równaa równowagi (1.18), zwią zki geometryczne (1.9) oraz zwią zki mię dzy składowymi stanu napię cia i odkształcea (1.17) tworzą podstawowy układ równań heksagonalnych tarcz siatkowych. Skł adowe tensorów sztywnoś ci sprę ż yste j wyznaczamy na podstawie wzorów (1.13), (1.10) i (1.7). Układ równań dla rozpatrywanych siatek róż się formale od układów równań wyprowadzonych oraz omówionych w [3], tylko budową zwią zków (1.17). Natomiast warunki brzegowe dla siatek heksagonalnych przyjmujemy w takiej samej postaci, jak dla siatek rozważ anych w [3], w zwią zku z czym e bę dziemy ich tu omawiać.

9 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YSTE 285 Załóż my teraz, że «oczka» siatki są sześ cioką tami foremnymi, oraz że sztywnoś ci wszystkich prę tów są takie same. Wtedy l W - /, E W A W = EA, E ia) J {A) = EJ, F = 1,5]/ I/ 2. Oznaczają c 0"(a) = cosa(3sin 2 a cos 2 or),$'(cc) = sin a (3 cos 2 a sin 2 a), &(a) = = [$'(a)] 2 + [0"(a)] 2, A' s I 1 Ar 1, po przeprowadzeu rachunku zgode z wzorami (1.12), (1.10) i (1.7) otrzymamy (1.21) ^ " ^ - 12 = ALKLL = ALLKL ^ ALLLK ^ Q> L ^ K\ = _^211 = _, 2)/ 3m I {lz- f~a) Pokazany na rys. 3 ką t a moż na przyją ć jako równy zero. Powyż sze zależ nośi csą prawdziwe tylko w prostoką tnym układzie współ rzę dnych kartezjań skich. 2. Pł yty siatkowe Zgode z przyję tymi zał oż eami, w płytach siatkowych stan przemieszczea wę złów ograczają cych opisywać bę dziemy róż czkowalnymi funkcjami u u(x l,x 2 ), v K = = Vici* 1, x 2 ), które: 1) w punktach płaszczyznyte odpowiadają cym wę złom ograczają cym są kolejno równe przesuę ciom tych wę złów (w kierunku normalnym do n) oraz składowym wektora mał ego obrotu (w płaszczyznach normalnych do n); 2) w każ dym sześ cioką cieodpowiadają cemu jednemu «oczku» siatki moż emy traktować jako liowe. Dla dowolnego typowego wycinka siatki (rys. 3) mamy teraz u(s A ) = t = v K + t{ A) l {A) v KiL,

10 286 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK gdzie wartoś ci funkcji u, v K oraz ich pochodnych należy przyjmować w punkcie S o. Przesuę cia i składowe wektora małego obrotu poś redego wę zła S o tego wycinka oznaczymy przez u, v K (rys. 1). Oznaczymy nastę pe przez K (A), K ia), Q (A) kolejno moment skrę cają cy, moment zginają cy i siłę poprzeczną w przekroju przy wę źe lpoś redm S o, działają ce na ten wę zeł w przekroju przywę złowym S A. Oznaczają c dalej przez C (A), E^ A) Ą A) kolejno sztywność skrę caa i zginaa prę ta S 0 S A, przy analogicznych założ each, jak w poprzedm punkcie pracy, otrzymamy j K (A) = ~ (A) L '(/ I) = ]2 t(a) l9 1 1 '(/ I) L '(A) Oznaczmy (2.2) Av K = v & Vz, AU = U U, oraz wprowadź my skł adowe stanu odkształ cea pł yty siatkowej [3] (2.3) ^ - ^ Zgode z (2.1) otrzymamy wtedy - ^Łli tf A) Av K,?A)Av x. Oznaczają c przez &*, h% obcią ż e e wę zła poś redego S o siłą (normalną do płaszczyzny ń )oraz momentem (którego wektor jest styczny do n), warunki równowagi tego wę zła napiszemy w postaci m $ = 0.

11 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YST E 287 Podstawiając do (2.5) prawe strony wyraż eń (2.4), otrzymamy ukł ad trzech równań dla trzech wielkoś ci Av K, Au (2.6) IU = _ y^k A= l - i m in in 4= 1 '(.A) ^ A= \ '(/ i) A= l I (A} Wprowadzimy symetryczną macierz 3x3, utworzoną z bloków o wyrazach \H KL, HA [H K, H \ = hi H 12 ^21 #22 H, H oraz zdefiowaną wzorem (2.7) " * T 1 [H K, A ' A Rozwią zae ukł adu równań (2.6) moż emy wtedy napisać w postaci U 2- t I (A) t Oznaczmy teraz przez Af (/1), M (/ 1), P (/, } kolejno moment skrę cają cy, moment zginają cy i sił ę poprzeczną (dział ają e c w pł aszczyznach normalnych do ri) w przekroju poł owią cym

12 288 P- KLEMM, CZ. WOŹ NIAK pręt S 0 S A oraz zorientowanym dodatm zwrotem wektora t (A). Mamy tutaj M (A) = K (A), M (A) = K (A) +0,5l (A) Q (A), P {A) = Q (A) co zgode z (2.4) prowadzi do 4 > M (Aj = C CA) tf A) t{ A) x LK - ~J (2.9) v 12E (A) Ą A)K "(.A) Ji 'A l A) W 7 i - '(A) '(.A) '(A) Podstawiając do (2.9) wyraż ea dla Au i Av K okreś lone zwią zkami (2.8) oraz oznaczając, skl^c tk (L ( c JALtS L ia)ia){a) l(a) ia) V S " (' ~1 TTT m i J - I - j h%ha) \' (A) - i HA) EL(Ayf(A) v s TT V tk j t (A )\HSN / t ui E ia) J (A) f = f, U I HA) *' Gdy Au QIAVK = 0, to wyraż ea dla M( A ) i M(/ i) sprowadzają się do podanych w [3], natomiast w wyraż eu dla P( A ) pozostaje skł adk zależ ny od KJ,K. Powód wystę powaa takiego skł adka wyjaś ono w poprzedm odsył aczu. I

13 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YSTE 289 ;. ~ \2E {A) J ia) K \ 6E {A) J (A) ~ S ł \ I l nkl 1 "«y j^f HA) ) L j^f ~ r T [A) J (.A) fs \ JJ (A) L ^ ^(A)l{A i A=\ otrzymamy '(.A) '(.A) (2.11) M (A) = Korzystają c ze wzorów (2.11) moż emy wyznaczyć potencjał sprę ż yst y o" pł yty siatkowej. Przyjmują c, że obcią ż e a zewnę trzne pł yty są zaczepione tylko w wę zł ach, otrzymamy ' 5 '(y (2.12) " ~T2( I 1 \ ~i / P I M I A M 1 \ ~ F ZJ \ 2AE ta J IA, 2E, A J (A, 2C ( Ą / ' przy czym za P {A), M (A) i M (^) należy tu podstawić wyraż ea (2.11). Po wprowadzeu nastę pują cych tensorów sztywnoś ci sprę ż yste j v HI v V - 13) A = y I - ~ 1 - ~ ; h, v v 1 \ H / pkl pm J3 nkl nm T _ \ j ff

14 290 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK oraz wielkoś ci charakteryzują cych obcią ż e e wę złów poś redch in {Z. IT-J /?)(* = = = "TT >/ I' 5* (^) T" ~~ 3 J U (/ I) "1 ^T iki (/ I) I s // x1 v «I / **.. v /... 7, J. \ i I \.A) f ń* N2 i ( ") (A/ f* ^2 _i_ C- ^J (A/ f* \^ I A / ^ y 10^. C 7" P 7" O/ / ł^ dla potencjał u sprę ż ystego pł yty siatkowej otrzymamy wyraż ee (2.15) ff" = C KLMN x KL x MN + "B KLM x KL y M +A Jeż el i wprowadzimy składowe stanu napię cia zdefiowane zwią zkami dxja,' ~ 8y K ' to muszą one spełać nastę pują ce warunki równowagi (p r. [3], czę ść I), w których h L i i są funkcjami charakteryzują cymi obcią ż e a wę złów ograczają cych (2.17) Zgode z (2.15) mamy jednocześ e Równaa równowagi (2.17), zwią zki (2.18) mię dzy skł adowymi stanu napię cia i odkształcea oraz zwią zki geometryczne (2.3) tworzą podstawowy układ równań teorii heksagonalnych pł yt siatkowych (rozpatrywanych oczywiś cie przy stosowau cią gł ego modelu tych pł yt). Powyż szy ukł ad równań róż się od ukł adu równań pł yt siatkowych omawianych w [3] tylko inną budową tensorów sztywnoś ci c KLMN, A KL oraz wystę powaem wielkoś ci "B KtM i m^. L, p*. Warunki brzegowe mają natomiast taką samą postać jak w [3], w zwią zku z czym e bę dziemy ich tutaj omawiać. Dla płyt siatkowych, omówionych w [3], mię dzy skł adowymi stanu napię cia, a wielkościami M (A)> M {A), P (/ i), zachodzą zwią zki m KL = P K = Okreś limy teraz odpowiedki tych zwią zków dla płyt siatkowych heksagonalnych. Wykają one z deficji (2.16) oraz wyraż ea (2.12) dla potencjału sprę ż ystego. Przeprowa- l(a)

15 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YST E 291 dzając róż czkowae potencjał u (2.12) podł ug a^ i y K oraz korzystając z (2.11), otrzymamy m ~ (2.19) przy czym wykorzystano tu oznaczee (1.19). Są to zwią zki mię dzy skł adowymi stanu napię cia, formale zdefiowanymi przez (2.16), a momentami M^ A), M (A) oraz sił ami P^ w przekrojach poł owią cych prę ty siatki. Dla Au = 0 i Av K 0, zwią zki (2.19) stają się podobne do odpowiedch zwią zków dla pł yt siatkowych omówionych w [3], które powyż ej przytoczyliś my. Na zakoń cze e tego punktu rozpatrzymy jeszcze waż ny w zastosowaach przypadek szczególny, w którym «oczka» siatki są foremnymi sześ cioką tami, a sztywnoś ci wszystkich prę tów schodzą cych się w każ dym wę źe lsą takie same. Wtedy F l,5}/ 3/ 3, a po wprowadzeu ką ta a, jak na rys. 3, oraz oznaczeu ~ C C = C (A), EJ = E ia) J w, I = l (A), X = = j } (2.20) 0'( a ) = sin«(3cos 2 a sin 2 a), 0"(a) ES cosa(3sin 2 a cos 2 a), i po przeprowadzeu rachunków zgode z wzorami (2.13), (2.10) i (2.7), otrzymamy 2]/ 3EJ 0\a) P 4+V i 222 "^112 '' 121 "^211 _ 2\/ 3EJ 0 («) _

16 292 P. KLEMM, CZ. WOŹ NIAK Rozpatrywana siatka ma trójką tną oś symetrii, bowiem <Z>», n = 0, ± 1, ± 2,... Jeż el i siatka jest jednorodna, wtedy najdogodej przyjąć ukł ad współ rzę dnych w ten sposób, aby a = Powł oki siatkowe G dy promiee krzywizny powierzch, na której kształ tujemy siatkę są wielokrote wię ksze od dł ugoś i cposzczególnych prę tów siatki, wtedy każ dy wycinek siatki (wyodrę bony przekrojami $ v S n, S lu mają cy kształ t litery Y) (por. rys. 1) moż emy w przybliż eu traktować tak, jak gdyby leż ał on na pł aszczyź e stycznej do powierzch w punkcie. Jeż el i pł aszczyznę tę moż na ponadto uznać za pł aszczyznę symetrii sprę ż yste j wycinka,, wtedy postać zwią zków (1.17) oraz (2.18) e ulega zmiae. Postę pując podobe, jak w [3], otrzymamy ukł ad równań zł oż ony z równań geometrycznych (kreska oznacza pochodną kowariantną, b KL i e KL są skł adowymi kowariantnymi drugiego tensora metrycznego powierzch oraz dwuwektora Ricciego, w dowolnym ukł adzie współ rzę dnych na powierzch) VK = u\ równań równowagi = 0, oraz zwią zków mię dzy. skł adowymi stanu napię cia i odkształ cea pkl = ( ' Tensory sztywnoś ci sprę ż yste j wystę pująe c w (3.3) wyznaczamy na podstawie wzorów (1.13), (1.10), (1.7) oraz (2.13), (2.10), (2.7). Przy wyznaczau wielkoś ci pl L, ml, m\ h i p\ korzystamy z (1.14) i (2.14). Zagadea brzegowe dla powł ok siatkowych heksagonalnych, a także dla takich tarcz i pł yt formuł ujemy podobe jak dla powł ok siatkowych omówionych w [3], w zwią zku z czym e bę dziemy ich tu omawiać. Zauważ my takż e, że dla modelu cią gł ego siatek heksagonalnych moż na napisać dwa równoważ ne ukł ady równań w zależ nośi cod tego, które wę zły przyjmiemy jako poś rede, a które jako ograczają ce (wektory t (/ 1), t (A) róż ą się wtedy znakiem). Zagadee to, a także przykł ady zastosowaa wyprowadzonych równań są tematem oddzielnego opracowaa.

17 GĘ STE HEKSAGONALNE SIATKI SPRĘ Ż YSTE 293 Literatura cytowana w tekś cie 1. Cz. WOŹ NIAK, Theory of fibrous media II, Arch. Mech. Stos., 6, 17 (1965), Cz. WOŹ NIAK, On the equations of lattice- typestructures, Arch. Mech. Stos., 6, 19 (1967). 3. Cz. WOŹ NIAK, Siatkowe dź wigarypowierzchowe. Podstawy teorii i przykł ady obliczeń,pwn, Warszawa P e 3 io M e IIJIOTHŁIE rekcarohaubhbie YnpyrH E PEETKH B pa6ote BbraefleHbi ypabneroifi crujomnoit MOflejiH peryjinpi- ilix njiothbix rekcarohajibhbix ynpy-. rnx peruetok (puc. 2). IIpeflrrojiaraeTCJij IJTO Bce y3jiłi peiuei- KH HBJWWTCH >i<ectkhmh 3 a CTepsiam JIH- HeHHO ynpyrhmh H OflHOpOAHblMH, H MTO Ka>KflbIX TpH CTep>KHH CXOAHIHHXC5I B OflHOM y3jie M0>KH0 pacciwaipubatł KSLK o6jia#aiomne osmeti IIJIOCKOCTBIO ynpyroh CHMMCTPHH. TaK i<ar< cnnoiaie MOflena pa3hhqhbix ynpyr- HX peetok c >KCCTKHMH ysjiaiwn (oruicbibaembie c nomomtio ypabhehhii ahh30tponhoił cpeflw Koccepa c oco6oii «BOJIOKHHCTOH» ctpyktypoii [3]) owihâiotcn npyr OT flpyra JIHUIB BH,D;OM TeH3opoB ynpyroii >KecTKOcTH 3 B nactoamett pa6ote o6cy)kflaiotca npe>kfle Bcero coothoinehh CBJI- 3biBaioiu;He i- coiwnohehtbi Hanpn>KeHHoro COCTOHHHH H seijjopmanhh. lipa nphhhtbix ara coothomehhfl: pa3,nejthiotch Ha He3aBHcnMtie ypabiiehira pjin «flhck0b0h» H «njiht0boh» B nocrieflheh âcth pa6otw npeflctabjiehbi ypabhehhh fljih rekcarohanbhwx peetok $opmhpobanhwx Ha HeKOTOpoń nobepxhocth. JJJIJT nnockhx peuietok paccmoipeh lakwe BawHbift iiacrhwił cjiyâił, Korfla see HêiiKH peuietkh HBJIHIOTCSI npabeuihhbimh mecthrpahhhkaiwhj a >KecTK0CTH Bcex erepw- Heft OflHHaKOBbI. Summary DENSE ELASTIC LATTICES OF HEXAGONAL TYPE The equations of the continuous model are derived in the paper for the case of regular dense lattices of the hexagonal type (Fig. 1). It is assumed that all the nodes of the lattice are rigid, all the bars are linearly, elastic and homogeneous, and that each three bars joined together in the same node can be treated as elements possessing a comon plane of elastic symmetry. Since continuous models for various elastic lattices with rigid nodes (described by the equations of the asotropic Cosserat medium with fibrous structure [3]) differ only in the form of elastic rigidity tensors, considerations presented in the paper contain, first of all, the relations between the corresponding components of stress and strain. Under the introduced assumptions, the above relations can be separated into independent «disc» and «plate» problems. The last section is devoted entirely to the equations for hexagonal lattices formed on a surface. For plane lattices, the important case of lattices built of regular hexagons with the same rigidities of the bars is discussed in detail. POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT MECHANIKI UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO Praca została złoż onaw Redakcji da S stycza 1970 r.