Politechnika Warszawska Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii

Transkrypt

1 Politechnika Warszawska Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii mgr inż. KRZYSZTOF J. WOŁOSZ Teoretyczne i eksperymentalne badania okresowo zmiennego pola prędkości przy przepływie cieczy przez ruchomy pęk rur. ROZPRAWA DOKTORSKA Promotor: prof. dr hab. inż. KRZYSZTOF URBANIEC PŁOCK 2007

2 Dziękuję: Panu prof. dr hab. inż. Krzysztofowi Urbańcowi za cenne uwagi i sugestie; Panom dr inż. Witoldowi Sucheckiemu, dr inż. Sławomirowi Alabrudzińskiemu za pomoc w realizacji badań laboratoryjnych. 2

3 Spis treści 1. Geneza pracy Zadania i cel pracy CEL I ZAKRES PRACY HIPOTEZA BADAWCZA Stan wiedzy PRZEPŁYW WOKÓŁ POJEDYNCZEGO WALCA PRZEPŁYW PRZEZ PĘK RUR METODY EKSPERYMENTALNE PRZYDATNE DO BADAŃ PRZEPŁYWU PRZEZ PĘK RUR Model matematyczny Model numeryczny WPROWADZENIE ZASTOSOWANE NARZĘDZIE OBLICZENIOWE REALIZACJA METODY OBJĘTOŚCI SKOŃCZONEJ PRZY UŻYCIU PROGRAMU FLUENT WARUNKI BRZEGOWE Studium parametryczne CEL I ZAKRES STUDIUM PARAMETRYCZNEGO KONCEPCJA STUDIUM PODEJŚCIE EULERA PODEJŚCIE LAGRANGE A SYMULACJE NUMERYCZNE PRZEPŁYWU ZMIENNEGO W CZASIE ORGANIZACJA OBLICZEŃ I STRUKTURA WYNIKÓW WYNIKI STUDIUM POLA PRĘDKOŚCI OPÓR HYDRAULICZNY Doświadczenie OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO PRZEBIEG POMIARÓW DOŚWIADCZALNYCH I AKWIZYCJA OBRAZÓW CYFROWA ANEMOMETRIA OBRAZOWA WPROWADZENIE METODA KORELACYJNA WIZUALIZACJA TORÓW CZĄSTEK ZNACZNIKOWYCH DYSKUSJA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH LOKALNA ANALIZA STATYSTYCZNA GLOBALNA ANALIZA STATYSTYCZNA Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi doświadczalnymi METODYKA PORÓWNANIA PORÓWNANIE JAKOŚCIOWE PORÓWNANIE ILOŚCIOWE PODEJŚCIE EULERA PODEJŚCIE LAGRANGE A 79 3

4 9. Podsumowanie i wnioski Wykaz literatury Spis rysunków i tabel Załącznik A: Wykresy porównawcze wyników symulacji numerycznych i eksperymentów laboratoryjnych... II Załącznik B: Opis skryptów opracowanych w środowisku Matlab realizujących zadania przedstawione w pracy...xiii Załącznik C: Metody wyznaczania oporów przepływu przez pęk rur zamieszczone w literaturze tematu... XVIII Załącznik D: Nośnik CD zawierający skrypty opracowane w ramach pracy... XIX 4

5 Ważniejsze oznaczenia i jednostki stosowane w pracy A - powierzchnia przekroju przestrzeni międzyrurowej [m 2 ], a współczynnik środka komórki w metodzie objętości skończonej, B podziałka względna [-], C macierz korelacji [-], c d współczynnik oporu ciśnienia [-], c f współczynnik oporu tarcia [-], c h współczynnik oporu hydraulicznego [-], d średnica zewnętrzna rury [m], d h średnica hydrauliczna [m], F = [F i ] jednostkowa siła masowa [m s -2 ], I macierz okna przeszukiwań w cyfrowej anemometrii obrazowej [-], i liczba rzędów rur w pęku [-], i, j wektory jednostkowe (wersory) [-], k podziałka obrazu [m pix -1 ], m& - strumień masy [kg s -1 ], M & - strumień masy na jednostkę objętości [kg m -3 s -1 ], n jednostkowy wektor normalny do powierzchni [-], Q strumień objętości [m 3 s -1 ], p ciśnienie [Pa], P d siła oporu ciśnienia na jednostkę długości [N m -1 ], P f siła oporu tarcia na jednostkę długości [N m -1 ], R residuum [-], Re liczba Reynoldsa [-], s podziałka [m], S powierzchnia [m 2 ], t czas [s], t odstęp czasu, krok czasowy [s], T = [τ ij ] tensor naprężeń [Pa], T w wektor naprężeń stycznych na powierzchni [Pa], V objętość [m 3 ], v prędkość [m s -1 ], x przemieszczenie [pix], σ - odchylenie standardowe, 5

6 ϕ - kąt [rad], µ - lepkość dynamiczna [Pa s], ν - lepkość kinematyczna [m 2 s -1 ], ρ gęstość [kg m -3 ], τ - naprężenia styczne [Pa], indeksy: k indeks komórki w metodzie objętości skończonej, l indeks boku komórki w metodzie objętości skończonej, indeks przepływu niezakłóconego, i, j, m, n indeks elementów macierzy, 6

7 1. GENEZA PRACY W praktyce inżynierskiej układ równolegle ułożonych rur jest stosowany w przeponowych urządzeniach do wymiany ciepła. Jeden z czynników płynąc wewnątrz rurek przekazuje ciepło bądź je odbiera od czynnika opływającego rury z zewnątrz. Cały układ zwany pękiem rur musi stawiać możliwie najmniejszy opór hydrauliczny dla przepływu czynnika między rurami. W najczęściej spotykanych rozwiązaniach rurowych wymienników ciepła występuje przepływ cieczy przez nieruchomy pęk rur. W przemyśle chemicznym i spożywczym stosowane są również urządzenia, w których pęk rur porusza się w cieczy wypełniającej zbiornik. Jest to specyficzny rodzaj przeponowego wymiennika ciepła będącego również mieszadłem, który znalazł szczególne zastosowanie w krystalizatorach. Metody wydzielania kryształów z roztworu można podzielić na dwie zasadnicze grupy [1]. Pierwsza grupa metod opiera się na wywołaniu przesycenia przez chłodzenie roztworu lub odparowanie rozpuszczalnika. Druga grupa obejmuje chemiczne metody wywołania przesycenia roztworu. Krystalizacja przez chłodzenie jest wykorzystywana w warunkach niskiej rozpuszczalności kryształów w końcowej temperaturze procesu oraz gdy rozpuszczalność ta silnie rośnie z temperaturą. Ta metoda krystalizacji wymaga stosowania przeponowych lub bezprzeponowych wymienników umożliwiających odprowadzenie ciepła z roztworu. W Zakładzie Aparatury Przemysłowej Wydziału Budownictwa Mechaniki i Petrochemii Politechniki Warszawskiej zostały przeprowadzone badania nad procesem produkcji cukru z wykorzystaniem metody krystalizacji poprzez chłodzenie. Opis zbioru urządzeń do realizacji tego procesu można znaleźć w pracy [2]. Jednym z jego elementów jest krystalizator chłodzony, w którym rolę wymiennika ciepła i równocześnie mieszadła stanowi ruchomy pęk rur. Krystalizatory o podobnej konstrukcji służą także do uzyskania innych produktów w przemyśle spożywczym i chemicznym, np. chlorku wapnia, fruktozy, laktozy i innych węglowodanów. Inspiracja dla podjęcia badań przedstawionych w niniejszej rozprawie wynikła z trudności projektowania krystalizatorów z ruchomym pękiem rur. W dotychczasowym stanie wiedzy nie były dostępne zależności teoretyczne ani wyniki badań doświadczalnych, na podstawie których projektant mógłby optymalnie kształtować pęk 7

8 rur i dobierać parametry mechanizmu, zapewniającego prawidłowy ruch pęku w lepkiej cieczy. Wskazywało to na potrzebę badań obejmujących przede wszystkim: numeryczne modelowanie przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur w celu wyznaczenia pola prędkości, doświadczalne wyznaczanie pola prędkości, wyznaczanie oporów przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur. 8

9 2. ZADANIA I CEL PRACY 2.1 CEL I ZAKRES PRACY Celem pracy jest opracowanie modelu numerycznego, przeprowadzenie symulacji z użyciem tego modelu oraz porównanie wyników symulacji z wynikami badań doświadczalnych. Pozwoli to wyznaczyć lokalne i globalne parametry poprzecznego przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur. Dodatkowym celem jest opracowanie metody pozwalającej określić opór stawiany ruchomemu pękowi rur przez ciecz. Praca dotyczy problematyki powolnego ruchu rurowego wymiennika ciepła wzdłuż osi krystalizatora chłodzonego, który jest wypełniony cieczą o dużej lepkości. W przemysłowych rozwiązaniach konstrukcyjnych do napędu wymiennika ciepła stosuje się siłowniki hydrauliczne zapewniające ruch okresowo zmienny, przy czym prędkość ruchu pomiędzy zmianami kierunku (nawrotami) jest stała. Duży skok wymiennika wynoszący 1 m oraz jego powolny ruch pozwala potraktować okresowo zmienny ruch pęku rur jako oddzielne ruchy w górę i w dół, zaś przepływ nieustalony zachodzący podczas zmiany kierunku ruchu można pominąć. Rozpatruje się wyłącznie przepływy laminarne cieczy przy małych wartościach liczby Reynoldsa, nie jest badany przepływ wzdłuż osi rur, a wpływ wymiany ciepła na przepływ jest pominięty. Wykorzystuje się możliwość opisania lub modelowania przepływu przez ruchomy pęk rur przy użyciu: podejścia Eulera, gdy pęk rur jest traktowany jako nieruchomy, w kontakcie z cieczą wpływającą w obszar pęku rur, podejścia Lagrange a, gdy pęk rur jest z założenia ruchomy i wywołuje przepływ cieczy. Zakres pracy obejmuje: wykonanie pomiarów pól prędkości na stanowisku doświadczalnym z wykorzystaniem metody cyfrowej anemometrii obrazowej dla ruchu pęku w górę i w dół, opracowanie numerycznych modeli obliczeniowych w celu wyznaczenia wektorowego pola prędkości, 9

10 przeprowadzenie obliczeń numerycznych dla prędkości pęku rur odpowiadającym prędkościom występującym w doświadczeniu, opracowanie programów pozwalających szczegółowo porównać wyniki symulacji i doświadczeń, wykonanie parametrycznego studium porównawczego pól prędkości wyznaczonych numerycznie i doświadczalnie, jakościowe porównanie numerycznie uzyskanych linii prądu z doświadczalnymi torami cząstek znacznikowych, opracowanie metody wyznaczania oporu przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur na podstawie zweryfikowanych doświadczalnie modeli numerycznych, weryfikację hipotezy badawczej w oparciu w wyniki parametrycznego studium porównawczego, opracowanie wniosków końcowych. 2.2 HIPOTEZA BADAWCZA Z przeprowadzonej analizy stanu wiedzy wynika, iż badania nad przepływem poprzecznym przez ruchomy pęk rur nie były prowadzone. Z praktycznego punktu widzenia, efektywne symulacje numeryczne pozwolą badać wpływ zmian konstrukcyjnych na przepływ cieczy w aparatach z ruchomymi wymiennikami ciepła. W celu ukierunkowania badań na zagadnienia konstrukcyjne przyjęto następującą hipotezę badawczą: 1. Możliwe są efektywne symulacje okresowo zmiennego pola prędkości przy przepływie cieczy przez ruchomy pęk rur przy użyciu doświadczalnie zweryfikowanych modeli numerycznych. 2. Możliwe jest modelowanie ruchomego pęku rur jako obiektu nieruchomego znajdującego się w przepływającej cieczy. 10

11 3. STAN WIEDZY Rozpatrywana problematyka dotyczy laminarnego przepływu cieczy przez układ równolegle ułożonych walców, który w praktyce inżynierskiej traktowany jest jako jeden obiekt pęk rur. Przepływ cieczy lepkiej opisywany jest podstawowymi równaniami przepływu opisanymi szerzej w rozdziale 4. Wpływ na taki przepływ mają prędkość strumienia niezakłóconego v oraz własności fizykochemiczne cieczy: lepkość (kinematyczna ν bądź dynamiczna µ) i gęstość ρ. Dodatkową wielkością pozwalającą określić rodzaj wymuszonego przepływu jest bezwymiarowa liczba Reynoldsa wyrażająca stosunek sił bezwładności do sił lepkości działających na ciecz. 3.1 PRZEPŁYW WOKÓŁ POJEDYNCZEGO WALCA W przypadku opływu pojedynczego walca liczba Reynoldsa Re odniesiona jest do średnicy zewnętrznej tego walca d: v d ρ Re = (3.1) µ gdzie: v - prędkość strumienia niezakłóconego, µ - lepkość dynamiczna, ρ - gęstość. Rozwiązanie podstawowych równań przepływu w celu wyznaczenia siły oporu hydrodynamicznego P h działającej na walec opracowano w 1911 roku [3]: 4π µ v γ ln( P = h 1 Re 2 4 gdzie: γ stała Eulera γ 0, ) (3.2) Warunkiem stosowalności rozwiązania jest niezakłócony przepływ przy wartości liczby Reynoldsa znacznie poniżej 0,1. Dalsze badania zostały przeprowadzone w latach tych. Przybliżone rozwiązanie równań przepływu uwzględnia stopień zakłócenia przepływu k w kanale, w którym znajduje się opływany walec (k jest stosunkiem szerokości kanału do średnicy walca): 2 ( 4k 8) π µ v 2 1,9362 3,7520k + 2ln P h = ( k) (3.3) Równanie to może być stosowane w przypadku gdy 0 < k 0, 4. W latach 1940-tych rozwiązanie zostało rozszerzone do wartości k = 0,5. Ben Richou i in. [4] przeprowadzili symulację numeryczną laminarnego opływu pojedynczego cylindra znajdującego się w kanale w zakresie liczby Reynoldsa od 0,0002 do 2 i porównali 11

12 wyniki z rozwiązaniami analitycznymi. Przy wartości k = 0,5, tj. usytuowaniu ściany kanału w odległości równej średnicy walca od jego osi, względna różnica wyników dla przepływu przy Re = 0,0002 wyniosła ponad 47%. Przy wyższych wartościach k oraz Re różnica ta wzrastała. Zauważono znaczny wpływ wartości liczby Reynoldsa na wartość oporów hydraulicznych przy k<0,5. Pole prędkości w tym opracowaniu nie było wyznaczane. Khan i in. [5] opracowali analityczne ujęcie prędkości i oporów przepływu przy opływie pojedynczego walca, ograniczając się do opisu pola prędkości cieczy w warstwie przyściennej poprzez aproksymację wielomianem czwartego stopnia. Mimo analitycznego ujęcia, nie uniknięto rozwiązywania pewnych zależności metodami numerycznymi. Wyniki obliczeń oporów przepływu porównano z wartościami eksperymentalnymi zamieszczonymi w pracach opublikowanych między innymi przez Žukauskasa i Žiugžde [6,47], ograniczając się do zakresu wartości liczby Reynoldsa od 1 do (wyniki uzyskane przy mniejszych Re nie były porównywane). Lange i in. [6] przeprowadzili symulacje numeryczne opływu pojedynczego walca w kanale i na tej podstawie określili wpływ szerokości kanału oraz wartości liczby Reynoldsa na opór hydrauliczny działający na walec. Dla liczby Reynoldsa 0,1 i przy stopniu zakłócenia k = 0,001 wykazano różnice między wynikami symulacji a wynikami obliczeń analitycznych. Przy wzroście wartości k różnice te rosną w postępie wykładniczym. Zmniejszenie szerokości kanału i zmniejszenie Re powodują wzrost rozbieżności między wynikami symulacji i wynikami analitycznymi. Przy liczbach Reynoldsa wyższych niż 1 analityczne rozwiązania równań opisujących niezakłócony opływ cylindra są rozbieżne. Jest to związane ze zjawiskiem oderwania warstwy przyściennej [40,42], powodowanym przez siły lepkości. Rys. 3.1 przedstawia linie prądu przy opływie pojedynczego walca płynem lepkim, na którym widoczne jest zjawisko oderwania warstwy przyściennej oraz tworzenie się ścieżki wirowej przy wyższych liczbach Reynoldsa. 12

13 Rys Opływ walca płynem lepkim przy różnych wartości liczby Reynoldsa [6]. 3.2 PRZEPŁYW PRZEZ PĘK RUR Rozwiązanie podstawowych równań przepływu wokół pojedynczego walca nie może zostać przeniesione na przepływ przez pęk rur. Warunkiem stosowalności analitycznych rozwiązań zaproponowanych przez Lamba, Harrisona i Faxèna, a szczegółowo badanych w pracach [3,4,5], jest istnienie niezakłóconego przepływu lub przepływu w prostym kanale. Wprowadzenie do pola przepływu obiektu innego niż rozważany walec powoduje niemożność rozwiązania równań przepływu. W niniejszej pracy rozważany jest przepływ poprzeczny, w którym kierunek strumienia niezakłóconego cieczy jest prostopadły do osi rur w pęku. W zastosowaniach inżynierskich i naukowych ten przypadek przepływu opisywany jest w ujęciu dwuwymiarowym, tj. w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, na której leży wektor prędkości cieczy wpływającej do pęku rur. Poprzeczny przepływ cieczy przez pęk ruch jest uwarunkowany cechami geometrycznymi samego pęku. Do opisu geometrii pęku rur według rys. 3.2 stosuje się następujące parametry [7-10]: średnica zewnętrzna rury d, podziałka wzdłużna s 2, 13

14 podziałka poprzeczna s 1, liczba rzędów rur i. a) b) Rys Schemat geometryczny pęku rur: a) układ przestawiony (szachownicowy), b) układ szeregowy. Pochodnym parametrem geometrycznym jest podziałka względna, czyli stosunek podziałki wzdłużnej bądź poprzecznej do średnicy zewnętrznej rury: s B = (3.4) d Podziałka względna charakteryzuje przestrzeń dostępną dla przepływu cieczy przez pęk i wpływa na opory przepływu oraz formę przepływu w obszarach za rurami. W przeciwieństwie do opływu pojedynczego walca, dla przepływu przez pęk rur liczbę Reynoldsa można odnieść nie do średnicy pojedynczej rury, ale do charakterystycznego wymiaru obszaru zajmowanego przez ciecz w przestrzeni międzyrurowej. Wymiarem tym jest średnica hydrauliczna przekroju przestrzeni międzyrurowej (rys. 3.2): d h A = 4 (3.5) π d Przyjmując średnicę hydrauliczną jako charakterystyczny wymiar, liczbę Reynoldsa wyznacza się z zależności: dh ρ dh = v Re (3.6) µ Należy jednak podkreślić, że w literaturze najczęściej spotykana jest definicja liczby Reynoldsa w odniesieniu do średnicy rur w pęku. Dlatego też, ze względu na możliwość 14

15 porównania otrzymanych wartości, w niniejszej pracy używana będzie liczba Reynoldsa wyznaczona wg zależności (3.1). Z uwagi na niemożność rozwiązania analitycznego opisu przepływu przez pęk rur oraz opływu pojedynczego walca umieszczonego w kanale przy liczbach Reynoldsa większych od 0,1, w latach 1970-tych rozpoczęto badania nad możliwością symulacji numerycznej takich przepływów. Prace [11-37] przedstawiają wyniki badań, zarówno symulacyjnych jak i doświadczalnych, nad przepływem wokół pojedynczego walca i pęku rur w różnych konfiguracjach. W pracach opublikowanych przez Laudera i Massey a w 1978 [11] oraz Fujii i in. w 1984 [12] symulacje numeryczne wykonano przy użyciu metody różnic skończonych. Badano przepływy ustalone przy liczbie Reynoldsa poniżej 300. Powołując się na te prace Krishne Gowda i in. [13] opublikowali wyniki obliczeń numerycznych z zastosowaniem metody elementów skończonych, mających na celu uzyskanie wartości współczynników wnikania ciepła oraz wartości oporów hydraulicznych. W pracach [13,15,19] opublikowano wyniki symulacji numerycznych przy opływie wzdłużnym pojedynczego rzędu rur. Szczególną uwagę zwrócono na wpływ podziałki wzdłużnej na opory hydrauliczne. Wraz ze zmniejszeniem podziałki następował wzrost oporów. Wykazano również, że największy opór hydrauliczny działa na pierwszy walec w rzędzie. W badanych przepływach występowało zjawisko oderwania warstwy przyściennej powodujące znaczne obniżenie oporów na dalszych walcach. Obliczenia wykonano w zakresie podziałki 1,5-2,0 oraz liczby Reynoldsa powyżej 10. Symulacyjne badania ustalonego i nieustalonego pola prędkości za poprzecznym rzędem rur przeprowadzili Owen i in. [14]. Dla ustalonego przepływu przy wartościach liczby Reynoldsa 120 i 390, na podstawie położenia linii prądu zaobserwowano późniejsze (dla większego kąta mierzonego od punktu spiętrzenia) oderwanie warstwy przyściennej od rury przy wyższych wartościach podziałki względnej. Stwierdzono ponadto, że ze zwiększeniem podziałki rośnie opór hydrauliczny pojedynczego walca. Sformułowano ogólny wniosek, że model nieustalonego przepływu przez poprzeczny rząd rur pozwala lepiej opisać rzeczywiste zjawiska. Dla wartości liczby Reynoldsa około 40 powstaje ścieżka wirowa (tzn. wiry Karmana) za każdym obiektem znajdującym się na drodze przepływu, a wtedy wykorzystanie metody objętości skończonej oraz nieustalonego modelu przepływu umożliwia uzyskanie pełnego obrazu pola prędkości i oporów hydraulicznych zmiennych w czasie. W pracy Greena i in. [16] 15

16 symulowano zmiany podziałki w poprzecznym pęku rur i badano ich wpływ na jednorodność pola przepływu za rzędem rur, przy liczbie Reynoldsa 150 w kanale o stałej szerokości tzn. ze zmienną liczbą rur w rzędzie. Wykazano znaczny wpływ odległości rur od ściany na formowanie i wielkość ścieżki wirowej za rzędem rur. Do obliczeń symulacyjnych wykorzystano komercyjny kod numeryczny Fluent [45]. Na szczególną uwagę zasługują badania przepływu przez pęk rur przy pomocy symulacji numerycznych, które zaprezentowali Zdravistch i in. w 1995 roku [21]. Badano przepływ laminarny i turbulentny zarówno dla szeregowego, jak i przestawionego układu pęku rur. Wykorzystano metodę objętości skończonej, a równania przepływu były rozwiązywane dla przepływów ustalonych. Zastosowano uproszczenie, powszechnie stosowane obecnie w symulacjach przepływów turbulentnych [42,44,45], wykonując obliczenia dla uśrednionej liczby Reynoldsa. Wyniki symulacji były zgodne z danymi eksperymentalnymi innych autorów. Wykazano, że do uzyskania poprawnych wyników konieczne jest stosowanie stosunkowo gęstej siatki obliczeniowej. Praca nie obejmowała symulacji przepływów dla Re<1. Zastosowanie metod numerycznych do symulacji przepływów przez pęk rur pozwoliło na szczegółową analizę wpływu podziałki i prędkości przepływu na wartości oporów hydrodynamicznych, umożliwiając modelowanie następstw zmian konstrukcyjnych w budowie pęku rur. Dla projektantów aparatury przemysłowej szczególnie interesujące są efekty zmian usytuowania pęku rur w kanale [13,16] oraz zmian kształtu i średnicy pojedynczych rur [22,23] znajdujących się w pęku, a także ich użebrowania [28]. Z opracowań na temat symulacji numerycznych przepływu przez pęk rur można wyciągnąć kilka ogólnych wniosków: metoda objętości skończonej jest skutecznym narzędziem umożliwiającym uzyskanie wiarygodnych wyników, przy stosunkowo małym nakładzie czasu obliczeń, warunkiem uzyskania wiarygodnych wyników jest duża liczba komórek siatki numerycznej, 16

17 opory przepływu mogą być wyznaczone jako suma oporów pojedynczych rur, dla przepływów laminarnych przy liczbie Reynoldsa powyżej 30 konieczne jest stosowanie modeli przepływów nieustalonych. Do wyznaczania oporów przepływu przez pęk rur w praktyce inżynierskiej służą metody oparte na korelacji danych eksperymentalnych, opisane w pracy Bandrowskiego i Rybskiego [7]. Wykorzystane w tej pracy zależności pozwalające wyznaczyć opory hydrauliczne zostały zamieszczone w załączniku. Gaddis i Gnielinski [8] również podali metodę wyznaczania oporów przepływu opracowaną na podstawie danych eksperymentalnych. Rozważając bardzo szeroki zakres zastosowań, autorzy porównali swoje wyniki z wynikami eksperymentów innych autorów w zakresie liczby Reynoldsa od 1 do Na tej podstawie określono zakres parametrów geometrycznych pęku rur, w którym proponowana metoda wyznaczania oporów daje zadowalające rezultaty. Zależności pozwalające wyznaczyć opór przepływu przez pęk rur dla przypadku rozważanego w niniejszej pracy zamieszczono w załączniku. Metody wyznaczania oporów przepływu, zarówno oporów tarcia jak i oporów ciśnienia, w prezentowanych wcześniej publikacjach, ograniczają się do podania zależności sił tarcia bądź ciśnienia w zależności od kąta skierowania wektora tej siły. Takie zależności mają zastosowanie w przypadkach nieskomplikowanych geometrycznie. W niniejszej pracy został opracowany model pozwalający wyznaczyć na podstawie wyników symulacji numerycznych opory hydraulicznego dla przypadków skomplikowanych geometrycznie. Zależności przedstawione w niniejszej pracy nie były wcześniej publikowane. 3.3 METODY EKSPERYMENTALNE PRZYDATNE DO BADAŃ PRZEPŁYWU PRZEZ PĘK RUR Doświadczalne badania i pomiary wielkości charakteryzujących przepływ przez pęk rur były prowadzone już w latach 1930-tych [41]. Najpełniejszy opis badań eksperymentalnych opływu pojedynczego cylindra można znaleźć w pracy [6]. Jednak dopiero rozwój technik wizualizacyjnych pozwolił na badania zjawisk hydrodynamicznych o tym samym stopniu szczegółowości, co badania symulacyjne. 17

18 We wczesnych badaniach doświadczalnych dane pomiarowe pozwalały wyznaczyć opór hydrauliczny na podstawie rozkładu ciśnienia na powierzchni walca i/lub bezpośrednio mierzonych sił hydrodynamicznych [47-51]. Wyznaczanie ciśnienia w obszarze pęku rur pomiędzy poszczególnymi rzędami wymagało znacznego rozbudowania aparatury pomiarowej [52]. Prędkość przepływu wyznaczano na podstawie pomiaru ciśnienia dynamicznego, przy którym niezbędna jest ingerencja w strumień przepływającego płynu. Aby tego uniknąć, pomiar mógł dotyczyć tylko globalnych prędkości w znacznej odległości od pęku rur. W późniejszych badaniach prędkość przepływu wyznaczano przy użyciu anemometrów oporowych, w mniejszym stopniu zakłócających przepływ. Rozwój techniki laserowej umożliwił pomiary prędkości przepływu na podstawie efektu Dopplera. Tzw. anemometria laserowo-dopplerowska pozwala na bezinwazyjny, ale tylko punktowy pomiar miejscowej prędkości przepływu [53,60,74]. Badania pola prędkości przy opływie walca były prowadzone już w 1904 roku przez Prandtla [57,75]. Z uwagi na ograniczone możliwości narzędzi pomiarowych użytych w tych eksperymentach, wyniki miały charakter jakościowy. W późniejszym okresie w miarę rozwoju metod pomiarowych uzyskiwano coraz dokładniejsze wyniki, ale dopiero w latach 1990-tych rozwój techniki komputerowej pozwolił na wykorzystanie pomiarów przy użyciu metod polowych. Jedną z nich jest cyfrowa anemometria obrazowa (DPIV) opracowana przez Willerta i Ghariba [58,59]. Metoda ta umożliwia uzyskanie ilościowego opisu pola prędkości na podstawie eksperymentów podobnych do tych, które przeprowadzał Prandtl. Soria [55] wykorzystał cyfrową anemometrię obrazową do badań przepływu za pojedynczym walcem przy liczbie Reynoldsa od 750 do 850. W tej samej publikacji znajduje się zestawienie wyników wcześniejszych badań doświadczalnych z użyciem metod polowych w zakresie liczby Reynoldsa od 73 do Iwaki i in. [56] w 2004 opublikowali wyniki badań doświadczalnych turbulentnego przepływu przez pęk rur w zakresie liczby Reynoldsa

19 Badania przepływu powodowanego ruchem pęku rur w obszarze wypełnionym cieczą nie były do tej pory opisywane w literaturze. Należy przypuszczać, że dla takiego przypadku sposób opisu parametrów geometrycznych i metody wyznaczania parametrów hydrodynamicznych mogą być podobne jak w badaniach opływu nieruchomego pęku rur, jednakże badania w zakresie Re < 1 nie były dotąd wykonywane dla pęku rur a jedynie dla pojedynczych walców. 19

20 4. MODEL MATEMATYCZNY Zjawiska hydrodynamiczne zachodzące podczas ruchu pęku rur w cieczy opisywane są równaniami mechaniki płynów. Modelując ruch pęku rur posłużono się następującymi założeniami: 1. Ruch pęku rur odbywa się w cieczy niutonowskiej. 2. Przepływ można traktować jako dwuwymiarowy. 3. Nie występują źródła masy. 4. Siłą masową jest siłą ciężkości. Ogólna postać równania zachowania masy [41,42] w zapisie wektorowym przedstawia się następująco: ρ + t ( ρ v) = M& gdzie: ρ gęstość, t czas, v wektor prędkości, M & strumień masy. Założenia podane w punktach 1 3 implikują co następuje: ρ ρ = const t M& = 0, = 0, Zatem równanie zachowania masy upraszcza się do równania ciągłości przepływu: w zapisie wskaźnikowym (4.1) v = 0, (4.2) v x i = 0 ( i,j = 1, 2, 3) i. Drugim równaniem jest równanie różniczkowe przepływu: v ρ + v v = ρf + T, (4.3) t w zapisie wskaźnikowym można je zapisać następująco: vi ρ + v t j vi x j = ρ F i τ + x ij j ( i,j = 1, 2, 3) gdzie: v i, v j prędkość przepływu cieczy w kierunku odpowiednio x i, x j, = [ ] masowa na jednostkę masy. F siła F i 20

21 W przypadku cieczy niutonowskiej tensor naprężeń wynosi: T = p I + 2µ E (4.4) w zapisie wskaźnikowym: τ ij = pδ + 2 µ ε ( i,j = 1, ij ij 2, 3) gdzie tensor prędkości odkształceń: 1 E = 2 T ( v + v ) (4.5) lub ε ij ( v + v ) ( 1, 2, 3) 1 = i j j, i i,j 2, = Po podstawieniu równań 4.4 i 4.5 do równania 4.3 otrzymuje się równanie różniczkowe zasady zachowania pędu: 2 vi vi p vi ρ + v = + ( i,j = 1, 2, 3) j ρf i µ (4.6) t x j xi x j x j Rozwiązanie układu równań przepływu złożonego z równań (4.2) i (4.6) pozwala uzyskać szukane funkcje prędkości i ciśnienia. Na obiekt poruszający się w cieczy lepkiej działają naprężenia styczne oraz naprężenia normalne do powierzchni obiektu. Opór ruchu w cieczy wywołany jest składowymi tych naprężeń w kierunku ruchu obiektu. Przy założeniu dwuwymiarowego przepływu powierzchnia zewnętrzna obiektu poruszającego się w cieczy jest zdegenerowana do konturu C (rys. 4.1). Wyznaczenie sił działających na kontur C obiektu poruszającego się z prędkością v umożliwia wyznaczenie siły oporu na jednostkę długości obiektu mierzonej w kierunku prostopadłym do płaszczyzny ruchu. 21

22 Rys Siły oporu działające na obiekt i element jego powierzchni poruszający się w lepkiej cieczy. Na dowolny obiekt poruszający się w cieczy lepkiej działają dwie siły oporu ruchu: siła oporu tarcia P f i siła oporu ciśnienia P d. Siły te wywołane są odpowiednio, naprężeniami stycznych T w i naprężeniami w kierunku normalnym pn, działającymi na kontur obiektu. Naprężenia te można przedstawić w ujęciu wektorowym następująco: T w = τ cosϕi τ sinϕ j (4.7) w + w pn = p sinϕi + p cosϕ j (4.8) gdzie: τ w wartość naprężeń stycznych na konturze C; p wartość nadciśnienia statycznego na konturze C; i, j wersory w kierunkach x i y; n jednostkowy wektor normalny do konturu C. Z powyższego wynika, że: elementarna siła wywołana naprężeniami stycznymi, będąca oporem tarcia cieczy o obiekt na elemencie dc jego powierzchni, wynosi: d P f = τ w sinϕ jdc (4.9) elementarna siła wywołana naprężeniami działającymi na element dc powierzchni obiektu w kierunku normalnym: d P d = pcosϕ jdc (4.10) 22

23 Oznaczając: dcx = cosϕ dc dc = sinϕ dc y elementarne siły działające na element dc można zapisać jako: (4.11) d = τ jd (4.12) P f w C y d P d = pjdc x (4.13) Całkując po całym konturze C otrzymuje się siły oporu działające na obiekt poruszający się w cieczy lepkiej: P P f d = = C C τ w jdc y pjdc x (4.14) W przestrzeni opisanej w sposób dyskretny całka jest zastąpiona sumą po wszystkich konturach elementarnych: P f τ (4.15) = ( jd ) l w C y ( j ) l P d = p dc x (4.16) l l gdzie: l indeks konturu elementarnego; dc x, dc y długości konturu elementarnego w kierunkach, odpowiednio x, y. Współczynnik oporu tarcia i współczynnik oporu ciśnienia definiowane są jako stosunki odpowiednich sił i dynamicznego ciśnienia odniesienia [5,47]: c c f d = = Pf ρ v P ρ 2 d 2 v (4.17) Współczynnik oporu hydraulicznego stanowi sumę powyższych współczynników: c = c + c (4.18) h f d Wyznaczenie współczynnika oporu hydraulicznego pozwala wyznaczyć siłę oporu hydraulicznego obiektu [41,42]: P = ρ v (4.19) h c h

24 Przedstawiony powyżej model matematyczny pozwala wyznaczyć pole prędkości oraz wartości składowych siły oporu hydraulicznego z zastosowaniem numerycznych metod obliczeniowych. 24

25 5. MODEL NUMERYCZNY 5.1 WPROWADZENIE W mechanice płynów podstawowe zjawiska zachodzące w płynie są rozpatrywane przy założeniu, że działanie sił zewnętrznych na płyn oraz ich wpływ na zachowanie się płynu mają charakter ciągły. Jest to tzw. model ośrodka ciągłego, w którego matematycznym opisie występuje równanie bądź układ równań różniczkowych dające się rozwiązać tylko dla najprostszych przypadków. Z uwagi na te niedogodności, w mechanice płynów szerokie zastosowanie znalazły metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Wraz z rozwojem techniki obliczeniowej nastąpił bardzo szybki rozwój tych metod, co doprowadziło do powstania nowej dziedziny nauki Obliczeniowej Mechaniki Płynów (Computational Fluid Dynamics - CFD). W chwili obecnej w dziedzinie CFD zastosowanie znajdują trzy podstawowe metody przybliżonego rozwiązywania równań przepływowych [42,44]: metoda różnic skończonych (MRS), metoda elementów skończonych (MES), metoda objętości skończonej (MOS). Każda z powyższych metod opiera się na przekształceniu obszaru ośrodka ciągłego w obszar o strukturze dyskretnej. Obszar ośrodka ciągłego jest podzielony na skończoną ilość podobszarów o prostej geometrii, a obrazem tego podziału jest siatka numeryczna. Rozróżnia się dwa zasadnicze typy siatek numerycznych [46]: siatki strukturalne, w których każdy z podobszarów stanowi figurę geometryczną tego samego typu oraz każdy wewnętrzny wierzchołek podobszaru jest punktem wspólnym takiej samej liczby podobszarów, siatki niestrukturalne, nie spełniające powyższych warunków. Metoda różnic skończonych jako najstarsza z wymienionych wyżej metod numerycznych jest obecnie rzadko stosowana. Jest to metoda bardzo efektywna dla przypadków przepływów w obszarach prostych geometrycznie. W przypadkach o złożonej geometrii z zastosowaniem siatek niestrukturalnych, gdy występują trudności w definiowaniu warunków brzegowych, metoda ta staje się wysoce nieefektywna. 25

26 W metodzie elementów skończonych obszar ośrodka ciągłego jest podzielony na skończoną ilość podobszarów zwanych elementami skończonymi. Na obrzeżach elementu skończonego, a także w wybranych punktach wewnętrznych są zlokalizowane węzły, w których należy wyznaczyć wartość poszukiwanej funkcji (np.: ciśnienia, prędkości, temperatury itd.). Rozkład wartości tej funkcji w obrębie elementu skończonego jest opisany funkcjami aproksymacyjnymi zwanymi bazą lub funkcjami kształtu. Iloczyn bazy i wektora szukanych wartości funkcji w węzłach tworzy układ równań algebraicznych, którego rozwiązanie daje przybliżone rozwiązanie zagadnienia. Metoda objętości skończonej jest obecnie najszerzej stosowaną metodą w dziedzinie CFD. Podobnie jak w przypadku MES obszar ciągły jest dzielony na skończoną ilość podobszarów (komórek). W MOS wykorzystuje się bezpośrednią dyskretyzację w przestrzeni fizycznej równań różniczkowych, w formach całkowych wyrażających zasady zachowania pędu, masy, energii itp. Wartości szukanych funkcji są wyznaczane w węźle położonym w geometrycznym środku ciężkości rozpatrywanej komórki. Zaletą MOS jest dyskretyzacja równań dla dowolnej odległości między węzłami siatki numerycznej [46]. Implikuje to możność stosowania tej metody przy podziale ośrodka ciągłego siatką niestrukturalną, co jest bardzo wygodne w przypadkach przepływów o złożonej geometrii modelu obliczeniowego. Popularność metody objętości skończonej w praktyce inżynierskiej wynika z dwóch zasadniczych powodów: Każdy z członów rozwiązywanych równań ma swoje znaczenie fizyczne, co pozwala łatwiej zrozumieć metodę i kontrolować przebieg oraz wyniki obliczeń. Komputerowe programowanie algorytmów MOS jest łatwiejsze od algorytmów innych metod. 5.2 ZASTOSOWANE NARZĘDZIE OBLICZENIOWE Do przeprowadzenia obliczeń w symulacjach numerycznych przypływu przez ruchomy pęk rur wykorzystano komercyjny kod CFD Fluent w wersji 6.1, przy użyciu metody objętości skończonej (MOS). Program ten przeznaczony jest do symulacji numerycznych wszelkich zjawisk przepływowych obejmujących wymianę pędu, ciepła, masy jak również reakcje chemiczne zachodzące w ośrodkach ciągłych i spalanie. 26

27 Program Fluent służy zarówno do symulacji procesów modelowanych dwuwymiarowo na płaszczyźnie jak i do symulacji w przestrzeni trójwymiarowej. Podstawą do wykonania obliczeń jest geometryczny model numeryczny z nałożoną siatką oraz warunkami brzegowymi, których dane zawarte w pliku należy wczytać do programu. Program Fluent nie zawiera narzędzia pozwalającego zdefiniować geometrię rozpatrywanego obszaru i podzielić go na komórki. Geometrię modelu obliczeniowego oraz podział obszaru na komórki wykonano przy użyciu programu Gambit v Program ten umożliwia budowanie modeli obliczeniowych dla kilku programów obliczeniowych (solverów), w tym dla programu Fluent. Pierwszym etapem budowania modelu obliczeniowego jest zdefiniowanie warunków geometrycznych odpowiadających fizycznemu modelowi symulowanych zjawisk oraz zdefiniowanie warunków brzegowych. Definiowanie warunków brzegowych w programie Gambit odbywa się poprzez wskazanie rodzaju warunku na wybranym brzegu obszaru oraz określenie jaki model ciała fizycznego ma reprezentować obszar (płyn, ciało stałe, medium porowate). Kolejnym etapem jest podzielenie obszaru na komórki, które w przypadku stosowania modeli dwuwymiarowych są trójkątne bądź czworokątne. Istotne znaczenie na tym etapie ma możliwość zwiększenie gęstości podziału w tych częściach rozpatrywanego obszaru, w których ma być zwiększona dokładność obliczeń, bądź spodziewane jest istnienie dużych gradientów wartości wyznaczanych funkcji. Po zakończeniu budowy modelu geometrycznego konieczne jest wyeksportowanie jego zapisu w postaci pliku mesh (*.msh) możliwego do odczytu w programie Fluent. Określenie parametrów warunków brzegowych, właściwości fizycznych płynów oraz wybranie modelu matematycznego opisującego symulowane zjawisko, dokonuje się w programie Fluent po wczytaniu pliku mesh. Program Fluent, po zainicjowaniu i wykonaniu obliczeń, umożliwia także wybór formy prezentacji wyników. W przypadku wielkości wektorowych takich jak prędkość, naprężenia, gradienty możliwe jest ich zobrazowanie w postaci wektorów bądź wykresów warstwicowych. Dodatkowe moduły programu pozwalają przedstawić animację wielkości zmiennych w czasie oraz sporządzić szczegółowe wykresy i histogramy wybranych wielkości. 27

28 5.3 REALIZACJA METODY OBJĘTOŚCI SKOŃCZONEJ PRZY UŻYCIU PROGRAMU FLUENT Jak już wspomniano w rozdziale 5.1, w metodzie objętości skończonej wykorzystuje się całkową formę równań różniczkowych przepływu [41]. równanie zachowania masy (ciągłości): t d V + ρ v ds = V ρ M& dv (5.1) S równanie zasady zachowania pędu: t V V ( ρf + T ) ρ v dv + ρ v v ds = dv (5.2) S V Rozwiązanie równań (5.1) i (5.2) w programie Fluent odbywa się w ramach jednego z dwóch możliwych do wyboru sposobów rozwiązywania równań przepływu. W sposobie sprzężonym wykorzystuje się formalne podobieństwo równań opisujących przepływ, co pozwala je zapisać w następującej postaci: gdzie: t dv + H d S = V Φ R dv (5.3) S V ρ ρ v M Φ =, H =, R = & (5.4) ρ v ρ v v ρf + T Wektor Φ jest nazywany wektorem stanu, wektor H członem konwekcyjnym, a wektor R członem źródłowym. W przypadku przepływu płaskiego, gdy obszar całkowania jest podzielony na komórki trójkątne, równania MOS można przedstawić w następującej postaci dyskretnej: t 3 ( Φ kvk ) + ( Hl Sl ) = R kvk l= 1 k (5.5) gdzie: k numer komórki w obszarze całkowania, V k pole powierzchni komórki, l- numer boku komórki k, S = n S - wektor reprezentujący bok l, S l długość l- l l tego boku komórki k, n wektor jednostkowy normalny do boku l, H l wektor członu konwekcyjnego działający na bok l, R k wektor członu źródłowego. 28

29 W przypadku komórki o wierzchołkach oznaczonych ABC (rys. 5.2), wektor strumieni przez bok AB można zapisać następująco: gdzie: x AB H y AB AB S AB = x y ( i H + jh ) ( i y j x ) = H x AB AB y ( y y ) H ( x x ) B AB A AB AB B A AB = (5.6) H, H - składowe wektora członu konwekcyjnego wzdłuż osi współrzędnych, odpowiednio x oraz y; i,j wersory wzdłuż osi x oraz y; x A,y A,x B,y B współrzędne wierzchołków trójkąta, odpowiednio A i B. Wynik wyznaczenia składowych H, H zależy od przyjętego schematu różnicowego (centralny, wstecz, w przód) oraz wariantu metody (centralny lub wierzchołkowy). Więcej informacji na temat wariantów metody objętości skończonej oraz sposobów układania schematów różnicowych można znaleźć w literaturze [38,39,42,44,45]. Przedstawione powyżej ujęcie formalne metody objętości skończonej wykorzystywane jest w programie Fluent do rozwiązywania równań przepływu w schemacie sprzężonym. Rozwiązanie równań przepływu pozwala wyznaczyć wartości szukanych funkcji w geometrycznym środku ciężkości komórki. Wyznaczenie tych wartości w całym podobszarze odbywa się z zastosowaniem jednego ze schematów interpolacyjnych, polegających na założeniu przebiegu szukanej funkcji w obszarze komórki. Więcej informacji na temat na temat schematów interpolacji można znaleźć w literaturze [45]. Do interpolacji wartości funkcji ze środka ciężkości na cały obszar komórki zastosowano schemat pierwszego rzędu wstecz (First Order Upwind) oraz schemat skojarzenia prędkości i ciśnienia SIMPLE. Do rozwiązania równań dla przypadków nieustalonych zastosowano schemat pośredni pierwszego rzędu wyznaczania wartości zmiennych w czasie. W niniejszej pracy zastosowano sposób rozdzielnego rozwiązywania równań przepływu cieczy niutonowskiej dla siatki obliczeniowej o komórkach trójkątnych. Algorytm rozdzielnego rozwiązywania równań przedstawiono schematycznie na rys x AB y AB 29

30 Rys Algorytm rozdzielnego rozwiązywania równań przepływu. Pierwszym etapem rozdzielnego rozwiązywania równań przepływu jest modyfikacja własności płynu. W przypadku cieczy niutonowskiej, gdy własności fizyczne są stałe, ten etap jest pomijany i przyjmowane są początkowe wartości własności płynu. Pierwszym rozwiązywanym równaniem jest równanie pędu (5.2). Wygodnie jest je zapisać w następującej postaci: t V ρ v dv + ρ v v ds = ρf dv + T ds (5.7) S V Dyskretyzacja równania (5.7) polega na zamianie całek na sumy w obszarze komórki. W przypadku przepływu dwuwymiarowego, według rys. 5.2, objętość V należy rozumieć jako powierzchnię rozpatrywanej komórki, a powierzchnię zamkniętą S jako krzywą będącą brzegiem komórki. Dyskretna postać równania (5.7) dla komórki c0 po podstawieniu równań (4.4) i (4.5), przedstawia się następująco: t 3 T ( ρ vv ) + ρ vl vl Sl = pl Sl + µ ( v + v ) l Sl + ρ FV l = 1 3 l = 1 3 l = 1 S (5.8) gdzie: l indeks boków komórki, v wektor prędkości w komórce, v l wektor prędkości na brzegu komórki, V objętość komórki c0, S l wektor reprezentujący powierzchnię S l, S = n S = i y + j x. l l l l 30

31 Rys Przykładowa komórka siatki obliczeniowej. Równanie (5.8) jest pierwszym równaniem z układu równań przepływu. Zawiera ono trzy niewiadome i służy docelowo do wyznaczenia wartości prędkości cieczy w komórce. Do wyznaczenia wartości prędkości na brzegu komórki v l służy schemat interpolacji pierwszego rzędu w górę. W schemacie tym zakłada się, że wartość prędkości lub innej wyznaczanej wielkości na brzegu komórki jest równa wartości w środku geometrycznym komórki położonej przeciwnie do zwrotu wektora prędkości normalnego do tego brzegu. W przypadku gdy strumień cieczy w komórce c0 jest skierowany w stronę komórki c1, prędkość na brzegu komórki AB jest równa prędkości w komórce c0. u AB v AB = = v (5.9) vab Jako drugie jest rozwiązywane równanie ciągłości (5.1), które w przypadku cieczy niutonowskiej o stałych parametrach fizyko-chemicznych i przy braku źródeł masy przedstawia się następująco: v ds = 0 (5.10) S Dyskretyzacja polega, podobnie jak poprzednio dla równania pędu, na zamianie całki powierzchniowej na sumę w obszarze komórki. 3 l = 1 v = 0 (5.11) l S l 31

32 Układ równań (5.8) i (5.11) daje się rozwiązać wtedy, gdy znane jest pole ciśnień lub gdy dana jest funkcja zmiany gęstości płynu w zależności od ciśnienia. W przepływach nieściśliwych gęstość płynu ma stałą wartość i nie zależy od wartości ciśnienia a wyznaczenie pola ciśnień najczęściej jest celem obliczeń. W niniejszej pracy, do wyznaczenia wartości ciśnienia, z metod opisanych w [45] wykorzystano schemat SIMPLE. Równanie pędu można przedstawić w skróconej formie jako: 3 a v = al vl + pl Sl n + FV l = 1 3 l = 1 (5.12) gdzie: a współczynnik środka komórki zawierający parametry geometryczne i fizykochemiczne cieczy, a l współczynnik brzegu komórki. Przebieg wyznaczania wartości ciśnienia w schemacie SIMPLE jest następujący: 1. Wstępne założenie wartości ciśnień p l. 2. Rozwiązanie równania pędu (5.12) w celu określenia prędkości próbnej v * 3 a v = al vl + pl Sl n + FV. l = 1 3 l = 1 3. Rozwiązanie równania ciągłości i wyznaczenie poprawki ciśnienia p. l 4. Podstawienie do równania pędu skorygowanej wartości ciśnienia p l + p l i wyznaczenie skorygowanych wartości strumienia masy. 5. Ponowne rozwiązanie równania ciągłości ze skorygowanymi wartościami strumienia. Procedura jest powtarzana do momentu otrzymania takich samych wyników w dwóch kolejnych iteracjach. Pierwszy człon równania pędu opisuje zmienność w czasie wektora prędkości. Wartości pochodnych po czasie są wyznaczane według schematu pośredniego pierwszego stopnia. φ t = f (φ) (5.13) gdzie: φ - dowolna wyznaczana zmienna, f funkcja zawierająca wszystkie interpolacje zmiennej φ. 32

33 Dyskretna pochodna względem czasu zmiennej φ dla założonego kroku czasowego obliczeń t ma postać: φ n+ 1 φ t n = f n+ 1 ( φ ) (5.14) gdzie: φ n wartość zmiennej φ w czasie t, φ n+1 wartość zmiennej φ w czasie t+ t. Przyjmując wartość początkową: otrzymuje się: i n φ = φ (5.15) φ ( φ ) i i = φ n + t f (5.16) Równanie (5.16) rozwiązywane jest iteracyjnie do momentu gdy wartość φ i przestaje się zmieniać. Równania przepływu (5.12) i (5.11) rozwiązywane są numerycznie, tzn. wartości funkcji wyznaczane są w kolejnych iteracjach aż do momentu osiągnięcia zbieżności rozwiązania. Zbieżność rozwiązania oceniana jest w oparciu o wyznaczoną wartość residuum. Residuum definiowane jest jako stosunek nierównowagi równania (5.12), zsumowanej po wszystkich komórkach obszaru, do sumy wszystkich strumieni masy w obszarze: R = k 3 l = 1 a l v l + 3 l = 1 k p S n + FV a v l l a v (5.17) Rozwiązanie równań przepływu jest zadowalające, gdy residuum osiągnie wartość mniejszą niż kryterium zbieżności. Wartość kryterium zbieżności jest narzucona przez użytkownika i zależy od wielu czynników. Należą do nich: zmienność w czasie symulowanego zjawiska, występowanie dużych wartości gradientów funkcji, rozmiar komórek siatki numerycznej, wartość stosunku powierzchni największej i najmniejszej komórki w siatce, 33

34 charakter przepływu, wartość kroku czasowego w przypadku obliczeń nieustalonych, charakter zmian wartości residuum w trakcie kolejnych iteracji. Ocena powyższych czynników oraz ich wpływ na prawidłowość i dokładność przeprowadzanych symulacji numerycznych zależy przede wszystkim od doświadczenia użytkownika. W niniejszej pracy przyjęto wartość 0,001. Narzucenie takiej wartości było podyktowane małymi prędkościami występującymi w symulowanym modelu oraz małymi rozmiarami komórek siatki obliczeniowej. Po przeprowadzonych wstępnych symulacjach numerycznych stwierdzono, że dla takiej wartości kryterium zbieżności dokładność obliczeń jest wystarczająca na potrzeby niniejszej pracy. 5.4 WARUNKI BRZEGOWE Istotnym elementem modelu symulacyjnego są warunki na brzegach obszaru modelującego ciecz. Program Fluent umożliwia przyjęcie następujących warunków: 1. Warunek nieruchomej ściany (warunek typu wall). Jest to warunek ograniczający obszar przepływu zgodnie z jego modelowymi granicami: v = 0 (5.18) S 2. Warunek ruchomej ściany, umożliwiający modelowanie ruchu pęku rur w cieczy. Warunek ten wynika z warunku 1 poprzez nadanie prędkości ścianie: v = v (5.19) S 3. Warunek prędkości wlotowej (velocity inlet) określający prędkość napływu do obszaru cieczy w kierunku normalnym do brzegu obszaru. Z warunku tego, przy znanych rozmiarach komórek, wyznaczany jest strumień masy przez boki komórek leżących na brzegu obszaru. 34

35 4. Warunek wypływu (outflow). Jest to warunek ograniczający obszar, w którym rozwiązywane są równania przepływu. Wartości funkcji na rozpatrywanym brzegu wyznaczane są poprzez ekstrapolację wyników otrzymanych wewnątrz obszaru. W warunku jest zakładany stosunek wypływającego strumienia masy do sumy wszystkich strumieni masy wpływających do obszaru: m& m& k = (5.20) m& i i 5. Warunek symetrii (symmetry) jest wykorzystany w celu zwiększenia dokładności obliczeń poprzez założenie symetrycznego przepływu w rozpatrywanym modelu fizycznym. Z matematycznego punktu widzenia, warunek ten oznacza zerowe gradienty funkcji wszystkich rozpatrywanych zmiennych (np.: prędkości, ciśnienia, naprężeń itd.) w kierunku normalnym do brzegu obszaru oraz dodatkowo zerową prędkość cieczy w tymże kierunku: φ = 0 n (5.21) v n = 0 (5.22) gdzie: φ - funkcja dowolnej zmiennej, n wektor jednostkowy normalny do brzegu obszaru. 35

36 6. STUDIUM PARAMETRYCZNE 6.1 CEL I ZAKRES STUDIUM PARAMETRYCZNEGO Celem studium parametrycznego jest pozyskanie danych do analizy zgodności wyników symulacji numerycznych z wynikami doświadczalnymi. Zakres studium obejmuje wykonanie szeregu symulacji numerycznych z wykorzystaniem modelu ruchomego pęku rur, przy zmiennej prędkości ruchu pęku rur. W tabeli 1 podano wartości prędkości ruchu pęku rur i odpowiadających im liczb Reynoldsa: wyznaczonej w stosunku do średnicy rury Re, wyznaczonej w stosunku do średnicy hydraulicznej przekroju poprzecznego przestrzeni międzyrurowej (równanie (3.6)) Re dh. Tabela 1. Wartości prędkości pęku rur i liczby Reynoldsa. Prędkość Re [m/s] Re dh 0,004 0,10 0,5 0,007 0,18 0,9 0,011 0,28 1,5 0,014 0,35 1,9 0,016 0,40 2,1 6.2 KONCEPCJA STUDIUM Symulacje numeryczne zostały przeprowadzone z wykorzystaniem modelu numerycznego opracowanego na podstawie modelu fizycznego ruchomego pęku rur, którego schemat przedstawiono na rys Model fizyczny jest dwuwymiarowy oraz symetryczny względem pionowej osi pęku rur. Numeryczny model pozwala na wyznaczenie pola prędkości i pola ciśnienia w cieczy, w której porusza się pęk rur. Oprócz pęku rur 1 uwzględnione są przegrody 3 i 4 ograniczające przepływ cieczy poza pękiem rur. Przegroda przyścienna ogranicza przepływ cieczy przy ścianie zbiornika a przegroda centralna eliminuje przepływ w środkowej części układu. 36

37 Rys Założenia do modelu obliczeniowego przepływu przez ruchomy pęk rur: 1 pęk rur, 2 dół zbiornika, 3 przegroda przyścienna, 4 przegroda centralna, 5 ściana boczna zbiornika, 6 oś symetrii, 7 góra zbiornika, 8 obszar płynu (gliceryna). A,B,C,D,E warunki brzegowe modelu (opis w tekście). Model fizyczny został stworzony na podstawie danych geometrycznych elementów stanowiska laboratoryjnego. Dane geometryczne modelu są następujące: średnica rury d = 4,8 mm podziałka poprzeczna s 1 = 13,75 mm podziałka wzdłużna s 2 = 8,25 mm względna podziałka poprzeczna B 1 =2,86 względna podziałka wzdłużna B 2 = 1,72 37

38 Na podstawie powyższych parametrów wyznaczono średnicę hydrauliczną powierzchni przekroju przestrzeni międzyrurowej (pole A na rys. 3.2): 2 π d A = s1 s2 4 4 A dh = = 25, 29mm π d (6.1) Na stanowisku laboratoryjnym zmierzono również dane fizykochemiczne gliceryny, które posłużyły jako własności cieczy w modelu numerycznym. Gęstość kg określona metodą wagową wynosiła ρ = 1264[ m 3]. Wartość współczynnika lepkości dynamicznej zmieniała się w trakcie badań laboratoryjnych wraz z temperaturą w zakresie = 0,227 0, 262 [ Pa s] µ. Do symulacji numerycznych przyjęto średnią wartość współczynnika lepkości = 0, 241[ Pa s] µ. Założono symetryczny charakter przepływu przez pęk rur, wobec czego dla zwiększenia dokładności siatki obliczeniowej wykorzystano warunek symetrii opisany w rozdziale 5.4. Pozwoliło to na zwiększenie gęstości podziału w obszarze pęku rur oraz przy przegrodach. Warunek ten został nałożony na brzeg D (rys. 6.1). Rzeczywisty ruch pęku rur odbywa się w zbiorniku otwartym a przepływ cieczy wywołany jest ruchem pęku rur. Modelowanie zbiornika otwartego wiązało się z uwzględnieniem powierzchni swobodnej. W przypadku modelu obliczeniowego przyjęto zamknięty zbiornik przy założeniu, że jego górna powierzchnia znajduje się w znacznej odległości od pęku rur. Wysokość całego zbiornika przyjęto 200 mm. Umieszczenie pęku rur w centralnej jego części pozwala takie założenie uznać za słuszne przy prędkościach uwzględnianych w niniejszej pracy. W trakcie badań przeprowadzono eksperymenty numeryczne, w których uwzględniono istnienie powierzchni swobodnej. Porównanie wyników tych eksperymentów z wynikami symulacji zamieszczonymi w niniejszej pracy potwierdziło znikomy wpływ uwzględnienia powierzchni swobodnej na pole prędkości i ciśnienia w cieczy. W celu potwierdzenia hipotezy badawczej, symulacje numeryczne oparto na dwóch metodach opisu stanu płynu stosowanych w mechanice płynów [41,42,80]. Opierając się na założeniach metody Eulera, zwanej metodą lokalną, układ współrzędnych odniesienia związano z pękiem rur. W niniejszej pracy symulacje oparte na metodzie Eulera nazwano podejściem Eulera. 38

39 Opierając się na metodzie Lagrange a, zwanej metodą wędrowną, układ współrzędnych odniesienia związano ze zbiornikiem, w którym porusza się pęk rur. Symulacje oparte na tej metodzie nazwano podejściem Lagrange a. Wykorzystanie podejścia Eulera pozwoli zweryfikować hipotezę badawczą postawioną w niniejszej pracy, iż ruchomy pęk rur może zostać potraktowany jako nieruchomy znajdujący się w przepływającej cieczy. Podejście Lagrange a pozwoli zweryfikować hipotezę badawczą w części dotyczącej możliwości efektywnych symulacji ruchomego pęku rur. Metody Eulera i Lagrange a opisu stanu płynu różnią się układami współrzędnych odniesienia. Postać równań ruchu płynu, a zatem i rozwiązań tych równań, jest inna. W zastosowanych w niniejszej pracy symulacjach według podejść Eulera i Lagrange a układy współrzędnych odniesienia są zatem różne i z tego powodu spodziewane są różnice w wynikach symulacji. Szczegółowe dane i warunki brzegowe zastosowane w obu podejściach zostały opisane w rozdziałach i Do symulacji numerycznych wykorzystano siatkę obliczeniową przedstawioną na rys Pokazana siatka obliczeniowa zawiera informację o rozmieszczeniu warunków brzegowych. Z uwagi na skomplikowany kształt brzegu obszaru, w którym następuje przepływ, została zastosowana siatka o charakterze niestrukturalnym złożona z trójkątnych komórek. Warunki brzegowe zastosowane w modelach numerycznym opisano w rozdziale 5.4. Na brzeg C obszaru przepływu, modelujący ścianę zbiornika, nałożono warunek brzegowy nieruchomej ściany (wall, roz. 5.4 pkt. 1). Na brzeg D, będący osią symetrii pęku rur nałożono warunek brzegowy symetrii (symmetry, roz. 5.4 pkt. 5). Oba wymienione warunki brzegowe pozostawały niezmienne dla wszystkich przeprowadzonych symulacji numerycznych. Warunki brzegowe nałożone na brzegi A, B i E obszaru przepływu zmieniano w zależności od zastosowanego podejścia. 39

40 Rys Model numeryczny z nałożoną siatką Podejście Eulera Podejście Eulera jest równoznaczne z założeniem, że pęk rur jest nieruchomy, a ciecz przepływa przez cały obszar symulacji. W takim przypadku na brzegu obszaru E obowiązuje warunek nieruchomej ściany, natomiast w zależności od założonego kierunku przepływu na brzegach A i B obowiązują warunek swobodnego wypływu (outflow, roz. 5.4 pkt.4) oraz prędkości wlotowej (velocity inlet, roz. 5.4 pkt. 3). W przypadku ruchu pęku rur w górę na brzeg obszaru B nałożony jest warunek prędkości wlotowej (velocity inlet), a na brzeg obszaru A nałożony jest warunek swobodnego 40

41 wypływu (outflow). Przy zmianie kierunku ruchu pęku rur należy zamienić warunki brzegowe na brzegach A i B. Wartości prędkości pęku rur przedstawione w tabeli 1 należy rozumieć jako wartości prędkości wlotowej cieczy w kierunku prostopadłym do brzegu obszaru, na który nałożony został warunek prędkości wlotowej. Prędkość cieczy na wlocie do obszaru symulacji w dalszej części pracy będzie określana jako modelowa prędkość pęku rur Podejście Lagrange a Podejście Lagrange a odpowiada założeniu, że ruch pęku rur odbywa się w zamkniętym zbiorniku i wywołuje w nim przepływ cieczy. W podejściu tym konieczne jest nałożenie warunku nieruchomej ściany na brzegi A i B (wall, roz. 5.4 pkt. 1), zaś równocześnie na brzeg E, który jest modelem ścianek rur w pęku oraz przegród, nałożony jest warunek brzegowy ruchomej ściany (moving wall, roz. 5.4 pkt. 2). Przedstawione w tabeli 1 wartości prędkości pęku rur są wartościami prędkości tego brzegu obszaru symulacji w kierunku osi symetrii. Ruchowi pęku rur w górę odpowiada wartość prędkości dodatnia, a ruchowi w dół ujemna Symulacje numeryczne przepływu zmiennego w czasie Ustalony charakter ruchu pęku rur pozwala przeprowadzić symulacje numeryczne z wykorzystaniem równań objętości skończonej bez członu czasowego. W procesach z ustalonym globalnym charakterem przepływu mogą jednak występować lokalne przepływy o charakterze nieustalonym, których szczególnym przypadkiem są zawirowania. Chociaż średnia wartość prędkości jest niezmienna w czasie, lokalnie występują wtedy strumienie o prędkości zmiennej w czasie. Takie sytuacje można odwzorowywać tylko przez symulację nieustalonego przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur. Warunki początkowe przyjmowane w symulacjach nieustalonego przepływu były następujące: prędkość cieczy w całym obszarze równa zero, prędkość pęku rur równa prędkości zadanej dla danego przypadku. Czas trwania symulacji określono na podstawie zmian średniej prędkości przepływu cieczy w czasie, według przykładowych wykresów zamieszczonych na rys Przyjęto 250 sekund, ponieważ w tym czasie średnia wartość prędkości przepływu cieczy ustalała się. Krok czasowy dla kolejnych nieustalonych symulacji 41

42 założono na 0,5 sekundy. Wartość ta uwzględnia powolny charakter przepływu oraz przebieg zmian wartości residuum w kolejnych krokach czasowych (rozdział 5.3). a) b) Rys Wykresy zmiany średniej prędkości na linii odniesienia LINE-3 w zależności od numeru kroku czasowego: a) podejście Lagrange a dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,016 m/s; b) podejście Eulera dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s Organizacja obliczeń i struktura wyników Plik zawierający informacje o siatce numerycznej oraz o rozmieszczeniu warunków brzegowych przygotowano w programie Gambit. Wszystkie parametry warunków brzegowych, takie jak prędkość ściany, kierunek ruchu ściany, prędkość wlotowa do układu zmieniane są w trakcie symulacji w programie Fluent. Dane do symulacji numerycznych oraz wyniki tychże symulacji zostały skatalogowane według struktury przedstawionej w tabeli 2. 42

43 Tabela 2. Hierarchia katalogów z wynikami symulacji (kursywą podano nazwy podkatalogów kolejnych poziomów). Poziom Parametr Nazwa podkatalogu (opis) 1 Podejście Lagrange Euler 2 Prędkość v04 v07 v11 v14 v16 3 Kierunek ruchu up (w górę) down (w dół) 4 Zmienność w czasie steadystate (symulacje przepływu ustalonego) transient (symulacje przepływu nieustalonego) W podkatalogach zamieszczono pliki z danymi modelu numerycznego o rozszerzeniu *.cas.gz oraz pliki z wynikami symulacji o rozszerzeniu *.dat.gz. W wyniku symulacji numerycznych otrzymuje się dane o wartościach szukanych wielkości w skończonej liczbie punktów pól skalarnych i wektorowych. Szczegółowe porównania wartości prędkości znalezionych przez symulację z wartościami uzyskanymi w doświadczeniach laboratoryjnych są możliwe na liniach odniesienia, leżących w polu przepływu. Położenie tych linii przyjęto według rys. 6.4, w jednakowych odległościach równych 1,5 podziałki wzdłużnej. Rys Położenie linii odniesienia względem pęku rur. W podkatalogach dla odpowiednich przypadków symulacji zamieszczono w postaci plików tekstowych wyniki z wartościami prędkości dla każdej z linii odniesienia (nazwa pliku składa się z nazwy linii odniesienia oraz z rozszerzenia *.txt). W podkatalogach zamieszczono również pliki z wartościami naprężeń stycznych i nadciśnień statycznych na powierzchni pęku rur o nazwie drag.txt. 43

44 6.3 WYNIKI STUDIUM Pola prędkości W rezultacie przeprowadzonych symulacji uzyskano warstwicowe i wektorowe wykresy pól prędkości. Na rys. 6.5 pokazano wykresy pola prędkości otrzymanego w wyniku symulacji w podejściu Lagrange a dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s: a) wykres warstwicowy, b) wykres wektorowy. a) 44

45 b) Rys Pole prędkości w podejściu Lagrange'a dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s: a) wykres warstwicowy; b) wykres wektorowy. Widoczne na wykresie warstwicowym czerwone pole symbolizuje maksymalną wartość prędkości cieczy, równą prędkości nadanej pękowi rur. Wykres warstwicowy przedstawiony na rys. 6.5a pozwala wyciągnąć wnioski o przepływie przez pęk rur na podstawie wartości modułu prędkości przepływu cieczy, przy czym nie obrazuje on kierunku przepływu. Najwyższe wartości prędkości występują w otoczeniu rur oraz w przestrzeni międzyrurowej blisko osi symetrii pęku, co jest spowodowane istnieniem obszaru o wysokiej wartości prędkości w części centralnej obszaru przepływu oraz istnieniem przegrody centralnej. Kierunek przepływu cieczy w tym obszarze widoczny jest na wykresie wektorowym rys. 6.5b, a w powiększeniu - na rys. 6.6b. Przepływ z obszaru o dużej wartości prędkości napotykając na przegrodę kieruje się do najbliższej przestrzeni międzyrurowej. Dodatkowo zmienia się kierunek przepływu części cieczy. Pokazane na rys. 6.5b wektory uwidaczniają kierunki przepływu cieczy w poszczególnych punktach pola prędkości. Zauważalne są wiry powstające w części centralnej oraz przy ścianie zbiornika, co świadczy o tym, że przepływ odbiega od przepływu potencjalnego. 45

46 a) b) Rys Wektorowe wykresy pola prędkości dla przepływu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s w podejściu Lagrange'a: a) przy ścianie zbiornika; b) przy osi symetrii pęku rur. Na rys. 6.6 przedstawiono zbliżenie wektorowego pola prędkości uzyskanego w podejściu Lagrange a. Wyraźnie widoczne zawirowanie pola wektorowego za przegrodą oznacza możliwość miejscowej stagnacji. Dodatkowo widoczne są lokalne zawirowania w przestrzeni międzyrurowej, a przy ścianie zbiornika występuje duży wir ponad przegrodą boczną. Przepływ cieczy przez pęk rur hamowany jest poprzez zawirowania lokalne występujące w przestrzeni międzyrurowej, co powoduje wzrost prędkości cieczy przy ścianie zbiornika. Podobny efekt widoczny jest poniżej przegrody centralnej. Opór stawiany przez pęk rur powoduje znaczny wzrost prędkości przepływu cieczy w przestrzeni międzyrurowej najbliższej usytuowaniu przegrody. Dodatkowo zauważalny jest obszar w pobliżu osi symetrii, gdzie występuje bezwirowy przepływ o znacznej prędkości. Zastosowanie przegrody pozwala zahamować ten przepływ, powodując równocześnie niekorzystne zjawisko gwałtownego wzrostu prędkości cieczy w przestrzeni międzyrurowej. Na rys. 6.7 zobrazowano przykładowe wyniki uzyskane w symulacjach według podejścia Eulera. Warstwicowy wykres pokazany na rys.6.7a przedstawia pole prędkości dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s. W podejściu Eulera maksymalna wartość prędkości wynosi 0,0181 m/s i jest 4,5-krotnie wyższa od modelowej prędkości pęku rur. Przepływ występuje w większym obszarze pomiędzy rurami, a zanika na ściankach rur, przy czym obszary o zwiększonej prędkości 46

47 pokrywają się z tymi, które uzyskano w podejściu Lagrange a. Prędkość w obszarze przy ścianie zbiornika jest większa, a największa wartość pojawia się w przestrzeni międzyrurowej przy rurze sąsiadującej z przegrodą centralną. Widoczny jest również obszar dużych wartości prędkości w pobliżu osi symetrii pęku rur. a) b) Rys Pole prędkości w podejściu Eulera dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s: a) wykres warstwicowy; b)wykres wektorowy. W wyniku symulacji w podejściu Eulera nie zauważa się obszarów wirowych charakterystycznych dla podejścia Lagrange a. Zarówno obszary przy przegrodach jak i 47

48 przestrzenie międzyrurowe wolne są od wirów. Może to świadczyć o przepływie zbliżonym do potencjalnego. Szczegółowa analiza pola prędkości możliwa jest na wykresach utworzonych dla linii odniesienia przedstawionych na rys Przykładowy wykres prędkości cieczy dla podejścia Eulera i Lagrange a w przypadku ruchu pęku rur w dół z prędkością 0,004 m/s przedstawiono na rys. 6.8, przy czym współrzędna x jest mierzona od osi symetrii pęku rur gdzie wynosi 0 i osiąga wartość minimalną na ścianie zbiornika. Wykresy potwierdzają duże wartości prędkości w części centralnej, w pobliżu przegrody centralnej oraz przy ścianie zbiornika. 48

49 Rys Wykresy wartości prędkości przepływu cieczy dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s w podejściu Eulera i Lagrange'a. W podejściu Eulera prędkość jest nadana całej cieczy w zbiorniku. Przepływ następuje przez wolne obszary pęku rur, stanowiącego przeszkodę dla ruchu cieczy. Z tego powodu wartości prędkości na liniach odniesienia LINE-1 i LINE-5 są zbliżone do wartości modelowej prędkości pęku rur. Symulacje przeprowadzono dla pięciu wartości prędkości ruchu pęku rur podanych w tabeli 1. W celu porównania profilu prędkości przepływu cieczy przy różnych wartościach prędkości ruchu pęku rur, na liniach odniesienia wykreślono wykresy modułu prędkości bezwymiarowej cieczy. Przez moduł prędkości bezwymiarowej należy rozumieć stosunek modułu wektora prędkości cieczy do 49

50 prędkości ruchu pęku rur. Przykładowe porównanie przedstawiono na rys. 6.9 dla symulacji według podejścia Lagrange a przy prędkości pęku rur 0,004 m/s i 0,016 m/s. Widoczne jest pokrywanie się wartości modułu prędkości bezwymiarowej na całej długości linii odniesienia. Z tego powodu przyjęto, że pola prędkości bezwymiarowej są takie same pod względem jakościowym dla każdej prędkości ruchu pęku rur. Pola prędkości ulegają zmianie przy zmianie zastosowanego podejścia symulacji oraz przy zmianie kierunku ruchu pęku rur. Rys Prędkość cieczy względem prędkości pęku rur dla podejścia Lagrange'a przy 0,004 m/s i 0,016 m/s. Ruch cieczy w otoczeniu pęku rur można szczegółowo przeanalizować rozpatrując wykresy składowych prędkości cieczy dla poszczególnych linii odniesienia. 50

51 Na przedstawionych na rys i 6.11 wykresach prędkości poziomej v x i prędkości pionowej v y można zauważyć zmianę kierunku przepływu cieczy między rurami w poszczególnych rzędach rur. Szczególnie dobrze widoczna jest zmiana kierunku prędkości poziomej v x między rurami dla linii odniesienia LINE-2 i LINE-4. Wykres prędkości pionowej uwidacznia spadek składowej v y w kierunku ścianek rur w pęku. W symulacjach według podejścia Lagrange a największe prędkości cieczy są równe prędkości pęku rur. W podejściu Eulera można również zaobserwować zmianę kierunku ruchu cieczy w pobliżu przegrody centralnej dla linii odniesienia LINE-3. Jednak modelowanie przy użyciu podejścia Eulera nie wskazuje na zmiany kierunku ruchu cieczy w tak wielu obszarach, jak to wynika z modelowania przy użyciu podejścia Lagrange a. 51

52 Rys Składowa pozioma prędkości cieczy dla ruchu pęku rur w górę przy prędkości 0,004 m/s. Rys Składowa pionowa prędkości cieczy dla ruchu pęku rur w górę przy prędkości 0,004 m/s. 52

53 6.3.2 Opór hydrauliczny Wyniki przeprowadzonych symulacji numerycznych umożliwiają także wyznaczenie wartości oporu hydraulicznego działającego na pęk rur. Do wyznaczenia tej wielkości wykorzystano metodykę przedstawioną w rozdziale 4. W tabeli 3 przedstawiono sumaryczne wartości współczynnika oporów hydraulicznych, naprężeń stycznych i nadciśnień statycznych wyznaczonych na brzegu obszaru symulacji odwzorowującego pęk rur z przegrodami. Tabela 3. Sumaryczne wartości współczynnika oporów hydraulicznych c h, naprężeń stycznych τ w i nadciśnień statycznych p na ściankach pęku rur uzyskane z wyników symulacji numerycznych. Podejście Lagrange a v [m/s] Re c h τ w [Pa] p [Pa] c h τ w [Pa] p [Pa] Ruch pęku rur w dół 0,004 0, ,007 0, ,011 0, ,014 0, Ruch pęku rur w górę 0,016 0, Podejście Eulera v [m/s] Re c h τ w [Pa] p [Pa] c h τ w [Pa] p [Pa] Ruch pęku rur w dół 0,004 0, ,007 0, ,011 0, ,014 0, Ruch pęku rur w górę 0,016 0, Powyższe wartości zamieszczono także na wykresie przedstawionym na rys Najniższe wartości naprężeń stycznych występują w wynikach symulacji według podejścia Lagrange a. Wartości te są niezależne od kierunku ruchu pęku rur, o czym 53

54 świadczy pokrywanie się wykresów dla obydwu kierunków ruchu. Ponieważ z obliczeń według podejścia Lagrange a wynikają niższe wartości prędkości cieczy, obliczone naprężenia styczne także są niższe od naprężeń obliczonych według podejścia Eulera, przy czym różnica wynosi ok. 20% wartości uzyskanych w podejściu Lagrange a. Poza siłą oporu tarcia wywołaną naprężeniami stycznymi, na opór hydrauliczny wpływa także siła oporu ciśnienia wywołana nadciśnieniem statycznym na powierzchni pęku rur. W podejściu Lagrange a dla ruchu pęku rur w dół wartości nadciśnienia statycznego na powierzchni pęku rur stanowią 1,72 wartości naprężeń stycznych. W przypadku ruchu pęku rur w górę nadciśnienie statyczne stanowi 1,54 wartości naprężeń stycznych. Różnica między wartościami uzyskanymi dla ruchu w górę i w dół świadczy o wpływie kształtu przegród na wartości nadciśnienia statycznego. Wpływ kształtu przegród na wartości nadciśnienia statycznego występuje także w podejściu Eulera. Jednak wartości stosunku nadciśnień statycznych do naprężeń stycznych są dużo większe i wynoszą: dla modelowego ruchu w dół 4,63; dla ruchu w górę 3,95. Rys Wartości naprężeń stycznych τ w i nadciśnień statycznych p na powierzchni pęku rur w zależności od liczby Reynoldsa ( - ruch pęku rur w górę; - ruch pęku rur w dół). Wartości nadciśnień statycznych i naprężeń stycznych posłużyły do wyznaczenia wartości oporów hydraulicznych. Wykres tych oporów w zależności od 54

55 liczby Reynoldsa przedstawiono na rys. 6.13, przy czym na rysunku naniesiono również wartości uzyskane według metod analitycznych opisanych w literaturze [7,8]. Rys Wykres oporów hydraulicznych pęku rur w zależności od liczby Reynoldsa ( - ruch pęku rur w górę; - ruch pęku rur w dół). Wartości oporów hydraulicznych uzyskane z wyników symulacji według podejścia Eulera, jak wynika z rys determinowane głównie poprzez nadciśnienia statyczne działające na pęk rur, są trzykrotnie większe od wartości uzyskanych w podejściu Lagrange a. Wartości oporów hydraulicznych uzyskanych w niniejszej pracy i wartości wyznaczone według metody zamieszczonej w literaturze [8] są zbliżone. Metoda ta służy do wyznaczania oporów hydraulicznych w rurowych wymiennikach ciepła, gdzie pęk rur jest nieruchomy, co odpowiada założeniu zastosowanemu w symulacjach według podejścia Eulera. Natomiast wartości uzyskane według innej metody zamieszczonej w [7] nie są zgodne z wynikami symulacji - ani według podejścia Eulera, ani Lagrange a. W symulacjach według podejścia Lagrange a wartości prędkości na ściankach pęku rur są niezerowe. Z tego powodu wartości nadciśnienia statycznego są niższe, co jest równoznaczne z wartościami oporów hydraulicznych niższymi od uzyskanych w podejściu Eulera. Wyniki obliczeń oporów hydraulicznych uzyskanych według podejścia Lagrange a nie są porównywalne z wynikami zamieszczonymi w literaturze, gdyż te ostatnie opracowano dla nieruchomych pęków rur instalowanych w przeponowych wymiennikach ciepła. 55

56 7. DOŚWIADCZENIE 7.1 OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO Badania doświadczalne przeprowadzono na stanowisku, którego schemat jest widoczny na rys Rys Schemat budowy stanowiska laboratoryjnego: 1 - zbiornik szklany; 2 - pęk rur; 3 - gliceryna; 4 - przesuwna ściana zbiornika; 5 - napęd pęku rur; 6 - stabilizator napięcia; 7 - tachometr; 8 - laser; 9 - kamera; 10 - wysięgnik kamery; 11 - statyw; 12 komputer; A - mocowanie kamery do badań w podejściu Eulera; B - mocowanie kamery do badań w podejściu Lagrange a. Zbiornik 1 w kształcie prostopadłościanu jest wykonany z płyt szklanych o grubości 5 mm. Wysokość zbiornika, dobrana do zakresu przesuwu pęku rur, wynosi 300 mm. Szerokość zbiornika wynosi 270 mm i przekracza szerokość pęku rur 2 poruszającego się w cieczy 3. W celu dopasowania szerokości zbiornika do szerokości pęku rur, wewnątrz zbiornika zamontowana jest przesuwna ściana 4. Zastosowanie 56

57 takiego rozwiązania pozwala uniknąć problemów z ewentualnymi niedokładnościami wykonania zbiornika i jego ewentualną przebudową. Długość (wymiar w kierunku osi rur) zbiornika jest dobrana do długości pęku rur i wynosi 110 mm, zapewniając niewielki luz dla swobodnego ruchu pęku. Zbiornik wypełnia gliceryna 3, w której zawieszone są cząstki znacznikowe konieczne do doświadczalnego wyznaczenia pola prędkości. W niniejszej pracy do tego celu wykorzystano proszek polipropylenowy. Kluczowym elementem stanowiska doświadczalnego jest ruchomy pęk rur z przegrodami 2. Modelowe rurki wykonano ze szkła, a przegrody ograniczające przepływ - z plexi, co umożliwia oświetlenia całej objętości cieczy znajdującej się w zbiorniku. Pęk rur jest napędzany siłownikiem z wbudowanym mechanizmem śrubowym MB5024 firmy Nice i silnikiem elektrycznym prądu stałego, a regulacja prędkości ruchu pęku rur odbywa się poprzez zmianę napięcia zasilającego silnik za pomocą stabilizatora napięcia PEAV-1 6 firmy PMiE POLON-KRAKÓW. Znając skok śruby napędu 5, wyznaczono wartości prędkości ruchu pęku rur w zależności od prędkości obrotowej rotora silnika zamontowanego w napędzie. Prędkość obrotową mierzono tachometrem elektronicznym DMT 21 7 firmy MERA-PIAP zamontowanym do wałka napędowego silnika elektrycznego. Oświetlenie konieczne do pozyskiwania obrazów ruchu cieczy zapewnia impulsowy laser diodowy 8, w którego skład wchodzą: dioda laserowa ML 101J8, układ optyczny z soczewką cylindryczną LG-P4, sterownik z modulacją. Światło z diody laserowej o mocy 50mW przy długości fali 660 nm jest przekształcane ze skupionej wiązki w nóż świetlny przy pomocy soczewki cylindrycznej. W trakcie pomiarów akwizycja obrazów odbywa się przy użyciu cyfrowej kamery A1021 firmy Basler 9. Kamera ta umożliwia uzyskanie obrazów o maksymalnej rozdzielczości 1392x1040 pikseli o 256 odcieniach szarości. W badaniach przeprowadzonych w podejściu Eulera kamera poruszała się razem z pękiem rur. Zrealizowano to poprzez połączenie pęku rur i kamery za pomocą wysięgnika 10. W badaniach w podejściu Lagrange a wysięgnik kamery był demontowany a kamerę umieszczono na statywie

58 Do zapisu obrazu na dysku komputera 12 służy program Coriander w wersji działający w systemie operacyjnym Suse Linux 9.2. Program ten umożliwia zapis sekwencji wideo jak i również pojedynczych klatek na dysk komputera. Za jego pośrednictwem możliwe jest również sterowanie parametrami kamery. Przesył danych pomiędzy komputerem i kamerą odbywa się poprzez szybką magistralę szeregową IEEE-1394 (FireWire). a) b) Rys Zdjęcia stanowiska doświadczalnego: a) widok stanowiska; b) widok pęku rur w zbliżeniu. 7.2 PRZEBIEG POMIARÓW DOŚWIADCZALNYCH I AKWIZYCJA OBRAZÓW Badania doświadczalne przeprowadzono dla pięciu wartości prędkości ruchu pęku rur. Schemat pojedynczej serii pomiarowej był następujący: 1. Ustawienie wstępne napięcia zasilającego, 2. Pomiar prędkości obrotowej napędu śrubowego podczas próbnego przebiegu pęku rur, 3. Korekta wartości napięcia zasilającego, w przypadku gdy prędkość obrotowa podczas próbnego przebiegu nie pokrywała się z prędkością docelową, 4. Zapis obrazów z kamery. W badaniach wykonanych według podejścia Eulera wykonano akwizycję obrazów w dwóch wariantach zbliżenia obrazu: pierwszym, gdy obraz widziany z kamery obejmował cały pęk rur, drugim, gdy obraz obejmował w zbliżeniu jedną część pęku. W podejściu Lagrange a wykonano akwizycję obrazów całego pęku rur. Dla każdej serii w trakcie pomiarów laboratoryjnych zarejestrowano: 58

59 w podejściu Eulera od 133 do 544 obrazów, w podejściu Lagrange a od 173 do 720 obrazów. Zapis następował z częstotliwością 15 obrazów na sekundę. Łącznie zebrano ponad 7300 obrazów pola prędkości cieczy. Obrazy w podejściu Eulera zapisywane były na dysk komputera w trakcie ruchu pęku rur. Granicami zakresu ruchu pęku rur były położenia: górnego rzędu pęku rur - ok. 80 mm poniżej powierzchni swobodnej cieczy, dolnego rzędu pęku rur - ok. 50 mm ponad dnem zbiornika. Pozwoliło to wyeliminować oddziaływanie dna zbiornika na kierunek przepływu cieczy, a także wpływ ruchu powierzchni swobodnej na wyniki badań doświadczalnych. W podejściu Lagrange a kamera ustawiona była w połowie zakresu ruchu pęku rur. Akwizycja obrazów odbywała się dopóki cały pęk rur był widoczny w polu obserwacji kamery i kończyła, gdy pęk rur zbliżał się do brzegu pola obserwacji kamery. Do wyznaczania doświadczalnego pola prędkości wybierano 10 kolejno następujących po sobie obrazów odpowiadających położeniu pęku rur najbliżej osi optycznej kamery. Pozwoliło to zminimalizować błąd paralaksy wskutek niepokrywania się osi optycznej kamery z osią pęku rur. 7.3 CYFROWA ANEMOMETRIA OBRAZOWA Wprowadzenie Obraz w cyfrowym zapisie stanowi zbiór dyskretny, którego elementami są świetlne punkty zwane pikselami. Liczba pikseli w obrazie stanowi o jego rozdzielczości, a tym samym o możliwości pokazania szczegółów. Obrazy mogą być kolorowe i czarnobiałe. Z matematycznego punktu widzenia każdy piksel może być rozpatrywany jako element macierzy o wartość odpowiadającej jasności danego piksela. W niniejszej pracy wykorzystano obrazy o 256 odcieniach szarości. Wartość piksela równa 0 odpowiada kolorowi czarnemu, a wartość 255 odpowiada kolorowi białemu. Metoda cyfrowej anemometrii obrazowej (DPIV) opiera się na porównaniu dwóch, kolejno po sobie zarejestrowanych obrazów. Zawieszone w cieczy cząstki znacznikowe przesuwają się wraz z poruszającą się cieczą. Przez porównanie dwóch 59

60 obrazów można określić przemieszczenia cząstek znacznikowych, a znając czas jaki upłynął pomiędzy rejestracją tych obrazów, można wyznaczyć prędkości cząstek. Wyznaczanie przemieszczenia cząstek znacznikowych opiera się na wyznaczeniu splotu (korelacji) dwóch obrazów, w których widoczne są cząstki znacznikowe. Schemat postępowania przedstawiony jest na rys Rys Schemat przedstawiający zasadę podziału obrazów na okna przeszukiwań oraz wyznaczanie przemieszczeń [61,66]. Wyznaczanie przemieszczenia odbywa się nie dla całego obrazu, ale oddzielnie dla każdego okna przeszukiwań. Okno to jest częścią obrazu o narzuconych wymiarach. Z uwagi na statystyczny charakter metody DPIV okno przeszukiwań musi spełniać kilka warunków: wymiary okna w pikselach powinny być wielokrotnością liczby 2; obraz okna powinien zawierać w sobie 4 do 6 cząstek znacznikowych; największe przemieszczenie cząstek znacznikowych nie powinno być większe niż połowa wymiaru okna przeszukiwań. Liczba punktów, w których wyznaczana jest prędkość ruchu cieczy, określona jest przez wielkość okna przeszukiwań i krok przesunięcia tego okna. Krok ten pomiędzy kolejnymi pozycjami wyznaczania prędkości nie powinien być mniejszy niż połowa długości boku okna przeszukiwań [57]. W niniejszej pracy przyjęto następujące parametry: w podejściu Eulera: okno przeszukiwań 32x32 piksele; krok 16 pikseli, w podejściu Lagrange a: okno przeszukiwań 16x16 pikseli; krok 8 pikseli. 60

61 7.3.2 Metoda korelacyjna Do komputerowo wspomaganego wyznaczania pola prędkości cieczy przy przepływie przez ruchomy pęk rur opracowano skrypt w środowisku Matlab, zamieszczony w załączniku. W skrypcie tym zastosowano funkcję korelacji krzyżowej, której wartość jest obliczana dla odpowiednich okien przeszukiwania dwóch zarejestrowanych po sobie obrazów cząstek zawieszonych w płynie. Wartość funkcji korelacji krzyżowej wyznaczana jest na podstawie macierzy, w których elementami są wartości jasności pikseli okien przeszukiwań. Funkcja ta ma postać [55,62]: M 1N 1 m= 0 n= 0 ( m, n) I ( m + i n + j) C ( i, j) = I (7.1) 1 2, gdzie: I 1, I 2 macierze okien przeszukiwania; i, j indeks macierzy funkcji korelacji krzyżowej; M N rozmiar macierzy okna przeszukiwań; n, m indeks elementu macierzy okna przeszukiwań. Macierz funkcji korelacji ma rozmiar 2M-1 2N-1. Na rys. 7.4 przedstawiono dwa przykładowe obrazy okna przeszukiwań. Funkcja korelacji krzyżowej uzyskana z tychże obrazów przedstawiona jest na wykresie rys. 7.4c. Przemieszczenie cząstek znacznikowych jest obliczane poprzez wyznaczenie położenia maksimum funkcji korelacji krzyżowej (piku korelacyjnego) w stosunku do centralnego elementu macierzy tej funkcji [57]. W wyniku obliczeń otrzymuje się przemieszczenie x mierzone w pikselach. Znajomość odstępu czasu t między zapisami dwóch kolejnych obrazów przepływu pozwala wyznaczyć prędkość według następującej zależności (dla pojedynczego okna przeszukiwań): x v = k (7.2) t gdzie: v prędkość [m/s]; x przemieszczenie [pix]; t odstęp czasu [s]; k podziałka obrazu [m/pix]; a) b) 61

62 c) d) Rys Wyznaczanie średniego przemieszczenia cząstek w oparciu o korelację krzyżową: a) obraz rzeczywistego położenia cząstek w chwili t; b) obraz położenia cząstek w chwili t+ t; c) wykres powierzchniowy funkcji korelacji krzyżowej; d) wykres warstwicowy z zaznaczonym wektorem średniego przemieszczenia cząstek. Przemieszczenie wyznaczone według powyższej metodyki może przyjmować tylko całkowite wartości mierzone w pikselach. Cyfrowa anemometria obrazowa pozwala również oszacować przemieszczenia, których wartościami są części piksela [58]. W tym celu wartość maksimum funkcji korelacji jest dopasowywana do krzywej Gaussa na podstawie wartości sąsiednich elementów macierzy funkcji korelacji według następujących zależności: x y C C = x 0 = y 0 + 2lnC + 2lnC lnc ( i 1, j ) ( i+ 1, j ) ( i 1, j ) ( i, j ) ( i+ 1, j ) lnc 4lnC ( i, j 1 ) ( i, j+ 1) 4lnC lnc lnc + 2lnC + 2lnC ( i, j 1) ( i, j ) ( i, j+ 1) (7.3) gdzie: x C, y C szacowane nowe położenie maksimum macierzy korelacji; x 0, y 0 pierwotne położenie piku korelacyjnego; C macierz korelacji; i, j indeksy elementów macierzy korelacji. W niektórych przypadkach wyznaczone wektory prędkości mogą być błędne, a wtedy stosowane są metody korekcji polegające na uśrednieniu wektorów prędkości obliczonych dla sąsiadujących okien przeszukiwań. W niniejszej pracy zastosowano specjalny algorytm pozwalający znaleźć i skorygować wektory błędne [61]. Na rys. 7.5 pokazano rozmieszczenie tych wektorów sąsiadujących z wektorem błędnym, które są brane pod uwagę przy korekcie. 62

63 zależności: Rys Wektor błędny wraz z ośmioma sąsiednimi wektorami przed korektą. W pierwszym kroku wyznaczana jest wartość średnia modułu wektorów według 9 1 v = v i (7.4) 9 i= 1 Wektor v 5 zostaje uznany za błędny jeżeli jego moduł nie zawiera się w przedziale v σ ; v +σ, przy czym odchylenie standardowe σ jest wyznaczane z zależności: 9 ( v i v ) 1 2 σ = (7.5) 9 i= 1 Jeżeli wektor jest uznany za błędny, to jego poprawioną wartość wyznacza się na podstawie średniej ważonej. Wagami w tym wypadku są odwrotności odległości punktów zaczepienia wektorów sąsiednich i wektora korygowanego: 1 ( v + v + v + v ) + ( v + v + v + v ) v 5 = (7.6) W skrypcie załączonym do niniejszej pracy powyższy algorytm korekcji wykresów zrealizowano na liczbach zespolonych, przy czym: v = R ( v) + I( v) gdzie: R(v) = Re(v) - składowa pozioma wektora prędkości; I(v) = Im(v) - składowa pionowa wektora prędkości. Przykładowe pola prędkości uzyskane w badaniach według podejść Lagrange a i Euler na tle obrazów cząstek znacznikowych pokazano na rys. 7.6 i

64 Rys Wektory prędkości uzyskane w doświadczalnym przepływie w podejściu Lagrange a dla ruchu pęku rur w górę przy prędkości 0,011m/s. Rys Wektory prędkości uzyskane doświadczalnie w podejściu Eulera dla modelowego ruchu pęk rur w górę przy prędkości 0,011m/s. 64

65 7.4 WIZUALIZACJA TORÓW CZĄSTEK ZNACZNIKOWYCH Dodatkowe informacje o strukturze przepływu można uzyskać w postaci pojedynczego obrazu zawierającego tory cząstek znacznikowych poruszających się z cieczą. Informacje te nie mają charakteru liczbowego, lecz uwidoczniają miejsca o szczególnie niepożądanym charakterze przepływu [66], jak obszary zerowej prędkości, dużych gradientów prędkości lub występowania wirów. Wizualizacja torów cząstek znacznikowych polega na sumowaniu dowolnej liczby macierzy obrazów przepływu. W niniejszej pracy przyjęto 30 kolejnych obrazów uzyskanych w podejściu Eulera i 10 kolejnych obrazów w podejściu Lagrange a, przy czym liczby te określono na podstawie próbnych wyników sumowania. Zbyt mała liczba zsumowanych obrazów nie odzwierciedla całości przepływu, natomiast zbyt duża liczba znacznie wydłuża czas niezbędnych obliczeń. Przed dodaniem do siebie macierzy obrazów konieczne jest przeprowadzenie obróbki wstępnej, polegającej na usunięciu szumów oraz normalizacji jasności tła obrazu. W niniejszej pracy zastosowano zmniejszenie stopnia jasności o wartość mediany wyznaczonej z macierzy o rozmiarach okna przeszukiwań. Najlepsze efekty tworzenia obrazów wizualizujących tory cząstek znacznikowych uzyskano przy wielkości okna przeszukiwań 7x7 pikseli. Wizualizacja torów cząstek znacznikowych uzyskanych w podejściu Eulera nie wymagała innych działań, poza przedstawionymi powyżej, z uwagi na stałe położenie pęku rur względem kamery. Przykładowy obraz torów cząstek uzyskany w podejściu Eulera przedstawiono na rys. 7.8a. 65

66 a) b) Rys Tory cząstek uzyskane przy prędkości 0,004 m/s w dół: a) w podejściu Eulera; b) w podejściu Lagrange a. W przypadku obrazów uzyskanych w podejściu Lagrange a, po ich dodaniu widoczne były także tory ruchu pęku rur przesłaniające tory cząstek znacznikowych. Dla prawidłowego przetworzenia obrazów w tym podejściu konieczne było usunięcie jasności tych części obrazów, które powstały w wyniku odbicia światła od pęku rur i przegród. Do tego celu została stworzona specjalna maska, za pomocą której usunięto te odbicia światła. Zastosowanie maski pozwala zminimalizować liczbę usuniętych punktów obrazu będących obrazami cząstek znacznikowych. Przykładowy obraz torów cząstek uzyskany w podejściu Lagrange a przedstawiono na rys. 7.8b. W załączniku zamieszczono skrypt ptv.m napisany w środowisku Matlab, który pozwala wyznaczyć plik obrazu torów cząstek, będący wynikiem dodawania 30 kolejnych obrazów pola przepływu. 7.5 DYSKUSJA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Najważniejszymi błędami, które odnosiły się bezpośrednio do mierzonych prędkości, są: 1. Błąd paralaksy wskutek niepokrywania się osi optycznej kamery z osią rury umieszczonej w pęku. W wyniku tego błędu część pola przepływu zostaje przysłonięta poprzez część rury znajdującą się przed płaszczyzną noża świetlnego. Umieszczając możliwie blisko końca rur płaszczyznę noża świetlnego, błąd ten można zminimalizować. Wartość tego błędu rośnie wraz ze wzrostem odległości osi rury od osi optycznej kamery. Na podstawie wielkości przesłonięcia obrazu pola przepływu, maksymalną wartość przysłonięcia obrazu przepływu w wyniku błędu paralaksy 66

67 określono na 20 pikseli, co daje błąd 1,5% w stosunku do rozdzielczości poziomej obrazu. 2. Błąd wynikający z odchylenia kamery od poziomu. Największe odchylenie krawędzi poziomej zapisanego obrazu od osi rzędu rur w pęku wyniosło 4 piksele. W stosunku do rozdzielczości poziomej obrazu wynoszącej 1392 piksele daje to błąd 0,3%. 3. Błąd wynikający z przybliżenia odstępów czasu między kolejno zapisywanymi obrazami. Do wyznaczenia pola prędkości przyjęto odstęp czasu między rejestracjami kolejnych obrazów wynoszący 0,066s. Rzeczywista częstotliwość pobieranych obrazów wynosiła 15 na sekundę, co odpowiada odstępowi czasu 0,066(6)s, a zatem błąd wynosił ok. 1%. Znaczny wpływ na pole prędkości uzyskane w badaniach doświadczalnych mogły mieć niedokładności związane z wykonaniem pęku rur oraz zbiornika mieszczącego ciecz. W celu wyznaczenia niepewności pomiarowych przeprowadzono analizę statystyczną otrzymanych wartości doświadczalnych Lokalna analiza statystyczna Lokalną analizę statystyczną w podejściu Eulera przeprowadzono przy założeniu ustalonego przepływu cieczy. Założenie to pozwala wyznaczyć niepewności pomiarowe dla każdego wektora prędkości uzyskanego z cyfrowej anemometrii obrazowej. W niniejszej pracy wyznaczone niepewności pomiarowe są odchyleniami standardowymi modułów wektorów prędkości od średniego modułu wektora prędkości. Do obliczeń średniego modułu i odchylenia standardowego opracowano skrypt mean_piv.m, w którym wykorzystano następujące zależności [62]: wartość średnia modułów wektorów prędkości: n 1 v = v (7.7) n i= 1 odchylenie standardowe: i n ( vi v ) 1 2 σ = (7.8) v n i= 1 gdzie: n liczba wyznaczonych pól prędkości w serii pomiarowej. 67

68 Powyższe zależności pozwalają zsumować wektorowe pola prędkości dla całej serii pomiarowej, gdzie współrzędne punktów zaczepienia odpowiednich wektorów w poszczególnych polach są sobie równe. Wyznaczenie uśrednionego pola prędkości zobrazowano na rys Rys Wyznaczenie wektorowego pola średnich prędkości. Wyznaczone średnie moduły wektorów prędkości i wartości odchylenia standardowego oraz współrzędne punktów zaczepienia wektorów zostały zapisane w pliku tekstowym. W podejściu Lagrange a z uwagi na zmianę położenia pęku rur względem kamery niemożliwe było przeprowadzenie lokalnej analizy statystycznej dla wszystkich uzyskanych wyników. W tym podejściu lokalną analizę statystyczną ograniczono do wektorów prędkości, których punkty zaczepienia znajdują się na liniach odniesienia przedstawionych na rys W analizie wykorzystano zależności (7.7) i (7.8) z tym, że wynik nie został zapisany do pliku, lecz przedstawiono go w postaci słupków błędu na wykresach porównawczych szerzej opisanych w rozdziale 8 i zamieszczonych w załączniku Globalna analiza statystyczna Cyfrowa anemometria obrazowa umożliwia prawidłowe zbadanie pola wektorowego tylko wtedy, gdy jego płaszczyzna pokrywa się z płaszczyzną noża świetlnego. W związku z tym przeprowadzono analizę statystyczną pola wektorowego w celu wykrycia strug cieczy, których kierunek nie pokrywa się z płaszczyzną noża świetlnego. Analiza ta ma charakter globalny. 68

69 Punktem wyjścia w analizie globalnej jest wyznaczenie strumienia objętości przez płaszczyznę S przekroju poprzecznego zbiornika, prostopadłą do płaszczyzny noża świetlnego (rys. 7.9). Rys Założenia do globalnej analizy statystycznej: 1 zbiornik; 2 płaszczyzna noża świetlnego; 3 pęk rur. Strumień objętości przez płaszczyznę S wynosi: Q = nds = S v v ds (7.9) S y Z równania ciągłości (5.10) wynika iż Q = const niezależnie od położenia płaszczyzny S względem płaszczyzny xz. Wyznaczenie wartości strumienia objętości Q jest możliwe tylko wtedy, gdy znane jest pole prędkości na płaszczyźnie S. Ponieważ jednak w przeprowadzonych badaniach wyznaczono pole prędkości na płaszczyźnie noża świetlnego, możliwe jest tylko wyznaczenie strumieni przez powierzchnię zdegenerowaną do linii L, utworzonej z przecięcia płaszczyzny S płaszczyzną noża 69

70 świetlnego. Na tym etapie zakłada się, że profil prędkości nie zmienia się na całej długości płaszczyzny S w kierunku osi z. W tym przypadku strumień objętości przypadający na jednostkę długości płaszczyzny S w kierunku osi z ma wartość: Q v d L (7.10) L = L y Z danych uzyskanych przy pomocy cyfrowej anemometrii obrazowej, wyznaczenie wartości Q L możliwe jest poprzez całkowanie numeryczne. Do tego celu opracowano skrypt calka.m, w którym wykorzystano metodę trapezów [76]. W wyniku użycia tego skryptu uzyskuje się wartość Q L dla jednego, ściśle określonego położenia linii L. Globalna analizy statystyczna wymaga wyznaczenia wartości Q L dla całego obserwowanego pola przepływu, przy czym linie L muszą być równoległe do osi x. Wartości Q L dla całego obserwowanego pola przepływu wyznaczono przy użyciu skryptu streams.m. Schemat przebiegu globalnej analizy statystycznej przedstawiono na rys Wyznaczenie wartości strumieni Q L Wyznaczenie średniego strumienia Q L Wyznaczenie odchylenie standardowego σ Q Rys Schemat działań w globalnej analizie statystycznej. Wyznaczenie strumieni objętości na jednostkę długości Q L dla całego obserwowanego pola przepływu pozwala wyznaczyć średnią wartość Q L oraz miarę zmian tej wartości, tj. odchylenie standardowe σ Q. Wyznaczone wartości są zapisywane w postaci pliku tekstowego. Analizę według powyższego schematu zrealizowano dla wszystkich badanych prędkości ruchu pęku rur w obu kierunkach oraz w obu podejściach: Eulera i Lagrange a. Zapis wartości do pliku streams.txt Przedstawiony na rys wykres obrazuje wynik globalnej analizy statystycznej w podejściu Eulera, gdy ciecz przepływa przez cały obserwowany obszar. Z uwagi na liniowy charakter równania (7.10) spodziewane było uzyskanie liniowego rozkładu średniego strumienia Q L w zależności od modelowej prędkości pęku rur. 70

71 Zauważono jednak znaczny spadek średniego strumienia Q L, w stosunku do spodziewanej wartości, wraz ze wzrostem prędkości pęku rur powyżej 0,007 m/s. Symulacje numeryczne wykazały znaczny wzrost wartości nadciśnienia statycznego wraz ze wzrostem prędkości, co może oznaczać, że znaczna ilość cieczy przepływa w miejscach nieszczelności między pękiem rur a ścianami zbiornika. Rys Strumienie w podejściu Eulera: - kierunek ruchu pęku rur w górę; - kierunek ruchu pęku rur w dół. W globalnej analizie statystycznej w podejściu Lagrange a z uwagi na nieruchomą ciecz spodziewany był średni strumień objętości o wartości 0. W tym przypadku dla prędkości pęku rur poniżej 0,011 m/s wartości strumieni objętości są rzeczywiście bliskie zeru, jednak ze wzrostem prędkości wzrasta wartość odchylenia standardowego. Przy wzroście prędkości ruchu pęku rur powyżej 0,011 m/s dla kierunku ruchu pęku rur w dół i 0,014 m/s dla kierunku w górę następuje zmiana kierunku średniego strumienia objętości Q L oraz wzrost różnicy między uzyskaną wartością średniego strumienia objętości a wartością spodziewaną równą 0. Wykres pokazany na rys przedstawia wyniki globalnej analizy statystycznej dla podejścia Lagrange a. Różnica w rozkładzie średniego strumienia objętości Q L dla kierunków w górę i w dół może być spowodowana większym oporem hydraulicznym przy ruchu pęku rur w dół, a tym samym wzrostem ilości przepływającej cieczy, której kierunek wektora prędkości nie pokrywa się z kierunkiem ruchu pęku rur. 71

72 Rys Strumienie w podejściu Lagrange'a: - kierunek ruchu pęku rur w górę; - kierunek ruchu pęku rur w dół. 72

73 8. PORÓWNANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Z DANYMI DOŚWIADCZALNYMI 8.1 METODYKA PORÓWNANIA Przedstawione w niniejszej pracy porównanie wyników symulacji numerycznych z wynikami badań doświadczalnych ma charakter ilościowy i jakościowy. Jakościowe porównanie wyników badań i wyników symulacji numerycznych możliwe jest poprzez porównanie torów ruchu cząstek znacznikowych oraz linii prądu. Tory ruchu cząstek znacznikowych uzyskano z obrazów pobranych w trakcie badań doświadczalnych. Linie prądu są otrzymane z wyników symulacji jako linie styczne do wektorów prędkości. Porównanie ilościowe polega na bezpośrednim zestawieniu wartości uzyskanych prędkości w badaniach doświadczalnych i symulacjach numerycznych. Do szczegółowego porównania ilościowego opracowano dwa skrypty: comparisoneuler.m i comparisonlagrange.m opisane w załączniku. Zadaniem tych skryptów jest tworzenie wykresów porównawczych modułów prędkości, niezależnie dla podejść Eulera i Lagrange a. Wykresy porównawcze opracowano dla prędkości na liniach odniesienia. Rys Interpolacja wyników doświadczalnych do współrzędnych linii odniesienia. Pole prędkości wyznaczone za pomocą cyfrowej anemometrii obrazowej jest opisane wartościami prędkości w punktach oddalonych od siebie o krok przesunięcia okna przeszukiwań w poziomie i w pionie. Gdy współrzędna pionowa linii odniesienia nie pokrywa się ze współrzędną, dla której wyznaczono wyniki doświadczalne, wykorzystuje się interpolację wyników doświadczalnych, co zobrazowano na rys Do interpolacji prędkości, której wektory mają początek na linii odniesienia y LINE 73

74 wykorzystano interpolację liniową na podstawie dwóch najbliższych danych y 1PIV i y 2PIV według następujących zależności: v w w LINE 1 2 = 1 = w v + w v = 1 1 1PIV y y LINE 1PIV y y LINE 1PIV y y y y 2 1PIV 2PIV 2PIV 2PIV 2PIV (8.1) gdzie: v 1PIV, v 2PIV, v LINE wektory prędkości odpowiednio dla współrzędnych y 1PIV, y 2PIV, y LINE. Porównanie danych doświadczalnych i symulacji numerycznych w podejściu Eulera realizowane jest według schematu przedstawionego na rys Wyniki symulacji numerycznych zawarte są w plikach tekstowych dla każdej linii odniesienia oddzielnie. Uśrednione wartości prędkości są wczytywane z pliku tekstowego, który jest wynikiem lokalnej analizy statystycznej. Wczytanie uśrednionych danych doświadczalnych Wczytanie wyników symulacji numerycznych Usunięcie wyników doświadczalnych z obszarów nie będących obszarem przepływu Interpolacja danych doświadczalnych do współrzędnych linii odniesienia Utworzenie wspólnego wykresu dla zaimportowanych danych doświadczalnych i numerycznych wraz z opisem Rys. 8.2 Schemat porównania wyników symulacji i badań doświadczalnych realizowanych według podejścia Eulera. W podejściu Lagrange a wykresy porównawcze były tworzone na liniach odniesienia, których położenie zostało określone i wpisane do plików tekstowych. Porównanie ilościowe w tym podejściu wykonuje się bez odwołań do skryptów zewnętrznych według schematu przedstawionego na rys Wyniki symulacji zostają wczytane z plików tekstowych podobnie jak to ma miejsce w podejściu Eulera. Z uwagi na charakter założonego ruchu w podejściu Lagrange a, nie możliwe jest utworzenie jednego pliku zawierającego uśrednione dane dla jednej serii pomiarowej. Z tego 74

75 powodu lokalna analiza statystyczna jest realizowana wraz z utworzeniem wykresu porównawczego. Na wykresie porównawczym w postaci słupków błędu zamieszczono wyniki tej analizy. Wczytanie danych o położeniu linii odniesienia dla każdego obrazu Wczytanie wyników symulacji numerycznych Wczytanie danych doświadczalnych z każdego dostępnego pliku Wczytanie i interpolacja danych do współrzędnych linii odniesienia Uśrednienie wartości prędkości dla linii odniesienia Wyznaczenie odchylenia standardowego od średniej prędkości Utworzenie wspólnego wykresu dla zaimportowanych danych doświadczalnych i numerycznych wraz z opisem Rys. 8.3 Schemat porównania wyników symulacji i badań doświadczalnych realizowanych według podejścia Lagrange'a. 8.2 PORÓWNANIE JAKOŚCIOWE W podejściu Eulera porównano linie prądu uzyskane w symulacjach numerycznych z doświadczalnymi torami cząstek znacznikowych zawieszonych w glicerynie. W porównaniu jakościowym wyniki symulacji numerycznych zostały potwierdzone poprzez obrazy torów cząstek znacznikowych określone dla wszystkich wartości prędkości i obydwu kierunków ruchu pęku rur. Przykładowe obrazy linii prądu i torów cząstek znacznikowych przedstawiono na rys Do porównania wybrano widok pęku rur w zbliżeniu, ponieważ zapewnia on lepszą widoczność cząstek znacznikowych. W porównaniu jakościowym tory cząstek znacznikowych pokrywają się z symulacyjnymi liniami prądu. Nie stwierdzono wstępowania zawirowań w przepływie. Można zatem wnioskować, że badania oparte na podejściu Eulera wykazały prawidłowość opracowanego modelu numerycznego dla całego zakresu badanych prędkości modelowego ruchu pęku rur. 75

76 a) Rys Jakościowe porównanie wyników symulacji z danymi doświadczalnymi w podejściu Eulera przy prędkości 0,011 m/s w górę: a) linie prądu uzyskane w symulacjach numerycznych; b) doświadczalne tory cząstek znacznikowych. b) 76

77 W podejściu Lagrange a nie udało się jednoznacznie potwierdzić zgodności wyników doświadczalnych z wynikami symulacji numerycznych, z wyjątkiem obszaru przepływu w pewnym oddaleniu od pęku rur. Przykładowe obrazy porównawcze przedstawione na rys. 8.5, uwidaczniają zawirowania przepływu ponad i pod przegrodami. Jednakże z uwagi na nakładanie się obrazu cząstek znacznikowych z obrazem pęku rur, dla przepływu w przestrzeni międzyrurowej nie można jednoznacznie stwierdzić podobieństwa wyników symulacji z wynikami badań doświadczalnych. a) b) Rys Jakościowe porównanie wyników symulacji z danymi doświadczalnymi w podejściu Lagrange a przy prędkości 0,004 m/s w dół: a) linie prądu uzyskane w symulacjach numerycznych; b) doświadczalne tory cząstek znacznikowych. 8.3 PORÓWNANIE ILOŚCIOWE Do ilościowego porównania wyników symulacji i wyników badań doświadczalnych wykorzystano wykresy porównawcze zamieszczone w załączniku. Na wykresach przedstawiono wartości modułu prędkości bezwymiarowej cieczy, zdefiniowane jako stosunek modułu wektora prędkości do prędkości pęku rur. Na osi poziomej wykresów znajduje się wartość stosunku współrzędnej poziomej linii odniesienia do maksymalnej wartości tej współrzędnej, przy czym współrzędne poziome mierzone są od osi pęku rur do ściany zbiornika Podejście Eulera Wartości modułów prędkości w wynikach doświadczalnych dość dobrze zgadzają się z wynikami symulacji numerycznych dla modelowej prędkości ruchu pęku rur 0,004 i 0,007 m/s. Doświadczalnie wyznaczone prędkości przepływu w pobliżu osi 77

78 pęku rur są jednak niższe od odpowiadających im prędkości według obliczeń symulacyjnych. Wyznaczenie modułów prędkości bezwymiarowej pozwala porównać przepływ zachodzący przy różnych prędkościach ruchu pęku rur. W wynikach badań doświadczalnych uzyskanych według podejścia Eulera zauważono spadek wartości modułu prędkości bezwymiarowej wraz ze wzrostem modelowej prędkości pęku rur. Uwidoczniono to zjawisko na przykładowym wykresie porównawczym na rys. 8.6, gdzie porównano wykresy modułów prędkości bezwymiarowej na linii odniesienia LINE-4 dla wszystkich badanych prędkości ruchu pęku rur. Indeks przy opisie osi pionowej oznacza prędkość ruchu pęku rur w [m/s]. Z przeprowadzonej wcześniej globalnej analizy statystycznej wynikał spadek strumienia objętości cieczy przez pęk rur w stosunku do oczekiwanego dla prędkości większych niż 0,007 m/s. Potwierdzeniem tego jest spadek wartości modułów prędkości bezwymiarowej uzyskanych doświadczalnie. W wynikach symulacji numerycznych spadku modułu prędkości bezwymiarowej wraz ze wzrostem prędkości pęku rur nie stwierdzono. Z przeprowadzonego porównania wynika, że model numeryczny umożliwia prawidłową symulację prędkości przepływu dla prędkości pęku rur nie przekraczających wartości 0,007 m/s. Dla większych prędkości pęku rur nie uzyskano zadowalającej weryfikacji doświadczalnej. Można przypuszczać, że przyczyną jest występowanie strug cieczy przepływających w kierunku równoległym do osi optycznej kamery. 78

79 Rys Wykres modułu prędkości bezwymiarowej na linii odniesienia 4 dla ruchu pęku rur w górę w podejściu Eulera Podejście Lagrange a Porównanie wyników symulacji numerycznych z wynikami doświadczalnymi uzyskanymi w podejściu Lagrange a nie daje podstaw do zdecydowanego potwierdzenia poprawności modelu numerycznego. Zauważono jednak, że wartości prędkości uzyskane drogą symulacji są zbliżone do wyników doświadczalnych w pobliżu osi symetrii pęku rur dla linii odniesienia LINE-4 oraz częściowo LINE-5. W przeciwieństwie do wyników uzyskanych w podejściu Eulera nie stwierdzono spadku prędkości bezwymiarowej przy wzroście prędkości pęku rur. Porównanie 79

80 prędkości cieczy dla linii odniesienia LINE-1 dla każdej zbadanej wartości prędkości pęku rur przedstawiono na rys Rys Wykres modułu prędkości bezwymiarowej na linii odniesienia 1 dla ruchu pęku rur w dół w podejściu Lagrange'a. 80

81 9. PODSUMOWANIE I WNIOSKI A. Założony cel niniejszej pracy został osiągnięty. Opracowano modele numeryczne umożliwiające symulacje przepływu przez ruchomy pęk rur. Ruch pęku rur może być modelowany w dwóch podejściach: Eulera i Lagrange a. Wyniki uzyskane w symulacjach numerycznych zostały porównane z wynikami pomiarów wykonanych na stanowisku doświadczalnym. Studium parametryczne przeprowadzone w niniejszej pracy obejmuje symulacje numeryczne według podejść Eulera i Lagrange'a z zastosowaniem ustalonego i nieustalonego modelu przepływu. Pozwala to na obserwację pola prędkości i ciśnienia przy dwóch różnych układach współrzędnych odniesienia oraz skuteczne wykrycie lokalnych przepływów o charakterze nieustalonym. B. Praca ma nowatorski charakter, gdyż w literaturze nie znaleziono informacji o badaniach nad ruchomym pękiem rur - ani w drodze symulacji numerycznych, ani badań doświadczalnych. Cytowane w załączniku metody wyznaczania oporu hydraulicznego przepływu cieczy przez pęk rur dotyczą tylko nieruchomych pęków rur. C. Do komputerowo wspomaganego ilościowego i jakościowego porównania wyników symulacji z wynikami pomiarów opracowano skrypty w środowisku Matlab. Opracowano także metody lokalnej i globalnej analizy statystycznej, pozwalające określić wartości niepewności pomiarowych przy wyznaczaniu prędkości metodą cyfrowej anemometrii obrazowej. Metody te są osiągnięciem własnym autora. D. Potwierdzono hipotezę, że okresowo zmienne pole prędkości przy przepływie cieczy przez ruchomy pęk rur można symulować numerycznie. Potwierdzono również, że możliwe jest efektywne modelowanie pola prędkości przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur drogą modelowania numerycznego pęku rur jako obiektu nieruchomego znajdującego się w ruchomej cieczy. Hipoteza została potwierdzona ilościowo i jakościowo dla wartości liczby Reynoldsa 0,10 i 0,18. Ilościowe potwierdzenie uzyskano poprzez porównanie modułów prędkości względnej wyznaczonych w drodze symulacji numerycznych i badań doświadczalnych. Jakościowo potwierdzono hipotezę porównując linie prądu uzyskane w symulacjach numerycznych oraz doświadczalne tory cząstek znacznikowych. W porównaniu ilościowym nie uzyskano potwierdzenia wyników symulacji dla 81

82 wyższych wartości liczby Reynoldsa. tzn. 0,28, 0,35 i 0,40, obserwując wzrost różnic między wynikami doświadczalnymi i symulacyjnymi wraz ze wzrostem Re. Z przeprowadzonej globalnej analizy statystycznej wynika, że przyczyną tych różnic jest istnienie strug cieczy płynących w kierunku równoległym do osi optycznej kamery. Zauważono, iż ilość cieczy przepływającej w kierunku równoległym do osi optycznej kamery wzrasta wraz ze wzrostem Re. W związku z powyższym stanowisko doświadczalne wymaga poprawy w celu zlikwidowania występowania tych strumieni cieczy. Przewiduje się modernizację tego stanowiska w przyszłych pracach badawczych. E. Wykorzystanie podejścia Eulera pozwoliło na wiarygodną ocenę wartości prędkości uzyskanych w symulacjach numerycznych poprzez porównanie z wynikami badań doświadczalnych dla Re poniżej 0,28. Symulacje numeryczne z wykorzystaniem podejścia Lagrange a pozwalają ocenić jak ruch pęku rur znajdujący się w cieczy wpływa na pole prędkości cieczy. Wykorzystanie tego podejścia pozwala modelować ruchome obiekty przy założeniach odzwierciedlających zachowanie rzeczywistego obiektu. Z przeprowadzonych symulacji według podejścia Lagrange a wynika, iż w wielu obszarach prędkość cieczy wynosi lub jest bliska 0. Poruszający się pęk rur może powodować błędy w wyznaczaniu doświadczalnego pola prędkości cieczy, jeżeli znajduje się on dostatecznie blisko tych obszarów. Błędy te są trudne do oszacowania. Pomimo prób nie udało się uniknąć wpływu ruchu pęku rur na wyniki badań doświadczalnych. W związku z tym nie można jednoznacznie stwierdzić, czy model numeryczny wykorzystujący podejście Lagrange a jest poprawny. Konieczna staje się modyfikacja cyfrowej anemometrii obrazowej albo znalezienie innych metod doświadczalnych. Z uwagi na zmianę układu współrzędnych odniesienia w symulacjach według podejść Eulera i Lagrange a nie jest możliwe bezpośrednie porównanie wyników uzyskanych według tych podejść. F. Opracowano metodę obliczenia oporów hydraulicznych powodowanych ruchem pęku rur w cieczy. Metoda ta, umożliwiająca wyznaczanie wartości oporów hydraulicznych na podstawie wyników numerycznej symulacji przepływu jest własnym osiągnięciem autora niniejszej pracy. Otrzymane wartości współczynnika oporów hydraulicznych zostały porównane z wartościami uzyskanymi według metod obliczeniowych zamieszczonych w 82

83 literaturze. Uzyskano dobrą zgodność wartości wyznaczonych według podejścia Eulera z metodą służącą do wyznaczania oporów hydraulicznych przy przepływie cieczy przez płaszczowo-rurowy wymiennik ciepła. Wartości oporów uzyskanych w podejściu Lagrange a są trzykrotnie mniejsze od tych uzyskanych w podejściu Eulera. W symulacjach według podejścia Lagrange a wartości prędkości na ściankach pęku rur są niezerowe. Z tego powodu wartości nadciśnienia statycznego, które ma zasadniczy wpływ na wartości oporów hydraulicznych, są niższe od uzyskanych w podejściu Eulera. Ponieważ w literaturze nie ma informacji o badaniach oporów przepływu przez ruchomy pęk rur, konieczna jest weryfikacja doświadczalna uzyskanych wyników. W przyszłych pracach przewidziano modernizację stanowiska laboratoryjnego w celu doświadczalnej weryfikacji metody wyznaczania oporów przepływu zamieszczonej w niniejszej pracy. 83

84 10. WYKAZ LITERATURY [1] Rojkowski Z., Synowiec J., Krystalizacja i krystalizatory, WNT Warszawa [2] Grabowski M., Badania symulacyjne układu energetycznego dla produkcji cukru metodą krystalizacji przez chłodzenie surowego soku buraczanego, Rozprawa doktorska, Płock [3] Ben Richou A., Ambari A., Naciri J.K., Drag force on a circular cylinder midway between two parallel plates at very low Reynolds numbers Part 1: Poiseuille flow (numerical), Chemical Engineering Science (2004) 59, [4] Ben Richou A., Ambari A., Lebey M., Naciri J.K., Drag force on a circular cylinder midway between two parallel plates at Re<<1 Part 2: moving uniformly (numerical and experimental), Chemical Engineering Science (2005) 60, [5] Khan W.A., Culham J.R., Yovanovich M.M., Fluid Flow Around and Heat Transfer From an Infinite Circular Cylinder, J. Heat Transfer (2005) 127, [6] Lange C.F., Durst F., Breuer M., Momentum and heat transfer from cylinders in laminar crossflow at 10-4 Re 200, Int. J. Heat and Mass Transfer (1998) 41, [7] Bandrowski J., Rybski W., Obliczanie spadku ciśnienia w przestrzeni międzyrurowej wymienników ciepła z przegrodami segmentowymi, Inżynieria i Aparatura Chemiczna (1973) 1, [8] Gaddis E.S., Gnielinski V., Pressure drop on the shell side of shell-and-tube heat exchangers with segmental baffles, Chemical Engineering and Processing (1997) 36, [9] Brodowicz K., Wymiana ciepła i wymienniki, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa [10] Jankowski Z., Kurpisz Ł., Obliczenia hydrauliczne wymienników ciepła, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa [11] Launder B.E., Massey T.H., The numerical prediction of viscous flow and heat transfer in tube bank, J. Heat Transfer (1978) 100, [12] Fujii M., Fujii T., Nagata T., A numerical analysis of laminar flow and heat transfer of air to in-line tube bank. Numer. Heat Transfer (1984) 7,

85 [13] Krishne Gowda Y.T., Patnaik B.S.V.P., Aswatha Narayana P.A., Seetharamu K.N., Finite element simulation of transient laminar flow and heat transfer past an in-line tube bank, Int. J. Heat and Fluid Flow (1998) 19, [14] Buyruk E., Johnson M.W., Owen I., Numerical and experimental study of flow and heat transfer around a tube in cross-flow at low Reynolds number. Int. J. Heat and Fluid Flow (1998) 19, [15] Li T., Deen N.G., Kuipers J.A.M., Numerical study of hydrodynamics and mass transfer of in-line fiber arrays in laminar cross-flow at low Reynolds number, Chemical Eng. Science (2005) 60, [16] Huang Z., Olson J.A., Kerekes R.J., Green S.I., Numerical simulation of the flow around rows of cylinders. Computers & Fluids (2006) 35, [17] Chao-Kuang Chen, King-Leung Wong, Cleaver J.W., Finite element solutions of laminar flow and heat transfer of air in a staggered and an inline tube bank, Int. J. Heat and Fluid Flow (1986) 7, [18] Beale S.B., Spalding D.B., A numerical study of unsteady fluid flow in inline and staggered tube banks, J. Fluids and Structures (1999) 13, [19] Sawfat Wilson A., Khalil Bassiouny M., Modeling of heat transfer for flow across tube bank. Chem. Engineering and Processing (2000) 39, [20] Rodi W., Majumdar S., Schoenung B., Finite volume methods for twodimensional incompressible flows with complex boundaries, Comp. Meth. Applied Mechanics and Engineering (1989) 75, [21] Zdravistch F., Fletcher C.A., Behnia M., Numerical laminar and turbulent fluid flow and heat transfer predictions in tube banks, Int. J. Numerical Methods for Heat & Fluid Flow (1995) 5, [22] Horvat A., Catton I., Development of an integral computer code for simulation of heat exchangers, Int. Conference Nuclear Energy in Central Europe, Portorož, Slovenia, 2001, Proceedings, No [23] Horvat A., Leskovar M., Mavko B., Comparison of heat transfer conditions in tube bundle cross-flow for different tube shapes, Int. J. Heat and Mass Transfer (2006) 49, [24] Tang J.-H., Jiang B., A study of fluid flow and heat transfer of threedimensional plate-fin and tube heat exchangers by the least-squares finite element method, Euro. Conference on CFD, Egmond aan Zee, The Netherlands

86 [25] Bouris D., Bergeles G., Two dimensional time dependent simulation of the subcritical flow in a staggered tube bundle using a subgrid scale model, Int. J. Heat and Fluid Flow (1999) 20, [26] Wen-Lih Chen, Zengyuan Guo., Chao-Kuang Chen, A numerical study on flow over a novel tube for heat-transfer enhancement with a linear Eddyviscosity model, Int. J. Heat and Mass Transfer (2004) 47, [27] Watterson J.K., Dawes W.N., Savill A.M., White A.J., Predicting turbulent flow in a staggered tube bundle, Int. J. Heat and Fluid Flow (1999) 20, [28] Tiwari S., Chakraborty D., Biswas G., Panigrahi P.K., Numerical prediction of flow and heat transfer in a channel in the presence of a built-in circular tube with and without an integral wake splitter, Int. J. Heat and Mass Transfer (2005) 48, [29] Sweeney C., Meskell C., Fast numerical simulation of vortex shedding in tube arrays using a discrete vortex method, J. Fluids and Structures (2003) 18, [30] Shibu S., Chhabra R.P., Eswaran V., Power law fluid flow over a bundle of cylinders at intermediate Reynolds numbers, Chem. Eng. Science (2001) 56, [31] Jester W., Kallinderis Y., Numerical study of incompressible flow about fixed cylinder pairs, J. Fluids and Structures (2003) 17, [32] Kwak K.M., Torii K., Nishino K., Heat transfer and flow characteristics of fin-tube bundles with and without winglet-type vortex generators, Experiments in Fluids (2002) 33, [33] Kwak K.M., Torii K., Nishino K., Heat transfer and pressure loss penalty for the number of tube rows of staggered finned-tube bundles with a single transverse row of winglets, Int. J. Heat and Mass Transfer (2003) 46, [34] Rhie C.M., Chow W.L., Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation, AIAA Journal, (1983) 21, [35] Varaprasad Patnaik B.S., Aswatha Narayana P.A., Seetharamu K.N., Numerical simulation of vortex shedding past a circular cylinder under the influence of buoyancy, Int. J. Heat and Mass Transfer (1999) 42,

87 [36] Endres L.A.M., Moeller S.V., On the fluctuating wall pressure field in tube banks, Nuclear Eng. and Design (2001) 203, [37] Moulinec C., Pourquié M.J.B.M., Boersma B.J., Buchal T., Nieuwstadt F.T.M., Direct numerical simulation on a Cartesian mesh of the flow through a tube bundle, Int. J. CFD (2004) 18, [38] Boivin S., Cayre F., Herard J.-M., A finite volume method to solve the Navier-Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes. Int. J. Therm. Sci. (2000) 39, [39] Zwart P. J., The Integrated Space-Time Finite Volume Method. Ph. D. thesis, [40] Landau L.D., Lifszic E.M., Hydrodynamika, PWN, Warszawa [41] Puzyrewski R., Sawicki J., Podstawy mechaniki płynów i hydrauliki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [42] Gryboś R., Podstawy mechaniki płynów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [43] Stręk F., Mieszanie i mieszalniki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa [44] Ferziger J.H., Perić M., Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [45] FLUENT 6.0 User s Guide Fluent Inc., [46] Majewski J., Generacja siatek dla symulacji przepływów w obszarach o złożonej geometrii, Rozprawa doktorska, Warszawa [47] Žukauskas A., Žiugžda J., Heat transfer of a cylinder in crossflow, Springer-Verlag, Berlin [48] Lam K., Li J. Y., So R.M.C., Force coefficients and Strouhal numbers of four cylinders in cross flow, J. Fluids and Structures (2003) 18, [49] Kostić Ž.G., Oka S.N., Fluid flow and heat transfer with two cylinders in cross flow, Int. J. Heat and Mass Transfer (1979) 15, [50] Moreno A.A. Yanez, Sparrow E.M., Heat transfer, pressure drop, and fluid flow patterns in yawed tube banks, Int. J. Heat and Mass Transfer(1987) 30, [51] Sparrow E.M., Ramsey J.W., Heat transfer and pressure drop for a staggered wall-attached array of cylinders with tip clearance, Int. J. Heat and Mass Transfer (1978) 21,

88 [52] Salam B., McNeil D.A., Burnside B.M., Pressure drop measurements in a low pressure steam condenser with a horizontal bundle of staggered tubes, Applied Thermal Eng. (2004) 24, [53] Verhelst J.M., Nieuwstadt F.T.M., Visco-elastic flow past circular cylinder mounted in a channel: experimental measurements of velocity and drag, J. Non- Newtonian Fluid Mech. (2004) 116, [54] Scholten J.W., Murray D.B., Heat transfer and velocity fluctuations in a staggered tube array, Int. J. Heat and Fluid Flow (1998) 19, [55] Soria J., An Investigation of the Near Wake of a Circular Cylinder Using a Video-Based Digital Cross-Correlation Particle Image Velocimetry Technique, Experimental Thermal and Fluid Science (1996) 2, [56] Iwaki C., Cheong K.H., Monji H., Matsui G., PIV measurement of the vertical cross-flow structure over tube bundles, Experiments in Fluids (2004) 37, [57] Raffel M., Willert C.E., Kompenhans J., Particle Image Velocimetry. A practical guide, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [58] Willert C.E., Gharib M., Digital particle image velocimetry, Experiments in Fluids (1991) 10, [59] Adrian R.J., Twenty years of particle image velocimetry, Experiments in Fluids (2005) 39, [60] Kaehler C.J., Experimental investigation of flow at low Reynolds number using optical techniques, RTO/AVT-104 VKI Lectures series, 2003, Materiał niepublikowany. [61] Alabrudziński S., Suchecki W., Metoda korekty wykresów pól prędkości w cyfrowej anemometrii obrazowej, Inżynieria i Aparatura Chemiczna (2003) 3, [62] MATLAB Help, The MathWorks Inc., [63] McKenna S. P., McGillis W. R., Performance of digital image velocimetry processing techniques, Experiments in Fluids (2002) 32, [64] Piirto M., Eloranta H., Saarenrinne P., Karvinen R., A comparative study of five different PIV interrogation algorithms, Experiments in Fluids (2005) 39, [65] Quènot G.M., Pakleza J., Kowalewski T.A., Particle image velocimetry with optical flow, Experiments in Fluids (1998) 25,

89 [66] Suchecki W., Urbaniec K., Wołosz K., Investigation of liquid flow across a moving tube bundle using optical tomography, 4 th International Symposium on Process Tomography, Proceedings, Warsaw [67] Suchecki W., Wołosz K., Weryfikacja kodu CFD dla symulacji przepływu cieczy przez pęk rur przy użyciu metody DPIV, Materiały XIV Konferencji Metody i Środki Projektowania Wspomaganego Komputerowo, Warszawa [68] Van Dam C.P., Recent experience with different methods of drag prediction, Progress in Aerospace Science (1999) 35, [69] Westerweel J., Efficient detection of spurious vectors in particle image velocimetry data, Experiments in Fluids (1994) 16, [70] Westerweel J., Geelhoed P.F., Lindken R., Single-pixel resolution ensemble correlation for micro-piv applications, Experiments in Fluids (2004) 37, [71] Westerweel J., Scarano F., Universal outlier detection for PIV data, Experiments in Fluids (2005) 39, [72] Westerweel J., Theoretical analysis of the measurement precision in particle image velocimetry, Experiments in Fluids [Supplement] (2000), S3-S12. [73] Wołosz K., Kształtowanie przepływu cieczy przez ruchomy pęk rur w oparciu o wyniki symulacji przy pomocy metody objętości skończonej, Materiały XV Konferencji Metody i Środki Projektowania Wspomaganego Komputerowo, Kazimierz Dolny [74] Umeda S., Yang W.-J., Interaction of von Karman vortices and intersecting main streams in staggered tube bundles, Experiments in Fluids (1999) 26, [75] Prandtl L., Dynamika przepływów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa [76] Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa [77] K. Urbaniec, Informacje ustne [78] S. Alabrudziński, Informacje ustne [79] W. Suchecki, Informacje ustne [80] Walden H., Mechanika płynów, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa

90 SPIS RYSUNKÓW I TABEL Rys Opływ walca płynem lepkim przy różnych wartości liczby Reynoldsa [6]. 13 Rys Schemat geometryczny pęku rur. 14 Rys Siły oporu działające na obiekt i element jego powierzchni poruszający się w lepkiej cieczy._ 22 Rys Algorytm rozdzielnego rozwiązywania równań przepływu. 30 Rys Przykładowa komórka siatki obliczeniowej. 31 Rys Założenia do modelu obliczeniowego przepływu przez ruchomy pęk rur. 37 Rys Model numeryczny z nałożoną siatką. 40 Rys Wykresy zmiany średniej prędkości na linii odniesienia LINE-3 w zależności od numeru kroku czasowego. 42 Rys Położenie linii odniesienia względem pęku rur. 43 Rys Pole prędkości w podejściu Lagrange'a dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s. _ 45 Rys Wektorowe wykresy pola prędkości dla przepływu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s w podejściu Lagrange'a. 46 Rys Pole prędkości w podejściu Eulera dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s. 47 Rys Wykresy wartości prędkości przepływu cieczy dla ruchu pęku rur w dół przy prędkości 0,004 m/s w podejściu Eulera i Lagrange'a. 49 Rys Prędkość cieczy względem prędkości pęku rur dla podejścia Lagrange'a przy 0,004 m/s i 0,016 m/s. 50 Rys Składowa pozioma prędkości cieczy dla ruchu pęku rur w górę przy prędkości 0,004 m/s. 52 Rys Składowa pionowa prędkości cieczy dla ruchu pęku rur w górę przy prędkości 0,004 m/s. 52 Rys Wartości naprężeń stycznych τ w i nadciśnień statycznych p na powierzchni pęku rur w zależności od liczby Reynoldsa. 54 Rys Wykres oporów hydraulicznych pęku rur w zależności od liczby Reynoldsa. 55 Rys Schemat budowy stanowiska laboratoryjnego. 56 Rys Zdjęcia stanowiska doświadczalnego. 58 Rys Schemat przedstawiający zasadę podziału obrazów na okna przeszukiwań oraz wyznaczanie przemieszczeń [61,66]. 60 Rys Wyznaczanie średniego przemieszczenia cząstek w oparciu o korelację krzyżową. 62 Rys Wektor błędny wraz z ośmioma sąsiednimi wektorami przed korektą. 63 Rys Wektory prędkości uzyskane w doświadczalnym przepływie w podejściu Lagrange a dla ruchu pęku rur w górę przy prędkości 0,011m/s. 64 Rys Wektory prędkości uzyskane doświadczalnie w podejściu Eulera dla modelowego ruchu pęk rur w górę przy prędkości 0,011m/s

91 Rys Tory cząstek uzyskane przy prędkości 0,004 m/s w dół. 66 Rys Wyznaczenie wektorowego pola średnich prędkości. 68 Rys Założenia do globalnej analizy statystycznej. 69 Rys Schemat działań w globalnej analizie statystycznej. 70 Rys Strumienie w podejściu Eulera. 71 Rys Strumienie w podejściu Lagrange'a. 72 Rys Interpolacja wyników doświadczalnych do współrzędnych linii odniesienia. 73 Rys. 8.2 Schemat porównania wyników symulacji i badań doświadczalnych realizowanych według podejścia Eulera. 74 Rys. 8.3 Schemat porównania wyników symulacji i badań doświadczalnych realizowanych według podejścia Lagrange'a. 75 Rys Jakościowe porównanie wyników symulacji z danymi doświadczalnymi w podejściu Eulera przy prędkości 0,011 m/s w górę. 76 Rys Jakościowe porównanie wyników symulacji z danymi doświadczalnymi w podejściu Lagrange a przy prędkości 0,004 m/s w dół. 77 Rys Wykres modułu prędkości bezwymiarowej na linii odniesienia 4 dla ruchu pęku rur w górę w podejściu Eulera. 79 Rys Wykres modułu prędkości bezwymiarowej na linii odniesienia 1 dla ruchu pęku rur w dół w podejściu Lagrange'a. 80 Rys. A- 1. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w dół III Rys. A- 2. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w górę III Rys. A- 3. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w dół IV Rys. A- 4. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w górę IV Rys. A- 5. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w dół V Rys. A- 6. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w górę V Rys. A- 7. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w dół VI Rys. A- 8. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w górę VI Rys. A- 9. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,016 m/s; kierunek ruchu: w dół VII 91

92 Rys. A- 10. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,016 m/s; kierunek ruchu: w górę VII Rys. A- 11. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w dół VIII Rys. A- 12. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w górę viii Rys. A- 13. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w dół IX Rys. A- 14. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w górę ix Rys. A- 15. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w dół X Rys. A- 16. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w górę x Rys. A- 17. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w dół XI Rys. A- 18. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w górę xi Rys. A- 19. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,016 m/s; kierunek ruchu: w dół XII Rys. A- 20. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,016 m/s; kierunek ruchu: w górę xii Tabela 1. Wartości prędkości pęku rur i liczby Reynoldsa Tabela 2. Hierarchia katalogów z wynikami symulacji (kursywą podano nazwy podkatalogów kolejnych poziomów) Tabela 3. Sumaryczne wartości współczynnika oporów hydraulicznych c h, naprężeń stycznych τ w i nadciśnień statycznych p na ściankach pęku rur uzyskane z wyników symulacji numerycznych

93 ZAŁĄCZNIKI

94 ZAŁĄCZNIK A: WYKRESY PORÓWNAWCZE WYNIKÓW SYMULACJI NUMERYCZNYCH I EKSPERYMENTÓW LABORATORYJNYCH Na wykresach porównawczych zamieszczono wartości prędkości na liniach odniesienia w zależności od odległości od osi symetrii pęku rur. Oś pionowa jest opisana wartościami modułu prędkości bezwymiarowej V/V, który jest stosunkiem modułu wektora prędkości i prędkości pęku rur. Oś pozioma jest opisana współrzędną x/x max, która jest stosunkiem wartości współrzędnej poziomej w danym punkcie i maksymalnej wartości tej współrzędnej. Wykresy utworzono dla jednej części pęku rur, przy czym wartość współrzędnej poziomej jest równa zero w osi symetrii pęku rur. Wartości uzyskane w symulacjach przedstawiono linią ciągłą, natomiast wartości z wyników badań doświadczalnych przedstawione są punktowo z naniesionymi słupkami błędów. Wysokości słupków błędu odpowiadają wartościom odchylenia standardowego w danym punkcie uzyskanego w lokalnej analizie statystycznej. II

95 Rys. A- 1. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 2. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w górę. III

96 Rys. A- 3. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 4. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w górę. IV

97 Rys. A- 5. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 6. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w górę. V

98 Rys. A- 7. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 8. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w górę. VI

99 Rys. A- 9. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,016 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 10. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Eulera; modelowa prędkości pęku rur: 0,016 m/s; kierunek ruchu: w górę. VII

100 Rys. A- 11. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 12. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,004 m/s; kierunek ruchu: w górę. VIII

101 Rys. A- 13. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 14. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,007 m/s; kierunek ruchu: w górę. IX

102 Rys. A- 15. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 16. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,011 m/s; kierunek ruchu: w górę. X

103 Rys. A- 17. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w dół. Rys. A- 18. Wykres porównawczy modułu prędkości bezwymiarowej; podejście: Lagrange a; prędkości pęku rur: 0,014 m/s; kierunek ruchu: w górę. XI