Recenzenci: prof. dr hab. Krzysztof Jajuga doc. dr hab. ukasz Stettner Redaktor: Ma gorzata Rajwacka{Jachymek Projekt ok adki i stron tytu owych: Wojc

Transkrypt

1 IN YNIERIA FINANSOWA Wycena instrument w pochodnych Symulacje komputerowe Statystyka rynku Aleksander Weron Rafa Weron Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Politechnika Wroc awska

2 Recenzenci: prof. dr hab. Krzysztof Jajuga doc. dr hab. ukasz Stettner Redaktor: Ma gorzata Rajwacka{Jachymek Projekt ok adki i stron tytu owych: Wojciech J.Steifer Sk ad i amanie: Rafa Weron Ksi ka czy og ln wiedz o rynkachpapier wwarto ciowychznowoczesnym wyk adem matematyki nansowej, kt ry obejmuje modele i metody dotycz ce wyceny instrument w pochodnych, oceny ryzyka, a tak e statystyk rynku. Poj cia teoretyczne s bogato ilustrowane przyk adami. Szczeg owo om wiono te oryginalny pakiet komputerowy Financial Engineering Toolbox, umo liwiaj cy tw rcze stosowanie metod in ynierii nansowej. Poszczeg lne rozdzia y ko cz si pytaniami i zadaniami, do kt rych odpowiedzi mo na znale w dodatku D. Ksi ka jest przeznaczona dla szerokiego kr gu odbiorc w: dla rodowiska akademickiego, zw aszcza student w kierunk w matematycznych iekonomicznych, kt rym b dzie s u y za podr cznik, dla specjalist w, pracownik w instytucji nansowych, a tak e dla inwestor w indywidualnych, kt rzy chc pog bi swoj wiedz o rynku i transakcjach terminowych. Tytu dotowany przez Polski Bank Rozwoju S.A. c Copyright by Aleksander Weron and Rafa Weron Warszawa 998 All Rights Reserved Printed in Poland Utw r w ca o ci ani we fragmentach nie mo e by powielany ani rozpowszechniany za pomoc urz dze elektronicznych, mechanicznych, kopiuj cych, nagrywaj cych i innych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Adres poczty elektronicznej: wnt@pol.pl Strona WWW: ISBN 83{4{5{3

3 Rozdzia 5 Matematyka nansowa modeli dyskretnych 5.. Podstawowy model dwumianowy Losowo w naszym wyidealizowanym modelu matematycznym b dzie si wyra a poprzez przyjmowanie przez akcj w ka dej nast pnej chwili jednej z dw ch mo liwych cen. Dok adniej, w ka dym kroku cena akcji b dzie mog a wzrosn (%) lub spa (&). Gracznie mo na t sytuacj przedstawi na drzewku dwumianowym (binomial tree), kt re sk ada si z wierzcho k w oznaczonych k kami oraz strza ek oznaczaj cych drogi mi dzy wierzcho kami. Wierzcho ki umawiamy si numerowa w nastepuj cy spos b: chwili t =odpowiada wierzcho ek o numerze, nast pnie { chwili t =odpowiadaj wierzcho ki o numerach i 3 (licz c od do u), chwili t = odpowiadaj wierzcho ki o numerach 4, 5 i 6, itd. Zauwa my od razu, e do wierzcho ka nr 5 mo emy dotrze na dwa r ne sposoby: drog f 3 5g lub drog f 5g. Przy ka dej strza ce mo emy umie ci odpowiednie prawdopodobie stwo danego zdarzenia losowego, polegaj cego na przej ciu z jednego wierzcho ka do drugiego. Na przyk ad, je li za o ymy, e wszystkie przej cia s jednakowo prawdopodobne, tzn. e w ka dym z wierzcho k w zar wno prawdopodobie stwo skoku w g r, jak i skoku w d w nast pnym kroku wynosi,toschemat losowy jest opisany miar probabilistyczn P = fp ig wyznaczon przez p i =, patrz rys. 5.. Uwzgl dniaj c wszystkie mo liwe drogi do wierzcho k w, obliczamy odpowiednie prawdopodobie stwa doj cia do wierzcho k w onumerach 4,5,6. Rozwa my nast puj cy prosty przyk ad instrumentu nansowego na rynku z zerow stop procentow.

4 3 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych 3 t = t = t = = = + 4 = Rys. 5.. Drzewko dwumianowe. Przy strza kach umieszczono odpowiednie prawdopodobie stwa zdarze losowych. Dodatkowo podanoprawdopodobie stwa doj- cia do wierzcho k w onumerach 4,5,6,uwzgl dniaj ce wszystkie mo liwe drogi prowadz ce do tych wierzcho k w Przyk ad 5.. Za my, e dzisiaj (chwila t =, wierzcho ek ) zar wno cena obligacji, jak i akcji s wynosi. Za my dalej, e jutro (chwila t = = T, wierzcho ek lub 3) akcja b dzie kosztowa a s = 8 lub s 3 =,patrz rys. 5.. Oczywi cie, na rynku z zerow stop procentow cena obligacji jest sta a w czasie i r wna warto ci nominalnej = =. Spr bujmy wyceni instrument X, kt ry wyp aca kwot f T =, je li cena akcji idzie do g ry, natomiast nic nie wyp aca, je li cena akcji spada. Taki instrument mo na traktowa jako zak ad podobny dotych, kt re przyjmujemy graj c w ruletk. Zauwa my, e zachowanie instrumentu X mo na odtworzy (zreplikowa ), konstruuj c odpowiedni strategi. W chwili t =budujemy portfel, sk adaj cy si z kupionej jednostki akcji oraz sprzedanej jednostki 4 5 obligacji. Jego warto wynosi V ( )= 4 ; = 5: 5 Nale y zwr ci uwag, e akcje s indeksowane numerem wierzcho ka, w przeciwie stwie do obligacji, kt re s indeksowane czasem t = ::: T.Jesttospowodowane tym, e w ka dej chwili t cena akcji mo e przyjmowa wiele warto ci, natomiast cena obligacji {tylko jedn warto. Dla u atwienia notacji nie u ywamy symbolu waluty. Przy wycenianiu instrument w nansowych zazwyczaj dopuszczamy ich podzielno oraz kr tk sprzeda, por wnaj podrozdzia.6.

5 5.. Podstawowy model dwumianowy 3 t = t = 8 Rys. 5.. Proces ceny akcji na jednookresowym drzewku dwumianowym W nast pnym kroku (chwila t =)warto tego portfela wynosi oraz V ( )= 4 ; = 5 je li cena akcji wzro nie V ( )= 4 8 ; = je li cena akcji spadnie, 5 czyli dok adnie odtwarza wyp aty instrumentu X. Zatem warto instrumentu X w chwili t = powinna by taka sama, jak skonstruowanego portfela replikuj cego, tzn. V ( )=5. Og lniej, szukamy takiego portfela t = ( t t ) =(liczba akcji, liczba obligacji), aby w chwili t = jego koszt wynosi V ( ) = s +, natomiast jeden krok p niej, tzn. w chwili t, b dzie mia on ju warto oraz V t ( )= s 3 + e rt je li cena akcji wzro nie do s 3 V t ( )= s + e rt je li cena akcji spadnie do s. Kr tkoterminowa, wolna od ryzyka stopa procentowa jest oznaczona przez r, awarto e rt odpowiada cenie obligacji w chwili t przy za o eniu ci g ej kapitalizacji, patrz dodatek B. Ze wzgl du na dobre analityczne w asno ci eksponenty, w pozosta ej cz ci ksi ki, z wyj tkiem fragment w, w kt rych wyra nie podkre lone jest u ycie innej metody, jest stosowana ci g a kapitalizacja. W ten spos b dla dowolnego instrumentu nansowego X, przyjmuj cego w chwili t jedn z dw ch warto ci: x lub x 3, otrzymujemy uk ad dw ch r wna z dwoma niewiadomymi ( s 3 + e rt = x 3 s + e rt = x :

6 3 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Z wyj tkiem przypadku s = s 3 uk ad ten ma zawsze rozwi zanie = x 3 ; x s 3 ; s = ; e ;rt x 3 ; (x 3 ; x )s 3 s 3 ; s W ten spos b ka dy pochodny instrument nansowy X mo e by odtworzony z portfela z o onego z akcji i obligacji. Jego warto X t wchwili t = wynosi : Warto instrumentu pochodnego w modelu dwumianowym X = V ( )= s + = = x 3 ; x s + e ;rt x 3 ; (x 3 ; x )s 3 s 3 ; s s 3 ; s Je li wprowadzimy nast puj ce oznaczenie to poprzedni wz r mo emy zapisa w postaci q = s e rt ; s s 3 ; s (5.) X = e ;rt (qx 3 +(; q)x ): (5.) Zauwa my, e < q <. Gdyby tak nie by o i np. je li q mog oby by mniejsze lub r wne, to s e rt s < s 3. Ale wtedy, sprzedaj c obligacje i kupuj c za uzyskane pieni dze akcje, mo na by osi gn zysk bez ponoszenia ryzyka, tzn. by aby okazja do arbitra u. W chwili t = akcje by yby warte co najmniej s, a obligacje, kt re nale a oby odkupi, jedynie s e rt. Analogicznie mo na argumentowa, e q jest mniejsze od. Dlatego q mo na traktowa jako prawdopodobie stwo, a praw stron wzoru (5.) jako zdyskontowan warto oczekiwan instrumentu X wzgl dem nowej miary prawdopodobie stwa Q, zadanej przez skok w g r z prawdopodobie stwem q oraz skok w d z prawdopodobie stwem ; q. B dziemy j nazywali miar arbitra ow (arbitrage measure), a q { prawdopodobie stwem arbitra owym (arbitrage probability).

7 5.. Wycena opcji europejskich 33 Przyk ad 5.. Obliczmy warto kontraktu forward na akcje nie wyp acaj ce dywidendy. Funkcja wyp aty, przy zaj tej d ugiej pozycji, ma posta f T = S T ;K, gdziek jest cen rozliczenia. Na mocy wzoru (5.) dla T = t mamy X = e ;rt q(s 3 ; K)+(; q)(s ; K) = = e ;rt s ; K + q(s 3 ; s ) = e ;rt (s ; K + s e rt ; s )= = s ; Ke ;rt : Zatem jedyn cen rozliczenia K, kt ra daje zerow warto kontraktu wchwili t = (cen bie c ), jest K = s e rt = S e rt (por wnaj p. 4..). = 5.. Wycena opcji europejskich Pojedynczy krok na drzewku dwumianowym by atwy do analizy. Niemniej dotyczy on dw ch podstawowych instrument w nansowych: akcji o nieznanej losowej cenie oraz obligacji. Idealizacja polega a na tym, e w terminie T cena akcji mog a przyjmowa tylko dwie warto ci. Zajmiemy si teraz rozszerzeniem analizy na drzewko dwumianowe, odpowiadaj ce trzem przedzia om czasu, patrz rys W wierzcho kach tego drzewka s umieszczone ceny akcji obserwowanej w przedziale czasu od t =dot = 3, a przy strza kach subiektywne prawdopodobie stwa, dotycz ce zmian cen. Uwa- amy, e w pierwszych dw ch okresach prawdopodobie stwo spadku cen ( 3 ) jest wi ksze ni ich wzrostu, a w ostatnim okresie cena akcji mo e si 4 zmieni z takim samym prawdopodobie stwem ( ). Inni inwestorzy mog mie odmienne zdanie co do przysz ych ruch w cen iprawdopodobie stwa na ich drzewkach mog by inne. Spr bujmy teraz wyceni europejsk opcj kupna na akcj nie wyp acaj c dywidendy 3, z cen wykonania K = i terminem wyga ni cia T =3.Pami taj c, e funkcja wyp aty takiej opcji wynosi f T =(S T ; K) +, atwo mo emy j wyceni w terminie wyga ni cia i wype ni ostatni kolumn na drzewku warto ci opcji, patrz rys Czytaj c od g ry do do u, mamy: x = 6, x 9 =, x 8 = oraz x 7 =. W celu obliczenia warto- ci pozosta ych kolumn musimy { analogicznie jak poprzednio { wyznaczy prawdopodobie stwa arbitra owe q t. 3 Do wyceny wystarczy za o enie, e akcja nie wyp aca dywidendy, adok adniej, e dzie ustalenia prawa do dywidendy nie wypada w okresie wa no ci opcji.

8 34 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych t = t = t = t =3 8 4 Rys Proces ceny akcji na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczono subiektywne prawdopodobie stwa dla zdarze losowych Podobnie jak w przyk adzie 5. za my dla u atwienia, e stopa procentowa r =. Wtedy ze wzoru (5.) dla chwili t mamy q t = s t ; s ; t+ s + t+ ; s; t+ gdzie s t jest obecn cen akcji, a s + t+ i s; t+ s znanymi nam cenami akcji w nast pnym kroku, odpowiednio { w przypadku ruchu w g r i w d. Podobnie otrzymujemy wz r na warto opcji w chwili t x t = q t x + t+ +(; q t)x ; t+ gdzie x + t+ i x; t+ s warto ciami opcji w nast pnym kroku, odpowiednio { w przypadku ruchu w g r i w d. Zauwa my, e dla procesu ceny akcji wszystkie prawdopodobie stwa q t s jednakowe i wynosz q t = q =. Dlatego warto opcji w wierzcho ku o numerze 6 wynosi x 6 = x + ; x 9 = 6 + = 4: Podobnie dla pozosta ych wierzcho k w przedostatniej (t = ) kolumny mamy: x 5 = + ( ; ) = oraz x 4 = +(; ) =. Wynik rachunk w dla ca ego drzewka zilustrowanonarys.5.4.

9 5.. Wycena opcji europejskich t = t = t = t =3 Rys Proces warto ci opcji kupna z cen wykonania K = na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczono prawdopodobie stwa arbitra owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych. Rozpatrywany jest rynek z zerow stop procentow Znaj c miar Q, mo emy atwo obliczy prawdopodobie stwa wyst pienia ka dej z ko cowych warto ci opcji w terminie wyga ni cia. Musimy pami ta o mno eniu prawdopodobie stw wzd u przebytej drogi (niezale no zdarze ) oraz o tym, e ka d z warto ci rodkowych na rys. 5.4, tzn. x 9 =oraz x 8 =,mo na osi gn na trzy sposoby. Oznacza to, e odpowiednie prawdopodobie stwa doj cia trzeba do siebie doda. St d obliczamy: X 3 = x =6zprawdopodobie stwem, X 8 3 = x 9 = z prawd. 3, 8 X 3 = x 8 =zprawd. 3 oraz X 8 3 = x 7 =zprawd..mo emy teraz zilustrowa nast puj cy og lny 8 wynik X = E Q (X 3 ) gdzie E Q oznacza operator warto ci oczekiwanej wzgl dem miary Q, tzn. warto oczekiwana jest liczona przy uwzgl dnieniu prawdopodobie stwarbitra owych q t. W naszym przyk adzie mamy bowiem =5:

10 36 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Warto opcji w chwili t = mo e by zatem wyliczona jako warto oczekiwana wzgl dem miary arbitra owej Q warto ci opcji w chwili t =3. atwo mo na si przekona, e X 6= E P (X 3 ), bo w naszym przypadku mamy =6 5 3 co jest oczywi cie r ne od Strategia zabezpieczaj ca Zerowa stopa procentowa Sprawiedliwa cena 4 opcji na akcj nie wyp acaj c dywidendy w chwili t =, wynosi 5. Je li jej cena rynkowa jest inna, to mo emy zastosowa strategi zabezpieczaj c 5 (hedging) i, odpowiednio wybieraj c portfel w ka dym kroku, zarobi na r nicy tych cen. W ka dej chwili t b dziemy budowa portfel sk adaj cy si z t = x+ t+ ; x; t+ s + t+ ; (5.3) s; t+ jednostek akcji oraz z t jednostek obligacji nansuj cych pozycj w akcjach. Przyk ad 5.3. Za my, e rynkowa cena opcji kupna wynosi 6, a obligacji. Opcja jest przewarto ciowana. Nale y j sprzeda i stosuj c strategi zabezpieczaj c, zarobi na r nicy cen. Przeanalizujmy sk ad naszego portfela dla przyk adowego przebiegu procesu ceny akcji: (% % &). Za sprzeda opcji otrzymujemy 6. Ze wzoru (5.3) obliczamy (patrz rys. 5.3 i 5.4) = 5;5 = 5. W celu kupna,5 jednostki akcji po ;8 jeste my zmuszeni po yczy od kogo 5 ; 6 = 34, co jest r wnowa ne sprzeda y 34 obligacji ( = ;34) po =. W terminie t =cenaakcji wzrasta do. Obliczamy = 4; = 4; = 75. Kupujemy dodatkowo,5 jednostki akcji, teraz ju po, co kosztuje nas 3. Musimy po yczy dodatkowo 3, wi c = ;64. W terminie t = cena akcji ponownie wzrasta, tym razem do 4. Obecnie = 6; =. Dokupujemy nast pn wiartk akcji, co kosztuje 6; nas 4 5 = 35. Nasz d ug wzrasta do = ;99. W terminie wyga ni cia opcji cena akcji spada do. Poniewa > >K=, wi c opcja jest w cenie i jej nabywca b dzie chcia j wykona. Dostarczamy nabywcy akcj i otrzymujemy od niego K = w got wce, co 4 R wnie nazywana warto ci teoretyczn. 5 Nazywan r wnie strategi redukcji ryzyka, op otkowaniem lub os on.

11 5.. Wycena opcji europejskich 37 znawi zk pokrywa nasz d ug ( = ;99). Na ca ej transakcji zarabiamy, czyli tyle, ile wynosi a r nica mi dzy cen rynkow opcji a jej warto ci teoretyczn. Pami tajmy, e stopa procentowa r =. Ca y przebieg proces w S t, X t, t oraz t w czasie od t = do t = 3 ilustruje nast puj ca tabela: Cena Warto Portfel Czas t Skok akcji S t opcji X t akcje t obligacje t { 5,5 ;34 % 5,75 ;64 % 4 4 ;99 3 & { { Je li scenariusz zachowania si kursu akcji b dzie inny, np. (% & &), to realizacje proces w S t, X t, t oraz t b d wygl da inaczej, co przedstawia tabela poni ej. Zauwa my, e losowy charakter tych proces w wyra a si poprzez r ne drogi przebyte na drzewku dwumianowym. Cena Warto Portfel Czas t Skok akcji S t opcji X t akcje t obligacje t { 5,5 ;34 % 5,75 ;64 &,5 ;39 3 & 8 { { Wtym wypadku cena akcji w terminie wyga ni cia opcji wynosi 8. Poniewa 8 < K =, wi c opcja nie jest w cenie i jej nabywca nie b dzie chcia jej wykona. Sprzedajemy posiadane = 5 akcji, za co otrzymujemy 4wgot wce. Z nawi zk pokrywa to nasz d ug ( = ;39). Podobnie jak poprzednio, na ca ej transakcji zarabiamy. Rozwa my teraz europejsk opcj sprzeda y na akcj, kt rej cena jest opisana drzewkiem na rys. 5.3, z cen wykonania K = i terminem wyga ni cia T = 3. Pami taj c, e funkcja wyp aty dla takiej opcji wynosi f T = (K ; S T ) +, atwo mo emy j wyceni w terminie wyga ni cia i wype ni ostatni kolumn na drzewku warto ci opcji, patrz rys Czytaj c od g ry do do u, mamy: x =, x 9 =, x 8 = oraz x 7 = 6. Warto- ci w kolejnych wierzcho kach wyliczamy od ty u, stosuj c znany nam ju algorytm x 6 = x + ; x 9 = + = itd.

12 38 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Na rysunku 5.5 zilustrowano wynik tych rachunk w dla ca ego drzewka. Podobnie jak w przypadku opcji kupna, sprawiedliwa cena opcji sprzeda y wchwili t = wynosi x = t = t = t = t =3 6 Rys Proces warto ci opcji sprzeda y z cen wykonania K = na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczono prawdopodobie stwa arbitra owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych. Rozpatrywany jest rynek z zerow stop procentow Przyk ad 5.4. Za my, e rynkowa cena opcji sprzeda y wynosi 6. Opcja jest przewarto ciowana. Nale y j sprzeda i stosuj c strategi zabezpieczaj c, zarobi na r nicy cen. Przeanalizujmy sk ad naszego portfela dla takiego samego przebiegu procesu ceny akcji jak w przyk adzie 5.3, czyli dla przebiegu (% % &). Za sprzeda opcji otrzymujemy 6. Obliczamy = 5;5 ;8 = ; 5. Ujemna warto wskazuje, e musimy sprzeda akcje, aby zabezpieczy kr tk pozycj w opcjach sprzeda y. Na sprzeda y,5 jednostki akcji po zarabiamy 5.Mo emy teraz po yczy komu nadwy k = 66, czyli kupi = 66 obligacji po =. W terminie t =cenaakcji wzrasta do. Obliczamy = ; 4; = = ; 5. Odkupujemy,5 jednostki akcji, kt ra kosztuje teraz ju, za co p acimy 3. Aby to snansowa, sprzedajemy cz obligacji, zatem =66; 3 = 36.

13 5.. Wycena opcji europejskich 39 W terminie t = cena akcji ponownie wzrasta, tym razem do 4. Obliczamy = ; =.Ponownie odkupujemy,5 jednostki akcji za 6; 4 5 = 35 i sprzedajemy obligacje ( =36; 35 = ). W terminie wyga ni cia opcji cena akcji spada do. Poniewa opcja nie jest w cenie, wi c nabywcy nie op aca si jej wykona. W naszym portfelu nie posiadamy akcji, a jedynie obligacje o warto ci =. Tyle te zarabiamy na ca ej transakcji. Ca y przebieg proces w S t, X t, t oraz t w czasie od t = do t = 3 ilustruje poni sza tabela. Cena Warto Portfel Czas t Skok akcji S t opcji X t akcje t obligacje t { 5 ;,5 66 % 5 ;,5 36 % 4 3 & { { Niezerowa stopa procentowa Je eli pominiemy nierealistyczne za o enie o zerowej stopie procentowej, to prawdopodobie stwa arbitra owe wchwili t b d dane wzorem Prawdopodobie stwa arbitra owe q t = s te rt ; s ; t+ s + t+ ; s; t+ (5.4) gdzie s t jest obecn cen akcji, a s + t+ i s; t+ s znanymi nam cenami akcji w nast pnym kroku, odpowiednio w przypadku ruchu w g r i w d. Warto instrumentu pochodnego w chwili t jest dana wzorem Warto instrumentu pochodnego x t = e ;rt q t x + t+ +(; q t)x ; t+ (5.5)

14 4 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych gdzie x + t+ i x; t+ s warto ciami opcji w nast pnym kroku, odpowiednio w przypadku ruchu w g r i w d. Przyjmijmy, e stopa procentowa wynosi % w skali jednego okresu. Dla terminu wyga ni cia odleg ego o rok odpowiada to stopie procentowej r = 8 59% w skali rocznej, tzn. e rt = e r=3 =. Aby wyceni rozpatrywan wcze niej opcj sprzeda y z cen wykonania K =, musimy od nowa policzy miar arbitra ow Q iwarto ci opcji w poszczeg lnych wierzcho kach. Tak jak poprzednio, atwo mo emy wype ni ostatni kolumn na drzewku warto ci opcji, patrz rys Czytaj c od g ry do do u, mamy: x =,x 9 =,x 8 =orazx 7 =6.Warto ci w kolejnych wierzcho kach wyliczamy odty u, stosuj c poznany wcze niej algorytm x 4 = e ;rt ( 65 x x 7 )= ( ) = 3 9 itd. Na rysunku 5.6 zilustrowano wynik rachunk w dla ca ego drzewka. Sprawiedliwa cena opcji w chwili t = wynosi x =3 4. 3,4,75,5,83,3,8,,7,3 4,55 3,9,85,5,75,5,65,35 t = t = t = t =3 6 Rys Proces warto ci opcji sprzeda y z cen wykonania K = na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczone s prawdopodobie stwa arbitra owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych. Rozpatrywany jest rynek ze stop -procentow wskali jednego okresu

15 5.3. Wycena opcji na instrumenty o sta ej stopie dywidendy 4 Przyk ad 5.5. Za my teraz, e rynkowa cena opcji sprzeda y wynosi,5. Opcja jest niedowarto ciowana. Nale y j kupi i stosuj c strategi zabezpieczaj c, zarobi na r nicy cen. Przeanalizujmy sk ad naszego portfela dla takiego samego przebiegu procesu ceny akcji jak w przyk adzie 5.3, czyli dla przebiegu (% % &). Za kupno opcji musimy zap aci,5. Aby zabezpieczy d ug pozycj w opcjach sprzeda y, musimy kupi (nie sprzeda!) akcje, mimo e jest ujemne. Podobnie, aby zabezpieczy d ug pozycj w opcjach kupna, musimy sprzeda (nie kupi!) akcje, mimo e jest dodatnie. Wynika st d, e w przypadku kupna opcji (kupna lub sprzeda y) nale y zmieni znak przed (pomno y przez ;). Wyliczamy W celu kupna jednej opcji sprzeda y oraz kupna,64 jednostki akcji po jeste my zmuszeni po yczy od kogo = 8 74 (sprzeda 8,74 obligacji po = ), zatem = ;8 74. = ; 83; 3 ;8 = 64. W terminie t = cena akcji wzrasta do. Obliczamy = ; ;4 55 = 4; = 36. Odsprzedajemy 64 ; 36 = 488 jednostki akcji (teraz ju po ), za co dostajemy 7,86. Kupujemy za t sum obligacje i razem z oprocentowanymi ju przez jeden okres obligacjami nasze zad u enie wynosi = ; = ;3 75. W terminie t =cena akcji ponownie wzrasta, tym razem do 4. Obliczamy = ; ; =. Sprzedajemy pozosta e,36 jednostki akcji 6; za 4 36 = 5 9. Dokupujemy obligacje i mamy = ; = 77. W terminie wyga ni cia opcji cena akcji spada do. Poniewa opcja nie jest w cenie, wi c nie op aca si nam jej wykona. Sprzedajemy posiadane obligacje za = 85. Na ca ej transakcji zarabiamy,85, czyli oprocentowan przez trzy okresy r nic mi dzy warto ci teoretyczn a cen rynkow : 64 ( ) Wycena opcji na instrumenty o sta ej stopie dywidendy Por wnajmy akcj wyp acaj c w spos b ci g y dywidend o stopie r wnej d w skali roku z inn akcj tej samej sp ki, nie wyp acaj c dywidendy. Przyjmijmy, e cena pierwszej akcji wzrasta w czasie t z warto ci S t do S t+t. Wtedy, aby nie by o okazji do arbitra u, cena drugiej akcji musia aby wzrosn wtym samym czasie z S t do S t+t e dt. Alternatywnie mo na powiedzie, e cena drugiej akcji wzros aby z S t e ;dt do S t+t. Dlatego przy wycenianiu opcji na akcje (og lniej: instrumenty) o sta ej stopie dywidendy mo na zmniejszy aktualn cen akcji S t do warto ci S t e ;dt, a nast p-

16 4 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych nie wyceni opcj w taki sam spos b jak opcje na akcje nie wyp acaj ce dywidend. Post puj c w ten spos b, otrzymamy nast puj cy wz r na prawdopodobie stwa arbitra owe wchwili t: Prawdopodobie stwa arbitra owe (instrumenty podstawowe o sta ej stopie dywidendy d) q t = s te (r;d)t ; s ; t+ s + t+ ; s; t+ (5.6) gdzie s t jest obecn cen akcji, a s + t+ i s; t+ s znanymi nam cenami akcji w nast pnym kroku, odpowiednio w przypadku ruchu w g r i w d. Warto instrumentu pochodnego w chwili t jest dana tym samym co poprzednio wzorem (5.5) Opcje indeksowe i walutowe Indeks gie dowy mo na traktowa jak papier warto ciowy, z kt rego p acona jest dywidenda. Na walor ten sk ada si portfel od kilkudziesi ciu do kilku tysi cy akcji, aotrzymywana z niego dywidenda to dywidenda, jak otrzyma by posiadacz takiego portfela. Mo na za o y, e jest ona wyp acana w spos b ci g y. Dlatego przy wycenie opcji indeksowych nale y obliczy stop d, kt ra stanowi wyra on w stosunku rocznym redni stop dywidendy dla wszystkich akcji wchodz cych w sk ad danego indeksu. Przy obliczaniu stopy d nale y uwzgl dni jedynie te dywidendy, dla kt rych dzie ustalenia prawa do dywidendy przypada przed terminem wyga ni cia opcji. Zkolei w przypadku walut okazuje si, e zagraniczna stopa procentowa mo e by traktowana jak sta a stopa dywidendy wyp acana posiadaczom obcej waluty. 6 Dlatego opcje walutowe s wyceniane w ten sam spos b co opcje indeksowe czy opcje na akcje o sta ej stopie dywidendy. Przyk ad 5.6. Rozpatrzmy -miesi czn europejsk opcj kupna na dolary ameryka skie z cen wykonania 3,7 (PLN/USD). Takie instrumenty s atrakcyjne dla inwestor w przewiduj cych konieczno wydania w przysz o ci pewnej kwoty w dolarach. Gwarantuj one, e nabywca opcji b dzie m g kupi obc walut po okre lonym (lub ni szym) kursie. 6 Por wnaj z wycen walutowych kontrakt w forward na s. 87.

17 5.3. Wycena opcji na instrumenty o sta ej stopie dywidendy 43 Za my, e bie cy kurs wymiany wynosi 3,6 PLN/USD, a jego ewolucja w ci gu najbli szego roku jest przedstawiona na rys Podkre lmy, e w przeciwie stwie do dotychczas rozpatrywanych addytywnych drzewek ewolucji cen instrumentu podstawowego, obecne drzewko jest multiplikatywne, tzn. cena w nast pnym kroku jest otrzymana przez pomno enie lub podzielenie bie cej ceny przez pewn warto (a nie przez dodanie lub odj cie od niej pewnej warto ci). Dok adniej, przysz a cena kursu wymiany jest otrzymana przez pomno enie bie cej ceny przez e =p3 = 594 w przypadku wzrostu ceny lub podzielenie przez t sam warto w przypadku spadku ceny. Przyjmijmy ponadto, e kr tkoterminowe wolne od ryzyka stopy procentowe wskali rocznej wynosz : r = % w Polsce i d = 8% w USA. Wtedy e (r;d)t = e ( ; 8)=3 = 48, oraz e ;rt = e ; =3 = ,8 3,6 3,8 3,4 4,4 3,6 3, t = t = t = t =3 3,8 3,4 3,3 Rys Proces kursu walutowego PLN/USD na drzewku dwumianowym Korzystaj c ze wzoru (5.6), mo emy obliczy prawdopodobie stwa arbitra owe, a nast pnie pos uguj c si wzorem (5.5) { warto ci opcji w poszczeg lnych wierzcho kach. Na rysunku 5.8 zilustrowano wynik tych rachunk w dla ca ego drzewka. Sprawiedliwa cenaopcji w chwili t =wynosi,3 kwota nominalna. Je eli opcja opiewa na 5 USD, to powinna kosztowa 3 PLN=USD 5 USD = 775 PLN. Je eli rynkowa cena opcji jest

18 44 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych,84,58,3,84,6,38,7,84,6,84,6,47,9,6,84,6,84,6 t = t = t = t =3, Rys Proces warto ci europejskiej opcji kupna na dolary ameryka skie z cen wykonania K = 3 7. Przy strza kach umieszczono prawdopodobie stwa arbitra- owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych inna, to nale y j kupi (lub sprzeda ) i stosuj c strategi zabezpieczaj c, analogiczn jak w przypadku opcji na akcje nie wyp acaj ce dywidendy, zarobi na r nicy cen. Skoro znamy ju cen europejskiej opcji kupna, to korzystaj c z parytetu kupna-sprzeda y mo emy wyznaczy cen europejskiej opcji sprzeda y. Jednak w przypadku opcji na instrumenty o sta ej stopie dywidendy d, posta parytetu jest nieco inna. Mianowicie C E t ; P E t = S t e ;d(t ;t) ; Ke ;r(t ;t) : Zatem cena europejskiej opcji sprzeda y na dolary ameryka skie z cen wykonania 3,7 (PLN/USD) i terminem wyga ni cia za miesi cy wynosi P E t = 3 ; 3 6e ; e ; = : Opcje na kontrakty futures Por wnajmy teraz kontrakt futures oraz podobn co do warto ci akcj nie wyp acaj c dywidendy. Przypomnijmy, einwestycja wkontrakty futures nie poci ga za sob adnych koszt w pocz tkowych. Je eli przyjmiemy, e

19 5.3. Wycena opcji na instrumenty o sta ej stopie dywidendy 45 cena kontraktu futures wzrasta w czasie t z warto ci S t do S t+t, to cena akcji, na kupno kt rej trzeba wyda kwot S t, wzros aby w tym samym czasie z S t do S t+t e rt. Dlatego przy wycenianiu opcji na kontrakty futures mo na przyj, e s to opcje na instrumenty wyp acaj ce dywidend o stopie r wnej wolnej od ryzyka stopie procentowej r. Przyk ad 5.7. Rozpatrzmy europejsk opcj sprzeda y z cen wykonania K = i terminem wyga ni cia T = 3, wystawion na kontrakt futures, kt rego cena jest opisana drzewkiem na rys Podobnie jak w przyk adzie 5.5 przyjmijmy -procentow stop w skali jednego okresu. Przypomnijmy, e dla terminu wyga ni cia odleg ego o rok odpowiada to stopie procentowej r=8,59% w skali rocznej.,7,5,5 4,3,66,5,5,5,5 9,9 36,36 t = t = t = t =3,5,5,5,5,5,5 6 Rys Proces warto ci europejskiej opcji sprzeda y na kontrakt futures z cen wykonania K =. Przy strza kach umieszczono prawdopodobie stwa arbitra- owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych Podstawiaj c d = r we wzorze (5.6), mo emy obliczy prawdopodobie stwa arbitra owe. Okazuje si, e s one takie same jak dla opcji na akcj nie wyp acaj c dywidendy na rynku z zerow stop procentow. Nast pnie, pos uguj c si wzorem (5.5), mo emy obliczy warto ci opcji w poszczeg lnych wierzcho kach. Na rysunku 5.9 zilustrowano wynik tych rachunk w. Sprawiedliwa cena opcji w chwili t = wynosi,7.

20 46 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych 5.4. Wycena opcji ameryka skich Rozpatrzmy (standardow ) ameryka sk opcj sprzeda y na akcj nie wyp acaj c dywidendy 7, z cen wykonania K = i terminem wyga ni cia T =3.Za my, e proces ceny akcji jest opisany takim samym drzewkiem jak dla opcji europejskich, patrz rys Przyjmijmy te, e stopa procentowa wynosi % w skali jednego okresu. Przypomnijmy, e dla terminu wyga ni cia odleg ego o rok odpowiada to stopie procentowej r =8 59% wskali rocznej, tzn. e rt = e r=3 =. Przed wyliczeniem warto ci opcji w poszczeg lnych wierzcho kach drzewka musimy, analogicznie jak dla opcji europejskich, wyznaczy prawdopodobie stwa arbitra owe q t ze wzoru (5.4). Poniewa drzewko cen akcji iwolna od ryzyka stopa procentowa s takie same jak dla opcji rozpatrywanej w przyk adzie 5.5, wi c prawdopodobie stwa arbitra owe te b d takie same. Inne natomiast mog by warto ci opcji. Podstawowa metoda wyceny opcji (og lniej: instrument w) ameryka skich polega na sprawdzeniu we wszystkich wierzcho kach analizowanego drzewka { pocz wszy od ko cowych, a zako czywszy na pierwszym { czy przedterminowe wykonanie jest rozwi zaniem optymalnym, tzn. czy daje wi kszy zysk ni wynosi warto teoretyczna wynikaj ca ze wzoru (5.5). Dlatego Warto ameryka skiego instrumentu pochodnego x t =max n o e ;rt q t x + t+ +(; q t)x ; t+ f t (5.7) gdzie x + t+ i x; t+ s warto ciami opcji w nast pnym kroku, odpowiednio w przypadku ruchu w g r i w d, a f t jest warto ci funkcji wyp aty wchwili t. Funkcja wyp aty ameryka skiej opcji sprzeda y wynosi f t =(K ; S t ) +. Dlatego w terminie wyga ni cia (T = 3) atwo mo emy wyceni opcj i wype ni ostatni kolumn na drzewku warto ci opcji, patrz rys. 5.. Czytaj c od g ry do do u, mamy: x =,x 9 =,x 8 =oraz x 7 =6.Warto ci wkolejnych wierzcho kach wyliczamy odty u, stosuj c wz r (5.7): n o x 6 = max e ;rt ( 85 x + 5 x 9 ) = 7 Podobnie jak w przypadku opcji europejskich, do wyceny wystarczy za o enie, e akcja nie wyp aca dywidendy w okresie wa no ci opcji.

21 5.4. Wycena opcji ameryka skich 47 n o x 5 = max ( ) =4 55 n o x 4 = max ( ) 4 = n o = max =4 itd. Na rysunku 5. zilustrowano wynik rachunk w dla ca ego drzewka. Sprawiedliwa cena opcji w chwili t =wynosix =5. 5,,75,5,83,8,,7,3 4,55 4,85,5,75,5,65,35 t = t = t = t =3 6 Rys. 5.. Proces warto ci ameryka skiej opcji sprzeda y z cen wykonania K =na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczono prawdopodobie stwa arbitra owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych. Rozpatrywany jest rynek ze stop procentow wynosz c % w skali jednego okresu Strategia zabezpieczaj ca Je li teoretyczna warto opcji ameryka skiej jest inna ni jej rynkowa cena, to, podobnie jak dla opcji europejskich, mo emy zastosowa strategi zabezpieczaj c i, odpowiednio wybieraj c portfel w ka dym kroku, zarobi na r nicy tych cen. W ka dej chwili czasu t b dziemy budowa portfel sk adaj cy si z t jednostek akcji (patrz wz r (5.3)) oraz z t jednostek obligacji nansuj cych pozycj w akcjach.

22 48 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Przyk ad 5.8. Za my, e rynkowa cena rozpatrywanej wcze niej opcji wynosi 4. Opcja jest niedowarto ciowana. Nale y j kupi i stosuj c strategi zabezpieczaj c, zarobi na r nicy cen. Przeanalizujmy sk ad naszego portfela dla nast puj cego przebiegu procesu ceny akcji: (& & %). Za kupno opcji musimy zap aci 4. Przypomnijmy, e w celu zabezpieczenia d ugiej pozycji w opcjach sprzeda y, musimy kupi (nie sprzeda!) akcje. Dlatego nale y zmieni znak przed. Wyliczamy = ; 83; = ;8 W celu kupna jednej opcji sprzeda y oraz kupna,4793 jednostki akcji po jeste my zmuszeni po yczy od kogo = 5 93 (sprzeda 5,93 obligacji po = ), zatem = ;5 93. W terminie t = cena akcji spada do 8. Jest to sytuacja, w kt rej przedterminowe wykonanie opcji jest rozwi zaniem optymalnym, tzn. daje wi kszy zysk ni wynosi warto teoretyczna. Zatem dokupujemy ; 4793 = = 57 jednostki akcji po 8 i wykonujemy opcj, tzn. dostarczamy akcj wystawiaj cemu opcj i otrzymujemy od niego. Bilans wygl da nast puj co: = ;5 93 ; = : Na ca ej transakcji zarabiamy =, czyli oprocentowan przez jeden okres r nic mi dzy warto ci teoretyczn a cen rynkow. Co by si sta o, gdyby my nie wykonali opcji i poczekali do terminu wyga ni cia? Zobaczmy. W terminie t = cena akcji spada do 8, jednak nie wykonujemy opcji. Obliczamy = ; 4 55;4 = Dokupujemy 8864; 4793 = 47 ;6 jednostki akcji po 8, za co p acimy 3,57. Sprzedajemy za t sum obligacje i razem z oprocentowanymi ju przez jeden okres obligacjami nasze zad u enie wynosi = ;5 93 ; 3 57 = ; W terminie t = cena akcji ponownie spada, tym razem do 6. Obliczamy = ; ;6 =. Dokupujemy ; 8864 = 36 jednostki akcji 8;4 po 6, za co p acimy 6,8. Sprzedajemy obligacje i mamy = ;89 69 ; ;6 8 = ;5 48. W terminie wyga ni cia cena akcji wzrasta do 8. Poniewa opcja jest w cenie, wi c j wykonujemy { dostarczamy akcj, za co otrzymujemy. Niestety nie pokrywa tonaszego d ugu wynosz cego 3 = ;5 48 = = ;6 3. Na ca ej transakcji tracimy 6,3! Okazuje si, e gdyby my wykonali opcj w chwili t =, to r wnie by my stracili na transakcji, tym razem +=5 48. Ten przyk ad pokazuje, e opcje ameryka skie nale y wykorzystywa przy pierwszej nadarzaj cej si okazji ich optymalnego wykonania.

23 5.5. Podej cie martynga owe Podej cie martynga owe W poprzednich przyk adach zilustrowali my podstawowy schemat dyskretnych modeli nansowych. Czytelnik m g si przekona, e graczna reprezentacja w postaci w dr wki po drzewku dwumianowym jest wygodnym sposobem pozwalaj cym wyrobi sobie odpowiednie intuicje. W tym podrozdziale nadamy temu zagadnieniu formalny, matematyczny charakter, wprowadzaj c wiele poj niezb dnych doomawiania modeli ci g ych. W szczeg lno ci zdeniujemy wa n klas modeli losowych (stochastycznych) pod nieco egzotycznie brzmi c nazw : martynga y. Wszystkie poj cia b d ilustrowane na najprostszym drzewku dwumianowym o sze ciu wierzcho kach, takim jak na rys. 5.. I Proces ceny akcji S t. Zbi r mo liwych cen akcji (jedna warto w ka dym wierzcho ku drzewka) oraz schemat ich kolejnych powi za b dziemy nazywali procesem S t. Na rysunku 5. proces startuje (t =) od ceny s = (zmienna losowa S przyjmuje tylko jedn warto : S = s ). Zmienna losowa S przyjmuje warto s =8lub s 3 = w zale no ci od tego, czy proces ceny akcji znajdzie sie w wierzcho ku o numerze czy o numerze 3. Podobnie, zmienna losowa S przyjmuje warto s 4 =6,s 5 = lub s 6 = 4. 8 t = t = t = 4 6 Rys. 5.. Drzewko dwumianowe z procesem ceny akcji S t I Miary prawdopodobie stwa P i Q. Niezale nie od procesu ceny akcji S t wprowadzamy prawdopodobie stwa fp i g oraz fq i g, deniuj ce miary P i Q na drzewku. W modelu dwumianowym miara P s u y do

24 5 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych opisu szans p i, z jakimi nast puje skok ceny w g r, je li znajdujemy si wwierzcho ku o numerze i. Szansa na spadek cenywynosiw wczas ;p i. Losowy charakter ewolucji na drzewku wyra a si poprzez r ny wyb r kolejnych wierzcho k w na drzewku, zgodnie z odpowiednimi prawdopodobie stwami zaznaczonymi nad strza kami. Jak widzieli my w przyk adach z tego rozdzia u, do wyceny instrument w nansowych potrzebne s r ne miary. W szczeg lno ci, miara rynkowa P, wyznaczana indywidualnie (subiektywnie) przez uczestnik w rynku, nie wystarcza a do wyceny opcji. Dlatego musieli myskonstruowa now arbitra ow miar Q. I Filtracja F t. Filtracja jest histori podr y procesu po drzewku a do chwili t. Wchwili t = ltracja F = fg opisuje przebyt drog, kt ra w tym przypadku pokrywa si z wierzcho kiem. W chwili t = mamy F = f g lub F = f 3g w zale no ci od wierzcho ka, w kt rym aktualnie jeste my. Wchwili t = mamy F = 8 >< >: f 4g f 5g [f 3 5g f 3 6g w zale no ci od tego, czy jeste my w wierzcho ku o numerze 4, 5 czy 6. Zauwa my odpowiednio mi dzy numerem wierzcho ka ako cem drogi czy dr g. I Instrument nansowy X. Warto instrumentu nansowego X w chwili t T jest funkcj ltracji F T odpowiadaj cej chwili wykonania zobowi zania T. Przez X oznacza si r wnie warto tego instrumentu w chwili wykonania (X T ), czyli warto funkcji wyp aty (f T ). Przyk adami instrument w s : warto procesu ceny akcji X = S T,warto opcji kupna X = (S T ; K) + z cen wykonania K = 9, czy te maksimum ceny akcji X = max(s S ::: S T ) wzd u przebytej drogi. Poni sza tabela ilustruje warto ci tych instrument w wchwili T = dla procesu ceny akcji opisanego na rys. 5.. Wierzcho ek S (S ; 9) + max(s S S ) lub I Operator warunkowej warto ci oczekiwanej E P (jf t ). Operator ten rozszerza klasyczne poj cie warto ci oczekiwanej E P () na poj cie zale ne i od miary P i od historii F t procesu na drzewku. Mianowicie, dla instrumentu X wielko E P (XjF t ) oznacza warto oczekiwan

25 5.5. Podej cie martynga owe 5 instrumentu X, liczon wzd u drogi, kt rej pocz tkowy fragment jest opisany przez F t.st dwarunkowa warto oczekiwana zale y od ltracji F t i dlatego jest zmienn losow. Dla ka dego wierzcho ka odpowiadaj cego chwili t, warunkowa warto oczekiwana E P (XjF t ) jest zwyk warto ci oczekiwan zmiennej X pod warunkiem, e wiemy jak doszli my do tego wierzcho ka. Na przyk ad, je li przyjmiemy, e proces ceny akcji jest przedstawiony na rys. 5., miara P = fp j = 4 g oraz X = S,towarunkow warto oczekiwan (w.w.o.) mo na przedstawi w nast puj cej tabeli: w.w.o. Filtracja Warto w.w.o. E P (S jf ) fg = E P (S jf ) f g = f 3g = 4 4 E P (S jf ) f 4g 6 f 5g [f 3 5g f 3 6g 4 Zauwa my st d, e warunkowa warto oczekiwana E P (S jf )dajetaki sam wynik jak zwyk a warto oczekiwana E P (S ) oraz, e E P (S jf ) r wna si S dla ka dego mo liwego wyboru ltracji. Podkre lmy, e obie w asno ci warunkowej warto ci oczekiwanej s og lnie prawdziwe dla ka dej zmiennej losowej X. atwo mo emy teraz zdeniowa Z t = = E P (S jf t ) jako nowy proces na drzewku dwumianowym. Rzeczywi cie, przy danej mierze P mo emy zamieni instrument nansowy X = S na proces stochastyczny zale ny od czasu t. Jego warto ci na drzewku przedstawiono na rys. 5.. I Proces prognozowalny t. Procesem prognozowalnym b dziemy nazywa ka dy proces t na drzewku, kt rego warto w chwili t zale y tylko od historii do chwili t ;, tzn. od F t;. R nica mi dzy procesem prognozowalnym a procesem ceny akcji S t polega na tym, e warto t znamy o jeden krok wcze niej. Typowym przyk adem procesu prognozowalnego jest proces ceny obligacji t.takie procesy b d wykorzystywane w strategiach zabezpieczaj cych. I Martynga wzgl dem miary i ltracji. Proces S t jest martynga em wzgl dem miary P (P-martynga em) i ltracji F s, je li E P js t j < oraz E P (S t jf s )=S s dla ka dego s t. Oznacza to, e warunkowa warto oczekiwana procesu S t w chwili przysz ej t, pod warunkiem znajomo ci jego historii do chwili s, jest r wna po prostu warto ci samego

26 5 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych t = t = t = = = = Rys. 5.. Proces warunkowej warto ci oczekiwanej Z t = E P (S jf t ) procesu w chwili s. Daje to specyczny rodzaj zale no ci mi dzy r nymi zmiennymi losowymi wyst puj cymi w procesie S t. Na przyk ad, opisany na rys. 5. proces Z t = E P (S jf t ) jest martynga em wzgl dem miary P oraz ltracji F t. Wobec r wno ci S = = Z wystarczy sprawdzi, e E P (Z jf )=Z.Wynika to bezpo rednio zrachunku: = 8. Podkre lmy, e jest to przyk ad uniwersalny, tzn. dla ka dego instrumentu nansowego X proces warunkowej 4 4 warto ci oczekiwanej E P (X T jf t ) jest P-martynga em. Zauwa my natomiast, e proces ceny akcji S t opisany na rys. 5. nie jest P-martynga em, co wida, je li por wnamy rys. 5. i 5.. Okazuje si jednak, e mo na znale inn miar Q = fq j = g, wzgl dem kt rej proces ceny akcji S t jest martynga em. Tak miar b dziemy nazywali miar martynga ow (martingale measure) dla procesu S t. Okazuje si, e jest ona r wnie miar arbitra ow. Odpowiednie rachunki dla tak wybranej miary Q zawiera poni sza tabela. w.w.o. Filtracja Warto w.w.o. E Q (S jf ) fg = 4 4 E Q (S jf ) f g + 6 = 8 f 3g 4 + = E Q (S jf ) f 4g 6 f 5g [f 3 5g f 3 6g 4

27 5.6. Twierdzenie o reprezentacji martynga owej proces w dyskretnych 53 Proces warunkowej warto ci oczekiwanej E Q (S jf t ), przedstawiony na rys. 5.3, jest martynga em wzgl dem miary Q.Jegowarto ci pokrywaj si z warto ciami procesu cenyakcji z rys. 5.. Dlatego proces cenyakcji jest Q -martynga em, tzn. Q jest miar martynga ow dla procesu S t. 8 t = t = t = = = + 4 = Rys Proces warunkowej warto ci oczekiwanej E Q (S jf t ) 5.6. Twierdzenie o reprezentacji martynga owej proces w dyskretnych Mo emy teraz sformu owa podstawowe twierdzenie o reprezentacji martynga owej, patrz Baxter i Rennie (996). Twierdzenie o reprezentacji martynga owej Niech miara Q b dzie taka, e proces M t na drzewku jest Q -martynga em. Je li N t jest innym Q -martynga em na tym drzewku, to istnieje proces prognozowalny t, taki e N t = N + tx k= k M k gdzie M k = M k ; M k; oznacza przyrost procesu od chwili k ; dok. Mo na pokaza, e proces t wyra a si wzorem t = n+ t m + t ; n ; t ; m ; (5.8) t

28 54 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych gdzie n + t ; n ; t jest r nic mi dzy warto ciami, kt re mo e przyj proces N wchwili t. Pami tajmy, e zka dego w z a na drzewku wychodz tylko dwie drogi: w g r (%) i w d (&). Podobnie, m + t ;m; t jest r nic mi dzy warto ciami, kt re mo e przyj proces M wchwili t. Om wimy typowe zastosowanie tego twierdzenia w nansach. Przypu- my, e proces ceny akcji S t jest opisany drzewkiem dwumianowym. Niech t b dzie obligacj, kt ra reprezentuje zmieniaj c si w czasie warto pieni dza. Poniewa proces t jest prognozowalny oraz dodatni 8, wi c proces dyskontowania ; t jest tak e procesem prognozowalnym, tzn. zale y tylko od ltracji F t;. W ten spos b, w dowolnej chwili t T mo emy dyskontowa cen akcji S t, otrzymuj c Z t = ; t S t, czyli dzisiejsz (t =) warto ceny S t. Podobnie, mo emy dyskontowa wyp at instrumentu - nansowego X, otrzymuj c jej dzisiejsz warto ; T X. Szukamy miary Q, wzgl dem kt rej Z t jest martynga em. Je li X jest rozpatrywanym instrumentem nansowym, to korzystaj c z niego mo emy r wnie skonstruowa martynga E t wzgl dem miary Q E t = E Q ( ; T XjF t) tzn. mo emy przedstawi X za pomoc procesu ceny akcji. Mamy wtedy na drzewku dwa Q -martynga y. Twierdzenie o reprezentacji martynga owej pozwala nam je por wna i wyznaczy strategi zabezpieczaj c. Praktycznie wygl da to nast puj co. W chwili t budujemy portfel t sk adajacy si z t (patrz wz r (5.8)) jednostek akcji S oraz t = E t ; ; t ; t S t jednostek obligacji. W szczeg lno ci w chwili t = warto portfela wynosi V ( ) = S + = = S +(E ; ; S ) = = S + E ; S = E : Zauwa my, epodobnyrachunek mo emy przeprowadzi dla dowolnej chwili t, otrzymamy wtedy V t ( t )= t E t : (5.9) Ze wzgl du na prognozowalno procesu nie mamy trudno ci z wyznaczeniem warto ci oraz, kt re zale tylko od F. W nast pnej chwili (t = ) posiadamy ten sam portfel, ale warto ci jego sk adnik w ju si zmieni y. Portfel ma teraz warto V ( ) = S + = 8 Bez utraty og lno ci mo emy za o y, e =.

29 5.6. Twierdzenie o reprezentacji martynga owej proces w dyskretnych 55 = S +(E ; ; S ) = = S + E ; ; S = = (S ; ; S )+E = = (E + ( ; S ; ; S )) = = (E + Z )= E : Ostatnia r wno wynika tu z twierdzenia o reprezentacji martynga owej, zastosowanego do proces w N t = E t oraz M k = Z k. W chwili t = musimy zbudowa portfel = ( ). Jak zauwa yli my powy ej (wz r (5.9)), niezale nie od realizacji procesu ceny akcji S b dzie nas to kosztowa o dok adnie E.Taka jestr wnie warto posiadanego przez nas portfela w chwili t =. Mo emy zatem go sprzeda i za uzyskane pieni dze utworzy portfel, i tak dalej. W chwili t konstruujemy strategi t, kt ra kosztuje nas V t ( t )= t E t, a wchwili nast pnej b dzie ju warta V t+ ( t )= t+ E t+. Dlatego opisan strategi okre la si mianem strategii samonansuj cej (self-nancing strategy). Ostatecznie, w chwili t = T posiadamy portfel T ;, kt rego warto wynosi 9 V T ( T ; )= T E T = T E Q ( ; T XjF T )= T ; T X = X: Oznacza to, e buduj c portfel w chwili t =i modykuj c go (w spos b samonansuj cy) w kolejnych krokach odtworzyli my (zreplikowali my) warto wyp aty instrumentu nansowego X wchwili jego realizacji T.Tak strategi nazywa si replikuj c (replicating strategy). Poniewa przedstawiona strategia odtwarza zachowanie si wyj ciowego instrumentu X, wi c jego cena w chwili t = powinna by r wna warto- ci V ( ). Zauwa my, e jest to cena arbitra owa, poniewa zastosowanie opisanej strategii przy ka dej innej cenie prowadzi oby do nieograniczonych zysk w. Podobnie, w chwili t cena instrumentu X powinna by r wna warto ci V t ( t ). Podkre lmy, e ca e powy sze rozumowanie, w kt rym korzysta si z twierdzenia o reprezentacji martynga owej i kt re prowadzi do wyznaczenia strategii samonansuj cej replikuj cej instrument X i w ko cu do jego wyceny, jest oparte na istnieniu r wnowa nej miary martynga owej Q. Okazuje si, e w modelu dyskretnym pewne za o enia o procesie S t gwarantuj istnienie dok adnie jednej miary Q, wzgl dem kt rej zdyskontowany proces ceny ; t S t jest Q -martynga em. 9 Korzystamy tutaj z nast puj cej w asno ci warunkowej warto ci oczekiwanej: E Q (Z T jf T )=Z T.

30 56 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Na koniec mo emy sformu owa og lny algorytm wyceny instrumentu nansowego. Algorytm wyceny pochodnego instrumentu nansowego. Znajd miar martynga ow Q dla zdyskontowanego procesu ceny instrumentu podstawowego Z t = ; t S t.. Wyznacz martynga E t = E Q ( ; T XjF t). 3. Zgodnie z twierdzeniem o reprezentacji martynga owej, ze wzoru (5.8) wyznacz proces prognozowalny t. 4. Wyznacz t = E t ; t Z t dla t = ::: T ;. 5. Sprawd, e skonstruowana strategia t =( t t ) replikuje instrument X, tzn.v T ( T ; )= T ; S T + T ; T = X. 6. Oblicz warto instrumentu X wchwili t zgodnie ze wzorem V t (X) = t E Q ( ; T XjF t): Pytania i zadania. Wyce europejsk opcj kupna z cen wykonania K =i terminem wyga ni cia T = 3, wystawion na akcj nie wyp acaj c dywidendy, kt rej cena jest opisana drzewkiem na rys Przyjmij, e wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi % w skali jednego okresu.. Za, e rynkowa cena opcji z poprzedniego zadania wynosi 7. Opcja jest niedowarto ciowana. Nale y j kupi i stosuj c strategi zabezpieczaj c, zarobi na r nicy cen. Przeanalizuj sk ad portfela dla nast puj cego przebiegu procesu ceny akcji: (% % &). 3. Wyce ameryka sk opcj kupna z cen wykonania K = i terminem wyga ni cia T = 3, wystawion na akcj nie wyp acaj c dywidendy, kt rej cena jest opisana drzewkiem na rys Przyjmij, e wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi % w skali jednego okresu. 4. W jaki spos b inwestorzy mog wykorzysta opcje walutowe w celu zabezpieczenia si przed ryzykiem kursowym? 5. Wyce ameryka sk opcj sprzeda y z cen wykonania K = i terminem wyga ni cia T =3,wystawion na kontrakt futures, kt rego cena jest opisana drzewkiem na rys Przyjmij, e wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi % w skali jednego okresu.

31 Pytania i zadania Wyprowad wz r na parytet kupna-sprzeda y dla opcji europejskich na kontrakty futures. 7. Co to jest ltracja? 8. Czy warunkowa warto oczekiwana jest zmienn losow? 9. Co to jest miara martynga owa?. Jakie jest typowe zastosowanie w nansach twierdzenia o reprezentacji martynga owej?