Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download ""

Transkrypt

1 IN YNIERIA FINANSOWA Wycena instrument w pochodnych Symulacje komputerowe Statystyka rynku Aleksander Weron Rafa Weron Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Politechnika Wroc awska

2 Recenzenci: prof. dr hab. Krzysztof Jajuga doc. dr hab. ukasz Stettner Redaktor: Ma gorzata Rajwacka{Jachymek Projekt ok adki i stron tytu owych: Wojciech J.Steifer Sk ad i amanie: Rafa Weron Ksi ka czy og ln wiedz o rynkachpapier wwarto ciowychznowoczesnym wyk adem matematyki nansowej, kt ry obejmuje modele i metody dotycz ce wyceny instrument w pochodnych, oceny ryzyka, a tak e statystyk rynku. Poj cia teoretyczne s bogato ilustrowane przyk adami. Szczeg owo om wiono te oryginalny pakiet komputerowy Financial Engineering Toolbox, umo liwiaj cy tw rcze stosowanie metod in ynierii nansowej. Poszczeg lne rozdzia y ko cz si pytaniami i zadaniami, do kt rych odpowiedzi mo na znale w dodatku D. Ksi ka jest przeznaczona dla szerokiego kr gu odbiorc w: dla rodowiska akademickiego, zw aszcza student w kierunk w matematycznych iekonomicznych, kt rym b dzie s u y za podr cznik, dla specjalist w, pracownik w instytucji nansowych, a tak e dla inwestor w indywidualnych, kt rzy chc pog bi swoj wiedz o rynku i transakcjach terminowych. Tytu dotowany przez Polski Bank Rozwoju S.A. c Copyright by Aleksander Weron and Rafa Weron Warszawa 998 All Rights Reserved Printed in Poland Utw r w ca o ci ani we fragmentach nie mo e by powielany ani rozpowszechniany za pomoc urz dze elektronicznych, mechanicznych, kopiuj cych, nagrywaj cych i innych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Adres poczty elektronicznej: Strona WWW: ISBN 83{204{2252{3

3 Spis tre ci Przedmowa. Wprowadzenie 5.. Pocz tki rynk w nansowych : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.2. Konferencja w Bretton Woods : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7.3. Pocz tki matematyki nansowej : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9.4. In ynieria nansowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Nobel'97 z ekonomii : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Blacka-Scholesa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Rynek nansowy Struktura rynku nansowego : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Uczestnicy rynku : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Gie dy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Gie dy towarowe i terminowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : Gie dy papier w warto ciowych : : : : : : : : : : : : : : : : : Gie da Papier w Warto ciowych wwarszawie : : : : : : : : : Organizacja i dzia anie gie dy : : : : : : : : : : : : : : : : : : Regulowany rynek pozagie dowy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Papiery warto ciowe Wst p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Obligacje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Emitenci obligacji : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Euroobligacje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Klasykacja d u nik w : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Akcje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kupno na kredyt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kr tka sprzeda : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Indeksy gie dowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Indeks DJIA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Indeksy kapita owo-wa one : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Inne znane indeksy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

4 6 Spis tre ci Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakty terminowe Wst p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakty forward : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Ceny terminowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Walutowe kontrakty forward : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wide ki cen kupna i sprzeda y : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakty FRA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakty futures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Rozliczenie dzienne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : System depozyt w : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Izba rozliczeniowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Zbie no cen terminowych i got wkowych : : : : : : : : : : : Towarowe kontrakty futures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Finansowe kontrakty futures : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakty wymiany : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakty PLA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wymiany walutowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wymiany procentowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Modykacje podstawowych kontrakt w wymiany : : : : : : : Opcje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Instrumenty podstawowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Cena opcji : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Ograniczenia na cen opcji : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Przedterminowe wykonanie opcji ameryka skich : : : : : : : Parytet kupna-sprzeda y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Matematyka nansowa modeli dyskretnych Podstawowy model dwumianowy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wycena opcji europejskich : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Strategia zabezpieczaj ca : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wycena opcji na instrumenty o sta ej stopie dywidendy : : : : : : : Opcje indeksowe iwalutowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcje na kontrakty futures : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wycena opcji ameryka skich : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Strategia zabezpieczaj ca : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Podej cie martynga owe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Twierdzenie o reprezentacji martynga owej proces w dyskretnych : : 53 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Matematyka nansowa modeli ci g ych Wprowadzenie do modeli ci g ych : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Analiza stochastyczna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : B dzenie losowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Ruch Browna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

5 Spis tre ci Lemat It^o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Blacka-Scholesa. Metoda r wna r niczkowych cz stkowych Zamiana miary. Twierdzenie Girsanowa : : : : : : : : : : : : : : : : Twierdzenie o reprezentacji martynga owej proces w ci g ych : : : : Zupe no rynku : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Blacka-Scholesa. Metoda martynga owa : : : : : : : : : : : : Zerowa stopa procentowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Niezerowa stopa procentowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wz r Blacka-Scholesa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wz r Mertona dla opcji na akcje o sta ej stopie dywidendy : Analiza wra liwo ci : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Delta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Gamma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Theta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Vega : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Blacka dla opcji na kontrakty futures : : : : : : : : : : : : : : Model Mertona dla opcji z losow stop procentow : : : : : : : : : Model typu Blacka-Scholesa dla opcji walutowych : : : : : : : : : : : Rynek dolarowy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Rynek z ot wkowy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wz r Garmana-Kohlhagena : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Modelowanie struktury terminowej Krzywa dochodowo ci : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Stopy forward : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Modele chwilowej stopy procentowej : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Heatha-Jarrowa-Mortona : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wielofaktorowy model HJM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : R wnowa na miara martynga owa : : : : : : : : : : : : : : : Jednofaktorowy model HJM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wycena instrument w w modelu HJM : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakt forward na obligacj zerokuponow : : : : : : : : : Obligacja o zmiennym oprocentowaniu : : : : : : : : : : : : : Instrumenty na polskim rynku : : : : : : : : : : : : : : : : : 223 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Konstrukcja i wycena egzotycznych instrument w pochodnych In ynieria nansowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kombinacje kontrakt w terminowych : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakt forward swap : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kombinacje opcji : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Instrumenty syntetyczne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakt break forward : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakt range forward : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcje zale ne od czasu, z o one i binarne : : : : : : : : : : : : : : : Opcja typu forward-start : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 240

6 8 Spis tre ci Opcja wyboru : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcja z o ona : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcja binarna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcje zale ne od trajektorii : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcja azjatycka : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcje barierowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcja kwantylowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcje typu lookback : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Wielowymiarowe instrumenty egzotyczne : : : : : : : : : : : : : : : : Opcja koszykowa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Instrumenty typu quanto : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Instrumenty egzotyczne na rynku st p procentowych : : : : : : : : : Opcja kupna na obligacj zerokuponow : : : : : : : : : : : : Kontrakt forward swap : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcja caplet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakt forward cap : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Kontrakt forward oor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Opcje na kontrakty wymiany (swaptions) : : : : : : : : : : : 269 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Statystyka rynk w nansowych Modele rynk w nansowych : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Hipoteza rynku fraktalnego : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Hipoteza rynku niejednorodnego : : : : : : : : : : : : : : : : Rozk ady niegaussowskie a stopy zwrotu : : : : : : : : : : : : : : : : Empiryczne w asno ci zwrot w : : : : : : : : : : : : : : : : : Rozk ady niesko czenie podzielne : : : : : : : : : : : : : : : : Model CED : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Szeregi czasowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Procesy liniowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Procesy nieliniowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Techniki analizy danych nansowych : : : : : : : : : : : : : : : : : : Badanie grubo ci ogon w rozk ad w : : : : : : : : : : : : : : Badanie zgodno ci rozk ad w : : : : : : : : : : : : : : : : : : Badanie d ugoterminowej zale no ci danych : : : : : : : : : : 323 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Alternatywne modele nansowe Randomizacja modelu dyskretnego : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Racheva-Ruschendorfa : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Gerbera-Shiu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Transformata Esschera : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Model Hursta-Platena-Racheva : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Modele H-samopodobne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : U amkowy ruch Browna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Podej cie bezpo rednie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Podej cie martynga owe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 356

7 Spis tre ci 9 Pytania i zadania : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 358 Zako czenie 359 Dodatki 36 A. Pakiet Financial Engineering Toolbox v A.. Wymagania sprz towe i programowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : 363 A.2. Instalacja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 363 A.3. Praca z programem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 364 A.3.. Prole wyp aty : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 364 A.3.2. Greckie wska niki dla pozycji : : : : : : : : : : : : : : : : : : 367 A.3.3. Wycena instrument w pochodnych w modelu dyskretnym : : 368 A.3.4. Wycena opcji egzotycznych w modelu dyskretnym : : : : : : 369 A.3.5. Metoda Monte Carlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 374 B. Rachunek nansowy 379 B.. Przysz a warto sumy pieni nej : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 379 B.2. Bie ca warto przysz ej sumy pieni nej : : : : : : : : : : : : : : : 380 B.3. Przysz a warto ci gu p atno ci : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 B.4. Bie ca warto ci gu p atno ci : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 382 B.5. Stopa zwrotu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 382 C. Laureaci Nagr d Nobla z nauk ekonomicznych 385 D. Odpowiedzi i rozwi zania 389 D.. Rozdzia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 389 D.2. Rozdzia 2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 390 D.3. Rozdzia 3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 D.4. Rozdzia 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 393 D.5. Rozdzia 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 396 D.6. Rozdzia 6 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 398 D.7. Rozdzia 7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 402 D.8. Rozdzia 8 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 403 D.9. Rozdzia 9 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 405 D.0.Rozdzia 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 407 Literatura 4 Indeks termin w angielskich 49 Indeks 425

8 0 Spis tre ci

9 Przedmowa W ci gu ostatnich kilku lat obserwujemy burzliwy rozw j in ynierii - nansowej { dzia u nans w maj cego charakter interdyscyplinarny, gdzie korzysta si z analizy stochastycznej, rozwini tej w ramach matematycznej teorii proces wstochastycznych. Nie jest atwe sprecyzowanie, czym dok adnie zajmuje si in ynieria nansowa. Dla jednych jest to zarz dzanie ryzykiem nansowym, dla innych za { tworzenie instrument w egzotycznych, specjalnie dostosowanych do indywidualnych potrzeb inwestor w. W zasadzie in ynieria nansowa jest i jednym, i drugim, a jedn z podstawowych dzia alno ci in yniera nansowego jest konstrukcja nowych instrument w o mniejszym ryzyku. Znaczenie in ynierii nansowej we wsp czesnych - nansach zosta o podkre lone przyznaniem w roku 997 Nagrody Nobla z ekonomii Robertowi Mertonowi i Myronowi Scholesowi za opracowanie metody wyceny pochodnych instrument w nansowych, kt ra pomog a wygenerowa nowe instrumenty nansowe i uprzyst pni bardziej skuteczne zarz dzanie ryzykiem. Przedstawienie tej metody jest w a nie jednym z g wnych temat w niniejszej ksi ki. Ksi ka jest adresowana do szerokich kr g w Czytelnik w: specjalist w, spo eczno ci akademickiej oraz pracownik w instytucji nansowych. Pierwsza cz ksi ki (rozdzia y 2{4) zawiera niezb dne dla Czytelnik w bez wcze niejszego przygotowania ekonomicznego wprowadzenie do rynk w i instrument w nansowych. Autorzy s przekonani, e g wna cz ksi ki (rozdzia y 5{0) zainteresuje r wnie uczestnik w kurs w dla doradc w - nansowych, praktyk w, a tak e inwestor w indywidualnych, kt rzy pragn poszerzy swoj wiedz dotycz c transakcji terminowych, in ynierii nansowej, jej mo liwo ci w dziedzinie zarz dzania ryzykiem oraz konstrukcji iwyceny instrument w egzotycznych. Nowo ci w ksi ce jest dynamiczna metoda wprowadzania z o onych poj matematycznych na konkretnych przyk adach nansowych, wspomagana licznymi ilustracjami gracznymi i komputerowymi. Jej integraln cz ci jest Financial Engineering Toolbox v. 2.0 { atwy w u yciu pakiet program w w rodowisku MATLAB, umo liwiaj cy Czytelnikowi (na-

10 2 Przedmowa wet bez wcze niejszej znajomo ci tego rodowiska) praktyczne testowanie poznawanego materia u. Pakiet, udost pniony w Internecie pod adresem wykorzystuje najnowsze, przyjazne dla u ytkownika, narz dzia informatyczne. Na podkre lenie zas uguje fakt, e od Czytelnika ksi ki nie oczekuje si zaawansowanej wiedzy ani z teorii nans w, ani z teorii prawdopodobie stwa. G wne koncepcje teorii instrument w nansowych oraz matematyki nansowej s systematycznie wprowadzane w kontek cie przyk ad w najpierw dla prostych modeli dyskretnych, a p niej dla bardziej realistycznych modeli ci g ych. Strategie nansowe przedstawiono w postaci przejrzystych algorytm w, co umo liwia atwiejsze przyswojenie kluczowych metod wyceny instrument w nansowych. W przypadku dyskretnym podstawowe poj cia probabilistyczne s reprezentowane na drzewach dwumianowych, co pozwala na wyrobienie niezb dnej intuicji. Natomiast w przypadku ci g ym podobn rol odgrywaj liczne symulacje komputerowe. Ksi ka rozpoczyna si wprowadzeniem w problematyk rynk w nansowych, ze szczeg lnym podkre leniem wp ywu upadku uk adu z Bretton Woods na ryzyko nansowe, oraz zwi z ym om wieniem historii matematyki nansowej w rozdziale. Na tym tle przedstawiono zas ugi laureat w Nagrody Nobla z ekonomii w roku 997. Rozdzia 2. to kr tki przegl d rynk w nansowych. Podstawowe papiery warto ciowe: akcje i obligacje, oraz indeksy gie dowe s szczeg owo om wione w rozdziale 3. Cztery podstawowe dla in ynierii nansowej typy instrument w terminowych: kontrakty forward, futures, wymiany oraz opcje s tematem rozdzia u 4. Trzy kolejne rozdzia y stanowi kr tki, praktyczny kurs analizy stochastycznej na u ytek zastosowa nansowych. Systematyczne wprowadzenie w matematyk nansow modeli dyskretnych zawiera rozdzia 5. Kluczowe poj cia probabilistyczne: warunkowa warto oczekiwana, ltracja, martynga oraz zamiana miary s wprowadzane stopniowo na pogl dowych przyk adach nansowych, ilustrowanych prost metod drzewek dwumianowych. W rozdziale 6. wprowadzono podstawowy model stochastyczny, oparty na geometrycznym ruchubrowna i stochastycznychr wnaniach r niczkowych. Liczne symulacje komputerowe stanowi istotn pomoc dla Czytelnika, podobnie jak i mo liwo powt rzenia takich eksperyment w komputerowych poprzez wykorzystanie pakietu Financial Engineering Toolbox v Podstawowy algorytm wyceny instrument w nansowych jest wyprowadzony i w klasycznym modelu Blacka-Scholesa, i w modelu og lnym. W rozdziale 7. zastosowano wprowadzone w rozdziale 6. metody analizy stochastycznej do opisu struktury terminowej. Om wiono szczeg owo zar wno klasyczne modele Vasicka, Ho-Lee oraz Coxa-Ingersolla-Rossa, jak i metod Heatha-Jarrowa-Mortona.

11 Przedmowa 3 Rozdzia 8. jest po wi cony konstrukcji i wycenie instrument w egzotycznych: od najprostszych instrument w (break i range forwards, opcje binarne, wyboru, z o one), przez opcje zale ne od trajektorii (azjatyckie, barierowe, lookback, kwantylowe) i instrumenty wielowymiarowe (opcje koszykowe i instrumenty quanto), po instrumenty egzotyczne na rynku st p procentowych(forward swaps, caps, oors, swaptions). W rozdziale tym wykorzystuje si analiz stochastyczn rozwini t w rozdzia ach 5{7 do konstrukcji i wyceny ca ej gamy nowych instrument w nansowych, budowanych w ramach in ynierii nansowej. Rozdzia 9. wprowadza Czytelnika w wa n problematyk rynk w niezupe nych poprzez prezentacj praktycznych metod statystycznych. Przedstawione s hipoteza rynku fraktalnego i hipoteza rynku niejednorodnego oraz analiza niegaussowskich (hiperbolicznych, stabilnych) rozk ad w st p zwrotu. Om wiono ekonometryczne modele szereg w czasowychtypu ARCH, GARCH, R{GARCH, TARCH i HARCH oraz model CED, stosowane w ostatnich latach do modelowania rynk w nansowych. Szczeg owo opisano metody analizy danych (badanie grubo ci ogon w, zgodno ci rozk ad w i d ugoterminowej zale no ci danych). Niekt re wsp czesne alternatywne kierunki rozwoju matematyki nansowej s kr tkoom wione w rozdziale 0. Mi dzy innymi przedstawiono tam model Racheva-Ruschendorfa, model Gerbera-Shiu, model Hursta-Platena- Racheva orazdwa modele bazuj ce na u amkowym ruchu Browna. Ka dy rozdzia jest zako czony pytaniami i zadaniami sprawdzaj cymi stopie przyswojenia materia u, a dodatek D zawiera odpowiedzi lub rozwi zania zada. Dzi ki temu niniejsz ksi k mo na traktowa jako podr cznik. W dodatku A, po wi conym oryginalnemu pakietowi komputerowemu Financial Engineering Toolbox v. 2.0, jest zawarta szczeg owa instrukcja u ycia pakietu oraz informacje pozwalaj ce U ytkownikowi na tw rcze wykorzystanie mo liwo ci element w in ynierii nansowej w interesuj cych go problemach. W dodatku B Czytelnik znajdzie om wienie podstawowychzagadnie z rachunku nansowego, do kt rych cz sto nawi zuje si w g wnej cz ci ksi ki. S to m.in. warto przysz a sumy pieni nej, dyskontowanie oraz stopa zwrotu. Dodatek C zawiera list laureat w Nagrody Nobla z nauk ekonomicznych w latach J zykiem nans w jest angielski. Prawie wszystkie wprowadzane terminys podawane zar wno w j zyku polskim (czcionk pogrubion ), jak i angielskim (kursyw ). Zdarza si jednak, e podano tylko terminy angielskie { by unikn wprowadzania na si zwrot w w j zyku polskim. Dotyczy to wy cznie przypadk w, gdy nie ma do tej pory dobrych odpowiednik w polskoj zycznych. Pe ni ce funkcj s ownika szczeg owe wykazy polskich

12 4 Przedmowa i angielskich termin w oraz bogaty wyb r literatury (ponad 50 pozycji), zamieszczone na ko cu ksi ki, z pewno ci u atwi Czytelnikowi dalsze studiowanie tej ciekawej problematyki. Niniejsza ksi kapowsta a na podstawie wyk ad w, jakie systematycznie prowadzimy od roku akademickiego 994/95 dla specjalizacji Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa na Wydziale PPT Politechniki Wroc awskiej. Jest ona te wynikiem naszych do wiadcze zdobytych za granic. Je li chodzi o stron teoretyczn, to wszechstronnej, yczliwej pomocy, polegaj cej m.in. na inspiruj cych dyskusjach, udzielili nam: O. Barndor-Nielsen (Aarhus University, Dania), P. Embrechts (ETH Zurich, Szwajcaria), R. Engle (University of California San Diego, USA), B. Mandelbrot (IBM Watson Center, USA), H. Markowitz (San Diego, USA), J. Hu McCulloch (Ohio State University, USA), J. Mielniczuk (IPI PAN, Warszawa), M. Musiela (University of New South Wales, Australia), J. Aase Nielsen (Aarhus University, Dania), S. Rachev (University of California Santa Barbara, USA), M. Rutkowski (Politechnika Warszawska) oraz G. Samorodnitsky (Cornell University, USA), kt rym pragniemy tu gor co podzi kowa. Rafa Weron jest szczeg lnie zobowi zany przedstawicielom instytucji nansowych za wprowadzenie w praktyczne aspekty rynk w nansowych. Osobami, kt re chcia by tu wymieni, s : F. Arnieri (F&O Finance AG, Szwajcaria), M. Dacorogna (Olsen & Associates, Szwajcaria), G. Fleming (F&O Finance AG, Szwajcaria), T. Garli ski (Garlinski Finanzhandels, Niemcy) orazg.reum(european Trust and Bank, Holandia). Aleksander Weron pragnie podzi kowa swym (by ym i obecnym) magistrantom i doktorantom, kt rzy przyczynili si istotnie do ulepszenia r nych fragment w pierwotnego tekstu, w szczeg lno ci: K. Burneckiemu, J. G owi skiemu, M. Klickiej, P. Mu kowi (Bank Zachodni S.A.), J. Nowickiej, A. Rejmanowi (Polski Bank Rozwoju S.A.), K. Rojkowi (ING Bank N.V.), P. Sztubie, W. Wilandowi oraz. Wojakowskiemu, bo uczenie si od swoich uczni w i wsp praca z nimi jest prawdziw satysfakcj dla profesora. Nasze podzi kowania za yczliw i konstruktywn krytyk kierujemy pod adresem recenzent w: Profesora K. Jajugi (AE, Wroc aw) i Profesora. Stettnera (IM PAN, Warszawa), a tak e Pani Redaktor M. Jachymek ipani Redaktor Z. Leszczy skiej. Jeste my r wnie wdzi czni Panu Dyrektorowi P. Kazimierczykowi (Polski Bank Rozwoju S.A.) zadecyzj o sponsorowaniu ksi ki. Wroc aw, grudzie 997 Aleksander Weron Rafa Weron

13 Rozdzia 5 Matematyka nansowa modeli dyskretnych 5.. Podstawowy model dwumianowy Losowo w naszym wyidealizowanym modelu matematycznym b dzie si wyra a poprzez przyjmowanie przez akcj w ka dej nast pnej chwili jednej z dw ch mo liwych cen. Dok adniej, w ka dym kroku cena akcji b dzie mog a wzrosn (%) lub spa (&). Gracznie mo na t sytuacj przedstawi na drzewku dwumianowym (binomial tree), kt re sk ada si z wierzcho k w oznaczonych k kami oraz strza ek oznaczaj cych drogi mi dzy wierzcho kami. Wierzcho ki umawiamy si numerowa w nastepuj cy spos b: chwili t =0odpowiada wierzcho ek o numerze, nast pnie { chwili t =odpowiadaj wierzcho ki o numerach 2 i 3 (licz c od do u), chwili t =2 odpowiadaj wierzcho ki o numerach 4, 5 i 6, itd. Zauwa my od razu, e do wierzcho ka nr 5 mo emy dotrze na dwa r ne sposoby: drog f 3 5g lub drog f 2 5g. Przy ka dej strza ce mo emy umie ci odpowiednie prawdopodobie stwo danego zdarzenia losowego, polegaj cego na przej ciu z jednego wierzcho ka do drugiego. Na przyk ad, je li za o ymy, e wszystkie przej cia s jednakowo prawdopodobne, tzn. e w ka dym z wierzcho k w zar wno prawdopodobie stwo skoku w g r, jak i skoku w d w nast pnym kroku wynosi,toschemat losowy jest opisany miar probabilistyczn 2 P = fp ig wyznaczon przez p i =, patrz rys. 5.. Uwzgl dniaj c wszystkie mo liwe drogi 2 do wierzcho k w, obliczamy odpowiednie prawdopodobie stwa doj cia do wierzcho k w onumerach 4,5,6. Rozwa my nast puj cy prosty przyk ad instrumentu nansowego na rynku z zerow stop procentow.

14 30 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych 2 P PPPPPq P PPPPPq 2 2 P PPPPPq 2 t =0 t = t = = = = 2 2 Rys. 5.. Drzewko dwumianowe. Przy strza kach umieszczono odpowiednie prawdopodobie stwa zdarze losowych. Dodatkowo podanoprawdopodobie stwa doj- cia do wierzcho k w onumerach 4,5,6,uwzgl dniaj ce wszystkie mo liwe drogi prowadz ce do tych wierzcho k w Przyk ad 5.. Za my, e dzisiaj (chwila t = 0, wierzcho ek ) zar wno cena obligacji 0, jak i akcji s wynosi 00. Za my dalej, e jutro (chwila t = = T, wierzcho ek 2 lub 3) akcja b dzie kosztowa a s 2 = 80 lub s 3 =20,patrz rys Oczywi cie, na rynku z zerow stop procentow cena obligacji jest sta a w czasie i r wna warto ci nominalnej 0 = =00. Spr bujmy wyceni instrument X, kt ry wyp aca kwot f T = 0, je li cena akcji idzie do g ry, natomiast nic nie wyp aca, je li cena akcji spada. Taki instrument mo na traktowa jako zak ad podobny dotych, kt re przyjmujemy graj c w ruletk. Zauwa my, e zachowanie instrumentu X mo na odtworzy (zreplikowa ), konstruuj c odpowiedni strategi. W chwili t =0budujemy portfel 0, sk adaj cy si z kupionej jednostki akcji oraz sprzedanej jednostki 4 5 obligacji. 2 Jego warto wynosi V 0 ( 0 )= 4 00 ; 00 = 5: 5 Nale y zwr ci uwag, e akcje s indeksowane numerem wierzcho ka, w przeciwie stwie do obligacji, kt re s indeksowane czasem t =0 ::: T.Jesttospowodowane tym, e w ka dej chwili t cena akcji mo e przyjmowa wiele warto ci, natomiast cena obligacji {tylko jedn warto. Dla u atwienia notacji nie u ywamy symbolu waluty. 2 Przy wycenianiu instrument w nansowych zazwyczaj dopuszczamy ich podzielno oraz kr tk sprzeda, por wnaj podrozdzia.6.

15 5.. Podstawowy model dwumianowy 3 00 P PPPPPq t =0 t = Rys Proces ceny akcji na jednookresowym drzewku dwumianowym W nast pnym kroku (chwila t =)warto tego portfela wynosi oraz V ( 0 )= 4 20 ; 00 = 0 5 je li cena akcji wzro nie V ( 0 )= 4 80 ; 00 = 0 je li cena akcji spadnie, 5 czyli dok adnie odtwarza wyp aty instrumentu X. Zatem warto instrumentu X w chwili t = 0 powinna by taka sama, jak skonstruowanego portfela replikuj cego, tzn. V 0 ( 0 )=5. Og lniej, szukamy takiego portfela t = ( t t ) =(liczba akcji, liczba obligacji), aby w chwili t = 0 jego koszt wynosi V 0 ( 0 ) = 0 s + 0 0, natomiast jeden krok p niej, tzn. w chwili t, b dzie mia on ju warto oraz V t ( 0 )= 0 s e rt je li cena akcji wzro nie do s 3 V t ( 0 )= 0 s e rt je li cena akcji spadnie do s 2. Kr tkoterminowa, wolna od ryzyka stopa procentowa jest oznaczona przez r, awarto 0 e rt odpowiada cenie obligacji w chwili t przy za o eniu ci g ej kapitalizacji, patrz dodatek B. Ze wzgl du na dobre analityczne w asno ci eksponenty, w pozosta ej cz ci ksi ki, z wyj tkiem fragment w, w kt rych wyra nie podkre lone jest u ycie innej metody, jest stosowana ci g a kapitalizacja. W ten spos b dla dowolnego instrumentu nansowego X, przyjmuj cego w chwili t jedn z dw ch warto ci: x 2 lub x 3, otrzymujemy uk ad dw ch r wna z dwoma niewiadomymi ( 0 s e rt = x 3 0 s e rt = x 2 :

16 32 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Z wyj tkiem przypadku s 2 = s 3 uk ad ten ma zawsze rozwi zanie 0 = x 3 ; x 2 s 3 ; s 2 0 = 0 ; e ;rt x 3 ; (x 3 ; x 2 )s 3 s 3 ; s 2 W ten spos b ka dy pochodny instrument nansowy X mo e by odtworzony z portfela z o onego z akcji i obligacji. Jego warto X t wchwili t =0 wynosi : Warto instrumentu pochodnego w modelu dwumianowym X 0 = V 0 ( 0 )= 0 s = = x 3 ; x 2 s + e ;rt x 3 ; (x 3 ; x 2 )s 3 s 3 ; s 2 s 3 ; s 2 Je li wprowadzimy nast puj ce oznaczenie to poprzedni wz r mo emy zapisa w postaci q = s e rt ; s 2 s 3 ; s 2 (5.) X 0 = e ;rt (qx 3 +(; q)x 2 ): (5.2) Zauwa my, e 0 < q <. Gdyby tak nie by o i np. je li q mog oby by mniejsze lub r wne 0, to s e rt s 2 < s 3. Ale wtedy, sprzedaj c obligacje i kupuj c za uzyskane pieni dze akcje, mo na by osi gn zysk bez ponoszenia ryzyka, tzn. by aby okazja do arbitra u. W chwili t = akcje by yby warte co najmniej s 2, a obligacje, kt re nale a oby odkupi, jedynie s e rt. Analogicznie mo na argumentowa, e q jest mniejsze od. Dlatego q mo na traktowa jako prawdopodobie stwo, a praw stron wzoru (5.2) jako zdyskontowan warto oczekiwan instrumentu X wzgl dem nowej miary prawdopodobie stwa Q, zadanej przez skok w g r z prawdopodobie stwem q oraz skok w d z prawdopodobie stwem ; q. B dziemy j nazywali miar arbitra ow (arbitrage measure), a q { prawdopodobie stwem arbitra owym (arbitrage probability).

17 5.2. Wycena opcji europejskich 33 Przyk ad 5.2. Obliczmy warto kontraktu forward na akcje nie wyp acaj ce dywidendy. Funkcja wyp aty, przy zaj tej d ugiej pozycji, ma posta f T = S T ;K,gdzieK jest cen rozliczenia. Na mocy wzoru (5.2) dla T = t mamy X 0 = e ;rt q(s 3 ; K)+(; q)(s 2 ; K) = = e ;rt s 2 ; K + q(s 3 ; s 2 ) = = e ;rt (s 2 ; K + s e rt ; s 2 )= = s ; Ke ;rt : Zatem jedyn cen rozliczenia K, kt ra daje zerow warto kontraktu wchwili t = 0 (cen bie c ), jest K = s e rt = S 0 e rt (por wnaj p. 4.2.) Wycena opcji europejskich Pojedynczy krok na drzewku dwumianowym by atwy do analizy. Niemniej dotyczy on dw ch podstawowych instrument w nansowych: akcji o nieznanej losowej cenie oraz obligacji. Idealizacja polega a na tym, e w terminie T cena akcji mog a przyjmowa tylko dwie warto ci. Zajmiemy si teraz rozszerzeniem analizy na drzewko dwumianowe, odpowiadaj ce trzem przedzia om czasu, patrz rys W wierzcho kach tego drzewka s umieszczone ceny akcji obserwowanej w przedziale czasu od t =0dot = 3, a przy strza kach subiektywne prawdopodobie stwa, dotycz ce zmian cen. Uwa- amy, e w pierwszych dw ch okresach prawdopodobie stwo spadku cen ( 3 ) jest wi ksze ni ich wzrostu, a w ostatnim okresie cena akcji mo e si 4 zmieni z takim samym prawdopodobie stwem ( ). Inni inwestorzy mog 2 mie odmienne zdanie co do przysz ych ruch w cen iprawdopodobie stwa na ich drzewkach mog by inne. Spr bujmy teraz wyceni europejsk opcj kupna na akcj nie wyp acaj c dywidendy 3, z cen wykonania K = 00 i terminem wyga ni cia T =3.Pami taj c, e funkcja wyp aty takiej opcji wynosi f T =(S T ; K) +, atwo mo emy j wyceni w terminie wyga ni cia i wype ni ostatni kolumn na drzewku warto ci opcji, patrz rys Czytaj c od g ry do do u, mamy: x 0 = 60, x 9 = 20, x 8 = 0 oraz x 7 = 0. W celu obliczenia warto- ci pozosta ych kolumn musimy { analogicznie jak poprzednio { wyznaczy prawdopodobie stwa arbitra owe q t. 3 Do wyceny wystarczy za o enie, e akcja nie wyp aca dywidendy, adok adniej, e dzie ustalenia prawa do dywidendy nie wypada w okresie wa no ci opcji.

18 34 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych P PPPPPq P PPPPPq P PPPPPq 4 40 P PPPPPq 2 t =0 t = t =2 t = P PPPPPq P PPPPPq Rys Proces ceny akcji na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczono subiektywne prawdopodobie stwa dla zdarze losowych Podobnie jak w przyk adzie 5. za my dla u atwienia, e stopa procentowa r = 0. Wtedy ze wzoru (5.) dla chwili t mamy q t = s t ; s ; t+ s + t+ ; s; t+ gdzie s t jest obecn cen akcji, a s + t+ i s ; t+ s znanymi nam cenami akcji w nast pnym kroku, odpowiednio { w przypadku ruchu w g r i w d. Podobnie otrzymujemy wz r na warto opcji w chwili t x t = q t x + t+ +(; q t )x ; t+ gdzie x + t+ i x ; t+ s warto ciami opcji w nast pnym kroku, odpowiednio { w przypadku ruchu w g r i w d. Zauwa my, e dla procesu ceny akcji wszystkie prawdopodobie stwa q t s jednakowe i wynosz q t = q =. 2 Dlatego warto opcji w wierzcho ku o numerze 6 wynosi x 6 = 2 x 0 + ; 2 x 9 = = 40: 2 Podobnie dla pozosta ych wierzcho k w przedostatniej (t = 2) kolumny mamy: x 5 = ( ; 2 ) 0 = 0 oraz x 4 = 2 0+(; 2 ) 0 = 0. Wynik rachunk w dla ca ego drzewka zilustrowanonarys.5.4.

19 5.2. Wycena opcji europejskich P PPPPPq P PPPPPq 2 2 P PPPPPq P PPPPPq 2 t =0 t = t =2 t = P PPPPPq 2 2 P PPPPPq Rys Proces warto ci opcji kupna z cen wykonania K = 00 na drzewku dwumianowym. Przy strza kach umieszczono prawdopodobie stwa arbitra owe q = q t dla odpowiednich zdarze losowych. Rozpatrywany jest rynek z zerow stop procentow Znaj c miar Q, mo emy atwo obliczy prawdopodobie stwa wyst pienia ka dej z ko cowych warto ci opcji w terminie wyga ni cia. Musimy pami ta o mno eniu prawdopodobie stw wzd u przebytej drogi (niezale no zdarze ) oraz o tym, e ka d z warto ci rodkowych na rys. 5.4, tzn. x 9 =20oraz x 8 =0,mo na osi gn na trzy sposoby. Oznacza to, e odpowiednie prawdopodobie stwa doj cia trzeba do siebie doda. St d obliczamy: X 3 = x 0 =60zprawdopodobie stwem, X 8 3 = x 9 = 20 z prawd. 3, 8 X 3 = x 8 =0zprawd. 3 oraz X 8 3 = x 7 =0zprawd..Mo emy teraz zilustrowa nast puj cy og lny 8 wynik X 0 = E Q (X 3 ) gdzie E Q oznacza operator warto ci oczekiwanej wzgl dem miary Q, tzn. warto oczekiwana jest liczona przy uwzgl dnieniu prawdopodobie stwarbitra owych q t. W naszym przyk adzie mamy bowiem =5:

20 36 5. Matematyka nansowa modeli dyskretnych Warto opcji w chwili t = 0 mo e by zatem wyliczona jako warto oczekiwana wzgl dem miary arbitra owej Q warto ci opcji w chwili t =3. atwo mo na si przekona, e X 0 6= E P (X 3 ), bo w naszym przypadku mamy = co jest oczywi cie r ne od Strategia zabezpieczaj ca Zerowa stopa procentowa Sprawiedliwa cena 4 opcji na akcj nie wyp acaj c dywidendy w chwili t = 0, wynosi 5. Je li jej cena rynkowa jest inna, to mo emy zastosowa strategi zabezpieczaj c 5 (hedging) i, odpowiednio wybieraj c portfel w ka dym kroku, zarobi na r nicy tych cen. W ka dej chwili t b dziemy budowa portfel sk adaj cy si z t = x+ t+ ; x; t+ s + t+ ; (5.3) s; t+ jednostek akcji oraz z t jednostek obligacji nansuj cych pozycj w akcjach. Przyk ad 5.3. Za my, e rynkowa cena opcji kupna wynosi 6, a obligacji. Opcja jest przewarto ciowana. Nale y j sprzeda i stosuj c strategi zabezpieczaj c, zarobi na r nicy cen. Przeanalizujmy sk ad naszego portfela dla przyk adowego przebiegu procesu ceny akcji: (% % &). Za sprzeda opcji otrzymujemy 6. Ze wzoru (5.3) obliczamy (patrz rys. 5.3 i 5.4) 0 = 25;5 = 0 5. W celu kupna 0,5 jednostki akcji po 20;80 00 jeste my zmuszeni po yczy od kogo 50 ; 6 = 34, co jest r wnowa ne sprzeda y 34 obligacji ( 0 = ;34) po 0 =. W terminie t =cenaakcji wzrasta do 20. Obliczamy = 40;0 = 40;00 = Kupujemy dodatkowo 0,25 jednostki akcji, teraz ju po 20, co kosztuje nas 30. Musimy po yczy dodatkowo 30, wi c = ;64. W terminie t = 2 cena akcji ponownie wzrasta, tym razem do 40. Obecnie 2 = 60;20 =. Dokupujemy nast pn wiartk akcji, co kosztuje 60;20 nas = 35. Nasz d ug wzrasta do 2 = ;99. W terminie wyga ni cia opcji cena akcji spada do 20. Poniewa 20 > >K= 00, wi c opcja jest w cenie i jej nabywca b dzie chcia j wykona. Dostarczamy nabywcy akcj i otrzymujemy od niego K = 00 w got wce, co 4 R wnie nazywana warto ci teoretyczn. 5 Nazywan r wnie strategi redukcji ryzyka, op otkowaniem lub os on.

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa. O Autorach. Wstęp. Część I. Finanse i system finansowy

Spis treści. Przedmowa. O Autorach. Wstęp. Część I. Finanse i system finansowy Spis treści Przedmowa O Autorach Wstęp Część I. Finanse i system finansowy Rozdział 1. Co to są finanse? 1.1. Definicja pojęcia finanse 1.2. Dlaczego należy studiować finanse? 1.3. Decyzje finansowe gospodarstw

Bardziej szczegółowo

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez

Bardziej szczegółowo

Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1

Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1 Warszawa, 26 czerwca 2012 r. Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1 W końcu 2011 r. na polskim rynku finansowym funkcjonowały 484 fundusze inwestycyjne

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na WIBOR

Kontrakty terminowe na WIBOR Kontrakty terminowe na WIBOR W Polsce podstawowym wskaźnikiem odzwierciedlającym koszt pieniądza na rynku międzybankowym jest WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate). Jest to średnia stopa procentowa

Bardziej szczegółowo

Analiza instrumentów pochodnych

Analiza instrumentów pochodnych Analiza instrumentów pochodnych Dr Wioletta Nowak Czwartek 13.00-15.00, p. 205C wioletta.nowak@uwr.edu.pl http://prawo.uni.wroc.pl/user/12141/students-resources Sylabus Zasady i metody wyceny kontraktów

Bardziej szczegółowo

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r.

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Spis treści: 1. Wstęp... 3 2. Fundusze własne... 4 2.1 Informacje podstawowe... 4 2.2 Struktura funduszy własnych....5

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Statystyka finansowa

Statystyka finansowa Statystyka finansowa Rynki finansowe Rynek finansowy rynek na którym zawierane są transakcje finansowe polegające na zakupie i sprzedaży instrumentów finansowych Instrument finansowy kontrakt pomiędzy

Bardziej szczegółowo

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności

Bardziej szczegółowo

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK Akcje Akcje są papierem wartościowym reprezentującym odpowiedni

Bardziej szczegółowo

Obowiązek wystawienia faktury zaliczkowej wynika z przepisów o VAT i z faktu udokumentowania tego podatku.

Obowiązek wystawienia faktury zaliczkowej wynika z przepisów o VAT i z faktu udokumentowania tego podatku. Różnice kursowe pomiędzy zapłatą zaliczki przez kontrahenta zagranicznego a fakturą dokumentującą tę Obowiązek wystawienia faktury zaliczkowej wynika z przepisów o VAT i z faktu udokumentowania tego podatku.

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity)

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity) Załącznik do Uchwały Nr 1226/2015 Zarządu Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. z dnia 3 grudnia 2015 r. Szczegółowe zasady obliczania wysokości i pobierania opłat giełdowych (tekst jednolity)

Bardziej szczegółowo

RYZYKO WALUTOWE - NARZĘDZIA MINIMALIZACJI. Wysoka konkurencyjność. Produkty dostosowywane do indywidualnych potrzeb Klienta

RYZYKO WALUTOWE - NARZĘDZIA MINIMALIZACJI. Wysoka konkurencyjność. Produkty dostosowywane do indywidualnych potrzeb Klienta RYZYKO WALUTOWE - NARZĘDZIA MINIMALIZACJI str. 1 Wysoka konkurencyjność Produkty dostosowywane do indywidualnych potrzeb Klienta Oferta cenowa negocjowana indywidualnie dla każdego Klienta Elektroniczne

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH

REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH Tekst jednolity -Załącznik do Zarządzenia Członka Zarządu nr 53/2002 z dnia 04.03.2002 B a n k Z a c h o d n i W B K S A REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH Poznań, 22

Bardziej szczegółowo

Zasady obliczania depozytów na opcje na GPW - MPKR

Zasady obliczania depozytów na opcje na GPW - MPKR Jesteś tu: Bossa.pl Zasady obliczania depozytów na opcje na GPW - MPKR Depozyt zabezpieczający dla pozycji w kontraktach opcyjnych wyznaczany jest za pomocą Modelu Portfelowej Kalkulacji Ryzyka. Czym jest

Bardziej szczegółowo

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 6 czerwca 2016 r. Poz. 789 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 25 maja 2016 r. w sprawie rocznych i półrocznych sprawozdań ubezpieczeniowego

Bardziej szczegółowo

Fed musi zwiększać dług

Fed musi zwiększać dług Fed musi zwiększać dług Autor: Chris Martenson Źródło: mises.org Tłumaczenie: Paweł Misztal Fed robi, co tylko może w celu doprowadzenia do wzrostu kredytu (to znaczy długu), abyśmy mogli powrócić do tego,

Bardziej szczegółowo

GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU

GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU Warszawa 27 lutego 2007 SKONSOLIDOWANE RACHUNKI ZYSKÓW I STRAT

Bardziej szczegółowo

Zamawiający potwierdza, że zapis ten należy rozumieć jako przeprowadzenie audytu z usług Inżyniera.

Zamawiający potwierdza, że zapis ten należy rozumieć jako przeprowadzenie audytu z usług Inżyniera. Pytanie nr 1 Bardzo prosimy o wyjaśnienie jak postrzegają Państwo możliwość przeliczenia walut obcych na PLN przez Oferenta, który będzie składał ofertę i chciał mieć pewność, iż spełnia warunki dopuszczające

Bardziej szczegółowo

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ?

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? Za pośrednictwem platformy inwestycyjnej DIF Freedom istnieje wiele sposobów inwestowania w ropę naftową. Zacznijmy od instrumentu, który jest związany z najmniejszym ryzykiem inwestycyjnym

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017

Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

SPRAWOZDANIE FINANSOWE

SPRAWOZDANIE FINANSOWE SPRAWOZDANIE FINANSOWE Za okres: od 01 stycznia 2013r. do 31 grudnia 2013r. Nazwa podmiotu: Stowarzyszenie Przyjaciół Lubomierza Siedziba: 59-623 Lubomierz, Plac Wolności 1 Nazwa i numer w rejestrze: Krajowy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa Zamawiający: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej 00-662 Warszawa, ul. Koszykowa 75 Przedmiot zamówienia: Produkcja Interaktywnej gry matematycznej Nr postępowania: WMiNI-39/44/AM/13

Bardziej szczegółowo

Instrukcja sporządzania skonsolidowanego bilansu Miasta Konina

Instrukcja sporządzania skonsolidowanego bilansu Miasta Konina Załącznik Nr 1 Do zarządzenia Nr 92/2012 Prezydenta Miasta Konina z dnia 18.10.2012 r. Instrukcja sporządzania skonsolidowanego bilansu Miasta Konina Jednostką dominującą jest Miasto Konin (Gmina Miejska

Bardziej szczegółowo

Projekty uchwał na Zwyczajne Walne Zgromadzenie Akcjonariuszy zwołane na dzień 10 maja 2016 r.

Projekty uchwał na Zwyczajne Walne Zgromadzenie Akcjonariuszy zwołane na dzień 10 maja 2016 r. Projekty uchwał na Zwyczajne Walne Zgromadzenie Akcjonariuszy zwołane na dzień 10 maja 2016 r. Uchwała nr.. Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy OEX Spółka Akcyjna z siedzibą w Poznaniu z dnia

Bardziej szczegółowo

Informacja dotycząca instrumentów finansowych oraz ryzyka związanego. z inwestowaniem w instrumenty finansowe. w PGE Domu Maklerskim S.A.

Informacja dotycząca instrumentów finansowych oraz ryzyka związanego. z inwestowaniem w instrumenty finansowe. w PGE Domu Maklerskim S.A. PGE Dom Maklerski S.A. Informacja dotycząca instrumentów finansowych oraz ryzyka związanego z inwestowaniem w instrumenty finansowe w PGE Domu Maklerskim S.A. I. Informacje ogólne Inwestycje w instrumenty

Bardziej szczegółowo

GEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007

GEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007 GEO-SYSTEM Sp. z o.o. 02-732 Warszawa, ul. Podbipięty 34 m. 7, tel./fax 847-35-80, 853-31-15 http:\\www.geo-system.com.pl e-mail:geo-system@geo-system.com.pl GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które Oddział Powiatowy ZNP w Gostyninie Uprawnienia emerytalne nauczycieli po 1 stycznia 2013r. W związku napływającymi pytaniami od nauczycieli do Oddziału Powiatowego ZNP w Gostyninie w sprawie uprawnień

Bardziej szczegółowo

Pozostałe informacje do raportu za I kwartał 2010 r. - zgodnie z 87 ust. 7 Rozp. MF

Pozostałe informacje do raportu za I kwartał 2010 r. - zgodnie z 87 ust. 7 Rozp. MF Pozostałe informacje do raportu za 2010 r. - zgodnie z 87 ust. 7 Rozp. MF 1. Wybrane dane finansowe Wybrane dane finansowe (rok bieŝący) 01.01.10 r do 31.03.10r w tys. zł 01.01.09 r do 31.03.09 r 01.01.10

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Departament Studiów Makroekonomicznych i Finansów Warszawa, 19 września 2014 r. Informacja sygnalna Wyniki finansowe banków w I półroczu 2014 r. 1 W końcu czerwca 2014 r. działalność

Bardziej szczegółowo

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Anna Salata 0 1. Zaproponowanie strategii zarządzania środkami pieniężnymi. Celem zarządzania środkami pieniężnymi jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Eksperyment,,efekt przełomu roku

Eksperyment,,efekt przełomu roku Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już

Bardziej szczegółowo

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja V

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja V DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja V Inflacja (CPI, PPI) Wszelkie prawa zastrze one. Kopiowanie i rozpowszechnianie ca ci lub fragmentu niniejszej publikacji w

Bardziej szczegółowo

Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie konsumenckim

Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie konsumenckim Prezes Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów Warszawa, 16 maja 2016 r. Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Akcje na giełdzie dr Adam Zaremba Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 28 kwietnia 2016 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL PLAN WYKŁADU I.

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY. Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY. Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1 GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Departament Studiów Makroekonomicznych i Finansów Warszawa, 18 czerwca 2014 r. Informacja sygnalna Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1 W końcu marca 2014 r. działalność

Bardziej szczegółowo

Zadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300?

Zadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Zadania powtórzeniowe I Adam Narkiewicz Makroekonomia I Zadanie 1 (5 punktów) Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Przypominamy

Bardziej szczegółowo

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego 1.Imię, nazwisko (nazwa) i adres (siedziba) kredytodawcy lub pośrednika kredytowego KREDYTODAWCA: POLI INVEST Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością

Bardziej szczegółowo

Instalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania...

Instalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania... Zawartość Instalacja... 1 Konfiguracja... 2 Uruchomienie i praca z raportem... 4 Metody wyszukiwania... 6 Prezentacja wyników... 7 Wycenianie... 9 Wstęp Narzędzie ściśle współpracujące z raportem: Moduł

Bardziej szczegółowo

PLAN POŁĄCZENIA UZGODNIONY POMIĘDZY. Grupa Kapitałowa IMMOBILE S.A. z siedzibą w Bydgoszczy. Hotel 1 GKI Sp. z o.o. z siedzibą w Bydgoszczy

PLAN POŁĄCZENIA UZGODNIONY POMIĘDZY. Grupa Kapitałowa IMMOBILE S.A. z siedzibą w Bydgoszczy. Hotel 1 GKI Sp. z o.o. z siedzibą w Bydgoszczy PLAN POŁĄCZENIA UZGODNIONY POMIĘDZY Grupa Kapitałowa IMMOBILE S.A. z siedzibą w Bydgoszczy a Hotel 1 GKI Sp. z o.o. z siedzibą w Bydgoszczy Bydgoszcz, dnia 29 luty 2016r. 1 Plan Połączenia spółek Grupa

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Analiza wskaźnikowa przedsiębiorstwa. Jak ocenić pozycję finansową firmy. Hanna Micińska Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 12 października 2015 r. Analiza wskaźnikowa Każda

Bardziej szczegółowo

Regulamin oferty Taniej z Energą

Regulamin oferty Taniej z Energą Regulamin oferty Taniej z Energą ROZDZIAŁ I POSTANOWIENIA OGÓLNE 1. Niniejszy Regulamin określa zasady i warunki skorzystania z oferty Taniej z Energą (zwanej dalej Ofertą) dla Odbiorców, którzy w okresie

Bardziej szczegółowo

Możemy zapewnić pomoc z przeczytaniem lub zrozumieniem tych informacji. Numer dla telefonów tekstowych. boroughofpoole.

Możemy zapewnić pomoc z przeczytaniem lub zrozumieniem tych informacji. Numer dla telefonów tekstowych. boroughofpoole. Informacje na temat dodatku na podatek lokalny (Council Tax Support), które mogą mieć znaczenie dla PAŃSTWA Możemy zapewnić pomoc z przeczytaniem lub zrozumieniem tych informacji 01202 265212 Numer dla

Bardziej szczegółowo

Polityka zmiennych składników wynagrodzeń osób zajmujących stanowiska kierownicze w Banku Spółdzielczym w Końskich Końskie, grudzień 2011r.

Polityka zmiennych składników wynagrodzeń osób zajmujących stanowiska kierownicze w Banku Spółdzielczym w Końskich Końskie, grudzień 2011r. Załącznik nr 17/XXXVIII/11 do Uchwały Zarządu Banku z dnia 22.12.2011r. Polityka zmiennych składników wynagrodzeń osób zajmujących stanowiska kierownicze w Banku Spółdzielczym w Końskich Końskie, grudzień

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r. o podatku dochodowym od osób prawnych (t. j. Dz. U. z 2000r. Nr 54, poz. 654 ze zm.

Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r. o podatku dochodowym od osób prawnych (t. j. Dz. U. z 2000r. Nr 54, poz. 654 ze zm. Rozliczenie podatników podatku dochodowego od osób prawnych uzyskujących przychody ze źródeł, z których dochód jest wolny od podatku oraz z innych źródeł Podstawa prawna: Ustawa z dnia 15 lutego 1992 r.

Bardziej szczegółowo

Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów. Organizatorzy Konkursu

Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów. Organizatorzy Konkursu Regulamin Konkursu Start up Award 9. Forum Inwestycyjne 20-21 czerwca 2016 r. Tarnów 1 Organizatorzy Konkursu 1. Organizatorem Konkursu Start up Award (Konkurs) jest Fundacja Instytut Studiów Wschodnich

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim

Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim rynku Wall Street 2009 Robert Raszczyk Główny Specjalista Dział Instrumentów Finansowych, GPW Zakopane, 06.06.2009 Program Czy wciąż potrzebna edukacja?

Bardziej szczegółowo

KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY

KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH. Wniosek DECYZJA RADY KOMISJA WSPÓLNOT EUROPEJSKICH Bruksela, dnia 13.12.2006 KOM(2006) 796 wersja ostateczna Wniosek DECYZJA RADY w sprawie przedłużenia okresu stosowania decyzji 2000/91/WE upoważniającej Królestwo Danii i

Bardziej szczegółowo

AUTOR MAGDALENA LACH

AUTOR MAGDALENA LACH PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009

Bardziej szczegółowo

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test

Bardziej szczegółowo

Komputer i urządzenia z nim współpracujące

Komputer i urządzenia z nim współpracujące Temat 1. Komputer i urządzenia z nim współpracujące Realizacja podstawy programowej 1. 1) opisuje modułową budowę komputera, jego podstawowe elementy i ich funkcje, jak również budowę i działanie urządzeń

Bardziej szczegółowo

OSZACOWANIE WARTOŚCI ZAMÓWIENIA z dnia... 2004 roku Dz. U. z dnia 12 marca 2004 r. Nr 40 poz.356

OSZACOWANIE WARTOŚCI ZAMÓWIENIA z dnia... 2004 roku Dz. U. z dnia 12 marca 2004 r. Nr 40 poz.356 OSZACOWANIE WARTOŚCI ZAMÓWIENIA z dnia... 2004 roku Dz. U. z dnia 12 marca 2004 r. Nr 40 poz.356 w celu wszczęcia postępowania i zawarcia umowy opłacanej ze środków publicznych 1. Przedmiot zamówienia:

Bardziej szczegółowo

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity) Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.

Bardziej szczegółowo

Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE

Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE Komentarz do prac egzaminacyjnych w zawodzie technik administracji 343[01] ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU POTWIERDZAJĄCEGO KWALIFIKACJE ZAWODOWE OKE Kraków 2012 Zadanie egzaminacyjne zostało opracowane

Bardziej szczegółowo

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM PLANOWANIE DZIAŁAŃ Określanie drogi zawodowej to szereg różnych decyzji. Dobrze zaplanowana droga pozwala dojechać do określonego miejsca w sposób, który Ci

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy spółki z portfela Allianz Polska OFE

Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy spółki z portfela Allianz Polska OFE Warszawa, 6 maja 2016 roku Sprawozdanie z Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy spółki z portfela Allianz Polska OFE SPÓŁKA: Kruk S.A. DATA W: 9 maja 2016 roku (godz. 14.00) MIEJSCE W: Hotel Polonia Palace,

Bardziej szczegółowo

Plan połączenia ATM Grupa S.A. ze spółką zależną ATM Investment Sp. z o.o. PLAN POŁĄCZENIA

Plan połączenia ATM Grupa S.A. ze spółką zależną ATM Investment Sp. z o.o. PLAN POŁĄCZENIA Plan połączenia ATM Grupa S.A. ze spółką zależną ATM Investment Sp. z o.o. PLAN POŁĄCZENIA Zarządy spółek ATM Grupa S.A., z siedzibą w Bielanach Wrocławskich oraz ATM Investment Spółka z o.o., z siedzibą

Bardziej szczegółowo

KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO

KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO PLAC POWSTAŃ CÓW WARSZAWY 1, 00-950 WARSZAWA WNIOSEK O ZATWIERDZENIE ANEKSU DO PROSPEKTU EMISYJNEGO zatwierdzonego w dniu 6 marca 2008 r. decyzją nr DEM/410/4/26/08 (Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Co ma najwyższy potencjał zysku w średnim terminie? Typy inwestycyjne na 12 miesięcy Subfundusz UniStrategie Dynamiczny UniKorona Pieniężny

Bardziej szczegółowo

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada

Bardziej szczegółowo

Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych?

Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne i optymalizacyjne Strategie fundamentalne Portfel losowy 2 Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne

Bardziej szczegółowo

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja XXIII

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja XXIII DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja XXIII Systemy transakcyjne cz.1 Wszelkie prawa zastrze one. Kopiowanie i rozpowszechnianie ca ci lub fragmentu niniejszej publikacji

Bardziej szczegółowo

Niniejszy ebook jest własnością prywatną.

Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejsza publikacja, ani żadna jej część, nie może być kopiowana, ani w jakikolwiek inny sposób reprodukowana, powielana, ani odczytywana w środkach publicznego

Bardziej szczegółowo

OGÓLNOPOLSKIE STOWARZYSZENIE KONSULTANTÓW ZAMÓWIEŃ PUBLICZNYCH 00-074 Warszawa, ul. Trębacka 4 e-maill: biuro@oskzp.pl

OGÓLNOPOLSKIE STOWARZYSZENIE KONSULTANTÓW ZAMÓWIEŃ PUBLICZNYCH 00-074 Warszawa, ul. Trębacka 4 e-maill: biuro@oskzp.pl OGÓLNOPOLSKIE STOWARZYSZENIE KONSULTANTÓW ZAMÓWIEŃ PUBLICZNYCH 00-074 Warszawa, ul. Trębacka 4 e-maill: biuro@oskzp.pl Warszawa, 10 czerwca 2013 r. Pan Jacek Sadowy Prezes Urząd Zamówień Publicznych Opinia

Bardziej szczegółowo

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

z dnia 31 grudnia 2015 r. w sprawie ustawy o podatku od niektórych instytucji finansowych

z dnia 31 grudnia 2015 r. w sprawie ustawy o podatku od niektórych instytucji finansowych U C H WA Ł A S E N A T U R Z E C Z Y P O S P O L I T E J P O L S K I E J z dnia 31 grudnia 2015 r. w sprawie ustawy o podatku od niektórych instytucji finansowych Senat, po rozpatrzeniu uchwalonej przez

Bardziej szczegółowo

Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko

Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Karta pracy III.. Imię i nazwisko klasa Celem nauki jest stawianie hipotez, a następnie ich weryfikacja, która w efekcie

Bardziej szczegółowo

Postanowienia ogólne. Usługodawcy oraz prawa do Witryn internetowych lub Aplikacji internetowych

Postanowienia ogólne. Usługodawcy oraz prawa do Witryn internetowych lub Aplikacji internetowych Wyciąg z Uchwały Rady Badania nr 455 z 21 listopada 2012 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uchwała o poszerzeniu możliwości

Bardziej szczegółowo

SKONSOLIDOWANY BILANS Nota 2004 2003 A k t y w a I. Aktywa trwałe 75 405 64 124 1. Wartości niematerialne i prawne, w tym:1 663 499 wartość firmy 0 2. Wartość firmy jednostek podporządkowanych 2 3 363

Bardziej szczegółowo

U S T A W A. z dnia. o zmianie ustawy o ułatwieniu zatrudnienia absolwentom szkół. Art. 1.

U S T A W A. z dnia. o zmianie ustawy o ułatwieniu zatrudnienia absolwentom szkół. Art. 1. P r o j e k t z dnia U S T A W A o zmianie ustawy o ułatwieniu zatrudnienia absolwentom szkół. Art. 1. W ustawie z dnia 18 września 2001 r. o ułatwieniu zatrudnienia absolwentom szkół (Dz.U. Nr 122, poz.

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska

Zarządzanie projektami. wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska Zarządzanie projektami wykład 1 dr inż. Agata Klaus-Rosińska 1 DEFINICJA PROJEKTU Zbiór działań podejmowanych dla zrealizowania określonego celu i uzyskania konkretnego, wymiernego rezultatu produkt projektu

Bardziej szczegółowo

newss.pl Expander: Bilans kredytów we frankach

newss.pl Expander: Bilans kredytów we frankach Listopadowi kredytobiorcy mogą już cieszyć się spadkiem raty, najwięcej tracą osoby, które zadłużyły się w sierpniu 2008 r. Rata kredytu we frankach na kwotę 300 tys. zł zaciągniętego w sierpniu 2008 r.

Bardziej szczegółowo

Zaproszenie. Ocena efektywności projektów inwestycyjnych. Modelowanie procesów EFI. Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T.

Zaproszenie. Ocena efektywności projektów inwestycyjnych. Modelowanie procesów EFI. Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T. 1 1 Ocena efektywności projektów inwestycyjnych Ocena efektywności projektów inwestycyjnych Jerzy T. Skrzypek Kraków 2013 Jerzy T. Skrzypek MODEL NAJLEPSZYCH PRAKTYK SYMULACJE KOMPUTEROWE Kraków 2011 Zaproszenie

Bardziej szczegółowo

WYJASNIENIA I MODYFIKACJA SPECYFIKACJI ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

WYJASNIENIA I MODYFIKACJA SPECYFIKACJI ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Szczecin dnia 28.07.2015r. Akademia Sztuki w Szczecinie Pl. Orła Białego 2 70-562 Szczecin Dotyczy: Przetarg nieograniczony na dostawę urządzeń i sprzętu stanowiącego wyposażenie studia nagrań na potrzeby

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki oparte na wolumenie

Wskaźniki oparte na wolumenie Wskaźniki oparte na wolumenie Łukasz Bąk Wrocław 2006 1 Wolumen Wolumen reprezentuje aktywność inwestorów krótko- i długoterminowych na rynku. Każda jednostka wolumenu jest wynikiem działania dwóch osób

Bardziej szczegółowo

SPRAWOZDANIE FINANSOWE. Fundacja Uniwersytet Dzieci

SPRAWOZDANIE FINANSOWE. Fundacja Uniwersytet Dzieci SPRAWOZDANIE FINANSOWE Fundacja Uniwersytet Dzieci Sprawozdanie dotyczy okresu sprawozdawczego 01.01.2014 31.12.2014 1/11 Spis treści Bilans za rok 2014... 3 Rachunek Zysków i Strat za rok 2014... 5 Dodatkowe

Bardziej szczegółowo

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie:

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie: Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzie: TECHNIK MASAŻYSTA przygotowany w ramach projektu Praktyczne kształcenie nauczycieli zawodów branży hotelarsko-turystycznej Priorytet III. Wysoka

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

wzór Załącznik nr 5 do SIWZ UMOWA Nr /

wzór Załącznik nr 5 do SIWZ UMOWA Nr / wzór Załącznik nr 5 do SIWZ UMOWA Nr / zawarta w dniu. w Szczecinie pomiędzy: Wojewodą Zachodniopomorskim z siedzibą w Szczecinie, Wały Chrobrego 4, zwanym dalej "Zamawiającym" a nr NIP..., nr KRS...,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo