Piotr Pawlikowski. Bry³ki dla ka dego Spróbuj i Ty!

Transkrypt

1 Piotr Pawlikowski Bry³ki dla ka dego Spróbuj i Ty! Opole Wydawnictwo NOWIk Sp.j. 2010

2 Piotr Pawlikowski: Bry³ki dla ka dego. Spróbuj i Ty! Fotografie: Micha³ Nowik Projekt ok³adki: Micha³ Nowik Sk³ad komputerowy i rysunki: Barbara Kwaœnicka Copyright by Wydawnictwo NOWIK Sp.j. Copyright by Piotr Pawlikowski Opole 2010 Powielanie ca³oœci lub czêœci w jakikolwiek sposób bez zgody wydawcy jest zabronione! ISBN: Wydawnictwo NOWIK Sp.j. Opole 2010 Wydanie pierwsze Druk i oprawa: Drukarnia GS Kraków Dystrybucja: Biuro Handlowe Wydawnictwa NOWIK Sp.j Opole, ul. Katowicka 39/110, tel/fax: 77/ matma@nowik.com.pl

3 Zamiast wstêpu Wujku, wujku, naucz mnie robiæ bry³ki. Przygotuj mi siatkê. powiedzia³a pewnego dnia ma³a Weronika. Ale nie tak¹ trudn¹ - doda³a od razu. Niniejsza ksi¹ eczka jest prób¹ odpowiedzi na to zapotrzebowanie (zg³aszane zreszt¹ nie tylko przez moj¹ siostrzenicê). Doœæ d³ugo zastanawia³em siê, jakie wieloœciany nadadz¹ siê do tego celu. Z jednej strony powinny byæ to bry³ki na tyle proste, by z wykonaniem ich modeli ka dy mia³ szansê sobie poradziæ (w koñcu Weronika jest jeszcze przedszkolakiem). Z drugiej jednak strony nie chcia³em, by prostota by³a jedynym kryterium ich wyboru. W koñcu zdecydowa³em siê na wypuk³e wieloœciany, których œciany s¹ trójk¹tami równobocznymi i kwadratami. Tworz¹ one doœæ liczn¹ rodzinê jest ich niemal trzydzieœci. Niektóre z nich s¹ dobrze znane, ich w³asnoœci bada siê w szkole. O innych z pewnoœci¹ nie ka dy s³ysza³. Wszystkie jednak maj¹ na tyle prost¹ strukturê, e wykonanie modelu ka dego z nich nie jest trudne. Przy odrobinie starannoœci i cierpliwoœci ka dy mo e osi¹gn¹æ sukces. Siatki dwudziestu czterech z nich zamieszczone s¹ na kartach tej ksi¹ eczki. Wystarczy je wyci¹æ, pozaginaæ wzd³u linii i skleiæ. Wykonane modele mog¹ staæ siê ozdob¹ nie tylko szkolnej pracowni matematycznej. Jednak e, jak siê okazuje, ograniczenie siê tylko do œcian kwadratowych i trójk¹tnych nie jest zbyt krêpuj¹ce i daje mo liwoœæ rozwiniêcia skrzyde³. O tym równie mo na siê przekonaæ, czytaj¹c tê ksi¹ kê. Zapraszam do krainy wieloœcianów. Piotr Pawlikowski 3

4 1. Czêœæ zasadnicza 1 Zapewne ka dy bez trudu jest w stanie podaæ przyk³ad wypuk³ego wieloœcianu, którego œcianami s¹ kwadraty i trójk¹ty równoboczne. Znajdziemy taki wieloœcian zarówno wœród ostros³upów (rys. 1), jak i graniastos³upów (rys. 2). Rys. 1 Rys. 2 Obie te bry³y maj¹ po piêæ œcian. W pierwszym przypadku s¹ to cztery trójk¹ty i jeden kwadrat, a w drugim trzy trójk¹ty i dwa kwadraty. Ile krawêdzi ma ka da z nich? Okazuje siê, e istnieje ca³kiem sporo innych wypuk³ych wieloœcianów zbudowanych wy³¹cznie z trójk¹tów równobocznych i kwadratów. Niektóre ³atwo skonstruowaæ poprzez proste modyfikacje znanych wieloœcianów. I tak w wyniku doklejenia czworoœcianu foremnego do graniastos³upa z rys. 2 otrzymamy domek (rys. 3). Podobny domek mo na skonstruowaæ, doklejaj¹c ostros³up z rys. 1 do szeœcianu. Efekt przedstawia rysunek 4. Rys. 3 Rys. 4 5

5 1 Piramidy mo na równie dokleiæ do pod³óg i wówczas powstan¹ bry³ki przypominaj¹ce swoim kszta³tem wrzeciona (rys. 5i6). Rys. 5 Rys. 6 Co prawda domek zbudowany na bazie graniastos³upa piêciok¹tnego (rys. 7) nie jest zbudowany jedynie z trójk¹tów i kwadratów, ale po doklejeniu odpowiedniej piramidki do pod³ogi tego domku powstanie kolejne wrzeciono (rys. 8). Rys.7 Rys.8 Rys. 7 Rys. 8 A czy mo na zbudowaæ w analogiczny sposób wieloœcian o foremnych œcianach na bazie graniastos³upa szeœciok¹tnego? Równie odpowiednie po³¹czenie bry³ek z rys. 1 i rys. 2 daje wypuk³y wieloœcian o œcianach kwadratowych i trójk¹tnych (rys. 9). 6 Rys. 9

6 2. Rozwiniêcie skrzyde³ 2 Myli³by siê ten, kto by s¹dzi³, e z trójk¹tów i kwadratów mo na zbudowaæ jedynie stosunkowo proste modele. Niektóre z opisanych w tekœcie wieloœcianów mog¹ byæ punktem wyjœcia do innych, daleko bardziej skomplikowanych (choæ wysoce symetrycznych) konstrukcji. Fotografie 1 7 przedstawiaj¹ odpowiednio modele nastêpuj¹cych kompozycji (czyli uk³adów) wieloœcianów: cztery graniastos³upy trójk¹tne, trzy antygraniastos³upy czworok¹tne, szeœæ antygraniastos³upów czworok¹tnych, piêæ szeœcio-oœmioœcianów, dwa szeœcio-oœmioœciany przyciête, piêæ szeœcio-oœmioœcianów rombowych ma³ych oraz dwadzieœcia graniastos³upów trójk¹tnych. Modele zosta³y wykonane z siatek wygenerowanych przez program Great Stella ( Ka da z dwóch ostatnich kompozycji sk³ada siê z ponad tysi¹ca zewnêtrznych elementów (odpowiednio 1080 i 1140). Fot. 1 Fot. 2 15

7 2 Fot. 7 Powiedzmy jeszcze kilka s³ów na temat niewypuk³ych wieloœcianów o kwadratowych i trójk¹tnych œcianach. Chwila zastanowienia prowadzi do wniosku, e takich wieloœcianów jest nieskoñczenie wiele. Mo na np. ustawiæ dwa antygraniastos³upy czworok¹tne z rys. 10 jeden na drugim. W ten sposób otrzymamy wieloœcian, którego dwie œciany bêd¹ kwadratami, a pozosta³e szesnaœcie trójk¹tami równobocznymi (rys. 45). Rys. 45 Oczywiœcie proces dok³adania kolejnych antygraniastos³upów mo na kontynuowaæ w nieskoñczonoœæ. ¹cz¹c ze sob¹ w podobny sposób inne opisane wczeœniej wieloœciany, mo na skonstruowaæ wiele bry³ przypominaj¹cych swym kszta³tem ludziki, zwierz¹tka itp. 18

8 4 IX. Antygraniastos³up czworok¹tny X. Szeœcio-oœmioœcian 28

9 VII. Wyd³u ona dwupiramida piêciok¹tna (J16) 49