Wydawca wyra a zgodê na powielanie diagramów zamieszczonych w Dodatku w celu wykonania modeli. Powielanie innych czêœci ksi¹ ki jest zabronione

Transkrypt

1

2 Piotr Pawlikowski: W krainie wieloœcianów. Zrób sobie bry³kê Redakcja: Krystyna Nowik Fotografie: Waldemar Burcek Projekt ok³adki: Micha³ Nowik Sk³ad komputerowy i rysunki: PHU TRIO S.C Opole, ul. Miko³ajczyka 2 Copyright by Piotr Pawlikowski Opole 2006 Wydawca wyra a zgodê na powielanie diagramów zamieszczonych w Dodatku w celu wykonania modeli Powielanie innych czêœci ksi¹ ki jest zabronione ISBN-10: ISBN-13: Wydawnictwo NOWIK Sp. j. Opole 2006 Wydanie pierwsze Druk i oprawa: Dystrybucja: Biuro Handlowe Wydawnictwa NOWIK Sp. J Opole, ul. Katowicka 39/110, tel/fax: (0-77) matma@nowik.com.pl

3 Wstêp, który warto przeczytaæ H a s ³ o w i e l o œ c i a n k o j a r z y s i ê z a z w y c z a j z o s t r o s ³ u p e m l u b g r a n i a s t o s ³ u p e m. A l e œ w i a t w i e l o œ c i a n ó w j e s t z n a c z n i e b o g a t s z y. Z a m i e s z k u j ¹ g o b r y ³y p l a t o ñ s k i e, a r c h i m e d e s o w e, w i e l o œ c i a n y K e p l e r a P o i n s o t a b y w y m i e n i æ t y l k o n a j w a n i e j s z y c h j e g o p r z e d s t a w i c i e l i. Z w i e d z a n i e k r a i n y w i e l o œ c i a n ó w t o f a s c y n u j ¹ c a p r z y g o d a, p o d c z a s k t ó r e j n a p o t y k a s i ê n a c o r a z t o n o w e o b i e k t y o z a s k a k u j ¹ c y c h w ³ a s n o œ c i a c h. W z a j e m n e r e l a c j e p o m i ê d z y n i m i s ¹ c z ê s t o b a r d z o g ³ ê b o k i e i w i e l o a s p e k t o w e. M o j a p r z y g o d a z w i e l o œ c i a n a m i r o z p o c z ê ³ a s i ê w l u t y m r. w P i l e. O d b y w a ³ a s i ê t a m w ó w c z a s V K r a j o w a K o n f e r e n c j a S t o w a r z y s z e n i a N a u c z y c i e l i M a t e m a t y k i. P o z n a ³ e m n a n i e j J a n a B a r a n o w s k i e g o i z o b a c z y ³ e m j e g o k o l e k c j ê m o d e l i w i e l o œ c i a n ó w i ³ a m i g ³ ó w e k p r z e s t r z e n n y c h. T o o n b y ³ m o i m p i e r w s z y m p r z e w o d n i k i e m p o n i e z n a n e j m i w ó w c z a s k r a i n i e w i e l o œ c i a n ó w. P r a g n ê m u w t y m m i e j s c u s e r d e c z n i e p o d z i ê k o w a æ z a o t w a r c i e p r z e d e m n ¹ d r z w i d o t e g o œ w i a t a i d e l i k a t n e p o p c h n i ê c i e d o œ r o d k a. P r z e k o n a ³ e m s i ê, j a k m a ³ a b y ³ a m o j a w i e d z a n a t e m a t g e o m e t r i i p r z e s t r z e n i. P o s t a n o w i ³ e m n a d r o b i æ z a l e g ³ o œ c i i u z u p e ³ n i æ m o j ¹ m a t e m a t y c z n ¹ e d u k a c j ê. S w o j e z a i n t e r e s o w a n i a r o z w ij a ³ e m w g r u p i e r o b o c z e j S N M W a r s z t a t O t w a r t y, d z i ê k i k t ó r e j p o z n a ³ e m w i e l u w s p a n i a ³y c h l u d z i. S p r ó b o w a ³ e m r ó w n i e s w o i c h s i ³ w w y k o n y w a n i u w ³ a s n y c h m o d e l i. Z u p ³y w e m c z a s u m o j a k o l e k c j a w i e l o œ c i a n ó w, j a k i w i e d z a n a i c h t e m a t, p o w i ê k s z a ³y s i ê. W k o ñ c u u z n a ³ e m, e w a r t o s i ê n i ¹ p o d z i e l i æ z i n n y m i. W i o s n ¹ r. n a w i ¹ z a ³ e m w s p ó ³ p r a c ê z k w a r t a l n i k i e m M a g a z y n M i ³ o œ n i k ó w M a t e m a ty k i. O d t e g o c z a s u n a j e g o ³ a m a c h w d z i a l e Z r ó b s o b i e b r y ³ k ê w p r o w a d z a m C z y t e l n i k ó w w œ w i a t w i e l o œ c i a n ó w. K s i ¹ k a j e s t z b i o r e m o p u b l i k o w a n y c h t a m d o t y c h c z a s t e k s t ó w, p o w i ê k s z o n y m o c z t e r y r o z d z i a ³y n a p i s a n e s p e c j a l n i e n a j e j p o t r z e b y. W r o z d z i a ³ a c h z a m i e s z c z o n e s ¹ z a d a n i a, d o r o z w i ¹ z a n i a k t ó r y c h z a c h ê c a m. O d p o w i e d z i p r a w i d ³ o w e z n a l e Ÿ æ m o n a n a s t r o n i e w y d a w c y k s i ¹ k i w w w. n o w i k. c o m. p l. P o d c z a s p r o p o n o w a n e j w ê d r ó w k i p o k r a i n i e w i e l o œ c i a n ó w p o z n a m y p o n a d 4 0 r ó n y c h j e j p r z e d s t a w i c i e l i. P o d z iw i a n i e m o d e l i n a k a r t a c h k s i ¹ e k l u b n a m o n i t o r z e k o m p u t e r a j e s t z p e w n o œ c i ¹ w a r t o œ c i o w e, a l e p r a w d z iw y s m a k t e g o œ w i a t a m o n a p o c z u æ d o p i e r o w ó w c z a s, g d y o b r a c a s i ê w r ê k a c h p r a w d z iw y m o d e l. D l a t e g o t e k s i ¹ k a j e s t n i e t y l k o p r z e w o d n i k i e m p o n a j w a n i e j s z y c h r o d z a j a c h w i e l o œ c i a n ó w, a l e z a w i e r a r ó w n i e s z c z e g ó ³ o w e i n s t r u k c j e p o z w a l a j ¹ c e w ³ a s n o r ê c z n i e w y k o n a æ m o d e l e w s z y s t k i c h o p i s a n y c h w n i e j w i e l o œ c i a n ó w. 3

4 W y k o n a n i e ³ a d n e g o m o d e l u w y m a g a o c z y w i œ c i e p e w n e j d o k ³ a d n o œ c i i s t a r a n n o œ c i, a l e t o n i e p o w i n n o n i k o g o d z iw i æ j e e l i c o k o lw i e k c h c e s i ê w y k o n a æ d o b r z e, t o t r z e b a s i ê t r o c h ê p o s t a r a æ. S z c z e g ó ³ o w e i n s t r u k c j e w y k o n a n i a k o n k r e t n y c h m o d e l i z n a j d u j ¹ s i ê w p o s z c z e g ó l n y c h r o z d z i a ³ a c h, a l e w a r t o p o c z y n i æ w t y m m i e j s c u k i l k a u w a g o g ó l n y c h. M o d e l e n a j l e p i e j w y k o n y w a æ z n i e z b y t g r u b e g o k a r t o n u. D o b r e e f e k t y u z y s k u j e s i ê, u y w a j ¹ c p a p i e r u k s e r o g r a f i c z n e g o o p o d w y s z o n e j g r a m a t u r z e ( n p g / m 2 ). R y s u n k i p r z e d s t a w i a j ¹ c e s i a t k i z n a j d u j ¹ c e s i ê w D o d a t k u n a d a j ¹ s i ê w w i ê k s z o œ c i p r z y p a d k ó w d o b e z p o œ r e d n i e g o k o p i o w a n i a ( b e z p o t r z e b y z m i a n y s k a l i ). W s y t u a c j i o g r a n i c z o n e g o d o s t ê p u d o k s e r o g r a f u s i a t k i m o n a p r z e n i e œ æ n a k a r t o n p o p r z e z i c h p r z e d z i u r k o w a n i e. P r z y k ³ a d a m y k a r t k ê z s i a t k ¹ d o t e k t u r k i, p o d s p ó d p o d k ³ a d a m y p l a s t i k o w ¹ l u b d r e w n i a n ¹ p o d k ³ a d k ê ( e w e n t u a l n i e k i l k a s t a r y c h g a z e t ) i s z p i k u l c e m n p. n ó k ¹ c y r k l a p r z e k ³ u w a m y s i a t k ê w e w s z y s t k i c h w i e r z c h o ³ k a c h. W t e n s p o s ó b p r z e n o s i m y j ¹ d o k ³ a d n i e n a t e k t u r k ê. ¹ c z y m y w i e r z c h o ³ k i i o t r z y m u j e m y g o t o w y s z a b l o n. S z a b l o n t e n n a s t ê p n i e p r z y k ³ a d a m y d o k a r t o n u, z k t ó r e g o c h c e m y w y k o n a æ m o d e l, i p o n o w n i e g o n a k ³ u w a m y. W i e r z c h o ³ k ó w n a k a r t o n i e n i e ³ ¹ c z y m y, u y w a j ¹ c o ³ ó w k a, a l e r y s u j e m y l i n i e n o y k i e m d o t a p e t, d e l i k a t n i e n a c i n a j ¹ c k a r t o n w z d ³ u k r a w ê d z i r y s u n k u. P o w y c i ê c i u k a r t o n d a s i ê z ³ a t w o œ c i ¹ z a g i ¹ æ w z d ³ u n a c i ê t y c h l i n i i, a z a g i ê c i a t e b ê d ¹ r ó w n e i d o k ³ a d n e. T a k p r z y g o t o w a n ¹ s i a t k ê s k l e j a m y, u y w a j ¹ c s k r z y d e ³ e k. B a r d z i e j s k o m p l i k o w a n e m o d e l e w y k o n u j e s i ê e t a p a m i. P r z y g o t o w u j e s i ê p e w n e e l e m e n t y, k t ó r e n a s t ê p n i e ³ ¹ c z y s i ê z e s o b ¹. W m i a r ê p o s t ê p u p r a c y m o e m y o b s e r w o w a æ, j a k n a s z m o d e l r o œ n i e. M a m y r ó w n i e m o l iw o œ æ z a g l ¹ d n i ê c i a d o œ r o d k a m o d e l u. A b y m o d e l b y ³ t r w a ³y, p o t r z e b n y j e s t d o b r y k l e j. Z w y k ³ e k l e j e w s z t y f c i e r a c z e j s i ê n i e n a d a j ¹. L e p i e j u y æ k l e j u d o s k l e j a n i a p u z z l i l u b s z y b k o s c h n ¹ c e g o k l e j u d o d r e w n a. W y k o n a n i e n i e k t ó r y c h m o d e l i n i e p o w i n n o z a j ¹ æ w i ê c e j n i m i n u t, a l e s ¹ t e i t a k i e, d o w y k o n a n i a k t ó r y c h p o t r z e b a g o d z i n. K a d o r a z o w o n a g r o d ¹ z a t r u d i w y s i ³ e k j e s t w s p a n i a ³y m o d e l, k t ó r y m o e b y æ d o s k o n a ³ ¹ o z d o b ¹ n i e t y l k o s z k o l n e j p r a c o w n i m a t e m a t y c z n e j. W y k o n a n i e d o b r e g o m o d e l u n i e w y m a g a s p e c j a l n y c h u z d o l n i e ñ. C z ê s t o z u s t w ¹ t p i ¹ c y c h w e w ³ a s n e s i ³y m o n a u s ³y s z e æ j a n i e m a m z d o l n o œ c i m a n u a l n y c h. D z i e s i ê æ l a t t e m u j a r ó w n i e t a k m y œ l a ³ e m, a l e m i m o t o s p r ó b o w a ³ e m w y k o n a æ m o d e l e p r o s t y c h w i e l o œ c i a n ó w. Z c z a s e m w y k o n y w a n i e m o d e l i s t a ³ o s i ê m o j ¹ p a s j ¹. K a d a, n a w e t n a j d ³ u s z a, p o d r ó r o z p o c z y n a s i ê o d z r o b i e n i a p i e r w s z e g o k r o k u. Z a p r a s z a m d o k r a i n y w i e l o œ c i a n ó w. K l u c z b o r k m a j c z e r w i e c r. P i o t r P a w l i k o w s k i 4

5 Wstêp, który warto przeczytaæ Has³o wieloœcian kojarzy siê zazwyczaj z ostros³upem lub graniastos³upem. Ale œwiat wieloœcianów jest znacznie bogatszy. Zamieszkuj¹ go bry³y platoñskie, archimedesowe, wieloœciany Keplera-Poinsota by wymieniæ tylko najwa - niejszych jego przedstawicieli. Zwiedzanie krainy wieloœcianów to fascynuj¹ca przygoda, podczas której napotyka siê na coraz to nowe obiekty o zaskakuj¹cych w³asnoœciach. Wzajemne relacje pomiêdzy nimi s¹ czêsto bardzo g³êbokie i wieloaspektowe. Moja przygoda z wieloœcianami rozpoczê³a siê w lutym 1996 r. w Pile. Odbywa³a siê tam wówczas V Krajowa Konferencja Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki. Pozna³em na niej Jana Baranowskiego i zobaczy³em jego kolekcjê modeli wieloœcianów i ³amig³ówek przestrzennych. To on by³ moim pierwszym przewodnikiem po nieznanej mi wówczas krainie wieloœcianów. Pragnê mu w tym miejscu serdecznie podziêkowaæ za otwarcie przede mn¹ drzwi do tego œwiata i delikatne popchniêcie do œrodka. Przekona³em siê, jak ma³a by³a moja wiedza na temat geometrii przestrzeni. Postanowi³em nadrobiæ zaleg³oœci i uzupe³niæ moj¹ matematyczn¹ edukacjê. Swoje zainteresowania rozwija³em w grupie roboczej SNM Warsztat Otwarty, dziêki której pozna³em wielu wspania³ych ludzi. Spróbowa³em równie swoich si³ w wykonywaniu w³asnych modeli. Z up³ywem czasu moja kolekcja wieloœcianów, jak i wiedza na ich temat, powiêksza³y siê. W koñcu uzna³em, e warto siê ni¹ podzieliæ z innymi. Wiosn¹ 2003 r. nawi¹za³em wspó³pracê z kwartalnikiem Magazyn Mi³oœników Matematyki. Od tego czasu na jego ³amach w dziale Zrób sobie bry³kê wprowadzam Czytelników w œwiat wieloœcianów. Ksi¹ ka jest zbiorem opublikowanych tam dotychczas tekstów, powiêkszonym o cztery rozdzia³y napisane specjalnie na jej potrzeby. W rozdzia³ach zamieszczone s¹ zadania, do rozwi¹zania których zachêcam. Odpowiedzi prawid³owe znaleÿæ mo na na stronie wydawcy ksi¹ ki Podczas proponowanej wêdrówki po krainie wieloœcianów poznamy ponad 40 ró nych jej przedstawicieli. Podziwianie modeli na kartach ksi¹ ek lub na monitorze komputera jest z pewnoœci¹ wartoœciowe, ale prawdziwy smak tego œwiata mo na poczuæ dopiero wówczas, gdy obraca siê w rêkach prawdziwy model. Dlatego te ksi¹ ka jest nie tylko przewodnikiem po najwa niejszych rodzajach wieloœcianów, ale zawiera równie szczegó³owe instrukcje pozwalaj¹ce w³asnorêcznie wykonaæ modele wszystkich opisanych w niej wieloœcianów. 3

6 Wykonanie ³adnego modelu wymaga oczywiœcie pewnej dok³adnoœci i starannoœci, ale to nie powinno nikogo dziwiæ je eli cokolwiek chce siê wykonaæ dobrze, to trzeba siê trochê postaraæ. Szczegó³owe instrukcje wykonania konkretnych modeli znajduj¹ siê w poszczególnych rozdzia³ach, ale warto poczyniæ w tym miejscu kilka uwag ogólnych. Modele najlepiej wykonywaæ z niezbyt grubego kartonu. Dobre efekty uzyskuje siê, u ywaj¹c papieru kserograficznego o podwy szonej gramaturze (np. 160 g/m 2 ). Rysunki przedstawiaj¹ce siatki znajduj¹ce siê w Dodatku nadaj¹ siê w wiêkszoœci przypadków do bezpoœredniego kopiowania (bez potrzeby zmiany skali). W sytuacji ograniczonego dostêpu do kserografu siatki mo na przenieœæ na karton poprzez ich przedziurkowanie. Przyk³adamy kartkê z siatk¹ do tekturki, pod spód podk³adamy plastikow¹ lub drewnian¹ podk³adkê (ewentualnie kilka starych gazet) i szpikulcem np. nó k¹ cyrkla przek³uwamy siatkê we wszystkich wierzcho³kach. W ten sposób przenosimy j¹ dok³adnie na tekturkê. ¹czymy wierzcho³ki i otrzymujemy gotowy szablon. Szablon ten nastêpnie przyk³adamy do kartonu, z którego chcemy wykonaæ model, i ponownie go nak³uwamy. Wierzcho³ków na kartonie nie ³¹czymy, u ywaj¹c o³ówka, ale rysujemy linie no ykiem do tapet, delikatnie nacinaj¹c karton wzd³u krawêdzi rysunku. Po wyciêciu karton da siê z ³atwoœci¹ zagi¹æ wzd³u naciêtych linii, a zagiêcia te bêd¹ równe i dok³adne. Tak przygotowan¹ siatkê sklejamy, u ywaj¹c skrzyde³ek. Bardziej skomplikowane modele wykonuje siê etapami. Przygotowuje siê pewne elementy, które nastêpnie ³¹czy siê ze sob¹. W miarê postêpu pracy mo emy obserwowaæ, jak nasz model roœnie. Mamy równie mo - liwoœæ zagl¹dniêcia do œrodka modelu. Aby model by³ trwa³y, potrzebny jest dobry klej. Zwyk³e kleje w sztyfcie raczej siê nie nadaj¹. Lepiej u yæ kleju do sklejania puzzli lub szybko schn¹cego kleju do drewna. Wykonanie niektórych modeli nie powinno zaj¹æ wiêcej ni minut, ale s¹ te i takie, do wykonania których potrzeba godzin. Ka dorazowo nagrod¹ za trud i wysi³ek jest wspania³y model, który mo e byæ doskona³¹ ozdob¹ nie tylko szkolnej pracowni matematycznej. Wykonanie dobrego modelu nie wymaga specjalnych uzdolnieñ. Czêsto z ust w¹tpi¹cych we w³asne si³y mo na us³yszeæ ja nie mam zdolnoœci manualnych. Dziesiêæ lat temu ja równie tak myœla³em, ale mimo to spróbowa³em wykonaæ modele prostych wieloœcianów. Z czasem wykonywanie modeli sta³o siê moj¹ pasj¹. Ka da, nawet najd³u sza, podró rozpoczyna siê od zrobienia pierwszego kroku. Zapraszam do krainy wieloœcianów. Kluczbork maj-czerwiec 2006 r. Piotr Pawlikowski 4

7 10. Gwiazdki z gwiazd dwunastu (2) 10 W rozdziale 5. poznaliœmy dwunastoœcian rombowy wieloœcian o wielu ciekawych w³asnoœciach (tworzy on m.in. parkieta przestrzenny). Bohaterem tego rozdzia- ³u jest inny wieloœcian tworz¹cy przestrzenny parkieta dwunastoœcian gwiaÿdzisty rombowy. Nazwa tej gwiazdki mo e byæ nieco myl¹ca, gdy œciany jej wcale nie s¹ rombami, ale sposób jej konstrukcji t³umaczy tak¹ w³aœnie nazwê. Spójrzmy ponownie na keplerowski dwunastoœcian rombowy (rys. 10.1). Ma on dwa rodzaje wierzcho³ków szeœæ, w których schodz¹ siê 4 œciany, i osiem, w których schodz¹ siê 3 œciany. Rys PoprowadŸmy w nim 3 przek¹tne ³¹cz¹ce wierzcho³ki pierwszego rodzaju (rysunek 10.2). Nastêpnie do³¹czmy 4 przek¹tne ³¹cz¹ce wierzcho³ki drugiego rodzaju (rys. 10.3). Wszystkie poprowadzone odcinki przecinaj¹ siê w jednym punkcie, który jest œrodkiem symetrii ca³ego dwunastoœcianu (rys. 10.4) i wyznaczaj¹ w nim 12 przystaj¹cych ostros³upów. Ich podstawami s¹ œciany bry³y, a wierzcho³kiem jest punkt wspólny wszystkich siedmiu przek¹tnych. Pojedynczy ostros³up przedstawia rysunek Rys Rys Rys Rys

8 10 Popatrzmy teraz na nasz dwunastoœcian w ten sposób, aby widzieæ jedynie trzy jego œciany spotykaj¹ce siê w jednym punkcie (rys. 10.6). WyraŸnie widzimy... szeœciok¹t foremny. Czarne linie na rysunku to nic innego jak szeœæ widzianych z profilu œcian naszej bry³y. Pozwala to podejrzewaæ, e k¹t pomiêdzy œcianami w dwunastoœcianie rombowym ma miarê 120. Tak jest w istocie. Oznacza to, e k¹t miedzy œcian¹ boczn¹ a podstaw¹ w powsta³ych ostros³upach ma 60. Rys Je eli zatem jedn¹ tak¹ piramidkê przykleimy do œciany dwunastoœcianu rombowego, to jej œciany boczne bêd¹ le a³y w p³aszczyznach innych œcian tego dwunastoœcianu (rys. 10.7). Rys Rysunek 10.8 przedstawia dwunastoœcian z doklejonymi dwoma piramidkami, a rysunek 10.9 i fot gotow¹ gwiazdkê. Rys Ma ona dwanaœcie œcian le ¹cych w p³aszczyznach dwunastoœcianu rombowego. Ka - da z nich sk³ada siê z czterech trójk¹tów do- ³¹czonych do œciany wyjœciowego dwunastoœcianu (rys ). Sposób powstania gwiazdki i kszta³t œcian t³umacz¹ w pe³ni jej nazwê. Rys Rys

9 10 Opisywana wczeœniej metoda wykonywania modeli poprzez sklejanie odpowiednich ostros³upów mo e byæ wykorzystana równie i tym razem. Siatkê ostros³upa przedstawia rysunek U ywaj¹c podwójnych skrzyde³ek, nale y skleiæ ze sob¹ 12 piramidek, tak aby ich podstawy utworzy³y dwunastoœcian rombowy. Fot Rys Przy ³¹czeniu piramidek nale y pamiêtaæ o dwóch rodzajach wierzcho³ków dwunastoœcianu rombowego. Sposób konstrukcji gwiazdki sugeruje jednak, e mo na wykonaæ atrakcyjn¹ zabawkê podobn¹ do opisanej w rozdziale 5. Po³¹czmy wst¹- eczkami 12 piramidek, tak aby ich podstawy tworzy³y siatkê dwunastoœcianu rombowego. Odstêpy pomiêdzy ostros³upami powinny wynosiæ ok. 1 2 mm. Gotow¹ zabawkê widzian¹ z góry przedstawia rysunek Wianuszek piramidek mo na zwin¹æ do œrodka, uzyskuj¹c dwunastoœcian rombowy, b¹dÿ te owin¹æ wokó³ gotowego dwunastoœcianu, uzyskuj¹c gwiazdkê. Nale y oczywiœcie pamiêtaæ, aby podstawy piramidek i œciany dwunastoœcianu by³y przystaj¹ce. Rys Rys Dwunastoœcianami rombowymi mo na wype³niæ przestrzeñ, tak wiêc mo na to równie zrobiæ, u ywaj¹c opisanych gwiazdek. Najlepiej jednak naocznie siê o tym przekonaæ wykonuj¹c kilka modeli i zestawiaj¹c je ze sob¹. Popatrzmy teraz na dwunastoœcian gwiaÿdzisty rombowy z nieco innej strony. Ma on 12 wierzcho³ków, które le ¹ po cztery w trzech wzajemnie prostopad³ych p³aszczyznach (rysunek 10.13). 45

10 10 Nasz wieloœcian przeciêty tymi p³aszczyznami rozpadnie siê na 8 przystaj¹cych czêœci, z których ka da jest... po³ówk¹ szeœcianu (rysunek 10.14). Siatkê jednej czêœci przedstawia rysunek Linie przerywane oznaczaj¹ krawêdzie wklês³e. Wykonawszy 8 takich elementów, mo emy z³o yæ z nich gwiazdkê lub ob³o yæ nimi gwiazdkê wykonan¹ wczeœniej. Otrzymamy wówczas szeœcian. Rys Elementy mo na równie po³¹czyæ wst¹ eczkami w jeden wianuszek. Powstanie kolejna atrakcyjna zabawka (fot ). Jednak e znalezienie sposobu po³¹czenia jej elementów niech pozostanie (mam nadziejê, e niezbyt trudnym) zadaniem dla Czytelników. Fot Rys Fot

11 10 Fot Fot Zadania 1. Co jest uwypukleniem opisanej gwiazdki? 2. W jaki sposób mo na szybko obliczyæ je objêtoœæ? 3. Jaki jest zwi¹zek pomiêdzy œcianami bocznymi a podstawami w piramidkach tworz¹cych omawian¹ gwiazdkê? 4. Ile wynosi miara k¹ta pomiêdzy œcianami piramidki, które zostaj¹ rozdzielone przy ciêciu gwiazdy jak na rys ? 47

12 S p i s t r e œ c i Wstêp Najwa niejsze wieloœciany Œcinanie naro y czyli archimedesowe po raz pierwszy Stella octangula Krewni stelli Opakowania Opakowania i inne romboœciany Wieloœciany rombowe (?) czyli archimedesowe po raz drugi Dwa (a mo e cztery?) ostatnie czyli archimedesowe po raz trzeci Gwiazdki z gwiazd dwunastu (1) Gwiazdki z gwiazd dwunastu (2) Wielkie wieloœciany Zadaszanie szeœcianu Obracanie szeœcianu Odbijanie szeœcianu Oœmioœciany Czworoœciany Dwudziestoœciany Ksi¹ ki, do których warto zajrzeæ Strony, które warto odwiedziæ Dodatek