Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25.

Transkrypt

1 Gimnazjum nr 26 w Gdańsku im. Jana III Sobieskiego ul. R. Traugutta 92 sekretariat@gim26.gda.pl Gdańsk tel fax Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25. Zad. 1. (0 2) Na dużym kartonie Paweł narysował papugi, krokodyle i smoki (jak widać poniżej). Na swoim rysunku umieścił: 15 głów, 50 nóg i 16 skrzydeł. Ile papug, krokodyli i smoków narysował na kartonie Paweł? Uzasadnij swoją odpowiedź. Przykładowe rozwiązanie 16:2 = 8 tyle jest papug i smoków 15 8 = 7 tyle jest krokodyli = 22 tyle nóg mają papugi i smoki Obliczamy liczbę smoków: 8 2 = 16, (22 16) :2 = 6 : 2 = 3 Obliczamy liczbę papug: 8 3 = 5 1p za wyznaczenie liczby krokodyli oraz liczby nóg papug i smoków 1p za wyznaczenie liczby papug i liczby smoków

2 Zad. 2. (0 2) Trzech łuczników strzelało, do tej samej tarczy. Każdy oddał tyle samo strzałów. Na rysunku widoczne są ślady pozostawione przez strzały. Wszyscy łucznicy zakończyli rozgrywkę z równą liczbą punktów. Wyznacz rozkład punktów uzyskanych przez każdego łucznika. Liczba rzutów = 15 stąd liczba rzutów przypadająca na 1 osobę = 5 Suma punktów = 243 stąd suma punktów przydadajaca na 1 osobę 81 Rozkład punktów: I osoba II osoba III osoba I rzut II rzut III rzut IV rzut V rzut p za wyznaczenie liczby rzutów oraz liczby punktów przypadających na jedną osobę 1p za wyznaczenie podanie prawidłowego rozkładu punktów Zad. 3. (0 2) Trzy brygady malarzy powinny pomalować most. Jeśli pracowałaby tylko pierwsza brygada, to pomalowałaby go w 10 dni, gdyby pracę miała wykonać tylko druga w 12 dni, a gdyby tylko trzecia w 15 dni. Ile dni zajmie pomalowanie mostu wszystkim trzem brygadom, jeśli pracować będą razem? Zapisz swoje rozumowania. I brygada wykonuje pracę w 10 dni, to w 1 dzień wykona 1 pracy 10 II brygada wykonuje pracę w 10 dni, to w 1 dzień wykona 1 pracy 12 III brygada wykonuje pracę w 10 dni, to w 1 dzień wykona 1 15 pracy Wszystkie brygady wykonają w czasie 1 dnia = = 1 co oznacza, że całą pracę wykonają w czasie 4 dni p za wyznaczenie części pracy przypadającej na jeden dzień przez każdą z brygad 2

3 1p za wyznaczenie liczby dni na wykonanie całej pracy UWAGA Uczeń otrzymuje 0p, jeżeli obiera wybraną liczbę malarzy lub długość mostu. Zad. 4. (0 2) Adam ma 400 zł i za tę kwotę musi zakupić 100 czekolad po 4 zł każda. W sklepie była promocja: za każde sześć zakupionych czekolad klient otrzymywał jedną czekoladę za darmo. Ile złotych zostało Adamowi po zakupie 100 czekolad w promocji? Odpowiedź uzasadnij. Adam płaci za 6 czekolad i 1 otrzymuje za darmo, czyli kupuje 7 sztuk 100 : 7 = 14 r 2 czyli otrzyma 14 pakietów po 7 sztuk (w tym 6 płatnych) + 2 płatne 14 6 (czekolad) 4 (zł) = 336 zł = 344 zł tyle Adam zapłaci zł kwota, która pozostanie Adamowi 1p za wyznaczenie ile za sztuk czekolad zapłaci Adam 1p za wyznaczenie kwoty która zostanie Adamowi Zad. 5. (0 2) Pani Ewa wzięła z banku kredyt w kwocie zł, oprocentowany w wysokości 16%. Ustaliła z bankiem, że spłaci go w 20-tu równych ratach. Jednak, po dokonaniu pierwszych pięciu wpłat, pani Ewa postanowiła, że pozostałą kwotę spłaci w trzech równych ratach. Oblicz, jakiej wysokości będzie każda z trzech ostatnich wpłat? 16% z = 5600 zł to wysokość odsetek = zł - to kwota do spłaty : 20 = 2030 zł to wysokość 1 raty = zł dokonane wpłaty = zł pozostała do spłaty kwota : 3 = zł wysokość każdej z ostatnich spłat 1p za wyznaczenie ile wynosi 1 rata zaplanowana 1p za wyznaczenie wysokości ostatniej z trzech rat UWAGA Jeżeli uczeń popełnia błąd rachunkowy przy prawidłowym toku rozumowania otrzymuje 1p. Zad. 6. (0 2) Na diabelskim młynie wszystkie krzesełka są ponumerowane kolejnymi liczbami całkowitymi (zaczynając od nr 1.) i ustawione w jednakowych odległościach od siebie. Agata zajmuje krzesełko z numerem 7. Znajdując się na samej górze, dziewczynka spostrzegła, że jej brat Paweł zajmuje krzesełko z numerem 23 na samym dole diabelskiego młyna. Ile jest krzesełek na diabelskim młynie? Uzasadnij swoją odpowiedź. Na diabelskim młynie są 32 krzesełka. 3

4 1p za wyznaczenie sposób prezentacji rozwiązania (rysunek, opis słowny) 1p za prawidłową odpowiedź wynikającą z poprawnego rozwiązania Zad. 7. (0 2) Pokonawszy liczne przeszkody, dzielny rycerz, by uwolnić księżniczkę, musi jeszcze zabić wielogłowego smoka. Ten gatunek smoków ma siedem głów, które mogą być trzech rodzajów: głowy-dzioby, głowy-uszy lub głowy-paszcze. Rycerz jednym cięciem miecza może odciąć jedną lub dwie głowy. Jeśli odetnie jedną lub dwie jednakowe głowy, to odrosną one natychmiast. Lecz jeśli odetnie równocześnie dwie rożne głowy, to odrośnie jedna głowa trzeciego rodzaju. Jeśli na przykład odetnie głowę-uszy i głowę-dziób, to odrasta głowa-paszcza. Smok pozbawiony głów, umiera. Czy można zabić smoka przedstawionego na obrazku? Uzasadnij swoją odpowiedź poprawnym rozumowaniem. 4

5 Cięcie zostaje 4 paszcze (P) 1 uszy (U) 2 dzioby (D) 1 DP PU PD DU PU PD 0-0 Jest możliwe zabicie smoka. 1p za poprawne przeprowadzenie rozumowania (rysunek, opis słowny, tabelka) 1p za odpowiedź wynikającą z poprawnego rozumowania Zad. 8. (0 2) W równoległoboku GUZY suma długości przekątnych GZ i UY jest równa 18 cm. Obwód trójkąta GUZ jest o 2 cm dłuższy od obwodu trójkąta UZY. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku. Zapisz swoje rozumowanie. GY + YZ + ZG= (UZ + ZY + YU) - 2 Podkreślone sumy, to sumy długości boków równoległoboku, wyrażają one te same liczby. Mamy zatem: ZG = YU = 16 16:2 = 8 to długość przekątnej YU 18 8 = 10 to długość przekątnej ZG 1p za wyznaczenie związku między długościami przekątnych 1p za prawidłową odpowiedź wynikającą z poprawnego rozwiązania Zad. 9. (0 3) Na bokach kwadratu KOZA, zbudowano cztery trójkąty równoboczne. Trójkąty znajdują się na zewnątrz kwadratu, a ich wierzchołki różne od punktów K, O, Z, A oznaczono jako: S, T, Y, L. Punkty te połączono, tworząc czworokąt STYL. Sporządź odpowiedni rysunek. Udowodnij, że otrzymany czworokąt jest kwadratem. 5

6 Wyznaczamy najpierw miarę kąta przy każdym z wierzchołków kwadratu. Wynosi ona 150. Następnie obliczamy miarę kąta w trójkątach równoramiennych LAY, YZT, TOS, SKL w następujący sposób: ( ) : 2 = 15. Obliczamy miarę kąta wewnętrznego przy wierzchołkach czworokąta STYL: = 90. Wykazaliśmy, że czworokąt STYL ma wszystkie kąty proste. Trójkąty LAY, YZT, TOS, SKL są równoramienne i identyczne, z tego wynika równość boków czworokąta: ST = TY = YL = LT. Wykazaliśmy, że czworokąt STYL ma równe boki. Czworokąt o równych bokach i wewnętrznych kątach prostych jest kwadratem. 1p za prawidłowy rysunek wynikający z tekstu zadania 1p za wyznaczenie równości katów 1p za wyznaczenie równości boków Zad. 10. (0 3) Trzej chłopcy podzielili między siebie 770 cukierków, dzieląc je proporcjonalnie do swego wieku. Na każde trzy wzięte przez Antosia, Bartek wziął cztery, a na każde siedem wziętych przez Czarka, Bartek wziął sześć. Ile cukierków otrzymał najmłodszy z chłopców? Odpowiedź uzasadnij. Bartek jest starszy od Antosia 4 razy, a Czarek od Bartka 7 razy, więc starszy od Antosia Najmłodszy jest Antoś. Oznaczmy przez x liczbę cukierków Antosia, Bartek wziął 4 14 x, a Czarek 3 9 x x + x = 770, którego rozwiązaniem jest liczba x. Mamy równanie: = 14 9 razy. 1p za przeprowadzenie rozumowania mającego na celu ustalenie, który z chłopców jest najmłodszy 2p za poprawne rozumowanie prowadzące do wyznaczenia liczby cukierków Antosia 6

7 Zad. 11. (0 3) Ile arów ma targowisko, jeżeli na planie w skali 1: 2000 jest prostokątem o powierzchni równej 40 cm 2? Jaką długość mogą mieć boki tego targowiska, jeśli wyrażają się one liczbami naturalnymi? Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. Ustalamy jakiej długości będą boki prostokąta w skali 1 : 2000 Ustalamy jaką długość będą miały te odcinki w skali 1 : 1. W tym celu mnożymy ich długości przez 2000 i zamieniamy na metry. Nastepnie obliczamy pole każdego z nich i otrzymane wyniki podajemy w arach. 1 cm x 40 cm 2 cm x 20 cm 4 cm x 10 cm 5 cm x 8 cm 20 m x 800 m 40 m x 400 m 80 m x 200 m 100 m x 160 m P = m 2 = 160 a 1p za wyznaczenie długości boków prostokąta w skali 1 : p za wyznaczenie długości boków w skali 1:1 w dwóch przypadkach 1p - za wyznaczenie długości boków w skali 1:1 w kolejnych dwóch przypadkach UWAGA Jeżeli uczeń pomija obliczenie długości boków w skali, a obliczy poprawnie pole w skali 1:1, to otrzymuje pełną liczbę punktów za realne wymiary targowiska, zgodnie z kryteriami. 7