Fizyka. II rok 2015/2016. Piotr Jaracz. Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania PAN Warszawa

Transkrypt

1 Fizyka II rok 2015/2016 Piotr Jaracz Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania PAN Warszawa

2 1. Co to jest fizyka Fizyka nauka, która bada ogólne własności materii, przestrzeni i czasu i formułuje prawa odnoszące się do zjawisk naturalnych /Encykl. Powsz. Larousse/.... dla potrzeb tego wykładu trochę inaczej: Fizyka (z gr. physiké, od phýsis natura, przyroda) to jedna z prób zrozumienia świata, oparta na faktach, badaniach eksperymentalnych i matematyce. Cele wykładu: m.in. zdobycie podstawowych umiejętności rozumowania (rozwijanie dociekliwości, krytycyzmu, formułowania hipotez i wniosków itp., poprzez poznawanie i używanie pojęć, narzędzi i metod nauk ścisłych). 2. Pomiar, wielkość fizyczna Problem Kupiliśmy pianino i musimy wnieść je do naszego mieszkania. Jak? Po schodach czy windą? Rozwiązanie intuicyjne: zakładamy, że instrument zmieści się w windzie i niesiemy go prosto do windy. Rozwiązanie fizyczne: mierzymy długość oraz szerokość kabiny windy i pianina; na podstawie wyników pomiarów podejmujemy odpowiednią decyzję. A gdy nie mamy przy sobie linijki lub taśmy mierniczej? 2

3 Jako miarki możemy użyć naszej stopy... Stawiając stopę za stopą przy pianinie oraz wzdłuż wewnętrznych krawędzi kabiny otrzymamy przybliżone rozmiary tych obiektów wyrażone w stopach. Podsumowanie Pomiar jest to porównywanie jakiejś właściwości obiektu lub zjawiska fizycznego ze wzorcem, prowadzące do przypisania tej właściwości liczby.... inaczej Właściwości (cechy) obiektów lub zjawisk fizycznych można określać ilościowo czyli mierzyć. Czy wszystkie? Nie tylko te, które sami wprowadzamy, uznając je za niezbędne do opisu fizycznego obiektu lub zjawiska. Właściwości obiektów lub zjawisk fizycznych, które możemy mierzyć nazywamy wielkościami fizycznymi Wzorce pomiaru długości Dawniej do mierzenia długości przedmiotów wykorzystywano to co było łatwo dostępne często swoje ciało. Wzorcem (jednostką) długości była np.: długość ziarna jęczmienia (!): potrojona stanowiła pierwowzór jednostki długości zwanej calem, odległość od łokcia do końca dłoni (tzw. łokieć), długość stopy (tzw. stopa). 3

4 Zalety: taki wzorzec mamy zawsze przy sobie, łatwo wyobrazić sobie wielkość przedmiotu. Wada: ludzie różnią się między sobą, a więc długości ich łokci czy stóp też się różnią. Rozwiązanie problemu: ujednolicić wzorce. Przykłady Na początku XVI wieku na terenach ówczesnej Rzeczypospolitej stosowano powszechnie, m.in.: łokieć lwowski (71,69 cm) i łokieć krakowski (57,35 cm). Pomiędzy państwami istniały jeszcze większe różnice w przyjmowanych długościach łokcia, np. na początku XIX wieku funkcjonował: łokieć warszawski (59,6 cm), łokieć berliński w Prusach (66,7 cm), łokieć wiedeński w Austrii (77,9 cm),... ale, pomimo znaczących różnic, najczęściej przyjmowano podział łokcia na 2 stopy i 24 cale. Ostatecznie Łokieć został zarzucony (niejako zamiast niego wyłonił się jard 3 łokcie), a stopa i cal zostały poddane standaryzacji (patrz dalej). 4

5 3. Metryczny układ jednostek miar W okresie Rewolucji Francuskiej podjęto we Francji reformę miar i zdecydowano m.in. że nowe miary będą opierać się na stałych zjawiskach fizycznych a nie na (zmiennych) cechach ciała ludzkiego. Wprowadzono wtedy ( ) nową jednostką długości metr, zdefiniowaną jako: 1 metr jest to jedna dziesięciomilionowa część odległości między biegunem a równikiem Ziemi, liczona na poziomie morza, wzdłuż południka ziemskiego przechodzącego przez Paryż. 1 Ustalono również, że wielokrotności oraz podwielokrotności metra (a za nim innych jednostek) będą oparte na dziesiętnym układzie liczbowym, zaś ich nazwy będą zawierać słowo metr (lub inna jednostka), poprzedzone przedrostkiem symbolizującym odpowiedni mnożnik. Ogólnie Metryczny układ jednostek (miar) jest to taki układ jednostek, w którym stosuje się wielokrotności i podwielokrotności wartości jednostek wyrażane w dziesiętnym układzie liczbowym. Niemetryczne układy jednostek (patrz dalej). 1 Poczynając od końca XIX w. wzorzec metra był jeszcze trzykrotnie zmieniany. 5

6 Tab Przedrostki stosowane do oznaczania wielokrotności i podwielokrotności jednostek fizycznych w układzie metrycznym (np. układzie SI, patrz dalej). Nazwa przedrostka piko Skrót przedrostka p Znaczenie przedrostka (mnożnik) 1 1 0, nano mikro mili centy decy n m c d 1 1 0, , , , , deka da hekto h kilo k mega M giga G tera T

7 W ten sposób tworzy się, np.: 9 10 m = 1 nanometr = 1 nm 6 10 m = 1 mikrometr = 1 μm m = 10 m = 1 milimetr = 1 mm m = 1 centymetr = 1 cm, 1000 m = 1 kilometr = 1 km, 1 kg (kilogram) = 1000 g (gram), 1 hpa (hektopaskal) = 100 Pa (paskal), 1 GHz (gigaherc) = Hz, 1 ml (mililitr) = 0,001 l.,, W praktyce naukowej i technicznej są w użyciu również niemetryczne układy jednostek długości, wśród nich np. mila morska (w nawigacji morskiej) równa 1852 m, zdefiniowana jako długość łuku południka ziemskiego odpowiadającego jednej minucie kątowej (1/60 stopnia kątowego) koła ziemskiego wielkiego. Inne przykłady W niektórych krajach, m.in. w krajach anglosaskich, nadal (choć coraz rzadziej) używa się jednostek sprzed Rewolucji Francuskiej. Obecnie jednak zostały one poddane standaryzacji. I tak:, 7

8 1 cal = 25,4 mm, 1 1 stopa = 30,48 cm = jarda = 12 cali, 3 1 jard = 91,44 cm = 3 stopy = 36 cali. Współcześnie, w większości krajów przyjęto w metrologii tzw. układ SI (Système International d'unités Międzynarodowy Układ Jednostek Miar), zakładający 7 jednostek podstawowych dla wielkości fizycznych. Tab Jednostki podstawowe układu SI. Nazwa jednostki podstawowej Symbol Wielkość fizyczna podstawowa metr m długość kilogram kg masa sekunda s czas amper A natężenie prądu elektrycznego kelwin K temperatura termodynamiczna kandela cd światłość mol mol liczność materii Z tych jednostek można zbudować jednostki wszystkich innych, używanych w fizyce wielkości fizycznych. Powstają w ten sposób tzw. jednostki pochodne. Umożliwiają to równania definicyjne (definicje) wielkości fizycznych lub prawa fizyczne, które bada i wprowadza fizyka, łączące 8

9 między sobą wielkości fizyczne (patrz Pytania i Problemy, pkt. 8). W układzie SI dopuszczone są również jednostki pozaukładowe, np.: 1 h (godzina) = 3600 s, oraz 1 0 C, przy czym T [ 0 C] = T [K] 273,15. Układ SI jest metrycznym układem jednostek miar. Niemetryczny układ jednostek czasu tworzą, np.: 1 h = 60 min., 1 min. = 60 s, a jednostek długości: 1 jard 1 stopa 1 cal. 4. Wykresy Wykres jest formą prezentacji danych pomiarowych: przekazuje odbiorcy, w formie syntetycznej znaczną ilość informacji, pozwala na szybkie uchwycenie głównych cech badanego zjawiska fizycznego Tabela danych Podstawową (pierwotną) formą prezentacji danych z pomiarów fizycznych jest tabela. Przykład Tab Średnia miesięczna temperatura powietrza na Polskiej Stacji Polarnej Hornsund, Spitsbergen, Norwegia; w kolejnych miesiącach roku (na podstawie opracowania Rafała Kusia, Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski). 9

10 Miesiąc TemperaturaT [ 0 C] I - 6,5 II - 7,1 III - 13,7 IV - 11,3 V - 2,7 VI 2,0 VII 4,6 VIII 4,7 IX 3,1 X - 0,9 XI - 5,6 XII - 4, Tworzenie wykresu Dane z tabeli przedstawiamy w formie graficznej przy pomocy wykresu, w którym przyjęto: oś pozioma - czas (kolejne miesiące); w fizyce czas, prawie zawsze, pokazywany jest na osi poziomej, oś pionowa - temperatura powietrza. 10

11 Rys Średnia miesięczna temperatura powietrza; Polska Stacja Polarna Hornsund, Spitsbergen,Norwegia. Język fizyki (terminologia) Wykres na Rys przedstawia, jak mówimy: zależność średniej miesięcznej temperatury powietrza od czasu, lub lepiej średnią miesięczną temperaturę powietrza w funkcji czasu. Dobre zasady tworzenia wykresu: 1. Skale wykresu tak dobrane, aby przedstawiane punkty pomiarowe znalazły się na całej powierzchni ograniczonej osiami; zakres osi nie musi zaczynać się w zerze. 2. Opis osi wykresu podanie nazw lub symboli wielkości fizycznych oraz jednostek układu miar w jakim zostały one wyrażone. 11

12 3. Podziałka niezbyt gęsta, z opisem w układzie (najczęściej). 4. Punkty pomiarowe zasadniczo nie powinno się ich łączyć linią łamaną; można narysować linię obrazującą tendencję zmian. 5. Opis wykres, a także tabela, powinny mieć tytuł (na wykresie) i/lub być opisane (pod wykresem). 6. Unikanie informacji zbędnych, np. obcych elementów graficznych czy tekstowych (czasem dodawanych przez programy komputerowe używane do tworzenia wykresów). 5. Opracowanie danych Dysponując przedstawionymi wyżej dwiema formami prezentacji danych dokonajmy elementarnego jak mówimy - opracowania danych....na podstawie tabeli Spostrzeżenie jakościowe (dotyczy trendów (tendencji) w zależności temperatury od czasu) Zauważamy, że temperatura na początku roku jest ujemna i maleje, po czym od kwietnia systematycznie rośnie, by następnie ponownie spadać. Spostrzeżenia ilościowe (dotyczy samych wartości temperatury) 12

13 Obliczamy (wskazujemy) minimalną ( 13,7 0 C) i maksymalną (4,7 0 C) miesięczną temperaturę powietrza. Wyznaczamy średnią roczną temperaturę. Zakładając, że chodzi o średnią arytmetyczną (są też inne średnie), z danych w tabeli: T i 12 Ti C na podstawie wykresu Dysponując wykresem możemy zauważyć istnienie istotnych zależności, trudnych do zaobserwowania na podstawie samej tylko tabeli danych: zauważamy, że spadek na początku roku (w marcu) jest gwałtowny, podobnie jak wzrost w maju, widzimy, wspomniany już wzrost temperatury w okresie od kwietnia do sierpnia. Najciekawsze dopiero przed nami!... Widzimy tendencję (trudną do zauważenia w tabeli) do utrzymywania się przez większą część roku temperatury w pobliżu 0 C 0. Na podstawie tego punktu opracowania danych możemy sformułować odważny a istotny wniosek hipotezę fizyczną, będącą w swej istocie celem każdych badań fizycznych 13

14 Dane pomiarowe zdają się wskazywać, że stacja polarna, na której dokonano pomiarów jest położona w pobliżu jakiegoś Dużego Zbiornika Wodnego, pełniącego rolę regulatora - stabilizatora temperatury! Prawdopodobnie stacja usytuowana jest niedaleko oceanu, a nie w głębi lądu (w tym wypadku wyspy Spitzbergen). Potwierdza się! A teraz ukoronowanie całego procesu badawczego!... Skoro nasza hipoteza (teraz już swego rodzaju teoria fizyczna) jest prawdziwa to możemy jej użyć do prognozowania jaką tendencję będzie miała temperatura w innych, położonych dalej od brzegów częściach wyspy Spitzbergen. Pytania i problemy 1. Co to jest wielkość fizyczna? Podaj i omów lub skomentuj dwa przykłady znanych ci wielkości fizycznych. 2. Czym jest pomiar fizyczny? Omów na czym polega pomiar wielkości fizycznej długość. 3. Średnica typowego włosa ludzkiego to ok. 100 m. Skomentuj możliwość pomiaru tej średnicy przy pomocy zwykłej linijki uczniowskiej. 14

15 4. Omów na czym polegała standaryzacja używanych pierwotnie jednostek długości cal? 5. W czym zawiera się istota metryczności układu jednostek miar? Podaj przykład. 6. Omów na przykładach wybrane metryczne i niemetryczne układy jednostek miar. 7. Podaj i omów znane ci jednostki podstawowe układu SI. 8. W układzie SI jednostka prędkości (m/s) jest jednostką pochodną, zbudowaną z jednostek podstawowych: długości (m) i czasu (s) na podstawie równania definicyjnego (definicji) prędkości. Co to za równanie? WSKAZÓWKA: jest to jednocześnie najprostsze prawo kinematyki, jedno z pierwszych praw mechaniki poznanych w szkole podstawowej. 9. Wyjaśnij znaczenie i podaj przykłady użycia przedrostków mega i giga wybranych jednostek miary. 10. Jak sądzisz, skąd pochodzi termin nanotechnologia? 11. Zapisz następujące liczby w postaci dziesiętnej (liczba dziesiętna lub ułamek dziesiętny): ,16 10 ; 2 10 ; 5 10 ; 5, Wskaż i uzasadnij rachunkiem, która wartość w każdej z poniższych par liczb jest większa: 15

16 a) 1 ma czy 0,01 A, b) 3 mm czy 300 m, c) 1,2 kg czy mg, d) 20 MW czy 2500 kw. 13. Wskaż i omów co najmniej jedną z cech wykresu danych, wyróżniających go w porównaniu z tabelą danych. 14. Podaj co najmniej trzy z tzw. dobrych zasad tworzenia wykresu. 15. Podaj najistotniejszą cechę charakterystyczną teorii fizycznej. 16

17 6. Skalary i wektory W rozdz. 1 wprowadziliśmy pojęcie wielkości fizycznej. Fizyka posługuje się różnymi rodzajami wielkości fizycznych. Skalarem nazywamy wielkość fizyczną, którą można określić przez podanie jednej liczby, wyrażającej jej wartość w wybranym układzie jednostek. Przykłady skalarnych wielkości fizycznych to m.in.: czas, temperatura, masa, natężenie prądu elektrycznego, napięcie elektryczne. Skalary podlegają dobrze nam znanemu dodawaniu arytmetycznemu i innym działaniom typowym dla liczb. W nauce nic nie jest jednak oczywiste, także zasady dodawania wielkości istnieją wielkości fizyczne, których nie można dodawać arytmetycznie, a trzeba inaczej... Przykład Wybieramy się w podróż samolotem sportowym z Warszawy do Gdańska. Chcemy po drodze tankować w Toruniu. W podróży będziemy przemieszczać się po liniach prostych łączących te miasta. Wybierając odpowiednią skalę możemy przedstawić tę podróż graficznie (Rys. 6.1). 17

18 C Gdańsk 150 km 280 km Toruń B 180 km A Warszawa Rys Schemat podróży lotniczej Warszawa Toruń Gdańsk. Z rysunku widać, że chcąc określić geograficzną odległość Warszawa Gdańsk nie można dodać arytmetycznie dwóch odległości przebytych kolejno: Warszawa Toruń i Toruń Gdańsk ( = ). Nowe pojęcie fizyczne Przemieszczenie zmiana położenia obiektu (ciała) fizycznego, dla której istotny jest kierunek. Nasza podróż lotnicza Warszawa Gdańsk składa się z dwóch przemieszczeń zaznaczonych na Rys. 6.1 strzałkami, a zapisywanych jako: AB i BC (zwróć uwagę na pogrubioną czcionkę). 18

19 Pytanie Jakie jest w tej podróży przemieszczenie wypadkowe? Jest to pytanie o dodawanie (sumę) przemieszczeń. Za sumę wymienionych przemieszczeń możemy uznać przemieszczenie AC pokazane na rysunku linią kropkowaną: AC = AB + BC. Wielkości fizyczne podlegające takiemu dodawaniu to wektory. Wektorem nazywamy wielkość fizyczną, którą można określić podając jej wartość (tzw. moduł wektora) oraz kierunek i zwrot. Czasem potrzebny jest także tzw. punkt przyłożenia wektora (położenie jego początku). Wektorem jest np. przemieszczenie obiektu fizycznego. W prezentowanym przykładzie AB, BC, AC to wektory, a AB, BC, AC odpowiednio, ich wartości (moduły). Dodawanie wektorów nazywa się w ogólności dodawaniem algebraicznym, a przedstawione graficznie dodawaniem geometrycznym. (Por. dodawanie skalarów). Podsumowanie Całą analizę zbudowaną wokół powyższego przykładu da się streścić w dwóch formułach: AC = AB + BC oraz AC AB + BC. Uproszczenie oznaczeń a lub a wektor, a a wartość (moduł) wektora. 19

20 6.1. Działania na wektorach Wektory będziemy tutaj traktować jako swobodne, tzn. takie które można dowolnie przesuwać równolegle (to jest przesuwać do nowego punktu przyłożenia bez zmiany kierunku i zwrotu wektora). Dodawanie geometryczne wektorów c a b Metoda wieloboku (tu: trójkąta) a + b = c b lub b + a = b a c a Wektor przeciwny Zapis -a oznacza wektor o tym samym module i kierunku co wektor a, mający jednak przeciwny zwrot: a -a 20

21 Odejmowanie geometryczne wektorów c a b Przekształcamy: c a b a ( b ), co oznacza, że odejmowanie wektorów można sprowadzić do dodawania z odpowiednim wektorem przeciwnym, np.: a a - b = + -b = = c a -b Uwaga! Dodawać i odejmować można tylko wektory reprezentujące te same wielkości fizyczne, wyrażone w tych samych jednostkach... np. przemieszczenie obiektu wyrażone w km nie może być dodawane algebraicznie z innym przemieszczeniem wyrażonym w m! 21

22 Mnożenie wektora przez skalar b a Oznaczenia: a wektor, skalar, b nowy wektor. Mnożenie wektora a przez skalar prowadzi do nowego wektora b, którego wartość (moduł) jest równa a, zaś kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora wyjściowego a. Co do zwrotu nowego wektora b, to zależy on od znaku skalara : jeśli jest liczbą dodatnią ( > 0) to zwrot wektora b jest taki sam jak zwrot wektora a ; dla < 0 zwroty wektorów a i b są przeciwne. Zwróćmy uwagę, że mnożąc dowolny wektor przez skalar = - 1 otrzymamy zawsze wektor przeciwny. Uwaga Można mnożyć skalar i wektor reprezentujące całkowicie różne wielkości fizyczne. Powstaje wówczas wektor mogący reprezentować nową wielkość fizyczną. (Podobna zasada obowiązywała dla skalarów). Przykład: Załóżmy, że nasz lot z Warszawy do Gdańska trwał łącznie t 0,5 h (godz.). Przy pomocy już wprowadzonych pojęć możemy określić wektor prędkości średniej na całej trasie: v s AC. t 22

23 Jest to wektor powstały z ilorazu wektora przesunięcia AC i skalara czasu t 1. Wynosi on: 280 km km vs vs 560 o kierunku 0.5 h h Warszawa - Gdańsk i zwrocie do Gdańska. Uwaga Informacja nt. kierunku i zwrotu jest bardzo istotna, bo dopiero ona czyni kompletnym opis wektora prędkości. Innego przykładu mnożenia wektora przez skalar dostarcza II zasada dynamiki Newtona w wersji wektorowej (w szkole poznaliśmy tę zasadę w wersji skalarnej): F m a, gdzie F jest oznaczeniem siły (wektor), działającej na obiekt o masie m (skalar), na skutek czego porusza się on z przyspieszeniem a (wektor). 7. Proste równania algebraiczne w fizyce 7.1. Proporcjonalność prosta Wykonujemy pomiary średnicy i obwodu kilku różnych kół (ich okręgów). Wyniki zapisujemy w tabeli. 1 Czyli iloczynu wektora przesunięcia AC i odwrotności skalara czasu t. 23

24 Tab Wyniki pomiarów średnic i obwodów okręgów. Okrąg Średnica okręgu, d [cm] Obwód okręgu, O [cm] , , , , , ,4 Najprostszą do zauważenia cechą wyników pomiarów jest wzrost zmierzonego obwodu okręgu wraz ze wzrostem średnicy. Jest wzrost, ale jaki to wzrost? Przyglądając się dokładniej danym pomiarowym zauważymy, że dwukrotnemu wzrostowi średnicy odpowiada w przybliżeniu dwukrotne zwiększenie obwodu, np. pomiędzy okręgami 1 i 2 lub 2 i 4. Podobnie jest, gdy obserwujemy odpowiednie różnice trzykrotne itd. Komentarz To, że wskazana wyżej tendencja występuje w formie przybliżonej a nie ścisłej wynika z obecności błędów pomiarowych (niepewności pomiarowych), którymi obciążone są poszczególne pomiary (patrz dalej). Obwód okręgu rośnie jak mówimy proporcjonalnie do jego średnicy. Przyjęto zapisywać zależność między dwiema wielkościami fizycznymi, o powyższym charakterze w następujący sposób: 24

25 O d. (1) Znak stosuje się w naukach matematyczno-przyrodniczych do oznaczenia zależności proporcjonalności prostej (proporcjonalności wprost). W naszym przypadku obwód okręgu O jest wprost proporcjonalny do średnicy okręgu d. Teraz przedstawimy te same dane na wykresie (czarne punkty; por. rozdz. 4). Zgodnie z tym, co mówiliśmy o zaletach wykresów zobaczymy tu nową jakość. O [cm] d [cm] Rys Zależność obwodu okręgu od jego średnicy. Punkty pomiarowe układają się w przybliżeniu wzdłuż linii prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych (po odpowiednim dobraniu skali osi y 25

26 można pokazać istnienie pewnego rozrzutu punktów wokół prostej). Ta linia prosta (nazwą poprawną w matematyce jest prosta ) jest wykresem, poznanej w szkole średniej, funkcji liniowej o postaci: y f ( x ) a x lub y y ( x ) a x, (2) gdzie: f symbol używany dla zaznaczenia, że mamy do czynienia z funkcją, x zmienna niezależna (odkładana (zaznaczana) na osi poziomej), y zmienna zależna (zaznaczana na osi pionowej), a = const stała, nazywana współczynnikiem proporcjonalności. Z powyższych danych i rozważań wynika, że zależność proporcjonalności prostej zachodząca w naszym przykładzie między obwodem okręgu O i jego średnicą d można zapisać wzorem: O = a d, (3) gdzie: O pełni rolę zmiennej y, d pełni rolę zmiennej x, zaś a jest współczynnikiem proporcjonalności. Wartość współczynnika a nie jest na razie znana. Wartość a otrzymamy z Rys , po tzw. dopasowaniu prostej (czyli poprowadzeniu wzdłuż punktów pomiarowych linii prostej najlepiej jak można ). Okaże się wów- 26

27 czas, że a = 3,1399 0,0010, gdzie podany błąd pomiarowy ( a ) jest matematycznym wyrazem niepewności związanej z poprowadzeniem prostej (patrz dalej). Dopasowanie prostej (obliczenie a ) jak i określenie niepewności tego dopasowania (obliczenie a ) są częścią tzw. rachunku błędu pomiarowego 2. W matematyce wartość stosunku obwodu okręgu do jego średnicy jest stałą matematyczną oznaczaną grecką literą 3, Ostatecznie, z naszych pomiarów wynika, że : Obwód okręgu O jest wprost proporcjonalny do jego średnicy d, ze współczynnikiem proporcjonalności równym w przybliżeniu wartości. Jest to sformułowanie wybitnie fizyczne. Może być ono użyte, gdy wielkości d, O i potraktujemy jak wielkości fizyczne, to jest podlegające pomiarowi. Łącząca je funkcja liniowa (3) jest wtedy wnioskiem z pomiarów, a obliczona stąd liczba a wynikiem pomiarów, czyli także wielkością fizyczną! Co więcej, niepewności (błędy pomiarowe) poszczególnych punktów pomiarowych d i O skutkują niepewnością błędem pomiarowym zmierzonej liczby. 2 W obliczeniach uwzględniono dla uproszczenia jedynie, przyjęty O ) pomiarów obwodu okręgu (O ). jako stały, błąd pomiarowy ( Temat rachunku błędu pomiarowego wykracza poza program tego wykładu. 27

28 W matematyce wymienione trzy wielkości (d, O i ) to pojęcia matematyczne (wielkości idealne) charakteryzujące obiekt matematyczny (obiekt idealny) okrąg. Łącząca je zależność ma charakter aprioryczny i jest zwykle formułowana w postaci: Stosunek obwodu okręgu O do jego średnicy d stanowi liczbę. Nie ma tu mowy o żadnej niepewności pomiarowej, a liczbę można, jak wiadomo, obliczyć w matematyce 3 z dowolną dokładnością! Tak więc matematycznie: a 3, , zaś fizycznie (w naszych pomiarach): a ,0010. Można więc powiedzieć, że stwierdziliśmy eksperymentalnie, że w granicach błędu pomiarowego (niepewności pomiarowej), przestrzeń i obiekty geometryczne wokół nas podlegają geometrii euklidesowej! I wreszcie ostatnia sprawa w tym rozdziale Wybierając dowolne dwa stosunki w Tabeli możemy napisać: O d 1 1 O d. (4) Dokładniej: w geometrii euklidesowej. 28

29 Wyrażenie (4) nazywamy proporcją. W takim sformułowaniu jest to pojęcie, które powinno być nam znane jeszcze ze szkoły podstawowej. Podsumowanie Zależności pomiędzy wielkościami fizycznymi możemy wyrażać za pomocą równań algebraicznych. Dwie wielkości fizyczne (np. x i y) mogą być w relacji proporcjonalności prostej mówimy wtedy, że są do siebie wprost proporcjonalne, co zapisujemy symbolicznie wyrażeniem: y x. Jeśli znana jest dokładna postać związku łączącego obie wielkości, możemy to wyrażenie zastąpić równaniem z użyciem funkcji liniowej: y f ( x ) a x, gdzie a = const. Jest to najprostsza forma zależności, jaka może występować pomiędzy wielkościami fizycznymi. O wielkościach, które ją spełniają mówimy, że są liniowo zależne. W wyniku pomiarów rozważanych na wykładzie można eksperymentalnie (fizycznie) stwierdzić liniową zależność obwodu i średnicy materialnych okręgów (lub kół), a także wyznaczyć na tej podstawie liczbę. Zarówno ta zależność, jak i liczba tak wyznaczone, obciążone są niepewnością pomiarową (jak wszystko fizyce). Pytania i problemy 1. Podaj określenie skalarnej wielkości fizycznej oraz przykłady takiej wielkości wraz z komentarzem. 29

30 2. Jak powinno brzmieć poprawnie sformułowanie: średnia prędkość wynosiła 67 km/h, jeśli wziąć pod uwagę fakt, że prędkość jest wektorową wielkością fizyczną? 3. Dane są graficznie 3 wektory: a b c Narysuj wektor: d a b c. 4. Przepływasz łódką wolno płynącą rzekę. Prędkość m twojej łódki wynosi 0,3, w kierunku do brzegów, s m prędkość rzeki 0,4. s a) Określ graficznie wypadkową prędkość łódki względem brzegów, wybierając odpowiednią skalę dla prędkości. b) Oblicz wartość wypadkowej prędkości łódki względem brzegów. WSKAZÓWKA: skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa. 5. Na wykładzie podano, iż przykładem mnożenia wektora przez skalar, prowadzącym od dwóch wyjściowych wielkości fizycznych do nowej wielkości fizycznej jest II zasada dynamiki Newtona: F m a. Jednostką wielkości fizycznej m (masa) jest kg, zaś wielkości fizycznej a (przyspieszenie) m/sek 2. 30

31 a) Jaka jest jednostka F? b) Czy wiesz jak nazywa się ta jednostka? WSKAZÓWKA: skorzystaj podręcznika fizyki do liceum ogólnokształcącego. 6. Wskaż istotę proporcjonalności prostej (proporcjonalności wprost) dwóch wielkości fizycznych. 7. Jaka funkcja matematyczna wyraża zależność proporcjonalności wprost dwóch wielkości fizycznych? Omów tę funkcję i narysuj jej wykres. 8. Załóżmy, że masz do dyspozycji kilka walców wykonanych z aluminium (glin), o podanych masach m i objętościach V. Mógłbyś zapisać te dane w formie tabeli podobnej do Tabeli oraz zbudować na niej konstrukcję teoretyczną analogiczną do przedstawionej na wykładzie. Przeprowadź ją. W ten sposób skonstruujesz m.in. funkcję: m f ( V ) a V. Określ czym jest stała a w tej funkcji i jaka jest jej jednostka w układzie SI? 31

32 7.2. Proporcjonalność odwrotna Dysponujemy zestawem 5 prostokątnych płytek o różnych rozmiarach, lecz tym samym polu powierzchni. Wprowadźmy następujące oznaczenia: p podstawa, h wysokość, S pole powierzchni płytki. W tabeli zebrano dane dotyczące rozmiarów i pól powierzchni płytek (patrz Komentarz na str. 35). Tab Płytki o tym samym polu powierzchni. Płytka (prostokąt) p [cm] h [cm] S [cm 2 ] S h p S S... 32

33 Analiza danych w tabeli prowadzi do stwierdzenia, że wraz ze zwiększaniem długości podstawy płytki p zmniejsza się proporcjonalnie jej wysokość h. Na przykład płytka nr 4 ma wysokość (5 cm) czterokrotnie mniejszą niż płytka nr 2 (20 cm), odwrotnie niż odpowiednie długości podstaw (20 cm w stosunku do 5 cm). Łatwo się domyślić, że kluczową rolę odgrywa tu stałość 2 pól powierzchni płytek ( S const 100 cm ). Tego rodzaju zależność nazywana jest w matematyce proporcjonalnością odwrotną. W naszym przykładzie wysokość płytek h jest odwrotnie proporcjonalna do długości ich podstawy p. Zależność tę zapisujemy jako: h 1 p. (5) Z elementarnej geometrii wiemy, że pole powierzchni prostokąta: S h p, (6) co po przekształceniu daje: h S p. (7) Wzór (7) jest ścisłym wyrazem relacji (5). Biorąc pod uwagę fakt, że h i p zmieniają swoje wartości, zaś S ma wartość stałą wzór (7) może być traktowany jako wyrażenie funkcyjne (funkcja). Funkcja tego typu nazywa się w matematyce hiperbolą równoosiową (szczególna postać hiperboli): 33

34 a y y ( x ) x, (8) x zmienna niezależna, y zmienna zależna, a = const dowolna stała (różna od 0). Z powyższych rozważań wynika, że zależność proporcjonalności odwrotnej zachodzącej w omawianym przykładzie między wysokością h a długością podstawy prostokątów p, zapisana wzorem (7) jest funkcją typu (8), w której: a = S = const, p pełni rolę zmiennej x, zaś h rolę zmiennej y. h [cm] p [cm] Rys Prostokąty o tej samej powierzchni: zależność wysokości od długości podstawy (hiperbola równoosiowa). Funkcję tę narysowano linią ciągłą na Rys będącym wykresem danych z tabeli (czarne punkty). 34

35 Uwaga Zauważmy, że w równaniu (8) oraz odpowiadających mu równaniach (6) i (7) i w relacji (5) występuje symetria odnośnie do zamiany x y i p h. Oznacza to, że jeśli y 1 x to x 1 y. 1 Podsumowanie Dwie wielkości fizyczne (np. x i y) mogą być w relacji proporcjonalności odwrotnej mówimy wtedy, że są do siebie odwrotnie proporcjonalne a zapisujemy symbolicznie wyrażeniami: y 1 x lub x 1 y. Jeśli znana jest dokładna postać związku łączącego obie wielkości, możemy te wyrażenia zastąpić równaniami z użyciem funkcji hiperboli równoosiowej, np. y y ( x ) a x, gdzie a = const. Komentarz W rozdziale 7.1, w którym wprowadziliśmy pojęcie proporcjonalności prostej, uczyniliśmy rozróżnienie między podejściami: fizycznym i matematycznym (patrz str ). Tamte uwagi mają uniwersalne zastosowanie. W szczególności, dotyczą również tego rozdziału, z wielkościami p, h i S traktowanymi jako wielkości fizyczne (tj. podlegające pomiarom) i wnioskami jako wnioskami z pomiarów. (Patrz Pytania i problemy, pkt. 2.) 1 Podobnie: jeśli y x to x y. 35

36 8. Kinematyka Kinematyka jest to część mechaniki działu fizyki dotyczącego ruchu obiektów fizycznych w przestrzeni (ruch mechaniczny). Kinematyka zajmuje się opisem ruchu obiektów, bez analizy przyczyn ruchu (przedmiot innego działu mechaniki dynamiki). Podział ruchów Ruchy postępowe Wszystkie punkty obiektu fizycznego 2 poruszają się po takich samych liniach krzywych (tzw. torach ruchu) równoległych do siebie. Drogi s przebywane (wykonywane) przez punkty obiektu wzdłuż swych torów są jednakowe. s s s 2 W fizyce często mówi się o ciałach fizycznych lub po prostu ciałach. 36

37 Na powyższym rysunku trzy zaznaczone punkty obiektu (tutaj jest nim walec) przebyły w danym czasie takie same (co do długości i kształtu) łuki s krzywych torów. Prosta łącząca te punkty (linia przerywana) przesunęła się równolegle do nowego położenia. W szczególnym przypadku, gdy tory punktów obiektu są liniami prostymi mamy do czynienia z ruchem postępowym prostoliniowym, w innym przypadku ruchem postępowym krzywoliniowym. Ruchy obrotowe Różne punkty obiektu poruszają się po różnych liniach krzywych okręgach. Okręgi te mają środki leżące na jednej linii prostej, rozciągniętej wzdłuż punktów nie biorących udziału w ruchu; prosta ta nazywa się osią obrotu, Drogi przebywane przez punkty obiektu są różne. S S oś obrotu 37

38 Np. punkty A i B leżące na górnej powierzchni walca poruszają się po różnych torach: A B Tory i drogi przebywane przez punkty A i B są różne ( S > s). Mimo to jest coś wspólnego w ich ruchu. Co to jest? (patrz następne rozdziały). Uwaga Oś obrotu nie musi leżeć w obszarze obiektu, może znajdować się poza nim Opis ruchu pojęcia podstawowe Punkt materialny S S Dla opisu ruchu postępowego obiektu możemy, w pewnych sytuacjach, wybrać jeden z punktów obiektu (zwykle jest to tzw. środek masy lub w uproszczeniu środek geometryczny obiektu) i umieścić w nim całą jego masę. Taki obiekt nazywamy punktem materialnym. Punkt materialny (p.m.) jest to model obiektu fizycznego, w którym można w opisie jego ruchu zaniedbać rozmiary obiektu. W modelu fizycznym p.m. punkt (pojęcie matematyczne) posiada masę. 38

39 Przykłady Ziemia ( d km) w ruchu po orbicie wokół Z Słońca ( D 150 mln km) jest z bardzo dobrym o przybliżeniem punktem materialnym. Statek kosmiczny Space Shuttle, może być w pewnych zagadnieniach (np. obliczanie toru ruchu w przestrzeni kosmicznej) uważany za punkt materialny; w innych nie może. Źródło: NASA Ziemia w ruchu dookoła własnej osi nie może być przyjęta za punkt materialny. Tor ruchu obiektu Jest to krzywa położona w przestrzeni lub w płaszczyźnie, wzdłuż której porusza się obiekt (jego środek masy). Wyznaczenie tej krzywej jest głównym celem mechaniki (ściślej dynamiki). 39

40 Układ współrzędnych Do opisu toru ruchu użyteczny jest zestaw osi liczbowych xyz przecinających się pod kątem prostym, ukierunkowanych (posiadadających określony kierunek i zwrot), czyli tzw. (prostokątny) kartezjański układ współrzędnych. W mechanice układ współrzędnych umożliwia m.in. wyznaczenie położenia obiektu w przestrzeni (układ współrzędnych o 3 osiach), na płaszczyźnie (2 osie) lub wzdłuż prostej (1 oś). Należy zauważyć, że liczby odkładane na osiach liczbowych mają swój znak: dodatni (+), jeśli znajdują się na półprostej zaczynającej się w punkcie O, rozciągniętej w kierunku zwrotu osi lub ujemny (-) na drugiej półprostej. Nie ma uprzywilejowanych układów współrzędnych wybór układu jest całkowicie dowolny. Zależy jedynie od wygody opisu ruchu (m.in. uproszczenia obliczeń toru ruchu obiektu fizycznego). z O r 1 1 r 2 r 2 y x Rys Układ współrzędnych opisu toru ruchu punktu materialnego. 40

41 Na rysunku powyżej wektory r 1 i r 2 oznaczają położenia p.m. odpowiednio w chwilach t 1 i t 2 ( t 2 > t 1 ). Ogólnie, funkcja : r r () t (9) nazywa się równaniem ruchu p.m., a jej wyznaczenie jest równoważne wyznaczeniu toru ruchu obiektu. Przemieszczenie p.m. (wektor) pojawiło się po raz pierwszy w rozdz. 6, str. 18 jest w ogólnym przypadku zdefiniowane jako: r r r. (10) 2 1 Przemieszczenie nastąpiło w czasie: t t t. 2 1 Z wektorów przemieszczeń można otrzymać wektor prędkości średniej p.m. 3 na odcinku toru wyznaczonym przez punkty 1 i 2 : v s r r r 2 1. t t t 2 1 (11) 8.2. Ruch prostoliniowy Do opisu tego ruchu naturalnym będzie (kierując się uwagą na str. 40), wybór układu współrzędnych z jedną osią liczbową x skierowaną wzdłuż ustalonego kierunku ruchu. Do ustalenia pozostaje wtedy jeszcze: 3 Por. rozdz. 6.1, str. 22/23 41

42 zwrot osi x (strzałka osi liczbowej): zgodny ze zwrotem ruchu lub przeciwny do tego zwrotu; i tu wybór jest dowolny, ale naturalnym będzie zwrot zgodny ze zwrotem prędkości ruchu (patrz rysunek poniżej), punkt 0 : dowolny; wybór jak na rysunku, skala: dowolna; wybór jak na rysunku. x x 1 x [km] Położenie Rys x w chwili t, oraz x w chwili t Ogólnie: x x () t Przemieszczenie x x x w czasie t t t Prędkość średnia v s x. t Przy takim wyborze kierunku osi liczbowej x wektory x, x oraz x na Rys można traktować jak skalary 1 2 z odpowiednimi znakami. Przy takim wyborze zwrotu osi 42

43 liczbowej wartości tych skalarów wynoszą odpowiednio: +5, +7,5 i +2,5 km. Komentarz Przy innym wyborze kierunku i zwrotu osi wartości te byłyby inne (w tym inne co do znaku) patrz Pytania i problemy, pkt Ruch prostoliniowy jednostajny Zajmiemy się teraz przebiegiem ruchu prostoliniowego. Załóżmy, że obiekt fizyczny znajduje się w chwili rozpoczęcia badań ( t t 0) w początku osi liczbowej 0 ( x x 0 0). Mierzymy położenia obiektu x dla kolejnych chwil t. Otrzymujemy następującą tabelę i odpowiadający jej wykres (czarne punkty): Tab Położenie w ruchu prostoliniowym jednostajnym dla kolejnych chwil. Czas, t [h] Położenie, x [km] 0 0 0,50 5,0 0,75 7,5 1,00 10,0 1,25 12,5 43

44 Położenie, r [ x km [km] ] Czas, t [ t h [h] ] Rys Położenie w ruchu prostoliniowym jednostajnym w funkcji czasu. Na podstawie tych danych pomiarowych można obliczyć nowe kinematyczne wielkości fizyczne i zbudować z nich kolejną tabelę oraz wykres: Tab Przemieszczenie i prędkość w ruchu prostoliniowym jednostajnym. Czas, t [h] Przyrost czasu, t [h] Przemieszczenie, x [km] Prędkość średnia, v [km/h] s 0,50 0,50 5,0 10 0,75 0,25 2,5 10 1,00 0,25 2,5 10 1,25 0,25 2,

45 Prędkość średnia Uwaga Słuchacze proszeni są o samodzielne skonstruowanie tabeli 8.3.2, na podstawie danych z tabeli i poznanych poprzednio wzorów na przesunięcie i prędkość średnią. vs [km/h] V S = 10 km/h = const Czas, t [h] Rys Prędkość w ruchu prostoliniowym jednostajnym w funkcji czasu. Powtórzmy Rys jest oparty na tych samych danych pomiarowych co Rys (ta sama informacja dostępna), stąd Wniosek Zawarta w Rys informacja v 10 km/h const s powinna być już zawarta w Rys Gdzie się ona znajduje? 45

46 Pytania i problemy 1. Na przykładzie płytek prostokątnych omawianych w tym wykładzie ułóż proporcję analogiczną do proporcji prostej z rozdz. 7.1 (wzór (4), str. 28), obowiązującą dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych. WSKAZÓWKA: wyjdź z podstawowej zależności w tym przykładzie: h p S const. 2. Potraktuj problem na stronach 32-35/36 fizycznie, nie tylko matematycznie. Załóż, że wielkości p i h w Tab otrzymywane są w wyniku pomiarów. Do tak otrzymanych wyników będziesz mógł dopasować metodami matematycznymi hiperbolę (wzór (8)). Co otrzymasz w wyniku tego dopasowania? 3. Jakim ruchem poruszają się osoby w tzw. diabelskim młynie (młyńskim kole), znanym z wesołych miasteczek? mestamp =

47 4. Korzystając z zasady dodawania dwóch wektorów wykaż graficznie, że wektory: r 1, r 2, r przedstawione na rysunku spełniają wzór (10). 5. Opierając się na określeniu układu współrzędnych (por. Rys str. 40) wskaż, gdzie można wybrać najbardziej wygodny ( naturalny ) początek układu współrzędnych dla wektorów pokazanych na Rys. 6.1 str. 18. Co możesz powiedzieć o kierunkach jego osi? 6. Satelita ziemski (możemy go przyjąć za punkt materialny) porusza się ruchem jednostajnym po kołowej orbicie wokół Ziemi. Wybierz układ współrzędnych dogodny dla opisu tego ruchu i pokaż na odpowiednim rysunku: wektor położenia satelity w wybranej chwili t, wektory położenia i przemieszczenia satelity w wybranych chwilach t 1 i t 2, wektor prędkości średniej v s satelity w odstępie czasu t t t. 2 1 Ile wynosi w tym układzie wektor prędkości średniej satelity w odstępie czasu odpowiadającym pełnemu obiegowi wokół Ziemi? 7. Dokonaj zmian układu współrzędnych (oś liczbowa x) przyjętego na Rys : zachowaj kierunek osi liczbowej, zmień jej zwrot na przeciwny, 47

48 ustal inaczej punkt 0 (twoja decyzja), ustal inaczej skalę (twoja decyzja). W tym nowym układzie pokaż te same (to znaczy mające ten sam co poprzednio kierunek, zwrot i wartość) wektory x oraz x

49 8.3. Ruch prostoliniowy jednostajny (cd.) Gdzie na rysunku ukryta jest informacja o prędkości średniej v s? Najpierw... Jak z danych przedstawionych na osiach wykresu otrzymać wielkość fizyczną o wymiarze prędkości? Odpowiedź: przez podzielenie współrzędnych: x (rzędnej) i t (odciętej) dowolnego punktu pomiarowego. Przykładowo... x 10 km km dla ostatniego punktu pomiarowego: 10 t 1 h h. Podobnie jest dla innych punktów pomiarowych i punktów linii prostej w każdym przypadku otrzymujemy tę samą liczbę 10 km/h. Linia prosta przedstawiona na rys jest poznaną poprzednio funkcją liniową (wzór (2) str. 26), którą w oznaczeniach tego rysunku można zapisać jako x a t, zaś w zapisie fizycznym: x x () t a t. Tak więc: matematycznie: stała a x t tzw. współczynnik proporcjonalności prostej (często określany jako współczynnik nachylenia do osi odciętych, tu: osi t ); fizycznie : a v (prędkość średnia) obiektu. s Wartość v s jest w ruchu jednostajnym stała i równa prędkości tego ruchu v const (Rys ). vs 49

50 Prędkość ruchu prostoliniowego jednostajnego v v ( t ) const. (12) Z przedstawionych powyżej rozważań otrzymujemy Równanie ruchu prostoliniowego jednostajnego x x () t v t, (13) gdzie: v const prędkość ruchu jednostajnego Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony W przykładzie w rozdz. 8.3 prędkość początkowa ruchu ( v 0 v(0) prędkość w chwili t 0 0) była większa od 0 i utrzymywała w ruchu swoją wartość v const v. 0 Inaczej... tamte analizy rozpoczęliśmy w momencie, gdy obiekt był już w ruchu z prędkością v 0. Teraz zajmiemy się ruchem, w którym: prędkość rozpoczyna się od 0 ( v 0 0) i rośnie, wzrost prędkości jest jednostajny (to znaczy przebiega stale w tym samym tempie ). Przyspieszenie Intuicyjnie, tempem zmiany prędkości ciała może być stosunek zmiany prędkości do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła: v t. 50

51 W naszych oznaczeniach i przy przyjętych wartościach v i t 0 0 jednostajność wzrostu prędkości oznacza: 0 0 a v v v v t t t t 0 0 const. (14) Wielkość a nazywa się przyspieszeniem w ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym. Uwaga! Kolizja oznaczeń: a we wzorze (14) i następnych to nie to samo a co w poprzednich rozważaniach dotyczących funkcji liniowej! Jaka jest jednostka przyspieszenia? m [ v ] s m [ a]. 2 [ t] s s Przyspieszenie jest wielkością kinematyczną, która jak zobaczymy - ma głębokie fizyczne znaczenie w dynamice. Komentarz Jedną z bardzo znanych w fizyce liczb jest tzw. przyspieszenie ziemskie normalne : (patrz dalsze wykłady). g 9, ,81 m s Prędkość ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego Przekształcając wzór (14) otrzymujemy formułę na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym: 2 51

52 gdzie: v v () t a t. (15) a const przyspieszenie ruchu jednostajnie przyspieszonego. Formuła (15) nazywa się popularnie wzorem na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej ( v 0 0). Równanie ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego W ruchu jednostajnym mieliśmy w tym miejscu: x v t (wzór (13)). Tutaj nie możemy go zastosować bo prędkość zmienia się w czasie ruchu. Możemy jednak zastosować wzór: x v t. (16) s Ile wynosi prędkość średnia v s w naszym ruchu, w przedziale czasu od 0 do t? Intuicyjna odpowiedź: v s v v v (założyliśmy, że 0 0) v. (17) Podstawiając formuły (17) i (15) do wzoru (16) otrzymujemy po prostych przekształceniach: 2 at x x () t. (18) 2 Popularnie, jest to wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej ( v 0 0). 52

53 8.5. Spadanie swobodne obiektów fizycznych Jest to najbardziej znany przykład ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego. Chodzi o... ruch w tzw. polu grawitacyjnym Ziemi. Od czasów Galileusza (Galileo Galilei, XVII w., Włochy) i Newtona (Izaak Newton, XVIII w., Anglia) wiemy, że: w próżni wszystkie ciała fizyczne spadają z tym samym przyspieszeniem. Komentarz Prawidłowość tę zaobserwował Galileusza, a Newton wyjaśnił dlaczego tak się dzieje. W pobliżu Ziemi przyspieszenie spadania ciał fizycznych wynosi 2 g 9,81 m s. Teoria grawitacji Newtona wyprowadza g z innych, bardziej fundamentalnych zależności. To wszystko będzie dopiero w dynamice, na razie potraktujmy spadanie swobodne czysto kinematycznie... Z pewnej wysokości puszczamy obiekt z prędkością początkową v 0 0 (spadanie swobodne). Na podstawie wzorów (15) i (18) obliczamy, że po czasie spadania t: 53

54 prędkość spadania obiektu: v g t, droga przebyta podczas spadania: 2 g t x. 2 Obliczenia czasu spadania swobodnego t obiektu z wysokości h i prędkości tego obiektu osiągniętej przy ziemi v : (19) Po podstawieniu x h do drugiego ze wzorów (19) otrzymujemy: 2 g t h h g t 2 2 h t. g Ostatecznie, czas spadania swobodnego obiektu: 2 h t. (20) g Obliczony czas spadania podstawiamy do pierwszego ze wzorów (19): 2 h 2 h 2 h v g t g g g g g g 2 2. Ostatecznie, prędkość obiektu osiągnięta przy ziemi: v 2 h g. (21) 54

55 8.6. Ruch jednostajny punktu materialnego po okręgu Zauważmy, że okrąg jest specjalnym, bardzo regularnym rodzajem linii krzywej ( krzywej ). Wprowadźmy podstawowe wielkości geometryczne i kinematyczne dla ruchu punktu materialnego (p.m.) po okręgu: r promień okręgu, T czas pełnego obiegu okręgu (okres obrotu), ł długość łuku okręgu zakreślonego w czasie t, Ł obwód okręgu, α kąt zakreślony przez p.m. w czasie t. ł α r Ł Rys Ruch punktu materialnego po okręgu. Prędkość liniowa Ruch jest jednostajny, zatem prędkość p.m. na okręgu: 55

56 ł Ł (obwód okręgu) 2 r v const. (22) t T (okres obrotu) T Jest to tzw. prędkość liniowa punktu materialnego na okręgu. Kąt α zaznaczony na rysunku wygodnie jest wyrażać nie w stopniach kątowych ( 0 ) a inaczej. Definicja: α ł. (23) r Mówimy wtedy o kącie w mierze łukowej. Jaki jest wymiar tak zdefiniowanego kąta? [ α ] [ ł ] m 1. [ r ] m Mówimy... kąt w mierze łukowej jest wielkością bezwymiarową. Ale ta 1 ma swoją nazwę! Nazywa się radianem (rad). 1 radian (rad) jest to kąt wyznaczony łukiem o długości 1 m w okręgu o promieniu 1 m. Ile wynosi w mierze łukowej kąt pełny (360 0 )? P Ł (obwód okręgu) 2 r 2 [rad]. (24) r (promień okręgu) r 56

57 Prędkość kątowa We wzorze (22) zapisaliśmy matematycznie dobrze nam znany dla ruchu jednostajnego zwrot: prędkość = przebyta droga podzielona przez czas. Co otrzymamy, jeśli zwrot przebyta droga zastąpimy zwrotem. zakreślony kąt? Jaką prędkość otrzymamy w ten sposób? α P (kąt pełny) 2 t T (okres obrotu) T. (25) Jest to tzw. prędkość kątowa punktu materialnego na okręgu. Jaki jest wymiar prędkości kątowej? ω [ ] α [ ] rad 1 [ t ] s s s Obliczenia elementarne (ćwiczenia) 9.1. Zamiana jednostek wielkości fizycznych a) Prędkość obiektu wynosi 100km h. Wyraź ją w m/s. 1) Potraktuj liczbę z jej mianem jak iloczyn: km km h h 57

58 2) Przekształć najpierw miano: km 1000 m m 0,278 h 3600 s s 3) Pomnóż liczbę przez przekształcone miano: km m m ,278 27,8. h s s b) Gęstość wody w tzw. warunkach normalnych, wyrażona w dawnym układzie jednostek CGS wynosi 0,99984 g cm. Wyraź tę wielkość w jednostkach układu SI g 10 kg kg kg cm (10 m) 10 m 10 m kg kg kg Zatem: m m m 3 3 0, g/cm 0, , kg m kg m c) Wyraź czas podany jako 2 h 25 min 12s w sekundach (s). 2 h 25 min 12 s 2 h 25 min 12 s 2 (60 min) 25 (60 s) 12 s 58

59 2 [60 (60 s)] 1500 s 12 s 7200 s 1512 s 8712 s. d) Samochód porusza się na autostradzie ze stałą prędkością v = 100 km/h. Oblicz drogę, którą przebędzie w czasie t = 2 h 25 min 12 s. ROZWIĄZANIE 1 prędkość, v : m/s, czas, t : s droga, S : m (km) m S v t 27, s m 242 km s ROZWIĄZANIE 2 prędkość, v : km/h, czas, t : h droga, S : km 1 1 t 2 h 25 min 12 s 2 h 25 h 12 h ,42 h km S v t 100 2, 42 h 242 km. h e) Wyraź w radianach wartość kąta α = ' 45''. α = , Proporcja: 59

60 rad 57, x rad x 57, [ x ] 1 1 rad 1 rad Kątowi ' 45'' równoważny jest kąt 1 rad Rozwiązywanie zadań w fizyce (pierwsze kroki) Na podstawie Z. Kamiński, W. Kamiński Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, WNT, Warszawa, 2013, zad Z samolotu odrzutowego lecącego z prędkością 720 km/h została odpalona (w kierunku lotu) rakieta, która po upływie 10 s dotarła do celu znajdującego się w odległości 3,5 km. Oblicz przyspieszenie jakiego doznaje rakieta oraz jej prędkość w chwili dotarcia do celu. ROZWIĄZANIE Dane: Szukane: v 720 km/h 0 a - przyspieszenie rakiety, t 10 s v - prędkość rakiety w 3,5 km S. dotarcia do celu. 60

61 Założenia: Ruch rakiety jest jednostajnie przyspieszony, wzdłuż linii prostej. Tzw. obraz fizyczny zagadnienia: ruch jednostajnie przyspieszony z prędkością początkową v 0 0; równanie ruchu i równanie na prędkość w takim ruchu: patrz Pytania i problemy pkt. 3, równania (15a) i (18a). Rozwiązanie: Najpierw... Wyraź dane zadania w jednostkach układu SI: 3 10 v 720 km/h 720 m/s 200 m/s S 3,5 km 3500 m. Kolejno... Użyj formuł, które mają tutaj zastosowanie: 1) 2 2 a t a t S v t S v t (S -v t) 0 a t 2 ( S v t) t a = 0 2 t. 2 ( S v t) 0 2) v v a t v v t 0 2 S v = - v. 0 t 0 2 t 61

62 3) Dokonaj przekształceń mian, aby sprawdzić poprawność wzorów (tzw. analiza wymiarów): [ a] m 1 (m [2] ([ S ] [ v ] [ t ]) 0 s 2 [] t s [2] [ S] 1 m m m [ v] [ v ]. 0 [ t] s s s s ) m, s 2 2 4) Wstaw liczby (dopiero teraz!): a v 2 ( , 0) m 50, s m s Pytania i problemy 1. Przeczytaj raz jeszcze rozdział 8.4. Co oznacza fizycznie przysłówek jednostajnie w jego tytule i w tytułach podrozdziałów? Czym byłby ruch niejednostajnie przyspieszony? 2. Podaj wzory na prędkość i drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym punktu materialnego przy v W rozdziale 8.4 zwróć uwagę na linię rozumowania prowadzącą od definicji przyspieszenia (wzór 14), poprzez formułę na prędkość (wzór 15) aż po formułę na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym (wzór 18). 62

63 Przejdź ponownie tę samą drogę, tym razem jednak zakładając, że obiekt zaczyna swój ruch przyspieszony od prędkości początkowej v 0, która nie jest równa 0. Tak postępując wyznaczysz wzory na prędkość i drogę (równanie ruchu) w ruchu jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową v 0 0: v v ( t ) v a t (15a) 0 2 a t x x ( t ) v t. (18a) Przeczytaj ponownie tekst rozdziału 8.5. Jakie założenie fizyczne towarzyszy wzorom (19), a w konsekwencji także wzorom (20) i (21)? Jak, na podane tymi wzorami wartości t i v wpływa fakt nie spełniania tego założenia w realnych warunkach spadania obiektów na Ziemi? 5. Samochód porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v 0. W pewnym momencie kierowca zaczyna zwalniać, naciskając jednostajnie pedał hamulca. Jaką postać mają w tym przypadku wzory 15a i 18a? Podaj uzasadnienie. 6. Podaj w mierze łukowej wartości kątów: 45 0, 60 0 i Na podstawie wzorów 22 i 25 podaj związek między prędkością liniową i prędkością kątową w ruchu jednostajnym po okręgu. 63

64 10. O rozwiązywaniu zadań i tworzeniu opracowań nie tylko z fizyki Struktura rozwiązania zadania obliczeniowego lub teoretycznego z fizyki Każde rozwiązanie zadania obliczeniowego lub problemu z fizyki ma podobną strukturę, to jest zestaw tematów i układ treści. 1 Innymi słowy, materiał rozwiązania (opracowanie) zawiera pewne stałe elementy i nie jest rozmieszczony przypadkowo. Dlaczego? Po co? Jest to niezbędne dla zapewnienia właściwego przebiegu rozumowania prowadzącego do wyniku, wyciągnięcia jak największej liczby wniosków fizycznych i wreszcie komunikacji z innymi osobami. Każde rozwiązanie zadania lub problemu powinno zawierać trzy główne punkty, w kolejności: I) Obraz fizyczny zadania/problemu II) Rozwiązanie III) Dyskusja rozwiązania, wnioski i komentarze. Ad I) Procedurę rozwiązania zaczynamy od przemyślenia i opisania tzw. obrazu fizycznego zjawisk i obiektów fizycznych poruszanych w zadaniu. Czym jest obraz fizyczny? Ogólnie mówiąc jest to opis, zawierający 1 Mówimy o typowych zadaniach fizycznych, szczególnie tych obliczeniowych. 64

65 odpowiedzi na pewne pytania, niezależnie od pytań postawionych wprost w zadaniu. Co to za pytania? OBRAZ FIZYCZNY Obejmuje pytania, na które trzeba sobie odpowiedzieć zanim przystąpi się do właściwego rozwiązywania zadania. Ważna jest przy tym kolejność tych pytań: 1. Jakiego zjawiska lub obiektu fizycznego dotyczy zadanie? Najczęściej nie jest to podane wprost, należy je określić i nazwać. 2. Jak w warunkach określonych w zadaniu przebiega wymienione zjawisko/zjawiska? Innymi słowy: co się dzieje lub może dziać napisać krótko o przebiegu zjawiska. 3. Jakie prawa lub zasady fizyczne opisują zjawiska fizyczne w zadaniu lub jakich zagadnień fizycznych (problemów, tematów) one dotyczą? Podać te informacje słownie. 4. Jakie wielkości fizyczne będą używane do rozwiązania zadania? Podać nazwy tych wielkości, występujące w prawach/zasadach lub zagadnieniach fizycznych w zadaniu. Wprowadzić określające je symbole. 5. Jakie są główne wzory fizyczne opisujące matematycznie wymienione prawa/zasady i zagadnienia 65

66 fizyczne. Podać je, używając wprowadzonych poprzednio symboli wielkości fizycznych. 6. Co w tych wzorach będzie dane, a czego będziemy poszukiwać (dane i szukane)? Istotną częścią obrazu fizycznego może być rysunek. Będzie on odzwierciedlał w formie graficznej niektóre elementy obrazu fizycznego poruszone w pytaniach powyżej. Np. na rysunku mogą się znaleźć, w miejscach bezpośrednio nawiązujących do opisywanych zjawisk fizycznych, symbole wielkości fizycznych występujących w zadaniu. 2 Często obraz fizyczny zadania jest prezentowany w skróconej formie. OBRAZ FIZYCZNY SKRÓCONY Konieczne jest, jak poprzednio, przemyślenie całości obrazu fizycznego. Można pominąć sam opis tych przemyśleń, o których jest mowa w punktach 1 i 2. Pozostałe punkty (3 6) są niezbędne. A więc obraz fizyczny skrócony powinien ogólnie biorąc zawierać: a. prawa, zasady lub zagadnienia fizyczne, które bezpośrednio dotyczą zadania (wymienić i skomentować), b. część dotyczącą wielkości fizycznych i ich symboli występujących w zadaniu, 2 Rysunek można pominąć, jeśli wnosiłby on niewiele nowego do obrazu fizycznego lub zadanie jest nieskomplikowane pojęciowo. 66

67 c. główne wzory fizyczne, d. dane i szukane. Może być użyteczny rysunek lub szkic obrazu fizycznego. Inne elementy obrazu fizycznego pełnego mogą znaleźć się w innych punktach opracowania, np. w tekście rozwiązania lub w uwagach i komentarzach. Ad II) W tym punkcie opracowania podajemy przebieg naszego rozumowania. Będziemy w nim używać zapisów powstałych wcześniej w obrazie fizycznym. Zapisy te należy połączyć strukturami języka naturalnego (języka polskiego) dla stworzenia czegoś na kształt opracowania z fizyki, stanowiącego rozwiązanie zadania lub problemu. Komentarz Zwróćmy uwagę, że w zaproponowanej tu strukturze opracowania pewne treści pojawiają się (są określone) wcześniej nim dojdzie do ich zastosowania. Opracowanie treści fizycznych jest bowiem całością powiązanych logicznie fragmentów. Dotyczy to nie tylko wzorów matematycznych, lecz także myśli wyrażanych w języku naturalnym. Zbudowanie takiej całości wymaga właściwego użycia języka polskiego, w postaci pełnych zdań, znaków interpunkcyjnych, typograficznych, i.in. W tym miejscu odsyłamy czytelnika do punktu 6 opracowania Zasady oceniania dla przedmiotów 67

68 Fizyka 1 i Fizyka 2, omawiającego szczegółowo wymagania dotyczące opracowania fizycznego na egzaminie. W złych opracowaniach pkt. II Rozwiązanie jest najczęściej jedynym punktem, a umieszcza się w nim wszystko, bez struktury i następstw logicznych. I wreszcie ostatni w kolejności punkt poprawnego rozwiązania zadania fizycznego. Ad III) To bardzo ważny punkt opracowania. Umieszczamy tu przede wszystkim dyskusję (analizę, ocenę) wyniku. Jeśli wynikiem zadania jest wzór fizyczny i wynikająca z niego wartość liczbowa, należy je skomentować. Np. jaka funkcja opisuje daną wielkość, jaki jest jej charakter (rosnąca, malejąca, itp.). Jak zmieniłby się wynik liczbowy wraz ze zmianą danych, itp. Bardzo cenne są wnioski wynikające z tych analiz lub skojarzeń z innymi, znanymi studentowi problemami. Czasem zdarza się, że mogą one służyć za punkt wyjścia do innego problemu Przykłady opracowań fizycznych czyli rozwiązań prostych zadań/problemów fizycznych Z. Kamiński, W. Kamiński Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne, WNT, Warszawa, zad Pocisk armatni uderzył w wał ziemny z prędkością 420 m/s i wbił się na głębokość 30 cm. Obliczyć opóźnienie 68

69 jakiego doznał pocisk oraz czas trwania jego ruchu, zakładając, że jest to ruch jednostajnie opóźniony. I) Obraz fizyczny (pełny) 1. W zadaniu mamy do czynienia ze zjawiskiem ruchu postępowego, prostoliniowego, jednostajnie przyśpieszonego. Tarcie między ziemią a poruszającym się w niej pociskiem powoduje jego hamowanie, a stąd malenie jego prędkości (ruch opóźniony). Założeniem będzie w zadaniu przyjęcie, że prędkość pocisku maleje w sposób jednostajny, czyli że jest to ruch jednostajnie opóźniony, ze stałym opóźnieniem (przyspieszenie ujemne). 2. Ruch jednostajnie opóźniony, z samego swego określenia musi posiadać prędkość początkową, skoro ma następować malenie prędkości (tak być nie musi dla ruchu jednostajnie przyspieszonego). 3. Zadanie dotyczy działu mechaniki zwanego kinematyką, który zajmuje się opisem ruchu bez uwzględnienia (czyli niezależnie od) jego przyczyn. Opis ten zawiera m.in.: tzw. równanie ruchu, czyli zależność położenia obiektu fizycznego od czasu, a także zależność prędkości obiektu od czasu. W przypadku rozpatrywanym w zadaniu chodzi o zależność współrzędnej położenia pocisku i jego prędkości wzdłuż prostej od czasu. 69

70 Rysunek: x 0 s v 0 4. Wielkości fizyczne: 0 początek układu współrzędnych, punkt toru odpowiadający czasowi t 0. x współrzędna położenia pocisku, s zasięg toru pocisku (droga pocisku do zatrzymania się), v prędkość pocisku na torze w ziemi, v prędkość początkowa pocisku, 0 t czas trwania lotu pocisku w ziemi, T czas trwania lotu pocisku w ziemi do chwili zatrzymania się a opóźnienie pocisku w ziemi ( a 0). 5. Główne (wyjściowe) wzory fizyczne: 2 a t x v t -, (1) o 2 Jest to równanie ruchu pocisku. 70

71 v v a t. (2) 0 Jest to wzór na zależność prędkości pocisku od czasu. 6. Dane: s 30 cm 0,3 m, v 0 Szukane: a oraz T. II) Rozwiązanie m 420. s Dla warunków zadania równania (1) i (2) z pkt. 5 obrazu fizycznego przyjmują postać: 2 a Т s v Т, 0 2 v a Т 0. 0 Jest to układ równań z dwiema niewiadomymi (a oraz T ). Pozostałe wielkości ( v 0 oraz s ) są dane. Rozwiązujemy ten układ. Z drugiego z równań obliczamy T: Т v 0. (3) a Równanie to podstawiamy do pierwszego z równań i dokonujemy przekształceń: 71

72 s v v a ( ) v v v a. 0 a 2 a 2 a Po kolejnych przekształceniach: s v v v 0 0 0, skąd 2 a 2 a 2 a a 2 v0. ( ) 2 s Podstawiamy równanie ( ) do równania (3) otrzymując: Т v s 2 v v s 0. ( ) Sprawdzamy wymiary otrzymanych wielkości a oraz T : [ a] m ( ) [2] [ s ] 1 m s 2 2 [ v ] 0 s m 2 [ Т ] [ s ] m [2] 1 [ v ] m 0 s. s Otrzymane wymiary wskazują, że we wzorach nie popełniliśmy błędu., 72

73 Teraz (dopiero teraz!) podstawiamy dane liczbowe: m a , 2 2 0,3 s 0,3 Т 2 1,43 ms. 420 III) Dyskusja wyników i wnioski Otrzymana wartość opóźnienia jest niezwykle duża. [Dla standardowego porównania przyspieszenie m swobodnego spadania na Ziemi g 9,81 ]. s 2 Co decyduje o tak ogromnej wartości? Wysoka prędkość pocisku (ok km/h) oraz krótka droga hamowania (i podobnie, krótki czas hamowania w ziemi). Co ma większe znaczenie? Prędkość pocisku, gdyż we wzorze na opóźnienie ( ) występuje ona w kwadracie. Tak dużych opóźnień (lub przyspieszeń) nie zniósłby żaden żywy organizm (są to tzw. przeciążenia). Wzajemne przemieszczanie się jego płynów i organów stałych doprowadziłoby natychmiast do destrukcji mechanicznej organizmu. Największe udokumentowane przyspieszenia, które przetrwał 2 człowiek wynoszą kilkadziesiąt ms. Interesujący jest problem rozwiązania zadania przez inną kolejność podstawień: 73

74 Poczynając od 5 wiersza na górze strony 72: Rozwiązujemy ten układ. Z drugiego z równań obliczamy a: а v 0. (3 ) Т i dalej podobnie jak na str. 72. Obliczenie powinno dać ten sam wynik co poprzednio, gdyż jeden i drugi sposób rozwiązania są równoważne (każda kolejność podstawień jest dozwolona). Czytelnik proszony jest o sprawdzenie, że tak właśnie będzie. Wszystko co przedstawiono w tym punkcie dotyczy dyskusji wyników i wniosków. Czytelnik przyzna, że to całkiem sporo, jak na tak proste co do obrazu fizycznego zadanie! Opracowanie studenckie (przykład) i luźne uwagi oceniającego Doświadczenie dydaktyczne wykładowcy umożliwia formułowanie UWAG OGÓLNYCH do opracowań studenckich powstających jako odpowiedzi na Pytania i problemy. Autor tych uwag ma nadzieję na zainteresowanie studentów tą sprawą, temat jest bowiem rzadko poruszany, mimo dużego znaczenia wykraczającego poza nauczanie fizyki. Jak zauważy czytelnik, te uwagi pisane są luźnym, publicystycznym stylem. Polecam. 74

75 Materiałem, a jednocześnie źródłem konkretnych przykładów były odpowiedzi na Pytania i problemy do pierwszych dwóch wykładów (rozdziały 1 5). Autor wyraża podziękowanie jednemu ze studentów WSISiZ za zgodę na udostępnienie fragmentów oryginalnych tekstów swoich opracowań jako przykładów. W dalszej części tego rozdziału wystąpią: Student oraz Recenzent/Autor wykładu. Objaśnienia kolorów i czcionek : niebieski oryginalne pytanie z odpowiedniego rozdziału wykładu ( Pytania i problemy ), brązowy oryginalny tekst odpowiedzi Studenta, zielony tekst odpowiedzi po zgrubnych zmianach wprowadzonych przez Recenzenta, Czcionka zwykła i kursywa komentarz Recenzenta do odpowiedzi Studenta. UWAGA: Zmiany wprowadzone przez Recenzenta (tekst zielony) mają jedynie charakter formalny w szczególności, nie muszą jeszcze oznaczać, że ostateczny tekst jest bez zarzutu treściowo i stylistycznie. Czasem, należałoby napisać go od nowa, biorąc pod uwagę także komentarze Recenzenta. 75

76 1. Analiza tekstu zadania Sprawą o podstawowym znaczeniu dla postępowania Studenta przystępującego do opracowania z fizyki (i nie tylko) jest zrozumienie materii pytania czy polecenia. Doświadczenie uczy, że są z tym kłopoty. Zdaniem Autora wynikają one nie tyle z rzeczywistej niezdolności Studenta do zrozumienia treści poszczególnych zdań, co ze sposobu analizy tekstów pisanych, występującego obecnie coraz częściej. Sposób ten można nazwać przeszukiwaniem tekstu pytania, na podobieństwo wyszukiwarek komputerowych (popularne googlowanie ). W takim podejściu istotną rolę odgrywają jedynie wybrane wyrazy (tagi), a konstrukcje zdaniowe wyrażające relacje, powiązania i konteksty umykają analizie. W rezultacie Student może nie zrozumieć istotnych treści przekazywanych w pytaniu, a czasem odpowiada na zupełnie inne pytanie. Odpowiednikiem tego samego procesu w percepcji Studenta podczas lektury tekstu wykładu jest wychwytywanie wybranych wyrazów (na ogół rzeczowników i kluczowych czasowników) i ograniczanie do minimum śledzenia zależności i kontekstów. Takie rozbijanie (rozkład) sformułowań języka na mniejsze jednostki leksykalne jest na ogół (często nieświadomie) przygotowaniem do łatwiejszego, mechanicznego zapamiętania pamięciowego całości (jest to rodzaj mentalnego, mechanicznego fotografowania treści). 76

77 Przykład: Pytanie: Omów na przykładach wybrane metryczne i niemetryczne jednostki miary. Odpowiedź Studenta: Metryczne jednostki miary: nanometr, mikrometr, milimetr, centymetr, decymetr, metr, kilometr. Niemetryczne jednostki miar: cal, łokieć. Komentarz Recenzenta do przykładu: W pytaniu napisano omów na przykładach, a odpowiedź dotyczy pytania: wymień przykłady. Takie sformułowanie pytania pierwotnego koncentrujące uwagę na metryczności/niemetryczności było nieprzypadkowe. Często bowiem wiąże się ją (metryczność) wyłącznie z pojęciem metra (wprowadzonym po raz pierwszy razem z metrycznością, w węższym znaczeniu, w okresie Rewolucji Francuskiej). Tymczasem metryczność oznacza w uproszczeniu: metr + dziesiętny system wielokrotności i podwielokrotności. Tej subtelności Student nie wychwycił odpowiadając na inne pytanie, zbudowane z pominięciem czasownika omów, sugerującego obszerny temat! W jego miejsce pojawiło się wymień, zachęcające do aktywności nieco mechanicznej... Prawdopodobnie, to zafiksowanie się na metrze spowodowało, że w swej odpowiedzi Student nie wyszedł poza jednostki długości, 77

78 a przecież są znane inne przykłady niemetryczności, np. dla jednostek czasu. 2. Pamiętaj: staraj się wiedzieć co mówisz, a nie mówić co (sądzisz, że) wiesz! Zjawiskiem występującym w edukacji stosunkowo często jest obciążanie odpowiedzi treściami, związanymi co prawda z pytaniem, ale nie pogłębiającymi odpowiedzi, lecz w zamiarze studenta czyniącymi ją bardziej pełną, wyczerpującą. Takie treści pochodzą często np. z leksykonów czy encyklopedii. Co złego w ich wykorzystaniu? Nic, pod warunkiem, że każdy element odpowiedzi je zawierającej jest znany studentowi z grubsza na tym samym poziomie szczegółowości. Ich użycie dowodzi wtedy szerokiej wiedzy studenta. Często jednak jest inaczej taka odpowiedź wykazuje raczej biegłość edukowanego w mechanicznym posługiwaniu się materiałami dodatkowymi, szczególnie elektronicznymi. Roboczo nazwałem to syndromem Ctrl-C Ctrl-V ( Copy Paste ). Czyli mówiąc wprost: mechanicznego, bywa że bezmyślnego przepisywania treści z różnych źródeł. Tak na przykład powstają często w szkole słynne opracowania. Przykład: Pytanie: Podaj i omów znane ci jednostki podstawowe Układu SI. Odpowiedź Studenta: 78

79 Metr (m) długość, kilogram (kg) masa, sekunda (s) czas, amper (A) natężenie prądu elektrycznego, kelwin (K), temperatura, kandela (cd) światłość (natężenie światła), mol liczność materii. Wersja poprawiona Recenzenta: Metr (m) jednostka długości, kilogram (kg) jednostka masy, sekunda (s) jednostka czasu, amper (A) jednostka natężenia prądu elektrycznego, kelwin (K) jednostka temperatury, kandela (cd) jednostka światłości (natężenie światła), mol jednostka liczności materii. Komentarz Recenzenta do przykładu: W pytaniu znalazło się sformułowanie znane ci. Nic by się nie stało, gdyby okazało się, że Student zna tylko jednostki długości i masy, ale zna je dobrze! Chwilowo wystarczy! (Zwróćmy uwagę, że np. jednostek masy nie omawialiśmy na wykładzie). Jednostkę natężenia prądu elektrycznego podaje się w każdym wykładzie z fizyki, będzie i w naszym (w przyszłym semestrze). Nie oczekiwałbym też w odpowiedzi kandeli. Jeśli już miałaby się pojawić to proszę bardzo ale z omówieniem! Gdy upewnię się, że student nie tylko ją zna, ale i rozumie (temat: fotometria ) to ocena będzie wysoka. Wniosek: pisz mało, ale na tematy, które znasz nie tylko z nazwy, czyli gdy naprawdę masz o nich coś do powiedzenia! Tylko taka wiedza ma znaczenie, a reszta to chwilowa zawartość pamięci operacyjnej... 79

80 3. Płycizny wiedzy Prawdziwym problemem współczesnej edukacji jest ciągłe poszerzanie obszarów przekazywanej wiedzy, odbywające się najczęściej kosztem spłycania treści. To ostatnie ma czasem postać beletryzowania zagadnienia, poprzez swobodny użytek z języka i luźne skojarzenia. Przykład: Pytanie: Czym jest pomiar fizyczny? Omów pomiar wielkości fizycznej długość. Odpowiedź Studenta: Pomiar fizyczny - Porównanie czegoś z czymś, mierząc długość możemy użyć tego co zawsze mamy pod ręką: np. stopy albo łokcie. Obecnie prawie wszędzie używa się systemu metrycznego (metrów) oraz w Ameryce są używane cale i stopy do pomiaru wielkości Lekko poprawiona wersja Recenzenta: Pomiar fizyczny - porównanie czegoś z czymś, mierząc długość możemy użyć tego co zawsze mamy pod ręką : np. stopy albo łokcie. Obecnie prawie wszędzie używa się systemu metrycznego (metry). W Ameryce są używane cale i stopy. Komentarz Recenzenta do przykładu: Pytanie składa się z dwóch części: pierwsza dotyczy znaczenia pojęcia pomiar fizyczny, druga wykorzystuje to 80

81 pojęcie w konkretnym przypadku wielkości fizycznej długość (patrz pkt. 1). Odpowiedź nawiązuje nieco do tego podziału, ale mamy tu bardzo luźne, niestaranne sformułowania. Co to znaczy np. czegoś z czymś? To bardzo ogólnikowe sformułowanie! A poza tym nie ma sensu fizycznego, bo fizyka (pomiar) nie zajmuje się porównywaniem np. głupoty dody z urodą elektrody... Na wykładzie podaliśmy określenie pomiaru (str. 3, tekst w ramce). Proszę je uważnie przeczytać i zwrócić uwagę jakie tu bogactwo rzeczowników... Nie przypadkiem! W fizyce staramy się być precyzyjni. Druga część pytania ma charakter otwarty: odpowiedź może być szersza lub węższa, w zależności od wiedzy studenta (patrz pkt. 2). W odpowiedzi, nie opisano jednak PROCEDURY pomiaru długości, a jedynie przykładowe JEDNOSTKI długości. Dodatkowo: co znaczy prawie wszędzie, w Ameryce? 4. Jak to czytać? czyli zadbaj o komunikację Problem nieczytelności opracowań pisemnych ma tyle lat co edukacja. Czy da się tu jeszcze powiedzieć coś oryginalnego, poza narzekaniem na bazgroły? Da się. Przede wszystkim zwróćmy uwagę, że w istocie jest to problem związany z tak modnym dziś terminem komunikacja. Pytanie wykładowcy i odpowiedź pisemna studenta to wyraz komunikacji między nimi. Przede wszystkim obaj muszą założyć, że ich komunikaty będą... odbierane. Nie mogą służyć jedynie do wyrażania siebie. Ich celem jest druga osoba i wszystko ma być temu podporządkowane! 81

82 W komunikacji korzystamy z różnych środków im bogatszy ich zestaw tym lepiej, jednak bez przesady. Przede wszystkim klasyka, czyli ustalone zasady języka (tu: języka polskiego) i jego zastosowania w określonych relacjach. Ale to dopiero początek. Aby komunikacja była skuteczna powinna używać języka specyficznego dla dziedziny, której dotyczy 3. I wreszcie, w pisemnej komunikacji skomplikowanej materii (treści), np. w fizyce, przyda się korzystanie z elementów dziedziny wiedzy zwanej typografią, a także, wcześniej, redagowanie tekstów. Przykłady: Pytanie: Wyjaśnij znaczenie i podaj przykład użycia przedrostka mega wybranej jednostki miary Odpowiedź Studenta: Mega jest prefixem oznaczającym że mnożymy jednostkę przez milion. Podstawowe użycie: megapiksel (1 milion piskeli) apraty, megahertz (milion hertzów) częstotliwość fal elektromagnetycznych. Wersja poprawiona Recenzenta: 3 Z powyższych uwag wynika, że tyle rodzajów komunikacji, ile rodzajów relacji i dziedzin, a nie, jak zdają się sądzić niektórzy, jedna esemesowa czy facebookowa ;). 82

83 Mega jest prefixem (po polsku przedrostkiem 4 ) oznaczającym, że mnożymy jednostkę przez milion. Podstawowe użycie: megapiksel (1 milion pikseli), megaherc (milion herców) częstotliwość fal elektromagnetycznych. Komentarz Recenzenta: Bardzo często nazwy pochodzenia obcego są już spolszczone. Dotyczy to szczególnie terminów fizycznych. Pytanie: Omów swoimi słowami istotę proporcjonalności prostej (proporcjonalności wprost) dwóch wielkości fizycznych. Odpowiedź Studenta: Proporcjonalność prosta (oznaczana symbolem ) jest to stały stosunek dwóch wielkości fizycznych. Np. Obwód okręgu rośnie proporcjonalnie do jego średnicy. Czyli zwiększając/zmniejszając obwód koła o jakąś wartość średnica okręgu zwiększy się/zmniejszy się o tą samą wartość i pozostanie wprost proporcjonalna do jego średnicy. Symbolicznie oznaczamy to jako O d. Wersja poprawiona Recenzenta: Proporcjonalność prosta (oznaczana symbolem ) jest to stały stosunek dwóch wielkości fizycznych. Np. obwód okręgu rośnie proporcjonalnie do jego średnicy. Czyli zwiększając/zmniejszając średnicę okręgu o jakiś czyn iż Polacy nie gęsi, iż swój język mają (M. Rej). 83

84 nik zwiększamy/zmniejszamy obwód okręgu o ten sam czynnik. Symbolicznie oznaczamy to jako O d. Komentarz Recenzenta: W fizyce i matematyce zwiększyć o liczbę a zwiększyć o czynnik to różne sprawy. W języku naturalnym niekoniecznie. Pytanie: Wskaż i uzasadnij rachunkiem, która wartość w każdej z poniższych par liczb jest większa: a) 1 ma czy 0,01 A, b) 3 mm czy 300 m, c) 1,2 kg czy mg, d) 20 MW czy 2500 kw. Odpowiedź Studenta: a) 0,01A = 0,01A b) 3 mm > 0,3 mm c) 1,2kg? g, 1,2kg < 12kg d) kW > 2500kW... a po poprawieniu: 1 ma = 1A* 10^-3 = 0,001A => 1mA < 0,01A 300 um = 300 * 10^-3mm = 0,3mm => 3mm > 300 um mg = kg * 10^-6 = 12kg => 1,2kg< mg 20MW = 20kW *10^3 = kW => 20MW > 2500kW Komentarz Recenzenta: Jak widać są poważne kłopoty z czytelnym przedstawieniem skądinąd poprawnego (!) wyniku. Recenzent, z racji 84

85 doświadczenia, doczytał się jakoś wyniku, ale co miałby zrobić np. ambitniejszy uczeń, który chciałby poznać i zrozumieć czegóż to uczy się Student na WSISiZ? A oto, jak mógłby wyglądać ten sam tekst w wersji nadającej się np. do druku, czytelnej dla przeciętnego ucznia szkoły średniej (inną sprawą jest rozumienie występujących tu pojęć): a) Pierwsza z liczb 1 ma = 0,001 A, zatem większa jest druga z liczb (0,01 A), b) Druga z liczb 300 m = mm =0,3 mm, zatem większa jest pierwsza z liczb (3 mm), c) Druga z liczb mg = kg = = 12 kg, zatem ta liczba jest większa od pierwszej z liczb (1,2 kg), d) Pierwsza z liczb 20 MW = kw = kw, zatem ta liczba jest większa od drugiej z liczb (2500 kw). Czytelnik zauważy powtarzające się konstrukcje w każdym z punktów i spyta czy to nie strata czasu i miejsca? Być może tak, ale nadrzędną sprawą jest skuteczność komunikacji a ostatecznie wspólne rozumienie spraw. 85

86 11. Dynamika Dotychczas zajmowaliśmy się ruchem bez rozważania jego przyczyn (kinematyka). Poznaliśmy różne rodzaje ruchów i pojęcia opisujące ruch. Będą one potrzebne na obecnym etapie naszych analiz w dynamice. Dynamika jest to dział mechaniki zajmujący się badaniem przyczyn ruchu obiektów. Ostatecznym celem dynamiki (wspólnie z kinematyką) jest określenie równania ruchu i toru obiektu fizycznego. Jak zawsze w przypadku nowej gałęzi fizyki, zaczniemy od zdefiniowania (określenia) jej podstawowych pojęć Oddziaływania fizyczne Z każdym zjawiskiem fizycznym związane jest jakieś oddziaływanie. Oddziaływaniem fizycznym nazywamy dowolny proces zachodzący pomiędzy dwoma lub większą liczbą obiektów fizycznych, określany przez zmianę i przekaz różnych wielkości fizycznych, w tym energii 1. Przykłady: 1) Spadanie puszczonej swobodnie piłki i utrzymywanie się Księżyca na orbicie wokół Ziemi w obu przypadkach występuje oddziaływanie grawitacyjne. 1 Wielkość fizyczna, będzie wprowadzona w dalszych wykładach. 86

87 Komentarz Powiązanie tych dwóch, tak zdawałoby się różnych, zjawisk fizycznych przez znalezienie ich wspólnej przyczyny zawdzięczamy Izaakowi Newtonowi (Anglia, koniec XVII w.) i jego prawu powszechnego ciążenia (patrz rozdz ). 2) Rozciąganie sprężyny, zgniatanie plasteliny i przyleganie kropli wody do szyby, opór przeszkody przy nacisku lub uderzeniu; także przyciąganie stalowego gwoździa do magnesu we wszystkich przypadkach oddziaływanie elektromagnetyczne. Uwaga Są jeszcze dwa inne rodzaje oddziaływań, należące wraz z wymienionymi do tzw. oddziaływań fundamentalnych: oddziaływanie silne i oddziaływanie słabe (to ostatnie łączone jest wraz z oddziaływaniem elektromagnetycznym w tzw. oddziaływania elektrosłabe). Zachodzą one na bardzo małych odległościach, a więc wyłącznie pomiędzy obiektami świata subjądrowego (w jądrze atomowym i pomiędzy cząstki elementarnymi). Więcej o oddziaływaniach Oddziaływanie jest określane przez swoje skutki ( jest tym, co powoduje ). Mogą to być: skutki mechaniczne, np. zmiana ruchu obiektu czy też jego odkształcenie, 87

88 skutki niemechaniczne, np. powstawanie nowych cząsteczek chemicznych czy też cząstek elementarnych. Oddziaływanie jest pojęciem ogólnym; w tym sensie nie jest wielkością fizyczną. Jedną z reprezentujących je wielkości fizycznych jest siła. Siła jest wielkością fizyczną stanowiącą mechaniczną miarę oddziaływania makro obiektów fizycznych. Skutkiem (jak mówimy) działania siły jest: a) zmiana ruchu oddziałujących obiektów (jak zobaczymy, ten skutek posłuży do ścisłej definicji siły), b) pojawienie się innych sił (wzajemność oddziaływania), c) przekaz lub wymiana energii pomiędzy obiektami Bezwładność i masa Wróćmy do określenia dynamiki jako nauki badającej przyczyny ruchu. Narzuca się pierwsze pytanie: czy oddziaływanie siła jest przyczyną ruchu? Doświadczenie zdaje się potwierdzać tę sugestię. Wózek popychany siłą ręki porusza się. Brak tego działania spowoduje, że wózek zatrzyma się. Ten obrazek widział każdy z nas. Podobne doświadczenia legły u podstaw poglądu: Każdy ruch jest wywoływany przez siłę (gr. dynamis) (Arystoteles, p.n.e.) 88

89 A jednak nie... Doświadczenia i analizy włoskiego fizyka i myśliciela Galileusza doprowadziły do zakwestionowania tego poglądu. Może istnieć ruch bez działania siły sprawczej. Takim ruchem jest ruch jednostajny (Galileo Galilei, ). Tendencję materii do utrzymywania (kontynuowania) ruchu jednostajnego lub stanu spoczynku w nieobecności siły nazywamy bezwładnością, a stwierdzenie Galileusza zasadą bezwładności. Przykład: Co dzieje się w autobusie podczas jego hamowania? Mamy wówczas tendencję przewracania się do przodu. Dlaczego? Nasze ciało chce kontynuować dotychczasowy ruch (utrzymać jego prędkość), a nogi, związane z autobusem zmieniają właśnie swój ruch (prędkość nóg maleje). Podobnie, gdy autobus rusza, jesteśmy odchylani do tyłu, bo w ten sposób nasze ciało próbuje utrzymać poprzedni stan w tym wypadku jest to stan spoczynku (który jest szczególnym przypadkiem ruchu jednostajnego z prędkością v = 0). Wielu z nas zauważyło również, że niosąc masywny plecak lub trzymając w ręku takąż walizkę jesteśmy w autobusie bardziej podatni na opisane skutki bezwładności. 89

90 Miarą bezwładności jest wielkość fizyczna masa. Masa jest skalarem (cecha bycia bezwładnym nie ma wyróżnionych kierunków). Masa jest jedną z podstawowych wielkości fizycznych układu SI (patrz rozdział 3). Jednostką masy jest kilogram (1 kg). Jest to masa międzynarodowego wzorca wykonanego ze stopu platyny i irydu, w kształcie walca o średnicy równej wysokości. Popularnym punktem odniesienia dla 1 kg masy może być też 1 litr (1 l) wody destylowanej o temperaturze 4 0 C Siła Bardzo ważne pytanie... Jak, w świetle zasady bezwładności wyjaśnić przykład wózka, którego ruch wykazuje, że ewidentnie jest tam obecna siła (siła popychania wózka) a jednocześnie ruch wózka jest ruchem jednostajnym! Tak więc Arystoteles czy Galileusz?! Na wózek działają w linii ruchu dwie siły, nie jedna! Oprócz siły naszej ręki jest jeszcze, równa jej co do wartości, siła przeciwstawiająca się sile ręki. Jest nią siła tarcia kół wózka o podłoże. Siły te równoważą się, tak iż siła wypadkowa działająca na wózek jest równa zero, a wózek porusza się ruchem jednostajnym... Czyli, w istocie, mamy ruch bez siły (tu: siły wypadkowej)! A więc jednak Galileusz! 90

91 Jak, w świetle powyższego należałoby bardziej precyzyjnie sformułować zasadę bezwładności Galileusza? Może istnieć ruch bez działania wypadkowej siły sprawczej. Takim ruchem jest ruch jednostajny. Każdy Słuchacz zauważył, że w przedstawionej analizie sił działających na wózek jest mowa o równoważeniu się sił i sile wypadkowej. Co nam to przypomina? Wektory! Siła jest wektorem. Popatrzmy na przyczepioną do poziomej belki sprężynę rozciąganą przez przyłożoną do jej końca siłę (Rys ). a) b) c) d) Rys

92 Wewnątrz sprężyny występują oddziaływania elektromagnetyczne pomiędzy atomami zmuszanymi do oddalenia się od siebie. Na zewnątrz obserwujemy, że skutek działania siły zależy zarówno od jej wartości jak i kierunku działania... Jak pamiętamy z rozdziału 6 tak zachowują się wektory Zasady (prawa) dynamiki Newtona I zasada dynamiki Newtona Jest to inaczej sformułowana zasada bezwładności Galileusza: Obiekt fizyczny spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działa na niego żadna siła lub działają siły równoważące się (siła wypadkowa równa zero). Przykłady: Siły równoważące się Trzymana ręką piłka na piłkę działają dwie siły: 1) siła ciężkości, w dół (oddziaływanie grawitacyjne w układzie piłka Ziemia, patrz dalej), 2) siła reakcji, w górę (III zasada dynamiki Newtona, patrz dalej) wywierana na piłkę przez rękę. Siły te równoważą się. Dlatego piłka spoczywa. 92

93 Brak sił zewnętrznych Z tym jest trudniej. Na Ziemi jest to niemożliwe. Na wszystkie obiekty działa przynajmniej siła ciążenia. (Można ją co najwyżej zrównoważyć np. w spadającej swobodnie windzie, ale nigdy wyłączyć!). Tak samo na orbicie Ziemi ( statku kosmicznym) tu również mamy równowagę sił! Jakich? O tym dalej. Dopiero w kosmicznych odległościach od Ziemi (Słońca) w obszarach między galaktykami siły grawitacyjne (ciążenia) są bardzo małe (ale nigdy równe zero!). Misja kosmiczna Voyager Dwie sondy kosmiczne Voyager 1 i Voyager 2 wystrzelone prawie 40 lat temu (odpowiednio, wrzesień i sierpień 1977). Voyager 1 w drugiej poł opuścił Układ Słoneczny. Obecnie jest w odległości ok. 20,1 mld km od Ziemi. Dla porównania: odległość Ziemia Słońce to ok. 150 mln km; światło, a zatem i sygnały radiowe biegną od sondy ponad 18 godz.; prędkość sondy ok. 17 km/s. Ta prędkość jeszcze się zmienia, a przestanie (nigdy do końca) dopiero za kilka tysięcy (!) lat... 93

94 II zasada dynamiki Newtona Dotyczy kinematycznych skutków działania siły: Obiekt fizyczny podlegający działaniu sił o wypadkowej F porusza się ruchem przyspieszonym w kierunku działania tej siły, z przyspieszeniem a o wartości wprost proporcjonalnej do wartości siły wypadkowej F i odwrotnie proporcjonalnej do masy m obiektu. Zapis matematyczny: F a k (26) m gdzie: k współczynnik proporcjonalności. 94

95 Uwaga Czytelnik przypomni sobie temat wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalnych, z pierwszych wykładów. Zależność (26) jest jednocześnie równaniem definicyjnym dla nowej wielkości fizycznej siła. Mamy zatem dowolność przyjęcia wartości k ; przyjmujemy k = 1, a równanie zapisujemy w postaci: F m a. (26a) Komentarze: 1) Siła (F ) jest wektorem: powstaje jako iloczyn skalara (m) i wektora (a ). 2) Wymiar siły: [ m F ] [ m ] [ a ] kg. s 2 Jednostka siły o tym wymiarze nazywa się niutonem (1 N). Inaczej 1 niuton (1 N) jest to wartość siły, która obiektowi o masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1 m/s 2. Komentarz II zasadę dynamiki w oryginalnym sformułowaniu można odczytać jako stwierdzenie, że siła fizyczna działająca na obiekt może spowodować w jego ruchu przyspieszenie. 95

96 W tym sensie siła może być przyczyną ruchu, tyle że nie samego ruchu, lecz jego zmiany! I tu jest sedno rewolucji Galileusza. Odwracając zagadnienie: jeśli, obserwując nieznany ruch obiektu fizycznego zauważymy obecność przyspieszenia to znaczy, że na ten obiekt działa jakaś siła fizyczna. Otwartym pozostaje pytanie co jest źródłem tej siły. To trzeba sprawdzić oddzielnie. Przykład: Obserwujemy podczas spadku swobodnego, że spadający m obiekt porusza się z przyspieszeniem g 9,81. s 2 Wnioskujemy, że działa na niego jakaś siła równa: F m g. Izaak Newton: jest to tzw. siła ciążenia (grawitacji). Dalej: jeśli udałoby się obliczyć lewą stronę powyższego równania (F) z innych relacji (praw fizycznych), to wyjaśnilibyśmy tym samym DLACZEGO g ma taką a nie inną wartość. To właśnie zawdzięczamy Newtonowi, i jego prawu powszechnego ciążenia (patrz dalej)! III zasada dynamiki Newtona Najbardziej tajemnicza z zasad, nazywana czasem zasadą wzajemności oddziaływań. 96

97 Jeśli obiekt fizyczny 1 działa na obiekt fizyczny 2 siłą F 12 to obiekt 2 działa na obiekt 1 siłą F, która ma taką 21 samą wartość bezwzględną, lecz przeciwny zwrot: F F, gdzie F F F F F F 12 Komentarze 1) Czasem siłę F nazywa się siłą reakcji (na siłę 21 akcji F ). 12 2) Siły F i F, choć równe co do wartości, działają jednak na różne obiekty. Nie można więc powiedzieć, że obie się równoważą (jest to często występujący, szkolny błąd)! 3) Z jakimi przyspieszeniami będą poruszać się te obiekty? Ten temat będzie podjęty w rozdz

98 11.5. Siły w przyrodzie i w otoczeniu człowieka Prawo powszechnego ciążenia To prawo i sformułowane równolegle zasady dynamiki (1687) to największe osiągnięcia Izaaka Newtona i jedne z najważniejszych teorii fizyki. Newton uświadomił sobie istnienie powszechnego oddziaływania grawitacyjnego. Jego miarą jest tzw. siła ciężkości, której istnienie najprościej zauważyć na Ziemi (słynne spadające jabłko Newtona). Ale samo prawo zostało sformułowane na potrzeby astronomii dla teoretycznego wyjaśnienia (wyprowadzenia) tzw. praw Keplera ruchu planet oraz rozważań ruchu Księżyca wokół Ziemi. Wszystkie obiekty fizyczne przyciągają się wzajemnie siłą, która dla punktów materialnych (i jednorodnych kul lub kul o gęstości sferycznie symetrycznej) jest wprost proporcjonalna do ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości: F m m G 1 2, (27) 2 r gdzie: m, m masy obiektów 1 2 r odległość między obiektami, G tzw. stała grawitacji. G N m 6, , kg m kg s

99 Przyspieszenie ziemskie Rozpatrzmy obiekt fizyczny o masie m, znajdujący się przy powierzchni Ziemi (masa Ziemi M, promień Ziemi R ). Z Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia siła wzajemnego przyciągania się w układzie Ziemia obiekt, a więc także siła działająca na obiekt, zwana siłą ciężkości (ciężar) obiektu: m MZ F G R 2 Z Jednocześnie, z II zasady dynamiki: Z F m g. Otrzymujemy zatem równanie na g: Stąd: m M m g G. (28) R Z 2 Z Z 2 Z M g G (28a) R Podstawiając dane: G m ,67 10 kg s 2, 24 M 5,97 10 kg, Z 99

100 6 R 6370 km 6,37 10 m otrzymujemy: Z M g G 6, ,813. R 24 Z 11 5,97 10 m (6,37 10 ) s Z Prawo powszechnego ciążenia a zasady dynamiki Newtona Jaką treść fizyczną wyraża ten rysunek? Są tu zobrazowane jednocześnie: prawo powszechnego ciążenia i III zasada dynamiki Newtona. Pokażmy to bardziej formalnie (wprowadzając do gry również II zasadę dynamiki Newtona) Z prawa powszechnego ciążenia F m M G, R Z 2 Z oraz II i III zasad dynamiki (patrz formuły przy rysunku poniżej): 100

101 F m F M a G g m R Z 2 Z - F M Z F m a G g M R Z gdyż m M. Z, 2 Z (29) Z tych formuł widać, że przyspieszenie danego obiektu (skoczek spadochronowy lub Ziemia) jest wprost proporcjonalnie do masy obiektu-partnera (Ziemia lub skoczek)! [Zwróćmy uwagę, że podejmujemy tu problem sformułowany w komentarzu 3) na str. 97.] Podstawowy wniosek: mamy tu do czynienia nie tylko z ruchem skoczka, ale także Ziemi! W sensie dosłownym, nie względnym! Przyjmując za masę skoczka ze sprzętem m 200 kg można z równania (29) obliczyć wartość przyspieszenia jakiego doznaje Ziemia przy spadaniu skoczka: a m G 6, ,28 10 R (6,37 10 ) s Z m. 101

102 Jest to niesłychanie mała wartość, praktycznie niemożliwa do zmierzenia (oczywiście pomiar musiałby być wykonywany nie z Ziemi, lecz gdzieś z Kosmosu!) Siła tarcia Na poziomej powierzchni stołu kładziemy klocek. Zamierzając poruszyć klocek przykładamy do niego niewielką siłę F. Klocek jednak nadal spoczywa... Intuicyjnie działa siła tarcia T, przeciwna sile F, uniemożliwiająca ruch. Bardziej systematycznie jakie siły działają na klocek? T N F G Siły akcji (siły sprawcze), na klocek: 1) siła ciężkości (ciężar) klocka G, skierowana pionowo do stołu, w dół: G m g ; działa też na stół, 2) siła zewnętrzna (ręka) F, skierowana w prawo, poziomo do stołu; działa też na stół. Siły reakcji, na klocek (III zasada dynamiki Newtona): 3) siła nacisku od stołu, N G, do góry, 4) siła tarcia od stołu T F, w lewo. 102

103 Te siły równoważą się. [Można to powiedzieć, ponieważ wszystkie siły działają na ten sam obiekt klocek; por. komentarz 2) na str. 97]. Zachodzi: G N F T 0. (30) Ma miejsce tzw. równowaga statyczna klocek nie porusza się. Jeśli teraz zwiększymy siłę F, do wzrośnie odpowiadająca jej siła tarcia T, ale w pewnym momencie klocek zaczyna się poruszać ruchem jednostajnym. Oznacza to (I zasada dynamiki Newtona), że mimo zmiany wartości F i T cały czas spełnione jest równanie (30). Ten typ równowagi nazywa się równowagą dynamiczną. Dlaczego możemy poruszać się po podłożu? N G F T 103

104 Na rysunku przedstawiono układ sił wywieranych przez człowieka na podłoże podczas chodzenia i sił działających na człowieka. Czytelnik proszony jest o przeprowadzenie rozumowania analogicznego do rozumowania dla klocka na powierzchni stołu (różnica: tu siła F skierowana jest w lewo, a nie, jak dla klocka, w prawo) 2. Jak będzie się można przekonać rozumowanie to prowadzi do paradoksalnej konkluzji, iż bezpośrednią przyczyną przemieszczania się jest... tarcie! Rozwiązaniem te paradoksu jest wyjaśnienie, że siła tarcia jest tylko siłą reakcji i nie byłoby jej, gdyby nie siła F wywierana przez człowieka na podłoże. Ta jest właściwą siła sprawczą ruchu. Komentarz Łatwo przewidzieć, co by było na nieskończenie gładkiej powierzchni (siła T = 0), mimo naszych usilnych starań (siła F > 0)... Pytania i problemy 1. Astronauci znajdujący się w Międzynarodowej Stacji Kosmicznej (ISS) wykonują na pokładzie stacji różne czynności, m.in. przenoszą lub przemieszczają (popychają) towary będące, tak jak oni sami, w stanie nieważkości. Czym wyraża się w tych warunkach bezwładność obiektów. 2 Treść pkt. 8 Pytań i problemów. 104

105 2. Przeczytaj jeszcze raz uważnie rozdz. 11.1, poświęcony oddziaływaniom fizycznym. Jak sądzisz, które z wymienionych tam oddziaływań (grawitacyjne, elektromagnetyczne, silne, słabe) jest odpowiedzialne za powstawanie siły nacisku N i siły tarcia T w przykładach w rozdz Oblicz ciężar (siłę ciężkości) masy m 1 kg znajdującej się na Ziemi. KOMENTARZ: obliczona wartość siły nosiła kiedyś nazwę 1 kilogram-siła (lub kilopond ); oznaczano ją 1 kg, dla odróżnienia od 1 kilogram stosowanego od dawna dla masy. 4. Skomentuj zdanie: siły występujące w III zasadzie dynamiki Newtona są równe i przeciwnie skierowane, więc się równoważą. 5. Na podstawie rozumowania analogicznego do przedstawionego dla Ziemi na początku rozdz ( Przyspieszenie ziemskie ) oblicz przyspieszenie ciała spadającego swobodnie na Księżycu. Dane: M K. 22 7,35 10 kg, R 1738 km K 6. Kierując się wiedzą zdobytą w rozdz oblicz przyśpieszenie opadania swobodnego statku kosmicznego Małego Księcia na powierzchnię małej planety (z opowiadania Mały książę A. de Saint-Exupérego). Załóż jednakowe masy Księcia i planety przyjmując m = M = 10 kg oraz odległość wzajemną r = 10 m. Skomentuj zależność wartości obliczonego przyśpie- 105

106 szenia od podanych wielkości fizycznych. Skomentuj ruch planety. 7. Przeprowadź analizę sytuacji przedstawionej na rysunku na str. 102, ale tym razem dla stołu. 8. Przeprowadź analizę sił działających na ciało człowieka podczas chodzenia, przedstawione na rysunku na str

107 12. Statyka. Hydrostatyka Podstawowe pojęcia Statyka najstarszy dział mechaniki, zajmujący się zachowaniem obiektów (ciał) fizycznych poddanych działaniu sił, lecz pozostających w spoczynku 1. Komentarz Spoczynek obiektu fizycznego może istnieć tylko wtedy, gdy działające na obiekt siły oraz tzw. momenty sił (temat nieomawiany na wykładzie) równoważą się. Nowe pojęcia Sprężystość postaci cecha materii polegająca na przywracaniu postaci (kształtu) obiektu fizycznego po usunięciu sił powodujących jego odkształcenie. Sprężystość objętości cecha materii polegająca na przywracaniu objętości obiektu po usunięciu sił powodujących jego odkształcenie. Ciała stałe ciała (obiekty) fizyczne mające sprężystość postaci oraz sprężystość objętości. Płyny 2 mają co najwyżej jedną z wymienionych form sprężystości: ciecze sprężystość objętości, gazy nie mają żadnej formy sprężystości. 1 Nie poruszających się ruchem postępowym, ani ruchem obrotowym w danym układzie współrzędnych. 2 Płyn = ciecz lub gaz. 107

108 Wyjaśnienia Ciecze: a) nie zachowują kształtu (dopasowują się do kształtu naczynia, wypełniając jego część), czyli nie mają sprężystości postaci, a jednocześnie... b) są prawie nieściśliwe ( przeciwstawiają się próbie zmiany objętości),...czyli mają sprężystość objętości. Ciecz tworzy powierzchnię swobodną oddzielającą ją od otoczenia (na ogół od powietrza, patrz Rys. 12.1). Gazy: a) gazy, podobnie jak ciecze nie zachowują kształtu, czyli nie mają sprężystości postaci, ale w odróżnieniu od cieczy wypełniają spontanicznie całe naczynie (nie tworzą powierzchni swobodnej); jednocześnie... b) są bardzo ściśliwe nie mają sprężystości objętości. Zestawienie Ciała stałe Ciecze Płyny Gazy Sprężystość postaci Sprężystość objętości

109 Kolejne pojęcie... Hydrostatyka statyka cieczy; tutaj siły (pozostające, jak zawsze w statyce, w równowadze) działają w nieruchomych cieczach lub są wywierane przez takie ciecze na powierzchnie ciał stałych. Przykład Do foliowego woreczka wlewamy wodę. Ścianki woreczka wyginają się, co świadczy o działaniu na nie od wewnątrz sił wywieranych przez wodę: powierzchnia swobodna cieczy h F N Uwaga! Na rysunku, ze względów technicznych, siły pokazano jako rozsunięte; w rzeczywistości działają wzdłuż tej samej prostej. Rys Ciśnienie cieczy. F wartość siły wywieranej przez wodę na ściankę, N wartość siły wywieranej przez ściankę na wodę, N - (31) F (III zasada dynamiki Newtona). 109

110 Problemy (do rozważenia): 1) Siły F oraz N są skierowane prostopadle do powierzchni ścianki (stąd znak ). 2) Jaka jest natura tych sił (skąd się biorą)? 3) Siły F oraz N rosną wraz z głębokością (wniosek z doświadczenia). Wprowadzamy nowe pojęcie a jednocześnie wielkość fizyczną: ciśnienie skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca siłę wywieraną przez płyn na dowolną powierzchnię w płynie lub powierzchnię ciała stykającego się z płynem 3 : F p, (32) S gdzie: F wartość wektora siły wewnętrznej prostopadłej do powierzchni S. ciśnienie zewnętrzne ciśnienie związane z siłą zewnętrzną działającą na powierzchnię swobodną cieczy, prostopadłą do powierzchni (Rys. 12.2): p z F z, (33) S 3 Dalej, w tym rozdziale, zajmować się będziemy wyłącznie cieczami 110

111 gdzie: F wartość wektora siły zewnętrznej z wywieranej na powierzchnię S cieczy. F z S Rys Siła zewnętrzna działająca na ciecz Prawo Pascala Ciśnienie zewnętrzne p z wywierane przez siłę F z na powierzchnię S cieczy będącej w równowadze przenosi się w cieczy i jest takie samo w każdym jej punkcie. S F z p z p z F z S const Rys. 12.2a. 111

112 W szczególności, ciśnienie wywierane jest na ścianki boczne naczynia, a także na każdą powierzchnię zanurzoną w cieczy. Uwaga: strzałkami zaznaczono przykładowe kierunki działania sił związanych z ciśnieniem cieczy (zawsze do powierzchni, na które te siły działają). Założenie Prawo Pascala w przedstawionej formie obowiązuje w sytuacji, gdy siła zewnętrzna wywierana na powierzchnię swobodną jest jedyną siłą aktywną działającą na ciecz. Wiemy jednak, że na Ziemi sama ciecz, podobnie jak każde ciało fizyczne, podlega działaniu siły grawitacji (ciążenia) Q. Jak w prawie Paskala uwzględnić tę siłę? h S Q m g [ V] g [ ( S h)] g S h g gdzie: gęstość cieczy, 2 g 9.81 m/s. Rys Ciśnienie hydrostatyczne 112

113 Siłę Q, będącą ciężarem cieczy znajdującej się nad powierzchnią S można traktować jak siłę zewnętrzną działającą na tę powierzchnię, wywierającą na nią ciśnienie zewnętrzne: Q S h g p g h, (34) S S Z godnie z prawem Pascala ciśnienie to rozchodzi się w całej cieczy znajdującej się poniżej powierzchni S. Ciśnienie wywierane przez ciecz, dane wzorem (34) nazywa się ciśnieniem hydrostatycznym. Ogólne prawo Pascala Całkowite ciśnienie p panujące w cieczy na głębokości h jest równe sumie (stałego) ciśnienia zewnętrznego p z wywieranego na ciecz i (zmiennego) ciśnienia hydrostatycznego, równego na tej głębokości g h: p p g h (35) Komentarze z 1) Siła F wywierana przez wodę w przykładzie przedstawionym na Rys pochodzi od ciśnienia hydrostatycznego, czyli ostatecznie od ciężaru cieczy znajdującej się nad powierzchnią przechodzącą przez punkt działania siły. 2) Przyjrzyjmy się raz jeszcze rysunkom 12.2, 12.2a i 12.3 oraz wzorom (33 35). 113

114 W związku z tym, że siła F Z jest wektorem można by formalnie zdefiniować: F Z p, (33a) Z S... czyli uznać ciśnienie zewnętrzne za wektor. Jak jednak wynika z prawa Pascala, w cieczy taki wektor, zachowując swą wartość traci kierunkowość! W tym właśnie sensie ciśnienie nie jest wektorem a skalarem. 3) Prawo Pascala nie obowiązuje dla ciał stałych. W statyce ciał stałych za formalny odpowiednik prawa Pascala można uznać stwierdzenie: Siła wywierana na powierzchnię ciała stałego będącego w równowadze przenosi się wzdłuż kierunku swego działania na całe ciało i jest taka sama w każdym punkcie ciała. Tutaj kierunkowość działania siły jest zachowana! I nie ma potrzeby wprowadzania ciśnienia jako nowej, skalarnej wielkości fizycznej związanej z siłą. Obliczenia 1. Jednostki ciśnienia Na podstawie wzoru (33), w układzie SI jednostką ciśnienia jest wartość ciśnienia pochodzącego od siły 1 N (niuton) działającej na powierzchnię 1 m

115 Takie ciśnienie nazywa się paskalem (1 Pa): m 1 kg 1 1 N 2 kg 1 Pa = s m 1 m m s W użyciu są m.in. hektopaskale (por. prognozy pogody): 1 hpa 100 Pa. 2. Ciśnienie hydrostatyczne Mamy dwa szklane pojemniki w kształcie tzw. menzurek, o zbliżonych wysokościach lecz różnych średnicach i polach powierzchni dna (odpowiednio D i S oraz d i s). Pojemniki są wypełnione rtęcią do tej samej wysokości h. Obszary nad rtęcią są puste, pozbawione powietrza (górna część każdego pojemnika jest szczelnie, próżniowo zamknięta pokrywą): h D, S d, s Rys Naczynia z cieczą (rtęć). 115

116 Dane: h 760 mm 0,76 m, D Oblicz: 1 10 cm 10 m; d g kg 13, cm m 3 0,5 cm 5 10 m 1) Wartość ciężaru rtęci w każdym z pojemników (Q, q), 2) Ciśnienie hydrostatyczne rtęci wywierane na dno każdego z pojemników (P, p). 3) Wartość siły hydrostatycznej, związanej z ciśnienieniem hydrostatycznym na dno każdego z pojemników (F, f). Uwaga Strzałką zaznaczono wybrany kierunek i odpowiednią powierzchnię działania ciśnienia hydrostatycznego (P i p). Strzałki obrazują wektory sił pochodzących od ciśnień hydrostatycznych w wybranym kierunku (F i f ). Ad 1. dla większego z pojemników: S V M D (10 ) ,14 7, m, S h 7, , 76 5, m, 3 V , ,119 kg, Q M g 81,119 9,81 795, 78 N. 116

117 Analogicznie, dla mniejszego z pojemników: s v 5 2 1, m, 5 3 1,49 10 m, m 1 2,03 10 kg (20,3 dag) q 1,99 N. Ad 2. W obu przypadkach ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna pojemnika jest takie samo: kg m P p g h ,81 0, 76 [ m] 3 2 m s ,6 Pa 1013,216 hpa 1013 hpa. Ad 3. W każdym z przypadków siła hydrostatyczna związana z ciśnieniem hydrostatycznym, działająca na dno jest inna, gdyż inne są pola powierzchni dna każdego z pojemników. Dla większego z pojemników: F 3 2 P S ,6 7, [Pa m ] 795,78 N Dla mniejszego z pojemników, odpowiednio: f 5 p s ,6 1, N 1,99 N. 117

118 Komentarze 1) Nie dziwi nas, że otrzymane wartości sił hydrostatycznych F i f, działających na dna pojemników są odpowiednio równe wartościom ciężarów Q i q, gdyż jak pamiętamy źródłem ciśnienia hydrostatycznego jest działanie siły ciężkości! 2) W większym z pojemników: masa M 80 kg, związany z nią ciężar rtęci Q 800 N oraz równa mu wartość siły działającej na dno F 800 N to pokaźne wielkości! Nieznaczne podniesienie takiego pojemnika (samo w sobie bardzo trudne!) spowoduje, że siła działająca na dno nie będzie zrównoważona przez reakcję stołu. Jakie mogą być tego skutki? Dno dużego pojemnika może ulec oderwaniu. Skutków tych najprawdopodobniej nie będzie dla mniejszego z pojemników Naczynia połączone h 118

119 Na pojemnikach z rtęcią użytych w przedstawionych powyżej obliczeniach przeprowadzimy teraz serię doświadczeń. Najpierw połączymy pojemniki rurką, tuż przy dnie, w sposób przedstawiony na rysunku powyżej. Okaże się, że takie połączenie obu pojemników niczego nie zmienia w przedstawionym obrazie fizycznym (nie następują żadne ruchy cieczy pomiędzy pojemnikami)! Co więcej, mogą być w ten sposób podłączane kolejne pojemniki o dowolnym kształcie, byle tylko były wypełnione rtęcią do tej samej wysokości! 4 Poziom cieczy w naczyniach połączonych jest zawsze taki sam, niezależnie od kształtu połączonych naczyń. Dlaczego? W obu naczyniach (i w każdym następnym) ciśnienie hydrostatyczne cieczy na tym samym poziomie nad wspólnym poziomem dna pojemników jest takie samo. Zgodnie bowiem ze wzorem (35) zależy ono wyłącznie od głębokości h (nie zależy m.in. od kształtu naczynia) Naczynia połączone prasa hydrauliczna Wykonujemy kolejne doświadczenie z cieczą (rtęć). (Rozmiary naczyń jak w poprzednich przykładach) 4 Niezbędne może okazać się jedynie niewielkie uzupełnienie ilości rtęci, dla wypełnienia rurek łączących. 119

120 Usuwamy pokrywy naczyń, a na poziomie powierzchni swobodnych cieczy w każdym z naczyń wstawiamy szczelne, nieważkie (pozbawione ciężaru idealizacja) tłoczki, jak w strzykawkach medycznych... Komentarz Operację zdejmowania pokryw i wstawiania tłoczków wykonujemy w warunkach próżniowych, tak iż obszary nad powierzchniami swobodnymi cały czas wypełnia próżnia, a ostatecznie część tych obszarów zajęta zostaje przez tłoczki. f Z h F Z p Z Oddziałujemy teraz siłą zewnętrzną f Z na mniejszy z tłoczków. Wytwarza to w cieczy w prawym naczyniu ciśnienie zewnętrzne: p Z f Z. s 120

121 Zgodnie z prawem Pascala ciśnienie to rozchodzi się równomiernie w całej cieczy (w obu naczyniach połączonych!). Działa więc także w kierunku do góry na większy z tłoczków. Ile wynosi związana z nim wartość siły F Z? Z prawa Paskala: f Z s F Z p P. Z Z Po przekształceniu: F f Z Z S S, co czyta się: siły wywierane na tłoczki s są wprost proporcjonalne do ich powierzchni. Z danych tego przykładu: S s 7, m 3 2 1, m , zatem F 400 f! Z Z Widać, że użycie naczyń połączonych może dać znaczny zysk na sile! Uwaga Krytyczny Słuchacz zauważy, że w przedstawionej analizie nie uwzględniliśmy ciśnienia hydrostatycznego cieczy. Czy to błąd? (patrz Pytania i problemy, pkt. 5). 121

122 12.5. Naczynia połączone ciśnienie aerostatyczne - barometr W kolejnym doświadczeniu ciągle z wykorzystaniem naszych naczyń połączonych (!) usuwamy tłoczki i przywracamy pokrywy naczyń i ich próżniowe uszczelnienie. Tym razem jednak, w pokrywie większego z naczyń umieszczamy dodatkowe dwa zawory próżniowe (nie pokazane na rysunku), przez które będziemy: a) stopniowo usuwać ciecz (rtęć) z większego z naczyń [zawór nr 1] przy jednoczesnym... b) stopniowym doprowadzaniu powietrza do obszaru nad powierzchnią swobodną cieczy w tym naczyniu [zawór nr 2]. Jeśli tempo obu procesów będzie odpowiednio dobrane to zauważymy, że w prawym (mniejszym) naczyniu NIC SIĘ NIE DZIEJE! Nawet po całkowitym usunięciu rtęci z większego z pojemników i pełnym otwarciu zaworu nr 2 (co jest równoważne ponownemu otwarciu pokrywy dużego naczynia) poziom rtęci w prawym naczyniu nie zmieni się i będzie ciągle wynosić ok. 760 mm! Dlaczego? Wyjaśnienie Ciśnienie hydrostatyczne rtęci przy dnie lewego, większego naczynia początkowo równe ciśnieniu hydrosta- 122

123 tycznemu w prawym (mniejszym) naczyniu maleje w miarę opróżniania tego naczynia z rtęci, ale jest zastępowane przez dodatkowe ciśnienie zewnętrzne pochodzące od ciśnienie napuszczanego powietrza. Ciśnienie powietrza (gazu) nazywa się ciśnieniem aerostatycznym. Komentarz Ciśnienie aerostatyczne atmosfery Ziemi, zwane ciśnieniem atmosferycznym pochodzi od ciężaru powietrza znajdującego się ponad daną powierzchnią, jest zatem, co do swego pochodzenia, identyczne do ciśnienia hydrostatycznego dla cieczy. Z uwagi jednak na inne niż dla cieczy właściwości gazu (ściśliwość) jego zależność od głębokości (wysokości) w atmosferze jest zupełnie inna niż dla cieczy (nie omawiane na wykładzie). Końcowa sytuacja naczyń połączonych opisanych w tym rozdziale: a) mamy teraz w naczyniach dwa płyny: powietrze (w lewym, otwartym na otoczenie) i rtęć (w prawym), b) istnieje równowaga ( nic się nie dzieje ) dwóch ciśnień: ciśnienia hydrostatycznego rtęci (od prawej) i ciśnienia atmosferycznego powietrza (od lewej), c) z punktu Ad 2 na stronie 117 wiemy, że ciśnienie hydrostatyczne rtęci przy dnie mniejszego naczynia wynosi p 1013 hpa. 123

124 Zatem: Ciśnienie atmosferyczne powietrza przy powierzchni Ziemi wynosi ok hpa. Wartość 1013,25 hpa nazywa się ciśnieniem atmosferycznym normalnym dla warunków: T 20 o C, pomiar na poziomie morza. Komentarz 1) W taki sposób niejako po drodze innych rozważań skonstruowaliśmy przyrząd do pomiaru ciśnienia powietrza atmosferycznego! Wystarczy tylko mniejsze z naczyń (to z rtęcią ) zaopatrzyć w podziałkę i mamy barometr. 2) Oczywiście, warunki przykładu z naczyniami połączonymi były specjalnie, dydaktycznie dobrane pod kątem ostatecznego celu doświadczeń. Bardziej realistyczny model barometru jest przedstawiony poniżej: p p h Rys Barometr Torricellego 124

125 Jest to tzw. barometr rtęciowy Torricellego (Evangelista Torricelli, , fizyk i matematyk włoski, udowodnił istnienie ciśnienia atmosferycznego z pomocą skonstruowanego przez siebie przyrządu). Sądzimy, że Czytelnik dostrzeże w działaniu barometru Torricellego mechanizmy analogiczne do omówionych poprzednio dla naszych naczyń połączonych... (patrz Pytania i problemy, pkt. 6) Siła wyporu prawo Archimedesa Spróbujmy zanurzać w wodzie (np. w jeziorze) piłkę. Zauważymy, że pojawia się opór, tym większy im głębsze zanurzenie. Ten opór to tzw. siła wyporu działająca na piłkę. Istnienie siły wyporu jest jeszcze jedną z konsekwencji prawa Pascala. h h + H H p, f, S P, F, S Prawo Pascala Rys Pochodzenie siły wyporu 125

126 Dla uproszczenia przyjmijmy, że mamy do czynienia z całkowicie zanurzonym w cieczy ciałem fizycznym w postaci graniastosłupa o polu podstawy S i wysokości H. Na rysunku powyżej podano wielkości fizyczne mające znaczenie dla obliczenia siły wyporu. Są to: ciśnienie hydrostatyczne (p, P) na danej głębokości, siła hydrostatyczna (f, F) związana z tym ciśnieniem, pole powierzchni graniastosłupa, na którą działa ciśnienie (S) oraz głębokość w cieczy na której znajduje się dana powierzchnia (h, h+h). Małymi literami (p, f, h) oznaczono odpowiednie wielkości dla górnej, zaś dużymi (P, F, h+h ) dla dolnej powierzchni graniastosłupa. Pola obu powierzchni (górnej i dolnej) są oczywiście jednakowe. Obraz fizyczny Siła hydrostatyczna działające od dołu na zanurzone ciało jest większa od siły hydrostatycznej działającej od góry, gdyż: ciśnienie hydrostatyczne panujące głębiej jest większe (wzór 35), ciśnienie hydrostatyczne rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach, zatem również do góry (prawo Pascala). Powstająca w ten sposób siła wypadkowa to właśnie siła wyporu (patrz Pytania i problemy, pkt. 8). 126

127 Prawo Archimedesa Na ciało zanurzone w płynie (cieczy lub gazie) działa, jako dodatkowa, pochodząca od płynu, siła wyporu W skierowana ku górze, o wartości równej ciężarowi płynu wypartego przez to ciało: W m g g V, gdzie: gęstość płynu, V objętość wypartego płynu. W innym sformułowaniu, które wykorzystamy w następnym podrozdziale, prawo Archimedesa głosi, że: Ciało fizyczne zanurzone w cieczy traci na ciężarze tyle, ile waży wyparta przez nie ciecz. Tak więc, ciało zanurzone w cieczy staje się lżejsze. Intuicyjnie rozumiemy, że mogą w ten sposób powstać warunki dla pływania ciała. Pływanie ciał Na ciało fizyczne zanurzone w cieczy działa: siła ciężkości G (w dół ) oraz siły pochodzące od ciśnienia hydrostatycznego, których wypadkową jest siła wyporu W skierowana do góry. 127

128 W G Konkurencja tych dwóch sił decyduje o tym czy: ciało pływa na powierzchni, pływa całkowicie zanurzone, czy też tonie. Nasze rozważania rozpoczynamy od analizy warunków pływania ciała całkowicie zanurzonego w cieczy. Ten rodzaj pływania występuje, gdy przy całkowitym zanurzeniu ciała spełniony jest warunek: G W. Z prawa Archimedesa W g V, zaś z ww. warunku: G m g ( V ) g W g V, gdzie: c znacznik c dotyczy ciała. Ostatecznie otrzymujemy: c Ciało pływa całkowicie zanurzone w cieczy, jeśli jego gęstość jest równa gęstości cieczy:. c Na podstawie podobnych rozważań możemy sformułować zasadę: Ciało pływa na powierzchni cieczy, jeśli jego gęstość jest mniejsza od gęstości cieczy :. c 128