x 1 y k 2 c 2 FA/FS FA/FS FA/FS c k 2 Schemat dodawania/odejmowania binarnego

Transkrypt

1 Aloytm dodawana odejmowana Szybke umatoy x k y k x k2 y k2 x y x y k FA/FS k k2 2 FA/FS FA/FS FA/FS k k2 Shemat dodawana/odejmowana bnaneo dodawane (XY) x x x y y y ( x ( x y ) y ) odejmowane (X Y) x x x y y y ( x ( x y ) y ) Poaaja zeneena oblzene umy/ó ny na ozyj wymaa zeneena z ozyj za wytwozena umy/ó ny tały od hwl utalena zeneena waantowany za wykonana dodawana/odejmowana zale y od najdłu zeo zau zełana zmany zeneena z ozyj najn zej za ekwenyjneo dodawana/odejmowana n-ozyyjneo nt Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST

2 Pzyezane dodawana dwuaumentoweo Szybke umatoy Skaane zau oaaj zenee antyyaja zenee (ay look-ahead adde, CLA) wytwazane zenee ównolełyh (aallel efx adde, PPA) kaane e k oaaj zeneena (ay k adde, CSKA) Składane um tymzaowyh kładane um waunkowyh (ondtonal um adde, COSA) twozene waantowyh um dla bloków 2 kolejnyh ozyj umato z zeł zanem um z owyh (ay-elet adde, CSLA) ównolełe wytwazane altenatywnyh um z owyh kładane um koyowanyh (ay-nement adde, CIA) koekja um blokowyh zeneenam oblzane koekja um tymzaowyh (ELM) Składane um edundantnyh nadmaowa eezentaja aumentów (SD) dodawane dwuetaowe Teoetyzne o alny za dodawana/odejmowana n-ozyyjneo: T lo 2 n Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 2

3 Wytwazane oaaja zenee w dodawanu Funkja zeneena mo e me jedn z ównowa nyh fom y ) x y ( x y ) x y ( x Szybke umatoy onewa aba bab (OR(a,b)XOR(a,b)ab). Składowym wya ena : funkja wytwazana (eneowana) zeneena, oke laj a waunk zy któyh zeneene wyj owe nezale ne od : x y, funkja ółumy, któa tak e oke la waunk zekazywana (oaaj) zeneena ( x y ): h W wya enah na zeneene mo e j zat (nadmaowa) funkja zekazywana zeneena ( f. wyazana) x x UWAA: W wya enah na zeneene funkje # h # wzajemne zamenne. y y Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 3

4 Wytwazane oaaja zenee w odejmowanu Szybke umatoy Funkja o yzk (zeneena wtezneo) mo e me jedn z fom y ) x y ( x y ) x y ( x onewa aba bab (OR(a,b)XOR(a,b)ab). Składowym wya ena : funkja wytwazana (eneowana) o yzk, oke laj a waunk zy któyh o yzka z wy zej ozyj nezale ne od : x y, funkja ółó ny, któa oke la te waunk zekazywana (wteznej oaaj) o yzk ( x y ): h W wya enah na o yzk mo e j zat (nadmaowa) funkja zekazywana o yzk ( f. wyazana) x x UWAA: W wya enah na o yzk funkje # h # wzajemne zamenne. y y Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 4

5 Poaaja eneowane zenee ntuje () Szybke umatoy L out je l: n jet zeyłane zez blok L do wyj a out wewn tz bloku L jet wytwazane out, za n jet dowolne L out je l: n jet zeyłane zez blok L do m a nat ne zez blok do out wewn tz bloku jet wytwazane out, za m jet dowolne wewn tz bloku L jet wytwazane m, a nat ne zez blok jet zekazywane do out Uwaa: Analozne zale no mo na oda dla o yzek w odejmowanu Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 5

6 Poaaja eneowane zenee ntuje (2) Szybke umatoy L P L P L P P L LF F P L P LF P P L P F out out L P P L F L P P L P P L F n n L F L LF P hl P n LF L n F Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 6

7 Funkje uowej antyyaj zenee Szybke umatoy Wyznazane funkj zekazywana (oaaj) zeneena P zez blok umatoa (lozyn) jet dzałanem ł znym (aojayjnym) P P P P P PP LF Wyznazane funkj wytwazana (eneowana) zeneena w bloku umatoa jet tak e dzałanem ł znym (aojayjnym) LF PLF P L P L F P P P P L L F L Funkje ekuywne kojazone take, któe ouje oeato aojayjny y x y, y x Wyznazane funkj ekuywne kojazonej oblem efkowana F L L F L F Funkje,P ekuywne kojazone zez wektoowy oeato aojayjny P P P P L L LF P LF P L L L P L F L P F P P L Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 7

8 Szybke umatoy Funkje wytwazana zenee um Dla dowolneo bloku umatoa om dzy ozyjam oaz k (k ): zy tym k k: Pk : k: k: Pk : :, P k: Pk : P :. Ponewa x y P : x y (lub Pk : k hk xk yk ), w k: k k k k k k k k k k k : k k k... j, j k P :, k hemat wyznazana funkj : P : mo na otymalzowa wzytke funkje : P : mo na wyznazy w ekwenj lo 2 n dzała Wato umy zale y od h, wato funkj :, P : oaz : h h j j ( P ) : : Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 8

9 Szybke umatoy Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 9 Sumato z antyyaj zenee (ay look-ahead adde, CLA) Funkje # mo na ozwja wzl dem klku kolejnyh ozyj zło ono funkj # o ne z kwadatem za u baea tehnolozna oanzona lzba wej bamk ) ( ) ( 2 ),,...,, ( ),,...,, ( ),,...,, ( ),,...,, ( h h P h h P Uwaa: Analozne zale no mo na oda dla o yzek w odejmowanu

10 Moduł umatoa z antyyaj zenee (CLA) Szybke umatoy x 3 y 3 x 2 y 2 x y x y CLA : P 4: Czteobtowy umato CLA z ynałam,p dla bloku CL Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST

11 Welomodułowy umatoów z antyyaj zenee (CLA) Szybke umatoy x 5:2 y 5:2 x :8 y :8 x 7:4 y 7:4 x 3: y 3: 6 2 CLA CLA CLA CLA 8 4 5:2 :8 7:4 3: Sumato zbudowany z kakady bloków CLA x 5:2 y 5:2 x :8 y :8 x 7:4 y 7:4 x 3: y 3: 2 8 CLA CLA CLA CLA 4 P 5:2 P :8 P 7:4 P 3: CL 6 5:2 :8 7:4 3: Sumato CLA z blokem wytwazana zenee CL Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST

12 Szybke umatoy Sumatoy efkowe (PPA) umato efkowy aallel efx adde, PPA blok P wytwazane wato wzytkh zenee : P : h h ( P ) : : x k y k x y x y x y P k Je l, to : wtedy h h :, w zewnym aze oblem: lne ozał zene ynału zeneena wej oweo Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 2

13 Szybke umatoy Sumato efkowy z edukj ozał zena Aby unkn ozał zana ynału w oblzanu : P : mo na: a) doł zy blok wej owy CSA, edukuj y ynał x k y k x k y k x k y k x y x y x y x y we wy umato PPA b) otaktować jako funkję eneowana zeneena z ozyj :, zaś. Wtedy w umatoze obejmująym n ozyj mamy: h h h ( P ) : : : : o jet ównowaŝne zatąenu ynału zez * : * Twozene altenatywneo ynału jet zbędne, bo, wę. W obu wejah oóźnene T jet take jak w ealzaj funkj : P :. Podobne ozwązana moŝna zatoować w unwealnym umatoze U2. Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 3

14 Zaady kontukj e efkowej P Węzeł e P ealzuje funkje ( L, PL ) (, P ) ( L, PL ) ( P L, P PL ) Szybke umatoy Zaada kontukj tuktuy P: nteaja funkj P oaz L P L obejmująyh ąadująe blok L: blok L ownny być tyzne blok L ne moą być ozdzelone blok L moą meć zęść wólną funkje L P L ą nadmaowe nteaja nadmaowa nteaja otymalna nteaja błędna eulane tuktuy dla n2 k wejść (ozyj), w nnyh zyadkah zyjąć knt(lo 2 n) uunąć zbędne ałęze (eć nteująą 2 k ozyj ołązyć eą nteująą ozotałe wejśa) Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 4

15 Pzekztałene efkowe Ladnea-Fhea (Sklanky eo)* Szybke umatoy mnmalna lzba elementów P : x y, : x y (,,,n) : Pozom (,,,2 n) : ( 2:2,P 2:2 )( 2:2,P 2:2 )l ( 2:2,P 2:2 ) Pozom 2 (,,,2 2 n; 2,3) 3:, 2: ( 4:4,P 4:4 )( 4:42,P 4:42 )l ( 4:4,P 4:4 ) Pozom 3 (,,,2 3 n; 4,5,6,7) 7:,, 4: ( 8,8,P 8,8 )( 8,84,P 8,84 )l ( 83,8,P 83,8 ) Pozom 4 (,,,2 4 n; 8,9,,5) 5:,, 8: ( 6,6,P 6,6 )( 6,68,P 6,68 )l ( 67,6,P 67,6 ) Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 5

16 Pzekztałene efkowe Koe-Stone a* Szybke umatoy mnmalzaja ozał ze P : x y, : x y (,,,n) : Pozom (,,,2 n) : ( :,P : )( :,P : )l ( :,P : ) Pozom 2 (,;,,,n2 2 ) 2: 2, P 2, : ( 3: ), 2: ( 3:,P 3: )( 3,2,P 3,2 )l (,,P, ) 3: Pozom 3 (,,,2 2 ;,,,n2 3 ) 4:,4 P,4 : ( 7: ), 6:, 5:, 4: ( 7:,P 7: )( 7,4,P 7,4 )l ( 3:,P 3: ) 7: Pozom 4 (,,,2 3 ;,,,n2 4 ) 8: 8, P 8, : ( 5: ),, 8: ( 5:,P 5: )( 5,8,P 5,8 )l ( 7:,P 7: ) 5: Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 6

17 Pzekztałene efkowe Benta-Kuna* Szybke umatoy otymalzaja tuktuy CMOS P : x y, : x y (,,,n) : Pozom (,,,2 n) : ( 2:2,P 2:2 )( 2:2,P 2:2 )l ( 2:2,P 2:2 ) Pozom 2 (,,,2 2 n) 3: ( 43:4,P 43:4 )( 43:42,P 43:42 )l ( 4:4,P 4:4 ) Pozom 3 (,,,2 3 n) 7: ( 87:8,P 87:8 )( 87:84,P 87:84 )l ( 83:8,P 83:8 ) Pozom m lo 2 n (T2 m2 ) ( 3T:,P 3T: )( 3T :2T,P 3T :2T )l ( 2T :,P 2T : ) 3T: (,n:,p n: )( n:2t,p n:2t )l ( 2T :,P 2T : ) n : Pozom m ((),,,2 2, R2 m2 ),,,m2 ( R:,P R: )( R: 2R,P R: 2R )l ( 2R :,P 2R : ) Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 7

18 Pzekztałene efkowe an a-calona* Szybke umatoy najew nteaja ozł znyh a P : x y, : x y (,,,n) : Pozom (,,,2 n) : ( 2:2,P 2:2 )( 2:2,P 2:2 )l ( 2:2,P 2:2 ) Pozom 2 (,,,2 2 n) 3: ( 23:2,P 23:2 )( 23:22,P 23:22 )l ( 2:2,P 2:2 ) Pozom 3 (,,,2 3 n,,) ( 27:2,P 27:2 )( 27:24,P 27:24 )l ( 23:2,P 23:2 ) 25: 25,2 P 25,2 2: 7:, 5: Pozom 4 (,,,2 2 ;,,,2 3 n) ( 25:2,P 25:2 )( 25:28,P 25:28 )l ( 27:2,P 27:2 ) 29: 29,2 P 29,2 2: 5:, 3:, :, 9:... Pozom lo 2 n (,,,2 n) 2: 2:2 P 2:2 2: 2:,, 4:, 2: Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 8

19 Szybke umatoy Pefkowe hematy eneowana oaaj zeneena (PPA) af efxowy (Sklanky / Ladne-Fhe) af efxowy (Koe & Stone) af efxowy (Bent Kun) af efxowy (an & Calon) wytwazane funkj : oaz P : zekazywane oaz P l oeato efkowy ( BA,P BA )( B,P B )l( A,P A ) Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 9

20 Chaakteytyk afów efkowyh Szybke umatoy Ladne-Fhe lo 2 n ozomów loznyh, mnmum elementów P neównomene obąŝena (Sklanky) Koe & Stone lo 2 n ozomów loznyh, węej elementów P, ozłoŝona obąŝalność wyjść Bent-Kun >lo 2 n ozomów loznyh, mnej elementów P, tała obąŝalność wyjść an & Calon >lo 2 n ozomów loznyh, najmnej elementów P, najmnejza obąŝalność wyjść Paamety e P jako elementy PPA Ty tuktuy lzba onw P lzba ozomów obąŝene zełązena RCA 2 / 3 n n 2 n/2 Ladne-Fhe ½ nlo 2 n lo 2 n n/2 ¼ nlo 2 n Bent-Kun 2n nlo 2 n 2 2 lo 2 n 2 lo 2 n ~ 3 / 8 nlo 2 n Koe & Stone nlo 2 n n lo 2 n 2 ½ nlo 2 n an & Calon ½ nlo 2 n lo 2 n 2 ¼ nlo 2 n Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 2

21 Szybke umatoy Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 2 Sumato ELM koneja* Oblzona watość ozątkowa umy h : na moŝe ule zmane, jeśl. Neh : oznaza tymzaow umę na ozyj z uwzlędnenem wzytkh wześnejzyh wejść x #, y #, oząwzy od wejśa x, y. Mamy: ) (, : : : : : h h Z ekuenyjneo owązana funkj :j wynka dalej, Ŝe (>>j):, )) ( ( ) ( : : : : : : : : : : : : : : : : j j j j j h h Metodą ndukj moŝna okazać, Ŝe j j j j j h : : : : :, kąd mamy:., : : : : : : j j h zy tym btam końowej umy ą :. PonewaŜ owyŝze funkje ą nezaleŝne, wę moŝlwe jet wytwozene umy końowej w tuktuze zaweająej lo 2 n ozomów.

22 Sumato ELM koekja um tymzaowyh* Szybke umatoy Z odanyh zaleŝnoś wynka zaada kontukj umatoa, odobna jak PPA x 7 y 7 x 6 y 6 x 5 y 5 x 4 y 4 x 3 y 3 x 2 y 2 x y x y P k:j P j: 7 h 7 6 h 6 5 h 5 4 h 4 3 h 3 2 h 2 h h P k: 2 k:j j : 3 k: Shemat umatoa ELM (tuktuze Ladnea-Fhea) Powązana um moŝna takŝe zealzować w tuktuze Koe a-stone a. Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 22

23 Sumy waunkowe koneja (Sklanky) L x y : : : : : :4 3 7: Szybke umatoy Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 23

24 Szybke umatoy Sumato um waunkowyh (ondtonal um adde, COSA)* Twozene altenatywnyh um jedno-, dwu-, zteo-, ośmo-,...-btowyh Pozom umy zeneena waunkowe dla oobnyh btów (,,...) x y oaz 2 : : {, } { x x y : : : y, x {, } { x y, x y 2 : : y } } Pozom ( złoŝene wektoów) waunkowe umy α α 2 2, 2 zeneena 2 ( ) u 2 btów, dla,,..., n 2 α α α α 2 2,2 [ 2 2 2,2 ( 2 ) 2 2,2 ] 2, 2, α α α 2 ( ) ( 2 ) 2 2 Końowy wynk umowana owtaje na ozome k lo 2 n (2 k ). Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 24

25 Shemat umatoa um waunkowyh Szybke umatoy y 7 x 7 y 6 x 6 y 5 x 5 y 4 x 4 y 3 x 3 y 2 x 2 y x y x Σ / Σ / Σ / Σ / Σ / Σ / Σ / Σ / L L L2 L x y Σ / Ośmobtowy umato um waunkowyh T 2 lo 2 2n, A½(nlo 2 n2nlo 2 n)3nlo 2 n Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 25

26 Sumato teowany zeneenem (CSLA) Szybke umatoy Sumato multlekowany teowany zeneenem (ay-elet adde) wybó k-ozyyjnyh um waunkowyh zaleŝne od zeneena x m,l y m,l x l,k y l,k x k, y k, CPA CPA CPA x m,l y m,l m,l x l,k y l,k l,k x k, y k, k, x, y, CPA CPA CPA CPA m,l l,k k, MPX MPX MPX m m,l l,k k,, Shemat lozny umatoa multlekowaneo teowaneo zeneenem Sumy blokowe oblzane jednoześne wyŝze bty wękze blok Oóźnene > 2 2 n (otymalna lzba bloków około 2 n ) Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 26

27 Sumato z zekokem zeneeń (CSKA)* Szybke umatoy Suma w bloku -btowym zaleŝy od zeneena wej oweo (ay-n). oaaja zeneena zez ały blok zekok zeneena x n,m y n,m x m,l y m,l x l,k y l,k k x j, y j, x, y, n CPA P n,m n,m CPA m P m,l m,l l P l,k CPA l,k... j P j, CPA j, CPA, P, Shemat umatoa z zekokem zeneeń CSKA (ay-k adde) Oóźnene wnozone zez umato CSKA zaleŝy od zau wytwozena zeneena w bloku, w któym zazyna ę oaaja, zau wytwozena umy w bloku, w któym końzy ę oaaja, zau zekoku zeneena zez blok wewnętzne. l jednakowyh bloków k-btowyh (nkl) oóźnene wynee [( k ) l 2 ( k )] δ [2k nk 4] δ 2[ 2n 2] δ Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 27

28 Analza zybkoś umatoa z zekokem zeneeń* Szybke umatoy Cza dodawana: za wytwozena zeneena na wyjśu u o bloku wejśoweo za zekoku zeneena zez [v(u)] bloków za wytwozena umy od utalena zeneena na wejśu bloku v ( u, v) [( ) ( u v ) ( )]δ u tuktua śeŝka oóźnene max 6 bloków (4)4(4) (5)(5) (5)2(4) (6)(4) bloków (3)2(3) (6)(6) (4)2(4) (4)(4) bloków (2)5(2) (3)3(3) (3)2(4) 7 7 v Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 28

29 Otymalzaja umatoa z zekokem zeneeń* Szybke umatoy Zało ene: tandadowe oó nena otyh funkj eueza łańuhy otymalne: jeśl ozma k bloków wytwazająyh mnej znaząe ozyje umy jet tyu u u,, 2,...,k, to makymalne oóźnene uk δ ( u )δ (k)δ ( u k)δ ; jeśl ozma bloków wytwazająyh badzej znaząe ozyje umy jet tyu v v,,, 2,...,-, to makymalne oóźnene v δ ( v )δ ()δ ( v )δ ; łańuhy neotymalne: jeśl kajne blok łańuha ne ą kajnym blokam łańuhów otymalnyh, to twozą e k kytyzn oaaj zeneena. Wnok otymalna tuktua umatoa ownna być tyu otymalną tuktuą umatoa jet takŝe \ Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 29

30 Otymalzaja umatoa z zekokem zeneeń zykład* Szybke umatoy n-btowy łańuh otymalny zawea 2 n bloków umato n-btowy ownen meć najwyŝej 2 n bloków ( ) 2 n 2 2 umato n-btowy ownen meć 2( ) bloków Pzykład. Sumato 32-btowy ownen meć 8 bloków ( ) lzba u tuktua umatoa makymalne oóźnene (5)(5) (5)2(5) (6)2(4) (6)(5) 9 Pzykład. Sumato 24-btowy ownen meć 8 bloków ( ) lzba u tuktua umatoa makymalne oóźnene (5)(4) (5)(4) (6)(4) 8 Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 3

31 Inkemente dekemente Szybke umatoy wykonuje dzałane X± wytazy łańuh ółumatoów (A) lub ółubtaktoów (S) ółumato (half adde, A) ealzuje funkje x, x ółubtakto (half ubtate, S) ealzuje funkje x, x x k x k2 x x k A/S k k2 2 A/S A/S A/S k k2 umato z nkementaj wkutek zeneena (ay-nement adde, CIA układ zlzaj y nkemente/dekemente ze z enem zaam tywanem tanu S( t) { x ( t ) ( t) ( t ) ( t) ( t) ( t) k, k 2,...,, Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 3

32 Szybkość dzałana złoŝoność umatoów Szybke umatoy Chaakteytyk AT umato ełny -btowy FA A7, T22 AT28 2 XOR, OR, 2 AND oóźnene zeneena 2, umy 22 umato RCA A7n, T2n AT4n 2 n FA oóźnene zeneena n 2 umato kakadowy CLA A 7n, T 4lon AT 56nlon n FA lon bloków, oóźnene zeneena 2 2lon umato PPA A 5n3nlo n, T 32lon AT 3nlo 2 n4nlon lon ozomów P, oóźnene zeneena 2lon umato COSA A3nlon, T22lon AT 6nlo 2 n 2 RCA, lon ozomów MPX, oóźnene zeneena 2 lon umato CSKA A 8n, T 2 2 n AT 32n n n FA2 n MPX, 2 n bloków oóźnene zeneena 2 2 n umato CSLA A 2 7n, T 2 2n AT 39n n 2 RCA, 2 n bloków, oóźnene zeneena 2 2 n Januz Benat, AK-7-9 Szybke umatoy.do, 4 ltoada 29 FAST 32