Perkolacja przewodnictwa Daniel Dziob, Urszula Górska

Transkrypt

1 Perkolacja przewodnictwa Daniel Dziob, Urszula Górska 1. Zjawisko perkolacji Opis układów nieuporządkowanych, modelowanie procesów przypadkowych czy przejść fazowych stanowią jedne z najbardziej problematycznych zjawisk w fizyce. Równocześnie to one dostarczają najwięcej informacji na temat rzeczywistego zachowania się systemów biologicznych. Teoria perkolacji daje ogólny opis, który stara się sprostać tego typu zagadnieniom [1]. Zajmuje się ona efektem zmiennego zakresu wzajemnych oddziaływań w układach nieuporządkowanych o stochastycznej geometrii i może być stosowana do bardzo szerokiego zakresu zjawisk fizycznych. Opisuje m.in. rozprzestrzenianie się choroby w populacji, komunikację lub przewodnictwo sieci oporników, wreszcie przepływ cieczy w ośrodku porowatym czy przejście do fazy szkła [2]. Może być także używana w przypadku badań transportu elektronowego i przeskoków o zmiennej długości [1]. Perkolacja jest typowym zjawiskiem krytycznym, świetnie nadającym się do opisu takich zjawisk jak przejścia fazowe. Stanowi ona przejście fazowe II rodzaju, w którym zbiór początkowo niezależnych obiektów nagle formuje większą strukturę poprzez łączenie, sklejanie, reakcje chemiczne itp. Następuje stopniowy wzrost koncentracji wiązań mikroskopowych, czemu towarzyszy gwałtowna zmiana parametrów makroskopowych [3]. Występuje wtedy ostre przejście, w którym pojawia się lub znika daleko zasięgowa spójność układu. Najprostszy opis perkolacji zakłada model regularnej sieci, w której zachodzi przepływ płynu. Nadaje się on do stosowania przy analizie właściwości sieci o różnych wymiarach i strukturze przestrzennej. W jednym wymiarze może to być przykładowo układ okrągłych ramek o określonej średnicy, połączonych rurkami o jednakowych otworach [2]. Sytuację taką dla układu jednowymiarowego przedstawia Rys.1.

2 Rys. 1. Układ okręgów o określonej średnicy połączonych rurkami o jednakowych średnicach i długościach. Opracowanie własne na podstawie [2]. Cały układ o długości L składa się tutaj z jednakowych okręgów połączonych rurkami. Odległość pomiędzy środkami poszczególnych okręgów wynosi a. W tej sytuacji liczba styków miedzy okręgami jest równa L a L a liczba samych okręgów N 1. Następnie, a zarówno w połączeniach rurek, jak i w samych okręgach umieszcza się zawory. Ciecz przepływa z jednej strony układu do drugiej. Oczywiste jest, że jej przepływ w układzie jednowymiarowym jest możliwy jedynie wtedy, gdy wszystkie zawory zarówno w połączeniach rurek jak i w okręgach są otwarte. Jeden zamknięty zawór w połączeniach rurek lub okręgach powoduje, że ciecz przestaje płynąć w sieci. Na tej podstawie widać, że ścieżka dla przeciekania płynu w układzie jednowymiarowym występuje jedynie w sytuacji, gdy wszystkie połączenia jakie w nim występują pozostają nienaruszone. Okręgi można oczywiście układać w dowolny sposób w dwóch lub trzech wymiarach, również włączając w nie zawory. Zakładając regularną sieć takich połączeń np. na planie sześciokąta (Rys.2), chcemy doprowadzić do przepływu płynu pomiędzy jej skrajnymi końcami. Początkowo, gdy tylko niektóre zawory są otwarte, przepływ ten jest zablokowany. Kiedy zaczniemy stopniowo odkręcać zawory, w pewnym momencie dojdziemy do sytuacji, w której przepływ ten będzie wreszcie możliwy. Dla każdego podobnego obiektu geometrycznego z periodyczną siecią połączeń miejsce połączeń nazywamy węzłami a odcinki łączące pary węzłów wiązaniami [4]. Dlatego też wyróżnia się zwykle perkolację dla węzłów oraz perkolację dla wiązań w zależności od tego, które ze wspomnianych obiektów będą stopniowo odblokowywane lub uszkadzane. Rozpatrując perkolację dla węzłów, zakładamy, że wszystkie wiązania pozostają nieuszkodzone. Natomiast węzły mogą być uszkodzone lub nie. Co istotne, ich odblokowywanie lub wyłączanie zachodzi w sposób przypadkowy. Można również rozważać perkolację węzłowo - wiązaniową, gdzie zakłada się możliwość przypadkowego przecinania połączeń zarówno w miejscach węzłów jak i wiązań. 2

3 Rys. 2. Ścieżka perkolacji dla węzłów w sieci dwuwymiarowej. Zaczerpnięto z [2] str. 7. Rysunki 2 i 3 ilustrują sieć dwuwymiarową, w której zachodzi proces perkolacji dla węzłów. Poszczególne ilustracje (3a, 3b i 3c) obrazują stopniowy wzrost liczby zapełnionych węzłów przedstawionych jako czarne kropki. Położone najbliżej siebie zapełnione węzły tworzą klastry [1] dla tej sieci. Jeżeli chcemy, aby płyn przepływał w jednego końca sieci na drugi, potrzebujemy pewnej określonej liczby otwartych zaworów, czyli w tym przypadku węzłów. Nie jest konieczne, aby cała sieć została zapełniona. Musi jednak istnieć jeden klaster rozciągający się pomiędzy skrajnymi brzegami sieci, jak na Rys. 2 czy Rys. 3c. W omawianej sieci 2D ciecz zaczyna płynąć, gdy stosunek liczby przypadkowo zapełnionych węzłów do całkowitej ich liczby osiąga pewną krytyczną wartość. Istnieje więc granica, po przekroczeniu której sieć zaczyna przepuszczać ciecz. Nazywamy ją progiem perkolacyjnym. Jego istnienie związane jest z krytycznym zjawiskiem transportu, zwanym przejściem perkolacyjnym, kiedy pojawiają się oddziaływania daleko zasięgowe i daleko zasięgowa spójność układu. Droga, zapewniająca przepływ z jednej do drugiej strony danego układu określana jest natomiast jako nieskończona ścieżka perkolacyjna. Może istnieć także analogiczna sytuacja odwrotna, kiedy zjawiska zanikają po przekroczeniu określonej granicy, która również stanowi próg perkolacyjny. 3

4 Rys. 3. Perkolacja dla węzłów na sieci kwadratowej. Ten sam obszar sieci został przedstawiony dla trzech różnych koncentracji zapełnionych węzłów, kolejno: a),25, b),5 i c),75. Średni rozmiar klastra, oznaczony jako s w przypadku a) bliski jest jedności, następnie rośnie w miarę wzrastania ilości połączeń. W progu perkolacji powstaje pierwszy klaster o nieskończonym rozmiarze s, rozciągający się pomiędzy najdalszymi końcami sieci. Zaczerpnięto z [1] str Teoria perkolacji wymaga jeszcze dwóch istotnych założeń. Przede wszystkim sieć połączeń powinna dotyczyć układu o nieskończonych rozmiarach [1,5]. Nawiązując do przywołanego na początku przykładu sieci jednowymiarowej (z okręgami i zaworami) oznacza L to ( ) a. Wtedy dopiero próg perkolacji może być sparametryzowany z odpowiednią 4

5 dokładnością matematyczną. Dla układu skończonego, można obserwować różne granice powstawania/ zaniku spójności. W efekcie daje to pewien rozrzut tych wartości. Kolejną kwestią jest założenie o przypadkowości obsadzeń [3]. Oznacza ono, że węzły mogą być dowolnie (przypadkowo) zapełniane, zawory otwierane lub zamykane. Idąc dalej, zwykle wprowadza się funkcję prawdopodobieństwa istnienia każdego z węzłów lub wiązań. Jeżeli p nazwane zostanie stosunkiem liczby nie uszkodzonych węzłów/ wiązań do ich całkowitej liczby, wtedy prawdopodobieństwo P( p ) będzie prawdopodobieństwem perkolacji. W sytuacji, gdy w danej sieci nie istnieją żadne połączenia, wówczas p. Warto przypomnieć, że nieskończony klaster nie musi od razu wypełniać całej sieci. Koncentracja wiązań p może ciągle rosnąć po przekroczeniu krytycznej wartości p czyli wartości p w progu perkolacji. Mówi się, że powyżej p ścieżka perkolacyjna istnieje, zaś poniżej p przestaje ona istnieć i zanika wtedy daleko zasięgowa spójność układu [1]. 2. Perkolacja a przewodnictwo w materiałach biologicznych Chcąc zobrazować zjawisko perkolacji przewodnictwa najlepiej posłużyć się, używanym często modelem sieci komunikacyjnej o połączeniach [1,3,6], stanowiących jednostkowe przewodniki. W tym przypadku próg perkolacyjny odpowiada pojawieniu się lub zanikaniu przewodnictwa elektrycznego między dwoma granicznymi elektrodami. Jeśli zaczniemy stopniowo przecinać połączenia i oznaczymy liczbę nie przeciętych wiązań przez p, to oczywiste jest, że natężenie prądu I( p ) będzie spadać w miarę zmniejszania się p, aż do osiągnięcia pewnej krytycznej koncentracji wiązań przy której I( p ) zaniknie. Stanowi to ilustrację ważnego pytania w teorii perkolacji przewodnictwa, mianowicie jaka część połączeń lub wiązań musi zostać przecięta w celu przerwania przewodnictwa elektrycznego w układzie. Parametr, o którym mowa czyli ( p) - makroskopowe przewodnictwo sieci odzwierciedla zależności natężenia prądu od koncentracji. Można przyjąć, że jego zachowanie jest bardzo zbliżone do funkcji prawdopodobieństwa perkolacji P( p ): poniżej progu tzn. dla p p wynosi on zero, zaś powyżej p - wykazuje monotoniczny wzrost. W badaniach będących przedmiotem poniższej pracy przyjmuje się, że ( p ) zastępuje P( p ). Dla klasycznej sieci perkolacyjnej przewodnik izolator przewodnictwo całego układu zmienia się na skutek gwałtownego zanikania ciągłości elektrycznej w progu perkolacji. 5

6 Zgodnie z powyższym rozważaniem dla ( p p ) przewodnictwo ( p) Dlatego można zapisać [1,2,3,5], że w pobliżu progu perkolacji: ( p) ~ ( p p ) ; również dąży do zera. p p (1) gdzie: p - miara ciągłości układu, - przewodnictwo, - wykładnik krytyczny, a gwiazdka () oznacza wartości w progu perkolacji. Różne systemy biologiczne o wzrastającej złożoności od błon biologicznych, bielm nasion [7] po drożdże i algi [8,9] były przedmiotem licznych badań związanych z zagadnieniem procesu perkolacji przewodnictwa. Okazało się, że wykazują one przejście perkolacyjne przy bardzo niskim poziomie nawodnienia. Wartość uwodnienia w tych systemach starano się powiązać z właściwościami danej sieci i tym, w jaki sposób przyłącza ona wodę. Jako miarę ciągłości układu przyjmuje się w takich przypadkach stopień uwodnienia h. Parametr ten jest wyrażany jako stosunek masy wody w próbce do suchej masy tej próbki h m w m (2) gdzie m w to masa wody, a m - masa suchej próbki. Masa wody oznacza zawartość wody w próbce i wyrażana jest ona jako mw m m, gdzie m jest masą całej próbki. Warto w tym miejscu dodać, że materiały biologiczne oprócz wody zgromadzonej na powierzchni mogą także zawierać w swoich strukturach wodę związaną. Taką wodę bardzo trudno usunąć. Dlatego termin sucha próbka powinien być rozumiany jako określający próbkę w równowadze wilgotnościowej z otoczeniem. Przy niskim poziomie uwodnienia próbka posiada dużą porowatość. Z rozważań modelów geometrycznych wysoko porowatych materiałów wynika, że można mówić o proporcjonalności poziomu uwodnienia do prawdopodobieństwa zajętych miejsc w sieci wody. Stąd poziom uwodnienia jest proporcjonalny do przewodności, zgodnie z zależnością: ( h h ) t ; 6 h h (3) gdzie t - krytyczny wykładnik, odzwierciedlający wymiary sieci, a gwiazdka () oznacza wartości w progu perkolacji. Wykładniki krytyczne są wielkościami charakterystycznymi dla zjawisk krytycznych np. krytycznego zjawiska transportu. Opisują one zachowanie układu w obszarze, określanym jako krytyczny, w pobliżu progu perkolacji. Poszczególne wykładniki krytyczne, związane z różnymi zjawiskami krytycznymi, przyjmują uniwersalne wartości dla sieci dwu-, trzy-

7 i więcej wymiarowych [3]. Wykładnik t, który pojawia się w równaniu (3) jest charakterystyczny dla funkcji przewodnictwa ( p ) blisko progu perkolacji i dla sieci 2D przyjmuje wartość teoretyczną t 1,1 [1,3]. Dodatnia wartość wykładnika opisuje własności sieci powyżej progu perkolacji. 3. Widmo dielektryczne Właściwości dielektryka znajdującego się w polu elektrycznym opisywane są przez wielkość zwaną zespoloną przenikalnością dielektryczną [1]. Dla zmiennego pola elektrycznego jest ona funkcją częstości. Wyznacza właściwości elektryczne ośrodka i można ją opisać zależnością: ( ) ( ) i ( ) (4) gdzie i oznaczają odpowiednio część rzeczywistą i urojoną przenikalności dielektrycznej, a jest częstością. Część rzeczywista wyznaczana jest zgodnie ze wzorem: C( ) C (5) gdzie C jest pojemnością pustego kondensatora. Natomiast część urojona zwana jest inaczej współczynnikiem strat dielektrycznych [3] i daje się opisać zależnością: 1 n MW PE (6) gdzie jest przenikalnością dielektryczną próżni, - przewodnictwem właściwym próżni, - częstotliwością. Interesujący sygnał, pochodzący od przewodnictwa, stanowi część. Natomiast jest 1 n PE wkładem, jaki może ujawnić się w związku ze zjawiskiem polaryzacji elektrod przy niskich częstotliwościach, a MW jest związany z efektem Maxwella Wagnera, widocznym zwykle przy wyższych częstotliwościach. Wszystkie znane materiały stałe wykazują w bardzo szerokim zakresie niskich częstości zależność empiryczną sformułowaną przez Jonshera [11,12] jako uniwersalna odpowiedź dielektryczna. Można ją przedstawić odpowiednimi zależnościami dla składowych stałej dielektrycznej: 7

8 ( ) ( ) n ( ) ( ) k gdzie dla próbek biologicznych wykazano, że n k i n [11]. 1 i (7) 1 i (8) Bibliografia [1] R. Zallen, Fizyka ciał amorficznych, PWN, Warszawa, 1994 [2] K. Sangwal, Zjawisko perkolacji, data dostępu [3] D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, 2nd ed. (Taylor and Francis, London, 1994). [4] K. Odwald, Teoria perkolacji w chemii, data dostępu [5] K. Weron, Modele sieciowe fizyki statystycznej perkolacja, data dostępu [6] W. Ganczarek, Wprowadzenie do teorii perkolacji, data dostępu [7] J. K. Mościciki, D. Sokołowska, D. Dziob, U. Górska, B. Kiełtyka, Evolution of electric conductivity in naturally dehydrating lightly wetted hydrophilic fumed silica powder, w przygotowaniu. [8] D. Sokołowska, A. Król-Otwinowska and J. K. Mościcki, Water-network percolation in hydrated yeasts, Phys. Rev.E, 7, 5291 (24) [9] D. Sokołowska, A. Król-Otwinowska, M. Białecka, L. Fiedor, M. Szczygieł, J. K. Mościcki, Water-network percolation in hydrated blue-green algae in vivo, J. Non-Cryst. Solids, 353, 4541 (27) [1] A. Z. Hrynkiewicz, E. Rokita, Fizyczne metody badań w biologii, medycynie i ochronie środowiska, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 285, 321 (1999). [11] A. K. Jonsher, Universal relaxation law, Chelsea Dielectric Press, London [12] T. Hilczer, Dielektryki, data dostępu