Algorytmika i kombinatoryka tekstów
|
|
|
- Andrzej Marciniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 lgorytmika i kombinatoryka tekstów 1/21 Algorytmika i kombinatoryka tekstów Jakub Radoszewski Wręczenie Nagrody im. W. Lipskiego, 9 października 2014 r. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski
2 Algorytmika i kombinatoryka tekstów Algorytmika i kombinatoryka tekstów 2/21 Słowo ciąg symboli ze skończonego alfabetu (np. abaababa). Geneza algorytmiczna: Problem wyszukiwania wzorca w tekście (algorytm Knutha-Morrisa-Pratta; 1977 r.), problem wyszukiwania wielu wzorców (drzewo sufiksowe; Wiener, 1973 r.). Geneza kombinatoryczna: Nieskończone słowo bezkwadratowe nad alfabetem 3-literowym (Thue, 1906 r.).
3 Zagadnienia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 3/21 1 Powtórzenia w słowach 2 Szablony 3 Inne modele równości
4 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
5 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
6 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
7 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
8 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
9 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
10 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa b a a a b a c a b a c a b a b c Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
11 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa b a a a b a c a b a c a b a b c Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
12 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa b a a a b a c a b a c a b a b c Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
13 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa b a a a b a c a b a c a b a b c Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
14 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa b a a a b a c a b a c a b a b c Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty
15 Powtórzenia w słowach Algorytmika i kombinatoryka tekstów 4/21 Okres słowa prefiks słowa, który powtarza się przez całe słowo a b a c a b a c a b a c a b Powtórzenie podsłowo (spójny fragment słowa), którego najkrótszy okres jest nie dłuższy niż połowa długości podsłowa b a a a b a c a b a c a b a b c Najprostsze powtórzenia: potęgi słów, np. kwadraty b a a a b a c a b a c a b a b c
16 Maksymalne powtórzenia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 5/21 a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b Maksymalne powtórzenie (ang. run) powtórzenie, którego nie można rozszerzyć w żadną ze stron.
17 Maksymalne powtórzenia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 5/ a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b Maksymalne powtórzenie (ang. run) powtórzenie, którego nie można rozszerzyć w żadną ze stron. Dla maksymalnego powtórzenia v powyżej: okres per(v) = 5, wykładnik exp(v) =
18 Maksymalne powtórzenia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 5/ a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b 5 Maksymalne powtórzenie (ang. run) powtórzenie, którego nie można rozszerzyć w żadną ze stron. Dla maksymalnego powtórzenia v powyżej: okres per(v) = 5, wykładnik exp(v) = Kluczowe własności maksymalnych powtórzeń: struktura wszystkich powtórzeń w słowie; runs(n) = O(n), expruns(n) = O(n); algorytm O(n). 1 5
19 Maksymalne powtórzenia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 5/ a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b 5 Maksymalne powtórzenie (ang. run) powtórzenie, którego nie można rozszerzyć w żadną ze stron. Dla maksymalnego powtórzenia v powyżej: okres per(v) = 5, wykładnik exp(v) = Kluczowe własności maksymalnych powtórzeń: struktura wszystkich powtórzeń w słowie; runs(n) = O(n), expruns(n) = O(n); algorytm O(n). 1 5
20 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 6/21 Dwie słynne hipotezy (Kolpakov, Kucherov, 1999): 1 runs(n) < n 2 expruns(n) < 2n
21 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 6/21 Dwie słynne hipotezy (Kolpakov, Kucherov, 1999): 1 runs(n) < n 2 expruns(n) < 2n NIE! 2,035 n < expruns(n) < 4,1 n (R. i in., 2010)
22 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 6/21 Dwie słynne hipotezy (Kolpakov, Kucherov, 1999): 1 runs(n) < n??? 2 expruns(n) < 2n NIE! 2,035 n < expruns(n) < 4,1 n (R. i in., 2010)
23 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 6/21 Dwie słynne hipotezy (Kolpakov, Kucherov, 1999): 1 runs(n) < n??? 2 expruns(n) < 2n NIE! 2,035 n < expruns(n) < 4,1 n (R. i in., 2010) runs(n) < 5 n (Rytter, 2006) runs(n) < 3,48 n (Puglisi i in., 2008)... runs(n) < 1,029 n (Crochemore i in., 2008)
24 Maksymalne powtórzenia sześcienne lgorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie.
25 Maksymalne powtórzenia sześcienne lgorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010)
26 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b
27 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b
28 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b
29 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b
30 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b Każdy cubic run daje co najmniej dwa uchwyty Lyndona + każda pozycja jest uchwytem Lyndona dla co najwyżej jednego cubic run cubic-runs(n) < 0,5 n
31 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b Każdy cubic run daje co najmniej dwa uchwyty Lyndona + każda pozycja jest uchwytem Lyndona dla co najwyżej jednego cubic run cubic-runs(n) < 0,5 n
32 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b Każdy cubic run daje co najmniej dwa uchwyty Lyndona + każda pozycja jest uchwytem Lyndona dla co najwyżej jednego cubic run cubic-runs(n) < 0,5 n
33 Maksymalne powtórzenia sześcienne Algorytmika i kombinatoryka tekstów 7/21 Maksymalne powtórzenie sześcienne (ang. cubic run) maksymalne powtórzenie, w którym okres powtarza się co najmniej trzykrotnie. 0,41 n < cubic-runs(n) < 0,5 n (R. i in., 2010) a a b a a b a b a a b a b a a b a a b b Każdy cubic run daje co najmniej dwa uchwyty Lyndona + każda pozycja jest uchwytem Lyndona dla co najwyżej jednego cubic run cubic-runs(n) < 0,5 n TAK! runs(n) < n, expruns(n) < 3n (Bannai i in., )
34 Hipoteza Algorytmika i kombinatoryka tekstów 8/21 squares(n) maksymalna liczba różnych kwadratów w słowie długości n
35 Hipoteza Algorytmika i kombinatoryka tekstów 8/21 squares(n) maksymalna liczba różnych kwadratów w słowie długości n squares(n) < 2n (Fraenkel i Simpson, 1998)
36 Hipoteza Algorytmika i kombinatoryka tekstów 8/21 squares(n) maksymalna liczba różnych kwadratów w słowie długości n squares(n) < 2n (Fraenkel i Simpson, 1998) squares(n) < n???
37 Zagadnienia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 9/21 1 Powtórzenia w słowach 2 Szablony 3 Inne modele równości
38 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a a a b a a a a b a a a a b a a Słowo okresowe (potęga)
39 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a a a b a a a b a a a a b a a Słowo z niedokładnym okresem
40 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a b a a a b a a a a b a a Inne słowo z niedokładnym okresem
41 Szablony lgorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a b a a a b a a a a b a a Słowo aabaa jest szablonem (ang. cover)
42 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a b a a b a a a b a a a a b Inny przypadek: szablon wystaje poza słowo
43 Szablony lgorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a b a a b a a a b a a a a b Słowo aabaa jest quasi-szablonem (ang. seed)
44 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a b a a a b a a a a b a a Wróćmy do przypadku szablonu...
45 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a b a a a b a a c a a b a a Co jeśli tylko jedna pozycja nie pasuje?
46 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a a b a a b a a a b a a c a a b a a Słowo aabaa jest α-szablonem dla α = (ang. partial cover)
47 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a b a a b a a a b a a c a a b Podobnie...
48 Szablony Algorytmika i kombinatoryka tekstów 10/21 a b a a b a a a b a a c a a b Słowo aabaa jest α-quasi-szablonem dla α = (ang. partial seed)
49 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 11/21 potęga szablon O(n log n) O(n) quasi-szablon częściowy szablon częściowy quasi-szablon
50 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 11/21 potęga szablon O(n) O(n log n) O(n) quasi-szablon częściowy szablon O(n log n) częściowy quasi-szablon O(n log n)
51 Zagadnienia Algorytmika i kombinatoryka tekstów 12/21 1 Powtórzenia w słowach 2 Szablony 3 Inne modele równości
52 Inne modele równości lgorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aabcbaab ababacab Model abelowy (przemienny) Dwa słowa są równe, jeśli ich multizbiory liter są takie same (tu: {a, a, a, a, b, b, b, c}).
53 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aabcbaab ababacab Model abelowy (przemienny) Dwa słowa są równe, jeśli ich multizbiory liter są takie same (tu: {a, a, a, a, b, b, b, c}).
54 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aabcbaab ababacab Model abelowy (przemienny) Dwa słowa są równe, jeśli ich multizbiory liter są takie same (tu: {a, a, a, a, b, b, b, c}).
55 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/ Model jednakowych kształtów Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje rosnąca bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : 1 3, 2 4, 4 5, 5 6, 7 7, 9 8).
56 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/ Model jednakowych kształtów Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje rosnąca bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : 1 3, 2 4, 4 5, 5 6, 7 7, 9 8).
57 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/ Model jednakowych kształtów Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje rosnąca bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : 1 3, 2 4, 4 5, 5 6, 7 7, 9 8).
58 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/ Model jednakowych kształtów Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje rosnąca bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : 1 3, 2 4, 4 5, 5 6, 7 7, 9 8).
59 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/ Model jednakowych kształtów Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje rosnąca bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : 1 3, 2 4, 4 5, 5 6, 7 7, 9 8).
60 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aacabcdaaca ccdcbdaccdc Model parametryzowany Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : a c, b b, c d, d a).
61 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aacabcdaaca ccdcbdaccdc Model parametryzowany Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : a c, b b, c d, d a).
62 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aacabcdaaca ccdcbdaccdc Model parametryzowany Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : a c, b b, c d, d a).
63 Inne modele równości Algorytmika i kombinatoryka tekstów 13/21 aacabcdaaca ccdcbdaccdc Model parametryzowany Dwa słowa u i v nad alfabetem, odpowiednio, Σ 1 i Σ 2 są równe, jeśli istnieje bijekcja f : Σ 1 Σ 2 taka, że f (u) = v (tu f : a c, b b, c d, d a).
64 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
65 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
66 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
67 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
68 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
69 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
70 Wyszukiwanie wzorca Algorytmika i kombinatoryka tekstów 14/21 pattern
71 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 15/21 n długość tekstu; m długość wzorca Model abelowy: jeden wzorzec: O(n + m) wiele wzorców, alfabet binarny: rozmiar O(n), zapytanie O(1) (Cicalese, 2009) wiele wzorców, stały alfabet: rozmiar i konstrukcja o(n 2 ), zapytanie o(m) (Kociumaka, R., Rytter, 2013) Model jednakowych kształtów: jeden wzorzec: O(n + m) (R. i in., 2013) wiele wzorców: konstrukcja O(n log log n), zapytanie O(m) (R. i in., 2013) Model parametryzowany: jeden wzorzec: O(n + m) (Baker, 1993) wiele wzorców: konstrukcja O(n), zapytanie O(m) (Cole i Hariharan, 2003)
72 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 a b a b a c a b a a b c b a a b Pełny okres
73 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 a b a b a c a b a a b c b a a b Pełny okres
74 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 a b a b a c a b a a b c b a a b Pełny okres
75 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 a b a b a c a b a a b c b a a b Pełny okres
76 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 a b a b a c a b a a b c b a a b Pełny okres
77 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 a b a b a c a b a a b c b a a b a c Zwykły okres
78 Okresy Algorytmika i kombinatoryka tekstów 16/21 b c a b a b a c a b a a b c b a a b b c Słaby okres
79 Wyniki Algorytmika i kombinatoryka tekstów 17/21 a b a b a c a b a a b c b a a b Pełne okresy O(n log log n) O(n) a b a b a c a b a a b c b a a b a c Zwykłe okresy O(n 2 ) O(n log log n) b c a b a b a c a b a a b c b a a b b c Słabe okresy O(n 3 ) O(n 2 )
80 Zespół Algorytmika i kombinatoryka tekstów 18/21 Tomasz Kociumaka Wojciech Rytter Tomasz Waleń Marcin Kubica Maxime Crochemore Costas Iliopoulos
81 Publikacje Algorytmika i kombinatoryka tekstów 19/21 CPM 2014 Information Processing Letters (2013) CPM 2013 ESA 2013 SPIRE 2013 STACS 2013 Journal of Computer and System Sciences (2012) SODA 2012 IWOCA 2010 LATA 2010
82 Olimpiada Informatyczna Algorytmika i kombinatoryka tekstów 20/21 Szablon, XII Olimpiada Informatyczna Przyspieszenie algorytmu, XVI Olimpiada Informatyczna Chomiki, XVII Olimpiada Informatyczna Prawie szablon, Potyczki Algorytmiczne 2009 Logo, CEOI 2011 Multidrink, XX Olimpiada Informatyczna Ciągi, Potyczki Algorytmiczne 2014
83 Dziękuję! Algorytmika i kombinatoryka tekstów 21/21 Dziękuję za uwagę!
Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki
Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki mgr Agnieszka Zbrzezny IPI PAN mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa 2013 1 / 23 Literatura 1 Jewels of stringology World Scientific, 2002, W. Rytter,
1 abbbaabaaabaa -wzorzec: aaba
Algorytmy i złożoność obliczeniowa Laboratorium 14. Algorytmy tekstowe. 1. Algorytmy tekstowe Algorytmy tekstowe mają decydujące znaczenie przy wyszukiwaniu informacji typu tekstowego, ten typ informacji
teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015
teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015 1 zakres materiału zakres materiału 1. Czym jest teoria informacji? 2. Wprowadzenie matematyczne. 3. Entropia i informacja.
Temat: Algorytmy wyszukiwania wzorca w tekście
Temat: Algorytmy wyszukiwania wzorca w tekście 1. Sformułowanie problemu Dany jest tekst T oraz wzorzec P, będące ciągami znaków o długości równej odpowiednio n i m (n m 1), nad pewnym ustalonym i skończonym
Maksymalne powtórzenia w tekstach i zerowa intensywność entropii
Maksymalne powtórzenia w tekstach i zerowa intensywność entropii Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl i Instytut Podstaw Informatyki PAN Warszawa 1 Wprowadzenie 2 Ograniczenia górne i dolne 3 Przykłady
Algorytmy i struktury danych. wykład 8
Plan wykładu: Kodowanie. : wyszukiwanie wzorca w tekście, odległość edycyjna. Kodowanie Kodowanie Kodowanie jest to proces przekształcania informacji wybranego typu w informację innego typu. Kod: jest
Wykład 6. Wyszukiwanie wzorca w tekście
Wykład 6 Wyszukiwanie wzorca w tekście 1 Wyszukiwanie wzorca (przegląd) Porównywanie łańcuchów Algorytm podstawowy siłowy (naive algorithm) Jak go zrealizować? Algorytm Rabina-Karpa Inteligentne wykorzystanie
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja
Algorytmy przeszukiwania wzorca
Algorytmy i struktury danych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Algorytmy przeszukiwania wzorca 1 Wstęp Algorytmy
Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym
Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 26 października 2014 a d c k e b g j i f h Adwokat Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 118 z 857 (13%) Zaakceptowane
Bazy dokumentów tekstowych
Bazy dokumentów tekstowych Bazy dokumentów tekstowych Dziedzina zastosowań Automatyzacja bibliotek Elektroniczne encyklopedie Bazy aktów prawnych i patentów Szukanie informacji w Internecie Dokumenty tekstowe
Paweł Gawrychowski Wyszukiwanie wzorca października / 31
Paweł Gawrychowski Wyszukiwanie wzorca... 25 października 2011 1 / 31 Wyszukiwanie wzorca w skompresowanym tekście Paweł Gawrychowski 25 października 2011 Paweł Gawrychowski Wyszukiwanie wzorca... 25 października
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
Definicja. Jeśli. wtedy
Definicja Jeśli wtedy Cel kompresji: zredukowanie do minimum oczekiwanego (średniego) kosztu gdzie l i jest długością słowa kodu c i kodującego symbol a i Definicja Definicje Efektywność kodowania określamy
Załącznik KARTA PRZEDMIOTU. KARTA PRZEDMIOTU Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010
1/1 Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010 Kierunek: INFORMATYKA Specjalność: PRZEDMIOT OBOWIĄZKOWY DLA WSZYSTKICH STUDENTÓW. Tryb studiów: NIESTACJONARNE PIERWSZEGO STOPNIA
O seminarium Algorytmika
O seminarium Algorytmika Šukasz Kowalik http://www.mimuw.edu.pl/~kowalik/semstud Pa¹dziernik 2012 Šukasz Kowalik () O seminarium Algorytmika Pa¹dziernik 2012 1 / 43 Plan 1 Wst p. 2 Przegl d dziedzin algorytmiki:
Informatyka wspomaga przedmioty ścisłe w szkole
Informatyka wspomaga przedmioty ścisłe w szkole Prezentuje : Dorota Roman - Jurdzińska W arkuszu I na obu poziomach występują dwa zadania związane z algorytmiką: Arkusz I bez komputera analiza algorytmów,
Symbol, alfabet, łańcuch
Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)
Algorytmy stochastyczne, wykład 05 Systemy Liendenmayera, modelowanie roślin
Algorytmy stochastyczne, wykład 5, modelowanie roślin Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 214-3-2 1 2 3 ze stosem Przypomnienie gramatyka to system (Σ, A, s,
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 INFORMATYKA
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY FORMUŁA DO 2014 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MIN-R1,R2 MAJ 2018 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Piotr Chołda, Andrzej Kamisiński Katedra Telekomunikacji Akademii Górniczo-Hutniczej Kod źródłowy Kodem źródłowym nazywamy funkcję różnowartościową, która elementom
Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Analiza automatów Boyera-Moore a
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Wojciech Tyczyński Nr albumu: 237242 Analiza automatów Boyera-Moore a Praca magisterska na kierunku INFORMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem
Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I
Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I Rozkład zgodny
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kodowanie i bezpieczeństwo informacji - Wykład 10 29 kwietnia 2013 Teoria informacji Jeśli P(A) jest prawdopodobieństwem wystapienia informacji A to niech i(a)
Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II
Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II Rozkład wymagający
Efektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020.
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań edukacyjnych niezbędynych
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Algorytmika dla bioinformatyki
Algorytmika dla bioinformatyki kurs 2018/2019 Prof. Danuta Makowiec Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki pok. 353, danuta.makowiec@gmail.com Cele kursu 2 Treści wykładu będą skoncentrowane wokół
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych mgr inż. Olga Siedlecka olga.siedlecka@icis.pcz.pl Zakład Informatyki Stosowanej i Inżynierii Oprogramowania Instytut Informatyki
Kody blokowe Wykład 1, 3 III 2011
Kody blokowe Wykład 1, 3 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding Theory
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/ Kod przedmiotu:aisd2
Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH 2 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Badanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja
Kierunek: Informatyka. Przedmiot:
Kierunek: Informatyka Przedmiot: ALGORYTMY I Z LOŻONOŚĆ Czas trwania: Przedmiot: Jezyk wyk ladowy: semestr III obowiazkowy polski Rodzaj zaj eć Wyk lad Laboratorium Prowadzacy Prof. dr hab. Wojciech Penczek
TEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
WSTĘP DO INFORMATYKI. Złożoność obliczeniowa, efektywność i algorytmy sortowania
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WSTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Złożoność obliczeniowa, efektywność i algorytmy sortowania www.agh.edu.pl
Algorytmy i struktury danych. Drzewa: BST, kopce. Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne
Algorytmy i struktury danych Drzewa: BST, kopce Letnie Warsztaty Matematyczno-Informatyczne Drzewa: BST, kopce Definicja drzewa Drzewo (ang. tree) to nieskierowany, acykliczny, spójny graf. Drzewo może
Strukturalne własności transformaty Burrowsa-Wheelera dla pewnych klas słów
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Bartłomiej Romański Nr albumu: 219543 Strukturalne własności transformaty Burrowsa-Wheelera dla pewnych klas słów Praca magisterska na
Fraktale wokół nas. Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski. informatyka +
Fraktale wokół nas Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski informatyka + 1 Podobieństwo figur informatyka + 2 Figury podobne Figury są podobne gdy proporcjonalnie zwiększając lub zmniejszając jedną z nich
Algorytmy tekstowe na przykładzie KMP
Łukasz Kowalik, SD 2003 lgorytmy tekstowe na rzykładzie KMP 1 lgorytmy tekstowe na rzykładzie KMP Postawowe ojęcia Niech będzie dowolnym skończonym nieustym zbiorem symboli. Zbiór nazywamy alfabetem. Dowolny
Modele Obliczeń. Wykład 1 - Wprowadzenie. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 1 - Wprowadzenie Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2014/2015 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2014/2015 1 /
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Modelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu
Modelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki 23 października 2008 roku Plan prezentacji 1 Źródła 2 Motywy i ich znaczenie Łańcuchy
Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka
Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: nayar@mimuw.edu.pl. Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres martast@mimuw.edu.pl,
Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Języki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
Podstawy Informatyki. Metody dostępu do danych
Podstawy Informatyki c.d. alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Bazy danych Struktury danych Średni czas odszukania rekordu Drzewa binarne w pamięci dyskowej 2 Sformułowanie
Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Teoria Informacji i Metody Kompresji Danych
Teoria Informacji i Metody Kompresji Danych 1 Materiały wykładowe (fragmenty) 2 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty
Harmonogram dla kierunku INFORMATYKA ANALITYCZNA Rok akademicki 2014/15 semestr letni
Harmonogram dla kierunku INFORMATYKA ANALITYCZNA Studia licencjackie I ROK: Analiza Matematyczna 2 wykªad prof. dr hab. Piotr Tworzewski czwartki 810 0004 Analiza Matematyczna 2 w gr 1 dr Edward Szczypka
LZ77 LZ78. Kompresja danych. Tomasz Jurdziński. Wykład 5: kodowanie słownikowe
Tomasz Wykład 5: kodowanie słownikowe Motywacja Motywacje 1 zazwyczaj dane nie tworza ciagu wartości niezależnych, kolejny symbol jest zależny od poprzedzajacych go; 2 pewne sekwencje (słowa) często się
Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 6a: Model danych oparty na zbiorach http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Model danych oparty na zbiorach
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Omówienie zadań. Potyczki Algorytmiczne 2016
Omówienie zadań Turniej Najszybsze rozwiązanie: Mateusz Radecki (0:07) Weźmy taki graf, że istnieje bijekcja między zawodnikami i wierzchołkami. Ponadto niech krawędź skierowana między wierzchołkami v,
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Zadanie analizy leksykalnej
Analiza leksykalna 1 Teoria kompilacji Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Zadanie analizy leksykalnej Przykład: We: COST := ( PRICE + TAX ) * 0.98 Wy: id 1 := ( id 2 + id 3 ) * num 4 Tablica symboli:
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 INFORMATYKA
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY FORMUŁA OD 2015 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MIN-R1,R2 MAJ 2018 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi
Prawie 25 lat Olimpiady Informatycznej
Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 8 października 2016 Ostrzeżenie Nie znam zadań na OI, więc zagadnienia podawane jako podstawowe/zaawansowane nie są w żaden sposób wskazówką n.t. przyszłych
Analiza leksykalna 1. Teoria kompilacji. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Analiza leksykalna 1 Teoria kompilacji Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Zadanie analizy leksykalnej Kod źródłowy (ciąg znaków) Analizator leksykalny SKANER Ciąg symboli leksykalnych (tokenów)
11. Liczby rzeczywiste
. Liczby rzeczywiste Zdający: Wymagania, jakie stawia przed Tobą egzamin maturalny z przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem
Równoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Informatyka szkolna z perspektywy uczelni
Informatyka szkolna z perspektywy uczelni Jacek Cichoń Jacek.Cichon@pwr.wroc.pl Instytut Matematyki i Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska listopad 2010 Cichoń (IMiI
Nowa podstawa programowa przedmiotu informatyka w szkole ponadpodstawowej
Nowa podstawa programowa przedmiotu informatyka w szkole ponadpodstawowej Konferencja metodyczna Informatyka realnie Maciej Borowiecki maciej.borowiecki@oeiizk.waw.pl Ośrodek Edukacji Informatycznej i
Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Kodowanie informacji
Tomasz Wykład 4: kodowanie słownikowe Motywacja Motywacje 1 kodowane dane nie tworza ciagu wartości niezależnych, rozkład prawdopodobieństwa zależy od symboli poprzedzajacych symbol kodowany; 2 pewne sekwencje
Nie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 1 gimnazjum
Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny P podstawowy R rozszerzający D dopełniający W wykraczający Nie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 1 gimnazjum Ułamki i działania 20 h Nazwa modułu I. Ułamki zwykłe
Artur Jeż: Autoreferat
Imię i nazwisko: Artur Jeż Dyplomy i stopnie naukowe Artur Jeż: Autoreferat Magister informatyki: 2006 Instytut Informatyki, Uniwersytet Wrocławski. Magister matematyki: 2006 Instytut Matematyczny, Uniwersytet
Plan wynikowy z rozkładem materiału
Plan wynikowy z rozkładem materiału Plan wynikowy oraz rozkład materiału nauczania są indywidualnymi dokumentami nauczycielskimi związanymi z realizowanym programem nauczania. Uwzględniają specyfikę danej
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9,
1 Kody Tunstalla Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9, 14.04.2005 Inne podejście: słowa kodowe mają ustaloną długość, lecz mogą kodować ciągi liter z alfabetu wejściowego o różnej
Harmonogram INFORMATYKA ANALITYCZNA Rok akademicki 2014/15 semestr zimowy
Studia licencjackie I ROK: Analiza Matematyczna 1 wykªad prof. dr hab. Piotr Tworzewski czwartki 8-10 0004 Analiza Matematyczna 1 w gr 1 dr Edward Szczypka poniedziaªki 1416 0086 Analiza Matematyczna 1
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
1. Podstawowe pojęcia dotyczące przetwarzania tekstów 2. Podstawowe operacje na łańcuchach znakowych 3. Naiwne wyszukiwanie wzorca w tekście 4.
1. Podstawowe pojęcia dotyczące przetwarzania tekstów 2. Podstawowe operacje na łańcuchach znakowych 3. Naiwne wyszukiwanie wzorca w tekście 4. Zliczanie słów w łańcuchu 5. Dzielenie łańcucha na słowa
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 4 część I 2 Kombinatoryka Wariacje z powtórzeniami Permutacje Wariacje bez powtórzeń Kombinacje Łączenie
Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.
Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer
Analiza leksykalna 1. Języki formalne i automaty. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Analiza leksykalna 1 Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Zadanie analizy leksykalnej Kod źródłowy (ciąg znaków) Analizator leksykalny SKANER Ciąg symboli leksykalnych
Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej
Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej Spis treści Autor: Marcin Orchel Algorytmika...2 Algorytmika w gimnazjum...2 Algorytmika w liceum...2 Język programowania w
Program nauczania informatyki w gimnazjum Informatyka dla Ciebie. Modyfikacja programu klasy w cyklu 2 godzinnym
Modyfikacja programu klasy 2 nym Cele modyfikacji Celem modyfikacji jest poszerzenie zakresu wiedzy zawartej w podstawie programowej które pomoże uczniom uzmysłowić sobie treści etyczne związane z pracą
Jaki język zrozumie automat?
Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy
(j, k) jeśli k j w przeciwnym przypadku.
Zadanie 1. (6 punktów) Rozważmy język słów nad alfabetem {1, 2, 3}, w których podciąg z pozycji parzystych i podciąg z pozycji nieparzystych są oba niemalejące. Na przykład 121333 należy do języka, a 2111
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/14 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin
. Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl http://orion.fis.agh.edu.pl/~grazyna/ D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Plan wykładu 2 Wprowadzenie, trochę historii, systemy liczbowe
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie