Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka
|
|
- Mateusz Sokołowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzelckiej). Zadanie. (A) Niech a, a,..., a n będą dodatnimi liczba rzeczywistymi. Udowodnij, że funkcja f : R R zadana wzorem jest wypukła. f(p) = ln(a p + a p a p n) Zadanie. (G+K) Niech A = (a ij ) n i,j= będzie macierzą n n o współczynnikach spełniających a ij {, }. (i) Udowodnij, że det A n n/. (ii) Załóżmy, że n 4 i det A = n n/. Wykaż, że 4 n. Podaj przykład takiej macierzy dla n =. Zadanie 3. (A) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A X. Załóżmy, że funkcja f : A R jest -lipschitzowska na A, czyli f(x ) f(x ) x x, x, x A. Rozstrzygnij, czy zawsze istnieje funkcja F : X R taka, że F A = f oraz F (x ) F (x ) x x, x, x X. Zadanie 4. (A) Niech P : [, ] [, ] będzie wielomianem stopnia n 0. Udowodnij, że P (x) n dla x [, ]. Zadanie 5. (K) Niech A, A,..., A n będą parami różnymi podzbiorami zbioru [n] := {,,..., n}. Udowodnij, że istnieje element x [n] taki, że zbiory są parami różne. A \ {x}, A \ {x},..., A n \ {x} Zadanie 6. (G) Niech A, B będą macierzami symetrycznymi takimi, że A > B > 0. (i) Udowodnij, że A < B. (ii) Udowodnij, że A + A I. A > B oznacza, że A B jest dodatnio określona. Podobnie A B oznacza, że A B jest nieujemnie określona.
2 Seria II, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (G) Niech A, B będą rzeczywistymi macierzami n n spełniającymi warunek det(a + B) 0 i AB = BA. Udowodnij, że det(a k + B k ) 0 dla wszystkich k. Zadanie. (A) Niech A = (a ij ) n i,j= będzie macierzą n n o dodatnich współczynnikach. Załóżmy, że n i,j= a ij =. Niech p i = n j= a ij oraz q j = n i= a ij. Udowodnij nierówność n n n a ij ln(a ij ) p i ln(p i ) + q j ln(q j ) i,j= i scharakteryzuj przypadki, w których powyższa nierówność staje się równością. i= Zadanie 3. (A+K) Każdą krawędź drzewa binarnego o wysokości n kolorujemy na czerwono z prawdopodobieństwem p [0, ] lub na czarno z prawdopodobieństwem p. Niech p n oznacza prawdopodobieństwo, że istnieje liść połączony z korzeniem czerwoną ścieżką. Wyznacz lim n p n jako funkcję parametru p. K j= Rysunek : Drzewo binarne o wysokości n = 3. Liść L jest połączony z korzeniem K czerwoną ścieżką. Zadanie 4. (K) Rozważmy nieskończone słowa nad pewnym skończonym alfabetem {a, a,..., a n }. Skończone podsłowo (ciąg kolejnych liter w danym słowie) postaci {a i a i... a ik a i a i... a ik }, k, nazywamy powtórzeniem. Dla przykładu, w słowie ABCBACBAC... nad alfabetem {A, B, C} podsłowo CBACBA jest powtórzeniem. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n o tej własności, że istnieje słowo nad alfabetem n elementowym, w którym nie występują powtórzenia. Zadanie 5. (G+K) Niech G = (V, E) będzie skończonym grafem nieskierowanym o zbiorze wierzchołków V = {v,..., v n }. Definiujemy a ij = jeśli pomiędzy wierzchołkami v i, v j jest krawędź oraz a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Załóżmy, że znane są wartości własne λ, λ,..., λ n macierzy (a ij ) n i,j= (traktowane jako multizbiór, w którym każda wartość własna występuje tyle razy, ile wynosi jej krotność). (i) Czy liczby te wyznaczają jednoznacznie liczbę krawędzi w grafie G? (ii) Czy wyznaczają one jednoznacznie liczbę spójnych składowych w grafie G? Zadanie 6. (A+G) Niech C będzie rzeczywistą macierzą n k. Udowodnij, że macierz C T C ma rzeczywiste i nieujemne wartości własne s (C),..., s n(c). Ustalmy p < i zdefiniujmy C p = ( n i= s i(c) p ) /p. Niech A, B będą rzeczywistymi macierzami n k. Udowodnij nierówność A + B p A p + B p. L
3 Seria III, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (K) Niech m będzie liczbą całkowitą. Definiujemy ciąg (a n ) n 0 rekurencyjnie, a 0 = a =, a n+ = a n + e πin/m a n. Udowodnij, że dla n m prawdziwa jest równość a n+m = a n + a n m. Zadanie. (A) Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych a,..., a n o tej własności, że a i a i+ dla i =,..., n. Załóżmy ponadto, że n i= a i = 0. Udowodnij nierówność n i= a i n(n ). Zadanie 3. (G) Niech λ (A) λ (A)... λ n (A) będą wartościami własnymi macierzy symetrycznej A = (a ij ) n i,j= (licząc z powtórzeniami). Rozważmy macierz B = (a ij ) n i,j= i niech λ (B) λ (B)... λ n (B) będą wartościami własnymi macierzy B. Udowodnij, że λ (A) λ (B) λ (A) λ (B)... λ n (A) λ n (B) λ n (A). Zadanie 4. (G+K) Niech m = m(n, k) będzie największą liczbą naturalną o następującej własności: istnieje zbiór {v,..., v m } R n taki, że wyrażenia v i v j dla i j przyjmują najwyżej k różnych wartości, gdzie jest odległością euklidesową. (i) Wykaż, że m(n, ) = n +. (ii) Wykaż, że lim n n m(n, ) =. Zadanie 5. (A) Niech P : R R będzie wielomianem, czyli P (x, y) = n i,j=0 a ijx i y j dla pewnej liczby naturalnej n i liczb rzeczywistych a ij. Czy może się zdarzyć, że P (R ) = (0, )? Zadanie 6. (K) Rozważmy trójkąt równoboczny podzielony na n małych trójkątów równobocznych (tak jak na Rysunku ). Podział ten indukuje graf T n. Wierzchołki tego grafu numerujemy liczbami ze zbioru {,, 3}, przy czym wierzchołki dużego trójkąta mają kolejno numery,, 3. Ponadto, na boku dużego trójkąta, którego końce mają numery i, mogą znajdować się jedynie wierzchołki z numerami i. Analogicznie dla pozostałych dwóch boków. Udowodnij, że w T n istnieje mały trójkąt, którego wierzchołki mają numery, i Rysunek : Graf T n dla n = 4. Zaznaczono mały trójkąt mający wierzchołki z numerami,, 3.
4 Seria IV, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (G+K) Niech m > n i niech A,..., A m będą niepustymi podzbiorami zbioru {,..., n}. Udowodnij, że istnieją rozłączne i niepuste podzbiory I, J {,..., m} takie, że i I A i = j J A j. Zadanie. (A) Niech f : R R {+ } będzie funkcją wypukłą. Zdefiniujmy funkcję Lf : R R {+ } wzorem (Lf)(x) = sup y R (xy f(y)). Udowodnij, że Lf jest funkcją wypukłą. Wykaż również, że L(Lf) = f. Zadanie 3. (A+G) Niech A, B będą dodatnio określonymi macierzami n n. Udowodnij nierówność det(a + B) n det(a) n + det(b) n. Zadanie 4. (G+K) Niech A = {v,..., v n } będzie zbiorem n punktów przestrzeni R d. Udowodnij, że istnieje punkt x R d o tej własności, że każda domknięta półprzestrzeń zawierająca punkt x zawiera co najmniej n d+ punktów ze zbioru A. Zadanie 5. (A) Niech z, z,... będzie zbieżnym do zera ciągiem liczb zespolonych. Rozstrzygnij, czy zawsze istnieje ciąg znaków ε, ε,... {, } o tej własności, że n= ε nz n jest zbieżny. Zadanie 6. (G+K) Wyznacz najmniejszą liczbę r d > 0 o następującej własności: dla każdego zbioru domkniętego K R d o średnicy istnieje kula euklidesowa B R n o promieniu r d taka, że K B.
5 Seria V, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (A) Niech a, a,... będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych. Udowodnij nierówność ( ) n + an+ lim sup e. n Czy stałą e da się zastąpić większą liczbą? a n Zadanie. (K) Niech A, B, C Z będą zbiorami skończonymi. Definiujemy A ± B = {a ± b : a A, b B}. Niech oznacza liczbę elementów zbioru. (i) Udowodnij nierówność B A C A B B C. (ii) Udowodnij nierówność A + B A B A B 3. Zadanie 3. (K) Rozważmy kratę n n, której wierzchołki mogą znajdować się w jednym z dwóch stanów każdy wierzchołek może być zdrowy lub zainfekowany. Załóżmy, że na początku mamy k zainfekowanych wierzchołków. W każdej rundzie nowe wierzchołki zostają zainfekowane zgodnie z następującą regułą: zainfekowany zostaje wierzchołek, który sąsiaduje z dwoma lub większą liczbą zainfekowanych wierzchołków. Wyznacz najmniejszą liczbę k o tej własności, że istnieje początkowe rozmieszczenie k zainfekowanych wierzchołków, które po skończenie wielu krokach prowadzi do zainfekowania całej kraty. Rysunek : Krata 7 7. Na rysunku po lewej stronie przedstawiono zainfekowane wierzchołki po pewnej liczbie kroków. Na środkowym rysunku zaznaczono dodatkowo wierzchołki, które zostaną zainfekowane w kolejnym kroku. Trzeci rysunek przedstawia sytuację końcową, po wykonaniu tego kroku. Zadanie 4. (G+K) Niech A będzie rzeczywistą macierzą n n. Udowodnij, że istnieje macierz diagonalna D = diag(ε,..., ε n ), gdzie ε,..., ε n {, } taka, że det(a + D) 0. Zadanie 5. (A) Niech P będzie rzeczywistym wielomianem stopnia większego niż. Udowodnij, że wielomian P + P ma przynajmniej jeden nierzeczywisty pierwiastek. Zadanie 6. (A+G) Niech V będzie przestrzenią liniową nad C i niech T : V V będzie przekształceniem liniowym. Ustalmy liczbę naturalną n i załóżmy, że dla wszystkich v V wektory v, T v, T v,..., T n v są liniowo zależne. Czy wynika stąd, że przekształcenia I, T, T,..., T n są liniowo zależne?
6 Seria VI, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (A) Niech f będzie dodatnią funkcją ciągłą spełniającą warunki + Udowodnij nierówność f(x) dx =, + + xf(x) dx = 0, + ( ) f(x) ln dx f(x) ln(πe). x f(x) dx =. Zadanie. (G) Załóżmy, że U jest rzeczywistą macierzą ortogonalną n n. Przypuśćmy, że istnieje niezerowy wektor x R n taki, że Ux jest prostopadły do x względem standardowego iloczynu skalarnego. Udowodnij, że każdy łuk okręgu jednostkowego S, który zawiera wszystkie wartości własne macierzy U, ma długość przynajmniej π. Zadanie 3. (A+K) Kostką standardową w R n nazwiemy zbiór postaci (k, k +)... (k n, k n +) dla k,..., k n Z. Niech A R n będzie sumą m rozłącznych kostek standardowych. Definiujemy rzuty P i (x,..., x n ) = (x,..., x i, x i+,..., x n ) dla i =,..., n. Załóżmy, że dla i =,..., n zbiór P i (A) jest sumą m i rozłącznych kostek standardowych w R n. Udowodnij nierówność m... m n m n. Zadanie 4. (G+K) Oznaczmy [n] = {,..., n}. Dla x = (x,..., x n ) R n oraz S [n] definiujemy w S (x) = i S x i, przy czym w. (i) Niech f : {, } n R. Udowodnij, że istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby a S, S [n] takie, że f(x) = S [n] a Sw S (x) dla wszystkich x {, } n. (ii) Załóżmy, że funkcja f(x) = S [n] a Sw S (x) spełnia f(x) = dla wszystkich x {, } n. Udowodnij, że S [n] a S =. Zadanie 5. (K) Niech G będzie grafem prostym o n 3 wierzchołkach. Załóżmy, że każde dwa wierzchołki mają dokładnie jednego wspólnego sąsiada. Udowodnij, że n jest liczbą nieparzystą i w grafie G jeden z wierzchołków ma stopień n. Zadanie 6. (A) Niech (a n ) n 0 będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Załóżmy, że szereg n= a n sin(nx) jest zbieżny dla każdego x R. Załóżmy ponadto, że funkcja f(x) = n= a n sin(nx) jest tożsamościowo równa 0. Czy z tego wynika, że a n = 0 dla n 0?
7 Seria VII, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (G) Niech x,..., x n i y,..., y n będą dwiema bazami przestrzeni euklidesowej R n. Ustalmy liczbę naturalną k n. Udowodnij, że dla pewnych i < i <... < i k n zbiory A = {y i,..., y ik, x k+,..., x n }, B = ({y,..., y n } \ {y i,..., y ik }) {x,..., x k }. są ponownie dwiema bazami R n. Zadanie. (A) Niech (a n ) n będzie ciągiem liczb rzeczywistych o tej własności, że dla każdego t R istnieje granica lim n e iant. Czy wynika stąd, że ciąg (a n ) n ma granicę skończoną? Zadanie 3. (G+K) Niech A = {v,..., v n } R. Załóżmy, że punkty v,..., v n nie leżą na jednej prostej. Udowodnij, że przez pary punktów ze zbioru A da się przeprowadzić przynajmniej n różnych prostych. Zadanie 4. (A+K) Powiemy, że punkty u, v {0, } n są sąsiadami (u v), jeśli u i v różnią się dokładnie na jednej współrzędnej. (i) Niech A {0, } n. Dla v A definiujemy d A (v) = {u A : u v}. Udowodnij nierówność A d, gdzie d = A v A d A(v). (ii) Dla A {0, } n definiujemy E(A, A c ) = {(u, v) : u v, u A, v A c }. Udowodnij nierówność E(A, A c ) A (n log A ). Zadanie 5. (A) Niech f, g : [0, ] R będą funkcjami ciągłymi i niech f p = Udowodnij, że dla p [, ] prawdziwa jest nierówność f + g p + (p ) f g p f p + g p. ( 0 f(x) p dx) /p. Zadanie 6. (G+K) Niech A,..., A k będą podzbiorami zbioru {,..., n}, przy czym każdy z tych zbiorów ma parzystą liczbę elementów. Załóżmy, że dla dowolnych i < j n zbiór A i A j ma nieparzystą liczbę elementów. Wykaż, że k n.
8 Seria VIII, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (K) Niech P n będzie wielokątem foremnym o n wierzchołkach. Triangulacją wielokąta P n nazwiemy dowolny podział tego wielokąta na trójkąty (o parami niepustych wnętrzach), których wierzchołki są wierzchołkami P n. Powiemy, że przekątna p wielokąta P n jest elementem triangulacji T jeśli w T istnieje trójkąt, którego jeden z boków jest równy p. Powiemy, że pewien podzbiór F zbioru wszystkich triangulacji jest dobry, jeśli dla każdej pary triangulacji T, T F istnieje przekątna p wielokąta K n będąca elementem T i T. Udowodnij, że maksymalna możliwa moc dobrego zbioru triangulacji jest równa C n 3, gdzie C n jest n-tą liczbą Catalana. Uwaga. Wszystkich triangulacji P n jest C n. Zadanie. (A) Dla f, g : R (0, ) definiujemy splot (f g)(x) = f(t)g(x t) dt. Załóżmy, że R f spełnia f(x) dx =, xf(x) dx = 0 oraz R R R x f(x) dx =. Niech ϕ(x) = π e x /. Udowodnij nierówność (f ϕ) ln(f ϕ) (f f) ln(f f). R Zadanie 3. (A+G+K) Oznaczmy [n] = {,..., n}. Dla x = (x,..., x n ) R n oraz S [n] definiujemy w S (x) = i S x i, przy czym w. Niech f : {, } n {, } będzie postaci f = S [n] a Sw S (patrz Zadanie 4 z Serii 6). Udowodnij nierówność a S ln ( ) a S C a S S, S gdzie S jest mocą zbioru S [n] i C > 0 jest pewną stałą uniwersalną (niezależną od n, np. C = 05 powinno wystarczyć). Zadanie 4. (G) Niech K będzie zbiorem wypukłym w R n. Załóżmy, że n-wymiarowa objętość zbioru K jest równa. Udowodnij, że istnieje hiperpłaszczyzna H o tej własności, że zbiór K H ma (n )- wymiarową objętość nie mniejszą niż c, gdzie c > 0 jest pewną stałą uniwersalną. Uwaga. Jeśli pojęcie n-wymiarowej objętości budzi strach i zwątpienie, to można sobie założyć, że K jest skończoną sumą sympleksów. Objętość n-wymiarowego sympleksu liczymy tak, jak na GALu. Zadanie 5. (A) Niech f : [ π, π] R będzie funkcją postaci f(x) = d k= a k sin(kx). Niech x,..., x m [ π, π] będą wszystkimi miejscami zerowymi funkcji f. Udowodnij, że dla pewnej stałej uniwersalnej C > 0 prawdziwa jest nierówność m +π f(x j ) Cd f(x) dx. j= Zadanie 6. (G+K) Niech m, n będą liczbami naturalnymi i niech A będzie macierzą m n, której kolumny są wektorami w R m o długości euklidesowej. Udowodnij, że istnieje wektor x {, } n o tej własności, że Ax [ C, C] m, gdzie C > 0 jest stałą uniwersalną. R π S
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoO D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H
O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest
Bardziej szczegółowoTest kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut
Kod ucznia Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A 14 MARCA 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWskazówki do zadań testowych. Matura 2016
Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoInstytut Matematyczny. Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY. 1 października 2007 r.
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY 1 października 2007 r. Nazwisko Imię Numer Indeksu 201 Wersja testu A 1 października 2007 r. 1. a. T N b. T N c. T N d. T N 2. a. T
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoKonkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku
Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoXXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy
XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 5a;
Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań testowych. a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących n=1
Egzamin licencjacki (rozwiązania zadań) - 1-3 czerwca 014 r. Rozwiązania zadań testowych 1. Dany jest taki szereg zbieżny a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących szeregów: a) (a n+1 +a
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoLV Olimpiada Matematyczna
LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoWersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx
1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 23 KWIETNIA 2016 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Na rysunku przedstawiony
Bardziej szczegółowo