Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka"

Transkrypt

1 Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzelckiej). Zadanie. (A) Niech a, a,..., a n będą dodatnimi liczba rzeczywistymi. Udowodnij, że funkcja f : R R zadana wzorem jest wypukła. f(p) = ln(a p + a p a p n) Zadanie. (G+K) Niech A = (a ij ) n i,j= będzie macierzą n n o współczynnikach spełniających a ij {, }. (i) Udowodnij, że det A n n/. (ii) Załóżmy, że n 4 i det A = n n/. Wykaż, że 4 n. Podaj przykład takiej macierzy dla n =. Zadanie 3. (A) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A X. Załóżmy, że funkcja f : A R jest -lipschitzowska na A, czyli f(x ) f(x ) x x, x, x A. Rozstrzygnij, czy zawsze istnieje funkcja F : X R taka, że F A = f oraz F (x ) F (x ) x x, x, x X. Zadanie 4. (A) Niech P : [, ] [, ] będzie wielomianem stopnia n 0. Udowodnij, że P (x) n dla x [, ]. Zadanie 5. (K) Niech A, A,..., A n będą parami różnymi podzbiorami zbioru [n] := {,,..., n}. Udowodnij, że istnieje element x [n] taki, że zbiory są parami różne. A \ {x}, A \ {x},..., A n \ {x} Zadanie 6. (G) Niech A, B będą macierzami symetrycznymi takimi, że A > B > 0. (i) Udowodnij, że A < B. (ii) Udowodnij, że A + A I. A > B oznacza, że A B jest dodatnio określona. Podobnie A B oznacza, że A B jest nieujemnie określona.

2 Seria II, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (G) Niech A, B będą rzeczywistymi macierzami n n spełniającymi warunek det(a + B) 0 i AB = BA. Udowodnij, że det(a k + B k ) 0 dla wszystkich k. Zadanie. (A) Niech A = (a ij ) n i,j= będzie macierzą n n o dodatnich współczynnikach. Załóżmy, że n i,j= a ij =. Niech p i = n j= a ij oraz q j = n i= a ij. Udowodnij nierówność n n n a ij ln(a ij ) p i ln(p i ) + q j ln(q j ) i,j= i scharakteryzuj przypadki, w których powyższa nierówność staje się równością. i= Zadanie 3. (A+K) Każdą krawędź drzewa binarnego o wysokości n kolorujemy na czerwono z prawdopodobieństwem p [0, ] lub na czarno z prawdopodobieństwem p. Niech p n oznacza prawdopodobieństwo, że istnieje liść połączony z korzeniem czerwoną ścieżką. Wyznacz lim n p n jako funkcję parametru p. K j= Rysunek : Drzewo binarne o wysokości n = 3. Liść L jest połączony z korzeniem K czerwoną ścieżką. Zadanie 4. (K) Rozważmy nieskończone słowa nad pewnym skończonym alfabetem {a, a,..., a n }. Skończone podsłowo (ciąg kolejnych liter w danym słowie) postaci {a i a i... a ik a i a i... a ik }, k, nazywamy powtórzeniem. Dla przykładu, w słowie ABCBACBAC... nad alfabetem {A, B, C} podsłowo CBACBA jest powtórzeniem. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n o tej własności, że istnieje słowo nad alfabetem n elementowym, w którym nie występują powtórzenia. Zadanie 5. (G+K) Niech G = (V, E) będzie skończonym grafem nieskierowanym o zbiorze wierzchołków V = {v,..., v n }. Definiujemy a ij = jeśli pomiędzy wierzchołkami v i, v j jest krawędź oraz a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Załóżmy, że znane są wartości własne λ, λ,..., λ n macierzy (a ij ) n i,j= (traktowane jako multizbiór, w którym każda wartość własna występuje tyle razy, ile wynosi jej krotność). (i) Czy liczby te wyznaczają jednoznacznie liczbę krawędzi w grafie G? (ii) Czy wyznaczają one jednoznacznie liczbę spójnych składowych w grafie G? Zadanie 6. (A+G) Niech C będzie rzeczywistą macierzą n k. Udowodnij, że macierz C T C ma rzeczywiste i nieujemne wartości własne s (C),..., s n(c). Ustalmy p < i zdefiniujmy C p = ( n i= s i(c) p ) /p. Niech A, B będą rzeczywistymi macierzami n k. Udowodnij nierówność A + B p A p + B p. L

3 Seria III, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (K) Niech m będzie liczbą całkowitą. Definiujemy ciąg (a n ) n 0 rekurencyjnie, a 0 = a =, a n+ = a n + e πin/m a n. Udowodnij, że dla n m prawdziwa jest równość a n+m = a n + a n m. Zadanie. (A) Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych a,..., a n o tej własności, że a i a i+ dla i =,..., n. Załóżmy ponadto, że n i= a i = 0. Udowodnij nierówność n i= a i n(n ). Zadanie 3. (G) Niech λ (A) λ (A)... λ n (A) będą wartościami własnymi macierzy symetrycznej A = (a ij ) n i,j= (licząc z powtórzeniami). Rozważmy macierz B = (a ij ) n i,j= i niech λ (B) λ (B)... λ n (B) będą wartościami własnymi macierzy B. Udowodnij, że λ (A) λ (B) λ (A) λ (B)... λ n (A) λ n (B) λ n (A). Zadanie 4. (G+K) Niech m = m(n, k) będzie największą liczbą naturalną o następującej własności: istnieje zbiór {v,..., v m } R n taki, że wyrażenia v i v j dla i j przyjmują najwyżej k różnych wartości, gdzie jest odległością euklidesową. (i) Wykaż, że m(n, ) = n +. (ii) Wykaż, że lim n n m(n, ) =. Zadanie 5. (A) Niech P : R R będzie wielomianem, czyli P (x, y) = n i,j=0 a ijx i y j dla pewnej liczby naturalnej n i liczb rzeczywistych a ij. Czy może się zdarzyć, że P (R ) = (0, )? Zadanie 6. (K) Rozważmy trójkąt równoboczny podzielony na n małych trójkątów równobocznych (tak jak na Rysunku ). Podział ten indukuje graf T n. Wierzchołki tego grafu numerujemy liczbami ze zbioru {,, 3}, przy czym wierzchołki dużego trójkąta mają kolejno numery,, 3. Ponadto, na boku dużego trójkąta, którego końce mają numery i, mogą znajdować się jedynie wierzchołki z numerami i. Analogicznie dla pozostałych dwóch boków. Udowodnij, że w T n istnieje mały trójkąt, którego wierzchołki mają numery, i Rysunek : Graf T n dla n = 4. Zaznaczono mały trójkąt mający wierzchołki z numerami,, 3.

4 Seria IV, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (G+K) Niech m > n i niech A,..., A m będą niepustymi podzbiorami zbioru {,..., n}. Udowodnij, że istnieją rozłączne i niepuste podzbiory I, J {,..., m} takie, że i I A i = j J A j. Zadanie. (A) Niech f : R R {+ } będzie funkcją wypukłą. Zdefiniujmy funkcję Lf : R R {+ } wzorem (Lf)(x) = sup y R (xy f(y)). Udowodnij, że Lf jest funkcją wypukłą. Wykaż również, że L(Lf) = f. Zadanie 3. (A+G) Niech A, B będą dodatnio określonymi macierzami n n. Udowodnij nierówność det(a + B) n det(a) n + det(b) n. Zadanie 4. (G+K) Niech A = {v,..., v n } będzie zbiorem n punktów przestrzeni R d. Udowodnij, że istnieje punkt x R d o tej własności, że każda domknięta półprzestrzeń zawierająca punkt x zawiera co najmniej n d+ punktów ze zbioru A. Zadanie 5. (A) Niech z, z,... będzie zbieżnym do zera ciągiem liczb zespolonych. Rozstrzygnij, czy zawsze istnieje ciąg znaków ε, ε,... {, } o tej własności, że n= ε nz n jest zbieżny. Zadanie 6. (G+K) Wyznacz najmniejszą liczbę r d > 0 o następującej własności: dla każdego zbioru domkniętego K R d o średnicy istnieje kula euklidesowa B R n o promieniu r d taka, że K B.

5 Seria V, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (A) Niech a, a,... będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych. Udowodnij nierówność ( ) n + an+ lim sup e. n Czy stałą e da się zastąpić większą liczbą? a n Zadanie. (K) Niech A, B, C Z będą zbiorami skończonymi. Definiujemy A ± B = {a ± b : a A, b B}. Niech oznacza liczbę elementów zbioru. (i) Udowodnij nierówność B A C A B B C. (ii) Udowodnij nierówność A + B A B A B 3. Zadanie 3. (K) Rozważmy kratę n n, której wierzchołki mogą znajdować się w jednym z dwóch stanów każdy wierzchołek może być zdrowy lub zainfekowany. Załóżmy, że na początku mamy k zainfekowanych wierzchołków. W każdej rundzie nowe wierzchołki zostają zainfekowane zgodnie z następującą regułą: zainfekowany zostaje wierzchołek, który sąsiaduje z dwoma lub większą liczbą zainfekowanych wierzchołków. Wyznacz najmniejszą liczbę k o tej własności, że istnieje początkowe rozmieszczenie k zainfekowanych wierzchołków, które po skończenie wielu krokach prowadzi do zainfekowania całej kraty. Rysunek : Krata 7 7. Na rysunku po lewej stronie przedstawiono zainfekowane wierzchołki po pewnej liczbie kroków. Na środkowym rysunku zaznaczono dodatkowo wierzchołki, które zostaną zainfekowane w kolejnym kroku. Trzeci rysunek przedstawia sytuację końcową, po wykonaniu tego kroku. Zadanie 4. (G+K) Niech A będzie rzeczywistą macierzą n n. Udowodnij, że istnieje macierz diagonalna D = diag(ε,..., ε n ), gdzie ε,..., ε n {, } taka, że det(a + D) 0. Zadanie 5. (A) Niech P będzie rzeczywistym wielomianem stopnia większego niż. Udowodnij, że wielomian P + P ma przynajmniej jeden nierzeczywisty pierwiastek. Zadanie 6. (A+G) Niech V będzie przestrzenią liniową nad C i niech T : V V będzie przekształceniem liniowym. Ustalmy liczbę naturalną n i załóżmy, że dla wszystkich v V wektory v, T v, T v,..., T n v są liniowo zależne. Czy wynika stąd, że przekształcenia I, T, T,..., T n są liniowo zależne?

6 Seria VI, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (A) Niech f będzie dodatnią funkcją ciągłą spełniającą warunki + Udowodnij nierówność f(x) dx =, + + xf(x) dx = 0, + ( ) f(x) ln dx f(x) ln(πe). x f(x) dx =. Zadanie. (G) Załóżmy, że U jest rzeczywistą macierzą ortogonalną n n. Przypuśćmy, że istnieje niezerowy wektor x R n taki, że Ux jest prostopadły do x względem standardowego iloczynu skalarnego. Udowodnij, że każdy łuk okręgu jednostkowego S, który zawiera wszystkie wartości własne macierzy U, ma długość przynajmniej π. Zadanie 3. (A+K) Kostką standardową w R n nazwiemy zbiór postaci (k, k +)... (k n, k n +) dla k,..., k n Z. Niech A R n będzie sumą m rozłącznych kostek standardowych. Definiujemy rzuty P i (x,..., x n ) = (x,..., x i, x i+,..., x n ) dla i =,..., n. Załóżmy, że dla i =,..., n zbiór P i (A) jest sumą m i rozłącznych kostek standardowych w R n. Udowodnij nierówność m... m n m n. Zadanie 4. (G+K) Oznaczmy [n] = {,..., n}. Dla x = (x,..., x n ) R n oraz S [n] definiujemy w S (x) = i S x i, przy czym w. (i) Niech f : {, } n R. Udowodnij, że istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby a S, S [n] takie, że f(x) = S [n] a Sw S (x) dla wszystkich x {, } n. (ii) Załóżmy, że funkcja f(x) = S [n] a Sw S (x) spełnia f(x) = dla wszystkich x {, } n. Udowodnij, że S [n] a S =. Zadanie 5. (K) Niech G będzie grafem prostym o n 3 wierzchołkach. Załóżmy, że każde dwa wierzchołki mają dokładnie jednego wspólnego sąsiada. Udowodnij, że n jest liczbą nieparzystą i w grafie G jeden z wierzchołków ma stopień n. Zadanie 6. (A) Niech (a n ) n 0 będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Załóżmy, że szereg n= a n sin(nx) jest zbieżny dla każdego x R. Załóżmy ponadto, że funkcja f(x) = n= a n sin(nx) jest tożsamościowo równa 0. Czy z tego wynika, że a n = 0 dla n 0?

7 Seria VII, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (G) Niech x,..., x n i y,..., y n będą dwiema bazami przestrzeni euklidesowej R n. Ustalmy liczbę naturalną k n. Udowodnij, że dla pewnych i < i <... < i k n zbiory A = {y i,..., y ik, x k+,..., x n }, B = ({y,..., y n } \ {y i,..., y ik }) {x,..., x k }. są ponownie dwiema bazami R n. Zadanie. (A) Niech (a n ) n będzie ciągiem liczb rzeczywistych o tej własności, że dla każdego t R istnieje granica lim n e iant. Czy wynika stąd, że ciąg (a n ) n ma granicę skończoną? Zadanie 3. (G+K) Niech A = {v,..., v n } R. Załóżmy, że punkty v,..., v n nie leżą na jednej prostej. Udowodnij, że przez pary punktów ze zbioru A da się przeprowadzić przynajmniej n różnych prostych. Zadanie 4. (A+K) Powiemy, że punkty u, v {0, } n są sąsiadami (u v), jeśli u i v różnią się dokładnie na jednej współrzędnej. (i) Niech A {0, } n. Dla v A definiujemy d A (v) = {u A : u v}. Udowodnij nierówność A d, gdzie d = A v A d A(v). (ii) Dla A {0, } n definiujemy E(A, A c ) = {(u, v) : u v, u A, v A c }. Udowodnij nierówność E(A, A c ) A (n log A ). Zadanie 5. (A) Niech f, g : [0, ] R będą funkcjami ciągłymi i niech f p = Udowodnij, że dla p [, ] prawdziwa jest nierówność f + g p + (p ) f g p f p + g p. ( 0 f(x) p dx) /p. Zadanie 6. (G+K) Niech A,..., A k będą podzbiorami zbioru {,..., n}, przy czym każdy z tych zbiorów ma parzystą liczbę elementów. Załóżmy, że dla dowolnych i < j n zbiór A i A j ma nieparzystą liczbę elementów. Wykaż, że k n.

8 Seria VIII, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres przynosić do pokoju 4500 lub zostawiać w skrytce przy sekretariatach (w przegródce Marty Strzeleckiej). Zadanie. (K) Niech P n będzie wielokątem foremnym o n wierzchołkach. Triangulacją wielokąta P n nazwiemy dowolny podział tego wielokąta na trójkąty (o parami niepustych wnętrzach), których wierzchołki są wierzchołkami P n. Powiemy, że przekątna p wielokąta P n jest elementem triangulacji T jeśli w T istnieje trójkąt, którego jeden z boków jest równy p. Powiemy, że pewien podzbiór F zbioru wszystkich triangulacji jest dobry, jeśli dla każdej pary triangulacji T, T F istnieje przekątna p wielokąta K n będąca elementem T i T. Udowodnij, że maksymalna możliwa moc dobrego zbioru triangulacji jest równa C n 3, gdzie C n jest n-tą liczbą Catalana. Uwaga. Wszystkich triangulacji P n jest C n. Zadanie. (A) Dla f, g : R (0, ) definiujemy splot (f g)(x) = f(t)g(x t) dt. Załóżmy, że R f spełnia f(x) dx =, xf(x) dx = 0 oraz R R R x f(x) dx =. Niech ϕ(x) = π e x /. Udowodnij nierówność (f ϕ) ln(f ϕ) (f f) ln(f f). R Zadanie 3. (A+G+K) Oznaczmy [n] = {,..., n}. Dla x = (x,..., x n ) R n oraz S [n] definiujemy w S (x) = i S x i, przy czym w. Niech f : {, } n {, } będzie postaci f = S [n] a Sw S (patrz Zadanie 4 z Serii 6). Udowodnij nierówność a S ln ( ) a S C a S S, S gdzie S jest mocą zbioru S [n] i C > 0 jest pewną stałą uniwersalną (niezależną od n, np. C = 05 powinno wystarczyć). Zadanie 4. (G) Niech K będzie zbiorem wypukłym w R n. Załóżmy, że n-wymiarowa objętość zbioru K jest równa. Udowodnij, że istnieje hiperpłaszczyzna H o tej własności, że zbiór K H ma (n )- wymiarową objętość nie mniejszą niż c, gdzie c > 0 jest pewną stałą uniwersalną. Uwaga. Jeśli pojęcie n-wymiarowej objętości budzi strach i zwątpienie, to można sobie założyć, że K jest skończoną sumą sympleksów. Objętość n-wymiarowego sympleksu liczymy tak, jak na GALu. Zadanie 5. (A) Niech f : [ π, π] R będzie funkcją postaci f(x) = d k= a k sin(kx). Niech x,..., x m [ π, π] będą wszystkimi miejscami zerowymi funkcji f. Udowodnij, że dla pewnej stałej uniwersalnej C > 0 prawdziwa jest nierówność m +π f(x j ) Cd f(x) dx. j= Zadanie 6. (G+K) Niech m, n będą liczbami naturalnymi i niech A będzie macierzą m n, której kolumny są wektorami w R m o długości euklidesowej. Udowodnij, że istnieje wektor x {, } n o tej własności, że Ax [ C, C] m, gdzie C > 0 jest stałą uniwersalną. R π S

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość

19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość 19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut Kod ucznia Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A 14 MARCA 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny. Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY. 1 października 2007 r.

Instytut Matematyczny. Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY. 1 października 2007 r. Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego TEST KWALIFIKACYJNY 1 października 2007 r. Nazwisko Imię Numer Indeksu 201 Wersja testu A 1 października 2007 r. 1. a. T N b. T N c. T N d. T N 2. a. T

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

S n = a 1 1 qn,gdyq 1 Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 5a;

Kody blokowe Wykład 5a; Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań testowych. a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących n=1

Rozwiązania zadań testowych. a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących n=1 Egzamin licencjacki (rozwiązania zadań) - 1-3 czerwca 014 r. Rozwiązania zadań testowych 1. Dany jest taki szereg zbieżny a n, że a 1 = 5 oraz a n = 100. Podać sumy następujących szeregów: a) (a n+1 +a

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Wersja testu A 25 września 2011

Wersja testu A 25 września 2011 1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx

Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx 1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 23 KWIETNIA 2016 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Na rysunku przedstawiony

Bardziej szczegółowo