Tradycyjne metody optymalizacji a nowoczesna heurystyka w wybranych zagadnieniach modelowania robót górniczych w kopalniach wêgla kamiennego

Transkrypt

1 GOSPODARKA SUROWCAMI MINERALNYMI Tom Zeszyt 2/1 EDYTA BRZYCHCZY* Tradycyjne metody optymalizacji a nowoczesna heurystyka w wybranych zagadnieniach modelowania robót górniczych w kopalniach wêgla kamiennego Wprowadzenie Przedmiotem podjêtych badañ jest zagadnienie planowania robót eksploatacyjnych w wielozak³adowym przedsiêbiorstwie górniczym. Nale y zauwa yæ, e w warunkach obecnie funkcjonuj¹cych przedsiêbiorstw, zakres tego planowania dotyczy mo liwoœci wyposa enia planowanych robót, poniewa parametry geometryczne pól œcianowych jak i kolejnoœæ ich wybierania s¹ znacznie wyprzedzaj¹co zapisywane i akceptowane w sporz¹dzanych planach techniczno-ekonomicznych. Zagadnienie wyposa enia przodków œcianowych jest bardzo istotne z uwagi na: kosztoch³onnoœæ tego typu maszyn i urz¹dzeñ, du y potencja³ œrodków produkcyjnych bêd¹cych w gestii przedsiêbiorstwa przy jednoczesnym zró nicowaniu warunków górniczo-geologicznych poszczególnych zak³adów (kopalni), czêste przypadki ograniczania mo liwoœci produkcyjnych maszyn i urz¹dzeñ z powodu trudnych warunków pracy, mo liwoœæ zwiêkszenia efektywnoœci posiadanych œrodków produkcyjnych w warunkach wielozak³adowego przedsiêbiorstwa górniczego poprzez odpowiednie rozmieszczenie wyposa enia pomiêdzy zak³adami (kopalniami), co wykazano miêdzy innymi w pracy (Klank 2002). Dr in., Wydzia³ Górnictwa i Geoin ynierii AGH, Kraków; brzych3@agh.edu.pl

2 44 Przedmiotem prac autorki sta³o siê poszukiwanie metody, która wspomo e planowanie technicznego wyposa enia przodków œcianowych w kopalniach wchodz¹cych w sk³ad wiêkszego podmiotu górniczego (spó³ki) z uwzglêdnieniem kryterium efektywnoœci wykorzystania posiadanych i potencjalnie dostêpnych maszyn i urz¹dzeñ. 1. Ogólna charakterystyka analizowanego zagadnienia Problem, który zosta³ powy ej przedstawiony mo na okreœliæ jako przypadek znany z kombinatoryki pod nazw¹ wariacja z powtórzeniami. Wariacj¹ (rozmieszczeniem) bowiem z powtórzeniami z n elementów po k nazywamy uporz¹dkowany zbiór sk³adaj¹cy siê z k elementów ró nych lub nie ró ni¹cych siê miêdzy sob¹, wybranych spoœród n ró nych elementów. Tak wiêc dla k przodków œcianowych wybieramy wyposa enie z n zestawów œcianowych. Przyjmuj¹c, e: 1) przedsiêbiorstwo sk³ada siê z m kopalni, 2) w analizowanym okresie w ka dej kopalni jest l i przodków œcianowych przewidzianych do eksploatacji, 3) przedsiêbiorstwo deklaruje posiadanie b¹dÿ pozyskanie z zestawów œcianowych, 4) liczba zestawów, które mog¹ zostaæ wykorzystane w danym przodku ze wzglêdu na warunki górniczo-geologiczne jest ograniczona do po³owy, czyli n = z/2 to liczbê mo liwych wariantów wyposa enia mo emy okreœliæ ze wzoru (Gerstenkorn, Œródka 1976): V n k k n (1) gdzie: k m l i i 1 Aby móc zrozumieæ z³o onoœæ i objêtoœæ obliczeniow¹ przedstawionego zagadnienia mo na rozpatrzyæ nastêpuj¹cy przyk³ad: Przedsiêbiorstwo X sk³ada siê z 4 kopalñ, w ka dej z nich planowane jest wyposa enie 3 przodków œcianowych (prowadzenie których roz³o one jest w czasie), a liczba posiadanych i dostêpnych zestawów œcianowych wynosi 14 (ich dostêpnoœæ jest zmienna w czasie). Je eli zostanie przyjête za³o enie, e tylko po³owa w danym momencie jest dostêpna dla danego przodka, zarówno ze wzglêdu na moment rozpoczêcia jego prowadzenia, jak i z uwagi na warunki górniczo-geologiczne, to ca³kowita liczba wariantów, któr¹ nale a³oby przeanalizowaæ wynosi V 7 12 =7 12 = Wprowadzaj¹c ograniczenie dopuszczalnoœci wariantów ze wzglêdu na istotne za³o enia zwi¹zane z ca³kowitym czasem

3 trwania planowanych robót czasem niezbêdnym na przezbrojenie i likwidacjê, które mo e spowodowaæ zmniejszenie ich liczby nawet o 90% to nadal do analizy pozostaje ponad 1,3 mln wariantów. St¹d przedmiotem poszukiwañ autorki by³a metoda optymalizacji, która w efektywny sposób umo liwi relatywnie szybkie przeszukiwanie przestrzeni rozwi¹zañ dla sformu³owanego problemu. W tym miejscu nale a³oby podkreœliæ kilka kwestii, które w doœæ znacznym stopniu wp³ywaj¹ na metodê rozwi¹zania postawionego problemu (Michalewicz, Fogel 2006): 1) z³o one problemy czêsto maj¹ olbrzymi¹ liczbê mo liwych rozwi¹zañ, 2) eby dojœæ do rozwi¹zania musimy czêsto pos³ugiwaæ siê uproszczonym modelem, który mo e uniemo liwiæ rozwi¹zanie w³aœciwego problemu, 3) warunki problemu zmieniaj¹ siê w czasie, 4) rzeczywiste problemy czêsto maj¹ ograniczenia, które wymagaj¹ specjalnych operacji do generowania rozwi¹zañ dopuszczalnych. Istotnymi elementami ka dego algorytmu, wymagaj¹cymi podkreœlenia s¹: odpowiednio sformu³owany model, jego postaæ i przyjête przy jego sformu³owaniu za³o enia. Ka dy model stanowi pewne uproszczenie rzeczywistego problemu, niemniej jednak dla ka dej algorytmicznej metody rozwi¹zywania problemów wa ne jest, aby w³aœciwie okreœla³: reprezentacjê problemu, cel modelu, funkcjê oceny rozwi¹zañ. Wymienione powy ej elementy wp³ywaj¹ znacz¹co na dobór metody rozwi¹zania, odwzorowanego za pomoc¹ modelu problemu Model problemu Dla przedstawionego przyk³adu okreœlono nastêpuj¹ce w³aœciwoœci sformu³owanego modelu: reprezentacja problemu ci¹g liczb rzeczywistych (o d³ugoœci k) w kolejnoœci odpowiadaj¹cej analizowanym przodkom œcianowym. Liczby rzeczywiste to wartoœæ postêpu n-tego zestawu œcianowego w k-tym przodku œcianowym (pos [m/d]), celem modelu jest otrzymanie optymalnego roz³o enia n zestawów w k przodkach œcianowych, funkcja oceny rozwi¹zañ jest doœæ z³o ona, a jej fragment mo na zapisaæ w postaci: f oceny Wdensr Wden kjsr min plan (2) gdzie: Wden sr wartoœæ œrednia wydobycia wszystkich przodków œcianowych eksploatowanych w czasie t,

4 46 Wden plan wartoœæ wydobycia planowana w czasie t, kj sr wartoœæ œrednia kosztu jednostkowego sprzedanego wêgla w analizowanym okresie. Z uwagi na objêtoœæ wzorów dla wyprowadzenia powy szych postaci funkcji w tym miejscu tylko krótko zostan¹ przedstawione najwa niejsze zale noœci pomiêdzy elementami sk³adowymi funkcji a wartoœci¹ postêpu zawart¹ w reprezentacji problemu oraz, w pewnym uproszczeniu, tok generowania rozwi¹zania: w etapie pierwszym nastêpuje losowanie k zestawów ze zbioru n zestawów do okreœlonych przodków œcianowych, wybrane przyporz¹dkowania porównuje siê z baz¹ danych o postêpach zestawów œcianowych w przodkach prowadzonych w przesz³oœci (wykorzystuje siê w tym celu wielowymiarow¹ analizê porównawcz¹), z bazy danych dla podobnych przodków i zestawów w nich pracuj¹cych przyjmuje siê funkcjê rozk³adu prawdopodobieñstwa postêpu robót eksploatacyjnych oraz funkcjê kosztu z nim zwi¹zan¹, o czym pisano m.in. w (Brzychczy 2007), wartoœæ postêpu (pos) generowana jest podczas obliczeñ symulacyjnych z przyjêtego rozk³adu prawdopodobieñstwa, w ka dym z przodków œcianowych dla wylosowanej wartoœci postêpu oblicza siê: t e w pos [d] (3) Wden pos ls h k [t/d] (4) d ep koszt d A pos B [z³/d] (5) gdzie: t e czas trwania robót eksploatacyjnych w danym przodku [d], w wybieg œciany [m], Wden d wydobycie dzienne netto z robót eksploatacyjnych w danym przodku, ls d³ugoœæ œciany [m], h wysokoœæ œciany [m], ciê ar objêtoœciowy wêgla [t/m 3 ], k ep wspó³czynnik strat eksploatacyjnych i przeróbczych, koszt d dzienny koszt prowadzenia robót eksploatacyjnych w danym przodku [z³/d], A wspó³czynnik obejmuj¹cy koszty zale ne od postêpu przodka [z³/m], B wspó³czynnik obejmuj¹cy koszty niezale ne od postêpu przodka [z³/d],

5 czas trwania robót eksploatacyjnych przenoszony jest na sieæ czynnoœci, która odwzorowuje roz³o enie poszczególnych przodków w czasie (dodatkowo obliczony czas zostaje przeliczony na dni kalendarzowe), sieæ czynnoœci zostaje uzupe³niona o czas trwania robót zbrojeniowych i likwidacyjnych, dla wybranego czasu t (np. miesi¹c, kwarta³) oblicza siê za pomoc¹ symulacji Wden sr, które powinno byæ zbli one do wartoœci planowanych w tych elementarnych odcinkach czasu, natomiast aby wyznaczyæ kj sr w pierwszej kolejnoœci nale y zsumowaæ koszty robót eksploatacyjnych (oraz robót zbrojeniowo-likwidacyjnych) w danym dniu roboczym, a ich wielkoœæ odnieœæ siê do wydobycia dobowego z prowadzonych przodków, a po wykonaniu odpowiedniej liczby iteracji okreœliæ wartoœæ œredni¹ dla analizowanego okresu. Powy sze rozwa ania w bardzo uproszczony i wybiórczy sposób przedstawiaj¹ model, dla którego poszukiwana jest metoda rozwi¹zania sformu³owanego problemu, a z uwagi na to, e funkcja oceny jest wielokryterialna (co tylko fragmentarycznie przedstawiono wzorem 2), poszukiwania takie nie bêd¹ ³atwe Metody klasyczne Istnieje wiele klasycznych algorytmów poszukiwania optymalnego rozwi¹zania w danej przestrzeni rozwi¹zañ, jednak adna z tradycyjnych metod nie jest wystarczaj¹co elastyczna (za ka dym razem, gdy zmienia siê problem, musi zostaæ zmieniony model). Jednak e klasyczna metoda optymalizacyjna, jeœli odpowiada zadaniu, które rozwi¹zujemy, mo e daæ bardzo dobre wyniki takie stwierdzenie pada w pracy (Michalewicz, Fogel 2006), w której zamieszczono równie podzia³ takich metod na dwie klasy: 1) algorytmy, które oceniaj¹ tylko pe³ne rozwi¹zania, 2) algorytmy, które wymagaj¹ oceny rozwi¹zañ czêœciowo skonstruowanych (niepe³ne rozwi¹zania pierwotnego problemu) lub przybli onych (pe³ne rozwi¹zanie zredukowanego problemu). Do algorytmów oceniaj¹cych pe³ne rozwi¹zanie mo na zaliczyæ miêdzy innymi: przeszukiwanie wyczerpuj¹ce, przeszukiwanie lokalne oraz metody z zakresu programowania matematycznego (np. programowanie liniowe, nieliniowe). Zalet¹ dzia³ania na pe³nych rozwi¹zaniach jest fakt, e w przypadku przerwania algorytmu otrzymuje siê jakiekolwiek, potencjalne rozwi¹zanie sformu³owanego problemu. Natomiast pewne wady ich stosowania wynikaj¹ z konstrukcji wymienionych procedur. Krótkie zestawienie cech wybranych algorytmów, ze wzglêdu na mo liwoœæ ich zastosowania do sformu³owanego problemu, przedstawiono w tabeli 1. Do rozwi¹zania problemu przedstawionego w przyk³adzie ze wzglêdu na czasoch³onnoœæ procesu obliczeniowego na pewno nie zostanie wybrana metoda przeszukiwania

6 48 Charakterystyka wybranych klasycznych metod optymalizacji Characteristic of some classic optimization methods TABELA 1 TABLE 1 Algorytm Krótki opis Zalety/Wymagania Wady/Wymagania Przeszukiwanie wyczerpuj¹ce sprawdzenie ka dego rozwi¹zania z przestrzeni rozwi¹zañ wybór globalnie najlepszego rozwi¹zania, nie jest wa na kolejnoœæ generowania rozwi¹zañ ca³kowita przestrzeñ rozwi¹zañ jest najczêœciej olbrzymia, znaczna czasoch³onnoœæ poszukiwañ (w zale noœci od z³o onoœci problemu kilka lub nawet kilkadziesi¹t lat pracy komputera) Przeszukiwanie lokalne przeszukiwanie czêœci przestrzeni rozwi¹zañ w otoczeniu konkretnego rozwi¹zania mniejsza czasoch³onnoœæ poszukiwañ, jeœli rozmiar otoczenia jest niewielki to mo emy je bardzo szybko przeszukaæ istotny wp³yw na kierunek poszukiwania ma postaæ przekszta³cenia bie ¹cego rozwi¹zania, pu³apka lokalnego optimum Programowanie liniowe (metoda sympleks) Programowanie nieliniowe znalezienie ekstremum liniowej kombinacji zmiennych przy odpowiednich ograniczeniach oraz okreœlonych warunkach znalezienie ekstremum kombinacji zmiennych je eli funkcja celu lub chocia jeden z warunków ograniczaj¹cy jest funkcj¹ nieliniow¹ poszukiwanie prowadzi siê w kolejnych etapach, na pe³nych i cz¹stkowych rozwi¹zaniach poszukiwanie prowadzi siê w kolejnych etapach, na pe³nych i cz¹stkowych rozwi¹zaniach funkcja oceny powinna byæ wyra ona w postaci liniowej kombinacji zmiennych je eli problem jest z³o ony, pojawia siê du a liczba zmiennych i równañ, co wyd³u a czas rozwi¹zania problemu brak ogólnej metody rozwi¹zywania zadañ nieliniowych czêsto brak jest odpowiednich danych aby ustaliæ postaæ analityczn¹ badanych zale noœci ród³o: opracowanie w³asne na podstawie (Michalewicz, Fogel 2006; Badania 1996; Grabowski 1982) wyczerpuj¹cego. Je eli bowiem przyjmie siê za³o enie, e wygenerowanie jednego rozwi¹zania zajmuje 1 sekundê (co jest raczej zani on¹ wartoœci¹ bior¹c pod uwagê z³o on¹ postaæ funkcji oceny), to wywo³anie pe³nego zestawu rozwi¹zañ z przyk³adu zajê³oby 445 miesiêcy (!), a przy ograniczeniu do 10% rozwi¹zañ dopuszczalnych tylko 15 dni (!). Mo na przypuszczaæ, e dla wiêkszoœci projektantów praca takiego algorytmu nie by³aby zachêcaj¹ca, nie wspominaj¹c o potrzebach np. powtórnych symulacji. Metoda przeszukiwania lokalnego jest bardzo obiecuj¹ca, jednak przy tak olbrzymiej przestrzeni rozwi¹zañ bêdzie ona równie czasoch³onna (czas liczony nie w dniach, ale

7 raczej w godzinach), a przeszukiwania przestrzeni rozpoczête od konkretnego (jednego) rozwi¹zania mog¹ utkn¹æ w lokalnym optimum. Wielokryterialna funkcja oceny wyklucza wykorzystanie metod programowania liniowego do poszukiwania najlepszego rozwi¹zania; ten element wp³ywa równie na nieprzydatnoœæ pozosta³ych dwóch metod w przedstawionych powy ej pierwotnych postaciach. Postaæ i przyjête ograniczenia dla sformu³owanego modelu wykluczaj¹ równie zastosowanie programowania nieliniowego. 49 Charakterystyka klasycznych metod optymalizacji dla rozwi¹zañ czêœciowych Characteristic of classic optimization methods for partial solutions TABELA 2 TABLE 2 Algorytm Krótki opis Zalety/Wymagania Wady/Wymagania Algorytmy zach³anne algorytm tworzy pe³ne rozwi¹zanie za pomoc¹ ci¹gu kroków prostota nale y przypisywaæ wartoœci wszystkim zmiennym problemu podejmuj¹c za ka dym razem mo liwie najlepsz¹ decyzjê podejmowanie najlepszej decyzji w ka dym poszczególnym kroku nie zawsze musi prowadziæ do globalnego optymalnego rozwi¹zania Dziel i rz¹dÿ algorytm polega na podziale problemu na mniejsze czêœci i ich rozwi¹zaniu podejœcie jest efektywne jeœli czas i wysi³ek potrzebny na wykonanie podzia³u, obliczeñ i z³o enie odpowiedzi jest mniejszy ni rozwi¹zanie pierwotnej postaci modelu nie zawsze jest mo liwe z³o enie pe³nego rozwi¹zanie po dokonaniu podzia³u na mniejsze czêœci Programowanie dynamiczne algorytm znajduje pe³ne rozwi¹zanie na podstawie poœredniego punktu, pomiêdzy punktem bie ¹cym a celem algorytm znajduje rozwi¹zanie problemów, dla których zawodz¹ algorytmy zach³anne czêsto du a z³o onoœæ obliczeniowa, algorytmy niekiedy trudne do zrozumienia, bowiem ich konstrukcja zale y od specyfiki problemu Metoda podzia³u i ograniczeñ algorytm korzysta z okreœlonej koncepcji dzielenia przestrzeni przeszukiwania szybkoœæ algorytmu uzyskuje siê dziêki odpowiednio wprowadzonym ograniczeniom koniecznoœæ okreœlenia dolnego lub górnego ograniczenia poszczególnych rozwi¹zañ przegl¹d przestrzeni rozwi¹zañ nale y odpowiednio ukierunkowaæ Algorytm A* algorytm dzia³a na grafach o ró nej strukturze, g³ówna koncepcja najpierw najlepszy algorytm korzysta z dwóch list wierzcho³ków otwartych i zamkniêtych, przeszukiwanie bada najbardziej obiecuj¹cy wierzcho³ek poprawnie skonstruowany algorytm gwarantuje uzyskanie globalnego rozwi¹zania przeszukiwanie typu najpierw najlepszy korzysta z heurystyki okreœlaj¹cej wartoœæ wierzcho³ka, konieczne jest zatem jej prawid³owe opracowanie ród³o: opracowanie w³asne na podstawie (Michalewicz, Fogel 2006, Badania 1996)

8 50 Przyjêta reprezentacja przedstawionego w przyk³adzie problemu intuicyjnie kieruje zainteresowanie na algorytmy dzia³aj¹ce na rozwi¹zaniach pe³nych, lecz warto równie przejrzeæ wybrane metody klasyczne, które dzia³aj¹ na rozwi¹zaniach niepe³nych. Zestawienie wybranych metod z tego zakresu przedstawiono w tabeli 2. Metody dzia³aj¹ce na rozwi¹zaniach niepe³nych we w¹skim zakresie umo liwiaj¹ szybkie i wiarygodne uzyskanie globalnego rozwi¹zania. Z drugiej strony metody dzia³aj¹ce na pe³nych rozwi¹zaniach gwarantuj¹ osi¹gniêcie sukcesu w poszukiwaniach, lecz niestety jest on czêsto okupiony zbyt du ¹ czasoch³onnoœci¹. St¹d te wysi³ki projektantów skierowane s¹ na opracowanie algorytmów unikaj¹cych pu³apki lokalnych optimów. Przyk³adami takich metod s¹ miêdzy innymi: symulowane wy arzanie oraz poszukiwanie z tabu. Ich krótk¹ charakterystykê przedstawiono w tabeli 3. Algorytmy unikaj¹ce lokalnych optimów Algorithms avoiding local optima TABELA 3 TABLE 3 Algorytm Symulowane wy arzanie Poszukiwanie ztabu Krótki opis w algorytmie podobnym do przeszukiwania lokalnego wprowadza siê dodatkowy parametr zwany temperatur¹, który zmienia prawdopodobieñstwo przejœcia z jednego punktu przeszukiwanej przestrzeni do innego; algorytm koñczy przeszukiwanie po wype³nieniu warunku zakoñczenia, a nie znalezienia ulepszenia ostatniego punktu; przeszukiwanie stochastyczne algorytm o podobnej strukturze jak symulowane wy arzanie, niemniej jednak procedura ulepszenia korzysta z historii przeszukiwania, w której ostatnio odwiedzane punkty s¹ punktami tabu i s¹ pomijane podczas podejmowania decyzji o wyborze kolejnego punktu; przeszukiwanie zdeterminowane ród³o: opracowanie w³asne na podstawie (Michalewicz, Fogel 2006) Algorytmy przedstawione w tabeli 3 dzia³aj¹ na pe³nych rozwi¹zaniach, niemniej jednak w odró nieniu od lokalnego przeszukiwania maj¹ wiêcej parametrów, które trzeba kontrolowaæ, tj. temperatura, pamiêæ. Omówione powy ej metody zarówno dzia³aj¹ce na rozwi¹zaniach pe³nych oraz czêœciowych przeszukuj¹ przestrzeñ rozwi¹zañ od okreœlonego punktu (rozwi¹zania). Aby zwiêkszyæ efektywnoœæ przeszukiwania przestrzeni rozwi¹zañ mo na rozpocz¹æ przeszukiwanie z wielu punktów (rozwi¹zañ) stanowi¹cych populacjê rozwi¹zañ, czyli wykorzystaæ tzw. podejœcie ewolucyjne.

9 51 3. Podejœcie ewolucyjne Algorytmy ewolucyjne naœladuj¹ce proces ewolucji zachodz¹cy wœród organizmów ywych s¹ bardzo czêsto wykorzystywane do analizy i poszukiwañ najlepszego rozwi¹zania z³o onych zagadnieñ z ró nych dziedzin nauki i techniki. Do podstawowych pojêæ u ywanych w EA nale ¹: osobnik czyli propozycja rozwi¹zania postawionego problemu, populacja czyli zbiór osobników o okreœlonej liczebnoœci, przystosowanie osobnika czyli wartoœæ liczbowa, okreœlaj¹ca jakoœæ reprezentowanego przez niego przystosowania (Arabas 2004), genotyp okreœlany jako struktura osobnika (Goldberg 2003) b¹dÿ punkt w przestrzeni kodów (Arabas 2004), fenotyp okreœlany jako zbiór parametrów, rozwi¹zanie (Goldberg 2003) lub jako zestaw okreœlonych cech poddawanych ocenie œrodowiska (Arabas 2004), chromosom okreœlany jako ci¹g kodowy (Goldberg 2003), gen czyli sk³adowy element chromosomu (cecha), allel czyli mo liwa wartoœæ lub wariant cechy (Goldberg 2003). Rys. 1. Algorytm ewolucyjny przyk³ad ród³o: Pawlak 1999 Fig. 1. Evolutionary algorithm example

10 52 Na podstawowy algorytm ewolucyjny zazwyczaj sk³adaj¹ siê nastêpuj¹ce etapy: wybór reprezentacji problemu (sposób kodowania), wybór sposobu inicjalizacji populacji, zastosowanie operatorów genetycznych: krzy owanie (rekombinacja), mutacja; ocena przystosowania osobników, selekcja osobników. Skonstruowany algorytm ewolucyjny mo e dzia³aæ na rozwi¹zaniach pe³nych lub czêœciowych. Uproszczony schemat dzia³ania algorytmu ewolucyjnego przedstawiono na rysunku 1. Ide¹ skonstruowanego algorytmu jest poszukiwanie najlepszego rozwi¹zania (osobnika) z analizowanej populacji osobników. Osobniki te rozmna aj¹ siê, tworz¹c nowe osobniki z wykorzystaniem odpowiednich operatorów genetycznych. Do kolejnych etapów ewolucji najwiêksze prawdopodobieñstwo przejœcia maj¹ osobniki najlepiej przystosowane, co okreœla wartoœæ przyjêtej funkcji przystosowania. Istnieje kilka typów algorytmów ewolucyjnych, których charakterystyczne cechy wraz z postêpem tej dziedziny nauki ulegaj¹ niekiedy zatarciu. Najczêœciej jednak mo na spotkaæ siê z podzia³em algorytmów ewolucyjnych na (Pawlak 1999): algorytmy genetyczne, programowanie ewolucyjne, strategie ewolucyjne, programowanie genetyczne Algorytmy genetyczne W algorytmach genetycznych populacja osobników reprezentowana jest przez ³añcuchy znaków binarnych (0 i 1). W praktyce mo na wykorzystaæ ten rodzaj algorytmów je eli potrafimy utworzyæ ³añcuchy binarne reprezentuj¹ce rozwi¹zania problemu. Chromosom z kodowaniem binarnym jest wiêc wektorem n-genów o wartoœciach 0 lub 1. Schemat prostego algorytmu genetycznego przedstawiono na rysunku 2. Algorytm analizuje dwie populacje: P t zwan¹ populacj¹ bazow¹ oraz O t zwan¹ populacj¹ potomn¹. Wprowadzona jest równie populacja tymczasowa T t. W wymienionych populacjach liczba osobników jest taka sama. W chwili inicjacji populacja bazowa jest wype³niana losowo wygenerowanymi osobnikami (P 0 ). Dla ka dego z osobników jest obliczana wartoœæ funkcji przystosowania. W kolejnym etapie rozpoczyna siê proces ewolucji. W pierwszej kolejnoœci nastêpuje reprodukcja (selekcja), która polega na skopiowaniu losowo wybranych osobników do populacji tymczasowej (ka dego osobnika charakteryzuje inne prawdopodobieñstwo wylosowania zale ne od wartoœci funkcji przystosowania). Populacja tymczasowa najczêœciej tworzona jest na podstawie selekcji ruletkowej (inaczej zwanej proporcjonaln¹).

11 53 Rys. 2. Schemat prostego algorytmu genetycznego ród³o: (Arabas 2004) Fig. 2. Scheme of simple genetic algorithm W kolejnym etapie osobniki s¹ poddawane krzy owaniu i mutacji. Prawdopodobieñstwo krzy owania p c jest jednym z parametrów algorytmu. Chromosomy rodzicielskie s¹ rozcinane na dwa fragmenty w tym samym miejscu (wybranym losowo z rozk³adem równomiernym) i s¹ ze sob¹ wymiennie ³¹czone (tzn. czêœæ pierwsza chromosomu rodzica 1 ³¹czona jest z czêœci¹ drug¹ chromosomu rodzica 2 itd.). Natomiast zadaniem operatora mutacji s¹ losowe zmiany w genotypach osobników (zamiana wartoœci genu na przeciwn¹) z prawdopodobieñstwem p m, które równie jest jednym z parametrów algorytmu. Powsta³e w ten sposób osobniki poddawane s¹ ocenie i stanowi¹ populacjê potomn¹, a ta z kolei staje siê populacj¹ bazow¹ w kolejnej pêtli obliczeñ algorytmu. Obliczenia kontynuuje siê do spe³nienia warunku zatrzymania algorytmu. Pojedyncza pêtla obliczeñ zwana jest generacj¹. Algorytm genetyczny jest metod¹ niedeterministyczn¹ i nie ma gwarancji znalezienia za ka dym razem identycznego rozwi¹zania. Wyjaœnienie zasad jego dzia³ania opisane jest w literaturze pod nazw¹ teorii schematów i stanowi stosunkowo nowy rozdzia³ w teorii algorytmów genetycznych Programowanie ewolucyjne Cech¹ charakterystyczn¹ programowania ewolucyjnego jest rzeczywistoliczbowa reprezentacja chromosomu. Po inicjalizacji populacji bazowej wszystkie osobniki staj¹ siê rodzicami. W jednym kroku algorytmu ka dy osobnik tworzy jednego potomka, który jest poddawany mutacji (forma mutacji zale y od przyjêtej reprezentacji problemu i jest czêsto adaptacyjna). W ten sposób powstaje populacja potomna. Przyk³adowy algorytm programowania ewolucyjnego przedstawiono na rysunku 3. Po ocenie osobników potomnych tworzy siê now¹ populacjê bazow¹ z wykorzystaniem selekcji rangowej (Arabas 2004) b¹dÿ turniejowej (Pawlak 1999), szczegó³owo opisanych w podanej literaturze.

12 54 Rys. 3. Schemat programowania ewolucyjnego ród³o: (Arabas 2004) Fig. 3. Scheme of evolutionary programming W programowaniu ewolucyjnym zazwyczaj nie u ywa siê operatora krzy owania, poniewa formy mutacji s¹ na tyle elastyczne, e umo liwiaj¹ odpowiednie przekszta³cenie genotypu osobników S t r a t e g i e e w o l u c y j n e Pierwszy algorytm strategii ewolucyjnych oparty by³ na prostym schemacie mutacji i selekcji z wykorzystaniem jednego rodzica, który podlegaj¹c mutacjom, tworzy³ jednego potomka. Je eli potomek okaza³ siê lepszy od rodzica, to on stawa³ siê rodzicem. W przeciwnym razie dotychczasowy rodzic pe³ni³ swoj¹ funkcjê w kolejnej generacji. Ten najprostszy wariant nosi nazwê strategii (1 + 1). Podobnie jak ma miejsce w programowaniu ewolucyjnym, reprezentacja chromosomu w strategiach ewolucyjnych jest wektorem liczb rzeczywistych. Algorytm strategii ewolucyjnej (1 + 1) przedstawiono na rysunku 4. Niestety, strategia ta przejawia niewielk¹ odpornoœæ na minima lokalne, co by³o motywacj¹ do poszukiwania lepszych schematów i tak powsta³y strategie (1 + ), ( + ), (, ) (Arabas 2004), gdzie oznaczono liczbê potomków powstaj¹cych w wyniku reprodukcji rodziców z uwzglêdnieniem odpowiedniego przekszta³cenia populacji osobników. Charakterystyczne dla strategii typu ( + ) jest kodowanie osobników i operacje genetyczne jakim s¹ poddawane. Osobnik ma strukturê sk³adaj¹c¹ siê z dwóch chromosomów. Pierwszym z nich jest wektor X wartoœci zmiennych niezale nych, natomiast drugim najczêœciej jest wektor zawieraj¹cy wartoœci standardowych odchyleñ wykorzystywanych podczas mutacji.

13 55 Rys. 4. Schemat strategii ewolucyjnej (1+1) ród³o: (Arabas 2004) Fig. 4. Scheme of evolutionary strategy (1+1) W strategii ( + ) rodziców przy u yciu operatora krzy owania i mutacji produkuje potomków, przy czym 1. Spoœród ca³ej grupy osobników rodzicielskich i potomnych wybieranych jest najlepszych jednostek i tworz¹ one nastêpn¹ populacjê bazow¹. Natomiast schemat strategii (, ) ró ni siê od omówionego powy ej ( + ) tym, e now¹ populacjê bazow¹ tworz¹ tylko najlepsze osobniki potomne, a osobniki rodzicielskie zostaj¹ pominiête. Strategie ewolucyjne wykorzystuje siê do problemów optymalizacji wektorowej i mog¹ one s³u yæ jako heurystyki do rozwi¹zywania NP-trudnych problemów optymalizacji. Do pe³nego zrozumienia i stosowania wymagaj¹ jednak gruntownej wiedzy z zakresu teorii statystyki matematycznej i prawdopodobieñstwa Programowanie genetyczne Programowanie genetyczne jest stosunkowo nowym kierunkiem w rozwoju algorytmów ewolucyjnych. W algorytmie tym zarówno dane jak i program reprezentowane s¹ w postaci drzew. Programowanie genetyczne wykorzystuj¹ce jêzyk programowania LISP znajduje zastosowanie miêdzy innymi do automatycznego pisania programów komputerowych. Chromosomy maj¹ charakterystyczn¹ budowê, wiêc w odniesieniu do operatorów genetycznych równie zastosowano odpowiednie modyfikacje Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych Algorytmy ewolucyjne znalaz³y zastosowanie miêdzy innymi w marketingu i sprzeda y, produkcji i finansach (Biethahn, Nissen 1995; Pierreval, Tautou 1997; Alander 1999;

14 56 Vergara i in. 2002), a tak e w harmonogramowaniu i planowaniu produkcji (Murata i in. 1996; Pawlak 1999; Knosala i zespó³ 2002; Serafin 2006). W zagadnieniach zwi¹zanych z górnictwem, zastosowanie znalaz³y g³ównie algorytmy genetyczne m.in. do harmonogramowania produkcji (Pendharkar, Rodger 2000; Sequence optimization 2007), do doboru sprzêtu i maszyn (Naoum, Haidar 2000) oraz szacowania niezawodnoœci urz¹dzeñ (Vayenas, Yurij 2007), a tak e do lokalizacji zabudowy kopalni (Kumral 2004) i poszukiwania optymalnej wydajnoœci zak³adu przeróbczego (Mahajan 2004). Natomiast pewn¹ koncepcjê podejœcia ewolucyjnego do modelowania robót górniczych przedstawiono w (Brzychczy 2006). W³aœciwoœci, które przemawiaj¹ za wykorzystywaniem algorytmów ewolucyjnych do rozwi¹zywania z³o onych zagadnieñ to (w odró nieniu od algorytmów klasycznych): przyjêta reprezentacja, odpowiednia dla zadania, przestrzeñ poszukiwañ jest przeszukiwana z ró nych punktów startu, rozwi¹zania konkuruj¹ ze sob¹, co skutkuje osi¹ganiem osobników o coraz to lepszym przystosowaniu, mo liwoœæ zmiany funkcji oceny podczas procesu ewolucyjnego, bez zatrzymania algorytmu, mo liwoœæ zrównoleglenia procesu ewolucyjnego w populacji. Zaprezentowany w niniejszym artykule model jest pewn¹ uproszczon¹ czêœci¹ zagadnienia dotycz¹cego modelowania wyposa enia robót eksploatacyjnych w wielozak³adowym przedsiêbiorstwie górniczym. Mnogoœæ wariantów oraz czasoch³onnoœæ obliczeñ wymagaj¹ wprowadzenia nowoczesnych metod analizy i poszukiwania optymalnych rozwi¹zañ podjêtego problemu badawczego. St¹d te uwzglêdniaj¹c charakterystyczne w³aœciwoœci podejœcia ewolucyjnego i jego niew¹tpliwe zalety w Katedrze Ekonomiki i Zarz¹dzania w Przemyœle AGH rozpoczêto prace nad konstrukcj¹ odpowiedniego algorytmu ewolucyjnego (dzia³aj¹cego na rozwi¹zaniach pe³nych) dla przedstawionego pokrótce w niniejszym artykule zagadnienia. Podsumowanie W niniejszym artykule przedstawiono zagadnienie modelowania wyposa enia robót eksploatacyjnych w grupie kopalñ, dla którego poszukiwana jest efektywna metoda rozwi¹zania. Zaprezentowano krótki przegl¹d metod klasycznych umo liwiaj¹cych analizê sformu- ³owanego problemu zarówno w postaci rozwi¹zañ pe³nych jak i czêœciowych z uwzglêdnieniem ich zalet i wad, do których odniesiono z³o onoœæ przedstawionego modelu. W efekcie rozwa añ zwrócono uwagê na niew¹tpliwe korzyœci i znaczne mo liwoœci wykorzystania w tym zakresie podejœcia ewolucyjnego, co jest obecnie przedmiotem prac badawczych autorki. Praca naukowa finansowana ze œrodków na naukê w latach jako projekt badawczy nr 4 T12A

15 57 LITERATURA A l a n d e r J.T., 1999 An Indexed Bibliography of Genetic Algorithm Implementations. Report Series No IMPLE, ftp.uwasa.fi cs/report94-1/gaimplebib.ps.z. A r a b a s J., 2004 Wyk³ady z algorytmów ewolucyjnych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa. Badania operacyjne. Praca zbiorowa pod red. E. Ignasiaka. PWE, Warszawa B i e t h a h n J., N i s s e n V., 1995 Evolutionary algorithms in management applications. Springer-Verlag, Berlin. B r z y c h c z y E., 2006 Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych w modelowaniu produkcji górniczej. Zeszyty Naukowe Politechniki Œl¹skiej nr 1736, seria Górnictwo z. 273, Gliwice. B r z y c h c z y E., 2007 Propozycja modu³u eksperckiego dla potrzeb systemu projektowania robót górniczych w kopalniach wêgla kamiennego. Zeszyty Naukowe Politechniki Œl¹skiej nr 1764, seria Górnictwo z. 279, Gliwice. Gerstenkorn T.,Œródka T.,1976 Kombinatorykairachunekprawdopodobieñstwa. PWN, Warszawa. G o l d b e r g D.E., 2003 Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa. G r a b o w s k i W., 1982 Programowanie matematyczne. PWE, Warszawa. K l a n k M., 2002 Racjonalizacja wykorzystania produkcyjnych œrodków trwa³ych w procesie restrukturyzacji górniczej grupy kapita³owej. Praca doktorska. Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków. K n o s a l a i zespó³, 2002 Zastosowania metod sztucznej inteligencji w in ynierii produkcji. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa. K u m r a l M., 2004 Optimal location of a mine facility by genetic algorithms. Mining Technology: IMM Transactions section A, 113, 2. M a h a j a n A.M, 2004 Performance optimization of a coal preparation plant using genetic algorithms. Final Technical Report 03-1/4.1B-4. Southern Illinois University. M i c h a l e w i c z Z., F o g e l D.B., 2006 Jak to rozwi¹zaæ czyli nowoczesna heurystyka. WNT, Warszawa. M u r a t a T., I s h i b u c h i H., T a n a k a H., 1996 Multi-objective genetic algorithm and its application to flowshop scheduling. Computers and Industrial Engineering, 30. N a o u m S., H a i d a r A., 2000 A hybrid knowledge base system and genetic algorithms for equipment selection. Engineering, Construction and Architectural Management, 7. P a w l a k M., 1999 Algorytmy ewolucyjne jako narzêdzie harmonogramowania produkcji. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Pendharkar P.C.,Rodger J.A.,2000 Nonlinearprogrammingandgeneticsearchapplicationforproduction scheduling in coal mines. Annals of Operations Research, 95. P i e r r e v a l H., T a u t o u L., 1997 Using evolutionary algorithms and simulation for the optimization of manufacturing systems. IIIE Transcations, 29. Sequence optimization - www. mirarco.org/projectscmt.php z dnia S e r a f i n R., 2007 Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych do harmonogramowania zadañ produkcyjnych. Komputerowo Zintegrowane Zarz¹dzanie T. 1, pod red. R. Knosali, WNT, Warszawa. V a y e n a s N., Y u r i j G., 2007 Using GenRel for reliability assessment of mining equipment. Journal of Quality in Maintenance Engineering, Emerald, Vol. 13, No.1. Vergara F.E., Khouja M., Michalewicz Z., 2002 An evolutionary algorithm for optimizing material flow in supply chains. Computers and Industrial Engineering, 43. TRADYCYJNE METODY OPTYMALIZACJI A NOWOCZESNA HEURYSTYKA W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH MODELOWANIA ROBÓT GÓRNICZYCH W KOPALNIACH WÊGLA KAMIENNEGO S³owa kluczowe Górnictwo wêgla kamiennego, modelowanie, roboty górnicze, optymalizacja, heurystyka

16 58 Streszczenie W artykule przedstawiono efekty poszukiwañ odpowiedniej metody optymalizacji dla postawionego problemu badawczego. Rozwa anym zagadnieniem z zakresu modelowania robót górniczych jest planowanie robót eksploatacyjnych w wielozak³adowym przedsiêbiorstwie górniczym. Nale y zauwa yæ, e w warunkach obecnie funkcjonuj¹cych przedsiêbiorstw, zakres tego planowania dotyczy mo liwoœci wyposa enia planowanych robót, poniewa parametry geometryczne pól œcianowych jak i kolejnoœæ ich wybierania s¹ znacznie wyprzedzaj¹co zapisywane i akceptowane w sporz¹dzanych planach techniczno-ekonomicznych. Istota podjêtego problemu oraz jego z³o onoœæ obliczeniowa wymaga³y poszukiwañ efektywnej metody optymalizacji na zbiorze wielu mo liwych rozwi¹zañ. W artykule przedstawiono uproszczony model analizowanego zagadnienia: przyjêt¹ reprezentacjê, cel oraz przyk³adow¹ funkcjê oceny rozwi¹zañ. Z uwagi na objêtoœæ wzorów dla wyprowadzenia postaci funkcji oceny krótko przedstawiono najwa niejsze zale noœci pomiêdzy elementami sk³adowymi funkcji a wartoœci¹ postêpu zawart¹ w reprezentacji problemu oraz, w pewnym uproszczeniu, tok generowania rozwi¹zania. W dalszej czêœci publikacji przedstawiono charakterystykê wybranych klasycznych metod optymalizacji, które podzielono na algorytmy, oceniaj¹ce tylko pe³ne rozwi¹zania oraz algorytmy, które wymagaj¹ oceny rozwi¹zañ czêœciowo skonstruowanych (niepe³ne rozwi¹zania pierwotnego problemu) lub przybli onych (pe³ne rozwi¹zanie zredukowanego problemu). Wskazano ich zalety i wady oraz odniesienie ich do sformu³owanego problemu badawczego. Omówiono równie podejœcie ewolucyjne, które umo liwia intensyfikacjê poszukiwañ przestrzeni rozwi¹zañ i tworzenie efektywnych heurystyk. Zaprezentowano kilka w³aœciwoœci, które przemawiaj¹ za wykorzystywaniem algorytmów ewolucyjnych do rozwi¹zywania z³o onych zagadnieñ, w tym równie do przedstawionego w artykule przez autorkê. TRADITIONAL METHODS OF OPTIMIZATION VS MODERN HEURISTIC IN MINING WORKS MODELING ISSUES IN HARD COAL MINES Key words Hard coal mining, modeling, mining works, optimization, heuristic Abstract Main issue displayed in the paper is the review of optimization methods according to formulated research problem such as planning of exploitation works in hard coal mining enterprise. It have to be stated that at the present time in polish hard coal mining, scope of the planning process is limited. Geometric parameters of longwall panels and its sequence of exploitation are rather determined in accepted long-term plans. So the main possibility is to analyze equipment for planned mining works. In presented article Author provided model of analyzed problem: assumed representation, aim and evaluation function. Take into consideration number of equations which are need to derive a formula of evaluation function, there were shortly presented main dependences between function component elements and assumed representation as well as simplified calculation procedure. Because of the problem complexity and time-consuming calculations Author undertook studies on search an effective optimization method to solve displayed research problem. In the article advantages and disadvantages of selected classic optimization methods as well as evolutionary approach were described. Classic methods were divided into: algorithms which estimate only complete solutions and algorithms for estimation of partial solutions (non complete solutions of original problem) or approximated solution (complete solution of reduced problem). In the article exhaustive search, local search and linear programming were presented as well as some greedy algorithms: dynamic programming, A* algorithm, divide and rule algorithm and divide and bound method. Simulated annealing and tabu search were presented also. As modern approach to search space of solutions evolutionary algorithms were described. Following the paper a few characteristic of evolutionary algorithms were presented which make this approach more applicable to considered problem than classic approach.