ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO"

Ignacy Stankiewicz
6 lat temu
Przeglądów:

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO NR 39 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 2 PAWEŁ BARAN Uniwersytet Szczeci ski POSTA WEKTORA WSPÓŁCZYNNIKÓW FUNKCJI CELU A SZYBKO UZYSKANIA ROZWI ZA PRAWIE OPTYMAL- NYCH I OPTYMALNYCH. BADANIA SYMULACYJNE WST P Racjonalny decydent nie musi kierowa si cisł kalkulacj, na ogół wystarcza mu pewien zało ony z góry poziom dokładno ci uzyskiwanych rozwi - za. Dokładne rozwi zanie problemu decyzyjnego trwa długo. Powstaj pytania, czy i po ilu iteracjach rozwi zanie nieoptymalne jest do zaakceptowania. Przeprowadzono symulacj dla zada programowania liniowego obejmuj c zmiany współczynników funkcji celu pojedynczo (ceteris paribus), parami oraz dla całego wektora c, co na ogół skutkowało zmniejszeniem liczby iteracji potrzebnych do uzyskania rozwi zania optymalnego. 1. ROZWI ZANIA PRAWIE OPTYMALNE Mo na wyró ni kilka typów rozwi za prawie optymalnych; zwykle nie wszystkie maj sens dla konkretnego problemu. W pracy istotne s dwa ich typy: rozwi zanie ε-optymalne (warto funkcji celu ró ni si od ekstremalnej najwy ej o ε) i rozwi zanie ω-optymalne (warto funkcji celu ró ni si od

2 1 Paweł Baran ekstremalnej najwy ej o ω procent) 1. Istot rozwi zania ε-optymalnego przedstawiono na rysunku 1. Lmax Lmax ε Rys. 1. Rozwi zania ε-optymalne ródło: opracowanie własne. 2. ZBIE NO FUNKCJI CELU Funkcja celu osi ga w kolejnych iteracjach warto ci coraz bli sze maksimum (minimum), z reguły jednak dzieje si to coraz wolniej. Je li nie interesuje nas dokładne rozwi zanie optymalne, to rozwi zanie prawie dokładne mo na uzyska ze znacznym zmniejszeniem ilo ci potrzebnych oblicze. Warunkiem jest uzyskanie dostatecznie dobrego oszacowania z góry maksymalnej warto ci funkcji celu (w przypadku minimalizacji oszacowanie z dołu). W tym celu mo na na przykład wykorzysta rozwi zanie (tak e prawie optymalne) zadania dualnego. 1 Por. [2]; [3].

3 Posta wektora współczynników funkcji celu PRZYKŁADY Przeprowadzone symulacje wskazuj, e zwi kszenie zró nicowania mi - dzy elementami wektora c skutkuje szybsz zbie no ci rozwi zania do optimum dla algorytmu simplex. Dla algorytmów typu interior point nie stwierdzono takiej zale no ci, rozwi zania zbiegały do optimum wolniej, a optymalne rozwi zanie było uzyskiwane w podobnej liczbie iteracji tu rozwi zania po- rednie nie s jednak interesuj ce (s niedopuszczalne). Korzy ci obliczeniowe w sytuacji, gdy zadowolimy si rozwi zaniem prawie optymalnym, prezentuje przykład zadanie 3a. Pierwsz tablic simplex zadania 3a przedstawiono w tabeli 1. Funkcja celu d y do maksimum, wszystkie warunki s zgodne z kierunkiem ekstremum. Modyfikacje polegały na zwi kszaniu i zmniejszaniu warto ci elementów wektora c o zadane z góry warto ci (po uwzgl dnieniu analiz wra liwo ci). Tabela 1 Pierwsza tablica simplex zadania 3a c T x max X(B) c(b) x 1 x 2 x 3 x x 5 x 6 x 7 b i x x x x x x c j z j ródło: dane umowne. Na poni szych rysunkach (rys. 2 i 3) zaprezentowano przykładowe wyniki dwóch modyfikacji zadania 3a znacz ce zwi kszenie warto ci jednego z elementów wektora c skutkuje szybsz zbie no ci warto ci L(x). Jest to typowe dla algorytmu simplex.

4 16 Paweł Baran L(x) a c Rys. 2. Zbie no "! do rozwi zania optymalnego zadanie 3a i zadanie c L(x) a c Rys. 3. Zbie no "! do rozwi zania optymalnego zadanie 3a i zadanie c7 + 6 Algorytm simplex umo liwiaj cy wstrzymanie oblicze na pewnym etapie, nie jest wydajny obliczeniowo. Dla du ych zada programowania liniowe-

5 Posta wektora współczynników funkcji celu go stosuje si algorytmy innej klasy, tak zwane interior point methods (IPM) 2. Dla przykładów o rozmiarach zadania 3a liczba oblicze jest wi ksza ni z wykorzystaniem metody simplex, jednak dla wi kszych zada metoda ta jest zdecydowanie mniej czasochłonna. Jako przykłady posłu# zadanie 3a oraz zadanie greenbea z biblioteki NETLIB, maj ce 55 zmiennych i 2393 ograniczenia. Rozwi zanie zadania 3a algorytmem IPM wymaga wi cej kroków (w dodatku bardziej czasochłonnych) ni w metodzie simplex, co potwierdza kolejny wykres (rysunek ) L(x) a c7+6 Rys.. Zbie no "! do rozwi zania optymalnego (algorytm IPM) zadanie 3a i zadanie c7 + 6 Dla zadania greenbea porównanie wyników uzyskanych obydwoma algorytmami wykazuje ogromn przewag algorytmu IPM. Algorytm simplex wymagał 66 iteracji (czas oblicze 29 sekund), algorytm IPM 52 iteracji (czas 2 Por. np. [1].

6 1 Paweł Baran oblicze sekundy). Warto ci funkcji celu uzyskane w poszczególnych iteracjach przedstawiono na rysunkach 5 i 6. L(x) 1,E+7,E+ -1,E+7-2,E+7-3,E+7 -,E+7-5,E+7-6,E+7-7,E+7 -,E greenbea Rys. 5. Zbie no "! do rozwi zania optymalnego (algorytm simplex) zadanie greenbea,e ,E+7-2,E+7-3,E+7 L(x) -,E+7-5,E+7-6,E+7-7,E+7 -,E+7 greenbea Rys. 6. Zbie no "! do rozwi zania optymalnego (algorytm IPM) zadanie greenbea

7 Posta wektora współczynników funkcji celu WNIOSKI Obliczenia wykonywane algorytmem simplex mo na na ogół skróci, je li decydent zadowoli si rozwi zaniem prawie optymalnym. Im mniejsze zró nicowanie warto ci w wektorze c, tym wi cej iteracji potrzeba do osi gni cia rozwi zania optymalnego, na ogół jednak szybciej uzyskuje si wówczas zadowalaj ce rozwi zania prawie optymalne. Dla du ych zada czas potrzebny na uzyskanie satysfakcjonuj cego rozwi zania metod simplex (niekoniecznie optymalnego) jest znacznie dłu szy ni potrzebny do uzyskania rozwi zania optymalnego szybszym algorytmem. Dlatego te algorytmy IPM stały si obecnie standardem w ród twórców oprogramowania wspomagaj cego podejmowanie decyzji oraz mimo swej zło o- no ci powoli staj si cz$ ci kanonu wiedzy ekonomistów i menad erów. LITERATURA 1. Andersen E.D., Gondzio J., Meszaros C., Xu X.: Implementation of Interior Point Methods for Large Scale Linear Programming. W: Interior Point Methods in Mathematical Programming. Red. T. Terlaky. Kluwer Badania operacyjne. Red. E. Ignasiak, PWE, Warszawa Trzaskalik T.: Wielokryterialne dyskretne programowanie dynamiczne. Akademia Ekonomiczna, Katowice THE OBJECTIVE VECTOR FORM AND THE SPEED OF OBTAINING SUBOPTIMAL AND OPTIMAL SOLUTIONS. A SIMULATION SURVEY Summary In the paper above the author provided simulation on two LP problems showing that calculations made using the simplex algorithm can be terminated quickly if the obtained solution is satisfying the decision maker. The smaller variability in the objective coefficients vector, the greater number of iterations is needed to obtain the optimal solution. Still, for a large scale LP problem it is much more effective (and less

8 2 Paweł Baran time consuming) to search for the optimal solution using faster interior point algorithms than to use suboptimal solution achieved using the simplex algorithm. Translated by Paweł Baran

Podobne dokumenty

ZAANGA OWANIE PRACOWNIKÓW W PROJEKTY INFORMATYCZNE

ZAANGA OWANIE PRACOWNIKÓW W PROJEKTY INFORMATYCZNE LESZEK MISZTAL Politechnika Szczeci ska Streszczenie Celem artykułu jest przedstawienie metody rozwi zania problemu dotycz cego zaanga owania pracowników