Ćwiczenie 33. Kondensatory

Transkrypt

1 Ćwiczenie 33. Kondensatory Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwą dielektryka w celu wyznaczenia stałej elektrycznej ε 0 i przenikalności względnych ε r różnych materiałów. Wprowadzenie Kondensator jest układem przewodników oddzielonych warstwą izolatora. Przez pojemność kondensatora C rozumiemy stosunek ładunku Q do napięcia między okładkami U C = Q U. (33.1) Przy pomocy prawa Gaussa wyprowadza się wzór na pojemność kondensatora płaskiego C = ε 0ε r S, (33.2) d gdzie S jest powierzchnią okładki, d odległością między okładkami, współczynnik ε 0 = 8, 85 pf/m nosi nazwę stałej elektrycznej (przenikalności elektrycznej próżni) i ε r jest względną przenikalnością dielektryczną materiału między okładkami kondensatora. Ze wzoru (33.2) wynika, że dla wyznaczenia stałych ε 0 i ε r należy zmierzyć pojemność kondensatorów o znanych wymiarach geometrycznych, próżniowego i wypełnionego dielektrykiem. Wyznaczanie stałej elektrycznej ε 0 W naszym eksperymencie przybliżeniem kondensatora próżniowego jest kondensator powietrzny (rys. 1). Okładkami kondensatora są kołowe płyty metalowe. Określoną odległość między płytami uzyskuje się przez umieszczenie w trzech miejscach stosu izolujących krążków. Do pomiaru pojemności kondensatora stosujemy cyfrowy miernik pojemności. Wartości ε 0 nie możemy wyznaczać wprost ze wzoru (33.2) z dwóch powodów. Po pierwsze krążki określające odległość d między płytami wykonane są z materiału o przenikalności dielektrycznej ε r znacznie większej od jedności, co powoduje powiększenie całkowitej pojemności kondensatora. Kondensator nasz potraktować można jako równoległe połączenie kondensatora z dielektrykiem o przenikalności względnej ε r i łącznej powierzchni okładek równej 3 S p (gdzie S p jest powierzchnią jednego krążka) oraz kondensatora próżniowego, o powierzchni okładek równej S 3 S p. Uwaga: zgodnie z niedawnymi decyzjami ISO (International Organisation for Standardization) oraz IEC (International Electrotechnical Commission) wprowadzono terminy stała magnetyczna i stała elektryczna (ang. magnetic constant, electric constant) jako podstawowe nazwy stałych µ 0 i ε 0. Tradycyjne terminy przenikalność magnetyczna próżni i przenikalność elektryczna próżni pozostają nazwami pomocniczymi. 33-1

2 Rys. 1. Pole elektrostatyczne w kondensatorze płaskim Pojemność całkowita wynosi: C = ε 0(S 3S P ) d Z uwzględnieniem tej poprawki wartość ε 0 obliczamy jako ε 0 = + ε 0ε r 3S p. (33.3) d Cd S + 3(ε r 1)S p. (33.4) Druga istotna poprawka wynika z istnienia tzw. pola rozproszonego. Wzór (33.2) jest w istocie wzorem przybliżonym. Jego wyprowadzenie przy użyciu prawa Gaussa opiera się na upraszczającym założeniu, że pole E ma wartość stałą we wnętrzu kondensatora i raptownie znika poza jego krawędzią (porównaj nasz rysunek 1 z rysunkiem 30-3 w podręczniku Hallidaya-Resnicka). Z samych praw elektrostatyki wynika, że poza brzegami kondensatora pole nie może raptownie znikać. Niejednorodne (o zakrzywionych liniach sił) pole elektryczne poza okładkami nosi nazwę pola rozproszonego. Powoduje ono dodatkowy wzrost pojemności kondensatora, w konsekwencji wartość ε 0 wyliczona wprost ze wzoru (33.4) byłaby zawyżona. Dla danej geometrii płyt odpowiednią poprawkę można obliczyć przez numeryczne obliczenie rozkładu pola przy brzegu kondensatora. W naszym ćwiczeniu zastosujemy doświadczalny sposób eliminacji wpływu pola rozproszonego. Efektywna objętość pola rozproszonego jest rzędu 2πrd 2, gdyż pole to zajmuje z grubsza pas wysoki i szeroki na d wokół obwodu kołowych płyt kondensatora. Natomiast objętość pola jednorodnego wewnątrz kondensatora wynosi πr 2 d. Względny udział pola rozproszonego, będący stosunkiem tych objętości, wynosi 2d/r, czyli że maleje do zera w granicy d 0. Wykonamy zatem serię pomiarów pojemności C dla różnych wartości d, a następnie wykres iloczynu Cd w funkcji grubości d (rys. 2). 33-2

3 Rys. 2. Metoda eliminacji wpływu pola rozproszonego (patrz tekst) Przez uzyskane punkty wykresu przeprowadzamy graficznie lub analitycznie gładką krzywą i ekstrapolujemy czyli przedłużamy do wartości d = 0. Ekstrapolowaną wartość iloczynu (Cd) extr czyli współrzędną punktu przecięcia krzywej Cd = f(d) z osią pionową podstawiamy do licznika wzoru (33.4) by uzyskać poprawną wartość ε 0. Ponadto powierzchnię okładki kondensatora S i przekładki S p obliczamy na podstawie zmierzonych średnic D i D p jako S = πd2 i S p = πd p Otrzymujemy wzór końcowy ε 0 = 4 π (Cd) extr D + 3 (ε r 1) D p. (33.5) Trzecim potencjalnym źródłem błędu systematycznego przy wyznaczaniu stałej elektrycznej jest fakt, że zamiast kondensatora próżniowego mamy kondensator wypełniony powietrzem ( ε r = 1, 0054). Ocenie studenta pozostawiamy, czy odpowiednią poprawkę warto uwzględniać, biorąc pod uwagę wielkość innych niepewności pomiaru. Pomiar przenikalności względnej dielektryków Wartość ε r dielektryków stałych (tab. 1) wyznaczyć można przez pomiar pojemności kondensatora płaskiego z okładkami oddzielonymi cienką płytą z badanego materiału. Korzystamy ze wzoru (33.2), poprawki na pole rozproszone nie będziemy uwzględniać. Obok kondensatora płaskiego przykładem obiektu o określonej pojemności jest kabel koncentryczny (rys. 33.3). Można go traktować jako kondensator cylindryczny, którego jedną okładką jest środkowy drut, drugą miedziany oplot. 33-3

4 Tabela 1: Wartości względnej przenikalności dielektrycznej dla wybranych dielektryków MATERIAŁ ε r powietrze 1, polietylen 2, 3 polichlorek winylu (PCV) 3 pleksiglas 2.6 3, 7 szkło pyrex 4.5 porcelana elektrotechn. 6 8 drewno suche 2 8 krzem 11.7 woda 80 Pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża wzór C = 2πε 0ε r l ln R, (33.6) l w którym R i r oznaczają promienie okładek kondensatora, l jest jego długością. Pojemność kabla koncentrycznego, zwykle wyrażana w pf/m, jest parametrem, który może mieć znaczenie dla działania współpracujących układów elektronicznych. Jej pomiar umożliwia wyznaczenie ε r dla stosowanego w nim dielektryka, którym zwykle jest polietylen (tab. 1). Rys. 3. Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny Wyznaczenie ε 0 jako pośredni pomiar prędkości światła W równaniach elektrostatyki (prawo Gaussa) pojawia się stała ε 0 natomiast w równaniach magnetostatyki (prawo Ampera) stała µ 0. Można odnieść wrażenie, że scharakteryzowanie własności elektromagnetycznych próżni wymaga dwu stałych. Tak jednak nie jest, gdyż wartość jednej z nich, konkretnie µ 0 w układzie SI, jest wynikiem konwencji definiującej jednostkę prądu. Przypomnijmy sobie, że amper jest zdefiniowany jako wartość prądu, który płynąc przez dwa nieskończone równoległe przewody odległe o a = 1 m wytwarza siłę F = N na odcinku l = 1 m długości przewodu. 33-4

5 Ponieważ siła oddziaływania między przewodami dana jest wzorem F = µ 0I 2 l (33.7) 2πa więc podstawiając do tego wzoru wymienione wartości F, l, a oraz I = 1 A otrzymujemy zarówno wartość liczbową jak również jednostkę stałej magnetycznej µ 0 = 4π 10 7 Vs/Am. Drugą stałą ε 0 trzeba rzeczywiście doświadczalnie wyznaczać, gdyż przyjęcie jednostki prądu wyznacza pozostałe jednostki elektryczne, takie jak jednostkę ładunku (1 C = 1 A 1 s), jednostkę napięcia (z relacji 1 V 1 A= 1 W) i jednostkę pojemności (1 F= 1C/1V) użytą do określenia pojemności naszego kondensatora. Stwierdzamy zatem, że nawet jeśliby magnetostatyka i elektrostatyka pozostawały niezależnymi zjawiskami fizycznymi wymagają one w próżni tylko jednej stałej. Pełny układ równań elektromagnetyzmu (równania Maxwella) wiąże wartości ε 0 i µ 0 z prędkością fali elektromagnetycznej c równaniem c = 1 µ0 ε 0 (33.8) Pomiar przenikalności dielektrycznej próżni stanowi więc pośrednią metodę wyznaczenia prędkości światła. Aparatura Do zestawiania kondensatora o różnej geometrii używamy dwu kołowych metalowych okładek, zestawu krążków izolujących (wykonanych z pleksiglasu) i kilku płyt wykonanych z różnych dielektryków. Kondensatorem cylindrycznym jest standardowy kabel koncentryczny. Potrzebne mechaniczne przyrządy pomiarowe to śruba mikrometryczna i przymiar milimetrowy (ewentualnie długa suwmiarka). Pojemność elektryczną mierzy się cyfrowym miernikiem LCR. Stosowany aktualnie miernik typ MIC-4070D działa na zasadzie pomiaru oporności pozornej badanego kondensatora (X C = 1/(2πfC)) przy użyciu prądu o częstotliwości 1 khz. Niepewność maksymalna pomiaru pojemności wynosi 1% wielkości mierzonej +0.1% zakresu. Wykonanie ćwiczenia 1. Włączyć miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Powinien być zaopatrzony w krótkie przewody z krokodylkami, na razie nie podłączone do układu. Jeżeli wskazania miernika różnią się istotnie od zera (np. więcej niż 0.3 pf na zakresie 200 pf), wtedy przyrząd należy wyzerować. 2. Pomiar dla kondensatora powietrznego z przekładkami. (a) Zestawić kondensator z płyt (ustawiać dokładnie jedną nad drugą) i trzech pojedynczych izolacyjnych przekładek. Zmierzyć pojemność C i odległość d. Uwaga. Krążki przekładkowe posiadają jednakową średnicę, natomiast 33-5

6 grubości płytek różnią się ze względu na różnice grubości płyty pleksiglasowej, z której zostały wytoczone. Należy mierzyć (śrubą mikrometryczną) grubości d 1, d 2, d 3 każdego z krążków. Jako wartość d do dalszej analizy brać średnią arytmetyczną. Podczas pomiaru C odsunąć ręce od układu, gdyż dotykanie mierzonego kondensatora powoduje zauważalny wzrost pojemności! (b) Pomiar pojemności C i odległości d powtórzyć dla wzrastającej liczby 2, 3, 4, 5 przekładek (rys. 1). Zaleca się dla kolejnych konfiguracji mierzyć śrubą mikrometryczną zamiast pojedynczych przekładek łączne wysokości d 1, d 2, d 3 zestawów przekładek użytych do pomiaru C. Wyniki pomiarów d 1, d 2, d 3 i C oraz obliczone wartości d i C d notować w odpowiedniej tabeli. (c) Powtórzyć pomiar dla pojedynczych przekładek. (d) Zmierzyć pozostałe 2 wymiary geometryczne potrzebne dla obliczenia ε 0 (jakie?). 3. Kondensator płaski z dielektrykiem. (a) Zestawić kondensatory płaskie z okładek metalowych rozdzielonych płytami wykonanymi z różnych dielektryków. (b) Dla kolejnych zestawów mierzyć pojemność C i grubość dielektryka d. 4. Kondensator koncentryczny z dielektrykiem. (a) Dla odcinka kabla koncentrycznego zmierzyć pojemność i niezbędne wymiary geometryczne. Opracowanie wyników 1. Wykonać wykres iloczynu Cd od (średniej) odległości okładek d. Dla najmniejszej odległości okładek zaznaczyć obydwa rezultaty pomiaru (pkt. 1a i 1c). 2. Przez punkty eksperymentalne przeprowadzić gładką krzywą w celu uzyskania ekstrapolowanej wartości (Cd) extr. 3. Obliczyć ze wzoru (33.5) wartość ε Oszacować niepewność ε 0 na podstawie niepewności pomiaru R, d, C. (a) We wzorze (33.5) pominąć czynnik poprawkowy 3(ε r 1)Sp. (b) Obliczenie numeryczne u C (ε 0 ) wykonać dla C i d dla kondensatora z pojedynczą przekładką. Dwa punkty pomiarowe dla kondensatora z najmniejszą odległością okładek mają bowiem największy wpływ na wartość ekstrapolowaną iloczynu Cd, a zatem i na wyznaczoną wartość ε Obliczyć wartości ε r dla dielektryków w kondensatorze płaskim i dla kabla koncentrycznego. Porównać z wartościami tabelarycznymi (tab. 1). 6. Z uzyskanej wartości ε 0 obliczyć wartość i niepewność wyznaczenia prędkości światła. Czy niepewności względne ε 0 oraz c są równe? 33-6