Sygnały i systemy dynamiczne

Transkrypt

1 Sygnały i systey dynaiczne laboratoriu Wojciech Śleszyński Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Autoatyki Gdańsk Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie. Materiał został przygotowany w związku z realizacją projektu pt. Zaawianie kształcenia na kierunkach technicznych, ateatycznych i przyrodniczych pilotaż współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w raach Europejskiego Funduszu Społecznego Nr uowy: 46/DSW/4../8 zadanie 84 w okresie od

2 Wprowadzenie Skrypt zawiera siede ćwiczeń laboratoryjnych przeznaczonych do realizacji w raach przediotu Sygnały i systey dynaiczne. W ćwiczeniu pierwszy scharakteryzowano krótko środowisko Matlab, oówiono podstawy języka Matlab i ożliwości graficznego przedstawiania danych. Podano przykłady tworzenia i wizualizowania sygnałów w ty środowisku. Ćwiczenie drugie poświecono szeregowi Fouriera sygnałów ciągłych i dyskretnych, poruszono zagadnienia związane z próbkowanie sygnałów, częstotliwością sygnałów dyskretnych i zjawiskie nakładania wida, dokonano analizy i syntezy prostych sygnałów okresowych, wykorzystując w ty celu również wybrane właściwości szeregu Fouriera. Ćwiczenie trzecie dotyczy przekształcenia Fouriera sygnałów ciągłych i dyskretnych oraz dyskretnej transforaty Fouriera. Podano przykłady wykorzystania dyskretnej transforaty Fouriera w celu wyznaczania wid sygnałów o ograniczonej energii oraz wid sygnałów okresowych i zwrócono uwagę na właściwą interpretację uzyskiwanych wyników. W ćwiczeniu czwarty analizowane są trójfazowe sygnały okresowe, ierzone w układach energoelektronicznych. Studenci saodzielnie wykonują analizę widową i obliczają podstawowe paraetry zarejestrowanych sygnałów trójfazowych, a także sygnałów zespolonych, uzyskanych dzięki transforacji sygnałów trójfazowych. W ćwiczeniu piąty skupiono się na ilustracji podstawowych właściwości dyskretnych układów liniowych. Pokazane są w praktyce etody wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych układów dyskretnych, analizowane jest działanie i charakterystyki filtrów o skończonej i nieskończonej odpowiedzi ipulsowej, ipleentowany jest w języku Matlab rekurencyjny algoryt obliczania wartości średniej. Ćwiczenie szóste stanowi wprowadzenie do projektowania filtrów cyfrowych etodai transforacji filtrów analogowych do postaci cyfrowej. W ćwiczeniu badane są układy cyfrowe uzyskane etodai niezienności odpowiedzi czasowych i etodai opartyi na całkowaniu nueryczny. W ćwiczeniu siódy przedstawiono zasadę działania i szczegóły ipleentacyjne układu pętli synchronizacji fazowej. Instrukcje do ćwiczeń zostały napisane w taki sposób, aby każda z nich stanowiła autonoiczną całość i zawierała część teoretyczną ułatwiającą studento przygotowanie się do zajęć. Poszczególne instrukcje laboratoryjne rozpoczynają się od podania celu ćwiczenia. Następnie w części teoretycznej wprowadzane są nowe pojęcia i zależności wraz z przykładai i słownyi wyjaśnieniai. Większość instrukcji zawiera także zadania przeznaczone do rozwiązania w dou, których cele jest utrwalenie wiedzy niezbędnej do realizacji ćwiczeń laboratoryjnych. W raach przygotowania do zajęć wyagane jest zapoznanie się z częścią teoretyczną i wykonanie zadań doowych. Ostatnią część każdej instrukcji stanowi opis zadań przeznaczonych do wykonania w czasie zajęć laboratoryjnych. Część zadań laboratoryjnych zawiera rozwiązania wybranych zagadnień w środowisku Matlab i wyaga analizy uzyskanych wyników. Druga grupa to zadania probleowe przeznaczone do saodzielnego rozwiązania lub wyagające odyfikacji przykładowych rozwiązań. Do każdej instrukcji laboratoryjnej dołączony jest zestaw prograów zrealizowanych w środowisku Matlab, które będą wykorzystywane w trakcie ćwiczeń. I

3 Spis treści Wprowadzenie I. Wprowadzenie do prograu Matlab -.. Cel ćwiczenia -.. Wprowadzenie -.3. Uruchoienie prograu Matlab -.4. Podstawy języka środowiska Matlab Podstawowe typy i foraty danych Wprowadzanie acierzy, indeksowanie Operatory arytetyczne Relacje, operatory logiczne i bitowe Priorytety i kolejność obliczeń Wybrane funkcje ateatyczne Instrukcje sterujące działanie prograu -.5. Grafika -.6. Reprezentacja sygnałów w środowisku Matlab Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura -6. Szereg Fouriera sygnałów ciągłych i dyskretnych. -.. Cel i zakres ćwiczenia -.. Podstawy teoretyczne -... Szereg Fouriera sygnałów ciągłych -... Próbkowanie, dyskretny sygnał sinusoidalny Szereg Fouriera sygnału dyskretnego Wybrane właściwości szeregu Fouriera Zastosowanie środowiska Matlab do analizy i syntezy sygnałów okresowych Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura Przekształcenie Fouriera sygnałów ciągłych i dyskretnych Cel i zakres ćwiczenia 3- II

4 3.. Podstawy teoretyczne Przekształcenie Fouriera Transforaty Fouriera wybranych sygnałów Transforacja Fouriera sygnału dyskretnego Właściwości transforat Fouriera Dyskretna transforacja Fouriera Interpretacja dyskretnej transforaty Fouriera Zastosowanie środowiska Matlab do analizy widowej sygnałów Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura 3-4. Analiza widowa sygnałów Cel i zakres ćwiczenia Podstawy teoretyczne Haroniczne napięć i prądów Analiza widowa sygnałów okresowych trójfazowych Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura Dyskretne systey liniowe Cel i zakres ćwiczenia Podstawy teoretyczne Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura Filtry o nieskończonej odpowiedzi ipulsowej Cel i zakres ćwiczenia Podstawy projektowania rekursywnych filtrów cyfrowych Metoda niezienności odpowiedzi czasowej Metody oparte na całkowaniu nueryczny 6-4 III

5 6.3. Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura 6-7. Pętla synchronizacji fazowej Cel ćwiczenia Podstawy teoretyczne Wyniki syulacji pętli synchronizacji fazowej Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych Literatura 7- IV

6 . Wprowadzenie do prograu Matlab.. Cel ćwiczenia Ćwiczenie a charakter wprowadzający do oprograowania Matlab. Cele ćwiczenia jest poznanie podstaw języka syulacyjnego Matlab... Wprowadzenie Matlab jest zaawansowany techniczny językie do wykonywania różnego rodzaju obliczeń i interaktywny środowiskie do opracowywania algorytów, analizy i wizualizacji danych. Używając środowiska Matlab, ożna zazwyczaj rozwiązać techniczne probley obliczeniowe szybciej niż z tradycyjnyi językai prograowania, taki jak C, C++ i Fortran. Nazwa Matlab pochodzi od angielskiego zwrotu Matrix Laboratory. Od saego początku środowisko Matlab było tak projektowane, aby uożliwić efektywne prowadzenie obliczeń na acierzach. Oprograowania Matlab ożna używać do różnorodnych zastosowań, włączając przetwarzanie sygnałów i obrazów, kounikację, projektowanie układów sterowania, testowanie i poiary, odelowanie finansowe, biologię koputerową i in. Progra a budowę odułową. Dodatkowe przyborniki narzędziowe, tzw. toolbox (zbiory funkcji prograu Matlab specjalnego przeznaczenia, które ożna dokupić w zależności od potrzeb) rozszerzają środowisko Matlab i uożliwiają rozwiązywanie szczególnych klas probleów. Progra dostarcza również licznych narzędzi do dokuentowania wykonanej pracy. Matlab składa się z następujących głównych części: Narzędzia pulpitu i środowisko prograistyczne. Ta część środowiska Matlab jest zbiore prograów narzędziowych i udogodnień ułatwiających wykorzystywanie jego funkcji i plików w efektywny sposób. Wiele tych prograów jest graficznyi interfejsai użytkownika,.in. pulpit prograu Matlab, okno poleceń, edytor, analizator kodu, przeglądarki poocy, przestrzeni roboczej i folderów. Biblioteka funkcji ateatycznych. Ogrony zbiór algorytów obliczeniowych rozciągających się od eleentarnych funkcji, jak sua, sinus i arytetyka liczb zespolonych, do bardziej wyszukanych funkcji jak odwracanie acierzy, funkcje Bessela i szybka transforata Fouriera. Język. Jest zaawansowany acierzowo/wektorowy językie z instrukcjai przepływu sterowania, funkcjai, strukturai danych, obsługą urządzeń wejścia/wyjścia i cechai prograowania obiektowo-zorientowanego. Grafika. Matlab posiada obszerne ożliwości wyświetlania wektorów i acierzy w postaci wykresów, jak również wykonywania adnotacji i drukowania wykonanej grafiki. Zawiera zaawansowane funkcje dla dwuwyiarowej i trójwyiarowej wizualizacji danych, przetwarzania obrazu, aniacji i grafiki na potrzeby prezentacji. Zawiera również funkcje niskiego poziou, które pozwalają w pełni przystosować wygląd grafiki, jak również stworzyć kopletny graficzny interfejs użytkownika dla aplikacji. -

7 Zewnętrzne interfejsy. Zewnętrzna biblioteka interfejsów uożliwia współpracę z innyi językai prograowania,.in. C/C++, Java i Fortran..3. Uruchoienie prograu Matlab Po uruchoieniu środowiska Matlab pojawia się okno dialogowe pokazane na rys, które jest podzielone na kilka części. Rys... Wygląd okna dialogowego prograu Matlab Środkowa część, okno poleceń (Coand Window) służy do wprowadzania ziennych, wykonywania obliczeń oraz uruchaiania funkcji i skryptów. Po prawej stronie, u góry ay podgląd obszaru roboczego (Workspace) pokazującego aktualne zienne natoiast na dole historię koend (Coand History). Z lewej strony, u góry jest okno podglądu zawartości aktualnego folderu roboczego (Current Directory). Folder roboczy ożna wskazać iędzy innyi za poocą przycisku Browse for folder na pasku narzędziowy, uieszczony poniżej paska z zakładkai. Zawsze ożna przywrócić doyślny układ okien pulpitu prograu Matlab poprzez wybór opcji: Desktop Desktop Layout Default. W lewy dolny rogu pulpitu znajduje się przycisk Start, który uożliwia dostęp do narzędzi środowiska Matlab, przyborników i in. W oknie poleceń (Coand Window) prograu Matlab wyświetlany jest znak gotowości >>, po który wprowadza się polecenie do wykonania lub kilka poleceń rozdzielonych średnikai (tzw. tryb interaktywny). Polecenia należy pisać ałyi literai. Sekwencje poleceń ożna zapisywać w tzw. -plikach (ang. -file) plikach tekstowych z rozszerzenie. (tzw. tryb wsadowy). Rozróżnia się ich dwa rodzaje: skrypty i funkcje. Skrypty nie akceptują arguentów wejściowych ani nie zwracają arguentów wyjściowych, operują bowie na ziennych zawartych w przestrzeni roboczej prograu Matlab (ang. -

8 workspace). Funkcje akceptują arguenty wejściowe i zwracają arguenty wyjściowe, operują na ziennych lokalnych; na początku funkcji należy uieścić słowo kluczowe function. Aby utworzyć -plik należy wybrać opcję File New M-file, w celu otworzenia pliku wcześniej zapisanego File Open. Oba te polecenia powodują uruchoienie edytora (ang. editor) prograu Matlab. Uożliwia on wygodną edycję -plików oraz oferuje narzędzia do znajdowania i usuwania błędów w prograach. W celu wykonania poleceń zawartych w skrypcie należy wywołać w oknie poleceń nazwę pliku bez rozszerzenia lub uruchoić go za poocą edytora korzystając z opcji Debug Run (alternatywnie ożna kliknąć yszą na przycisk Run lub wcisnąć przycisk klawiatury F5). Aby zakończyć pracę z prograe Matlab ożna wpisać koendę quit lub exit lub zaknąć yszą okno pulpitu. Wszystkie zienne zostaną wówczas utracone. Można je zachować przed zaknięcie prograu za poocą koendy save. Użycie jej bez żadnych paraetrów spowoduje, że wszystkie zienne zostaną zapisane do pliku atlab.at. W celu zapisania tylko wybranych ziennych, należy wyienić je po koendzie save, rozdzielając spacjai. Możliwe jest iędzy innyi określenie nazwy pliku z zapisanyi ziennyi oraz odyfikacje foratu zapisu. Standardowo zienne są zapisywane w wewnętrzny foracie MAT prograu Matlab, który jest nieczytelny dla innych prograów. Forat zapisu ożna zienić na ASCII przy użyciu paraetru ascii. Przykładowy zapis >> save nazwa_pliku.dat X Y Z -ascii uożliwia zapaiętanie w pliku nazwa_pliku.dat trzech ziennych X, Y, Z w ośiocyfrowy foracie ASCII. Aby przywrócić zapisane zienne do przestrzeni roboczej środowiska Matlab (lub wczytać dane do przeprowadzenia obliczeń) należy skorzystać z polecenia load (w sposób analogiczny jak w przypadku save). Wszystkie zienne prograu Matlab ożna usunąć koendą clear. Polecenie clear nazwa_ziennej usuwa wybraną zienną (lub kilka zienne oddzielonych spacjai). Polecenie clc czyści okno poleceń środowiska Matlab. Znak (%) jest używany do rozpoczęcia koentarza. W oknie poleceń ożna bezpośrednio skorzystać z poocy wpisując koendę help, która powoduje wyświetlenie teatów poocy wraz z krótki opise. Koenda help nazwa_polecenia wyświetla podpowiedź odnośnie do wskazanego polecenia np. help atfun wyświetla inforacje na teat funkcji acierzowych, help slash wyświetla inforacje na teat dzielenia. Polecenie lookfor szukana_nazwa przeszukuje wszystkie teksty poocy w celu znalezienia szukanej nazwy..4. Podstawy języka środowiska Matlab.4.. Podstawowe typy i foraty danych Zienne są podstawowyi obiektai danych, któryi posługuje się progra. Zienne uszą zaczynać się od litery i ogą składać się z kobinacji liter i cyfr. Rozróżniane są ałe i duże litery w nazwach ziennych i poleceń. Słowa kluczowe (np. if, end, float) są zarezerwowane, nie ogą być używane jako nazwy ziennych. Wszystkie słowa kluczowe i -3

9 funkcje środowiska Matlab uszą być wprowadzane tylko przy użyciu ałych liter, bo w przeciwny przypadku będzie sygnalizowany błąd. Jeśli wprowadzenie ziennej zostanie zakończone średnikie, to jej wartość nie zostanie wyświetlona w oknie poleceń prograu Matlab, a w przeciwny razie zostanie wyświetlona. Podstawową strukturą danych w środowisku Matlab jest acierz: dwuwyiarowa, prostokątna struktura danych, która oże przechowywać wiele eleentów danych. Macierze są roziaru n, gdzie jest nuere wiersza a n koluny. Dane ogą być różnych typów (.in. nueryczne, znakowe, logiczne, struktury), przy czy nie jest wyagana deklaracja typu ziennych ani podawanie ich roziarów paięć przydzielana jest autoatycznie aż do wyczerpania zasobów sprzętowych koputera. Podstawowy nueryczny type danych w środowisku Matlab są liczby ziennoprzecinkowe podwójnej precyzji (double). W raach zajęć będą głównie wykorzystywane dane typu rzeczywistego i zespolonego. Minialną i aksyalną wartość liczby rzeczywistej (reprezentowanej przez typ ziennoprzecinkowy) dodatniej ożna sprawdzić polecenie realin (.5-38 ) i realax ( ). Inforację o precyzji liczb ziennoprzecinkowych ożna uzyskać polecenie eps (.4-6 ). W trakcie zajęć zakłada się wykorzystywanie stałych: liczby π, która jest reprezentowana koendą pi oraz jednostka urojona j = reprezentowana zapisai: i lub j (zalecany sposób wprowadzania danej) oraz i lub j (zapis akceptowalny, lecz niezalecany). Oprócz liczb występują również wartości specjalne, na przykład: +Inf i Inf (plus i inus nieskończoność, ang. infinity), NaN (nieliczba, ang. Not a Nuber), które ogą być wynikie na przykład takich operacji, jak -/, /. Liczba zespolona c = a + jb składa się z dwóch liczb rzeczywistych a i b oraz operatora j (w prograie Matlab należy używać zapisu i). Podstawowe funkcje związane z operacjai na liczbach zespolonych to: coplex(a,b) tworzenie liczby zespolonej c z części rzeczywistej i urojonej, conj(c) liczba sprzężona do c równa c * = a - jb, abs(c) oduł liczby zespolonej równy c = a + b, angle(c) arguent liczby zespolonej równy arg(c) = arctg(b/a), real(c) część rzeczywista liczby zespolonej, iag(c) część urojona liczby zespolonej. Liczby a, b, c ogą być zastąpione acierzai. Sposób definiowania liczb zespolonych pokazano w przykładzie P.. P.. Liczba zespolona (poprawne zapisy) a=; b=; %liczby rzeczywiste c=+i* %liczby zespolone c=a+b*i c=+i*b c3=coplex(,) (niepoprawne zapisy) c4=+i c5=+bi -4

10 Forat wyświetlania liczb ożna zieniać za poocą polecenia forat. Forate doyślny jest short (stałoprzecinkowy pięciocyfrowy). Inne foraty to long (stałoprzecinkowy piętnastocyfrowy), short e (ziennoprzecinkowy pięciocyfrowy), long e (ziennoprzecinkowy piętnastocyfrowy), hex (szesnastkowy), bank (walutowy), + (znak liczby), copact (wyłącza wyświetlanie pustych wierszy)..4.. Wprowadzanie acierzy, indeksowanie [ ] nawiasy kwadratowe używane są do tworzenia acierzy oraz do otaczania wartości zwracanych przez funkcję. Przy wprowadzaniu acierzy należy paiętać o ty, że eleenty wierszy acierzy należy oddzielać spacjai lub przecinkai, a wiersze acierzy rozdziela się średnikai. P.. Wprowadzanie acierzy a= %liczba A=[ 3] %wektor wierszowy B=[; ; 3] %wektor kolunowy C=[ 3 ; 4 5 6; 7 8 9] %acierz D=[-j +j 3 j] %dwa wektory liczb zespolonych D=[ -j +j 3 j] % o różnej liczbie eleentów E=[- A 4] %dopisywanie eleentów do acierzy %Składanie acierzy: F=[A A+3] G=[A; *A] H=[C; A] H=[C B] H=[C B; [A pi]] H3=[C B; A] %będzie sygnalizowany błąd dlaczego? ( ) nawiasy okrągłe są używane są do wskazania pierwszeństwa w wyrażeniach arytetycznych i logicznych oraz do obejowania listy arguentów wejściowych funkcji. Wykorzystywane są także do obejowania indeksów do wektorów lub acierzy: i-ty eleent wiersza oraz j-ty eleent koluny acierzy A oznaczane są w sposób następujący A(i,j). W prograie Matlab indeksy acierzy rozpoczynają się od jedynki: A(,3) jest eleente pierwszego wiersza i trzeciej koluny acierzy A. Jest ożliwe odniesienie się do eleentu w acierzy poprzez podanie tylko jednego indeksu np. A(i) co jest oczywiste w przypadku wektora w postaci wiersza lub koluny. W przypadku dwuwyiarowej acierzy jest ona traktowana jako jedna długa koluna uforowana z kolejnych kolun oryginalnej acierzy. Jeśli zostanie wykryta próba wskazania eleentu spoza acierzy wystąpi błąd: Index exceeds atrix diensions. Jeżeli X i V są wektorai, to wyrażenie X(V) jest równoważne [X(V()), X(V()),, X(V(n))]. Eleenty wektora V uszą być liczbai całkowityi, aby ogły być stosowane jako indeksy. Jeśli któryś z indeksów przechowywanych w V jest niejszy od jedynki lub większy od roziaru X, to jest sygnalizowany błąd. -5

11 P.3. Indeksowanie acierzy b=c(,3) c=c(4) C(,)=5 C(,)=C(3,3)+C(,) C=H([ 4 8]) C=C([3 ],[3 ]) (:) dwukropek jest jedny z najważniejszych operatorów języka Matlab. Uożliwia on tworzenie wektorów, tablic indeksów: zapis i:n tworzy wektor [i, i+,, n], zapis i:k:n tworzy wektor z krokie k: [i, i+k,, n]. Dwukropek służy także do wybierania wierszy, kolun i eleentów wektorów oraz acierzy: A(i,:) i-ty wiersz acierzy A, A(:,j) j-ta koluna acierzy A; A(:,:,k) k-ta strona acierzy A, A(:n) eleenty acierzy A od -tego do n-tego, A(:n,:) wiersze acierzy A od -tego do n-tego, A(:) wektor kolunowy utworzony ze wszystkich eleentów acierzy A; Zapis A(:)=B oznacza, że acierz A jest wypełniana eleentai acierzy B, A i B uszą istnieć i ieć tyle sao eleentów, powstaje acierz A przy czy jej wyiary nie zieniają się. P.4. Zastosowania dwukropka V=: % tworzy wektor z krokie W=:pi/6:pi % tworzy wektor z krokie π/6 Z=5:-.5:-5 % tworzy wektor z krokie -.5 I=C(:,3:-:) I=C(::3,3:-:) J=C(:) C(,:)=[] Matlab zawiera zestaw funkcji uożliwiających generowanie wektorów/acierzy. Poniżej zaieszczono kilka przykładów funkcji tego typu: linspace wektor liczb rozieszczonych równoiernie w zadany przedziale, ones acierz złożona z jedynek, zeros acierz złożona z zer, eye acierz jednostkowa, rand acierz liczb losowych o rozkładzie równoierny, randn acierz liczb losowych o rozkładzie noralny, repat acierz wypełniona powtórzeniai innej acierzy. Roziar acierzy ożna sprawdzić za poocą funkcji: -6

12 length długość wektora, size roziar acierzy. P.5. Generacja acierzy przy użyciu funkcji %Wektor równoiernie rozieszczonych liczb z przedziału od do t=linspace(,,) length(t) %Macierz o roziarze 3 wypełniona liczbai H=*ones(,3) %Macierz o roziarze 3 wypełniona liczbai I=zeros(,3,) %Wektor o roziarze wypełniony liczbai losowyi o rozkładzie noralny J=randn(,); figure;plot(j); figure;hist(j); %Macierz o roziarze 3 wypełniona liczbai π K=repat(pi,3,) %Macierz o roziarze 9 8 wypełniona wartościai acierzy jednostkowej o roziarze 3 4 L=repat(eye(3,4),3,) size(l).4.3. Operatory arytetyczne W środowisku Matlab występują dwa różne typy operacji arytetycznych. Operacje acierzowe są określone zgodnie z zasadai algebry liniowej. Operacje tablicowe arytetyczne są wykonywane eleent po eleencie i ogą być używane z tablicai wielowyiarowyi. Operacje tablicowe określane są przez znak kropki (.) i następujący po ni operator arytetyczny. Ponieważ operacje acierzowe i tablicowe są takie sae w przypadku dodawania i odejowania nie rozróżnia się ich. Podstawowyi operatorai arytetycznyi są: (+) dodawanie, (-) odejowanie, (*) nożenie acierzowe, (.*) nożenie tablicowe, (/) dzielenie acierzowe, (\) dzielenie acierzowe lewostronne, (./) dzielenie tablicowe, (\) dzielenie tablicowe lewostronne, (^) potęgowanie acierzowe, (.^) potęgowanie tablicowe, ( ) transpozycja acierzowa (dla acierzy zespolonych zaienia eleenty na sprzężone do nich), (. ) transpozycja tablicowa (dla acierzy zespolonych nie zaienia eleentów na sprzężone do nich). Tab... Przykłady użycia operatorów arytetycznych Operacje acierzowe Operacje tablicowe A 3 B A 3 B A+B A-B A A- - A*B Błąd A.*B 4 8-7

13 A *B A.*B Błąd A*B 3 A.*B Błąd A* 4 6 A.* 4 6 A\B A.\B 4 5/ 4/3 5/3 \A / 3/.\A / 3/ A/B 3/77 A./B /4 /5 / A/ / 3/ A./ / 3/ A^B Błąd A.^B 3 79 A^ Błąd A.^ 4 9 ^A Błąd.^A 4 8 (A+j*B) -4i -5i 3-6i (A+j*B). +4i +5i 3+6i.4.4. Relacje, operatory logiczne i bitowe W środowisku Matlab istnieją następujące operatory porównania: (<) niejsze niż, (>) większe niż, (<=) niejsze równe niż, (>=) większe równe niż, (==) równe, (~=) różne. Operatory realizują porównanie dwóch tablic eleent po eleencie. Zwracają acierz zero-jedynkową o tych saych roziarach, gdzie () oznacza fałsz relacji, a () prawdę. W przypadku liczb zespolonych operatory (==) i (~=) sprawdzają równość / nierówność całej liczby, natoiast pozostałe operatory zwracają wynik porównania części rzeczywistych. Matlab oferuje trzy typy operatorów i funkcji logicznych: eleentowe operujące na eleentach acierzy: ( ) sua logiczna (OR), (&) iloczyn logiczny (AND), (~) negacja (NOT), (xor) nierównoważność (XOR), bitowe operujące na poszczególnych bitach liczb całkowitych dodatnich lub wektorach: bitand iloczyn bitowy, bitor sua bitowa, bitcp negacja bitowa liczby n-bitowej, n jest drugi arguente koendy, bitxor nierównoważność bitowa, warunkowe używane w wyrażeniach logicznych zawierających skalary: ( ) sua logiczna warunkowa (OR), (&&) iloczyn logiczny warunkowy(and); drugi arguent wyrażenia logicznego jest analizowany jeśli pierwszy nie jest wystarczający do określenia wartości wyrażenia: kiedy pierwszy arguent iloczynu logicznego a wartość logiczną () to wartość iloczynu usi być () i nie jest brany pod uwagę drugi arguent. Przykłady użycia operatorów porównania i logicznych: A = [ ]; B = [ 5-3]; A > B = [ ]; A & B = [ ]; -8

14 A B = [ ]; ~A = [ ]; xor(a,b) = [ ]; a = ; %binarnie b = ; %binarnie bitand(a,b) = 8 %binarnie bitor(a,b) = 4 %binarnie bitcp(a,4) = 3 %binarnie bitxor(a,b) = 6 %binarnie Priorytety i kolejność obliczeń W języku Matlab, podobnie jak w innych językach prograowania, ożna budować wyrażenia, w których używane są różne kobinacje operatorów arytetycznych, logicznych i relacji. Priorytety operatorów określają kolejność w jakiej Matlab wyznacza wartość wyrażenia. Wartość wyrażenia dla operatorów o taki say priorytecie jest wyznaczana od strony lewej do prawej. Poniższa lista operatorów jest uporządkowana pod względe ich priorytetów w taki sposób, że na górze znajdują się operatory o najwyższy priorytecie:. nawiasy okrągłe ( ),. transpozycja tablicowa (. ), potęgowanie tablicowe (.^), transpozycja acierzowa ( ), potęgowanie acierzowe (^), 3. jednoarguentowe operacje (+) i (-), logiczna negacja (~), 4. nożenie tablicowe (.*), tablicowe dzielenie prawostronne (./), tablicowe dzielenie lewostronne (.\), nożenie acierzowe (*), acierzowe dzielenie prawostronne (/), acierzowe dzielenie lewostronne (\), 5. dodawanie (+), odejowanie (-), 6. średnik (:), 7. niejsze niż (<), większe niż (>), niejsze równe niż (<=), większe równe niż (>=), równe (==), różne (~=), 8. iloczyn logiczny eleentowy (&), 9. sua logiczna eleentowa ( ),. iloczyn logiczny warunkowy (&&),. sua logiczna warunkowa ( ) Wybrane funkcje ateatyczne Standardowe funkcje ateatyczne są dostępne w prograie Matlab przy użyciu następujących zapisów: funkcje trygonoetryczne: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), funkcje trygonoetryczne odwrotne: asin(x), acos(x), atan(x), atan(x,y), acot(x), funkcje hiperboliczne: sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), funkcje hiperboliczne odwrotne: asinh(x), acosh(x), atanh(x,y), acoth(x), funkcja wykładnicza: exp(x), -9

15 funkcje logaryticzne: log(x), log(x), log(x), pierwiastek kwadratowy: sqrt(x), funkcje zaokrągleń liczby: fix(x), floor(x), ceil(x), round(x), funkcje dzielenia całkowitoliczbowego: od(x), re(x) Instrukcje sterujące działanie prograu Podstawowyi instrukcjai sterującyi działanie prograu są: instrukcja warunkowa if: if wyrażenie_logiczne instrukcje elseif wyrażenie_logiczne instrukcje else instrukcje end instrukcja iteracyjna while: while wyrażenie_warunkowe instrukcje end instrukcja iteracyjna for: for zienna = wyrażenie instrukcje end instrukcja wyboru case: switch switch_wyrażenie case case_wyrażenie instrukcje case {c_wyr, c_wyr,...} instrukcje otherwise instrukcje end if x>= y = ; elseif x<=- y = -; else y = ; end while i<j i = *i-3; end for k = ::*n A(k) = /(k+n); end switch sygnal case y=sin(w*t); case {, 4} y=cos(w*t); otherwise y=*t; end W języku środowiska Matlab należy unikać stosowania instrukcji iteracyjnych, a jak najczęściej używać notacji dwukropkowej do generowania acierzy, wskazywania ich eleentów, wierszy i kolun. Fragent kodu z tzw. wektoryzacją pętli (w prawej części tabeli) wykonuje się szybciej niż ten z wykorzystanie pętli for (do poiaru czasu wykorzystano instrukcje tic, toc). z wykorzystanie pętli for bez pętli for tic;i=; for phi=:.: i=i+; y(i)=cos(phi); end; toc; tic; phi=:.:; y=cos(phi); toc; -

16 W przypadku wykonywania operacji na dużych acierzach, korzystne jest także wcześniejsze zarezerwowanie paięci przez utworzenie dowolnych acierzy specjalnych np.: y=zeros(,); for i=: i=i+; y(i)=det(x^i); end.5. Grafika Środowisko Matlab oferuje wiele ożliwości graficznego przedstawienia danych, uożliwia również tworzenie graficznych interfejsów użytkownika. Grafika składa się z obiektów (ang. objects), których właściwości (ang. properties) ogą być zieniane. Obiekty są ułożone zgodnie z pewną hierarchią (rys..) i ają niepowtarzalne identyfikatory (ang. handle). Rys... Hierarchia obiektów graficznych w środowisku Matlab Nadrzędny obiekt graficzny root odpowiada ekranowi koputera. Zieniając jego właściwości ożna wpływać na wygląd i zachowanie prograu Matlab. Jest tylko jeden taki obiekt i nie a on przodków. Potokai obiektu root są figures okna graficzne. Potokai okien graficznych są: UI Objects obiekty reprezentujące składowe graficznego interfejsu użytkownika (np. enu, pola wyboru, przyciski, suwaki); Axes układ współrzędnych wykresu; Annotation Objects poocnicze obiekty dodawane do rysunku (np. linie, podpisy), które leżą na warstwie odseparowanej od innych obiektów graficznych. Core Objects zawierają obiekty takie jak linie, teksty, wypełnienia, osie współrzędnych, obrazy, oświetlenie rysunku. Plot Objects są obiektai rysunkowyi (np. wykresai liniowyi, słupkowyi, powierzchniowyi) powstałyi w wyniku działania funkcji sporządzających wykresy (np. plot, ste). -

17 Group Objects uożliwiają traktowanie wielu potoków obiektu axes jako jednej grupy, tworzy się je za poocą specjalnych funkcji. Właściwości obiektu ożna uzyskać koendą get(h), gdzie h jest identyfikatore obiektu. Koenda get(h, NazwaWłaściwości ) zwraca wartość wybranej właściwości. Analogicznie koendą set(h, NazwaWłaściwości, WartośćWłaściwości) ożna ustawić wybrane właściwości obiektu. Istnieją funkcje zwracające identyfikatory aktywnych obiektów graficznych: gcf aktywne okno graficzne, gca aktywny układ współrzędnych, gco aktywny obiekt. Funkcja figure tworzy nowe okno graficzne, clf usuwa wszystkie obiekty z aktywnego okna, shg wywołuje istniejące lub tworzy nowe okno graficzne, close zayka aktywne okno graficzne, close all zayka wszystkie otwarte okna graficzne. Poniżej wyieniono kilka funkcji graficznych, dzięki który tworzyć różne wykresy: plot wykresy dwuwyiarowe z liniową skalą na obu osiach, plotyy wykresy dwuwyiarowe z liniową skalą i podwójnyi osiai rzędnych, loglog wykresy dwuwyiarowe z logaryticzną skalą na obu osiach, seilogx wykresy dwuwyiarowe z logaryticzną skalą na osi odciętych, seilogy wykresy dwuwyiarowe z logaryticzną skalą na osi rzędnych, ste wykresy prążkowe danych dyskretnych, stairs wykresy schodkowe danych dyskretnych, bar, barh wykresy słupkowe, pie wykresy kołowe, errorbar wykresy błędów, polar wykresy we współrzędnych biegunowych. Często wykorzystywanyi funkcjai graficznyi są także: grid przełącza wyświetlanie siatki danych, grid on włącza siatkę, grid off wyłącza siatkę, hold określa czy nowe obiekty graficzne zostaną dodane do wykresu hold on, czy też zastąpią istniejące obiekty graficzne hold off, subplot uożliwia utworzenie kilku wykresów w jedny oknie graficzny, subplot(np) dzieli okno graficzne na acierz (-wierszową i n-kolunową) niejszych układów współrzędnych, wybiera p-ty układ dla bieżącego wykresu i zwraca do niego identyfikator, wykresy są nuerowane wzdłuż wierszy od lewej do prawej zaczynając od wiersza górnego; axis skalowanie i ziana wyglądu osi współrzędnych, axis([xin xax yin yax]) ustawia ograniczenia osi odciętych i rzędnych aktywnego układu współrzędnych, axis auto skalowanie autoatyczne, axis tight zakresy osi zgodne z zakresai danych, axis square czyni osie odciętych i rzędnych równyi, axis off wyłączenie rysowania osi, axis on włączenie rysowania osi; box off wyłączenie raki ograniczającej pole rysowania, box on włączenie raki. -

18 Opisy rysunków ożna tworzyć przy użyciu koend: title tytuł rysunku, xlabel opis osi odciętych rysunku, ylabel opis osi rzędnych rysunku, legend wyświetlenie legendy na wykresie, text dodanie opisu tekstowego do wykresu w iejscu określony współrzędnyi, gtext wstawienie opisu tekstowego do wykresu w iejscu określony yszką, annotation dodanie obiektu adnotacji, który oże być prostokąt rectangle, elipsa ellipse, raka z opise tekstowy textbox, linia line, strzałka arrow, strzałka dwukierunkowa doublearrow, strzałka z opise tekstowy textarrow. W raach zajęć, do przedstawiania graficznego sygnałów ciągłych najczęściej będzie wykorzystywana funkcja plot, a do sygnałów dyskretnych ste. Funkcja plot(y) tworzy wykres eleentów uieszczonych w kolunach acierzy (lub w wektorze) y w zależności od ich indeksów. Plot(x,y) tworzy wykres eleentów wektora y w zależności od wektora x, czyli wykres y = f(x). Plot(x,y,LineSpec, x,y, LineSpec,...) sporządza wykresy kilku funkcji na jedny rysunku liniai specyfikowanyi paraetrai LineSpec. Paraetr LineSpec jest ciągie znaków określających kolor linii, znacznik danych oraz rodzaj linii (np. ro: oznacza linię czerwoną kropkowaną ze znacznikai danych w postaci okręgów). Dostępne są następujące kolory linii: b niebieski (doyślny kolor), g zielony, r czerwony, c cyjan (turkus), agenta (purpura), y żółty, k czarny. Zbiór znaczników danych jest następujący: (.) punkt, (o) okrąg, (x) znak x, (+) plus, (*) gwiazdka, (s) kwadrat, (d) rob, (v) trójkąt z wierzchołkie do dołu, (^) trójkąt z wierzchołkie do góry, (<) trójkąt z wierzchołkie w lewo, (>) trójkąt z wierzchołkie w prawo, (p) pięciokąt, (h) sześciokąt. W prograie Matlab ogą być stosowane następujące rodzaje linii: (-) ciągła, (:) kropkowana, (-.) kreska-kropka, (--) przerywana, (spacja) brak linii. Poniżej przedstawiono przykład realizacji wykresu funkcji sinus wraz z dołączenie opisów. P.6. Zastowanie funkcji graficznych środowiska Matlab plik pl_anip.. %Manipulowanie wygląde wykresu %Przygotowanie danych phi=:pi/:4*pi; d=phi/pi; s=sin(phi); %Utworzenie nowego okna graficznego figure; %Wywołanie funkcji graficznej plot plot(d,s); %Dodanie tytułu wykresu title('tytuł wykresu') %Etykiety osi współrzędnych xlabel('oś odciętych') ylabel('oś rzędnych') -3

19 %Ustawienie podziałki na osi odciętych set(gca,'xtick',[ 3 4]) %Ustawienie etykiet podziałki na osi odciętych set(gca,'xticklabel',[' ';'pi';'pi';'3pi';'4pi']) %Dodanie linii pozioej pokrywającej się z osią odciętych q = axis;hold on;h=plot([q() q()],[ ]); %Ustawienie koloru dla dodanej linii set(h,'color',get(gca,'xcolor')) %Dodanie linii wskazującej w kolorze czarny plot([.9.],[sin(.9*pi).6],'k') %Dodanie tekstu text(.5,.68,['sin(phi) = ',nustr(sin(.9*pi))]) %Przeskalowanie osi układu współrzędnych axis([ 4 -..]) %[xin xax yin yax] %Dodanie siatki danych grid on %Dodanie tekstu poprzez wskazanie yszą gtext('opis').6. Reprezentacja sygnałów w środowisku Matlab Sygnały dyskretne i ciągłe są reprezentowane w trakcie zajęć przez wektory wierszowe lub kolunowe o wartościach rzeczywistych lub zespolonych. W przypadku reprezentacji sygnałów analogowych, ich wartości (próbki) są generowane z dostatecznie ały odstępe, aby zienność sygnału ciągłego została wiernie oddana. Matlab oferuje wiele funkcji uożliwiających generowanie sygnałów. Funkcje te wyagają zazwyczaj podania wektora reprezentującego czas, kąt lub kolejne próbki. Taki wektor ożna w prosty sposób utworzyć korzystając z notacji wykorzystującej dwukropek (np. wektor phi z przykładu P.6) lub z funkcji linspace. Wykorzystując funkcje trygonoetryczne oraz funkcję eksponencjalną exp ożna generować sygnały sinusoidalne i wykładnicze. P.7. Sygnał kosinusoidalny o aplitudzie A, częstotliwości f [Hz] i fazie początkowej phi [rad] (należy utworzyć skrypt o nazwie kosinus. zawierający poniższe koendy) t=:.:.; A=sqrt()*3; f=5; phi=-pi/; y=a*cos(*pi*f*t + phi) figure; subplot(); plot(t,y); grid on; axis tight; subplot(); ste(y); grid on; axis tight; P.8. Sygnał eksponencjalny y = Be at. t=linspace(-.,.,4); B=; a=5; y=b*exp(a*t); y=b*exp(-a*t); figure; plot(t,y,'r.-', t,y,'go-'); grid on; axis tight; P.9. Sygnał y = A cos(πf t)e at. t=-.:.:.; -4

20 A=sqrt()*3; f=5; a=5; y=a*cos(*pi*f*t).*exp(-a*t); figure; plot(t,y); grid on; axis tight; P.. Zespolony sygnał eksponencjalny y = e jπft. t=:.:.6; f=5; Oega = *pi*f; figure; % y=exp(i*oega*t)=cos(oega*t)+i*sin(oega*t); plot3(cos(oega*t),t,sin(oega*t));grid on; set(gca,'ydir','reverse','plotboxaspectratiomode','anual',... 'FontNae','TiesNewRoan'); xlabel('re\{\ity\r(\itt\r)\}'); ylabel('\itt\r [s]'); zlabel('i\{\ity\r(\itt\r)\}'); P.. Zespolony sygnał eksponencjalny y = A e jπft. t=linspace(-.,.,4); A=sqrt()*3; f=5; y=a*exp(i**pi*f*t); figure; subplot(); plot(t,real(y)); grid on; axis tight; subplot(); plot(t,iag(y)); grid on; axis tight; figure; subplot(); plot(t,abs(y)); grid on; axis tight; subplot(); plot(t,angle(y)); grid on; axis tight; P.. Zespolony sygnał eksponencjalny y = A e (-a+jπf)t. t=-.:.:.; A=sqrt()*3; f=5;a=5 y=a*exp((-a+i**pi*f)*t); figure; subplot(); plot(t,real(y)); grid on; axis tight; subplot(); plot(t,iag(y)); grid on; axis tight; figure; subplot(); plot(t,abs(y)); grid on; axis tight; subplot(); plot(t,angle(y)); grid on; axis tight; Poniżej przedstawiono przykłady użycia funkcji square, sawtooth i sinc uożliwiających generowanie użytecznych sygnałów. P.3. Przebieg prostokątny funkcja square. t=-.:.:.; A=; f=5; gaa = 5; %gaa - wypełnienie y=square(*pi*f*t,gaa); figure; subplot(); plot(t,y); grid on; axis tight; subplot(); ste(y,'filled'); grid on; axis tight; P.4. Przebieg piłokształny funkcja sawtooth. t=-.:.:.; A=; f=5; gaa = ; %gaa od. do. y=sawtooth(*pi*f*t,gaa); figure; subplot(); plot(t,y); grid on; axis tight; -5

21 subplot(); ste(y,'filled'); grid on; axis tight; P.5. Funkcja sinc. t=linspace(-5,5); y=sinc(t); figure;plot(t,y); grid on; axis tight;.7. Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych ZL.. Zrealizować w środowisku Matlab przykłady P. P.5. ZL.. Korzystając z prograu Matlab należy zapoznać się z funkcjai su, ean, in, ax i zastosować je do obliczenia wartości średniej, najniejszej i największej sygnału y z przykładu P.7. ZL.3. Utworzyć acierz 3 cos( π / 3) 7 X = cos( π / 6) e 3 log( e ) log (8) log () ZL.4. Rozwiązać układy równań A*x = b, ([x]=a\b).8. Literatura 3x + 4x = 7 3x + x + 4x3 = 4x x = x + 4x + x3 = 4 7x 3x + = x 3x x3 = [] MATLAB Rb Docuentation [online]. The MathWorks, Inc., [dostęp:..]. Dostępna w Internecie: [] J. Brzózka, L. Dorobczyński: Prograowanie w Matlab, Warszawa 998. [3] S. Osowski, A. Cichocki, K. Siwek: MATLAB w zastosowaniu do obliczeń obwodowych i przetwarzania sygnałów. Warszawa 6. -6

22 . Szereg Fouriera sygnałów ciągłych i dyskretnych... Cel i zakres ćwiczenia Cele ćwiczenia jest nabycie podstawowych uiejętności analizy i syntezy sygnałów okresowych. Badane są wybrane właściwości wid sygnałów okresowych... Podstawy teoretyczne Najczęściej stosowany analityczny przedstawienie sygnałów deterinistycznych jest tzw. widowa reprezentacja sygnału. Sygnały okresowe reprezentowane są za poocą szeregu Fouriera, a sygnały o ograniczonej energii za poocą całkowego przekształcenia Fouriera. Szereg Fouriera sygnałów ciągłych (ang. Continuous-Tie Fourier Series CTFS lub po prostu Fourier Series FS) stosowany jest do analitycznej reprezentacji analogowych (ciągłych) sygnałów okresowych natoiast do reprezentacji sygnałów dyskretnych używany jest szereg Fouriera sygnałów dyskretnych (ang. Discrete-Tie Fourier Series DTFS).... Szereg Fouriera sygnałów ciągłych Rozpatrzy zespolony sygnał okresowy f(t) o okresie P = /f, określony prawie wszędzie w przedziale t (-, +). Zespolony szeregie Fouriera sygnału f(t) nazyway szereg określony zależnościai ( ) t = = jω t f c e (.) t + P jω t c f ( t ) e dt P t gdzie = (.) c c e ϕ j = współczynniki rozwinięcia sygnału f(t) w zespolony szereg Fouriera (zwane dalej krótko współczynnikai szeregu Fouriera), Z, Ω = π f częstotliwość (pulsacja) podstawowa sygnału f(t) (rad/s), f - częstotliwość podstawowa (Hz). Ciąg c, Z, współczynników szeregu Fouriera nazyway wide sygnału okresowego. Ciąg odułów tych współczynników c nosi nazwę wida aplitudowego sygnału f(t), a ciąg arguentów (faz początkowych) arg(c ) = ϕ wida fazowego. Aby sygnał f(t) iał rozwinięcie w zespolony szereg Fouriera, usi spełniać tzw. warunki Dirichleta: t + P f t dt M <, ( ) t w każdy ograniczony przedziale f(t) a skończoną liczbę nieciągłości i skończoną liczbę iniów i aksiów o skończonej wartości. -

23 Uwaga: Dla dowolnej funkcji okresowej f(t), całka w zależności (.) nie zieni swej wartości, gdy f(t) zostanie zastąpiona funkcją, która jest prawie wszędzie (nie w każdy punkcie t) równa f(t). Takich funkcji jest nieskończenie wiele, a zate ściśle rzecz ujując istnieje nieskończenie wiele sygnałów ających ten sa rozkład w szereg Fouriera (czyli te sae wartości współczynników c ). Wobec tego związek iędzy sygnałe f(t) a jego rozwinięcie w szereg Fouriera należałoby zapisać w postaci j t ( ) c e Ω f t = (.3) a. e = gdzie = a.e. oznacza równość prawie wszędzie. Zazwyczaj rozpatruje się sygnały odcinkai ciągłe, niezawierające nieciągłości typu luka (ogą występować nieciągłości typu skok). Szereg Fouriera wyznaczony dla funkcji z nieciągłościai typu skok przyjuje w punktach nieciągłości wartość równą średniej arytetycznej granic lewo- i prawostronnej funkcji w ty punkcie. Rozważone zostaną następnie inne postaci szeregu Fouriera sygnału okresowego. Przy dodatkowy założeniu, że funkcja f(t) jest funkcją rzeczywistą, zachodzi f(t) = f * (t) oraz: j t ( t) = ce = = Ω jω t c e = f * * jω t * jω t ( t) = ce = c e = = f (.4) (.5) Z porównania (.4) z (.5) wynika, że: c = c (.6) * c * = c (.7) Suowanie we wzorze (.) ożna zate przedstawić w następującej postaci: jω t jω t jω t * jω t ( ) = + + = + + f t c c e c e c c e c e = = (.8) Sua liczby zespolonej z jej sprzężenie jest równa jej podwojonej części rzeczywistej, więc jω ( ) { } { } t j ( Ω t+ ϕ = ) + Re = + Re (.9) f t c c e c c e = = gdzie współczynniki c przedstawiono w postaci wykładniczej jako Ostatecznie otrzyano tzw. kosinusową postać szeregu Fouriera c = c e φ j. f t = c + c cos( Ω t + ϕ ) = A + A cos( Ω t + ϕ ) (.) ( ) = = Współczynnik A = c nazywany jest składową stałą, A = c nosi nazwę aplitudy -tej haronicznej, ϕ fazy początkowej -tej haronicznej. Haroniczna o częstotliwości Ω nazywana jest haroniczną podstawową. -

24 Stosując wzory Eulera ożna przedstawić dowolny sygnał haroniczny jako prostą kobinację zespolonych sygnałów wykładniczych o częstotliwościach dodatnich i ujenych jϕ jω t j j t j t j t A cos( t ) Ae e Ae ϕ e Ω Ω + = + = ce + c e Ω Ω ϕ (.) Na podstawie równania (.) lub (.6) otrzyujey równości c - = c oraz -arg(c - ) = arg(c ) = ϕ. Wido aplitudowe jest funkcją parzystą ziennej, a wido fazowe funkcją nieparzystą. Sygnały rzeczywiste ogą być reprezentowane w dziedzinie częstotliwości tylko przez prawostronne części wid aplitudowego i fazowego. W przypadku wida aplitudowego należy określić czy prezentowane są oduły współczynników c czy aplitudy haronicznych A = c. Każdy sygnał haroniczny ożna przedstawić jako kobinację sygnału sinusoidalnego i kosinusoidalnego: ( ) ( ) ( ) A cos Ω t + ϕ = A cos Ω t cosϕ A sin Ω t sinϕ = ( A cosϕ ) cos ( Ω t) ( A sinϕ ) sin ( Ω t) a cos( Ω t) b sin ( Ω t ) = = + (.) Szereg Fouriera (.) oże być zate przedstawiony w tzw. postaci trygonoetrycznej a f ( t) = + a cos( Ω t) + b sin( Ω t) (.3) = = t + P ( ) cos( Ω )d,,,,... (.4) t a = f t t t = P t + P ( ) sin( Ω )d,,,... (.5) t b = f t t t = P Powiązania poiędzy postacią kosinusową i trygonoetryczną szeregu Fouriera są następujące: a a b A A a b =, = +, cos ϕ =, sinϕ = (.6) A A Związki poiędzy współczynnikai a k i b k a współczynnikai zespolonego szeregu Fouriera (.) są następujące: jϕ jϕ e + e a = A cosϕ = A = c + c = Re{ c} (.7) jϕ jϕ e e j b = A sinϕ = A = j ( c c ) = I{ c} (.8) j j Związki odwrotne: a ak jbk c =, ck =, k =,,... (.9) -3

25 W przypadku gdy funkcja f(t) jest nieparzysta, to współczynniki a (Re{c }) przyjują wartość zero, a gdy funkcja f(t) jest parzysta współczynniki b (I{c }) są równe zeru. P.. Wyznaczyć rozwinięcie w zespolony szereg Fouriera następującego sygnału y( t) =,5 + cos(π t) + sin(π t + π / 4) (.) jπt jπt e + e Podstawiając cos(π t) = i ożna rozpatrywany sygnał zapisać w postaci e sin(π t + π / 4) = ( π +π/4) ( π +π/4) e j j t j t ( /4) ( /4) jπt jπt + j π t+π j π t+π y( t) =,5 + e + e j,5e + j,5e (.) Po uporządkowaniu względe częstotliwości podstawowej haronicznej f = Hz otrzyano ( π/ π/4 ) j( π / +π/4) y( t),5e e e,5e e,5e e j jπt jπt jπ jπt jπt = (.) y( t),5e e e e,5e e e,5e e jπ/4 jπt j jπt jπ j jπ t jπ/4 j πt = (.3) Na podstawie (.3) ożna zidentyfikować współczynniki c jako: j e, = jπ c =,5 e, = j e, = = jπ/4,5 e, = jπ/4,5 e,. (.4) P.. Szereg Fouriera przebiegu prostokątnego. Wyznaczyć rozwinięcie w zespolony szereg Fouriera sygnału z rys.. określonego wzore A dla t ( kp a, kp + a), k Z f ( t) = A / dla t = kp ± a, k Z dla t pozostałych (.5) Rozwiązanie: a) Rys... Sygnał prostokątny unipolarny (sygnał parzysty) -4

26 P/ jω t jω t A jω t c = f ( t) e dt A e dt e P = P = = P jω P/ a a a a π π j a j a a π π P P A sin A P j a j a A e e π P P P e e = = P jπ π j π c A = sin ( πγ) π a gdzie γ = oznacza tzw. współczynnik wypełnienia. P b) = (.6) P/ A a c = f ( t) dt = Adt = t = A = A γ P P P P P/ a a a (.7) a Wszystkie współczynniki c są rzeczywiste. Jest to cecha charakterystyczna szeregów Fouriera sygnałów rzeczywistych parzystych. Korzystając z funkcji sinc ( x) dla x = πx dla x = sin ( πx) ożna zapisać (.6) w postaci c ( ) (.8) = A γ sinc γ (.9) Na rys.. przedstawiono interpretację graficzną powyższej zależności dla γ = i γ = ½. Ogólnie wido przebiegu prostokątnego ożna interpretować jako wynik próbkowania (w dziedzinie częstotliwości) odpowiedniej funkcji sinc(.). Rys... Interpretacja współczynników szeregu Fouriera przebiegu prostokątnego za poocą funkcji sinc(.). -5

27 P.3. Szereg Fouriera przebiegu piłokształtnego. Wyznaczyć rozwinięcie w zespolony szereg Fouriera sygnału f(t) A t dla t ( kp,( k + ) P ), k Z P f ( t) = A / dla t = kp, k Z dla t pozostałych pokazanego na poniższy rysunku. (.3) Rozwiązanie: a), Rys..3. Przebieg piłokształtny. P jω t A jω t c = f ( t ) e dt t e dt P = P P P Korzystając z zależności ax ax x x e dx = e a a, otrzyano P A t A P c e e = = + = P j P j jω t jω P Ω ( jω ) Ω Ω Ω A j π P A P j = e A + P = = π j. π π P j π π P P P b) =, P P a A A t A = ( ) d = d = = P P P P a. c f t t t t -6

28 Podsuowując: j c = A,, (.3) π A c =. (.3) Składowa zienna przebiegu piłokształtnego z rys..3 jest przebiegie nieparzysty. Wszystkie współczynniki szeregów Fouriera przebiegów rzeczywistych nieparzystych są urojone.... Próbkowanie, dyskretny sygnał sinusoidalny Próbkowanie sygnału analogowego f(t) nazyway okresowe pobieranie jego wartości w chwilach t k = kt, gdzie T nazywa się okrese próbkowania, a jego odwrotność f s = /T częstotliwością próbkowania. Ciąg f[k] o eleentach f[k] = f(kt) tworzy sygnał dyskretny. Rozważona zostanie sinusoida dyskretna powstała z próbkowania z okrese T sinusoidy analogowej o częstotliwości Ω = πf = π/p, czyli [ ] sin ( ) sin ( Ω ) sin ( ω ) f k = π f kt = kt = k, (.33) gdzie ω = Ω T = πf /f s. Otrzyana sinusoida dyskretna nie zawsze jest sygnałe okresowy. Sygnał dyskretny f[k] jest okresowy jeśli istnieje taka liczba całkowita N, że f [ k + N ] = f [ k ], k Z, (.34) [ ] sin ( π ( ) ) sin ( π ) cos( π ) cos ( π ) sin ( π ) f k + N = f k + N T = f kt f NT + f kt f NT (.35) Zależność (.34) zachodzi jeśli cos(πf NT) = i sin(πf NT) =. Wówczas πf NT = nπ lub P N =, (.36) T n gdzie n jest liczbą całkowitą. Wielkość N. T usi być równa P lub wielokrotności P, czyli P/T usi być liczbą wyierną. Jeśli warunek ten jest spełniony, to liczba N jest okrese sekwencji, natoiast n określa liczbę okresów sygnału analogowego ieszczących się w jedny okresie odpowiadającej u sekwencji. Jeśli P/T jest liczbą niewyierną, f[k] jest sekwencją nieokresową. Okres sinusoidy analogowej o dowolnej częstotliwości rzeczywistej f jest zawsze dany przez P = /f. I odwrotnie, częstotliwość sinusoidy analogowej o dowolny okresie P jest zawsze dana przez f = /P. W przypadku sinusoidy dyskretnej okres nie zawsze poprawnie odzwierciedla szybkość zian wartości sygnału, co ilustruje poniższy przykład. P.4. Dany jest sygnał analogowy sinusoida o częstotliwości 5Hz: ( ) ( π ) f t = sin 5 t P = / 5 =.s ; a Sygnał dyskretny sekwencja próbek sygnału f a (t), okres próbkowania T =.s: -7

29 ( π ) ( π ) f [ k ] = sin 5, k = sin, k Ponieważ P/T =,/, = / to jeden okres sekwencji N = obejuje jeden okres sinusoidy analogowej. Sygnał dyskretny sekwencja próbek sygnału f(t), okres próbkowania T =.6s: ( π ) ( π ) f [ k ] = sin 5,6 k = sin,6 k P/T =,/,6 = /3, jeden okres sekwencji N = obejuje trzy okresy sinusoidy analogowej. Rys..4. Dwie sinusoidy dyskretne o różnych częstotliwościach i o ty say okresie. Oba sygnały z przykładu P.4 uzyskano z tej saej sinusoidy analogowej, ają ten sa okres sekwencji dyskretnej N, natoiast sygnał dyskretny f [k] a trzykrotnie większą szybkość zian wartości. Nie ożna zate używać okresu sekwencji dyskretnej do określania jej częstotliwości. Z tego powodu częstotliwość sinusoidy dyskretnej, zarówno okresowej jak i nieokresowej, określa się jako częstotliwość jej obwiedni. Obwiednia jest ciągłą sinusoidą sin(πft), której próbki w chwilach kt są równe wartościo danej sekwencji sinusoidalnej. Dla sinusoidy dyskretnej (.33) oczywiście f(t) = sin(πf t) jest obwiednią f[k], co wynika wprost z definicji próbkowania. Ale skoro sin(πf t) jest obwiednią f[k], to również sin(πf +nπ/t)t = sin(π(f +nf s )t), n Z jest obwiednią f[k]. Istotnie nπ sin ( π ( f + nfs ) t ) = sin π ft + t = sin ( π fkt + nkπ ) = T t = kt ( π f kt ) ( nk π ) ( π f kt ) ( nk π ) ( π f kt ) = sin cos + cos sin = sin (.37) A zate dyskretna sinusoida a nieskończenie wiele obwiedni. Podstawienie w sekwencji sin(πfkt) = sin(ωkt) = sin(ωk) dowolnej wartości postaci: -8

30 f = f + nf, Ω = Ω + n π f, ω = ω + n π, n Z (.38) s s pozostawia sekwencję bez zian. Wobec tego, próbki sinusoidy nie określają jednoznacznie jej częstotliwości. Zbiory nierozróżnialnych częstotliwości określonych równaniai (.38) nazywane są aliasai. P.5. Rozpatrzy dwa sygnały analogowe i ich dyskretne odpowiedniki sinusoida analogowa o częstotliwości 7Hz: ( t) sin( t) f = π 7 (.39) oraz sinusoida dyskretna powstała z próbkowania f (t) z częstotliwością Hz: f k f k k k [ ] = = sin π 7 = sin (, 7π ) (.4) sinusoida analogowa o częstotliwości 7Hz: ( t) sin( ( 7 ) t) f = π (.4) + oraz sinusoida dyskretna powstała z próbkowania f (t) z częstotliwością Hz: f [ k] = f k = sin ( 7 + ) k = sin ((, 7 + ) k ) π π π (.4) Rys..5. Niejednoznaczność częstotliwości: dwa różne przebiegi sinusoidalne jeden ciąg dyskretny. Sygnały f[k] i f[k] są identycznyi ciągai próbek, io że powstały z próbkowania różnych sygnałów analogowych i ają różne częstotliwości ω (różniące się o π). Aby jednoznacznie określać częstotliwości ω sinusoid dyskretnych postaci (.33) ożna lokować je, poprzez dodawanie lub odejowane wielokrotności π, w jedny, dowolnie wybrany przedziale o długości π. Jednakże, jeżeli ty przedziałe jest (-π, π], to wtedy obwiednia sin(πft) przeprowadzona przez próbki sekwencji a najniższą, co do wartości bezwzględnej, częstotliwość (powyższych próbek nie ożna połączyć obwiednią o -9

31 niejszej częstotliwości). Częstotliwość f obwiedni analogowej odzwierciedla szybkość zian sygnału dyskretnego. Podsuowując, częstotliwość dyskretnego sygnału sinusoidalnego sin(πf kt) ożna zdefiniować jako częstotliwość f sinusoidalnego sygnału analogowego sin(πft) którego próbki w chwilach kt są równe sin(πf kt) spełniającą warunki: f / < f f /, f = f + nf, n Z, (.43) lub s s s π / T < Ω π / T, Ω = Ω + n π / T, n Z. (.44) P.6. Rozważone zostaną dwie sekwencje sinusoidalne f [k] = sin(πf kt) = sin(πkt) oraz f [k] = cos(πf kt) = cos(πkt) powstałe w wyniku próbkowania sygnałów analogowych o tych saych aplitudach i częstotliwościach, a jedynie przesuniętych względe siebie w fazie o kąt π/. Na rys..6 przedstawiono sześć sekwencji cyfrowych powstałych w wyniku próbkowania sinusoidy (rysunki a, c, e) i kosinusoidy (rysunki b, d, f) z różnyi okresai T: T = s (rysunki a, b), T =,5s (rysunki c, d) i T =,s (rysunki e, f). Częstotliwość sygnałów analogowych wynosi Hz. a) y(kt) = sin( π k ), P y =. b) y(kt) = cos( π k ), P y = c) y(kt) = sin( π k,5), P y =. d) y(kt) = cos( π k,5), P y = e) y(kt) = sin( π k,), P y = f) y(kt) = cos( π k,), P y = k k Rys..6. Analogowe sygnały sinusoidalne i sygnały dyskretne powstałe w wyniku ich próbkowania. Wyznaczone zostaną okresy sygnałów dyskretnych. sygnały dyskretne z rys..6 a i b P/T = / = N/n, N =, sygnały dyskretne z rys..6 c i d P/T = /,5 = / = N/n, N =, -

32 sygnały dyskretne z rys..6 e i f P/T = /, = 5/ = N/n, N = 5, Oba sygnały analogowe zostały spróbkowane w taki sposób, że jeden okres sekwencji dyskretnej obejuje jeden okres sinusoidy / kosinusoidy analogowej. Określone zostaną częstotliwości sygnałów cyfrowych. Dla najniejszej wartości okresu N =, f [k] jest sekwencją saych zer, a f [k] saych jedynek, więc częstotliwość obu sekwencji jest równa. Dla kolejnej wartości okresu N =, f [k] jest również sekwencją saych zer, a f [k] ciągie liczb + i -, czyli sekwencją o częstotliwości f = f s /, równej częstotliwości sygnału analogowego. Dla okresu N = 5 częstotliwości obu sekwencji dyskretnych są równe częstotliwościo sygnałów analogowych. Na rysunkach podano również wartości ocy średnich sygnałów dyskretnych, są one zgodne z wartościai obliczanyi dla sygnałów ciągłych jeśli f s > f. Ogólnie, jeżeli zwiększana jest częstotliwość f dyskretnego sygnału kosinusoidalnego (a ogólniej zespolonego sygnału wykładniczego) od do f s /, to szybkość zian wartości sygnału wzrasta, osiągając dla częstotliwości f s / aksyalną szybkość oscylacji, co jest zgodne z intuicyjny odczucie częstotliwości. Jeśli f będzie dalej zwiększana, to szybkość zian sygnału będzie zniejszać się aż do osiągnięcia częstotliwości f s, dla której otrzyany przebieg będzie ciągie stałych wartości, tak jak dla częstotliwości f =. Na podstawie powyższych rozważań również ożna stwierdzić, że jeżeli częstotliwość sinusoidy dyskretnej f < f s / (lub Ω < π/τ; ω < π), to jest ożliwe określenie częstotliwości sinusoidy analogowej na podstawie sekwencji próbek. Z liniowości próbkowania wynika, że gdy f(t) ożna przedstawić jako superpozycję sygnałów sinusoidalnych, to sygnał dyskretny f[k] ożna przedstawić jako superpozycję dyskretnych sygnałów sinusoidalnych o odpowiednich częstotliwościach cyfrowych. Wobec tego dla sygnałów złożonych z wielu sinusoid ożna zastosować, składnik po składniku, obserwacje poczynione dla pojedynczej sinusoidy. Jeżeli dla wszystkich składowych sinusoidalnych przebiegu analogowego zachodzi ( /, / ) [ rad/s] Ω π T π T, (.45) czyli ω czyli T (, ) [ rad] = Ω π π, (.46) Ω f = fs f π ( /, / ) [ Hz] s, (.47) to wszystkie dyskretne sinusoidy zachowają swoją oryginalną częstotliwość (w odpowiedniej skali). Można pokazać, że w taki przypadku ożna dokładnie odtworzyć sygnał analogowy na podstawie jego próbek branych co T sekund. Powyższe stwierdzenie stanowi uproszczone sforułowanie tzw. twierdzenia o próbkowaniu (Nyquista Shannona-Kotielnikowa). Częstotliwość f N = f s / nazywana jest częstotliwością Nyquista. -

33 ..3. Szereg Fouriera sygnału dyskretnego Szereg Fouriera sygnału dyskretnego o okresie N jest określony równaniai: N = π j k N f [ k] = c e, k =,,..., N (.48) N π c = f k e = N N j k N [ ],,,..., (.49) k= j N π k j π k j π + k ( ) N N jπk N Ponieważ funkcja eksponencjalna jest okresowa: e = e e = e, współczynniki c są okresowe (w dziedzinie częstotliwości) ze względu na i powtarzają się co N: N π ( ) N π j + N k j k N N [ ] [ ] (.5) c+ N = f k e = f k e = c N N k= k= Zate reprezentacja dyskretnego sygnału okresowego za poocą szeregu Fouriera ogranicza się tylko do N różnych współczynników np. dla =,,, N- lub dla innego przedziału indeksów o długości N. Ciąg c, =,,, N- współczynników rozwinięcia sygnału f[k] w zespolony szereg Fouriera sygnału dyskretnego nazyway wide sygnału dyskretnego. W przypadku sygnału dyskretnego powstałego w wyniku próbkowania współczynnik c jest wartością π π średnią sygnału, c wyraża udział składowej o częstotliwości = = π f, c NT P składowej o częstotliwości 4π f, itd. Wykazana zostanie teraz własność syetrii DTFS sygnału rzeczywistego f[k], czyli: c = c (.5) * N / + N / N N π N π N π cn /+ = f k e = f k e e = f k e N N N oraz j + k j k k j k N jπ k N N [ ] [ ] [ ] ( ) (.5) k = k = k = N N π N π N π cn / = f k e = f k e e = f k e N N N j k j k j k N jπ k N k N [ ] [ ] [ ] ( ) (.53) k = k = k = Z równości (.5) wynika, że względe współczynnika c N / część rzeczywista wida jest syetryczna tj. { c } { c } I { c } I{ c } N / + N / Re = Re, natoiast część urojona jest asyetryczna N / + N / =. Czyli wystarczy tylko N/ + współczynników c o indeksach =,, N/ aby jednoznacznie określić DTFS. Indeksowi = N/ odpowiada składowa o częstotliwości f = (N/)f = (N/)(/NT) = f s /. Gdy spełnione jest twierdzenie o próbkowaniu, tzn. gdy f s > f, gdzie f jest składową wida o największej częstotliwości, to współczynniki d a c c =, gdzie indeksy górne d i a oznaczają odpowiednio współczynniki DTFS i CTFS. Natoiast gdy twierdzenie o -

34 próbkowaniu nie jest spełnione, d a c c, ponieważ d c jest suą wszystkich współczynników w rozwinięciu sygnału analogowego, który odpowiada ta saa częstotliwość cyfrowa po spróbkowaniu [4] [6]: d a N N c = c+ nn, =,...,,,,..., (.54) n= Zjawisko nakładania się w widie sygnału dyskretnego haronicznych odpowiadających różny oryginalny częstotliwościo analogowy nazywa się nakładanie wida (ang. aliasing)...4. Wybrane właściwości szeregu Fouriera Założono, że f(t) jest sygnałe okresowy o okresie P i częstotliwości f = /P (Ω = π/p). Do zapisu odwzorowania sygnału okresowego f(t) w zbiór współczynników zespolonego szeregu Fouriera c użyto notacji: f ( t) CTFS f c (.55) Odwzorowanie sygnału okresowego f[k] o okresie N i częstotliwości ω = π/n w zbiór współczynników zespolonego szeregu Fouriera sygnału dyskretnego c jest zapisywane następująco: [ ] DTFS f k f c (.56). Liniowość af t + bg t ac + bc a b (.57) CTFS f g ( ) ( ),, R [ ] [ ] DTFS f g af k + bg k ac + bc, a, b R (.58). Przesunięcie w dziedzinie czasu f ( t t ) e c, t R CTFS jωt f DTFS ω [ ] f k k e c, k Z j k f (.59) (.6) 3. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości f t e c n jnωt CTFS f ( ) n, Z ω [ ] f k e c, n Z jn k DTFS f n (.6) (.6) 4. Ziana skali czasu t f = g t c = c a a CTFS, Ω / a g f ( ), R + (.63) Sygnał g(t) a okres ap, odstęp iędzy prążkai wida wynosi Ω /a, współczynniki sygnału oryginalnego i przeskalowanego są identyczne. -3

35 f k DTFS, / a g c f = g[ k] ω c =, a R a a + (.64) Sygnał g[k] a okres an, odstęp iędzy prążkai wida wynosi ω /a. 5. Iloczyn CTFS f g f g f ( t) g( t) c c = cn ck n= (.65) DTFS f g f g f [ k ] g [ k] c c = c c (.66) n k n= N 6. Moc średnia (twierdzenie Parsevala) P P f f ( t) d t= cn (.67) = f N k = N n = N f [ k] = cn (.68).3. Zastosowanie środowiska Matlab do analizy i syntezy sygnałów okresowych Wszystkie sygnały wykorzystywane w koputerowych prograach obliczeniowych są sygnałai dyskretnyi (a ściślej cyfrowyi przyjującyi również wartości z pewnego skończonego przedziału liczbowego). W ćwiczeniach laboratoryjnych sygnały analogowe są reprezentowane w środowisku Matlab ich spróbowanyi, z odpowiednio dużą częstotliwością, dyskretnyi odpowiednikai. W trakcie ćwiczenia wykorzystywane są współczynniki c szeregu Fouriera sygnału ciągłego obliczone analitycznie, a sygnały okresowe są generowane za poocą funkcji kosinusy. uożliwiającej syntezę rzeczywistych sygnałów okresowych zgodnie ze wzore (.) (patrz zadanie ZL.). Progra Matlab zawiera dwie funkcje uożliwiające obliczanie szeregu Fouriera sygnału dyskretnego (DTFS) określonego równaniai (.48) i (.49). Funkcja fft efektywnie ipleentuje, przeskalowane o czynnik N, równanie (.48): N k= [ ] j( π ) ( k ) N Nc = f k e, =,..., N (.69) Jeżeli y jest wektore o długości N zawierający jeden okres sygnału dyskretnego f[k], to DTFS f[k] ożna obliczyć w następujący sposób: c = (/N)*fft(y). Natoiast funkcja ifft jest efektywną procedurą obliczającą N π j( ) ( k ) N f [ k] = ( Nc ) e, k =,..., N (.7) N = czyli przeskalowaną o czynnik /N realizacją równania (.48). Jeżeli c jest wektore o długości N zawierający współczynniki szeregu Fouriera sygnału dyskretnego f[k], to wektor y zawierający próbki f[k] ożna wyznaczyć w następujący sposób: -4

36 y = N*ifft(c). W celu obliczenia wida aplitudowego ożna wykorzystać funkcję abs(x), która w przypadku liczb zespolonych zwraca oduły kolejnych eleentów wektora/acierzy x. Aby obliczyć wido fazowe ożna skorzystać z funkcji angle(x), która zwraca kąty fazowe (w radianach) eleentów wektora/acierzy liczb zespolonych. W celu obliczenia części rzeczywistych lub urojonych liczb zespolonych ożna posłużyć się funkcjai real i iag Funkcje w prograie Matlab Pliki zawierające polecenia w języku Matlab nazywane są -plikai. Są dwa rodzaje - plików: skrypty i funkcje. Funkcje akceptują arguenty wejściowe i zwracają arguenty wyjściowe. Nazwy -pliku oraz funkcji powinny być takie sae. Funkcje operują na ziennych lokalnych, odseparowanych od przestrzeni roboczej prograu Matlab. Pierwsza linia funkcji powinna zawierać nazwę funkcji, słowo kluczowe function oraz arguenty wejściowe i wyjściowe (funkcja kosinusy zawiera cztery arguenty wejściowe i jeden wyjściowy). Następnych kilka linii przeznaczonych jest zazwyczaj na koentarze. Linie te zostaną wyświetlone po wpisaniu polecenia help nazwa_funkcji. Pierwsza linia koentarza, tzw. linia H, jest wyświetlana po wpisaniu polecenia lookfor, powinna ona zawierać najważniejsze inforacje o funkcji. Reszta pliku stanowi tzw. ciało funkcji i zawiera wykonywalne polecenia środowiska Matlab. W koentarzu funkcji lub skryptu powinna być zawarta inforacja o autorach i terinie wykonania ćwiczenia zgodnie z podanyi niżej wytycznyi (przykład podano w koentarzu funkcji kosinusy): %Autorzy: iiona i nazwiska, nr stanowiska: od do 6 %Grupa dziekańska: nr grupy, rok akadeicki: / %Terin zajęć: data, dzień tygodnia, godz. od do.4. Wykaz zadań do wykonania.4.. Zadania do wykonania przed zajęciai ZD.. Wyznaczyć i narysować wido aplitudowe c oraz wido fazowe ϕ sygnału z przykładu P.. ZD.. Wyznaczyć i narysować wido aplitudowe (uwzględnić dziesięć pierwszych haronicznych) A oraz wido fazowe ϕ następujących sygnałów okresowych: Sygnału prostokątnego z przykładu P. o współczynniku wypełnienia γ =,5, częstotliwości f oraz wartości paraetru A podanych w poniższej tabeli gr f [Hz] A Sygnału trójkątnego z przykładu P.3 o częstotliwości f oraz wartości paraetru A podanych w tabeli podanej wyżej. Na osi odciętych zaznaczyć wartości częstotliwości poszczególnych haronicznych, wartości poszczególnych haronicznych napisać nad prążkai. ZD.3. Uzupełnić kod funkcji kosinusy. (dołączonej do instrukcji) uożliwiającej syntezę rzeczywistych sygnałów okresowych zgodnie ze wzore (.). -5

37 ZD.4. Należy uzupełnić brakujący fragent kodu w funkcji alias. (dołączonej do instrukcji) w celu obliczenia współczynników szeregu Fouriera sygnałów dyskretnych y d [k] (wykorzystać funkcję fft prograu Matlab)..4.. Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych ZL.. Sprawdzenie poprawności działania funkcji kosinusy.. Należy wygenerować kilka sygnałów np.:. y = 3 sin ( 5 ( kt ) + / 6) π π, jeden okres przebiegu, f =5Hz, T =,s,. y = + sin ( π 5( kt )) + sin ( π ( kt )), jeden okres, f =5Hz, T =,s, 3 3. y3 = cos( π 5( kt )) + cos( π 5( kt )), dwa okresy przebiegu, f =5Hz, T =,s. 3 π 4. y4 = cos ( π 5( kt )) + cos π 5( kt ) +, dwa okresy, f =5Hz, T =,s. 3 ZL.. Używając skryptu synteza. (dołączonego do instrukcji) należy wykonać syntezę przebiegów: prostokątnego oraz piłokształtnego, których współczynniki rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera zostały obliczone w przykładach P. i P.3. Zaobserwować jak zieniają się kształty syntetyzowanych sygnałów oraz ich oce średnie (obliczane na podstawie twierdzenia Parsevala jako sua c ) dla różnej liczby haronicznych (, 3,, ). Przeanalizować związki iędzy kształte sygnałów syntetyzowanych a ich widai: aplitudowy i fazowy oraz rzeczywisty i urojony. ZL.3. Skrypt alias. uożliwia syntezę ciągłego przebiegu okresowego y(t) (prostokątnego lub piłokształtnego wybór za poocą ziennej sygnal) ze składowej stałej i pierwszych dziesięciu haronicznych. Tak utworzony sygnał jest próbkowany (z sekwencji reprezentującej sygnał ciągły pobierane są próbki) z trzea różnyi częstotliwościai: z zachowanie twierdzenia o próbkowaniu, na granicy twierdzenia o próbkowaniu oraz bez zachowania twierdzenia o próbkowaniu (wybór częstotliwości prókowania za poocą ziennej probkowanie). Wynikie próbkowania jest sygnał dyskretny y d [k]. Obliczane są współczynniki szeregu Fouriera fragentu kodu opracowanego w ZD.4). Na podstawie współczynników odwrotnej transforaty Fouriera (funkcja ifft). d c sygnału dyskretnego y d [k] (na podstawie d c syntetyzowany jest sygnał dyskretny y do [k] przy użyciu d Również z wykorzystanie współczynników c syntetyzowany jest sygnał ciągły y o (t) za poocą funkcji kosinusy.. Po uzupełnieniu brakujących fragentów kodu należy uruchoić skrypt. Zaobserwować dla którego sygnału i dla jakiej częstotliwości próbkowania występuje zjawisko nakładania wida (do rozpatrzenia jest sześć przypadków: dwa różne sygnały i trzy różne częstotliwości próbkowania). Wskazać współczynniki dyskretnego szeregu Fouriera c d, które różnią się od współczynników szeregu Fouriera sygnału ciągłego a c. Obliczyć ich wartość wykorzystując wiedzę na teat echanizu nakładania wida i wzór na haroniczne sygnału analogowego. -6

38 c d = n a c+ rn r= r= n c a + rn (.7) gdzie indeks haronicznej sekwencji dyskretnej uzyskanej z N próbek, n jest paraetre określający dokładność szacowania. Dla przykładu obliczono wartość współczynnika próbek przy znanych a c sygnału ciągłego: d c 9 wida sygnału dyskretnego o okresie d a a a a a a a a a a + rn N + N r= c = c =... + c + c + c +... =... + c + c + c +... =... + c + c + c +...(.7) Ponieważ analizowany sygnał został zsyntetyzowany tylko ze współczynników o indeksach = -,,,, to współczynniki okresie 6 próbek ay: d a a a a a a a a c i 9 c są zerowe i c = c. Natoiast dla sygnału o d a 9 9 c =... c + c + c + c +... = c + c, (.73) czyli wartości dziewiątego współczynnika szeregu Fouriera sygnału dyskretnego i szeregu Fouriera sygnału ciągłego są różne. Należy porównać wartości d c obliczone za poocą wzoru (.7) z wyznaczonyi funkcją fft. Należy zaobserwować czy sygnały ciągłe y(t) i y o (t) oraz dyskretne y d [k] i y do [k] różnią się iędzy sobą? Jeśli tak, to należy podać w których przypadkach oraz wyjaśnić dlaczego. ZL.4. Napisać skrypt, w który zostanie wykonana analiza dokładnie jednego okresu N dyskretnego sygnału prostokątnego lub piłokształtnego (do wyboru) o paraetrach z zadania ZD.. Wyznaczyć i narysować wido aplitudowe c i fazowe oś odciętych wyskalować w hercach. Analizę wykonać dla dwóch różnych okresów N (N = i N = ). Porównać wartości d c i a c oraz d c 9 i a c 9 dla obu okresów sygnału i przedstawić wnioski. ZL.5. (Dla zainteresowanych) Przeprowadzić syntezę sygnału prostokątnego przesuniętego w czasie. Skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu (.6). Dla trzech różnych przesunięć zaobserwować ziany w widie aplitudowy i fazowy. ZL.6. (Dla zainteresowanych) Przeprowadzić syntezę sygnału będącego suą przebiegów prostokątnego i piłokształtnego. Skorzystać z własności liniowości szeregu Fouriera (.58)..5. Literatura [] J. A. Wojciechowski: Sygnały i systey. Warszawa 8. [] T. P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Warszawa 7. [3] J. Szabatin: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa. [4] A. Papoulis: Obwody i układy. Warszawa 988. [5] J. Nieznański: Sygnały i systey. Niepublikowane ateriały wykładowe. Gdańsk. [6] A. V. Oppenhei, R. W. Schaffer: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Warszawa 979. [7] C. T. Chen: Syste and Signal Analysis. Saunders College Publishing, USA

39 3. Przekształcenie Fouriera sygnałów ciągłych i dyskretnych 3.. Cel i zakres ćwiczenia Cele ćwiczenia jest opanowanie podstawowych pojęć analizy widowej sygnałów deterinistycznych oraz nabycie podstawowych uiejętności w wykorzystaniu dyskretnej transforaty Fouriera w celu analizy widowej sygnałów i interpretacji uzyskanych wyników. 3.. Podstawy teoretyczne W poprzedni ćwiczeniu rozważano reprezentację widową sygnałów okresowych. Teraz zostanie zdefiniowana reprezentacja częstotliwościowa sygnałów aperiodycznych. Sygnały nieokresowe analogowe reprezentowane są transforatą Fouriera (ang. Continuous Tie Fourier Transfor CTFT), a dyskretne transforatą Fouriera sygnału dyskretnego (ang. Discrete-Tie Fourier Transfor DTFT). Dyskretne przekształcenie Fouriera (ang. Discrete Fourier Transfor DFT) jest używane do reprezentacji i analizy sygnałów dyskretnych periodycznych i aperiodycznych o skończonej długości Przekształcenie Fouriera Rozważy sygnał okresowy f(t) z rys. 3. określony wzore A dla t ( kp a, kp + a), k Z f ( t) = A / dla t = kp ± a, k Z dla t pozostałych (3.) Rys. 3.. Sygnał prostokątny unipolarny Jeśli okres P będzie zwiększany aż do nieskończoności, to sygnał f(t) stanie się aperiodyczny. Wykorzystując ten fakt wyprowadzona zostanie transforata Fouriera sygnałów nieokresowych. Sygnał f(t) ożna przedstawić w postaci szeregu Fouriera ( ) t = = jω t f c e (3.) gdzie: 3-

40 ( ) ( Ω ) A sin π a / P aa sin a aa ( Ω ) c = = = sinc a π PΩ a P (3.3) c a = A (3.4) P Gdy okres P dąży do nieskończoności, to współczynniki c rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera dążą do zera nie ogą zate reprezentować w dziedzinie częstotliwości sygnałów aperiodycznych. Rozważy zate współczynniki c ponożone przez P. Na rys. 3. przedstawiono wykresy iloczynów Pc dla trzech różnych wartości okresu P = P, P = P = 4P, P =. Można zauważyć, że obwiednia wartości Pc jest taka saa dla wszystkich P. Gdy okres P rośnie, to aleje częstotliwość podstawowa f = /P, a ty say odstęp poiędzy prążkai Pc położonyi przy częstotliwościach f. W granicy, gdy P otrzyuje się pojedynczy ipuls prostokątny o szerokości a, którego wido jest wide ciągły. Rys. 3.. Sygnały prostokątne wraz z ich współczynnikai rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera: a) P = P, b) P = P = 4P, c) P =. Jeśli przyjiey F(Ω ) = Pc, to t + P t + P j t jω t P Ω F ( Ω ) = Pc = f ( t ) e dt = f ( t ) e dt P (3.5) t t Ω f ( t) = Pce = F ( Ω ) e Ω (3.6) P π = j t jω t = Gdy okres P, to częstotliwość podstawowa Ω =π/p dąży do nieskończenie ałej wartości dω. Wówczas Ω przechodzi w Ω, a suę w równaniu (3.6) ożna zastąpić całką. Równania (3.6) i (3.5) ożna zapisać w następującej postaci: 3-

41 j t f ( t) = F ( ) e d π Ω Ω Ω (3.7) jω t ( ) = ( ) d F Ω f t e t (3.8) Jeśli całka w równaniu (3.7) zostanie obliczona względe częstotliwości f, to ożna równanie powyższe zapisać bez współczynnika π w postaci: ( ) = ( π ) j πft f t F f e df (3.9) Równania (3.7) i (3.8) stanowią parę przekształceń (transforat) Fouriera. Tak zwane równanie analizy (3.8) jest nazywane prosty przekształcenie (transforatą) Fouriera F Ω = F f t ), a tzw. równanie syntezy (3.7) przedstawia odwrotne (oznaczane jako ( ) { ( )} przekształcenie (transforatę) Fouriera (oznaczane jako f ( t) = { F ( Ω ) } F ). Funkcja F(Ω) = F(Ω) e jarg(f(ω)) nazywana jest wide zespolony sygnału f(t), F(Ω) wide aplitudowy, a arg(f(ω)) wide fazowy. Jeżeli istnieje częstotliwość Ω g taka, że F(Ω) = dla Ω > Ω g, to f(t) jest sygnałe o ograniczony widie. Równanie (3.8) przedstawiające funkcję nieokresową f(t) oże być interpretowane jako sua nieskończonej liczby drgań składowych postaci ( )d j Ω F e t = dae j Ω Ω Ω t (3.) o częstotliwościach leżących blisko siebie. Stąd da F ( Ω ) = dω (3.) oże być interpretowane jako gęstość aplitudy lub gęstość spektralna wida przebiegu określonego funkcją f(t). Aby sygnał f(t) iał transforatę Fouriera usi spełniać tzw. warunki Dirichleta: f t t M < ( ) d ieć skończoną liczbę nieciągłości i skończoną liczbę iniów i aksiów w każdy skończony przedziale czasu. Analogicznie jak dla szeregu Fouriera, jeśli sygnał f(t) nie jest ciągły w chwili t, to odwrotna transforata Fouriera zwraca w wyniku średnią arytetyczną granic lewo- i prawostronnej funkcji w ty punkcie: ( ) + f ( t ) f t + ( ) j t = F e d π Ω Ω Ω (3.) niezależnie od wartości f(t ). 3-3

42 P3.. Transforata Fouriera ipulsu prostokątnego. ( Ω ) ( ) d d Rys Ipuls prostokątny. a a jω t jω t A jω t F = f t e t = A e t = e = jω a a = A j Ω jωa jωa A ( e e ) = sin ( Ωa) Ω (3.3) Korzystając z funkcji sinc(), ożna powyższe zapisać w postaci F Ωa (3.4) π ( Ω ) = Aa sinc Rys Transforata Fouriera ipulsu prostokątnego. Związek iędzy transforatą Fouriera i szeregie Fouriera f(t) sygnał okresowy o okresie P (f(t) c ), f P (t) sygnał równy f(t) w jedny okresie (f P (t) F (Ω)), Bezpośrednio z porównania zależności na c i F(Ω) t + P jω t c f ( t ) e dt P t = (3.5) jω t ( ) ( ) d F Ω f t e t (3.6) wynika: = P 3-4

43 c ( Ω ) F =, = P π Ω (3.7) P P3.. Szereg Fouriera przebiegu prostokątnego wyznaczany na podstawie transforaty Fouriera ipulsu prostokątnego π c ( Ω ) F = P = Ω = Ω Ω a Aa sinc = P π 3... Transforaty Fouriera wybranych sygnałów a Aa sinc P = Aγ sinc P π ( γ ) Delta Diraca W teorii sygnałów ważną rolę pełni pojęcie funkcji delta Diraca (ipulsu Diraca). Ściśle rzecz ujując, delta Diraca nie jest funkcją, lecz tzw. dystrybucją (lub funkcją uogólnioną). Definicja funkcja delta Diraca jako dystrybucji zostanie podana później, natoiast obecnie zostanie wprowadzone to pojęcie w sposób uproszczony. W podejściu uproszczony funkcję delta δ(t) traktuje się jako graniczny przypadek ipulsu δ n (t) o coraz niejszej szerokości i coraz większej aplitudzie; przykłady takich ipulsów pokazano na poniższych rysunkach. δ ( t) ( δ ( t) ) = li (3.8) n n Rys Aproksyacja sygnału delta Diraca za poocą: (a) ipulsów prostokątnych, (b) ipulsów trójkątnych Wybrane właściwości: Rys Sybol graficzny sygnału delta Diraca. 3-5

44 δ ( t) d t δ ( t) dt = δ = (3.9) ( t ) ( t t ) t f ( ) f δ d = t własność próbkowania (sifting property) (3.) ( at) δ ( t) = własność ziany skali (3.) a Ipuls Diraca oże być zdefiniowany jako funkcjonał. Dla dowolnej funkcji f(t) + f ( ) ( ) + f ( ) f = D δ (3.) Innyi słowy, dystrybucja D δ jest funkcjonałe przypisujący funkcji f(t) średnią arytetyczną z jej granic lewo- i prawostronnej w punkcie t =. Dla funkcji ciągłych w punkcie t = jest to po prostu wartość funkcji w ty punkcie. Ściśle rzecz ujując, dystrybucja delta nie występuje jako byt saodzielny, ale zawsze jako operator działający na pewną funkcję w zwykły sensie. Posługując się konwencją zastosowaną przy zapisie własności próbkowania, ożna by powyższą definicję zapisać w postaci (niespełniającej warunku ścisłej poprawności ateatycznej) D δ ( f ) f ( t) δ ( t) dt = (3.3) lub, uogólniając pojęcie dystrybucji delta na inne punkty niż t =, = ( f ) f ( t) δ ( t t ) dt Dδ t (3.4) A zate ściśle rzecz ujując własność próbkowania nie jest cechą wyprowadzoną z jakiejś niezależnej definicji funkcji delta, tylko jest cechą definiującą tę funkcję. Sybol δ(t), sugerujący saodzielne istnienie funkcji delta oraz ożliwość jej całkowania, jest wygodny i często stosowany uproszczenie (które będzie wykorzystywane). Transforata Fouriera ipulsu Diraca (Ω) Bezpośrednio z własności próbkowania ipulsu Diraca otrzyuje się jω t jω ( ) ( t) e t e Ω = δ d = = (3.5) 3-6

45 Rys Delta Diraca i jej transforata Fouriera. Uwagi:. Całka z (Ω) jest nieskończona, więc energia ipulsu Diraca jest nieskończona (na podstawie wzoru Parservala).. Warto zauważyć, że poglądowe spojrzenie na ipuls Diraca jako graniczny przypadek ipulsu o znikającej szerokości i rosnącej aplitudzie a pewne pokrycie we własnościach wida ipulsu prostokątnego. Podstawiając paraetry ipulsu δ ε (t) do ogólnego wzoru na transforatę Fouriera ipulsu prostokątnego o aplitudzie A=/(a) i szerokości a, otrzyuje się F Ωa Ω a Ω a (3.6) π a π π ( Ω ) = Aa sinc = a sinc = sinc Dla alejącej wartości a poszerza się paso częstotliwości Ω, dla których transforata przyjuje wartość bliską jeden. Transforata Fouriera sygnału okresowego Na początku wyznaczono odwrotną transforatę Fouriera ipulsu Diraca F(Ω) = δ(ω Ω ) wykorzystując własność próbkowania ipulsu Diraca (3.) jω t jω t jω t f ( t) = F ( ) e d δ( ) e d e π Ω Ω = π Ω Ω Ω = (3.7) π Stąd transforata Fouriera funkcji eksponencjalnej jest równa jω t { e } = πδ ( Ω Ω ) F (3.8) a w szczególności transforata Fouriera funkcji stałej f(t) = jω t { e } = { } = πδ ( Ω ) Ω = F F (3.9) Transforata Fouriera funkcji stałej jest zate równa ipulsowi Diraca o wartości π dla Ω = oraz jest równa zeru dla Ω. Transforata Fouriera funkcji kosinus i sinus jωt jωt F { sin ( Ωt )} = F ( e e ) = πjδ ( Ω Ω ) + π jδ ( Ω + Ω ) (3.3) j 3-7

46 jωt j t { cos ( t )} ( e e Ω F Ω = F + ) = πδ ( Ω Ω ) + π δ ( Ω + Ω ) (3.3) Ogólnie jeśli f(t) jest sygnałe okresowy o okresie P, który ożna rozwinąć w zespolony szereg Fouriera: f ( t) = = c e jωt (3.3) to transforatę Fouriera sygnału okresowego f(t) ożna obliczyć w sposób następujący { ( )} j { } ( ) t j t Ω Ω F f t = F ce = cf e = πcδ Ω Ω (3.33) = = = Jest to ciąg ipulsów Diraca nożonych przez wartości πc określonych dla częstotliwości Ω będących wielokrotnościai częstotliwości podstawowej. Szereg ipulsów Diraca funkcja grzebieniowa Inne teriny: funkcja próbkująca (ang. cob function, Dirac cob, sapling function, ipulse train, shah function). W przypadku próbowania sygnałów analogowych funkcja próbkująca jest przedstawiana w postaci suy odległych o T ipulsów Diraca ( t) = δ ( t kt ) k = Ψ Τ (3.34) Rys Funkcja grzebieniowa. Z ogólnej foruły wiążącej szereg Fouriera sygnału okresowego z transforatą Fouriera pojedynczego okresu sygnału otrzyuje się c ( Ω ) π Ω (3.35) T T T = =, = j t ( t) = e Ω Ψ Τ (3.36) T = a więc wido funkcji grzebieniowej składa się z nieskończonej liczby prążków o jednakowej wartości (co oznacza nieskończoną oc takiego sygnału). 3-8

47 Transforata Fouriera funkcji próbkującej π F { ΨΤ ( t) } = δ ( Ω Ω ) (3.37) T = Transforacja Fouriera sygnału dyskretnego W rozdziale 3.. transforatę Fouriera sygnału analogowego f(t) wyprowadzono z szeregu Fouriera traktując f(t) jako przebieg okresowy i rozszerzając okres sygnału do nieskończoności. Analogiczny zabieg ożna powtórzyć w stosunku do dyskretnego sygnału f[k] o ograniczonej energii aby otrzyać parę transforat Fouriera sygnału dyskretnego przedstawionych zależnościai: jωk f [ k] = F ( ) e d, k =...,,,,,,... π ω ω (3.38) F π jωk ( ) = f [ k] e, = ( π, π] ω ω (3.39) k= Występująca w powyższych zależnościach ω = ΩT = πf/f s oznacza częstotliwość unorowaną względe częstotliwości próbkowania f s. Równania (3.38) i (3.39) stanowią parę przekształceń (transforat) Fouriera dla sygnału dyskretnego. Równanie (3.38) jest nazywane transforatą Fouriera sygnału dyskretnego (ang. Discrete-Tie Fourier Transfor DTFT) a równanie (3.39) odwrotną transforatą Fouriera sygnału dyskretnego. Funkcję F(ω) = F(ω) e jarg(f(ω)) nazywa się wide zespolony sygnału f[k], F(ω) wide aplitudowy, a arg(f(ω)) wide fazowy. P3.3. DTFT dyskretnego ipulsu prostokątnego z przykładu P3.. Sygnał dyskretny a postać: dla n = N /,...,,..., N / f [ k] = dla pozostałych n (3.4) DTFT sygnału f[k] obliczono wykorzystując wzór na suę częściową szeregu geoetrycznego N p N k q q aq = a (3.4) q k= p N jωk jωk e e j e e F ( ω ) = f [ k] e = e = = e j e e e F ( ω ) = k= j e ω N k= ( Nω ) ( ω ) sin / / sin / jnω/ jnω/ jnω/ jnω/ ( ) jω jω / jω / jω / (3.4) 3-9

48 Rys Dyskretny ipuls prostokątny dla N = 8 (a) i jego wido aplitudowe (b). W celu przetwarzania sygnałów analogowych etodai cyfrowyi istotne jest ustalenie jaki jest związek iędzy transforatai Fouriera sygnałów dyskretnego i ciągłego. Załóży, że sygnał dyskretny f[k] powstał z próbkowania analogowego sygnału bezwzględnie całkowalnego f(t), czyli [ ] = ( ) = ( ) f k f t f kt t = kt przy czy (3.43) jω t f ( t) = Fa ( ) e d π Ω Ω (3.44) Indeks dolny w sybolu transforaty wprowadzono dla odróżnienia transforaty sygnału analogowego od transforaty sygnału dyskretnego. Podstawiając (3.44) do (3.43), otrzyano następującą reprezentację sygnału dyskretnego: j k f [ k] = Fa ( ) e d π Ω Τ Ω Ω. (3.45) Z drugiej strony, f[k] ożna zapisać za poocą jego transforaty Fouriera (3.38) f = d π (3.46) jωk [ k] F ( ω) e dω π (dodano indeks dolny w sybolu transforaty dla odróżnienia od transforaty sygnału analogowego). Aby ustalić związek iędzy F d (ω) i F a (Ω), należy przekształcić (3.45) do postaci (3.46) i odpowiednią część wyrażenia podcałkowego zinterpretować jako F d (ω). W pierwszy kroku zastąpiono w (3.45) całkę w granicach ± suą całek w przedziałach o długości π/τ f π ( r+ ) [ k] = F ( Ω ) r = T jω kτ a e dω (3.47) ( r ) π T π 3-

49 Następnie podstawiono Ω = Ω + r π, aby każdy wyraz suy sprowadzić do całki T oznaczonej w przedziale od π/t do π/t. Wówczas (3.47) przekształca się do postaci f π π T T [ k] = F Ω + r e dω = r= π T π j Ω + r kτ π π jω kτ a Fa Ω + r e dω (3.48) T π T π T r= π T Poijając znak pri przy Ω i podstawiając Ω = ω/t, otrzyano π T π jω kτ ω π jω k f [ k] = Fa + r e d = Fa + r e d π Ω Ω r= T π ω r= Τ T T π T π π (3.49) Zaieniając kolejność całkowania i suowania, ożna przedstawić f[k] w postaci f [ k] = π π a T π r = ω π F + r e Τ T = F ( ω ) d j ω k dω (3.5) w której odpowiednie wyrażenie identyfikuje się jako F d (ω). A zate ω π Fd Fa r T r= Τ T ( ω ) = +, ω ( π, π] (3.5) Dla transforaty Fouriera sygnału analogowego F a (Ω) o ograniczony widie Ω g, pokazanej na rys. 3.a, transforata Fouriera sygnału dyskretnego F d (ω) wygląda jak na rys. 3.b jeżeli Ω g > π/t. Jeśli częstotliwość próbkowania jest zbyt ała (okres próbkowania T zbyt duży), to przesunięte wida F a (Ω) nakładają się na siebie, a składowe o dużych częstotliwościach w transforacie F a (Ω), po odwróceniu, nakładają się na składowe o niejszych częstotliwościach w transforacie F d (ω) występuje zjawisko nakładania się wid. Jeżeli próbkowanie zachodzi z częstotliwością ponad dwa razy większą od najwyższej częstotliwości F a (Ω), czyli Ω g π/t, to transforata Fouriera sygnału dyskretnego jest identyczna z transforatą Fouriera sygnału analogowego w przedziale π ω < π. 3-

50 F a ( Ω) Ω g Ω g Ω F d ( ω) Ω g T π π π π π ω F d ( ω) Ω g T < π π π π ω Rys. 3.. Transforata Fouriera sygnału analogowego o ograniczony widie Ω g (a); transforata Fouriera sygnału dyskretnego otrzyanego w wyniku próbkowania sygnału analogowego gdy Ω g > π/t (b); transforata Fouriera sygnału dyskretnego otrzyanego w wyniku próbkowania sygnału analogowego gdy Ω g > π/t (c) Właściwości transforat Fouriera Do oznaczenia transforaty Fouriera F(Ω) sygnału analogowego f(t) użyto notacji f t CTFT ( ) F ( ) Ω (3.5) natoiast w przypadku sygnału dyskretnego f[k] zapis f k DTFT [ ] F ( ) ω (3.53) oznacza, że f[k] posiada transforatę Fouriera F(ω).. Liniowość ( ) ( ) CTFT af ( t) + bg( t) af Ω + bg Ω, a, b R (3.54) DTFT [ ] [ ] ( ) ( ) af k + bg k af ω + bg ω, a, b R (3.55). Przesunięcie w dziedzinie czasu 3-

51 f ( t t ) e F( Ω ), t R (3.56) CTFT jωt DTFT jωk [ ] f k k e F ( ω ), k Z (3.57) 3. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości f t e Ω Ω Ω (3.58) jωt CTFT ( ) F( ), R jωk DTFT [ ] f k e F ( ω ω ), ω R (3.59) 4. Ziana skali czasu t CTFT f a F ( aω ), a R + (3.6) a k f n DTFT gdzie k jest wielokrotnością n. 5. Iloczyn F( nω ) (3.6) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( t) g( t) F Ω G Ω = F G d π Γ Ω Γ Γ (3.6) CTFT [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) DTFT π f k g k F ω G ω = F G d π Γ Ω Γ Γ (3.63) 6. Splot w dziedzinie czasu CTFT ( ) ( ) ( ) ( ) π f ( t)* g( t) = f τ g t τ dτ F Ω G Ω (3.64) DTFT ( ω) ( ω ) (3.65) f [ k]* g[ k] = f [ n]* g[ k n] F G 7. Energia (twierdzenie Parsevala) f ( t) d t= F( ) d π Ω Ω (3.66) = π f [ k] F ( ω) dω (3.67) k= π π 8. Syetria dla analogowych sygnałów rzeczywistych f(t) F * ( ) = F ( ) Ω Ω (3.68) { F } = { F } Re ( Ω ) Re ( Ω ) (3.69) { F } = { F } I ( Ω ) I ( Ω ) (3.7) 3-3

52 F ( Ω ) = F ( Ω ) (3.7) ( F ) = ( F ) arg ( Ω ) arg ( Ω ) (3.7) jeśli f(t) rzeczywisty i parzysty, to F(Ω) rzeczywiste i parzyste, jeśli f(t) rzeczywisty i nieparzysty, to F(Ω) urojone i nieparzyste, 9. Syetria dla dyskretnych sygnałów rzeczywistych f[k] * F( ω) = F ( ω ) (3.73) { F } = { F } Re ( ω) Re ( ω ) (3.74) { F } = { F } I ( ω) I ( ω ) (3.75) F ( ω) = F ( ω ) (3.76) ( F ) = ( F ) arg ( ω) arg ( ω ) (3.77) jeśli f[k] rzeczywisty i parzysty, to F(ω) rzeczywiste i parzyste, jeśli f[k] rzeczywisty i nieparzysty, to F(ω) urojone i nieparzyste Dyskretna transforacja Fouriera Założono, że f[k] a niezerowe wartości dla k =,,,..., N-. Wówczas N jωk jωk ( ω) = f [ k] e = f [ k] e, ω [, π ) F (3.78) k = k = W przedziale częstotliwości ω [, π) jest nieskończenie wiele liczb, ale za poocą układów cyfrowych ożna wyznaczyć wido (3.78) tylko dla dyskretnych częstotliwości ω. Jeśli sygnał f[k] a N próbek, to ożna wyznaczyć F(ω) w N punktach równoiernie rozieszczonych w przedziale [, π) (lub [, f s )), czyli f s π ω =, f =, =,,..., N (3.79) N N Otrzyano N [ ] ( ) π [ ] k = π j k N F = F ω = f k e, =,,..., N ω= N (3.8) F[] jest dyskretną transforatą Fouriera (ang. Discrete Fourier Transfor DFT) sygnału f[k] i wyznacza próbki wida transforaty Fouriera sygnału dyskretnego f[k]. Przekształtenie odwrotne do DFT definiuje równanie N π j k N f [ k] = F [ ] e dla k =,,..., N (3.8) N = które nazywane jest odwrotną dyskretną transforatą Fouriera (ang. Inverse Discrete Fourier Transfor IDFT). Zależności (3.8) i (3.8) stanowią parę transforat DFT, które 3-4

53 są wyznaczane zazwyczaj za poocą efektywnych algorytów tzw. szybkich transforat Fouriera (ang. Fast Fourier Transfor FFT). Związek iędzy DTFS i DFT Należy zwrócić uwagę na to, że zależności określające DTF oraz DTFS są nieal identyczne, różnią się o czynnik skalujący N. Jeśli f[k] jest sygnałe bezwzględnie suowalny (niezerowe wartości dla k =,, N-), ~ f k jest sygnałe okresowy będący okresowy rozszerzenie (ang. periodic [ ] extention) f[k], DFT f [ k] F [ ] [ ] DTFS, f k c, to z porównania zależności na c i F[] natychiast widać, że [ ] F c = (3.8) N Interpretacja dyskretnej transforaty Fouriera W wielu zastosowaniach analizy częstotliwościowej interesujące jest wido sygnału analogowego F(f), który jest generowany przez rzeczywisty układ fizyczny. Jeśli używane są układy cyfrowe do obliczania wida analogowych sygnałów, to trzeba te sygnały spróbkować. Najczęściej dysponuje się jedynie zarejestrowany fragente sygnału, na podstawie którego wnioskuje się o widie sygnału ciągłego. Związek iędzy wide sygnału analogowego a wide F[] uzyskany na podstawie DFT ożna szybko przeanalizować na podstawie rys. 3.. Na rys. 3.a przedstawiono sygnał kosinusoidalny, a na rys. 3.b jego transforatę Fouriera F(f) =,5(δ(f+f ) + δ(f-f )). Ipuls prostokątny o długości a tzw. prostokątne okno czasowe przedstawiono na rys. 3.c a na rys. 3.d jego wido W(f) = asinc(af). Należy wyznaczyć wido fragentu sygnału kosinusoidalnego, czyli ateatycznie rzecz ujując, sygnału f(t) wynożonego przez ipuls prostokątny w(t) (rys. 3.e). Na początek założono, że jest ożliwość wycięcia z sygnału kosinusoidalnego dokładnie całkowitej liczby okresów. Wido iloczynu sygnałów F w (f) =,5(W(f+f )+W(f-f )) jest splote wid poszczególnych sygnałów, zgodnie z zależnością (3.6), na rys. 3.f przedstawiono wido aplitudowe F w (f). W iejscach gdzie w F(f) występowały ipulsy Diraca, w widie F w (f) występują wida okna prostokątnego W(f). W widie F w (f) ożna zaobserwować tzw. liski główne o szerokości /a położone przy częstotliwościach f i f oraz tzw. liski boczne będące rezultate oscylacji funkcji sinc transforaty Fouriera funkcji okna. Niezerowa szerokość listka głównego utrudnia rozróżnienie w F w (f) składowych haronicznych o zbliżonych częstotliwościach (proble rozróżnialności częstotliwościowej), natoiast pozioy listków bocznych liitują rozróżnienie składowych o znacznie różniących się aplitudach (proble rozróżnialności aplitudowej). Rozróżnialność częstotliwościową ożna poprawić zwiększając długość okna czasowego gdy długość okna rośnie jego wido staje się bardziej ściśnięte a ty say szerokość liska głównego aleje. Rozróżnialność aplitudową ożna zwiększyć stosując inny kształt okna wycinającego, o niejszy pozioie lisków bocznych. 3-5

54 W wyniku próbkowania sygnału (zgodnie z twierdzenie o próbkowaniu) otrzyano sygnał dyskretny f w [k] (rys. 3.g). Wido aplitudowe transforaty Fouriera sygnału d dyskretnego (DTFT) F ( f ) pokazano na rys. 3.h, jego kształt wynika z zależności (3.5). w d Na rys. 3.i oraz rys. 3.j linią cienką narysowano wido aplitudowe F ( f ), a kropkai oznaczono próbki wida aplitudowego wyznaczone za poocą DFT. Na rys. 3.i pokazano wido aplitudowe DFT F ( f / K ) fragentu sygnału kosinusoidalnego o długości K (do analizy wzięto tylko próbki czterech okresów kosinusoidy). Liczba próbek obliczana przez DFT jest równa liczbie próbek sygnału analizowanego. Rozdzielczość w częstotliwości (rozuiana jako odległość na osi częstotliwości poiędzy dwiea sąsiednii próbkai wida nie ylić z rozróżnialnością częstotliwościową) wynosi więc f s /K = f s /(nn), gdzie N jest okrese kosinusoidy dyskretnej, a n liczbą okresów sygnału okresowego ieszczącą się w analizowany fragencie sygnału. Pierwszą niezerową próbkę wida obserwuje się dla częstotliwości f = nf s /(nn) = f s /N = /(NT) = f. Ponieważ poddano analizie dokładnie n okresów dyskretnego sygnału kosinusoidalnego to otrzyano tylko dwie niezerowe próbki dla częstotliwości f i f s - f. Wyznaczone wartości wida odpowiadają wartościo współczynników rozwinięcia sygnału f[k] w szereg Fouriera wystarczy jedynie je przeskalować, zgodnie z zależnością (3.8), przez liczbę próbek K = nn. Na rys. 3.i widoczne jest wido aplitudowe DFT F ( f / K ) fragentu sygnału kosinusoidalnego o długości K = K, który został rozszerzony o dodatkowe próbki zerowe. Dzięki dodaniu zer do analizowanego sygnału rozdzielczość w częstotliwości wynosi f s /K = f s /(K ), zniejszono więc odległość poiędzy kolejnyi próbkai częstotliwościowyi DFT, czyli zwiększono rozdzielczość częstotliwościową (w ty przypadku dwa razy). Należy zwrócić uwagę, że uzupełnianie zerai sygnału (ang. zero padding) nie zwiększa rozróżnialności częstotliwościowej, ponieważ nie wprowadza nowych d inforacji o sygnale, uożliwia jedynie gęstsze próbkowanie wida F ( f ). s s w w P3.4. Na rys. 3. przedstawiono przykładowe wida sygnału prostokątnego f [kt] oraz sygnału sinusoidalnego f [kt] = sin(πkt) gdzie: P = NT = s jest okrese sygnałów f [kt] i f [kt], T okrese próbkowania, a N = 6, dla k =,,..., N / f[ kt] =. dla k = N / +,..., N Prezentowane wida dyskretnych transforat Fouriera F [] i F [] są próbkai wid F (f) i F (f) pobieranyi z krokie f = f s /N = [Hz] (ω = π/n =,397[rad/s]). Należy paiętać, że wida F (f) i F (f) są rezultate splotu wida sygnału i funkcji okna prostokątnego. Liczba prążków N wida jest równa liczbie próbek sygnału. Pierwszy i ostatni prążek wida dla częstotliwości analizy f = Hz oraz f 5 = 5Hz = f - = -Hz wyznaczony jest dla częstotliwości podstawowej sygnałów równej /P = /NT = [Hz]. W przypadku sygnału sinusoidalnego pozostałe wartości wida aplitudowego są równe zeru. 3-6

55 a) f(t) b) F ( f ) P t f c) w(t) d) a f W ( f ) f a t e) f w (t) = f(t)w(t) f) a /a F w ( f ) f a t g) f w [k] h) -f f d a Fw T ( f ) f K k K i) a T ( ) s d F f, F[ f / K ] w -f s / -f f j) d F a w ( f ), F[ fs / K] T f s /f f f s -f f s f f f s -f f s f Rys. 3.. Sygnał kosinusoidalny (a) i jego wido CTFT (b); okno prostokątne (c) i jego wido aplitudowe CTFT (d); iloczyn kosinusoidy i okna prostokątnego (e) i jego wido aplitudowe CTFT (f); spróbkowany fragent kosinusoidy (g) i jego wido aplitudowe DTFT (h); wido aplitudowe DFT f w [k] (i); wido aplitudowe DFT f w [k] rozszerzonego o dodatkowe zera (j); f s częstotliwość próbkowania, f s = /T. 3-7

56 Rys. 3.. Przebiegi sygnałów prostokątnego i sinusoidalnego oraz ich przeskalowane wida aplitudowe ( F (f) i F (f) - kolor czerwony, F [] i F [] - kolor niebieski) i fazowe (arg(f (f)) i arg(f (f)) - kolor czerwony, arg(f []) i arg(f []) - kolor niebieski (arg(f []) i arg(f []) jest nieokreślony (więc nie zaznaczony) jeśli F [] lub F [] jest równy )). Rys Przebiegi sygnałów prostokątnego i sinusoidalnego oraz ich wida aplitudowe w przypadku gdy liczba punktów DFT jest różna od wielokrotności okresu sygnału. 3-8

57 Dla sygnału prostokątnego próbki wida F (f) dla częstotliwości f o indeksach nieparzystych są niezerowe a o parzystych zerowe, ponieważ w sygnale prostokątny występują tylko składowe o częstotliwościach f ( nieparzyste), które dokładnie pokrywają się z częstotliwościai wyznaczanyi przez DFT. Takie idealne wida jak pokazane na rys. 3. otrzyuje się tylko wtedy, gdy liczba próbek N dyskretnej transforaty Fouriera jest równa całkowitej wielokrotności okresu dyskretnego sygnału okresowego. W przypadku niespełnienia tego warunku w wyniku DFT uzyskuje się wida, których wszystkie próbki ogą być niezerowe (rys. 3.3). Przedstawione na rys. 3.3 wida dyskretnych transforat Fouriera F [] i F [] są próbkai wid F (f) i F (f) pobieranyi z krokie f = f s /N = 6/7[Hz], a więc DFT sprawdza występowanie w sygnale częstotliwości, które są wielokrotnościai 6/7 [Hz]. Takich częstotliwości w analizowanych sygnałach nie a, stąd też widoczne rozycie wid. Składowe o częstotliwościach występujących w analizowanych sygnałach (dla przebiegu sinusoidalnego jest to składowa o częstotliwości Hz) są widoczne we wszystkich innych wyznaczanych składowych (o częstotliwościach będących wielokrotnościai 6/7 [Hz]). Zjawisko to nazywane jest również przeciekie, ponieważ analizowany sygnał okresowy, którego częstotliwość nie jest równa dokładnie częstotliwościo, dla których wyznaczay wartości DFT, tak jakby przecieka do wszystkich innych wyznaczanych wartości DFT Zastosowanie środowiska Matlab do analizy widowej sygnałów Funkcja fft prograu Matlab zwraca dyskretną transforatę Fouriera (DFT) sygnału dyskretnego, obliczoną za poocą algorytu szybkiej transforaty Fouriera (FFT). Wyrażenie Y = fft(y) oblicza N równoiernie rozłożonych próbek transforaty Fouriera sygnału dyskretnego (DTFT) y o długości N N ( ) j ( k ) N [ ] (3.83) Y( ) = y k e, =,..., N k= π Y = fft(y,m) oblicza M próbek DTFT sygnału y. Jeśli M jest większe od długości sygnału N to y zostanie przed analizą uzupełniony zerai do długości M. Jeśli M jest niejsze od N to sygnał y zostanie skrócony (obcięty) do długości M. Jeśli funkcja fft zostanie wykorzystana do przybliżonego wyznaczenia transforaty Fouriera sygnału analogowego wówczas należy odpowiednio przeskalować próbki DTFT zwracane przez nią (zależność (3.5)). Mając N próbek sygnału y(kt) w wektorze y ożna za poocą koendy Y=T*fft(y) obliczyć N ( ) π ( ) j ( k ) T j π ( k ) T NT N [ ] [ ] ( ) (3.84) Y ( ) = T y k e = T y k e F f, =,..., N k= k= N Przykład aproksyacji wida transforaty Fouriera znajduje się w ZL3.3. Wykorzystano w ty przykładzie funkcję fftshift, której użyto w celu prezentacji wida w takiej postaci, aby składowa stała znajdowała się w środku wida (jeśli dany jest wektor a=[ - -], to fftshift(a) przekształca a na wektor [- - ]). f s 3-9

58 3.4. Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai ZD3.. Napisać funkcję brute_dft., która będzie wyznaczała dyskretną transforatę Fouriera (DFT) sygnału wprost z równania definicyjnego, czyli używając tzw. algorytu siłowego (ang. brute-force), prostego w ipleentacji lecz nieoptyalnego pod względe liczby potrzebnych obliczeń, wykorzystania zasobów sprzętowych koputera itp.. Algoryt a być zakodowany w postaci funkcji o wywołaniu X=brute(x), gdzie x jest wektore próbek analizowanego sygnału, a X jest wektore wartości DFT (należy przyjąć, że X a tyle sao eleentów co x); Podpowiedź: X N π N j k [ ] = x[ k] e N = x[ k] k = k= W k π j, gdzie W = e N Oznaczając przez x wektor złożony z eleentów x[k], dla k =,, N-, a przez W wektor złożony z eleentów W k, k =,, N-, ożna zapisać wzór na X[] w notacji języka Matlab w następujący sposób X(+) = su(x.*(w^).^k) gdzie: jest skalare indeksowany w pętli, a k jest wektore, indeksowanie zapisano jako +, zaiast, bo w środowisku Matlab najniższy indeks to, a nie Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych ZL3.. Sprawdzenie poprawności działania funkcji brute_dft.. W ty celu ożna wykorzystać skrypt brute_test.. ZL3.. Wykorzystując funkcję okno_prost. należy obliczyć wido aplitudowe sygnału o ograniczonej energii dla k =,,..., N- f [ k] =. dla k = N, N +,... K (uzupełnianie zerai) dla N = 5 oraz K = 5, K =, K =, dla N = oraz K =, K =, dla N = oraz K =, K =. Zaobserwować i podać związek iędzy długością sygnału N (lub czase trwania NT, gdzie T = s jest okrese próbkowania), a położenie iejsc zerowych wida. ZL3.3. Korzystając z skryptu tlu_cos. przeanalizować jak zienia się wido aplitudowe sygnału y = e -akt sin(πf kt) (dla k > ) w zależności od długości fragentu poddawanego analizie. Dla jakiej długości sygnału ożna przyjąć, że aproksyacja nueryczna jest dobry przybliżenie wida aplitudowego sygnału analogowego? Jak należy postępować, aby uzyskać dobre przybliżenie wida sygnału analogowego? Zwrócić uwagę na wykorzystanie funkcji fftshift i sposób skalowania osi odciętych. ZL3.4. Przeprowadzić analizę widową sygnału sinusoidalnego y = A sin(πf kt) spróbkowanego z częstotliwością f s = /T o paraetrach zaieszczonych w poniższej tabeli (ożna wykorzystać skrypt analiza_sin.). 3-

59 gr. f [Hz] A f s [Hz] a) wykorzystując funkcję fft wyznaczyć wido aplitudowe i fazowe dla fragentów sygnału o długości jednego i dziesięciu okresów sinusoidy, b) przesunąć w fazie przebieg sinusoidalny (np. o π/4, π/, 3π/) i zbadać wpływ tej operacji na wido aplitudowe i fazowe (.in. odczytać z wykresu wartość przesunięcia fazowego dla analizowanej haronicznej (np. przy użyciu przycisku Data Cursor ) i wyjaśnić jej związek z przebiegie czasowy); c) do sygnału y dodać składową stałą o wartości równej A a następnie -A, wyznaczyć wida aplitudowe i fazowe dla fragentu sygnału będącego całkowitą krotnością okresu sygnału; d) do sygnału y dodać składową o częstotliwości równej f i o aplitudzie,5a, wyznaczyć wida aplitudowe i fazowe dla fragentu sygnału będącego całkowitą krotnością okresu sygnału; e) wykonać analizę sygnału y dla kilku przypadków niepełnej liczby okresów (.in. jeden okres + jedna próbka,,5 okresu), f) do sygnału y dodać składową o częstotliwości równej,f i o aplitudzie A, wyznaczyć wida aplitudowe i fazowe dla fragentu sygnału o długości dziesięciu okresów sinusoidy a następnie o długości jednego okresu; g) sprawdzić jaki jest wpływ uzupełniania zerai analizowanego sygnału y na wyniki analizy, Założyć, że analizowany jest sygnał okresowy i wyznaczane wido aplitudowe szeregu Fouriera sygnału okresowego (DTFS) (rozdział 3..5). Przeprowadzone badania należy udokuentować rysunkai, w przypadku prezentacji wid oś odciętych wyskalować w hercach. Wyciągnąć wnioski i opracować w forie pisenego sprawozdania na następne zajęcia. Przykładowe rysunki ilustrujące przeprowadzoną analizę zaieszczono w załączniku Z Literatura [] J. A. Wojciechowski: Sygnały i systey. Warszawa 8. [] T. P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Warszawa 7. [3] J. Szabatin: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa. [4] A. Papoulis: Obwody i układy. Warszawa 988. [5] J. Nieznański: Sygnały i systey. Niepublikowane ateriały wykładowe. Gdańsk. [6] A. V. Oppenhei, R. W. Schaffer: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Warszawa 979. [7] C. T. Chen: Syste and Signal Analysis. Saunders College Publishing, USA 994. [8] E. Oziek: Podstawy teoretyczne analizy widowej sygnałów. Warszawa-Poznań

60 Załączniki: Z3.. Rysunki do zadania ZL3.4 okres sygnału sinusoidalnego okresów sygnału sinusoidalnego y(kt) Y()) /N arg(y()) czas [s] wido aplitudowe częstotliwość [Hz] wido fazowe (stopnie) - X= Y= -9 częstotliwość [Hz] y(kt) Y()) /N arg(y()) czas [s] wido aplitudowe częstotliwość [Hz] wido fazowe (stopnie) - X= Y= częstotliwość [Hz] Rys Sygnał sinusoidalny y=sin(πkt) oraz jego wido aplitudowe i fazowe dla jednego (po lewej) i dziesięciu (po prawej) pełnych okresów, T =.5s. okres sygnału sinusoidalnego 9 próbek sygnału sinusoidalnego y(kt) Y()) /N arg(y()) czas [s] wido aplitudowe częstotliwość [Hz] wido fazowe (stopnie) X= - Y= częstotliwość [Hz] y(kt) Y()) /N arg(y()) czas [s] wido aplitudowe częstotliwość [Hz] wido fazowe (stopnie) - X= Y= częstotliwość [Hz] Rys Sygnał sinusoidalny y=sin(πkt+π/4) oraz jego wido aplitudowe i fazowe dla jednego pełnego okresu (po lewej); 9 próbek sygnału sinusoidalnego y=sin(πkt) oraz jego wido aplitudowe i fazowe (po prawej), T =.5s. okres sygnału sinusoidalnego 4 próbek sygnału sinusoidalnego y(kt) Y()) /N arg(y()) czas [s] wido aplitudowe X= Y= częstotliwość [Hz] wido fazowe (stopnie) - X= Y= częstotliwość [Hz] y(kt) Y()) /N arg(y()) X=.86 czas [s] Y= wido aplitudowe częstotliwość [Hz] wido fazowe (stopnie) - X=.86 Y= częstotliwość [Hz] Rys próbek sygnału sinusoidalnego y=sin(πkt) oraz wido aplitudowe i fazowe (8 próbek) (po lewej); 4 próbek sygnału sinusoidalnego y=sin(πkt) oraz wido aplitudowe i fazowe (4 próbek) (po prawej), T =.5s 3-

61 4. Analiza widowa sygnałów 4.. Cel i zakres ćwiczenia Cele ćwiczenia jest nabycie praktycznych uiejętności analizy widowej sygnałów okresowych na przykładzie analizy napięć zasilających i prądów odbiorników nieliniowych. 4.. Podstawy teoretyczne 4... Haroniczne napięć i prądów Jedny z zastosowań analizy częstotliwościowej sygnałów w elektrotechnice jest ocena odkształceń napięć zasilających urządzeń oraz prądów przez nie pobieranych. Odkształcenia przebiegów napięć i prądów ogą być określane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Ze względu na trudności praktycznego określania różnic iędzy przebiegie sygnału analizowanego, a wzorcowy przebiegie sinusoidalny napięcia lub prądu etody określania odkształceń w dziedzinie czasu nie są w praktyce stosowane. Powszechnie natoiast zaakceptowano opis odkształcenia sygnału w dziedzinie częstotliwości wykorzystując do tego celu tzw. haroniczne sygnału. Polska nora [] definiuje haroniczną napięcia jako napięcie sinusoidalne, którego częstotliwość jest równa całkowitej krotności częstotliwości podstawowej napięcia zasilania. Tą definicję stosuje się także do składowych innych przebiegów okresowych występujących w elektrotechnice. Składowa o częstotliwości podstawowej nazywana jest podstawową haroniczną pozostałe haroniczne nazywane są wyższyi haronicznyi (wh). Wyższe haroniczne prądu generowane są przez odbiorniki o nieliniowej charakterystyce prądowo-napięciowej. Główne źródła haronicznych w systeie energetyczny to urządzenia elektroniczne i energoelektroniczne (przekształtniki energoelektroniczne), urządzenia z rdzeniai agnetycznyi (transforatory, silniki, generatory), urządzenia łukowe (spawarki, wyładowcze źródła światła, piece łukowe). Wyższe haroniczne prądu zasilającego odbiornik nieliniowy wywołują spadki napięć na ipedancji zastępczej sieci zasilania, które powodują odkształcenie napięcia w punktach sieci, do których przyłączane są inne odbiorniki ich działanie oże zostać zakłócone lub nawet unieożliwione. Dlatego wprowadzane są różne akty norujące i przepisy, które ograniczają wartość wyższych haronicznych prądu wprowadzanych do sieci zasilania przez pojedynczych odbiorców. W związku z ty istnieje potrzeba poiaru haronicznych i określania odkształceń napięć i prądów. Haroniczne obliczane są za poocą dyskretnej transforaty Fouriera i prezentowane w postaci wida aplitudowego i fazowego szeregu Fouriera (najczęściej haroniczne wyrażane są w procentach podstawowej haronicznej). Przy poiarze wida okresowego sygnału analogowego f(t) na początku wykonywana jest zazwyczaj filtracja dolnoprzepustowa ( antyaliasingowa ) sygnału f(t), która a usunąć z sygnału składowe o częstotliwościach niespełniających twierdzenia o próbkowaniu. Ponieważ fizycznie realizowalne filtry nie ają idealnej, prostokątnej charakterystyki widowej (równej jeden w paśie przepustowy i zero w paśie zaporowy), więc wido na wyjściu filtra różni się od wida sygnału 4-

62 oryginalnego. Jeśli wiadoo, że sygnał próbkowany a ograniczone paso częstotliwości i częstotliwość próbkowania jest odpowiednio dobrana lub dopuszczalne są niewielkie zniekształcenia wida, to filtr antyaliasingowy ożna poinąć. Następnie sygnał ciągły jest próbkowany przy użyciu przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C). Sygnał na wyjściu przetwornika A/C jest dyskretny w czasie i przyjuje wartości dyskretne, związane ze skończoną rozdzielczością przetwornika A/C (sygnał przyjuje wartości ze skończonego, dokładnie określonego zbioru liczb) Proces ten nazywany kwantyzacją wprowadza do sygnału szu, który jest widoczny również w widie. DFT wyznaczane jest jedynie dla fragentu sygnału, więc uzyskane wido F[] stanowią próbki DTFT wida będącego splote wida sygnału oryginalnego i funkcji okienkującej. W przypadku analizy haronicznych istotne jest, aby długość (czas trwania) fragentu analizowanego sygnału była całkowitą krotnością jego okresu, gdyż dzięki teu ożna wyeliinować lub w jak największy stopniu ograniczyć zjawisko przecieku wida. Częstotliwość próbkowania powinna być zate całkowitą krotnością częstotliwości podstawowej sygnału. Przy zapewnieniu synchronizacji próbkowania sygnału okresowego najczęściej przyjuje się prostokątną funkcję okienkującą, aby jak najdokładniej wyznaczyć wartości poszczególnych haronicznych, czyli analizie poddawany jest po prostu zarejestrowany fragent sygnału (inne funkcje okienkujące np. Hanninga, Hainga, Czebyszewa Kaisera, zniejszają wartości haronicznych). Więcej inforacji na teat poiaru haronicznych ożna znaleźć w [], [3]. W niniejszej instrukcji haroniczne napięć i prądów obliczane są w sposób bardzo uproszczony niezgodny z wieloa zaleceniai przedstawionyi w norach [], [3] (brane pod uwagę są tylko wartości DFT dla częstotliwości będących krotnościai podstawowej haronicznej, natoiast tzw. interharoniczne (składowe częstotliwościach zawartych poiędzy haronicznyi) nie są uwzględniane, synchronizacja częstotliwości próbkowania z okrese sygnału wykonywana jest na podstawie wzrokowej oceny przebiegu odkształconego w dziedzinie czasu i wiele innych uproszczeń). Mio przyjętych uproszczeń wyniki analizy uożliwiają oszacowanie odkształceń napięć i prądów i przybliżają zrozuienie probleu poiaru haronicznych. Zgodnie z [] haroniczne napięcia ogą być określone indywidualnie jako stosunek aplitudy haronicznej rzędu (U ) do aplitudy składowej podstawowej (U ) lub łącznie, przy użyciu tzw. współczynnika zawartości haronicznych THD (ang. Total Haronic Distortion) obliczonego na podstawie zależności: THD = 4 U % (4.) U = gdzie U oznacza aplitudę -tej haronicznej analizowanego sygnału. W noralnych warunkach pracy wartości haronicznych napięć nie powinny przekraczać wartości wyszczególnionych w tab. 4. []. Współczynnik zawartości haronicznych THD napięcia zasilającego (obliczany dla 4 haronicznych) nie powinien przekraczać 8% []. 4-

63 Tab. 4.. Dopuszczalne wartości wyższych haronicznych (wh) napięcia w sieciach niskiego napięcia wyrażone w procentach składowej podstawowej []. Rząd h Wartość h [%] , 7 9, 3, 5 parzyste od 6 do ,5 3,5 3,5,5, Analiza widowa sygnałów okresowych trójfazowych W układzie trójfazowy sygnały okresowe o wartościach rzeczywistych f A (t), f B (t) i f C (t) ożna przedstawić w postaci kosinusowych szeregów Fouriera: f ( t) = A + A cos( Ω t + ϕ ) (4.) A A A A = π fb ( t) = AB + AB cos Ωt + ϕ B (4.3) = 3 π fc ( t) = AC + AC cos Ωt + + ϕ C (4.4) = 3 W zależności od rzędu haronicznej występują różne przesunięcia fazowe haronicznych w poszczególnych fazach układu trójfazowego syetrycznego. Dla =, 4, 7,, ogólnie dla = 3n + (n =,,, ) układ wielkości fazowych tworzy układ syetryczny zgodny, w który wyższe haroniczne ają taką saą kolejność następowania faz jak haroniczne podstawowe tj. A-B-C np. dla czwartej haronicznej ( ) cos ( 4 ) f t = A Ω t (4.5) A4 A4 π π π fb4 ( t) = AB 4 cos 4Ωt 4 = AB 4 cos 4Ωt π = AB 4 cos 4Ω t (4.6) π π π fc4 ( t) = AC 4 cos 4Ωt + 4 = AC 4 cos 4Ωt + π + = AC 4 cos 4Ω t + (4.7) Dla =, 5, 8,, ogólnie dla = 3n + (n =,,, ) układ wielkości fazowych tworzy układ syetryczny przeciwny, w który następstwo faz wyższej haronicznej jest przeciwne (A-C-B) w stosunku do haronicznej podstawowej np. dla piątej haronicznej ( ) cos ( 5 ) f t = A Ω t (4.8) A5 A5 π π π fb5 ( t) = AB 5 cos 5Ωt 5 = AB 5 cos 5Ωt 4π + = AB 5 cos 5Ω t + (4.9) π π π fc5 ( t) = AC 5 cos 5Ωt + 5 = AC 5 cos 5Ωt + 4π = AC 5 cos 5Ω t (4.)

64 Dla = 3, 6, 9,, ogólnie dla = 3n (n =,,, ) układ wielkości fazowych tworzy układ syetryczny zerowy, w który haroniczne faz A, B, C są przesunięte o kąt π. ( ) cos ( 3 ) f t = A Ω t (4.) A3 A3 fb3 ( t) A 3cos π = B 3Ωt 3 = AB 3cos( 3Ωt π ) = AB 3cos( 3Ω t ) (4.) 3 fc3 ( t) A 3cos π = C 3Ωt + 3 = AC 3cos( 3Ωt + π ) = AC 3cos ( 3Ω t ) (4.3) 3 W syetryczny układzie odkształconych wielkości fazowych (prądów lub napięć) poszczególne haroniczne reprezentuje co najwyżej jeden układ syetryczny: zerowy, zgodny lub przeciwny. Trójfazowy układ reprezentowany wielkościai fazowyi oże być zastąpiony jedny wypadkowy wektore tzw. wektore przestrzenny. Jeśli dowolne wielości fazowe f A (t), f B (t), f C (t) spełniają warunek: f ( t) + f ( t) + f ( t) = (4.4) A B C to wektor przestrzenny zdefiniowany jest następująco: f ( t) = f ( t) + f ( t) e + f ( t) e 3 4 j π j π 3 3 A B C (4.5) Rys.. Wektor przestrzenny w układzie trójfazowy Sygnał f(t) jest sygnałe zespolony i oże być reprezentowany w różnych układach współrzędnych. Jeśli zostanie wprowadzony nieruchoy układ αβ taki, że oś α jest osią rzeczywistą i będzie pokrywała się z osią fazy A, a oś β jest osią urojoną, to ożna przedstawić f(t) jako f ( t) = fα ( t) + j fβ ( t) (4.6) 4-4

65 Wielkości układu trójfazowego ożna za poocą przekształcenia liniowego (tzw. przekształcenia Clarke) sprowadzić do układu ortogonalnego αβ: fα ( t) f A( t) 3 3 f ( t) ABC ( t) f ( t) fb ( t) αβ = Tf = β = 3 (4.7) f( t) f ( ) C t W układach trójfazowych trójprzewodowych (bez przewodu zerowego) dla przebiegów fazowych prądów jest spełniony warunek (4.4) więc składowa zerowa f (t) = i (t) jest równa zeru. W ty przypadku wektor przestrzenny f(t) reprezentuje całościowo sygnały fazowe. Jeżeli warunek (4.4) nie jest spełniony (np. dla układu połączeń w gwiazdę z przewode zerowy) wówczas należy uwzględnić składową zerową przy obliczaniu wartości chwilowych wielkości fazowych ponieważ wektor przestrzenny jej nie zawiera. f A( t) fα ( t) 3 fabc ( t) = T f ( t) fb ( t) f ( t) αβ = = 3 β (4.8) fc ( t) f( t) 3 Przebiegi napięć, prądów lub innych wielkości w układzie trójfazowy ogą być ogólnie odkształcone i niesyetryczne (aplitudy ogą być różne w poszczególnych fazach lub nie są przesunięte względe siebie co stopni). W niesyetryczny układzie trójfazowy odkształconych prądów lub napięć poszczególne haroniczne ogą być reprezentowane przez układy syetryczne zgodne i przeciwne Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai ZD4.. Przeanalizować skrypt haroniczne. dołączony do niniejszej instrukcji. Przeprowadzono w ni przykładową analizę napięć trójfazowych zasilających prostownik sześciopulsowy oraz prądów płynących w fazach zasilania prostownika. Napięcia i prądy fazowe zarejestrowano analizatore wida. Próbki napięć i prądów pobierane były jednocześnie w sześciu kanałach poiarowych z częstotliwością f s = 5kHz. Okna graficzne generowane przez skrypt haroniczne. zaieszczono w załączniku Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych ZL4.. Saodzielna analiza częstotliwościowa sygnałów okresowych wskazanych i dostarczonych przez prowadzącego zajęcia. Należy przygotować sprawozdanie, które będzie zawierać: 4-5

66 a. iiona i nazwiska osób wykonujących zadanie, datę odrobienia ćwiczenia i oddania sprawozdania, treść zadania b. rysunki, ewentualnie tabele przedstawiające wyniki analizy (np. analogicznie jak w skrypcie haroniczne.) c. wyznaczenie podstawowych paraetrów fragentu analizowanego sygnału: oc sygnału (obliczyć w dziedzinie czasu i częstotliwości, skorzystać z tw. Parsevala, zależność (.68)), wartość skuteczna (w dziedzinie czasu i częstotliwości), wartość średnia, wartość inialna i aksyalna, współczynnik THD (ang. Total Haronic Distortion) d. opatrzony koentarzai i uporządkowany -plik zawierający wyniki wszystkich obliczeń Literatura [] PN-EN 56:. Paraetry napięcia zasilającego w publicznych sieciach rozdzielczych. [] PN-EN 6-4-3:3. Kopatybilność elektroagnetyczna. Metody badań i poiarów. Metody poiaru jakości energii. [3] PN-EN 6-4-7:4. Kopatybilność elektroagnetyczna. Metody badań i poiarów. Ogólny przewodnik dotyczący poiarów haronicznych i interharonicznych oraz przyrządów poiarowych dla sieci zasilających i przyłączonych do nich urządzeń. [4] Hanzelka Z. Jakość energii elektrycznej. Część 4 Wyższe haroniczne napięć i prądów [online]. [dostęp: 4..]. Dostępny w Internecie: [5] Hanzelka. Jakość energii elektrycznej. Część 5 Wyższe haroniczne napięć i prądów (c.d.) [online]. [dostęp: 4..]. Dostępny w Internecie: 4-6

67 Załączniki: Z4.. Rysunki do zadania ZD Zarejestrowane przebiegi napięć fazowych ua ub uc [V] nuer próbki 5 5 Zarejestrowane przebiegi pradów fazowych prostownika 6-pulsowego ia ib ic [A] nuer próbki Rys. 4.. Okno graficzne. 4 3 Analizowany fragent napięć fazowych ua ub uc [V] nuer próbki 5 5 Analizowany fragent pradów fazowych prostownika 6-pulsowego ia ib ic [A] nuer próbki Rys. 4.. Okno graficzne. 4-7

68 4 Wido aplitudowe napięcia u a Wido fazowe napięcia u a 3 U a [V] φ a [ ] Wido aplitudowe napięcia u b Wido fazowe napięcia u b 3 U b [V] φ b [ ] Wido aplitudowe napięcia u c Wido fazowe napięcia u c 3 U c [V] φ c [ ] f [Hz] f [Hz] Rys Okno graficzne 3. 6 Wido aplitudowe prądu i a Wido fazowe prądu i a I a [A] 4 φ a [ ] Wido aplitudowe prądu i b Wido fazowe prądu i b I b [A] 4 φ b [ ] Wido aplitudowe prądu i c Wido fazowe prądu i c I c [A] 4 φ c [ ] f [Hz] f [Hz] Rys Okno graficzne

69 4 Haroniczne napięcia u a 3 U ha [V] Rząd haronicznej 4 Haroniczne napięcia u b 3 U hb [V] Rząd haronicznej Haroniczne napięcia u c 4 3 U hc [V] Rząd haronicznej Rys Okno graficzne 5. 6 Haroniczne prądu i a I ha [A] Rząd haronicznej 6 Haroniczne prądu i b I hb [A] Rząd haronicznej Haroniczne prądu i c 6 I hc [A] Rząd haronicznej Rys Okno graficzne

70 .5 Haroniczne napięcia u a wyrażone w procentach podstawowej haronicznej U ha / U a [%].5 THDu a =.48% Rząd haronicznej Haroniczne napięcia u b wyrażone w procentach podstawowej haronicznej.5 U hb / U b [%].5 THDu b =.66% Rząd haronicznej Haroniczne napięcia u c wyrażone w procentach podstawowej haronicznej.5 U hc / U c [%].5 THDu c =.46% Rząd haronicznej Rys Okno graficzne 7. I ha / I a [%] Haroniczne prądu i a wyrażone w procentach podstawowej haronicznej THDi a = 9.% Rząd haronicznej Haroniczne prądu i b wyrażone w procentach podstawowej haronicznej 8 I hb / I b [%] 6 4 THDi b = 95.84% Rząd haronicznej Haroniczne prądu i c wyrażone w procentach podstawowej haronicznej 8 I hc / I c [%] 6 4 THDi c = 9.78% Rząd haronicznej Rys Okno graficzne 8. 4-

71 4 Składowa u α u α [V] nuer próbki 4 Składowa u β u β [V] nuer próbki Składowa u u [V] nuer próbki Rys Okno graficzne 9. Składowa i α i α [V] nuer próbki Składowa i β i β [V] nuer próbki Składowa i. i [V] nuer próbki Rys. 4.. Okno graficzne. 4-

72 35 Wido aplitudowe wektora przestrzennego napięcia fazowego u U [V] Wido fazowe wektora przestrzennego napięcia fazowego u 5 5 φ u [ ] f [Hz] Rys. 4.. Okno graficzne. 6 Wido aplitudowe wektora przestrzennego prądu fazowego i 5 4 I [A] Wido fazowe wektora przestrzennego prądu fazowego i 5 5 φ i [ ] f [Hz] Rys. 4.. Okno graficzne. 4-

73 35 Haroniczne wektora przestrzenego napięcia u 3 5 U h [V] Rząd haronicznej 6 Haroniczne wektora przestrzenego prądu i 5 4 I h [V] Rząd haronicznej Rys Okno graficzne 3..4 Haroniczne wektora przestrzenego napięcia u wyrażone w procentach podstawowej haronicznej. U h / U [%] Rząd haronicznej 8 Haroniczne wektora przestrzenego prądu u wyrażone w procentach podstawowej haronicznej 7 6 U h / U [%] Rząd haronicznej Rys Okno graficzne

74 5. Dyskretne systey liniowe 5.. Cel i zakres ćwiczenia Cele ćwiczenia jest nabycie podstawowych uiejętności analizy stacjonarnych liniowych układów dyskretnych. 5.. Podstawy teoretyczne Dyskretny syste (układ) liniowy przetwarza dyskretny sygnał wejściowy x[k] (pobudzenie) w inny dyskretny sygnał wyjściowy y[k] (odpowiedź). Można to zapisać zwięźlej używając notacji x[ k] y[ k] (5.) Podstawowe właściwości dyskretnych systeów. Syste dyskretny jest przyczynowy jeśli jego wyjście w danej chwili zależy tylko od wartości wejściowych do tej chwili. Syste nieprzyczynowy potrafiłby przewidywać przyszłe wydarzenia. Mateatycznie ożna to ująć w sposób następujący: syste (5.) jest przyczynowy jeśli x[ k] y[ k], x[ k] y[ k] i x[ k] = x[ k] dla k k to y[ k] = y[ k] dla k k. Syste jest liniowy, gdy spełnia zasadę superpozycji. Jeśli x[ k] y[ k] oraz x[ k] y[ k], ax [ k] + bx [ k] ay [ k] + by [ k] odpowiedź układu liniowego na suę pobudzeń jest to suą odpowiedzi na poszczególne pobudzenia. Syste liniowy oże więc przetwarzać sygnał wejściowy tylko przy użyciu liniowych operacji na sygnałach dyskretnych: dodawania i nożenia próbek przez stałe. Układ (5.) jest stacjonarny, niezienny względe czasu (przesunięcia), jeśli na pobudzenie x[ k ] odpowiada sygnałe wyjściowy y[ k ], to na pobudzenie x[ k n] odpowiedzią jest y[ k n] dla dowolnej wartości n. Z własności tej wynika wniosek, że jeśli pobudziy układ niezienny w czasie sygnałe okresowy to odpowiedź usi być okresowa o ty say okresie. Na zajęciach będą rozpatrywane jednowejściowe i jednowyjściowe dyskretne stacjonarne układy liniowe, nazywane w skrócie LTI (ang. Linear Tie-Invariant). Równania różnicowe W wielu zagadnieniach człowiek spotyka się z sygnałai dyskretnyi i w sposób naturalny je przetwarza, np. ierzoną codziennie teperaturę powietrza x[k] uśrednia za okres siediu dni i w ten sposób wyznacza średnią teperaturę tygodniową y[k] [ ] ( / 7) ( [ ] [ ]... [ 6] ) y k = x k + x k + + x k (5.) Można byłoby również w uśredniać teperaturę w inny sposób, na podstawie wzoru [ ] (6 / 7) [ ] (/ 7) [ ] y k = y k + x k (5.3) 5-

75 W ty przypadku średnia teperatura tygodniowa jest wyznaczana na podstawie poprzedniej wartości sygnału wyjściowego, branego z wagą a = 6/7 i bieżącej wartości sygnału wejściowego przenożonej przez wartość -a = /7. W powyższy przykładzie pokazano dwie różne etody przetwarzania sygnałów. Sygnał y[k] określony wzore (5.) obliczany jest tylko na podstawie wartości wejściowych (bieżącej i poprzednich) i nie zależy w żaden sposób od wartości wyjściowych. Natoiast y[k] obliczany na podstawie (5.3) zależy od wartości wejściowej i poprzedniej (opóźnionej) wartości wyjściowej. Układ dyskretny określony zależnością (5.) jest tzw. układe o skończonej odpowiedzi ipulsowej, natoiast układ opisany zależnością (5.3) jest układe o nieskończonej odpowiedzi ipulsowej. Ogólnie wyjście dowolnego układu przyczynowego LTI oże być opisane następujący równanie różnicowy y M [ k] = b x[ k ] an y[ k n] = N n= (5.4) gdzie a n, b R są paraetrai układu. Równanie (5.4) ilustruje istotę przetwarzania sygnałów dyskretnych przez układy LTI, wyjście w chwili k oże być obliczone z wejścia w chwili k, M poprzednich wejść oraz N poprzednich wyjść. Odpowiedź ipulsowa i splot dyskretny. Jeżeli syste dyskretny zostanie pobudzony ipulse jednostkowy (delta Kroneckera) dla k = δ [ k] = (5.5) dla k to odpowiedź y[k] = h[k] na to pobudzenie, przy zerowych warunkach początkowych, nazywa się odpowiedzią ipulsową. Odpowiedź ipulsowa jest kopletny opise układu LTI, a różne dyskretne systey LTI ają różne odpowiedzi ipulsowe. Gdy znana jest odpowiedź ipulsowa układu LTI, to ożna obliczyć odpowiedź na dowolne pobudzenie x[k]. Jeśli układ zostanie pobudzony sygnałe x[k] = x[n]δ[k - n] (przesunięty o n próbek sygnałe delta Kroneckera przeskalowany przez wartość x[n], n (liczba całkowita) jest ustalone, natoiast k (liczba całkowita) oże zieniać się od - do + ), to odpowiedzią jest y[k] = x[n]h[k - n] (przesunięta o n próbek odpowiedź ipulsowa przeskalowaną przez wartość x[n]). Sygnał dyskretny x[k] ożna wyrazić jako suę przesuniętych ipulsów jednostkowych przeskalowanych przez wartość sygnału w chwili n, czyli x[n] x[ k] = x[ n] δ [ k n] (5.6) n= Jeśli układ LTI zostanie pobudzony sygnałe x[k], to w rezultacie otrzya się suę przeskalowanych odpowiedzi ipulsowych y[ k] = x[ n] h[ k n] = x[ k] * h[ k] (5.7) n= 5-

76 Równanie (5.7) określa splot dyskretny sygnału, więc odpowiedź układu dyskretnego LTI jest splote jego pobudzenia z odpowiedzią ipulsową układu. Równanie (5.7) oże być również zapisane w postaci y[ k] = h[ n] x[ k n] = h[ k] * x[ k] (5.8) n= Jeśli układ jest przyczynowy, to jego odpowiedź nie oże wyprzedzać pobudzenia, wówczas odpowiedź ipulsowa spełnia warunek h[k] = dla k <. Wzór (5.8) upraszcza się do postaci y[ k] = h[ n] x[ k n] (5.9) n= Pobudzenie zespolony sygnałe wykładniczy. Jeśli dyskretny układ LTI zostanie pobudzony zespolony sygnałe wykładniczy postaci k [ ] = k = ( jω ) k j ω = k, = π / x k z re r e ω f fs (5.) to odpowiedź, określona przez splot dyskretny (5.8), jest następująca ( k n) k n k [ ] = [ ] = [ ] = ( ) (5.) y k h n z z h n z z H z n= n= skąd widać, że odpowiedź systeu jest równa zespoloneu sygnałowi wykładniczeu z k ponożoneu przez liczbę zespoloną H(z) zależną od ziennej zespolonej z. Jeśli pobudzenie dyskretnego układu LTI zostanie wyrażone jako kobinacja liniowa zespolonych sygnałów wykładniczych z k k [ ] c z x k = (5.) = to otrzyuje się y k = c H z z (5.3) [ ] ( ) k = czyli odpowiedź również będzie wyrażona jako liniowa kobinacja tych saych zespolonych sygnałów wykładniczych. Dla pobudzenia będącego zespolony sygnałe wykładniczy o postaci [ ] = k = jωk, = π / x k z e ω f fs (5.4) odpowiedź, zgodnie z (5.8), będzie następująca ( ) ( ) [ ] [ ] j ω k n j ω k [ ] j ω n j ω k ( j ω = = = ) = j ω k ( j ω ) j ϕ ω y k h n e e h n e e H e e H e e [ ] n= jω y k = H ( e ) e ( ωk + ϕ ( ω )) j n= (5.5) (5.6) gdzie H(e jω ) jest transforatą Fouriera dyskretnej odpowiedzi ipulsowej. Odpowiedź jest również zespolony sygnałe wykładniczy o aplitudzie H(e jω ), przesunięty w fazie o 5-3

77 kąt ϕ(ω). Wartość odułu H(ω) decyduje więc o aplitudzie odpowiedzi, a arguent H(ω) o przesunięciu fazowy. Odpowiedź układu LTI na zespolone pobudzenie wykładnicze oże ieć inną od pobudzenia aplitudę i fazę, natoiast częstotliwość odpowiedzi pozostaje taka saa jak pobudzenia. Właściwość ta powoduje, że reprezentacja widowa sygnałów w postaci kobinacji liniowej zespolonych sygnałów wykładniczych a szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie systeów. Transforacja Z i transitancja układu dyskretnego Wygodny aparate ateatyczny stosowany w analizie układów dyskretnych jest transforacja Z, która ułatwia analizę równań różnicowych (5.4). W równaniu (5.) ieliśy już do czynienia z transforatą Z odpowiedzi ipulsowej systeu LTI określoną zależnością n H ( z) = h[ n] z (5.7) n= Funkcja z -k stanowi ogólną postać rozwiązania liniowych równań różnicowych (5.4). Dla z = e jω zależność (5.7) odpowiada transforacie Fouriera dyskretnej odpowiedzi ipulsowej układu. Dla dowolnego sygnału dyskretnego f[k] transforata Z jest zdefiniowana jako n F( z) = f [ n] z (5.8) n= która sygnałowi f[k] przyporządkowuje funkcję F(z) ziennej zespolonej z (f[k] F(z)). Dla ziennej z = e jω, przyjującej wartości z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, transforata Z jest równa transforacie Fouriera sygnału dyskretnego (oznaczanej jako F(e jω )). ω ω k ( ) [ ] ( ) [ ] F e = f k e = f k e j j jωk k= k= (5.9) A zate transforata Fouriera oże być interpretowana jako szczególny przypadek transforaty Z. Jedną z najważniejszych własności transforaty Z jest przesunięcie w dziedzinie czasu ( ) r f [ k r] z F z (5.) która uożliwia stosowanie transforaty Z w celu rozwiązywania równań różnicowych. Wyznaczony teraz zostanie związek iędzy transforatą Z sygnału wejściowego X(z) = Z{x[k]} i wyjściowego Y(z) = Z{y[k]} układu LTI przy zerowych warunkach początkowych y[k] =, k = -N,, -. Obie strony równania (5.4) poddano transforacji Z i otrzyano równanie algebraiczne M N M N ( ) { [ ]} { [ ]} n = n = ( ) n ( ) Y z b Z x k a Z y k n b z X z a z Y z (5.) = n= = n= Po uporządkowaniu uzyskano 5-4

78 Y N n ( z) an z = X ( z) n= M b = z (5.) Dzieląc obie strony przez X(z), otrzyano transitancję układu dyskretnego H(z) H ( z) Y = X M M ( z) = b + b z + b z + + bm z = = N N ( z) n= b a n z z n a + a z + a z + + a gdzie a =. Transitancja H(z) oże być również wyrażona w postaci ( ) H z ( ) ( ) ( zz )( zz )...( zm z ) ( )( )...( N ) Y z = = X z p z p z p z N z (5.3) (5.4) gdzie z i są zerai transitancji (zera wieloianu licznika), a p i są biegunai transitancji (zera wieloianu ianownika). Transforata Z ipulsu δ [ k] jest równa n ( z) { [ k] } [ k] z z = Z δ = δ = = (5.5) n= Wobec tego dla pobudzenia ipulsowego zachodzi ( z) ( z) H ( z) H ( z) Y = = (5.6) czyli transforata Z odpowiedzi ipulsowej jest równa transitancji układu. Charakterystyki częstotliwościowe Transitancja widowa (charakterystyka aplitudowo-fazowa) układu dyskretnego to transitancja dyskretna H(z) wyznaczana na okręgu jednostkowy (e jω ) płaszczyzny ziennej z jω ( ) H ( z) j H e = ω z= e (5.7) Jak pokazano na poniższy scheacie zależności (rys. 5.), transitancję widową ożna wyznaczyć również bezpośrednio z h[k], stosując przekształcenie Fouriera. Charakterystyką aplitudową układu dyskretnego nazywany jest oduł transitancji widowej jω ( ) = H ( e ) A ω (5.8) natoiast charakterystyką fazową układu dyskretnego arguent transitancji widowej jω ( ) = arg H ( e ) ϕ ω (5.9) Charakterystyka aplitudowa określa zianę aplitudy, a charakterystyka fazowa zianę fazy jaką wprowadza syste dyskretny w stanie ustalony przy pobudzeniu zespolony 5-5

79 sygnałe wykładniczy o postaci z = e jω. Paiętając, że sygnały sinusoidalne są reprezentowane przez zespolone sygnały wykładnicze powyższy wniosek dotyczy również rzeczywistych sygnałów sinusoidalnych. Pobudzając układ LTI sygnałe sinusoidalny o znanej aplitudzie (np. równej jeden), fazie i częstotliwości ożey wyznaczyć jeden punkt transitancji widowej dokonując poiaru aplitudy i przesunięcia fazowego sinusoidy na wyjściu układu. Dla innych częstotliwości pobudzenia ożna wyznaczyć kolejne punkty charakterystyk. h[ k] H z I( z) z j H e ω z : =e jω Re ( z) Rys. 5.. Zestawienie transforat odpowiedzi ipulsowej dla układów dyskretnych. Wnioski wynikające ze związków iędzy h[k], H(z) i H(e jω ). Wzocnienie stałoprądowe j ( ) = ( ) j = ( ) ω H e H z H (5.3) ω= z= e Ze wzoru na transitancję dyskretną wyznaczono H() H ( ) = b a + b z + a z + b z + a z + + b M + + a N z M z N = z = M = N n= b a n (5.3) Wzocnienie stałoprądowe jest równe stosunkowi su współczynników licznika i ianownika transitancji układu. Można również wyznaczyć H() traktując H(z) jako transforatę Z odpowiedzi ipulsowej h[k]. k H ( ) = h[ k] z = h[ k] (5.3) k= k= z = Wzocnienie stałoprądowe ożna więc również wyznaczać jako suę wszystkich eleentów odpowiedzi ipulsowej układu.. Pierwszy eleent odpowiedzi ipulsowej i skokowej h [ ] = li H ( z) z b = li z a + b z + a z + b + a z z + + b M + + a N z M z N = b a (5.33) 5-6

80 Ponieważ dyskretny skok jednostkowy q[k] dany zależnością dla k =,,,... q [ k] = (5.34) dla k < spełnia warunek [ ] [ ] dla q k = δ k k więc odpowiedź układu przyczynowego w chwili k = jest identyczna dla q[k] i δ[k]. Można tę obserwację uogólnić na dowolny sygnał wejściowy przyczynowy x[k] (przyjujący wartość dla k < ) y [ ] x[ ] b = (5.35) a 3. Wartość końcowa odpowiedzi skokowej li yq [ k] = li ( z ) Q( z) H ( z) = li z H z = li z H z k z z z z [ ] ( ) { } ( ) ( ) { ( )} li y k = H (5.36) k q a zate końcowa wartość odpowiedzi skokowej jest równa wzocnieniu stałoprądoweu układu. 4. Wzocnienie dla częstotliwości Nyquista jπ ( ) H ( ) H e = (5.37) a więc wzocnienie dla częstotliwości Nyquista ożna wyznaczyć jako H(-). Podstawiając - do zależności (5.3), otrzyujey b b + b b3 + H ( ) = (5.38) a a + a a + 3 Stabilność Liniowy układ dynaiczny jest stabilny, gdy jego odpowiedź na ograniczone pobudzenie x[ k ] M jest również ograniczona y[ k] M Układ liniowy jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź ipulsowa jest absolutnie suowalna, czyli k = [ k] < h (5.39) Z powyższego twierdzenia wynika, że dla układu stabilnego usi być jω ( e ) < H (5.4) ponieważ H jω jωk jωk ( e ) = h[ k] e h[ k] e = h[ k] k = k = k = (5.4) 5-7

81 Układ o transitancji dyskretnej H(z) jest stabilny, jeśli wszystkie bieguny transitancji znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie ziennej zespolonej z. Szczególne postacie transitancji. M =, N >. Transitancja a postać H ( z) = N a + a z + a z + + a N z (5.4) Odpowiedź ipulsowa układu o powyższej transitancji trwa nieskończenie długo, dlatego takie układy nazywa się układai o nieskończonej odpowiedzi ipulsowej, NOI (ang. infinite ipulse response (IIR); inne nazwy: all-pole filter, autoregressive (AR) filter).. M >, N =. Transitancja a postać H M ( z) = b + b z + b z + + b M z (5.43) Odpowiedź ipulsowa układu o powyższej transitancji a skończony czas trwania, dlatego takie układy nazywa się układai o skończonej odpowiedzi ipulsowej, SOI (ang. finite ipulse response (FIR); inne nazwy: all-zero filter, oving average (MA) filter). 3. M >, N >. Transitancja a postać pełną, jak w zależności (5.3). Odpowiedź ipulsowa układu a nieskończony czas trwania, a więc jest to układ typu IIR (nazywany też pole-zero filter, autoregressive oving average (ARMA) filter). Podstawowe inforacje o filtrach Dyskretne układy LTI przetwarzają sygnały wejściowe x[k] na wyjściowe y[k]. Ich działanie ożna opisywać w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Cele przetwarzania sygnałów jest kształtowanie odpowiedzi układu o określonych paraetrach, które są najczęściej definiowane w dziedzinie częstotliwości. Proces ten nazywany jest filtracją cyfrową a układy, realizujące go nazywane są filtrai cyfrowyi. Głównyi zadaniai filtrów cyfrowych są rozdzielanie sygnałów (np. sygnału użytecznego od zakłóceń i szuów) oraz odtwarzanie sygnałów zniekształconych (np. słabej jakości nagrań uzycznych). Działanie filtru, w dziedzinie częstotliwości, anifestuje się zianą wida pobudzenia X(e jω ) na wido odpowiedzi Y(e jω ) co ożna zapisać w następujący sposób arg( ( )) arg( ( )) arg( j ω j ω j Y e j H e j X ( e j ω ω ω ω )) Y e e = H e e X e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) arg( arg Y e j arg H e j X ( e j ) ) jω j j Y e e ω ω ω + = H e X e e ω ω ( ) ( ) skąd, biorąc pod uwagę (5.8) i (5.9) otrzyuje się ( j ω ) ( j ω ) ( j ω = ) = ( ) ( j ω ) (5.44) (5.45) Y e H e X e A ω X e (5.46) arg ( ( j ω jω Y e )) = ϕ ( ) + arg ( X ( e )) ω (5.47) 5-8

82 Wyagania częstotliwościowe filtru określa się zazwyczaj dla charakterystyki aplitudowej A(ω). Ze względu na zakres (paso) przenoszonych częstotliwości wyróżnia się cztery główne typy filtrów: dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasowoprzepustowy i pasowozaporowy, których zadanie jest przepuszczenie niezienionych sygnałów w pewny zakresie częstotliwości tzw. paśie przepustowy i całkowite stłuienie w inny zakresie częstotliwości paśie zaporowy. Zakres częstotliwości iędzy pase przepustowy i zaporowy nazywany jest pase przejściowy. Częstotliwość na granicy pasa przejściowego i zaporowego nazywana jest częstotliwością odcięcia (graniczną) f c i jest najczęściej określana jako częstotliwość, dla której wartość odpowiedzi spada do / wartości aksyalnej odpowiedzi w paśie przepustowy. / a) filtr dolnoprzepustowy c) filtr pasowoprzepustowy A( ) paso przepustowe paso przejściowe paso zaporowe A( ) f c f s / f f s / b) filtr górnoprzepustowy d) filtr pasowozaporowy A( ) A( ) f f s / f f s / f Rys. 5.. Poglądowe charakterystyki czterech głównych typów filtrów. P5.. Filtr FIR. Filtry tego typu ożna przedstawić za poocą struktury jak na rys Filtry ające taką strukturę nazywane są czase filtrai poprzecznyi (ang. transversal filters). Cechą charakterystyczną takiej struktury jest linia opóźniająca złożona z szeregowego połączenia członów opóźniających o transitancji z - (ang. unit delay eleents). Linia opóźniająca posiada odczepy (taps), za poocą których sygnał wejściowy i jego opóźnione próbki doprowadzone są do odpowiednich nożników b ; dla linii złożonej z M członów opóźniających jest M+ odczepów. Równanie różnicowe powyższego filtru łatwo odczytać wprost ze scheatu: [ k] = b x[ k] + b x[ k ] + b x[ k ] + b x[ k 3] y (5.48) 3 Transforując obie strony (5.48) za poocą transforacji Z (przy założeniu zerowych warunków początkowych) 5-9

83 Y 3 ( z) = b X ( z) + b z X ( z) + b z X ( z) + b z X ( z) 3 (5.49) i dzieląc obie strony przez X(z), otrzyano następującą transitancję filtru ( z) ( z) Y 3 H ( z) = = b + b z + b z + b3 z (5.5) X zgodną z ogólną postacią (5.43) transitancji filtru FIR. x[k] x[k-] x[k-] x[k-3] z - z - z - b b b b Rys Przykład prostego filtru FIR. Załóży, że rozważany filtr jest zrelaksowany (a zerowe warunki początkowe) w chwili k = (czyli x[k-] = x[k-] = x[k-3] = ) i zostaje pobudzony ipulse δ[k] (czyli x[] = ). Odpowiedź w pierwszy kroku jest następująca [ ] = b x[ ] + b x[ ] + b x[ ] + b3 x[ 3] b y = W kolejny takcie działania filtru (k = ) [ ] = b x[ ] + b x[ ] + b x[ ] + b3 x[ ] = b x[ ] b y = Dla k = [ ] = b x[ ] + b x[ ] + b x[ ] + b3 x[ ] = b x[ ] b y = Dla k = 3 [ 3] = b x[ 3] + b x[ ] + b x[ ] + b3 x[ ] = b3 x[ ] b3 y = Dla k > 3, x[k] = x[k-] = x[k-] = x[k-3] =, a więc na wszystkich odczepach linii opóźniającej występują wartości zerowe, wobec czego również y[k] =. Łatwo zauważyć, że odpowiedź ipulsowa tego typu filtru jest po prostu sekwencją liczb b, b,, b M,,,. Liczba niezerowych eleentów w odpowiedzi ipulsowej jest równa M+, a zate jest to liczba skończona. Najprostszy wariante filtru FIR jest filtr o wszystkich współczynnikach b jednakowych, czyli b = b =... = bm = (5.5) M + y[k] 5-

84 Można zauważyć, że sua wartości powyższych współczynników jest równa jedności, czyli filtr o takich współczynnikach a wzocnienie stałoprądowe równe. Tego rodzaju filtr wyznacza po prostu średnią arytetyczną z M+ ostatnich wartości sygnału wejściowego. Filtr FIR o jednakowych współczynnikach jest przediote analizy w zadaniu ZL5.. P5.. Filtr IIR pierwszego rzędu Filtr pierwszego rzędu o nieskończonej odpowiedzi ipulsowej, krótko oówiony na początku instrukcji, jest zdefiniowany równanie: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] y k = a y k + b x k = a y k + a x k, a < (5.5) Zwiększanie paraetru a powoduje zniejszenie udziału pobudzenia i doinację poprzedniego stanu wyjścia. Filtr reprezentowany jest za poocą scheatu blokowego pokazanego na rys Rys Przykład filtru IIR pierwszego rzędu. W celu wyznaczenia transitancji filtru obliczono transforaty Z obu stron równania (5.5) (przy założeniu zerowych warunków początkowych) ( ) ( ) ( ) ( ) Y z = a z Y z + a X z (5.53) ( a z ) Y ( z) ( a) X ( z) = (5.54) Następnie podzielono obie strony przez X(z) i otrzyano ( ) H z ( ) a ( ) a z Y z = = X z (5.55) Przyjęto założenie, że rozważany filtr a zerowe warunki początkowe w chwili k = (czyli y[k-] = ) i zostaje pobudzony ipulse δ[k] (czyli x[] = ). Kolejne wartości odpowiedzi ipulsowej wyznaczono etodą rekurencyjną [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) y = a y + a x = a = a W kolejny takcie działania filtru (k = ) [ ] = [ ] + ( ) [ ] = ( ) + ( ) = ( ) y a y a x a a a a a Dla k = 5-

85 [ ] = [ ] + ( ) [ ] = ( ) + ( ) = ( ) y a y a x a a a a a a Dla k = 3 3 [ 3] = [ ] + ( ) [ 3] = ( ) + ( ) = ( ) y a y a x a a a a a a Ogólnie dla k =,,, otrzyuje się k [ ] ( ) y k = a a (5.56) Czas trwania odpowiedzi filtru IIR jest więc nieskończenie długi. Filtr IIR o postaci (5.5) jest również analizowany w trakcie zajęć laboratoryjnych Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai ZD5.. Zastanowić się w jaki sposób wyznaczyć charakterystyki aplitudową i fazową układu LTI (analogowego lub dyskretnego) ając ożliwość wyuszania pobudzeń sinusoidalnych o dowolnie nastawianej aplitudzie i częstotliwości (zastanowić się nad wyznaczenie przesunięcia fazowego na podstawie poiaru opóźnienia iędzy przebiegie wejściowy i wyjściowy). ZD5.. Zastanowić się nad rozwiązanie zadania ZL Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych ZL5.. Używając skryptu noi_sin. należy wygenerować i zaobserwować odpowiedzi układu dyskretnego jednobiegunowego filtru IIR, na pobudzenia sinusoidalne. Filtr IIR o częstotliwości odcięcia f c = Hz pobudzany jest dyskretnyi kosinusoidai o zerowej fazie początkowej, aplitudzie równej jeden i częstotliwościach: Hz, Hz, Hz, 5 Hz, Hz i Hz. Przy użyciu funkcji filter realizowana jest filtracja okresów każdego sygnału wejściowego przez jednobiegunowy filtr IIR. Następnie za poocą funkcji fft wyznaczana jest wartość aplitudy i fazy sygnału wyjściowego, na podstawie jednego, ostatniego okresu odpowiedzi. Przy użyciu funkcji freqz wyznaczane są charakterystyki aplitudowa i fazowa filtru. Obliczone wartości aplitud i faz są naniesione na charakterystykę aplitudową i fazową filtru. Na podstawie analizy przebiegów czasowych należy określić wartość aplitudy odpowiedzi oraz przesunięcie fazowe poiędzy sygnałe wejściowy a wyjściowy (dla dwóch wybranych pobudzeń, np. Hz i Hz). Wyniki porównać z charakterystykai częstotliwościowyi filtru i wynikai analizy widowej sygnałów wyjściowych. Wszystkie uzyskane przebiegi i charakterystyki należy zapisać. ZL5.. Wykorzystując skrypt charakterystyki. należy zaobserwować odpowiedzi filtrów dolnoprzepustowych FIR i IIR na wybrane sygnały wejściowe oraz ich charakterystyki aplitudowe i fazowe wyznaczone trzea różnyi etodai: jako transforaty Fouriera dyskretnych odpowiedzi ipulsowych, na podstawie transitancji Z, z wykorzystanie funkcji freqz środowiska Matlab. Charakterystyki częstotliwościowe wykreślono w skali 5-

86 liniowej i decybelowej. Filtr o skończonej odpowiedzi ipulsowej zawiera 9 współczynników o takich saych wartościach b = /9; natoiast filtr IIR a współczynniki tak dobrane, aby jego częstotliwość graniczna była zbliżona do filtru FIR. Wszystkie uzyskane przebiegi i charakterystyki należy zapisać. Zienić długości odpowiedzi ipulsowej filtrów z N = 4 na N = 8. Jaki wpływ a ta ziana na charakterystyki częstotliwościowe filtrów wyznaczane na podstawie transforaty Fouriera odpowiedzi ipulsowej? Zodyfikować sygnały filtrowane (zienić pozio szuu dodawanego do sygnału, paraetry filtrowanych sinusoid) i zaobserwować rezultaty. W końcowej części skryptu wykorzystano graficzny interfejs użytkownika fvtool (ang. Filter Visualization Tool) przeznaczony do analizy filtrów cyfrowych. Uożliwia on.in. analizę charakterystyk częstotliwościowych i czasowych układów dyskretnych. Należy zapoznać się z podstawowyi funkcjai tego interfejsu (użyć przycisków uieszczonych na pasku narzędziowy wyświetlenie charakterystyk czasowych: ipulsowej i skokowej oraz częstotliwościowych: aplitudowej i fazowej, położenia zer i biegunów na płaszczyźnie ziennej zespolonej z). Porównać charakterystyki uzyskane za poocą narzędzia fvtool z uzyskanyi poprzednio. ZL5.3. Przy użyciu funkcji noi_b(a) należy zaobserwować ziany w charakterystykach czasowych (odpowiedź ipulsowa i skokowa), częstotliwościowych (charakterystyka aplitudowa i fazowa) i położeniu biegunów i zer na płaszczyźnie zespolonej w zależności od wartości położenia bieguna a jednobiegunowego filtru IIR z zadania ZL5.. Analizę przeprowadzić dla kilku wartości paraetru a np.,,,8, -,, -,8, dla których filtr będzie stabilny i a =,, a = -,, dla których stabilny nie będzie. Otrzyane charakterystyki aplitudowe i fazowe, odpowiedzi ipulsowe i skokowe oraz położenie zer i biegunów zapisać. W jaki sposób wartość bieguna filtru wpływa na charakterystyki częstotliwościowe i czasowe układu. ZL5.4. Filtrację sygnału za poocą filtru FIR z zadania ZL5. ożna zrealizować za poocą bardzo szybkiego algorytu rekurencyjnego tzw. średniej kroczącej (ruchoej). Algoryt zostanie wyjaśniony na przykładzie pięciopunktowego filtru. Dwie sąsiednie próbki odpowiedzi ogą być obliczane w sposób następujący: q[ k ] = x[ k ] + x[ k ] + x[ k 3] + x[ k 4] + x[ k 5] y[ k ] = q[ k ]. (5.57) q[ k] = x[ k] + x[ k ] + x[ k ] + x[ k 3] + x[ k 4] y[ k] = q[ k]. (5.58) Wartość q[k] różni się od q[k-] ty, że do suy x[ k ] + x[ k ] + x[ k 3] + x[ k 4] dodano x[k] i odjęto x[k-5]. Można więc y[k] obliczyć w sposób następujący q[ k] = x[ k] + q[ k ] x[ k 5] y[ k] = q[ k]. (5.59) Ogólnie dla średniej ruchoej o dowolnej liczbie współczynników N wartość y[k] ożna obliczyć w sposób następujący 5-3

87 q[ k] = x[ k] + q[ k ] x[ k N ] y[ k] = q[ k] (/ N ) (5.6) Podczas obliczania q[k], wartości q[k-] oraz x[k-n] powinny być dostępne jako wartości wyliczone w przeszłości. Wyznaczanie q[k] polega więc na dodaniu nowej wartości x[k] do q[k-] i odjęciu x[k-n]. Każda nowa wartość x[k] staje się po N taktach wartością najstarszą x[k-n], a więc jest potrzebna nie tylko w bieżący rachunku, lecz będzie potrzebna również w przyszły. Dlatego warto zapaiętywać kolejno wartości x[ ] w buforze cykliczny o długości N (rys. 5.5). W przypadku realizacji w czasie rzeczywisty nie używa się jawnego indeksowania czasu, więc wygodnie zaiast k-n stosować sybol oznaczający ogólnie najstarszą wartość zapaiętaną w buforze, np. x[oldest_tie]. Załóży, że aktualny adres w buforze wskazuje właśnie na tą najstarszą wartość. Traktując ten adres jako indeks w tablicy (wektorze) wartości cirbuff, ożna najstarszą wartość odczytywać jako cirbuff(cirbuff_address). Rachunek średniej ruchoej w dany takcie oże przebiegać następująco:. pobierz nową wartość x_new (np. nowa próbka sygnału z przetwornika analogowocyfrowego);. wyznacz q = q + x_new - cirbuff(cirbuff_address); 3. zapisz x_new do cirbuff(cirbuff_address); 4. aktualizuj adres (z redukcją odulo N); 5. wyznacz y = q/n; 6. powrót to punktu. Rys Ilustracja idei bufora cyklicznego. W celu realizacji zadania ożna skorzystać z następującego szkieletu funkcji: function y=srednia_ruchoa(n,x) 5-4

88 %Srednia ruchoa sygnału x % N jest okrese uśredniania, ilością wspolczynnikow filtru % x jest sygnale analizowany % y jest wartością sredniej sygnalu x za okres N q=; % wartosc poczatkowa suy q M=length(x); cirbuff=zeros(,n); % bufor cykliczny cirbuff_address=; % adres bufora cyklicznego for k=:m- x_new =x(k+); %(k+) ze względu na indeksowanie w Matlab q = y(k+)=q/n; end Należy zaproponować sygnały testowe x i sprawdzić działanie opracowanej funkcji Literatura [] J. A. Wojciechowski: Sygnały i systey. Warszawa 8. [] T. P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Warszawa 7. [3] J. Nieznański: Sygnały i systey. Niepublikowane ateriały wykładowe. Gdańsk. [4] A. V. Oppenhei, A. S. Wilsky, S. H. Nawab: Signal and systes nd ed.. Upper Saddle River, New Jersey

89 6. Filtry o nieskończonej odpowiedzi ipulsowej 6.. Cel i zakres ćwiczenia Cele ćwiczenia jest projektowanie i badanie filtrów cyfrowych zaprojektowanych etodą transforacji filtrów analogowych oraz analiza związków iędzy układai analogowyi i cyfrowyi dla różnych etod dyskretyzacji układów analogowych. 6.. Podstawy projektowania rekursywnych filtrów cyfrowych 6... Metoda niezienności odpowiedzi czasowej Niech H(s) oznacza transitancję filtru analogowego, który a stanowić prototyp filtru cyfrowego. Filtr ten odpowiada sygnałe wyjściowy y(t) na wejście x(t). Filtr cyfrowy zachowujący odpowiedź czasową prototypu analogowego powinien odpowiadać sygnałe y[k] na wejście x[k], gdzie x y [ k] x( t) t = kt = (6.) [ k] y( t) t = kt = (6.) Transitancję filtru cyfrowego wyznacza się jako stosunek transforat Z sygnałów zdefiniowanych zależnościai (6.) i (6.), czyli { y[ k] } { x[ k] } Z Y H ( z) = = Z X ( z) ( z) (6.3) Dla różnych pobudzeń x(t) otrzyuje się różne projekty filtrów cyfrowych odpowiadających teu saeu prototypowi H(s). Najczęściej zakłada się, że x(t) jest pobudzenie ipulsowy, tj. x(t) = δ(t). W ty przypadku ay do czynienia z etodą niezienności odpowiedzi ipulsowej (ang. ipulse invariant design). Czase zakłada się, że x(t) jest pobudzenie skokowy, czyli x(t) = q(t) i wówczas ay do czynienia z etodą niezienności odpowiedzi skokowej (ang. step invariant design). W etodzie niezienności odpowiedzi skokowej jako dyskretną wersję q(t) przyjuje się dyskretny skok jednostkowy q[k], którego transforata Z jest równa Q ( z) = (6.4) z Innyi słowy, powyższa transforata stanowi ianownik transitancji filtru cyfrowego projektowanego etodą niezienności odpowiedzi skokowej. Podsuowując, zastosowanie etody niezienności odpowiedzi skokowej sprowadza się do wyznaczenia transitancji filtru cyfrowego zgodnie z następującą forułą H q ( z) = ( z ) Y ( z) (6.5) q 6-

90 W przypadku pobudzenia ipulsowego zwykle przyjuje się, że ipuls δ(t) podlega zastąpieniu ipulse δ[k], więc ianownik transitancji filtru cyfrowego projektowanego etodą niezienności odpowiedzi ipulsowej jest równy jedności. Takie podejście prowadzi jednak do wyniku, który trudno uznać za poprawny, więc proponuje się pewną korektę, polegającą na wynożeniu uzyskanej transitancji przez okres próbkowania T. Zastosowanie etody niezienności odpowiedzi ipulsowej sprowadza się do wyznaczenia transitancji filtru cyfrowego zgodnie z następującą forułą H ( z) T Y ( z) = (6.6) Uwaga: W wielu źródłach poija się czynnik T w przepisie na projekt filtru etodą niezienności odpowiedzi ipulsowej. W szczególności warto zauważyć, że funkcja ipinvar w środowisku Matlab wyznacza paraetry filtru cyfrowego według foruły H z = Y z ; w przypadku korzystania z tej funkcji zaleca się odpowiednią korektę. ( ) ( ) P6.. Transforacja filtru analogowego etodą niezienności odpowiedzi czasowej Załóży transitancję prototypu analogowego postaci ( ) H s ( ) ( ) Y s / τ = = = X s + sτ s + / τ (6.7) Transitancję o powyższej postaci a na przykład dolnoprzepustowy filtr RC o scheacie przedstawiony na poniższy rysunku. Rys. 6.. Filtr RC i jego scheat blokowy. Odpowiedź ipulsowa filtru jest wyrażona następującą zależnością (τ = R C): t τ u δ ( t) = h( t) = e (6.8) τ a odpowiedź skokowa: u τ ( t) = e t q (6.9) Metoda niezienności odpowiedzi ipulsowej x t = δ t ay X(s) =, czyli Dla ( ) ( ) / τ Y ( s) = H( s) = (6.) s + / τ Odwrotna transforacja Laplace a powyższego wyrażenia prowadzi do 6-

91 y τ t ( t) = h( t) = e τ Próbkując powyższy sygnał otrzyano (6.) y oraz kt [ k] e τ = (6.) τ Y τ kt τ ( z) = e τ k z = e τ z = T / τ T τ k= k= Korzystając z (6.6) otrzyano ( ) = ( ) = = H z T Y z T / τ T b τ e z a z k e z (6.3) (6.4) gdzie: b = T / τ, a = e T / τ. Warto podkreślić, że wynożenie Y ( z) przez T prowadzi do sytuacji, w której stała czasowa filtru analogowego τ jest wszędzie znoralizowana przez odniesienie do okresu próbkowania T (tak właśnie powinno być w przypadku prawidłowo zaprojektowanego filtru cyfrowego). Rys. 6.. Struktura filtru cyfrowego zaprojektowanego etodą niezienności odpowiedzi ipulsowej. Metoda niezienności odpowiedzi skokowej x t = q t ay X(s) = Q(s) = /s, czyli Dla ( ) ( ) Y q ( s) = Q( s) H( s) / τ = = s s + / τ A s B + s + / τ Wartość A ożna obliczyć nożąc obie strony ostatniej równości przez s i podstawiając s=. Otrzyano A=. Wartość B wyznaczono nożąc obie strony ostatniej równości przez (s+/τ) i podstawiając s=-/τ). Otrzyano B=-. A zate Y q ( s) = (6.5) s s + /τ 6-3

92 Uwzględniając fakt, że odwrotną transforatą Laplace a wyrazu /s jest skok jednostkowy q(t), zaś odwrotną transforatą Laplace a wyrazu /(s+/τ) jest sygnał wykładniczy ożna dojść do wniosku, że dyskretna wersja y q (t) a postać y q kt [ k] q[ k] e τ a zate t /τ e, = (6.6) Y q ( z) = T / τ z e z Podstawiając (6.7) do (6.5), otrzyano T ( ) e z b z / τ q ( ) = ( ) q ( ) = = T / τ e z a z H z z Y z (6.7) (6.8) T / gdzie: b =, b = e τ, a = a = e T / τ Rys Struktura filtru cyfrowego zaprojektowanego etodą niezienności odpowiedzi skokowej Metody oparte na całkowaniu nueryczny Rozpatrzony zostanie idealny analogowy układ całkujący, którego odel ateatyczny zapisany w postaci równań różniczkowych jest następujący dy = dt x( t) a transitancja Laplace a H ( s) ( s) = ( s) s (6.9) Y = (6.) X Model analogowego układu całkującego (a także dowolnego układu ciągłego), ożna przekształcić w odel opisany równaniai różnicowyi, wykorzystując etody przybliżonego całkowania nuerycznego. Proces ten nazywany dyskretyzacją, należy tak przeprowadzić, aby układ dyskretny iał zbliżone do układu analogowego właściwości dynaiczne. Rozwiązanie analityczne równania (6.9) (sygnał wyjściowy idealnego integratora) oże być wyrażone jako 6-4

93 t t ( t) = y( t ) + x( τ ) dτ y (6.) gdzie: t oznacza chwilę początkową, t czas bieżący, a τ zienną całkowania. W podejściu nueryczny interesujące jest określenie rozwiązania w jedny kroku czasowy T. Warunkie początkowy dla następnego, (k+) kroku, jest rozwiązanie obliczone w kroku poprzedni (k). Rozwiązanie (6.) dla kt < t < (k+)t ożna przedstawić następująco y ( k+ ) T ( kt T ) = y( kt ) + x( t)dt + (6.) kt Zastępując pole pod krzywą x(t) pole prostokąta lub trapezu dla przedziału czasu o szerokości T otrzyujey przybliżenia (aproksyacje) rozwiązania (6.). Poniżej zostaną krótko przedstawione trzy najpopularniejsze i najprostsze etody przybliżonego całkowania. Metoda Eulera w przód (algoryt ekstrapolacyjny, różnice zstępujące) Rozwiązanie (6.) jest aproksyowane następująco y ( kt + T ) = y ( kt ) + Tx( kt ) (6.3) ( z) Y ( z) TX (z) zy = (6.4) ( z) T z H = = T = H ( s) z = (6.5) s= z z T z s z s= T z Ogólnie, aby transforować układ ciągły w dyskretny etodą Eulera w przód należy dokonać podstawienia: ( z) H = H ( s) (6.6) z s= T z Metoda Eulera wstecz (algoryt interpolacyjny, różnice wstępujące) ( kt T ) = y( kt ) + Tx( kt T ) y + + (6.7) ( z) Y ( z) ztx (z) zy = (6.8) zt H ( z) = = T (6.9) z z Ogólnie: ( z) = H ( s) s= ( z ) H (6.3) T Metoda trapezów (transforacja biliniowa) y x( kt + T) + x( kt) + + T (6.3) ( kt T ) = y( kt) 6-5

94 T zy ( z) Y( z) = ( + z) X ( z) (6.3) T z + T + z H ( z) = = (6.33) z z Ogólnie: ( ) ( ) z H z = H s (6.34) s= T z + Odwzorowanie płaszczyzny zespolonej operatora s na płaszczyznę operatora z. Każda z wyienionych aproksyacji rozwiązania równania różniczkowego oże być rozpatrywana jako odwzorowanie płaszczyzny zespolonej operatora s na płaszczyznę zespoloną operatora z. Metoda Eulera w przód z s = z = + st Tz (6.35) Oś urojona płaszczyzny zespolonej operatora s opisana równanie s = jω, która stanowi granicę obszaru stabilności, transforuje się w dziedzinę z następująco s Ω jarctg( ΩT ) = j z = + jωt = + ( ΩT ) e (6.36) Jest to równanie prostej z =, równoległej do osi pionowej. jω z = z e (6.37) czyli z = + ( ΩT ) (6.38) ω = arctg( Ω T) - nieliniowa transforacja częstotliwości (6.39) Bieguny układu ciągłego położone w lewej półpłaszczyźnie ziennej s transforują się w obszar ziennej z położony na lewo od prostej o równaniu z =. Transforacja powyższa nie gwarantuje stabilności układu cyfrowego po transforacji. Rys Odwzorowanie płaszczyzny s na płaszczyznę z w przypadku transforacji układu ciągłego w dyskretny etodą Eulera w przód. 6-6

95 Metoda Eulera wstecz z s = T Jeśli z = st (6.4) jarctg( ΩT ) ( ΩT ) e ( ) jarctg( ΩT ) ΩT e + jωt + s = jω z = = + = + (6.4) jωt jωt + j [ ] arctg( Ω + e ) T z = (6.4) Jest to równanie koła o środku w punkcie ½ i proieniu równy ½. z = czyli z e jω = + jarctg( ΩT ) jarctg( ΩT ) ( ΩT ) e + ( ΩT ) = e (6.43) z = (6.44) + ( ΩT ) ω = arctg( Ω T) - nieliniowa transforacja częstotliwości (6.45) Bieguny układu ciągłego położone w lewej półpłaszczyźnie ziennej s transforują się do wnętrza koła o środku w punkcie ½ i proieniu równy ½. Transforacja powyższa zapewnia zate stabilność układu cyfrowego po transforacji. Rys Odwzorowanie płaszczyzny s na płaszczyznę z w przypadku transforacji układu ciągłego w dyskretny etodą Eulera wstecz. Transforacja biliniowa s z T + z = Jeśli T + s z = T s (6.46) 6-7

96 ΩT jarctg T ΩT + jω + e s = jω z = = (6.47) T ΩT Ω jarctg jω T + e z = z e jω = e ΩT jarctg (6.48) czyli z = (6.49) ΩT ω = arctg - nieliniowa transforacja częstotliwości (6.5) Bieguny układu ciągłego położone w lewej półpłaszczyźnie ziennej s transforują się do wnętrza koła o środku w punkcie i proieniu równy. Rys Odwzorowanie płaszczyzny s na płaszczyznę z w przypadku transforacji układu ciągłego w dyskretny etodą transforacji biliniowej. Transforacja powyższa zapewnia stabilność układu cyfrowego po transforacji. ΩT Dla ω = arctg ay H ( e jω ) = H( jω) (6.5) więc dla transforacji biliniowej zachodzi równość transitancji widowych dla odpowiadających sobie częstotliwości. Gdy H ( jω) dla Ω, to H( e jω ) = dla ω = π. Zniekształcenie częstotliwości (frequency warping) ΩT ω = arctg Ω= ω tg T (6.5) Pulsacja układu ciągłego Ω jest funkcją nieliniową pulsacji układu dyskretnego ω, czyli występuje zniekształcenie skali częstotliwości. Jeśli należy zaprojektować filtr cyfrowy np. dolnoprzepustowy o częstotliwości granicznej ω c na podstawie analogowego prototypu o częstotliwości Ω c = ω c / T, to po transforacji częstotliwość graniczna zaprojektowanego filtru ω c będzie niejsza od pożądanej ω c < ω c. 6-8

97 Aby tego uniknąć należy wyznaczyć pulsację graniczną prototypu filtra analogowego zgodnie ze wzore Ω c c ω = tg T (6.53) a następnie zaprojektować filtr analogowy. Końcowy etape jest wyznaczenie współczynników transitancji filtra cyfrowego stosując podstawienie (6.46). P6.. Transforacje filtru analogowego dolnoprzepustowego etodai całkowania nuerycznego Przyjęto transitancję prototypu analogowego z przykładu P6. Aby uzyskać układ dyskretny przeprowadzono dyskretyzację odelu filtru ciągłego Metoda Eulera w przód / H ( s) = τ s + / τ z s= T z H / τ z + / τ T z T z τ ( T / τ ) z b z a z ( z) = = = gdzie: b =, b = T/τ, a = -T/τ. (6.54) Rys Struktura filtru cyfrowego zaprojektowanego etodą Eulera w przód. Metoda Eulera wstecz / τ H ( s) = s + / τ s ( = z ) T H ( z) = T gdzie: b / τ = + / τ ( z ) T / τ =, + T / τ T / τ τ z + T / τ + T / a = + T /τ. = b a z (6.55) 6-9

98 Rys Struktura filtru cyfrowego zaprojektowanego etodą Eulera wstecz. Transforacja biliniowa / H ( s) = τ s + / τ z s= T z + H / τ z + / τ T + z T + z T + τ τ T z τ + T ( z) = = = T gdzie: b =, a T + τ τ T = τ + T. b + b z a z (6.56) Rys Struktura filtru cyfrowego zaprojektowanego etodą transforacji biliniowej. Wartości początkowe i końcowe charakterystyk czasowych ) Wartość początkowa odpowiedzi ipulsowej b + b z y [ ] = li{ X ( z) H ( z) } = li = + τ z z T a z T τ inny sposób wyznaczenia (dla wyuszenia ipulsowego): y [ ] b = li H ( z) = z T T a = T + τ τ Występuje niezgodność wartości początkowych odpowiedzi ipulsowej prototypu analogowego i filtru cyfrowego. ) Wartość końcowa odpowiedzi ipulsowej b + b z li{ y [ k] } = li{ ( z ) X ( z) H ( z) } = li ( z ) = k z z T az Występuje zgodność wartości końcowych odpowiedzi ipulsowej prototypu analogowego i filtru cyfrowego. 3) Wartość początkowa odpowiedzi skokowej 6-

99 b + b z yq = z z z az inaczej (dla wyuszenia skokowego): b T yq [ ] = li{ H ( z) } = = z a T + τ τ T T + τ [ ] li{ X ( z) H ( z) } = li = Występuje niezgodność wartości początkowych odpowiedzi skokowej prototypu analogowego i filtru cyfrowego. 4) Wartość końcowa odpowiedzi skokowej (równa wzocnieniu stałoprądoweu) z b + b z { y [ k] } li{ ( z ) X ( z) H ( z) } = li ( z ) = li q = k z z z az inaczej: b + b li{ y q [ k] } = H () = = k a Zgodność wartości końcowych odpowiedzi skokowej prototypu analogowego i filtru cyfrowego. 5) Wzocnienie dla częstotliwości Nyquista b b H ( ) = = + a 6.3. Wykaz zadań do wykonania Zadania do wykonania przed zajęciai ZD6.. Należy wyznaczyć wartości początkowe i końcowe odpowiedzi ipulsowej i skokowej dla filtrów cyfrowych zaprojektowanych etodai niezienności odpowiedzi ipulsowej i skokowej oraz Eulera w przód i wstecz (analogicznie jak dla filtru zaprojektowanego etodą transforacji biliniowej z przykładu P6.). ZD6.. Zastanowić się nad rozwiązanie zadania ZL Zadania do wykonania w trakcie zajęć laboratoryjnych ZL6.. Należy przebadać charakterystyki czasowe i częstotliwościowe pięciu filtrów cyfrowych zaprojektowanych etodą transforacji projektów filtrów analogowych Do zaprojektowania filtrów cyfrowych zastosowano:. Metody niezienności odpowiedzi czasowej:.. Niezienność odpowiedzi ipulsowej (ang. ipulse invariant design).. Niezienność odpowiedzi skokowej (ang. step invariant design). Metody oparte na całkowaniu nueryczny:.. Metoda różnicowa Eulera w przód.. Metoda różnicowa Eulera wstecz.3. Transforacja biliniowa Dołączony do instrukcji -plik a_prot. uożliwia wykreślenie podstawowych charakterystyk przedstawiających właściwości badanych filtrów:. Przebiegi czasowe: odpowiedź na wyuszenie ipulsowe, 6-

100 odpowiedź na wyuszenie skokowe;. Charakterystyki częstotliwościowe: aplitudowa charakterystyka w skali liniowo liniowej, aplitudowa charakterystyka w skali logaryticzno logaryticznej. Działanie filtrów cyfrowych przeanalizować dla różnych wartości paraetru τ (paraetr ten wprowadza się do obliczeń jako krotność okresu próbkowania). Przetestować filtry dla τ = T s, τ = T s, τ = T s, τ =,5T s. Dla każdego filtru cyfrowego trzeba określić czy występują różnice w odpowiedziach czasowych iędzy prototype analogowy a filtre cyfrowy. Na podstawie odpowiednich twierdzeń (przykłady zaieszczone w [3] oraz niniejszej instrukcji) należy policzyć wartości początkowe i końcowe odpowiedzi ipulsowych i skokowych oraz wzocnienie stałoprądowe i wzocnienie dla częstotliwości Nyquista dla każdego z filtrów cyfrowych oraz dla prototypu analogowego. ZL6.. Należy wyznaczyć współczynniki filtru cyfrowego zaprojektowanego etodą transforacji biliniowej prototypu analogowego o transitancji podanej wzore (6.7) dla częstotliwości granicznej f g = Hz (ω g = πf g = /τ). Pulsację graniczną prototypu filtra analogowego wyznaczyć zgodnie ze wzore (6.53). Do obliczeń przyjąć częstotliwość próbkowania równą f s = khz. Wyznaczyć charakterystykę aplitudową filtru i odpowiedzi na wyuszenie ipulsowe, skokowe. Wyznaczyć odpowiedzi na wyuszenia sinusoidalne (dla częstotliwości sygnału f = (Hz, Hz, Hz, 4Hz, 5Hz)); sprawdzić jak zienia się aplituda, faza i częstotliwość sygnału wyjściowego w stosunku do wejściowego. Zienić częstotliwość graniczną filtru cyfrowego na f g = 4Hz i zaobserwować ziany w charakterystykach czasowych i częstotliwościowych. ZL6.3. Wyniki pracy na laboratoriu należy zaieścić w sprawozdaniu, które należy uzupełnić o wnioski i ewentualne obliczenia i przynieść na następne zajęcia w postaci elektronicznej Literatura [] J. A. Wojciechowski: Sygnały i systey. Warszawa 8. [] T. P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Warszawa 7. [3] J. Nieznański: Sygnały i systey. Niepublikowane ateriały wykładowe. Gdańsk. 6-

101 7. Pętla synchronizacji fazowej 7.. Cel ćwiczenia Cele ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadą działania i ipleentacją pętli synchronizacji fazowej PLL (ang. Phase Locked Loop). 7.. Podstawy teoretyczne W energoelektronice algoryt synchronizacji fazowej PLL stosowany jest do synchronizacji przebiegów napięć i/lub prądów z napięcie zasilający. W instrukcji przedstawiono ipleentację synchronizacji fazowej w przypadku trójfazowego napięcia zasilającego. Na rys. 7. przedstawiono scheat blokowy układu synchronizacji fazowej w przypadku trójfazowego napięcia zasilającego. Synchronizacja fazowa w oawiany przypadku oparta jest na transforacji Clarke-Park a. Realizuje ona transforację składowych z trójfazowego stacjonarnego układu odniesienia do ortogonalnego wirującego układu odniesienia (rys. 7.). Regulator proporcjonalno-całkujący (PI) z poprawnie dobranyi wartościai nastaw i układe całkujący powodują sprowadzanie do zera wartości składowej napięcia u q. Składowa napięcia u q jest równa zeru wtedy, gdy estyowany kąt fazowy ˆ θ jest zgodny z wartością rzeczywistego kąta θ (rys. 7.), a także w przypadku różnicy poiędzy nii wynoszącej π. Drugi z wyienionych przypadków oże zachodzić jedynie przejściowo, co zostanie skoentowane szerzej w dalszej części instrukcji. ˆω θˆ Rys. 7.. Idea pętli synchronizacji fazowej z trójfazowy napięcie zasilający [] Idea realizacji pętli synchronizacji fazowej przedstawiona została dla przypadku syetrycznego trójfazowego układu sinusoidalnych napięć kolejności zgodnej, które opisane są równanie (7.). 7-

102 θ θˆ θ Rys. 7.. Wykres wskazowy prezentujący wektor przestrzenny napięcia i jego składowe ortogonalne w układzie stacjonarny α-β i wirujący d-q U cos ( ωt) ua u abc = u b = U cos ωt π (7.) 3 u c U cos ωt + π 3 gdzie: u a, u b, u c,- napięcia trójfazowe, U aplituda napięć, ω - pulsacja napięć Transforacja Clarke (opisana równanie acierzowy (7.)) pozwala wyznaczyć wartości składowych ortogonalnych napięcia zasilającego u α i u β, na podstawie składowych trójfazowych. uα uαβ = abc u = u (7.) β gdzie: u α, u β - składowe ortogonalne napięcia w stacjonarny układzie odniesienia Po przekształceniach z wykorzystanie tożsaości trygonoetrycznych dla suy i różnicy kątów funkcji kosinus, składowe napięcia u α i u β ożna wyrazić za poocą zależności (7.3) 7-

103 ( ω ) uα = ua = U cos t 3 uβ = ub uc = U t 3 ( ) sin ( ω ) (7.3) Transforacja Park a (opisana równanie acierzowy (7.4)) uożliwia obliczenie składowych ortogonalnych napięcia zasilającego u d i u q w wirujący z pulsacją ˆω układzie odniesienia zgodnie z układe równań (7.5). ( ˆ ω ) sin ( ˆ ω ) ( ˆ ω ) cos( ˆ ω ) ud cos t t udq = αβ u = u (7.4) q sin t t gdzie: ˆω - estyowana przez pętlę synchronizacji fazowej pulsacja napięć zasilających. ( ˆ ω ) β ( ˆ ω ) ( ˆ ω ) cos ( ˆ ω ) ud = uα cos t + u sin t uq = uα sin t + uβ t Po podstawieniu zależności (7.3) do równań (7.5) uzyskano: ( ω ) ( ˆ ω ) ( ω ) ( ˆ ω ) ( ω ) ( ˆ ω ) ( ω ) ( ˆ ω ) ud = U cos t cos t + U sin t sin t uq = U cos t sin t + U sin t cos t (7.5) (7.6) Po kolejnych przekształceniach, wykorzystujących tożsaości trygonoetrycznych uzyskuje się uproszczenie zapisów uożliwiających wyznaczenie składowych napięcia u d i u q ( ω ˆ ω ) ( ω ˆ ω ) ud = U cos t t uq = U sin t t (7.7) Podstawiając różnice poiędzy fazą napięcia zasilającego i fazą estyowaną przez pętlę synchronizacji fazowej (zgodnie z (7.8)) do zestawu równań (7.7) uzyskano zestaw równań (7.9) ωt = θ ˆ ωt ˆ = θ ωt ˆ ωt = θ ˆ θ = θ (7.8) gdzie: θ - kąt fazowy wektora przestrzennego napięcia zasilającego, ˆ θ - kąt fazowy napięcia zasilającego estyowany przez pętlę synchronizacji fazowej (rys. 7.). u u d q ( θ ) ( θ ) = U cos = U sin (7.9) W przypadku synchronizacji wirującego układu odniesienia z napięcie zasilania (wówczas θ = ) składowe napięcia u d i u q wynoszą odpowiednio: u u d q = U = (7.) Składowa u q zapewnia ujene sprzężenie zwrotne dla układu regulacji pętli synchronizacji fazowej. W przypadku wyznaczenia przez pętlę synchronizacji fazowej zbyt 7-3

104 dużej wartości kąta fazowego ˆ θ w stosunku do jego wartości rzeczywistej θ składowa u q przyjuje wartość ujeną. Ujena wartość składowej u q powoduje poprzez regulator zniejszenie estyowanej wartości pulsacji kątowej ˆω, a w konsekwencji dzięki układowi całkująceu, zniejszenie błędu estyowanego kąta fazowego θ. Należy zwrócić uwagę, iż w przypadku uzyskania przez pętlę synchronizacji fazowej estyacji kąta napięcia z błęde kπ, gdzie k jest nieparzystą liczbą całkowitą, uzyskuje się także zerową wartość składowej u q. Oawiany przypadek oże wystąpić jedynie przejściowo, ponieważ wówczas składowa u q stanowi dodatnie sprzężenie zwrotne (zgodnie z równanie (7.)), zate jest to niestabilny punkt pracy, z którego pod wpływe dowolnego wyuszenia różnego od zera algoryt PLL zostanie wyprowadzony. ( θ π ) ( θ ) u = U sin + k = U sin - dla k nieparzystego (7.) q Niekorzystne jest jednak, iż w przypadku aksyalnego błędu estyacji kąta fazowego θ wartość składowej u q (która stanowi uchyb regulacji) wynosi zero. W [] zaproponowano odyfikację wartości uchybu według następującej zależności (rys. 7.3): uq dla ud >= e = U ud dla ud < uq >= U + ud dla ud < uq < (7.) Powyższa odyfikacja zapewnia krótszy czas regulacji w przypadku wystąpienia błędu estyacji większego co od odułu od π/..5 e/u, u q /U θ/π [rad/π] Rys Zodyfikowana charakterystyka uchybu e w stosunku do składowej napięcia u q [] W celu dobrania nastaw regulatora typu PI zlinearyzowano obiekt regulacji (rys. 7.4) []. Występującą w zapisie na składową napięcia u q funkcję sinus (zgodnie z (7.9)) dla ałych wartości błędu estyacji θ ożna zastąpić wartością błędu estyacji θ : ( θ ) e = U sin U θ (7.3) 7-4

105 Θ ( s) Θ( s) E ( s ) Ω ˆ ( s) R ( s) s Θˆ ( s) Rys Zlinearyzowany odel pętli synchronizacji fazowej [] Nastawy regulatora dobrano wykorzystując dostępne w bibliotece Control Syste Toolbox narzędzie Designing PID Controllers (rys. 7.6). Narzędzie to wyaga przekształcenia scheatu blokowego do postaci zaprezentowanej na rys * Y ( s) E ( s ) U ( s) R ( s) G ( s) Y ( s) Rys Scheat blokowy wykorzystywany w narzędziu strojący wartości nastaw regulatora Designing PID Controllers W oawiany przypadku transitancja obiektu G(s) jest iloczyne wzocnienia U i transitancji układu całkującego zgodnie z poniższą zależnością: G s U = (7.4) s ( ) Poniżej przedstawiono sposób wywołania narzędzia strojącego nastawy regulatora Designing PID Controllers w oawiany przypadku. U=3*sqrt();% aplituda napięć zasilających B=U; % współczynnik licznika transitancji obiektu G(s) A=[ ]; % współczynniki ianownika transitancji obiektu G(s) sys=tf(b,a); % utworzenie transitancji obiektu dla zadanych współczynników B i A pidtool(sys,'pi') % wywołanie narzędzia Designing PID Controllers dla regulatora PI Narzędzie to uożliwia dobór nastaw regulatora w dwu trybach podstawowy Basic i rozszerzony Extended (rys. 7.6). W trybie podstawowy Basic użytkownik zadaje czas regulacji. W wyieniony trybie użytkownik nie a wpływu na kształtowanie wartości dopuszczalnego przeregulowania. Więcej ożliwości użytkownikowi przysparza tryb rozszerzony Extended, w który projektant specyfikuje bezpośrednio pulsację odcięcia oraz zapas fazy układu regulacji (rys. 7.6). Dla zadanej pulsacji odcięcia następuje spadek wzocnienia zakniętego układu regulacji o 3 db. W oawiany przypadku ustawiono częstotliwość odcięcia na [rad/s] (rys. 7.7). Dla tej wartości pulsacji kątowej sygnału zieniającego częstotliwość napięć zasilających estyowana aplituda zian pulsacji kątowej przez pętlę synchronizacji fazowej a o zaniżoną wartość. Zieniając wyagany dla układu regulacji zapas fazy użytkownik wpływa na przebieg stanu przejściowego (aksyalne przeregulowanie, oscylacje). Zwiększenie wyaganego zapasu fazy przez użytkownika wpływa na zniejszenie się aksyalnego przeregulowania i oscylacji w stanie przejściowy. Ze względu na to, że rozważany układ regulacji jest 7-5

106 astatyczny drugiego rzędu narzucono stosunkowo dużą wartość zapasu fazy - 85 deg, uzyskując 89 deg (rys. 7.8). Rys Narzędzie strojące wartości nastaw regulatora Designing PID Controllers Rys Charakterystyka częstotliwościowa Bodego zakniętego układu regulacji generowana przez narzędzie strojące wartości nastaw regulatora Designing PID Controllers 7-6

107 Rys Charakterystyka częstotliwościowa Bodego otwartego układu regulacji generowana przez narzędzie strojące wartości nastaw regulatora Designing PID Controllers Wartości współczynnika wzocnienia K p i czasu zdwojenia T i regulatora = + w funkcji wzocnień K p_dc i K i_dc dla regulatora Ti projektowanego za poocą narzędzia Designing PID Controllers o transitancji Ki_DC RDC ( s) = Kp_DC + wynoszą: s o transitancji R ( s) Kp K Ti p = K =.3739 p_dc Kp_DC.3739 = = =.5737 K i_dc (7.5) 7.3. Wyniki syulacji pętli synchronizacji fazowej Badania syulacyjne pętli synchronizacji fazowej były przeprowadzone w następujacych uwarunkowaniach:. Zasyulowano syetryczny trójfazowy układ napięć zasilajacych kolejnosci zgodnej zawierający jedynie składową podstawową,. Alitudę syulowanych napieć sieciowych ustawiono na 3*sqrt() V 35 V, 3. Zrealizowano odyfikacje częstotliwości syulowanych napięć zasilajacych z pulsacją rad/s i aplitudą 3Hz, 4. Dla czasu syulacji s zrealizowano skokową zianę fazy syulowanych napięć zasilania, 5. Nastawy regulatora proporcjonalno-całkującego przyjeto zgodnie z równaniai (7.5), 6. Zrealizowano dyskretyzację regulatora etodą dwuliniową z zastosowanie techniki prewarping, 7-7