Kiedy opcja jest bezpieczna?

Transkrypt

1 Kiedy opcja jest bezpieczna? Jacek Podlewski Koło Naukowe Modelowania Finansowego AGH Kraków Toruń, 8 grudnia 2012

2 Wprowadzenie Plan prezentacji 1 Krótki wstęp do opcji 2 Problem wyceny i osłony 3 Delta hedging - motywacja, teoria versus praktyka 4 Wycena i osłona opcji z wykorzystaniem teorii użyteczności

3 Wprowadzenie Oznaczenia S = S t - proces cen akcji Y = Y t - rachunek pieniężny (wolny od ryzyka) r - stopa procentowa wolna od ryzyka V ( ) - wartość opcji H( ) - funkcja wypłaty σ - zmienność cen akcji

4 Wprowadzenie Założenia modelu Blacka-Scholesa ze stałymi kosztami transakcyjnymi Dynamika akcji: ds t = µs t dt + σs t dw t Dynamika rachunku pieniężnego: dy t = ry t dt Koszty transakcji proporcjonalne do jej wartości: gdy kupujemy/sprzedajemy N akcji po cenie S t, koszt wynosi ɛ N S t. Dla uproszczenia zakładamy brak dywidend Ogólna postać strategii inwestycyjnej: Π t = (x(t), y(t)) Wartość strategii w chwili t: V Π (t) = x(t)s t + y(t)y t

5 Wstęp do opcji Czym są opcje? Pojęcie opcji obejmuje dzisiaj bardzo szerokie spektrum instrumentów finansowych. Jednak ich wspólną cechą charakterystyczną jest oferowanie posiadaczowi możliwości dokonania pewnej transakcji w ustalonym terminie (w odróżnieniu np. od kontraktów terminowych czy swapów). Każdą opcję charakteryzują: Instrument(y) bazowe - np. akcje, waluta Czas zycia Profil wypłaty

6 Wstęp do opcji Najpopularniejsze rodzaje opcji Przykład Europejska opcja kupna (call) oferuje posiadaczowi możliwość nabycia akcji S w chwili T za kwotę K. Jej cenę w chwili t < T oznaczamy jako C(S t, K, T, t). Rysunek: Źródło: wikinvest.com H(S T ) = max(s T K, 0)

7 Wstęp do opcji Najpopularniejsze rodzaje opcji Przykład Europejska opcja sprzedaży (put) oferuje posiadaczowi możliwość sprzedaży akcji S w chwili T za kwotę K. Jej cenę w chwili t < T oznaczamy jako P(S t, K, T, t). Rysunek: Źródło: wikinvest.com H(S T ) = max(k S t, 0)

8 Wstęp do opcji Dalsze przykłady opcji Opcje binarne (np. dla europejskiej binarnej opcji kupna H(S T ) = I (0,+ ) (S T K)). Opcje amerykańskie Opcje azjatyckie Opcje bermudzkie Opcje tęczowe I wiele, WIELE innych Rysunek: Źródło: domino-printing.com

9 Wycena i osłona opcji There is no free lunch..." Kontrakt opcyjny zwykle faworyzuje jedną ze stron Przez lata handlowano nie mając żadnego formalnego aparatu wyceny F.Black i M.Scholes (1973) - prawdopodobnie najważniejsza praca w historii matematyki finansowej Edward Thorp nieco wcześniej odkrył przepis na wycenę, lecz zachował dla siebie Rysunek: Wycena strategii motyla. Źródło: mathworks.com

10 Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Definicja Arbitrażem nazywamy taką strategię inwestycyjną, której wartość początkowa wynosi 0, natomiast wartość końcowa jest nieujemna (i dodatnia z niezerowym prawdopodobieństwem) Budując modele wyceny instrumentów finansowych zakłada się praktycznie zawsze, że nie występuje możliwość arbitrażu. W praktyce oczywiście bywa różnie...

11 Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Definicja Arbitrażem nazywamy taką strategię inwestycyjną, której wartość początkowa wynosi 0, natomiast wartość końcowa jest nieujemna (i dodatnia z niezerowym prawdopodobieństwem) Budując modele wyceny instrumentów finansowych zakłada się praktycznie zawsze, że nie występuje możliwość arbitrażu. W praktyce oczywiście bywa różnie... Wniosek (Prawo jednej ceny) Dwa instrumenty finansowe o tym samym profilu wypłaty muszą mieć taką samą cenę.

12 Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Korzystając z zasady jednej ceny można wyceniać instrumenty pochodne, których funkcje wypłaty da się zreplikować za pomocą innych walorów dostępnych na rynku. Definicja Strategią replikującą instrument europejski o wypłacie H(S T ) nazywamy strategię Π o własności V Π (T ) = H(S T ).

13 Wycena i osłona opcji Arbitraż i replikacja Korzystając z zasady jednej ceny można wyceniać instrumenty pochodne, których funkcje wypłaty da się zreplikować za pomocą innych walorów dostępnych na rynku. Definicja Strategią replikującą instrument europejski o wypłacie H(S T ) nazywamy strategię Π o własności V Π (T ) = H(S T ). Obserwacja Z zasady jednej ceny wynika, że w chwili t wartość instrumentu pochodnego musi być równa wartości strategii replikującej.

14 Wycena i osłona opcji Parametry greckie W zarządzaniu ryzykiem inwestycji w opcje kluczową rolę odgrywają miary wrażliwości wartości opcji, zwane parametrami greckimi (ang. Greeks). = V S Γ = 2 V S 2 ρ = V r Θ = V t i wiele innych...

15 Wycena i osłona opcji Parametry greckie W zarządzaniu ryzykiem inwestycji w opcje kluczową rolę odgrywają miary wrażliwości wartości opcji, zwane parametrami greckimi (ang. Greeks). Uwaga = V S Γ = 2 V S 2 ρ = V r Θ = V t i wiele innych... Użyty symbol pochodnej cząstkowej może być nieco mylący, bo cena opcji wcale nie musi być różniczkowalną funkcją wszystkich swoich argumentów. W praktyce parametry greckie wyznacza się zwykle numerycznie.

16 Wycena i osłona opcji Delta hedging Idea zabezpieczenia opcji sprowadza się do utrzymywania parametrów greckich na bezpiecznym, niskim poziomie. Teoretycznie gdy każdą posiadaną opcję zabezpieczymy akcjami w ilości otrzymamy portfel niewrażliwy na zmiany kursu akcji. W realistycznych modelach wyznacznie często nie jest proste (ale na ogół wykonalne) W praktyce nie mamy doskonałej podzielności aktywów W praktyce niemożliwy jest idealny hedging w czasie ciągłym

17 Wycena i osłona opcji Przykład - spekulacja zmiennością

18 Wycena i osłona opcji Jak wobec tego osłaniać opcje???

19 Kiedy opcja jest bezpieczna? Osłona opcji w praktyce Metody naiwne Hedging w stałych odstępach czasu - rozwiązanie łatwe lecz mocno wadliwe: Problem z ustaleniem interwału W przypadku niewielkich ruchów cen jedynie ponosimy niepotrzebne koszty Rysunek: Źródło: mariettainjurylawyer.com

20 Kiedy opcja jest bezpieczna? Osłona opcji w praktyce Metody naiwne Hedging w stałych odstępach czasu - rozwiązanie łatwe lecz mocno wadliwe: Problem z ustaleniem interwału W przypadku niewielkich ruchów cen jedynie ponosimy niepotrzebne koszty Rysunek: Źródło: mariettainjurylawyer.com Lepszym rozwiązaniem jest wyznaczenie przedziału dopuszczalnych pozycji w akcjach postaci ( ± HB) zwanego pasmem bezpieczeństwa (ang. hedging band ). Sygnałem do poprawy pozycji jest wypadnięcie liczby posiadanych akcji z tego przedziału.

21 Osłona opcji w praktyce Teoria użyteczności Funkcja użyteczności U( ) odzwierciedla preferencje inwestora. Zdroworozsądkowe założenia: U jest funkcją rosnącą, często wymaga się też, aby była wklęsła Przykłady: U(x) = 1 exp( x/γ), U(x) = log(1 + x/γ), U(x) = x (2γ) 1 x 2 Liczba a jest równoważna zmiennej losowej X w sensie użyteczności, gdy EU(X ) = U(a) Rysunek: Porównanie przykładowych funkcji użyteczności. Źródło: opracowanie własne

22 Osłona opcji w praktyce Wycena w oparciu o użyteczność Hodges i Neuberger (1989) : należy tak replikować wypłatę opcji, aby zmaksymalizować(zależny od użyteczności) funkcjonał zysku inwestora Davis i Panas (1990,1993): umocnienie teoretycznych podstaw tego podejścia Dokładne rozwiązanie jest bardzo skomplikowane obliczeniowo Konieczne jest znalezienie metod pozwalających na ciągłe kontrolowanie poziomu ryzyka

23 Osłona opcji w praktyce Wzory Whalleya-Wilmotta Wykładnicza funkcja użyteczności: U(x) = 1 exp( γx) Parametr γ nazywamy współczynnikiem awersji do ryzyka Whalley i Wilmott (1997) uzyskali dla małych ɛ jawne wzory na granice pasma bezpieczeństwa, korzystając z rozwinięć asymptotycznych optymalnego rozwiązania problemu maksymalizacji użyteczności. Dla opcji call: HB(t) = ( 3 2 exp( r(t t))ɛs t Γ 2 γ ) 1 3

24 Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Korzystamy z przeskalowanej zmienności: σ m = σ(1 + A) (inspiracja: Leland (1985), Barles i Soner (1998)) Pasmo bezpieczeństwa przyjmuje postać ( (σ m ) ± HB), HB = HB 0 + HB 1 Dobór właściwej postaci aproksymacji jest bardziej sztuką niż nauką (V.Zakamouline, [5]).

25 Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Korzystamy z przeskalowanej zmienności: σ m = σ(1 + A) (inspiracja: Leland (1985), Barles i Soner (1998)) Pasmo bezpieczeństwa przyjmuje postać ( (σ m ) ± HB), HB = HB 0 + HB 1 Dobór właściwej postaci aproksymacji jest bardziej sztuką niż nauką (V.Zakamouline, [5]). HB 0 = ασ β1 ɛ β2 (γs) β3 (N (d 1 )) β4 exp ( β 5 r(t t)) (T t) β6 HB 1 = ασ β1 ɛ β2 (γs) β3 (T t) β4 gdzie N ( ) oznacza gęstość rozkładu N(0, 1), zaś d 1 = [ ( ) S ln + K Ogólna postać A jest taka sama jak HB 1. ) ] [ (r σ2 (T t) / σ ] T t 2

26 Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Zakamouline dopasował parametry następująco: 1 Dyskretyzacja przestrzeni parametrów 2 Obliczenie optymalnego rozwiązania w węzłach otrzymanej siatki 3 Dopasowanie pametrów metodą najmniejszych kwadratów

27 Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Zakamouline dopasował parametry następująco: 1 Dyskretyzacja przestrzeni parametrów 2 Obliczenie optymalnego rozwiązania w węzłach otrzymanej siatki 3 Dopasowanie pametrów metodą najmniejszych kwadratów Otrzymane rezultaty dla europejskiej opcji call: HB = A = 6.85 ɛ0.78 σ 0.25 (γs 2 Γ) 0.15 ( ) 0.5 ɛ ɛ0.31 Γ γsσ (T t) σ 0.25 γ

28 Osłona opcji w praktyce Metoda Zakamouline a Rysunek: Źródło: obliczenia własne

29 Osłona opcji w praktyce Zakamouline vs W&W S 0 = 92, K = 120, σ = 40%, T t = 0.2, r = 5% ɛ = 0.4% Porównanie dla γ = 0.5

30 Osłona opcji w praktyce Zakamouline vs W&W - runda druga S 0 = 92, K = 120, σ = 40%, T t = 0.2, r = 5% ɛ = 0.4% Porównanie dla γ = 2

31 Podsumowanie Czy to koniec problemów? Odpowiedź brzmi ABSOLUTNIE NIE :) Modele lokalnej/stochastycznej zmienności i inne Losowe stopy procentowe Poziomy tolerancji dla innych parametrów greckich Inne modele kosztów transakcyjnych Bardziej skomplikowane profile wypłaty Odpowiednio szybkie metody obliczeniowe Rysunek: Źródło: spc-intheworld.com

32 Podsumowanie Literatura G.Barles, H.M.Soner (1998), Option Pricing with Transaction Costs and a Nonlinear Black-Scholes Equation, Finance and Stochastics vol.2, S.Hodges, A.Neuberger (1989) Optimal Replication of Contingent Claims under Transaction Costs, Review of Futures Markets vol.8, A.Whalley, P.Wilmott (1997) An Asymptotic Analysis of an Optimal Hedging model for Option Pricing with Transaction Costs, Mathematical Finance vol.7(3), V.Zakamoline (2006), European Option Pricing and Hedging with both Fixed and Proportional Transaction Costs, Journal of Economic Dynamics and Control vol.30, 1-25 V.Zakamouline (2005), Optimal Hedging of Options with Transaction Costs, Wilmott Magazine 4/2005, 70-82

33 Podsumowanie Literatura M.Capiński, T.Zastawniak (2003), Mathematics for Finance, Springer E.Sinclair (2008) Volatility Trading (rozdział 4), John Wiley & Sons P.Wilmott (2006) Paul Wilmott on Quantitative Finance, John Wiley & Sons

34 Podsumowanie Dziękuję za uwagę!