Prędkość, droga i czas w matematyce

Transkrypt

1 Prędkość, droga i czas w matematyce Często uczniowie dostają gęsiej skórki po usłyszeniu treści zadania typu : Z miejscowości A do miejscowości B wyjechał pociąg...itd. Z góry skazują rozwiązanie takiego zadania na niepowodzenie. Zadania tego typu można rozwiązywać wieloma sposobami. Przedstawiam prosty sposób rozwiązań niektórych z nich. Część zadań można zaszeregować do kategorii : - spotkanie - doganianie - dwa warianty Przykłady: I kategoria spotkanie Zad. 1 Z dwóch miast odległych o 300 km wyjechało jednocześnie na spotkanie dwóch automobilistów. Pierwszy z nich jechał ze średnią prędkością 60 km/h. Automobiliści spotkali się po 3 godzinach jazdy. Oblicz prędkość drugiego automobilisty oraz drogę jaką przebył do momentu spotkania. Rozwiązanie: A v 1 = 60 km/h Sp. v km B Zauważamy, że łączna droga dwóch automobilistów wynosi 300 km oraz czas podróży każdego z nich do momentu spotkania wynosi 3 godziny. a więc S 1 + S 2 = 300 Korzystamy z wzoru v = t s Tworzymy tabelkę wg wzoru : Uwaga! Drogę umieszczamy w ostatnim wierszu. z A w kierunku B z B w kierunku A prędkość v [km/h] 60 v 2 czas t [h] 3 3 droga s = v t [km] 3 60 = v 2 = 300

2 W ostatnim wierszu zostało ułożone równanie : v 2 = 300 po rozwiązaniu otrzymujemy : v 2 = 40 [km/h] - prędkość drugiego automobilisty Następnie obliczamy drogę drugiego automobilisty : s 1 = v 1 t s 1 = 40 3 [km/h h] s 1 = 120 [km] droga przebyta przez pierwszego automobilistę do momentu spotkania Zad. 2 Z dwóch miejscowości odległych o 140 km wyjechali jednocześnie na spotkanie dwaj rowerzyści, z których jeden jechał z prędkością 17 km/h, a drugi 18 km/h. Po ilu godzinach jazdy spotkali się? A v 1 = 17 km/h Sp. v 2 = 18 km/h 140 km B Zauważamy, że łączna droga dwóch automobilistów wynosi 140 km oraz czas podróży każdego z nich do momentu spotkania jest taki sam. x czas podróży do momentu spotkania z A w kierunku B z B w kierunku A prędkość v [km/h] czas t [h] x x droga s = v t [km] 17 x + 18 x = 140 W ostatnim wierszu zostało ułożone równanie : 17 x + 18 x = 140 po rozwiązaniu otrzymujemy : x = 4 [h] odp. Rowerzyści spotkali się po 4 godzinach.

3 Zad. 3 Odległość między miastami A i B wynosi 102 km. Z miasta A o godzinie 6 00 wyjechał w kierunku miasta B samochód ciężarowy. O godzinie 6 45 wyjechał z B naprzeciw niego autobus, z prędkością o 8 km/h większą od samochodu ciężarowego. Oblicz ich prędkości wiedząc, że spotkali się o godzinie v 1 Sp. v 2 = v A 102 km v 1 - prędkość samochodu ciężarowego [km/h] v prędkość autobusu [km/h] Zauważamy, że sam. ciężarowy jechał od 6 00 do 7 00, a więc t 1 = 1 h B oraz autobus jechał od 6 45 do , a więc t 2 = 15 min = h = 0,25 h 60 sam. ciężarowy autobus prędkość v [km/h] v 1 v czas t [h] 1 0,25 droga s = v t [km] 1 v 1 + 0,25 (v 1 + 8) = 102 W ostatnim wierszu zostało ułożone równanie : 1 v 1 + 0,25 (v 1 + 8) = 102 po rozwiązaniu otrzymamy : v 1 = 80 [km/h] prędkość samochodu ciężarowego Następnie obliczamy prędkość autobusu: v 2 = v v 2 = 88 [km/h] prędkość autobusu Zad. 4 ( zastosowanie układu równań ) Z dwóch miejsc, między którymi odległość wynosi 650 km, wyruszają naprzeciw siebie dwaj motocykliści. Jeżeli obaj wyruszą z miejsca o jednakowym czasie, to spotkają się po 10 godzinach jazdy. Jeżeli jednak drugi motocyklista wyruszy o 4 h i 20 min wcześniej od

4 pierwszego, to spotkanie nastąpiło po 8 godzinach od chwili wyjazdu pierwszego motocyklisty. Oblicz średnią prędkość każdego z nich. Rozwiązanie : rys. podobnie jak w zad. 1-3 Układamy dwie tabelki ( dla każdego przypadku ) : (1 tabela) prędkości są równe I motocyklista II motocyklista prędkość v [km/h] v 1 v 2 czas t [h] droga s = v t [km] 10v v 2 = 650 (2 tabela) drugi motocyklista jechał o 4h 20 min dłużej od pierwszego, 20 1 a więc t 2 = = 12 h 60 3 I motocyklista II motocyklista prędkość v [km/h] v 1 v 2 czas t [h] droga s = v t [km] 8v v2 = 650 Otrzymujemy układ dwóch równań : 10 v v 2 = v v2 = po rozwiązaniu otrzymujemy : v 1 = 35 [km/h] v 2 = 30 [km/h]

5 II kategoria doganianie Zad. 1 Z miejscowości X do miejscowości Y wyjechał rowerzysta, a po upływie 1h w ślad za nim motocyklista. Po jakim czasie i w jakiej odległości od X motocyklista dogoni rowerzystę, jeżeli prędkość rowerzysty wynosi 20 km/h, a motocyklisty 40 km/h? X v m = 40 km/h v r = 20 km/h Sp. Y Zauważamy, że oba pojazdy pokonają taką samą drogę do momentu zrównania oraz czas jazdy motocyklisty jest o 1h krótszy. t czas jazdy rowerzysty t 1 czas jazdy motocyklisty S r = S m rowerzysta motocyklista prędkość v [km/h] czas t [h] t t - 1 droga s = v t [km] 20 t = 40 (t 1) W ostatnim wierszu zostało ułożone równanie : 20 t = 40 (t 1) po rozwiązaniu otrzymujemy : t = 2 [h] czas jazdy rowerzysty a więc czas jazdy motocyklisty wynosi : 2 1 = 1 [h] Motocyklista dogoni rowerzystę w odległości S r = 20 t lub S m = 40 (t 1) : S r = 20 2 S r = 40 [km] odp. Motocyklista dogoni rowerzystę po 1 h w odległości 40 km od miasta X.

6 Zad. 2 O godzinie 8 00 rano wyruszył ze wsi wóz ze zbożem i jechał z prędkością 4 km/h. O godzinie z tej samej wsi podążył w tym samym kierunku traktor i jechał z prędkością 10 km/h. O której godzinie traktor dopędził wóz? 10 km/h 4 km/h Sp. Od godziny 8 00 do minęły 3 godziny, a więc tyle dłużej jechał wóz. x czas jazdy traktora x + 3 czas jazdy wozu wóz traktor prędkość v [km/h] 4 10 czas t [h] x + 3 x droga s = v t [km] 4 (x + 3) = 10 x Otrzymaliśmy równanie: 4 (x +3) = 10 x po rozwiązaniu : x = 2 [h] czas jazdy traktora do momentu zrównania z wozem h = odp. Traktor dogonił wóz o godzinie Zad. 3 Z przystani wypłynęły jednocześnie parowiec i kuter. Oba statki płynęły w tym samym kierunku. Pierwszy z prędkością 24 km/h, a drugi z prędkością 15 km/h. Po upływie 3 h podróży parowiec osiadł na mieliźnie. Po pewnym czasie ruszył w drogę i po upływie 7 h dogonił kuter. Ile godzin siedział na mieliźnie? Rozwiązanie: rys. podobnie jak w zad. 1 2 x czas postoju parowca = 10 [h] tyle czasu płynął parowiec

7 10 + x tyle czasu płynął kuter parowiec kuter prędkość v [km/h] czas t [h] x droga s = v t [km] = 15 ( 10 + x) Otrzymujemy równanie : 240 = 15 (10 + x) po rozwiązaniu: x = 6 [h] czas postoju parowca na mieliźnie III kategoria dwa warianty Zad. 1 Samochód przejechał drogę z A do B w ciągu 3godzin. Jeżeli chcielibyśmy skrócić czas jazdy o 1 godzinę, to prędkość jazdy trzeba powiększyć o 20 km/h. Jak daleko jest z A do B? x faktyczna prędkość samochodu Otrzymujemy równanie : 3 x = 2 (x + 20) po rozwiązaniu : S I = S II I wariant II wariant prędkość v [km/h] x x + 20 czas t [h] = 2 droga s = v t [km] 3 x = 2 (x + 20) x = 40 [km/h] faktyczna prędkość samochodu Obliczamy drogę : S = 3 x lub S = 2 (x + 20) S = 120 [km] odp. Odległość z miasta A do B wynosi 120 km.

8 Zad. 2 Z przystani Orłowo wypłynął statek w dół rzeki do przystani Krukowo i wrócił do Orłowa, płynąc z powrotem z prędkością o 6 km/h mniejszą niż poprzednio. Kurs z Orłowa do Krukowa trwał 2 godziny,a z Krukowa do Orłowa 3godziny. Z jaką prędkością płynął statek w dół rzeki, a z jaką w górę? x prędkość statku w dół rzeki x 6 prędkość statku w górę rzeki po rozwiązaniu : S I = S II Orłowo-Krukowo Krukowo-Orłowo (w dół rzeki) (w górę rzeki) prędkość v [km/h] x x 6 czas t [h] 2 3 droga s = v t [km] 2 x = 3 (x 6) Otrzymujemy równanie : 2 x = 3 (x - 6) x = 18 [km/h] prędkość statku w dół rzeki 18 6 = 12 [km/h] prędkość statku w górę rzeki... Oczywiście taka forma rozwiązania powyższych zadań nie koniecznie musi być wygodną w przypadku innych z tego zakresu. Nie zawsze można ułożyć tabelkę wg pokazanych wzorów. Opracowała: Violetta Wieliczko