2.7 Równanie stanu gazu doskonałego(c7)

Transkrypt

1 98 Ciepło 2.7 Równanie stanu gazu doskonałego(c7) Celem ćwiczenia jest zbadanie przemian stanu gazu doskonałego(powietrza) oraz wyznaczenie uniwersalnej stałej gazowej, współczynnika rozszerzalności cieplnej, współczynnika prężności cieplnej i współczynnika ściśliwości objętościowej. Zagadnienia do przygotowania: równanie stanu gazu doskonałego(clapeyrona); prawo Boyle a Mariotte a(t=const); prawo Gay-Lussaca(p=const); prawo Charlesa(V=const); definicje współczynników. Zalecanaliteratura:[13],[1],[24] Podstawowe pojęcia i definicje Przemiany stanu gazu doskonałego Stangazujestokreślonyprzezjegotemperaturę T,ciśnienie p,objętość V iilość substancji n(liczba moli). Jeżeli ilość substancji się nie zmienia, to zmianę objętości związaną ze zmianami temperatury i ciśnienia jest dana przez różniczkę zupełną dv = ( V ) dt + p,n ( V p ) dp. (2.7.1) Analogicznie, następująca różniczka odpowiada zmianom ciśnienia wraz ze zmianami temperatury i objętości ( ) ( ) p p dp = dt + dv. (2.7.2) V,n V Pochodne cząstkowe we wzorach(2.7.1) i(2.7.2) odpowiadają geometrycznie współczynnikomkierunkowymstycznych dofunkcji V = f(t), V = f(p), p = f(t), p = f(v ),aichwartościzależąodpoczątkowychwartości V 0, p 0,czy T 0. współczynnik rozszerzalności cieplnej γ 0 = 1 ( ) V V 0 współczynnik prężności cieplnej β 0 = 1 ( ) p p 0 współczynnik ściśliwości objętościowej χ 0 = 1 V 0, (2.7.3) p,n, (2.7.4) V,n ( ) V. (2.7.5) p

2 Równanie stanu gazu doskonałego(c7) 99 Korzystając ze wzoru(2.7.1) można pokazać, że γ 0 = χ 0 β 0 p 0. (2.7.6) Podane współczynniki wykorzystuje się w badaniach nad przemianami stanu gazu. Najczęściej rozważane przemiany i prawa je opisujące to przemiana izotermiczna, prawo Boyle a Mariotte a(pv = const), przemiana izobaryczna, prawo Gay-Lussaca(V/T = const), przemiana izochoryczna, prawo Charlesa(p/T = const), przemianaadiabatyczna,równaniepoissona(pv κ =const). Warto pokazać sposób uzyskania wybranych praw. W przypadku przemiany izobarycznej(p =const)zrównania(2.7.1)wynika dv = V 0 γ 0 dt.dla γ 0 =constscałkowanie równania daje następujący wynik V = V 0 [1 + γ 0 (T T 0 )]. (2.7.7) Z doświadczenia wynika, że zależność(2.7.7) jest liniowa, a przez odpowiedni dobór początkuskalitemperatur(t 0 = 1/γ 0 wkelwinach)otrzymujemyrównanie V 0 T 0 = V T. (2.7.8) Przyprzemianieizochorycznej(V =const)zrównania(2.7.2)wynika dp = p 0 β 0 dt, aposcałkowaniuzβ 0 =constotrzymujemy p = p 0 [1 + β 0 (T T 0 )]. (2.7.9) Ponownie z doświadczenia wynika, że zależność(2.7.9) jest liniowa, a przez odpowiedni dobórpoczątkuskalitemperatur(t 0 = 1/β 0 wkelwinach)otrzymujemyrównanie p 0 T 0 = p T. (2.7.10) Przy przemianie izotermicznej(t = const) z doświadczenia otrzymujemy zależność pv = p 0 V 0. (2.7.11) W wyniku połączenia równań(2.7.8),(2.7.10) i(2.7.11) otrzymujemy następującą zależność: pv T = p 0V 0. (2.7.12) T 0 Równanie(2.7.12) może służyć do tzw. redukcji objętości, ciśnienia czy gęstości gazówdowarunkównormalnych,tj. T 0 = 0 o C = K, p 0 = 760 mmhg = P a. Jeden mol gazu doskonałego w warunkach normalnych zajmuje objętość V m = m 3 /mol,awięcliczbęmoligazumożemywyliczyćjako n = V 0 /V m.

3 100 Ciepło Równanie stanu gazu doskonałego W przypadku gazu doskonałego parametry stanu połączone są tak zwanym ogólnym równaniem stanu gazu(clapeyrona) pv = nrt, (2.7.13) gdzie R = 8.314J/(mol K) jest uniwersalną stałą gazową. Z równania(2.7.13) wynikają poszczególne równania przemian stanu gazu. Przyjmijmy następujące oznaczenia dla pochodnych cząstkowych a p = ( V ), a V = p,n ( ) ( ) p V, a T = V,n p 1. (2.7.14) Jeżelizdoświadczeniauzyskamyparametry a p, a V i a T,tomożemyobliczyćwspółczynniki γ 0 = a p, β 0 = a V. (2.7.15) V 0 p 0 Zakładając słuszność równania Clapeyrona możemy wyznaczyć uniwersalną stałą gazowązjednegozewzorów Przebiegpomiarów Układ doświadczalny R = p 0a p n, R = a V V 0 n, R = a T nt 0. (2.7.16) W skład układu doświadczalnego przedstawionego na rysunku wchodzą: szklana rurka pomiarowa połączona z manometrem rtęciowym, statyw z przymiarem, termostat przepływowy, zbiornik z wodą destylowaną, termometr rtęciowy, barometr. W szklanej rurce pomiarowej, połączonej z manometrem rtęciowym w kształcie litery U, znajduje się pewna ilość badanego powietrza. Manometr składa się z elastycznego przewodu z tworzywa sztucznego oraz otwartego zapasowego zbiornika z rtęcią. Rurka pomiarowa jest zamocowana na stałe do statywu, natomiast zbiornik zapasowy manometru jest przesuwany w kierunku pionowym wzdłuż statywu z pomocą samoblokujących się prowadnic. Przez zmianę wysokości zbiornika z rtęcią można zmieniać ciśnienie i objętość badanego gazu. W celu zmiany temperatury badanego gazu rurka pomiarowa jest otoczona kołnierzem rurkowym, połączonym z termostatem przepływowym. Objętość V badanego powietrza jest proporcjonalna do odczytanej wysokości l kolumny powietrza: V = π(d/2) 2 l + V z, (2.7.17)

4 Równanie stanu gazu doskonałego(c7) 101 Rys : Układ doświadczalny do badania równania stany gazu doskonałego. gdzie d = 1.14cmtośrednicawewnętrznarurkipomiarowej, V z = 1.02mlobjętość zaznaczonej zaokrąglonej części zbiornika. Ciśnienie badanego powietrza obliczamy ze wzoru

5 102 Ciepło p = p a + ha h, (2.7.18) gdzie p a tozewnętrzneciśnieniepowietrza, hróżnicawysokościpoziomówrtęci, a h = (400/3)P a/mm współczynnik proporcjonalności. W zależności od tego, czy poziom rtęci jest wyższy w zbiorniku zapasowym czy pomiarowym, należy stosować h ze znakiem dodatnim lub ujemnym. Przebieg doświadczenia Zmierzyćzewnętrzneciśnieniepowietrza p a.wpierwszejczęścidoświadczenianależyustalićtemperaturę T 1 dopomiaruzależności piv przystałym T = T 1.Należy włączyćtermostatprzepływowy,któryzagwarantujestałość T 1.Zmieniającpołożenie zbiornika zapasowego z rtęcią należy zmieniać ciśnienie badanego powietrza. Wykorzystujemy cały dostępny zakres położeń zbiornika, zmieniamy położenie zbiornika co około 5cm. Notować różnicę poziomów rtęci h i długość słupa powietrza w rurce l. W drugiej części doświadczenia należy wyznaczyć wpływ temperatury na ciśnienie i objętość gazu. Badany gaz podgrzewamy za pomocą termostatu przepływowego. Należy zauważyć, że temperatura ustawiana na termostacie może różnić się od temperatury mierzonej termometrem rtęciowym umieszczonym bezpośrednio przy rurce pomiarowej. Po każdej zmianie temperatury należy zaczekać na jej ustabilizowanie. W temperaturzepoczątkowej T 1 ustalamyciśnieniegazuna p 1 = p a poprzezwyrównanie poziomów rtęci w rurce pomiarowej i zbiorniku zapasowym. W ten sposób ustalamy też objętość V 1.Należyzaznaczyćpoziomrtęcimarkeremnarurcepomiarowej.Następnie należy podnosić temperaturę w krokach co około 5 stopni dochodząc do temperatury wrzenia wody. W każdej temperaturze wyznaczamy:(1) objętość V przy stałym ciśnieniu p = p 1 (równoważymypoziomyrtęciwrurcepomiarowejizbiornikuzapasowym);(2)ciśnienie pprzystałejobjętości V = V 1 (zmieniającróżnicępoziomów rtęci hdoprowadzamygazdopierwotnejobjętości V 1 ).Oprócztemperaturynotujemy odpowiednio długość słupa powietrza w rurce l dla(1) i różnicę poziomów rtęci h dla (2) Opracowaniewyników Korzystając z pomiarów h i l wyliczyć ciśnienie p i objętość V dla wszystkich punktów pomiarowych. Zrobić wykresy zależności objętości od ciśnienia oraz objętości ododwrotnościciśnieniaprzystałejtemperaturze T 1.Dodrugiejzależnościdopasować prostą metodą regresji liniowej. Wykonać wykresy zależności objętości od temperatury(p = const) i zależności ciśnienia od temperatury(v = const). Do wykresów dopasowujemy proste metodą regresji liniowej. Ze współczynników kierunkowych prostych uzyskujemy wartości pochodnych cząstkowych a p, a V i a T.Należypamiętać,żewspółczynnkiteodnosząsiędowarunków panującychwczasieeksperymentu(p 1, V 1, T 1 ),aniedowarunkównormalnych(p 0,

6 Równanie stanu gazu doskonałego(c7) 103 V 0, T 0 ).Zapomocąredukcjiobjętości V 1 do V 0 zrównania(2.7.12)znajdujemyliczbę moli n badanego powietrza. Dalej ze wzorów(2.7.16) wyznaczamy trzy wartości uniwersalnej stałej gazowej R, a końcowe R będzie średnią ważoną tych wartości. Z równań(2.7.15)wyznaczamywspółczynniki γ 1 i β 1,akorzystajączezwiązku(2.7.6) wyliczamy χ 1. Przeprowadzić analizę niepewności, a wyniki porównać z wartościami tablicowymi. Należy sprawdzić związki gdzietemperatura T 1 wyrażonajestwkelwinach. γ 1 = 1/T 1, β 1 = 1/T 1, χ 1 = 1/p 1, (2.7.19)