Zbiór zadań z hydrauliki z rozwiązaniami

Transkrypt

1 POLITECNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki Katarzyna Baran-Gurgul Zbiór zadań z ydrauliki z rozwiązaniami skrypt dla studentów wyższyc szkół tecnicznyc KRAKÓW 005

2 POLITECNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki Katarzyna Baran Gurgul ZBIÓR ZADAŃ Z YDRAULIKI Z ROZWIĄZANIAMI SKRYPT DLA STUDENTÓW WYŻSZYC SZKÓŁ TECNICZNYC Kraków 005

3

4 SPIS TREŚCI WSTĘP... 5 WYKAZ WAŻNIEJSZYC OZNACZEŃ... 7 I. YDROSTATYKA... 9 I.. Ciśnienie... 9 I... Ciśnienie i parcie ydrostatyczne... 9 I... Rodzaje równowagi, podstawowe równanie ydrostatyki... 0 I... Obliczanie ciśnienia w punkcie cieczy... I..4. Naczynia połączone... I..5. Przyrządy do pomiaru ciśnienia... 5 I..6. Obliczanie ciśnienia w punkcie zadania... 9 I..7. Zmiana ciśnienia gazu związaną ze zmiana jego objętości (zastosowanie prawa Boyle a Mariotte a)... 7 I..8. Rozkład ciśnień na prostokątne ściany płaskie graficzna interpretacja prawa Pascala i prawa Eulera... 0 I.. Parcie na powierzcnie płaskie... I... Metoda graficzno analityczna obliczania wartości siły parcia... I... Metoda analityczna obliczania wartości siły parcia... 5 I... Zadania parcie na ściany płaskie... 6 I.. Parcie na ściany zakrzywione I... Obliczenie wartości siły parcia I... Redukcja wykresów parcia... 6 I... Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem równowagi sił I..4. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem równowagi momentów sił I..5. Rozwiązywanie zadań w przypadku, gdy na daną ścianę działają ciecze o różnyc ciężarac właściwyc... 7 I..6. Wypór I.4. Równowaga względna cieczy I.4.. Naczynie z cieczą wirujące ze stałą prędkością kątową wokół swej osi pionowej I.4.. Naczynie z cieczą poruszające się rucem jednostajnie zmiennym, prostoliniowym... 8 I.4.. Naczynie z cieczą poruszające się ze stałym przyspieszeniem w dół... 8 I.4.4. Zadania I.5. Pływanie ciał... 9 I.5.. Ogólne warunki równowagi (pływania)... 9 I.5.. Równowaga ciała pływającego całkowicie zanurzonego... 9 I.5.. Równowaga ciała pływającego częściowo zanurzonego I.5.4. Wyznaczenie wysokości metacentrycznej... 95

5 II. YDRAULIKA RUROCIĄGÓW II.. Równanie ciągłości przepływu II.. Równanie Bernoulliego II.. Obliczenie wysokości strat energii II... Straty lokalne II... Straty na długości II.4. Rodzaje rurociągów... II.5. Konstruowanie linii ciśnień piezometrycznyc... 5 II.6. Rurociągi pojedynczy... 8 II.7. Lewary, syfony... II.7. Rurociągi długie... 8 II.8. Rurociągi wydatkujące po drodze... 4 III. WYPŁYW PRZEZ OTWORY I PRZELEWY... 9 III.. Wypływ przez otwory... 9 III... Ustalony wypływ przez otwory... 9 III... Nieustalony wypływ przez otwory III.. Wypływ przez przelewy III... Klasyfikacja przelewów III... Wydatek przelewu IV. RUC W KORYTAC OTWARTYC IV.. Definicje IV.. Ruc jednostajny w korytac otwartyc IV... Przepływ w przekroju poprzecznym zwartym IV... Obliczenia ydrauliczne dla koryta zwartego IV... Ruc krytyczny IV..4. Przepływ ydraulicznie najkorzystniejszy IV..4. Przepływ w korycie o złożonym przekroju poprzecznym... 8 IV..5. Kolektory IV.. Ruc zmienny ustalony w korytac otwartyc V. RUC WODY W GRUNCIE V.. Wstęp V... Prawo Darcy ego V... Współczynnik filtracji V.. Obliczanie współczynnika filtracji V.. Dopływ do rowu i drenu... 0 V.4. Dopływ do studni przy poziomej warstwie nieprzepuszczalnej V.5. Studnia artezyjska... 0 V.6. Działanie grupy studni... ZAŁĄCZNIKI... 5 LITERATURA

6 WSTĘP Niniejszy zbiór zadań z rozwiązaniami został napisany jako pomoc dydaktyczna dla studentów studiującyc na Wydziale Inżynierii Środowiska. Skrypt został dostosowany do programu ćwiczeń z przedmiotów mecanika płynów i ydraulika prowadzonyc przez pracowników Zakładu ydrauliki ydromecaniki na różnyc specjalnościac Wydziału Inżynierii Środowiska i Wydziału Inżynierii Lądowej. Zawiera podstawowe zagadnienia z zakresu ydrostatyki i rucu cieczy. Wiele przykładów w tym zbiorze zostało wymyślonyc przez Autorkę. Część zadań jednak została zapożyczona z różnyc podręczników, zbiorów zadań, skryptów (wykaz literatury znajduje się na końcu zbioru) i wreszcie dzięki uprzejmości Kolegów z ic prywatnyc zasobów. Przykłady te zostały na nowo opracowane i poukładane, w sposób, który autorce wydawał się najbardziej logiczny. Adresatem bowiem skryptu są osoby, które po raz pierwszy zetknęły się z zagadnieniami ydrauliki. Jeżeli w skrypcie pojawiłyby się jakieś nieścisłości, niejasności lub (co nie daj Boże) błędy, autorka prosi o informację na adres kbg@iigw.pl. Autorka bardzo dziękuje: profesorowi Andrzejowi Prystajowi i dr inż. Zofii Gręplowskiej za konstruktywną krytykę, Koleżankom i Kolegom z Zakładu za ic pomoc (udostępnienie materiałów i cenne uwagi), a przede wszystkim Mamie i Mężowi za wsparcie w trakcie pisania tego zbioru zadań. 5

7 6

8 WYKAZ OZNACZEŃ Symbol Znaczenie Jednostka a przyspieszenie m /s A pole powierzcni m b szerokość m B zw szerokość strumienia na poziomie zwierciadła wody m d średnica rurociągu średnica ziarn gruntu m m E energia m F siła N Fr liczba Froude a G ciężar N głębokość, napełnienie, miąższość m dł wysokość strat energii na długości m KR głębokość krytyczna m lok wysokość lokalnyc strat energii m STR wysokość strat energii m rzędna zwierciadła wody wysokość m n.p.m m I spadek ydrauliczny (spadek linii energii) k cropowatość bezwzględna przewodu współczynnik filtracji gruntu mm m/s K moduł przepływu m /s L długość odskoku ydraulicznego długość przewodu m m m wysokość metacentryczna współczynnik wydatku przelewu nacylenie skarpy koryta m n współczynnik szorstkości wg Manninga m -/ s p ciśnienie Pa P parcie N p 0 ciśnienie zewnętrzne Pa p a ciśnienie atmosferyczne Pa P x pozioma składowa parcia N P y pionowa składowa parcia N q jednostkowe natężenie przepływu m /s/m Q objętość przepływu cieczy m /s 7

9 Symbol Znaczenie Jednostka R promień ydrauliczny koryta zasięg krzywej depresji m m Re liczba Reynoldsa R promień ydrauliczny m S 0 spadek dna T siła tarcia czas opróżniania zbiornika N s U obwód zwilżony m υ prędkość m/s V objętość m W siła wyporu N x C, y C, z C współrzędne środka parcia m x S, y S, z S współrzędne środka ciężkości m α współczynnik St. Venanta γ ciężar właściwy N/m ϕ współczynnik prędkości λ współczynnik strat liniowyc µ dynamiczny współczynnik lepkości współczynnik wypływu Pa s ν kinematyczny współczynnik lepkości ρ gęstość cieczy kg/m ω prędkość kątowa rad/s ζ współczynnik straty lokalnej p różnica ciśnień Pa Σ str suma strat energii m 8

10 I. YDROSTATYKA I.. CIŚNIENIE ydrostatyka jest nauką o cieczy znajdującej się w spoczynku. Zajmuje się przypadkiem równowagi względnej cieczy w naczyniu (gdy cząsteczki cieczy są nierucome względem siebie, ale poruszają się wraz z naczyniem w którym ciecz) się znajduje i ciał pływającyc w cieczy. Na ciecz działają dwa rodzaje sił: a) siły powierzcniowe Siły powierzcniowe są siłami działającymi na powierzcnie zewnętrzne ograniczające daną objętość cieczy. Ic wartość jest proporcjonalna do tyc powierzcni. Przykładami sił powierzcniowyc są siły pocodzące od nacisku tłoka na ciecz lub ciśnienia gazu ponad swobodnym zwierciadłem cieczy. b) siły masowe Siły masowe są wynikiem oddziaływania na ciecz zewnętrznyc fizycznyc pól sił. Ic wartość jest proporcjonalna do masy rozpatrywanej objętości cieczy. Przykładem takic sił jest siła ciężkości, bezwładności, odśrodkowa. I... Ciśnienie i parcie ydrostatyczne Siła parcia cieczy Parcie ydrostatyczne P (rozumiane jako siła skupiona) jest to siła, z jaką ciecz pozostająca w stanie równowagi (spoczynku) działa na ograniczające ją lub zanurzone w niej powierzcnie (np. ściany zbiornika). Siła ta działa prostopadle do powierzcni, ze zwrotem ku tej powierzcni. Ciśnienie w punkcie cieczy Jeżeli na powierzcni A w pewnej objętości cieczy znajdującej się w spoczynku wydzielimy jej element A, na który działa siła parcia ydrostatycznego P, to średnia wartość tej siły przypadająca na jednostkę powierzcni nazywa się średnim ciśnieniem ydrostatycznym i wyraża się stosunkiem: P p sr ( I- ) A 9

11 Ciśnienie ydrostatyczne w punkcie cieczy wyraża stosunek P/ A gdy pole A jest nieskończenie małe (czyli A 0), zatem: P dp p lim [Pa] A 0 A d A UWAGA! Ciśnienie jest skalarem, a parcie wektorem. ( I- ) Ciśnienie atmosferyczne jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę ziemską. W obliczeniac przyjmuje się, że wartość tzw. normalnego ciśnienia atmosferycznego jest równa: p a 05 Pa. Ciśnienie mierzone względem próżni nazywa się ciśnieniem bezwzględnym. Nadwyżkę ciśnienia bezwzględnego p ponad ciśnienie atmosferyczne p a nazywa się nadciśnieniem lub ciśnieniem piezometrycznym. Jeżeli ciśnienie bezwzględne p zaś jest mniejsze od ciśnienia atmosferycznego p a, to ujemną różnicę między p i p a nazywa się podciśnieniem. Powierzcnia jednakowyc ciśnień to powierzcnia cieczy w każdym punkcie której panuje jednakowe ciśnienie. Jeżeli jedynym ciśnieniem gazu działającym ponad tą powierzcnią jest ciśnienie atmosferyczne, powierzcnię taką nazywa się swobodnym zwierciadłem cieczy. Wysokość ciśnienia jest miarą ciśnienia, będącą wysokością słupa cieczy o ciężarze γ wywołującego u swej podstawy ciśnienie równe co do wartości ciśnieniu ydrostatycznemu p. Wysokość ciśnienia atmosferycznego wyrażona wysokością wynosi: słupa wody słupa rtęci γ p a γ W p a g 05 N/m 980 N/m 05 N/m 400 N/m 0,5 m 0 m 0,7596 m 760 mm ( I- ) ( I-4 ) I... Rodzaje równowagi, podstawowe równanie ydrostatyki. Ciecz znajduje się w równowadze względnej, jeżeli wszystkie cząstki tej cieczy zacowują niezmienne położenie względem siebie i względem ścian poruszającego się naczynia. Oznacza to, że względem układu współrzędnyc związanego z naczyniem w którym znajduje się ciecz, a zatem wykonującego taki sam ruc jak to naczynie, ciecz znajduje się w spoczynku. Względem zaś każdego układu zewnętrznego (związanego z ziemią) ciecz ta jest w rucu. Przykłady równowagi względnej cieczy: 0

12 ciecz w naczyniu poruszającym się ze stałą prędkością lub ze stałym przyspieszeniem po równi pocyłej lub pionowo, ciecz w naczyniu wirującym ze stałą prędkością kątową wokół osi pionowej (ze stałym przyspieszeniem odśrodkowym).. Ciecz pozostaje w równowadze bezwzględnej, gdy również naczynie w którym znajduje się ciecz jest nierucome. Oznacza to, że zarówno względem układu związanego z naczyniem, jak i każdego zewnętrznego ciecz nie porusza się. Podstawowe równanie ydrostatyki (równanie Eulera) wyraża zależność między: ciśnieniem p w punkcie, a składowymi a x, a y, a z [m/s ] wypadkowej jednostkowyc sił masowyc działającyc na element cieczy znajdujący się w tym punkcie. ( a dx + a dy a dz) d p ρ + ( I-5 ) gdzie ρ jest gęstością cieczy. x y z I... Obliczanie ciśnienia w punkcie cieczy Ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy jest równe sumie ciśnień wynikającyc z działania sił powierzcniowyc i z działania siły ciężkości cieczy, skąd wynika wzór: N p p 0 + γ ( I-6 ) m zbiornik otwarty p o zbiornik zamknięty p x zbiornik w którym ciecz obciążona jest tłokiem Q F A A A p A p + γ p p + γ p Q / F + p + γ a A x gdzie: p A ciśnienie w punkcie A, głębokość zanurzenia punktu A pod zwierciadłem cieczy, p x ciśnienie w zbiorniku zamkniętym ponad zwierciadłem cieczy, Q siła nacisku tłoka na zwierciadło cieczy, F powierzcnia tłoka. A a

13 Paradoks ydrostatyczny twierdzenie Stevina Parcie ydrostatyczne na poziome dno naczynia nie zależy od kształtu naczynia ani od ilości zawartej w nim cieczy, ale wyłącznie od ciężaru właściwego cieczy, głębokości położenia dna pod zwierciadłem i wielkości dna. D D D Rys. I- Zgodnie z twierdzeniem Stevina jeżeli naczynia przedstawione na rys. I- wypełnione są tą samą cieczą, parcie cieczy na dno w każdym przypadku jest jednakowe i wynosi: πd P γ ( I-7 ) 4 I..4. Naczynia połączone Obliczając ciśnienie w dowolnyc punktac naczyń połączonyc wypełnionyc jedną cieczą należy pamiętać, że ciśnienie w punktac leżącyc na jednym poziomie jest jednakowe (zasadę tę wykorzystujemy np. wylewając wodę z czajnika rys. I-). Rys. I-

14 W przypadku gdy naczynia połączone wypełnione są różnymi niemieszającymi się cieczami, ciśnienie ydrostatyczne na granicy rozdziału każdej z cieczy jest jednakowe, a więc ciśnienie ydrostatyczne dla dolnej cieczy jest takie samo jak dla górnej. a) Naczynia otwarte, wypełnione jednorodną cieczą W przypadku, gdy naczynia połączone wypełnione są jednorodną cieczą, wówczas we wszystkic naczyniac zwierciadło cieczy ułoży się na takim samym poziomie. p a p a A B linia jednakowego ciśnienia Rys. I- Ciśnienie w dowolnyc dwóc punktac A i B leżącyc na takiej samej głębokości jest jednakowe, czyli: p A p p + γ ( I-8 ) B a b) Naczynia zamknięte, wypełnione jednorodną cieczą różne ciśnienia p p A B linia jednakowego ciśnienia Rys. I-4

15 Gdy ciecz w naczyniac jest jednorodna, ale ciśnienia działające na zwierciadła są różne, wówczas można zapisać: p p A p γ + γ ( I-9 ) + pb p p γ ( ) ( I-0 ) Powyższy zapis oznacza, że różnicę ciśnień ponad zwierciadłami można mierzyć różnicą poziomów tyc zwierciadeł w naczyniac. c) Naczynia otwarte, wypełnione dwoma cieczami niemieszającymi się ze sobą p a p a A B linia jednakowego ciśnienia Rys. I-5 W przypadku, gdy w naczyniac połączonyc znajdują się dwie niemieszające się ze sobą ciecze o ciężarac właściwyc γ i γ w płaszczyźnie styku tyc cieczy ciśnienie jest jednakowe, a zatem można zapisać: p A p + γ + ( I- ) a p B p a γ γ γ γ ( I- ) γ Powyższy zapis oznacza, że w rozważanym przypadku stosunek wysokości słupów dwóc niemieszającyc się cieczy ponad płaszczyzną ic styku jest równy odwrotnemu stosunkowi ic ciężarów właściwyc. 4

16 I..5. Przyrządy do pomiaru ciśnienia a) Piezometr Piezometr jest najprostszym przyrządem służącym do pomiaru niewielkic nadciśnień i podciśnień. Przyrząd ten jest pojedynczą, otwartą rurką wypełnioną cieczą, której ciśnienie mierzymy. Na zwierciadło cieczy w piezometrze działa ciśnienie atmosferyczne p a. Wysokość słupa cieczy w rurce jest zatem wysokością nadciśnienia, czyli wysokością ciśnienia piezometrycznego na powierzcni jednakowyc ciśnień -. p a p a A - Rys. I-6 Piezometr PRZYKŁAD I- Oblicz ciśnienie i nadciśnienie w punkcie A zbiornika (rys. I-6), jeżeli woda w rurce piezometrycznej wznosi się na wysokość. Dane: 00 cm, p a 0 Pa, γ W 9,8 kn/m Szukane: p A, p A p a Rozw.: Wartość ciśnienia w punkcie A: p A pa + γ 0,kPa + 9,8 kpa,kpa ( I- ) Wartość nadciśnienia w punkcie A: p A pa γ 9,8 kpa 9,8kPa ( I-4 ) 5

17 b) Manometr cieczowy otwarty Manometr cieczowy wykonany jest z rurki szklanej, wygiętej w kształcie litery U, której jeden koniec jest otwarty. Rurka ta wypełniona jest cieczą manometryczną (z reguły jest nią rtęć) o gęstości większej niż gęstość badanej cieczy. p C z γ w A B γ g Rys. I-7 Manometr cieczowy otwarty PRZYKŁAD I- Oblicz ciśnienie p gazu działające na powierzcnię zwierciadła wody w zbiorniku zamkniętym (rys. I-7). Dane: Szukane: 00 cm, γ g,4 kn/m, z 0 cm, p a 0 Pa, γ W 9,8 kn/m p Rozw.: Ciśnienia w punktac A i B są jednakowe, czyli: p p A A p p B B p + γ z p a W + γ Po podstawieniu danyc: g p p a + γ γ z g W ( I-5 ) p 0, +,4 9,8 0,,7 kpa ( I-6 ) 6

18 c) Manometr różnicowy Manometr różnicowy służy do pomiaru różnicy ciśnienia w dwóc punktac cieczy. Przyrząd ten jest wygiętą szklaną rurką wypełnioną cieczą manometryczną jak na rys. I-8. rtęć B A A woda B Rys. I-8 Manometr cieczowy otwarty PRZYKŁAD I- Znaleźć różnicę ciśnień ydrostatycznyc w punktac A i B rurociągu, którym płynie woda (rys. I-8). Różnica zwierciadeł rtęci w rurce manometrycznej wynosi. Dane: A B 0,5 m, γ g,4 kn/m Szukane: p A p B Rozw.: Zapisując równanie ciśnień (wg prawa naczyń połączonyc) otrzymuje się: p γ γ + γ p ( I-7 ) A W Po przekształceniu: p A B A g ( γ γ ) g W W W B p ( I-8 ) Szukana różnica ciśnień wynosi zatem: (,4 9,8) 6,8 Pa p p 0,5 ( I-9 ) A B 7

19 d) Wakuometr Wakuometr jest przyrządem służącym do pomiaru podciśnienia. Wykonany jest z rurki łączącej zbiornik, w którym panuje szukane podciśnienie oraz naczynie wypełnione cieczą manometryczną. Dzięki działaniu ciśnienia atmosferycznego ciecz manometryczna zostaje wtłoczona do rurki na wysokość odpowiadającą wysokości podciśnienia. powietrze p z p A rtęć Rys. I-9 Wakuometr PRZYKŁAD I-4 Obliczyć podciśnienie p nad zwierciadłem cieczy w zamkniętym zbiorniku wypełnionym wodą (rys. I-9). Jaki popełnia się błąd względny ε, jeżeli zaniedbuje się zmianę ciśnienia powietrza zacodzącą wraz z wysokością? Dane: Szukane: γ g 400 N/m, γ pow N/m, p a 05 Pa, z 0,5 m, 0, m p, ε Rozw.: Szukane ciśnienie na poziomie zwierciadła wody w zbiorniku wynosi: pow ( z ) rtz pa p γ γ + ( I-0 ) Po podstawieniu danyc: ( 0,5 0,) 400 0, ,6 Pa p ( I- ) 8

20 Pomijając zmianę ciśnienia powietrza wraz z wysokością: p pa γ rt z ,5 465 Pa ( I- ) Błąd względny jaki popełniamy przy pominięciu działania gazu: 468,6 465 ε 0,06 ( I- ) 468,6 Tak mały błąd popełniamy przy pominięciu ciśnienia gazu tylko przy małyc różnicac wysokości. Dlatego ciśnienie to można pominąć w przypadku zbiorników. I..6. Obliczanie ciśnienia w punkcie zadania PRZYKŁAD I-5 Prasa ydrauliczna Na ciecz znajdującą się w dwóc połączonyc ze sobą naczyniac (rys. I-0) działa tłok o średnicy d z siłą P. Obliczyć z jaką siłą P drugi tłok o średnicy d prasuje przedmiot nad nim umieszczony i o ile zostanie przesunięty w górę, jeżeli pierwszy z tłoków opuszczono o s. Uwaga: Wpływ ciśnienia wywołanego siłą ciężkości jest pomijalnie mały w stosunku do ciśnienia wywołanego działaniem sił powierzcniowyc. Dane: d 5 cm, d 50 cm, s 0 cm, P 500 N Szukane: s d s P d s P Rys. I-0 Prasa ydrauliczna 9

21 Rozw.: Pierwszy tłok wytwarza ciśnienie: p ( I-4 ) P / A Zmianę ciśnienia związaną z działaniem sił masowyc (czyli zmianę ciśnienia cieczy wraz z głębokością) możemy pominąć, gdyż jest ona nieistotna wobec wartości ciśnienia wytwarzanego przez tłok. Można zatem przyjąć, że zgodnie z prawem Pascala, ciecz wywiera na tłok takie samo ciśnienie. Zatem na ten tłok ciecz oddziaływuje z siłą: Czyli: P ( I-5 ) p A P P A A P d d N ( I-6 ) Aby obliczyć przesunięcie drugiego tłoka należy wykorzystać zasadę zacowania energii (w postaci bilansu pracy wykonanej przez oba tłoki), według której praca wykonana przez siłę P na drodze s jest równa pracy wykonanej przez siłę P na drodze s. P s P s ( I-7 ) Podstawiając dane liczbowe do powyższego wzoru obliczyć można przesunięcie: s P s P ,cm mm ( I-8 ) PRZYKŁAD I-6 August Piccard w swoim batyskafie (będącym stalową kulą o średnicy,8 m) opuścił się na głębokość na dno Rowu Mariańskiego. Obliczyć jakie ciśnienie p A działa na dno tego batyskafu (w punkcie A). m A Rys. I- 0

22 Dane: 09 m, γ m 005 N/m Szukane: p Rozw: Ciśnienie na dno batyskafu obliczyć można ze podstawowego wzoru na ciśnienie w punkcie cieczy (I-6): p A pa + γ m MPa 089 atm ( I-9 ) PRZYKŁAD I-7 W wodzie morskiej o ciężarze właściwym γ m pływa płetwonurek. Obliczyć na jakiej głębokości bezwzględne ciśnienie ydrostatyczne przekroczy wartość p. Dane: Szukane: γ m 0 kn/m, p 400 kpa Rozw.: Ciśnienie w dowolnym punkcie morza można obliczyć wg wzoru (I-6): p p + γ ( I-0 ) Po przekształceniu: a p γ m p a m PRZYKŁAD I ,5 0 m 0 Oblicz różnicę ciśnień pomiędzy punktami: A na głębokości A, a B B. Dane: Szukane: A 0 m, B 5 m p A p B Rozw.: Różnica ciśnień w punktac A i B na podstawie (I-6) wynosi: p B p A Podstawiając dane: p a ( I- ) + γ p γ γ ( A ) ( I- ) B a A p p 9,8 (5 0) 49,05 kpa ( I- ) B A B

23 PRZYKŁAD I-9 Oblicz ciśnienie na dnie zbiornika wypełnionego oliwą i wodą o wysokości. Dane: ol m, 5 m, ρ ol 0,9 kg/l Szukane: p Rozw.: Ponieważ oliwa ma mniejszą gęstość niż woda, tworzy warstwę na powierzcni wody. Ciśnienie na dnie naczynia wynosi zatem: p γ + γ ol ol w ( ol ) p 900 9, Pa 47,088 kpa ( I-4 ) PRZYKŁAD I-0 O ile wzniesie się zwierciadło wody w piezometrze, gdy na wodę działa tłok siłą Q? Q F Rys. I- Dane: Q 0 N, F 50 cm Szukane: Rozw.: Szukana wartość wynosi: Q 0 0,0 m 50 F γ 980 ( I-5 ) 0000 PRZYKŁAD I- Do zbiornika wypełnionego powietrzem, olejem i wodą (jak na rys. I-) podłączono manometr rtęciowy. Obliczyć nadciśnienie p panujące w zbiorniku, jeżeli różnica poziomów rtęci jaką wskazał manometr wynosi

24 Dane: a m, b m, 0,5 m, γ rtęci 400 N/m, γ wody 980 N/m, γ oliwy 905 N/m, Szukane: p p oliwa a woda b p a rtęć A B Rys. I- Rozw.: Zgodnie z prawem naczyń połączonyc (patrz rozdział I..4), ciśnienia na jednakowyc wysokościac jest identyczne, czyli ciśnienie w punkcie A jest równe ciśnieniu w punkcie B: p + p + γ a + γ b p + γ ( I-6 ) a oliwy wody Z powyższego równania wyliczyć można szukane nadciśnienie : a rteci p γ γ a γ b ( I-7 ) rteci oliwy wody Po podstawieniu danyc liczbowyc: p 400 0, Pa 8kPa ( I-8 ) PRZYKŁAD I- Odwrócona szklanka zanurzona została w wodzie na głębokość i połączona z manometrem rtęciowym (rys. I-4). Na jaką wysokość x wzniesie się woda w szklance, jeżeli różnica zwierciadeł w manometrze wynosi? Ile wynosi ciśnienie p? Dane: m, 0,5 m, 0, m Szukane: x, p

25 p x Rys. I-4 Rozw.: Ponieważ rurka manometru jest z jednej strony otwarta, więc zapisując ciśnienia na poziomie zwierciadła rtęci w manometrze, od strony naczynia i od strony rurki manometru otrzymuje się: p a + γ p ( I-9 ) rt + γ p pa + γ rt γ Analogicznie zapisując ciśnienia na poziomie zwierciadła wody w szklance, od strony manometru i szklanki: p + x pa + γ x pa p) / γ + γ ( ( I-40 ) Z równań (I-9) i (I-40) wyliczyć można szukaną wysokość x: pa pa γ rt + γ x + + γ Po podstawieniu danyc: γ rt γ ( I-4 ) 400 x + 0,5 0,,4 m ( I-4 ) 980 Ciśnienie ponad zwierciadłem wody w szklance wynosi zatem: p pa + γ rt γ ( I-4 ) p , Pa 950 Pa ( I-44 ) 4

26 PRZYKŁAD I- Jaki powinien być ciężar G, aby tłok o średnicy d (rys. I-5) nie przemieścił się pod wpływem ciśnienia p. Dane: Szukane: a 0 cm, b 00 cm, d 0 cm, p 5 atm 5075 Pa G O a b G d p>p 0 Rys. I-5 Rozw.: Warunek równowagi układu względem punktu O przyjmuje postać: M O 0 ( I-45 ) Siły działające na układ to: ciężar G i siła pocodząca od ciśnienia p. Równanie momentów tyc sił ma zatem postać: πd G ( a + b) ( p p0 ) a 0 4 Po przekształceniu powyższego równania: ( p p0 ) πd a G 4 ( a + b) Podstawiając dane liczbowe do równania (I-47) obliczamy szukaną wartość G: ( I-46 ) ( I-47 ) ( ) π 0, 0, 555,57 G 5 N ( I-48 ) 4 (0, + ) 4,8 PRZYKŁAD I-4 Do naczynia wlano dwie niemieszające się ciecze o ciężarac właściwyc γ, γ i wysokościac i. Określić różnicę poziomów wody w piezometrac. 5

27 Dane: γ, γ,, Szukane: x p a x Rys. I-6 Rozw.: Ciśnienie p na styku warstw cieczy można zapisać jako: pa + γ ( x) pa p γ + ( I-49 ) Zatem szukana różnica poziomów wynosi: x γ γ ( I-50 ) γ PRZYKŁAD I-5 Obliczyć ciężar właściwy cieczy γ w przypadku gdy naczynia wypełnione są różnymi niemieszającymi się ze sobą cieczami (jak na rys. I-7). Dane: γ, γ, a, b, c, d, Q, F Szukane: γ Q F p a pa a c A b d B Rys. I-7 6

28 Rozw.: Na podstawie zasady naczyń połączonyc (patrz rozdział I..4): p p Q pa + + γ a + γ b ( I-5 ) F A p + γ c + d ( I-5 ) B a γ Ciśnienia w punktac leżącyc na tej samej wysokości są jednakowe, czyli p A jest równe p B, stąd: p Q + + γ a + γ b pa + γ c + γ d ( I-5 ) F a Z powyższego równania wyliczyć można szukany ciężar właściwy: Q γ d γ b γ F ( I-54 ) a c I..7. Zmiana ciśnienia gazu związaną ze zmiana jego objętości (zastosowanie prawa Boyle a Mariotte a) Prawo Boyle a-mariotte a zapisać można jako: pv const ( I-55 ) Powyższy zapis oznacza, że jeżeli dana masa gazu utrzymywana jest w stałej temperaturze, jego ciśnienie p jest odwrotnie proporcjonalne do objętości V. PRZYKŁAD I-6 O ile zwiększy się balonik wypełniony powietrzem do objętości V bal wypuszczony na głębokości? Dane: Szukane: 0 cm, γ m 0 kn/m, V bal 5 l V x 7

29 V x m V bal Rys. I-8 Rozw.: Przy założeniu stałości temperatury, na podstawie prawa Boyle a Mariotte a zapisać można następujący związek: p 0 Vbal pavx, ( I-56 ) gdzie: p 0 ciśnienie na głębokości 0 m, V bal początkowa objętość balonika, objętość balonika na powierzcni morza. V x Ciśnienie p 0 jest ciśnieniem na głębokości 0 m, które można obliczyć jako: p p a + γ Pa, ( I-57 ) 0 m p0vbal 05 0,005 V x 0,0m 0 cm, ( I-58 ) p 05 a Objętość balonika zwiększyła się dwukrotnie (z 5 do 0 litrów). PRZYKŁAD I-7 Do walcowatego naczynia (rys. I-9) o wysokości wlano wodę przez zawór do wysokości. Po otwarciu zaworu, naczynie zaczęło się opróżniać. Obliczyć na jakiej wysokości x woda w naczyniu przestanie wypływać i jakie będzie wtedy panowało ciśnienie p g w naczyniu. Dane: 50 cm, 70 cm, γ w 9,8 kn/m Szukane: p g, x 8

30 Zawór p g x Zawór Rys. I-9 Rozw.: W trakcie opróżniania naczynia, poziom zwierciadła wody obniża się, rośnie natomiast objętość gazu znajdującego się ponad zwierciadłem wody gaz rozpręża się. Pomimo otwartego zaworu woda z naczynie przestanie wypływać, gdy suma ciśnienia gazu p g warstwy wody w zbiorniku zrównoważy się z ciśnieniem atmosferycznym panującym na zewnątrz naczynia. Równanie równowagi przyjmie zatem postać: p a p + γx p p γx ( I-59 ) g g a Przy założeniu, że przemiana jest izotermiczna, na podstawie twierdzienia Boyle a Mariotte a zapisać można następujący związek: p V a 0 p gvg ( I-60 ) gdzie V 0 jest objętością gazu przed rozprężeniem wynoszącą: V 0 πd 4 ( ), ( I-6 ) a V g objętością gazu gdy woda przestanie wypływać z naczynia równą: V g πd 4 ( x). ( I-6 ) Ciśnienie gazu p g na podstawie powyższyc równań wyraża się zależnością: p g V 0 pa pa ( I-6 ) V x g Porównując prawe strony równań (I-59) i (I-6) otrzymujemy: 9

31 p γ x ( I-64) x a p a Po przekształceniu powyższego wzoru, otrzymuje się równanie kwadratowe postaci: ( p + γ ) x + p 0 γ x ( I-65) a a Po podstawieniu danyc i obustronnym podzieleniu przez 000: 9,8x 08,7 x + 50,65 0 ( I-66) Wyróżnik równania powyższego równania kwadratowego: 08,7 4 9,8 50,65 97 ( I-67) Szukana wysokość x wynosi zatem: 08,7 97 x 0,49 m ( I-68) 9,8 Woda w zbiorniku obniżyła się zatem o cm. I..8. Rozkład ciśnień na prostokątne ściany płaskie graficzna interpretacja prawa Pascala i prawa Eulera Prawo Pascala: Jeżeli działanie sił masowyc można zaniedbać (jest pomijalnie małe), wówczas na ciecz działają jedynie siły powierzcniowe, a zatem ciśnienie ma jednakową wartość w każdym punkcie cieczy: p p 0. Z prawa tego wynika, że ciśnienie zewnętrzne przenosi się w każdym punkcie cieczy w niezmienionej wartości. Prawo Eulera: Wartość ciśnienia w dowolnym punkcie cieczy pozostającej w spoczynku jest niezależna od orientacji przestrzennej powierzcni, na którą działa (czyli ciśnienie jest skalarem, a zatem w jednym punkcie może istnieć tylko jedna wartość ciśnienia) 0

32 a) Rozkład ciśnień na ścianę płaską - pionową lub pocyłą p a rozkład ciśnienia na pionową ścianę powstały pod wpływem sił powierzcniowyc - parcia atmosfery rozkład ciśnienia na pionową ścianę powstały pod wpływem siły ciążenia p a A Rys. I-0 Ciśnienie w punkcie A: p A p + γ a rozkład ciśnienia na pionową ścianę powstały pod wpływem siły ciążenia p a rozkład ciśnienia na pionową ścianę powstały pod wpływem sił powierzcniowyc - parcia atmosfery pa A Rys. I- Ciśnienie w punkcie A: p p + γ A a

33 b) Rozkład nadciśnień p p a p a rozkład nadciśnień B A p a? na podstawie prawa Eulera Rys. I- Z prawa Eulera wynika, że w punkcie A ciśnienie ma wartość γ niezależnie czy punkt A przypisany będzie do ściany pionowej czy poziomej. Analogicznie można zastosować prawo Eulera przy rysowaniu rozkładu ciśnień w punkcie B. c) Rozkład ciśnienia wywieranego przez dwie różne, niemieszające się ze sobą ciecze rozkład nadciśnień Rys. I-

34 I.. PARCIE NA POWIERZCNIE PŁASKIE Jeżeli ciśnienie zewnętrzne działa z taką samą wartością, z obu stron na taką samą powierzcnię, to jego działanie ulega wzajemnej redukcji, a siła pocodzi tylko od siły parcia cieczy na tę powierzcnię. W niniejszym rozdziale rozważa się całkowite parcie na ścianę płaską (a nie jego składowe). Wektor ten jest: prostopadły do rozpatrywanej powierzcni, skierowany ku powierzcni, leży poniżej środka ciężkości ściany (gdy ściana nie jest pozioma). I... Metoda graficzno analityczna obliczania wartości siły parcia Wartość siły parcia wynosi: P V b γ ( I-69 ) gdzie: V b γ objętość tzw. bryły parcia, ciężar właściwy cieczy. p a bryła parcia P p a Rys. I-4

35 Bryła parcia to taka bryła geometryczna, która po wypełnieniu cieczą ma ciężar równy co do wartości sile parcia tej cieczy. Konstrukcja bryły parcia W każdym punkcie płaskiej powierzcni A na którą działa ciecz, odkładamy prostopadle do niej odcinek długości równej zagłębieniu tego punktu pod zwierciadłem cieczy. Pionowy przekrój bryły parcia nazywany jest wykresem parcia. WYKRES PARCIA O P C A S Rys. I-5 Bryła parcia na ścianę zbiornika (C środek parcia, S środek ciężkości) W przypadku działania ciśnienia zewnętrznego p nad zwierciadłem cieczy, należy: podnieść poziom zwierciadła o wartość p/γ tworząc tzw. zwierciadło zastępcze (zastępując w ten sposób ciśnienie zewnętrzne ciśnieniem dodatkowej cieczy), skonstruować bryłę parcia licząc zagłębienia punków od powierzcni zwierciadła zastępczego, obliczyć ciężar powstałej bryły parcia. Środek parcia C Jest to punkt na powierzcni A jest to punkt w którym wektor parcia przebija powierzcnię na którą wyznaczamy parcie. Jest to prostokątny rzut środka ciężkości bryły parcia na powierzcnię A. 4

36 I... Metoda analityczna obliczania wartości siły parcia W metodzie tej przyjmuje się układ współrzędnyc (x, y) o początku w środku ciężkości ściany na którą obliczamy parcie (rys. I-6). Wartość siły parcia cieczy na powierzcnię płaską oblicza się według wzoru: P γ z A ( I-70 ) S gdzie: A pole powierzcni na którą obliczamy parcie, γ ciężar objętościowy cieczy, z S pionowe zagłębienie środka ciężkości powierzcni A pod zwierciadłem cieczy. O zs P C S Ls Rys. I-6 Wektor siły parcia jest prostopadły do powierzcni A i przecodzi przez środek parcia C (leżący poniżej środka ciężkości S), którego współrzędne oblicza się następująco: I y XS C L A ( I-7 ) S I xy xc ( I-7 ) L A S y C A S y C xc x 5

37 gdzie: I xs moment bezwładności powierzcni A względem osi x, L S zagłębienie środka ciężkości ściany licząc po ścianie, moment odśrodkowym powierzcni A względem osi x,y. I xy Uwaga! Wszystkie przykłady zawarte w niniejszym skrypcie dotyczą ścian symetrycznyc, dla któryc współrzędna x C wynosi 0. x S b as x S S d ba I XS 4 πd I XS 64 a x S S x S S a a I XS 6 b ( a + b) + I XS 6 a + b ab Rys. I-7 Moment bezwładności I XS względem osi x S 6 I... Zadania parcie na ściany płaskie Aby lepiej zapoznać się z powyższymi metodami wyznaczania wartości siły parcia i jej położenia, rozwiązanie pierwszyc pięciu zadań (przykłady I-8 do I-) przedstawiono przy użyciu zarówno metody graficzno analitycznej, jak i analitycznej. PRZYKŁAD I-8 Parcie na ścianę pionową Jedna ściana prostopadłościennego zbiornika (rys. I-8) może odcylać się względem osi O. Oblicz moment siły parcia na tę ścianę względem punktu O. Dane: m, L 0,5 m, γ 9,8 kn/m Szukane: M O

38 O O L O Rys. I-8 Rozw.:. Metoda graficzno - analityczna Aby zastosować metodę tę do obliczania wartości siły parcia, należy najpierw skonstruować bryłę parcia odkładając w każdym punkcie ściany prostopadle do niej odcinek równy zagłębieniu tego punktu pod zwierciadłem cieczy. γ P O C r O C L O Rys. I-9 W rozpatrywanym przypadku, bryła parcia jest graniastosłupem o podstawie trójkątnej, który przedstawiono na rys. I-0. P C O O Zatem wartość siły parcia wynosi: Rys. I-0 7

39 P V γ Lγ ( I-7 ) b Siła ta jest prostopadła do ściany, skierowana do klapy. Środek ciężkości tego graniastosłupa, leży w środku ciężkości trójkąta, czyli na wysokości / ponad dnem zbiornika. Środek parcia znajduje się zatem w połowie klapy (L/), na wysokości / od jej dołu. Zatem ramię siły parcia wynosi: r /, a moment siły parcia względem punktu O jest równy: M P r Lγ Lγ 0,5 9,8 O 0,8 kn ( I-74 ). Metoda analityczna 6 Przyjęto układ współrzędnyc (x, y) jak na rys. I-. Jego początek znajduje się w środku ciężkości ściany. Ponieważ klapa jest pionowa, oś x jest pozioma, a y - pionowa. Wartość siły parcia liczona wzorem (I-70) wynosi: 6 z S y C r P S C O Rys. I- O S C L y,z O x P z Aγ Lγ Lγ ( I-75 ) S Rzędna y C środka parcia wg wzoru (I-7) wynosi: S L I y C ( I-76 ) 6 y A Ramię siły parcia jest zatem równe: r ( I-77 ) y C 6 Zatem moment siły parcia względem punktu O jest równy: O 6 6 M P r Lγ Lγ 0,5 9,8 0,8 kn ( I-78 ) 8

40 PRZYKŁAD I-9 Parcie na ścianę ukośną Jaką trzeba przyłożyć siłę Q do dołu kwadratowej klapy (rys. I-) znajdującej się w ścianie zbiornika, by uniemożliwić jej obrót wokół osi O pod wpływem parcia wody. Dane: Szukane: a,, γ N Q O a a Rys. I- Rozw.: Warunek równowagi klapy (równanie momentów siły Q i siły parcia P względem punktu O): P r Q a P r Q ( I-79 ) a. Obliczanie wartości siły parcia P i jej ramienia r metodą graficzno - analityczną P Q r O a a Rys. I- Bryła parcia konstruowana wg zasad opisanyc w.. jest graniastosłupem o podstawie trójkątnej. Wartość siły parcia wynosi zatem: 9

41 P Vb γ a γ ( I-80 ) Siła ta jest prostopadła do ściany, skierowana do klapy. Środek ciężkości tego graniastosłupa, a wiec i środek parcia, leży w środku ciężkości trójkąta, czyli na wysokości a/ licząc od dołu klapy. Zatem ramię siły parcia wynosi: r /a, a moment siły parcia względem punktu O jest równy: M P P r a γ ( I-8 ). Obliczanie wartości siły parcia P i jej ramienia r metodą analityczną Przyjęto układ współrzędnyc (x, y) o początku w środku ciężkości klapy jak na rys. I-4. z S P O a Q S y y C C a x Rys. I-4 Wartość siły parcia wg (I-70) wynosi: P z Aγ S a γ ( I-8 ) Ramię siły parcia obliczyć można na podstawie rzędnej y C środka parcia: 4 a a a I a a a r y C a ( I-8 ) a y A 6 S Moment siły parcia wyrażony jest iloczynem wartości siły i jej ramienia: M P P r a γ ( I-84 ) Wyznaczona na podstawie (I-79) szukana wartość siły Q wynosi: M a γ P Q a γ ( I-85 ) a a 40

42 PRZYKŁAD I-0 Parcie na ścianę złożoną Cała ściana zbiornika obraca się wokół punktu O. Ile musi wynosić siła Q, by przyłożona poziomo do górnej krawędzi tej ściany, nie pozwoliła na jej odcylenie pod wpływem. Dane: Szukane:,, L, γ, α Q Q r P r r P L O O O L Rozw.: Warunek równowagi ściany: Rys. I-5 P r + P r Qr, ( I-86 ) gdzie ramię r siły N wynosi: r + sinα. ( I-87 ) Czyli wartość szukana siły Q jest równa: P r + P r Q ( I-88 ) + sinα. Metoda graficzno - analityczna obliczenia wartości sił parcia i ic ramion Obliczenie wartości siły P i wyznaczenie jej środka parcia wg zasad opisanyc w rozdziale..: 4

43 P V γ (objętość graniastosłupa o podstawie trójkątnej) γ ( I-89 ) P Lγ ( I-90 ) r α + ( I-9 ) sin Q r P C γ r O P α L O O L Rys. I-6 Obliczenie wartości siły P i wyznaczenie jej środka parcia Q r r '' P '' P γ r ' O P ' α O O L Rys. I-7 4

44 Przy dokonywaniu obliczeń na całą ścianę, wykres parcia będzie trapezem. W takim wypadku, aby określić położenie środka parcia, trzeba wyznaczyć środek ciężkości tego trapezu. W tym celu należy podzielić trapez na figury prostsze (prostokąt i trójkąt), któryc położenie środka ciężkości jest oczywiste (w połowie boku prostokąta, na / wysokości trójkąta). Warunek równowagi ściany (I-86) przyjmie wtedy postać: P r + P ' r ' + P " r " Q ( I-9 ) + sinα W takim przypadku obliczenia przeprowadza się w sposób następujący: P V γ (objętość graniastosłupa o podstawie prostokątnej) γ ( I-9 ) P L γ ( I-94 ) r / ( I-95 ) P V γ (objętość graniastosłupa o podstawie trójkątnej) γ ( I-96 ) P " sinα Lγ ( I-97 ) r / ( I-98 ). Metoda analityczna obliczenia wartości sił parcia i ic ramion Dla poszczególnyc części ściany przyjęto układy współrzędnyc (x, y) dla poszczególnyc części ściany jak na rysunkac I-8 i I-9. Początek tyc układów znajduje się w środku ciężkości płaskic części ściany. Obliczenie wartości siły P i wyznaczenie jej środka parcia (rys. I-8): P z A γ Lγ ( I-99 ) S Rzędna y C środka parcia wynosi: y C S S I I L / ( I-00 ) L A z A L 6 Ramię siły parcia P jest zatem równe: r + sinα y sinα sinα C + + ( I-0 ) 6 4

45 Q L z S x y C P r P y,z O O O L Rys. I-8 Obliczenie wartości siły P i wyznaczenie jej środka parcia (rys. I-9) ( sinα ) Lγ P z S Aγ + ( I-0 ) Q z S P L S r P O L O O S Rzędna y C środka parcia wynosi: Rys. I-9 y y C x y C I L / sinα ( I-0 ) LS A 6 ( + sinα ) + L sinα 44

46 Ramię siły parcia P jest zatem równe: r + sinα y C ( I-04 ) r r sinα + ( I-05 ) sinα sinα 6( + sinα ) sinα ( I-06 ) 6 ( + sinα ) PRZYKŁAD I- Uwzględnienie działania tłoka Oblicz parcie wina na dno całkowicie wypełnionej butelki zamkniętej korkiem, który jest wciskany do butelki z siłą Q. Q F R Dane: Szukane: R, Q, F, γ P Rys. I-40 Rozw.: Aby uwzględnić działanie siły nacisku na korek, należy utworzyć zwierciadło zastępcze. Będzie znajdowało się one na wysokości x ponad środkiem ciężkości korka (patrz rys. I-4 i I-4). Zamieniamy zatem ciśnienie pocodzące od siły nacisku na korek, na ciśnienie pocodzące od warstwy wina o wysokości x, co oznacza, że: Stąd: Q p xγ ( I-07 ) F Q x ( I-08 ) Fγ 45

47 Metoda graficzno analityczna x Q F p - Rys. I-4 Objętość bryły parcia równa będzie sumie objętości walca o promieniu podstawy R o wysokości (x-r) i połowie objętości walca o promieniu podstawy R o wysokości R. Wartość siły parcia obliczona na podstawie (I-69) wynosi zatem: P Vγ [ πr ( x R) + πr R]γ ( I-09 ) P xπr γ ( I-0 ) Metoda analityczna x x+r x-r P R x z S Q F p - P R Rys. I-4 Wartość siły parcia na dno P obliczone wg (I-70) wynosi: P z S Aγ xπr γ ( I- ) 46

48 PRZYKŁAD I- Oblicz parcie cieczy na kwadratową ścianę w dnie zbiornika. Dane: a, Q, F, γ Szukane: P, M O Q F a 0 O a a Rys. I-4 Rozw.: Aby uwzględnić działanie tłoka, należy utworzyć zwierciadło zastępcze. Będzie znajdowało się one na wysokości x ponad środkiem ciężkości tłoka wynikającej z zamieniany ciśnienia pocodzącego od tłoka na ciśnienie pocodzące od warstwy cieczy o ciężarze objętościowym γ i wysokości x równej: Q x ( I- ) Fγ. Metoda graficzno analityczna Bryła parcia jest granisatosłupem o podstawie trapezu i wysokości a. Wartość siły parcia na dno P ze wzoru (I-69) wynosi: ( x 0, 5a + x + a) a aγ P ( I- ) ( x 0,5a) γ P 9 + a ( I-4 ) 47

49 x Q F a P x+a-asin0 x-0,5a O x+a 0 O a a Rys. I-44. Metoda analityczna x z S Q F a P 0 O S a S a Rys. I-45 Po ustaleniu wysokości położenia zwierciadła zastępczego cieczy, obliczyć można na podstawie (I-70) wartość siły parcia cieczy na dno: o P γz S A ( x + a a sin 0 ) (a) γ ( x + a 0,75a) 9 a γ ( I-5 ) ( x 0,5a) γ P 9 a ( I-6 ) 48

50 PRZYKŁAD I- Mur betonowy ma wysokość. Jaka powinna być jego grubość b, by: a) nie został przesunięty pod wpływem parcia wody, b) nie został obrócony wokół punktu (osi) O. Obliczenia przeprowadzić na m długości muru. Dane: 0 m, γ b 5000 N/m, µ 0,65 (współczynnik tarcia o podłoże), n,4 (współczynnik bezpieczeństwa) Szukane: b b O Rys. I-46 Rozw: Do obliczeń przyjęto najbardziej niekorzystny przypadek, czyli taki, że woda sięga do szczytu muru. P G r P r G b O Rys. I-47 49

51 a) Warunek na przesunięcie muru (parcie musi być mniejsze niż tarcie): P T µ G ( I-7 ) b) Warunek na obrót względem punktu O: P r G ( I-8 ) P r G Wartość siły parcia (i jej ramienia) policzona metodą graficzno analityczną: 0 P γ w N ( I-9 ) r P /, m ( I-0 ) Wartość ciężaru i jego ramienia: [ ] b G b γ b b N ( I- ) r G b / ( I- ) Po postawieniu tak obliczonyc wartości sił do warunku (I-7): b 0,65 ( I- ) Stąd szerokość muru b,0 m. Analogicznie dla warunku b (równanie (I-8)): , , 5 b, ( I-4 ) czyli grubość muru b,6 m. Należy zatem przyjąć wariant bezpieczniejszy, czyli większą wartość szerokości, a następnie nałożyć na nią współczynnik bezpieczeństwa n,4, co oznacza, że: b n,6,4,6 5,4 m ( I-5 ) czyli należy zaprojektować mur o grubości większej niż 5,4 m. PRZYKŁAD I-4 Betonowy mur o wysokości ma przekrój trapezu, którego górna krawędź wynosi a. Ile powinna wynosić grubość b tego muru przy podłożu, aby: a) nie został przesunięty pod wpływem parcia wody, b) nie został obrócony wokół punktu (osi) O. 50

52 Obliczenia przeprowadzić na m długości muru, w przypadku, gdy woda sięga górnej krawędzi muru. Dane: 0 m, a m, γ b 5000 N/m, µ 0,65 (współczynnik tarcia o podłoże), n,4 (współczynnik bezpieczeństwa), Szukane: b. a b O Rys. I-48 Rozw: Do obliczeń przyjęto najbardziej niekorzystny przypadek, czyli taki, że woda sięga do szczytu muru. a P r P G r G G r G Rys. I-49 b O 5

53 a) Warunek na przesunięcie muru (parcie musi być mniejsze od tarcia): ( ) P T µ G µ G + G ( I-6 ) b) Warunek na obrót względem punktu O: P r G r + G r ( I-7 ) P G G 0 P γ w N ( I-8 ) r P /,m ( I-9 ) G a γ N ( I-0 ) b r G b a / b,5m ( I- ) ( b a) γ b G ( I-) ( b,5) (,5) 5000N G ( I- ) b ( b a) (,5)m r G ( I-4 ) b Po postawieniu tak obliczonyc wartości sił do warunku (I-6): ,65 ( (B-,5) 5000) obliczyć można szerokość muru: b m. Dla warunku (I-7): , (b -,5) + (b -,5) 5000, czyli grubość muru b,67 m. Należy zatem przyjąć wariant bezpieczniejszy, czyli większą wartość szerokości. Dodatkowo nałożono na tę wartość współczynnik bezpieczeństwa n,4 czyli: b n,67,4,67 5,4 m. Ostatecznie zatem należy zaprojektować mur o grubości większej niż 5,4 m. PRZYKŁAD I-5 Obliczyć ciężar Q przeciwwagi, potrzebny do utrzymania w równowadze prostokątnej klapy jazu wymiarac a b, mogącej otwierać się względem punktu O. Dane: Szukane: B,, q, f, α Q 5

54 q A f Q P b 60 O O a Rys. I-50 Na wspomnianą klapę działają dwie siły: ciężar Q i siła parcia P. Aby znaleźć związek pomiędzy tymi siłami należy zapisać równanie momentów sił względem punktu O i A. W tym celu wprowadzono pomocniczą siłę F (patrz rys. I-5). q A f Q F P z S S C b F O 60 O r C S yc x a y Rys. I-5 a ( I-5 ) sin 60 0 Wartość siły parcia obliczona metodą analityczną wynosi: 5

55 P γz S A abγ 0, 5abγ ( I-6 ) Ramię siły parcia względem punktu O wynosi y r a y, gdzie: ba I a ( I-7 ) y A a S 6 ab C Zatem ramię siły parcia względem punktu wynosi: Równanie momentów względem punktu O: Zatem: 0 C r a. F tg60 P r ( I-8 ) P r 0, 5abγ a F a bγ ( I-9 ) 0 / tg60 / 6 Równanie momentów względem punktu A: Q q F f ( I-40 ) Ff a bfγ Q ( I-4 ) q 6q PRZYKŁAD I-6 Wyznaczyć pionową siłę Q potrzebną do podniesienia prostokątnej klapy oddzielającej zbiornik od prostokątnego kanału o głębokości napełnienia i szerokości b mogącej obracać się względem punktu (osi O). Dane: Szukane: b m, m, m, α 45 o Q Rozw.: Równanie równowagi klapy (równanie momentów względem punktu O): P r Q r P r Q P P Q ( I-4 ) rq 54

56 O P Q b Rys. I-5 Ramię siły Q wynosi: r Q m ( I-4 ) z S O P S y C r P Q r Q b Rys. I-5 Wartość parcia P obliczyć można metodą analityczną: P γ zs A γ b sinα N Ramię siły parcia: ( I-44 ) 55

57 y C b I sinα ( I-45 ) y S A 6( ) sinα b sinα sinα y C m ( I-46 ) 6 6 r P ( ) + y + o sinα sin 45 C Zatem szukana wartość siły Q wynosi: ,65 m ( I-47 ) P rp 55494,65 Q 4578N ( I-48 ) r Q PRZYKŁAD I-7 Wyznaczyć parcie na ścianę zbiornika o szerokości b wypełnionego trzema różnymi cieczami (jak na rys. I-54). Dane: b, γ, γ, γ,,, Szukane: P γ γ P p P p γ P Rys. I-54 p 56

58 Rozw.: W przypadku występowania w zadaniu cieczy o różnyc gęstościac zastosowanie pojęcia bryły parcia jest niewygodne, gdyż dla uzyskania parcia objętość bryły dla każdej z cieczy powinna być wymnożona przez inny ciężar właściwy. Należy zatem korzystać z wykresu ciśnienia p(z). Wartość siły parcia: P P + P + P ( I-49 ) Ciśnienia na dole kolejnyc warstw cieczy wynoszą odpowiednio: p p p γ ( I-50 ) γ + γ ( I-5 ) γ + γ + γ ( I-5 ) Na tej podstawie, obliczyć można parcia od poszczególnyc cieczy: P b ( I-5 ) γ [ γ + ( γ + )] b P γ ( I-54 ) [ γ + γ + ( γ + γ + )] b P γ ( I-55 ) 57

59 I.. PARCIE NA ŚCIANY ZAKRZYWIONE I... Obliczenie wartości siły parcia Elementarne powierzcnie da tworzące rozpatrywaną powierzcnię krzywą mają różną orientację w przestrzeni. Prostopadłe do nic, elementarne parcia dp i nie są więc do siebie równoległe. Dlatego wartość wypadkowej siły parcia P nie może być obliczona jako algebraiczna suma wartości elementarnyc sił. Zatem siłę parcia całkowitego można rozłożyć na dwie składowe: pionową P V i poziomą P. P P V P Rys. I-55 Składowa pozioma parcia P Obliczenia wartości tej składowej parcia jest praktycznie obliczeniem wartości siły parcia na rzut rozpatrywanej ściany na pionową ścianę (czyli na ścianę płaską), do jej obliczeń stosuje się metody omówione w rozdziale I.: metodę graficzno analityczną, analityczną. Składowa pozioma parcia jest prostopadła do rzutu rozpatrywanej powierzcni i działa zawsze od cieczy w kierunku ściany. Składowa pionowa parcia P V Aby obliczyć wartość tej składowej, skorzystać można jedynie z metody graficznoanalitycznej postępując następująco: wykonać prostokątny rzut ściany zakrzywionej na powierzcnię zwierciadła cieczy, dla tego rzutu skonstruować bryłę składowej pionowej parcia (bryła jest ograniczona: powierzcnią ściany, zwierciadłem cieczy i tworzącymi pionowymi), obliczyć ciężar bryły parcia: P V V V γ. Wektor P V jest prostopadły do powierzcni zwierciadła cieczy i zwrócony jest: do góry (jeżeli ściana znajduje się nad cieczą), a ku dołowi gdy ciecz jest nad ścianą na którą parcie liczymy. 58

60 Wartość całkowitej siły parcia P działającego na powierzcnię krzywą obliczyć można zatem jako: P P + P V ( I-56 ) Kierunek działania siły P jest zawsze prostopadły do powierzcni, a jej kąt nacylenia do poziomu obliczyć można następująco: P arctg P V α ( I-57 ) PRZYKŁAD I-8 Obliczyć wartość siły parcia na ścianę AB będącą ćwiartką walca o promieniu podstawy R i wysokości b (rys. I-56). Dane: Szukane: R, b, γ P A P V P P R B Rys. I-56 Rozw.: Wypadkowe parcie P na ścianę AB należy rozłożyć na składowe: P i P V.. Składowa pozioma parcia P Wartość tej składowej obliczyć można dwoma metodami. a) metoda analityczna P γ z A, ( I-58 ) S gdzie A jest powierzcnią ściany, a z S - zagłębieniem środka ciężkości rzutu rozpatrywanej ściany na dowolną powierzcnię pionową pod powierzcnią zwierciadła cieczy. P γ z A R b γ ( I-59 ) S 59

61 R A z S A' P b) metoda graficzno analityczna B Wykres składowej poziomej parcia na na ćwiartkę walca A'B' jest rzutem ściany AB Rys. I-57 B' P R R P R Bryła składowej poziomej parcia na na ćwiartkę walca b. R P R b Rys. I-58 Bryła parcia będzie graniastosłupem o wysokości b i podstawie będącej trójkątem równoramiennym o boku R (rys. I-58). P V γ R bγ ( I-60 ). Składowa pionowa parcia P V Bryła parcia składowej pionowej parcia jest ograniczona: ścianą, jej rzutem na powierzcnię zwierciadła cieczy i płaszczyznami pionowymi, a zatem jest ćwiartką walca o promieniu R i wysokości b (rys I-59), zatem wartość P V wynosi: P V γ πr bγ ( I-6 ) V V 4 R 60

62 Wykres składowej pionowej parcia na ćwiartkę walca R Bryła składowej pionowej parcia na na ćwiartkę walca b P V P R P V Rys. I-59 PRZYKŁAD I-9 Obliczyć parcie na segmentowe zamknięcie jazu. Szerokość segmentu wynosi b promień R, a kąt pomiędzy ryglami α. Oś obrotu znajduje się na poziomie zwierciadła wody górnej. Dane: R 8 m, b 6 m, α 0 o Szukane: P A R O R sin P V P P B Rozw.: Rys. I-60. Składowa pozioma parcia P a) metoda analityczna A R O A' z S P B A'B' jest rzutem ściany AB B' Rys. I-6 ( R sinα ) b (8 ) 6 9,8 47k bγ P γ z S A γ ( I-6 ) 6

63 b) graficzno - analityczna Jak w poprzednim zadaniu, należy utworzyć bryłę składowej poziomej parcia, a następnie obliczyć jej ciężar: P V γ R sin α bγ 8 6 9,8 47kN ( I-6 ) 4 Wykres składowej poziomej parcia na segment Bryła składowej poziomej parcia na segment Rys. I-6 b. Składowa pionowa parcia P V Na podstawie opisanej wcześniej metody, wyodrębnić należy bryłę składowej pionowej parcia, a następnie obliczyć jej ciężar. Bryła składowej pionowej Wykres składowej pionowej parcia na segment parcia na segment R O R O Rsin Rcos P V Rys. I-6 α VV γ Vwyc V ( πr O R sinα R cosα ) 60 O 0 ( π 8 O 8 8 ) 6 9,8 70 kn 60 Wektor całkowitego parcia ma długość: bγ ( I-64 ) 6 P P + P kn ( I-65 ) V i jest nacylony do poziomu pod kątem P 47 o tg α α ( I-66 ) P V 70,77 70

64 I... Redukcja wykresów parcia W celu skrócenia obliczeń, w przypadku, gdy na ścianę działa tylko jedna ciecz, wykresy parcia można redukować. Na poniższyc rysunkac przedstawiono kilka przykładów redukcji wykresów parcia (poziomego i pionowego) na ścianę w kształcie fragmentu walca w przypadku, gdy: a) ciecz działa tylko od jednej strony ściany, b) na ścianę działa ciecz z obu jej stron. a) ciecz działa na ścianę tylko z jednej strony woda po prawej stronie ćwiartki walca woda po lewej stronie ćwiartki walca P P P V P V P P przed redukcją Rys. I-64 woda po prawej stronie połówki walca po redukcji P P V P przed redukcją Rys. I-65 woda po lewej stronie połówki walca po redukcji P P V P Rys. I-66 6

65 zwierciadło zastępcze po redukcji wykresów składowej pionowej parcia ostateczna postać wykresu składowej pionowej parcia Q P V F Rys. I-67 b) ciecz działa na ścianę w kształcie połówki walca z dwóc jego stron wykresy parcia przed redukcją P P V P P P V P wykresy parcia po redukcji P P V P Rys. I-68 PRZYKŁAD I-0 Obliczyć parcie cieczy na segment (rys. I-69) będący wycinkiem walca o długości L i promieniu podstawy r. Dane: Szukane: m, r 5 m, b 6 m, α 45 o P 64

66 γ α O r +r sinα γ r sinα Rys. I-69 Rozw.:. Składowa pozioma parcia P Ponieważ na segment działa tylko jedna ciecz, można dokonać redukcji wykresów składowej poziomej parcia (rys. I-70). r sinα r sinα Rys. I-70 ( ) 6 9,8 47,4 kn P V γ R sinα bγ 5 ( I-67 ). Składowa pionowa parcia P V P V V V γ α ( πr + ( R R cosα )) O 60 O 45 ( π 5 ( 5 5 ) 6 9,8 76,5 kn O 60 bγ ( I-68 ) 65

67 Wektor całkowitego parcia ma długość: P P + P 76,5 + 47,4 90 kn ( I-69 ) V i jest nacylony do poziomu pod kątem P 76,5 o tg α,6 α 58 ( I-70 ) P V 47,4 I... Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem równowagi sił PRZYKŁAD I- Przepływ cieczy między komorami uniemożliwia zawór stożkowo - kulisty spoczywający na dnie prawej komory (rys. I-7). Ciężar zaworu wynosi Q. Przy jakim napełnieniu x z lewej strony komory zawór uniesie się i odsłoni otwór? γ x γ P G P D Q stożek półkula d D Rys. I-7 Dane: Szukane:,, d, D, γ, Q x Rozw.: Siłą, która może podnieść zawór jest składowa pionowa parcia. Uwzględniając ciężar Q zaworu można zapisać warunek równowagi sił na niego działającyc: 66

68 P G + Q P D, gdzie P G jest parciem na górną część zaworu: ( I-7) P (obj. walca obj. stozka) γ ( I-7) G πd πd πd P G γ [ ] γ ( I-7) P D - parcie na dolną część zaworu P (obj. walca obj. pólkuli) γ ( I-74) D Po podstawieniu otrzymujemy: D πd Q PD PG [ x + ] γ, ( I-75) 4 P D πd 4 4 D x π 6 γ πd 4 D [ x ] ( I-76) skąd można wyliczyć szukane napełnienie x, po przekroczeniu którego zawór podniesie się i odsłoni wylot przewodu. PRZYKŁAD I- Otwór o średnicy d w dnie zbiornika zamykany jest stożkiem o ciężarze G. Zbiornik jest wypełniony cieczą do wysokości, przy czym zwierciadło cieczy spoczywa szczelny tłok powierzcni F, obciążony siłą Q. Obliczyć siłę N potrzebną do wyciągnięcia stożka z otworu. Dane: Szukane: G, Q, F, D, d,, t, γ N 67

69 zwierciadło zastępcze x Q/(F ) γ Q P V -+x N? G t (D-d)/ P V d d D Rys. I-7 Rozw.: Aby uwzględnić działanie tłoka, należy zamienić jego działanie na działanie warstwy cieczy o takim samym ciężarze jak ciecz w zbiorniku i wysokości x Q/(F γ) ponad rzeczywistym zwierciadłem cieczy. Aby zawór wyciągnąć, wartość szukanej siły N musi być większa od wartości sumy sił: wypadkowego parcia (w tym przypadku parcie poziome redukuje się, a zatem uwzględniamy jedynie składową pionową parcia P V P V ), ciężaru G. Warunek równowagi stożka ma zatem postać: N G + P V P V. Bryła parcia siły P V (patrz rys. I-7) jest walcem o wysokości ( + x): πd P V ( ) + x γ ( I-77 ) 4 Bryła parcia siły P V (patrz rys. I-7) jest częścią wspólną ściętego stożka o wysokości i walca o wysokości : P πd πd πd ( ) t t γ V ( I-78 ) 68

70 I..4. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem równowagi momentów sił PRZYKŁAD I- Dla utrzymania stałej różnicy poziomów w zbiorniku, w jego ściance działowej wmontowano zawór obracający się wokół osi O. Obliczyć, jaką siłę należy przyłożyć, by zawór pozostawał w równowadze pokazanej na rys. I-7. Zbadać, czy Q zależy od. Dane: a m, d 0,5 m, 0,4 m. Szukane: Q a Q O d Rys. I-7 Rozw.: Aby zawór pozostawał w równowadze, musi być spełniony warunek: M 0 0 ( I-79 ) Q P P r r Rys. I-74 69

71 czyli: gdzie: Q P r + P r 0 ( I-80 ) ( a ) 8,6 kn P ( I-8 ) Vγ π γ Zatem: ( ) 0, kn P π γ ( I-8 ) 4 d Vγ r 0, m ( I-8 ) r d 0,06 m ( I-84 ) π P r P r 8,6 0, 0, 0,06 Q,7 kn ( I-85 ) 0,4 Wielkość siły Q nie zależy od różnicy poziomów w zbiorniku. PRZYKŁAD I-4 Jaki powinien być ciężar Q segmentu, aby utrzymał się on w położeniu pokazanym na rys. I-75. Dane: R 0 m, a 7 m, b,0 m, ϕ 0º Szukane: Q a P R Q F ϕ Rys. I-75 70

72 Rozw.: Aby segment pozostawał w równowadze, musi być spełniony warunek: M 0 0 ( I-86 ) Siła parcia nie daje momentu, bo przecodzi przez punkt O. R R Q a F Q F a ( I-87 ) Ponieważ rozkład ciśnień pod segmentem jest ydrostatyczny: F R b γ R sinϕ R b γ 0 9,8 490,5 kn ( I-88 ) 0 Q F R 490,5 50 kn ( I-89 ) a 7 I..5. Rozwiązywanie zadań w przypadku, gdy na daną ścianę działają ciecze o różnyc ciężarac właściwyc PRZYKŁAD I-5 Obliczyć parcie na połówkę walca znajdującego się w ścianie zbiornika wypełnionego dwoma cieczami (rys. I-76). Dane: Szukane: γ, γ,, R, b P zwierciadło zastępcze P VG γ P G x P VD P D Połówka walca o wysokości b i promieniu podstawy R γ Rys. I-76 7

73 Rozw.:. Parcie na górną część (ćwiartkę) walca pocodzi tylko od cieczy o ciężarze właściwym γ : ( R ) Rbγ P G + ( I-90 ) P VG ( R πr ) bγ ( I-9 ) 4. Parcie na dolną część (ćwiartkę) walca pocodzi zarówno od cieczy o ciężarze właściwym γ, jak i γ. Aby uwzglednić działanie górnej cieczy należy zamienić działanie warstwy cieczy o γ, na działanie warstwy cieczy o γ, czyli utworzyć zwierciadło zastępcze na wysokości x: γ γ x ( I-9 ) ( x + x R) Rbγ P D + ( I-9 ) P VD R b ( I-94 ) π γ Parcie całkowite wynosi: ( P + P ) + ( P P ) G VD VG VD P ( I-95 ) PRZYKŁAD I-6 Zawór o ciężarze G, składający się z dwóc półkul (rys. I-77), zamyka otwór o średnicy d wykonany w poziomej ściance przedzielającej zbiornik. Po przyłożeniu do tłoka w dolnej komorze zbiornika siły Q, zawór przesunął się do góry. Oblicz tę siłę. Dane: G, d, D,, a, γ, γ, Szuk: Q Rozw.: Aby uwzględnić działanie tłoka, należy podnieść zwierciadło wody dolnej o wysokość x. Q x ( I-96 ) F γ 7

74 7 F Q D d γ γ a x P D P G Rys. I-77 Warunek równowagi sił działającyc na zawór: G + P G P D ( I-97 ) Siły parcia działające na zawór wynoszą: 4 4 γ π π D D P G ( I-98 ) 4 ) ( 4 γ π π + d a x d P D ( I-99 ) Po podstawieniu: 4 4 γ π π D D G ( I-00 ) 4 ) ( 4 γ π γ π + d a F Q d G ( I-0 ) Z ostatniego równania należy wyznaczyć szukana wartość Q.

75 I..6. Wypór Wypór jest to wypadkowe parcie cieczy działającej na ciało zanurzone częściowo lub całkowicie (czyli skierowaną ku górze składową pionową parcia). PRZYKŁAD I-7 Kula o ciężarze objętościowym γ K pływa w cieczy. Obliczyć ciężar objętościowy cieczy, przy którym zanurzy się ona tylko do połowy swej objętości. Rozw.: Dane: γ K 7 kn/m Szukane: γ C γ K γ W Ciężar kuli: Wypór: G V γ K V W γ C K Rys. I-78 4 πr γ ( I-0 ) 4 πr γ C ( I-0 ) Kula będzie pływać w cieczy, gdy jej ciężar będzie zrównowarzony przez wypór, czyli: G W, a zatem: 4 4 π R γ πr γ γ γ 4 kn/m ( I-04 ) K C C K PRZYKŁAD I-8 Na jaką głębokość zanurzy się w wodzie korkowy walec, prostopadłościan i stożek o wysokości i polu podstawy równym πr (gęstość korka ρ K ). Dane: ρ K 00 kg/m, R m, m, γ w 980 N/m Szukane:,, 74

76 4 Rm Rm Rys. I-79 Rozw.: Ciężar bryły jest iloczynem objętości tej bryły i jej ciężaru właściwego: G V γ ( I-05 ) K Wypór wyraża się iloczynem objętości części zanurzonej danej bryły i ciężaru właściwego wody: V W γ C 4 πr γ C ( I-06 ) Korzystając z warunku równowagi G W poszczególnyc brył otrzymuje się równanie z jedną niewiadomą szukaną głębokością zanurzenia danej bryły. Wyniki obliczeń zebrano w poniższej tabeli. stożek walec prostopadłościan Ciężar: G V γ K πr γ K πr γ K πr γ K Wypór: ( ) R π γ πr w γ w πr 4 γ w W V zan γ w Głębokość γ γ K K γ K zanurzenia obliczona 4 z warunku G W γ γ w w γ w Głębokość,7 m 0,4 m 0,4 m 75

77 PRZYKŁAD I-9 Jaka część góry lodowej wystaje ponad powierzcnię morza? Dane: ρ lodu 0,9 g/cm, ρ morza,0 g/cm, V lodu V w Rozw.: Ciężar góry lodowej o objętości V lodu : G L Rys. I-80 V ρ g ( I-07 ) lodu lodu Ciężar wypartej wody o objętości V w : W V ρ g ( I-08 ) w morza Góra pływa w morzu gdy: W G V ρ g V ρ g ( I-09 ) L lodu Zatem stosunek objętości: V V w lodu ρ ρ lodu morza lodu w 0,9 89,%,0 morza ( I-0 ) Objętość wypartej wody Vw jest równa objętości zanurzonej części góry, lodowej, czyli nad powierzcnią morza wystaje niecałe % tej góry. 76

78 PRZYKŁAD I-40 Określić najmniejszą powierzcnię kry lodowej o średniej grubości, zdolnej utrzymać bałwanka o masie m. Gęstość lodu wynosi 0,9 g/cm. Dane: 0,5 m, m 70 kg, ρ L 0,9 g/cm Szukane: F x Rozw.: Warunek równowagi: gdzie: Rys. I-8 W G L +G czł, ( I- ) wypór: W F x γ ( I- ) W ciężar lodu: G L F γ ( I- ) L ciężar bałwanka: G czl m g ( I-4 ) Przyjmując, że bałwanek zacznie tonąć, gdy kra całkowicie się zanurzy, czyli x otrzymujemy: Skąd: F γ F γ + m g ( I-5 ) W m g F ρ W ρ L L 70 9,8 ( ) g 0,5 ( ),75 m 9,8 ( I-6 ) 77

79 PRZYKŁAD I-4 W którym położeniu (pionowym czy poziomym) dębowa bela w kształcie prostopadłościanu o wymiarac a a b zanurzy się głębiej? Dane: a 0,5 m, b m, ρ dębu 700 kg/m Szukane: x, y a x b b y a Rys. I-8 Rozw.: Ciężar beli: G a b ρ g 0, ,8,7 kn ( I-7 ) debu Wypór w położeniu pionowym (rys. I-8): 0 x W a x γ W,5 x 9,8,45 [kn] ( I-8 ) Warunek równowagi: W G ( I-9 ),45 x,7 kn x 0,70 m ( I-0 ) Wypór w położeniu poziomym (rys. I-8): W a b y γ W 0,5 y 9,8 9,8 [kn] ( I- ) y Warunek równowagi: W G ( I- ) 9,8 y,7 kn x 0,8 m ( I- ) Bela zanurzy się głębiej gdy jest ustawiona pionowo o: x y 0,5 cm. 78

80 I.4. RÓWNOWAGA WZGLĘDNA CIECZY Podstawowe równanie ydrostatyki ma postać: ( a dx + a dy a dz) dp ρ ( I-4 ) x y + z gdzie: p ciśnienie w punkcie cieczy, ρ gęstość cieczy, a x, a y, a z składowe w poszczególnyc kierunkac osi wypadkowej jednostkowyc sił masowyc działającyc na ciecz (siła jednostkowa to siła przypadająca na jednostkę masy). I.4.. Naczynie z cieczą wirujące ze stałą prędkością kątową wokół swej osi pionowej Walcowate naczynie wypełnione cieczą do wysokości wprawiono w ruc obrotowy wokół osi pionowej ze stałą prędkości kątową ω. Na każdy element cieczy znajdującej się w tym naczyniu działają następujące siły masowe (patrz rys. I-8): siła ciężkości G ' mg (gdzie m jest masą elementu cieczy), siła odśrodkowa I' mω r (ruc jednostajny po okręgu o promieniu r). Jednostkowe siły masowe (czyli liczone na jednostkę masy elementu) wynoszą: siła ciężkości G g, siła odśrodkowa J ω r, gdzie r oznacza promień wodzący punktu, w którym obliczana jest siła (rys I-8). Składowe tyc sił względem przyjętego jak na rys. I-8 układu współrzędnyc (x,y,z) (oś z pokrywa się z osią wirowania naczynia, osie x i y leżą na poziomie dna naczynia), poruszającego się wraz z naczyniem są równe: G x 0 G y 0 G z g J x ω x J y ω y J z 0 Składowe jednostkowej wypadkowej sił masowyc wynoszą zatem: a x ω x, a ω y, a g ( I-5 ) y z Swobodna powierzcnia cieczy jest rodzajem powierzcni jednakowyc ciśnień taką, że na każdy jej element działa ciśnienie atmosferyczne. Tak więc na powierzcni tej p p a const, zatem dp 0, czyli równanie równowagi (I-4) przybierze postać: 79

81 z p a B z 0 A r R m g x r x R y Rys. I-8 ω ( x dx + y dy ) g dz 0 ( I-6 ) Po scałkowaniu otrzymamy: ω ( x ) + y g z c gdzie c jest stałą całkowania., ( I-7 ) Po podstawieniu x + y r (równanie okręgu o promieniu r) uzyskamy całkę ogólną postaci: ω r g z c ( I-8 ) Ccąc wyprowadzić całkę szczególną (równanie swobodnej powierzcni cieczy), do powyższego równania należy podstawić współrzędne punktu A (r 0, z z 0 ) leżącego na brzegu obszaru. Stała całkowania wynosi zatem c g z 0 80

82 Równanie dla powierzcni swobodnego zwierciadła cieczy w naczyniu obracającym się ze stałą prędkością kątową ω przy przyjętym układzie współrzędnyc jak na rys. I-8 ma ostatecznie postać: r z ω + z 0, gdzie z z( r) ( I-9 ) g Uwaga! Jeżeli przyjmiemy początek układu współrzędnyc w innym punkcie, wówczas zmienią się współrzędne punktu A konieczne do wyznaczenia stałej całkowania w równaniu (I-8), czyli i równanie (I-9) zmieni swą postać. Ponieważ zazwyczaj wielkością daną nie jest wartość z 0, a głębokość napełnienia naczynia przed wprawieniem go w ruc wirowy, dlatego należy pozbyć się z 0 z równania (I-9). Należy wykorzystać tu fakt, że ilość cieczy w naczyniu nie uległa zmianie po wprawieniu go w ruc wirowy (rys. I-84). R z 0 R R R Rys. I-84 Objętość cieczy przed wprawieniem naczynia w ruc wirowy: V0 π R ( I-0 ) gdzie jest napełnieniem cieczą naczynia znajdującego się w spoczynku bezwzględnym. 8

83 Ponieważ objętość paraboloidy obrotowej o wysokości odpowiada połowie objętości opisanego na niej walca, objętość cieczy po urucomieniu wprawieniu naczynia w ruc wirowy (w przypadku, gdy z 0 0) wynosi: K [ z ] V π R + ( I- ) 0 Ponieważ ilość cieczy nie zmieniła się, więc: V 0 V z ( I- ) K 0 Dla obliczenia nieznanej wysokości, należy do równania powierzcni zwierciadła wody (I-9) podstawić współrzędne skrajnego punktu B zwierciadła (r R i z + z 0 ): ω R ω R + z0 + z0 ( I- ) g g Po podstawieniu (I-) do (I-) obliczyć można: z 0 ω R ( I-4 ) 4g Ostateczna postać równania zwierciadła w naczyniu wirującym przy układzie współrzędnyc przyjętym jak na rys. I-8 ma postać: ω z + g ( r R ) ( I-5 ) I.4.. Naczynie z cieczą poruszające się rucem jednostajnie zmiennym, prostoliniowym Rozpatrujemy naczynie prostopadłościenne (rys. I-85) o wysokości i długości L wypełnione cieczą do wysokości poruszające się po torze prostoliniowym (niekoniecznie poziomym) ze stałym przyspieszeniem a. Na każdy element cieczy znajdującej się w tym naczyniu działają jednostkowe siły masowe: siła ciężkości G, siła bezwładności F wynikająca z poruszania się naczynia z przyspieszeniem a. Składowe tyc sił względem przyjętego układu współrzędnyc poruszającego wraz z naczyniem są następujące: G x 0, G y 0, G z g, F x a, F y 0, F z 0. 8

84 A(x0,z) z g aconst x y L/ L/ Rys. I-85 Ostatecznie składowe jednostkowej wypadkowej sił masowyc wynoszą: a x a, a 0, a g ( I-6 ) y z Ponieważ wyprowadzamy równanie swobodnego zwierciadła na które działa stałe ciśnienie atmosferyczne, zatem lewa część równania równowagi (I-) zeruje się. Podstawiając składowe do równania równowagi i scałkowaniu otrzymujemy: ax + gz c ( I-7 ) gdzie c jest stałą całkowania. Podstawiając warunek na brzegu powierzcni: A (x 0, z ) stała całkowania wynosi c g Równanie powierzcni zwierciadła wody w naczyniu poruszającym się ze stałym przyspieszeniem a dla układu współrzędnyc przyjętego jak na rys. I-85 przyjmuje postać: a z x + ( I-8 ) g I.4.. Naczynie z cieczą poruszające się ze stałym przyspieszeniem w dół Poprzednie rozważania dotyczyły przypadków, gdy jedyną pionową siłą masową działającą ciecz była siła ciężkości. W przypadku, gdy tak nie jest, wzór p p 0 + γ na podstawie którego obliczyć można ciśnienie w punkcie cieczy przestaje obowiązywać. Rozpatrzmy przypadek, gdy naczynie z cieczą porusza się ze stałym przyspieszeniem w dół (rys. I-86). Wtedy na każdy element cieczy znajdującej się 8

85 w tym naczyniu działają następujące jednostkowe siły masowe: siła ciężkości G i siła bezwładności F wynikająca z poruszania się naczynia z przyspieszeniem a. z A(z) a -a g Rys. I-86 Składowe tyc sił względem przyjętego układu współrzędnyc poruszającego wraz z naczyniem są następujące: G x 0, G y 0, G z g, F x 0, F y 0, F z a. Składowe jednostkowyc sił masowyc działające na ciecz: a x 0, a 0, a a g ( I-9 ) y z Ponieważ (jak poprzednio) wyprowadzamy równanie swobodnego zwierciadła na które działa stałe ciśnienie atmosferyczne, zatem lewa część równanie równowagi (I-4) zeruje się. Podstawiając składowe do równania równowagi otrzymujemy: ρ ( a g) dz 0 ( I-40 ) Po scałkowaniu: ( a g) z c ( I-4 ) Przyjmując warunek na brzegu obszaru, A (z ), stała całkowania c wynosi: c ( a g), czyli równanie swobodnego zwierciadła cieczy przyjmuje postać: z ( I-4 ) co oznacza, że zwierciadło to układa się poziomo na wysokości ponad dnem naczynia. x PRZYKŁAD I-4 I.4.4. Zadania Wyznaczyć ciśnienie w punkcie B naczynia w kształcie walca o promieniu podstawy R, które obraca się wokół pionowej osi ze stałą prędkością obrotową ω. Dane: Szukane: R 5 cm, ω 5 rad /s, z 0 4,7 cm p A 84

86 z Rozw.: B y A z 0 R Rys. I-87 Równanie równowagi (I-4) wyraża się jako: dp ρ ( a dx + a dy a dz) r (x) x y + Na naczynie działają następujące jednostkowe siły masowe: siła ciężkości G g i siła odśrodkowa I ω r. Składowe jednostkowej wypadkowej sił masowyc wynoszą zatem: z a x ω x, a ω y, a g ( I-4 ) y z Po scałkowaniu równanie równowagi przyjmuje postać: ω p ρ ( x + y ) g z + c ( I-44 ) gdzie c jest stałą całkowania. Po podstawieniu równania okręgu (x + y r ) ( ω R gz) C p ρ + ( I-45 ) Przyjmując warunek początkowy w punkcie A (r 0, z z 0, pp a ), stała całkowania wynosi: c pa + γ ( I-46 ) z 0 Równanie dla powierzcni zwierciadła wody przyjmuje zatem postać: ( ) ω r g z + p z 0 p ρ a + γ ( I-47 ) W punkcie B(r R, z 0, pp A ), ciśnienie wyniesie zatem: 85

87 p A ω R ρ ω R pa γz pa γ z ( I-48 ) g 0 5 0,5 p A , Pa 50 kpa 9,8 ( I-49 ) m PRZYKŁAD I-4 Dane jest naczynie w kształcie walca o wysokości obracające się wokół pionowej osi ze stałą prędkością obrotową ω taką, że paraboloida zwierciadła styka się z dnem. Ile wody wyleje się z naczynia? Dane: Szukane: R 5 cm, 0 cm, 5 cm V z Rozw.: y A B R Rys. I-88 r (x) Podstawowe równanie ydrostatyki ma postać: dp ρ ( a dx + a dy a dz) x y + Na naczynie działają następujące jednostkowe siły masowe: siła ciężkości G g i siła odśrodkowa I ω r. Składowe jednostkowej wypadkowej sił masowyc wynoszą: a ω x, a ω y, a g x y Po scałkowaniu równanie równowagi przyjmie postać: z ω ( x + y ) g z + c ρ r g z c ω p ρ +, ( I-50 ) gdzie c jest stałą całkowania. z 86

88 Przyjmując warunek początkowy w punkcie B (r 0, z 0, p p a,ω ω gr ), stała całkowania jest równa C p a. Równanie dla powierzcni zwierciadła wody (p p a ) przyjmuje zatem postać: gz ω ( I-5 ) r Aby obliczyć graniczną prędkość kątową, postawiono warunek początkowy A (r R, z, p p q,ω ω gr ) g 9,8 0, ω gr, rad/s ( I-5 ) R 0,5 Zwierciadło wody układa się w kształt paraboloidy obrotowej o wysokości x, która wynosi (po podstawieniu do równania (I-50) współrzędnyc punktu C (r R, z x, ω ω gr ) gr R x ω ( I-5 ) g Objętość paraboloidy o wysokości x wynosi: V par Objętość wylanej wody: V wyl gr ω R π 4 π R x πr ω R gr ( I-54 ) g 4g poczatkowa ( V V ) V ( I-55 ) wirowki paraboloidy V wyl R π ω 4 gr π R πr ω gr R πr ( I-56 ) 4g 4g 4, 0,5 V,4 0,5 0,5 0,0 wyl +,5 0 m 4 9,8 ( I-57 ) Z naczynia wyleje się,5 litra wody. 87

89 PRZYKŁAD I-44 Walec o średnicy D i długości L wypełniony do połowy cieczą (rys. I-89), przesuwa się (bez tarcia) w poziomie ze stałym przyspieszeniem a. Ile musi wynosić to przyspieszenie, by zwierciadło wody wewnątrz walca obróciło się o kąt α? Dane: D, L, α 45º Szukane: a z D S a Rys. I-89 x Rozw.: Składowe jednostkowyc sił masowyc działające na ciecz: a x a, a g ( I-58 ) z Podstawiając te przyspieszenia do równania równowagi (I-4): dp ρ ( adx gdz) ( I-59 ) Po scałkowaniu: ax + gz c ( I-60 ) Podstawiając jako warunek brzegowy współrzędne punktu S (x 0, z D/), obliczyć można stałą całkowania: c g D/. Równanie zwierciadła cieczy przyjmuje zatem postać: a D z x + ( I-6 ) g Korzystając z własności funkcji liniowej zauważyć można, że ponieważ tg 45º, więc a/g, czyli a g. Aby zwierciadło wody ułożyło się pod kątem 45º do poziomu, przyspieszenie musi być co do wartości równe przyspieszeniu ziemskiemu. 88

90 PRZYKŁAD I-45 Prostopadłościenne naczynie o wymiarac L b wypełnione jest cieczą do wysokości. Obliczyć jakie musi być przyspieszenie a poruszającego się naczynia, by ciecz sięgała jego krawędzi? Dane: Szukane: L m,,5 m, m a z L Rys. I-90 a x Rozw.: Składowe jednostkowyc sił masowyc działające na ciecz: a x a, a g ( I-6 ) z Podstawiając te przyspieszenia do równania równowagi (I-4): dp ρ ( adx gdz) ( I-6 ) Po scałkowaniu: ax + gz c ( I-64 ) Podstawiając warunek początkowy (x 0, z ), obliczyć można stałą całkowania: c g. Równanie zwierciadła cieczy można zapisać jako: a z x + ( I-65 ) g Podstawiając warunek brzegowy (x L/, z ) powyższe równanie zwierciadła cieczy przyjmuje zatem postać: a L + g ( I-66 ) 89

91 Skąd wyliczyć można przyspieszenie: g 9,8 a ( ) (,5 ),7 m/s,7 km/ ( I-67 ) L PRZYKŁAD I-46 Naczynie w kształcie prostopadłościanu o wymiarac L b wypełniono cieczą do wysokości i wprawiono w ruc ze stałym przyspieszeniem. Przy jakim przyspieszeniu a parcie na tylną ścianę tego naczynia będzie maksymalne (przy założeniu, że w trakcie rucu ciecz nie wylewa się z naczynia)? Dane: Szukane: L,,, γ, P max a z L Rys. I-9 a x Rozw.: Parcie na tylną ścianę naczynia liczone metodą graficzno analityczną wynosi: P max Pmax Lγ ( I-68 ) γl Składowe jednostkowyc sił masowyc działające na ciecz: a x a, a g ( I-69 ) z Podstawiając te przyspieszenia do równania równowagi (I-4): dp ρ ( adx gdz) ( I-70 ) Po scałkowaniu: ax + gz c ( I-7 ) 90

92 Podstawiając warunek początkowy (x 0, z ), obliczyć można stałą całkowania: c g. Zatem równanie zwierciadła cieczy można zapisać jako: a z x + ( I-7 ) g Podstawiając warunek brzegowy (x L/, z ) powyższe równanie zwierciadła cieczy przyjmuje zatem postać: a L + g ( I-7 ) Podstawiając wyliczoną wcześniej wartość szukane przyspieszenie ma wartość: g g P a L ( ) max L γl ( I-74 ) PRZYKŁAD I-47 Cysterna zjeżdża na biegu jałowym ze wzniesienia nacylonego pod kątem α do poziomu (rys. I-9). Pomijając opory rucu wykazać, że ciecz w cysternie ułoży się równolegle do drogi. z x gcosα gsinα g α a Rys. I-9 Rozw.: Składowe jednostkowyc sił masowyc działające na ciecz: a x g sinα, a g cosα ( I-75 ) z Podstawiając te wielkości do równania równowagi (I-4), przy założeniu p p a : 9

93 g sin α dx + g cosα dz 0 ( I-76 ) Po scałkowaniu: sin α x + cosα z c ( I-77 ) Podstawiając warunek początkowy (x 0, z 0), stała całkowania wynosi: c 0. Równanie zwierciadła cieczy zapisuje się: sinα z x tgα x ( I-78 ) cos α Czyli zwierciadło cieczy układa się równolegle do dna. I.5. PŁYWANIE CIAŁ I.5.. Ogólne warunki równowagi (pływania) Na ciało stałe zanurzone w cieczy działa siła wyporu W i przeciwnie do niej skierowana siła ciężkości G. Ciało to pozostaje w równowadze, gdy suma sił zewnętrznyc (wypór + ciężar) jest równa zeru: W G. Jeżeli równanie nie jest spełnione obiekt tonie lub wypływa. Rys. I-9 W przypadku ciała zanurzonego częściowo (rys. I-9): W γ V 0 ( I-79) gdzie: W γ V 0 f() V 0 siła wyporu, wyporność, ciężar właściwy cieczy, objętość części zanurzonej (bryły wyporu). Wraz ze zmianą zanurzenia zmienia się wypór W, a układ sił zmierza do równowagi. 9

94 Położenie pływania jest to takie położenie ciała pływającego, przy którym wypór równoważy ciężar ciała (G W), a środek ciężkości i wyporu znajdują się na jednej prostej (zatem ciało pozostaje w równowadze sił i momentów). Wycylenie z tego położenia wywołuje powstanie momentu sił powodującego obrót zwierciadła. Oś pływania jest to prosta przecodząca przez środek wyporu i środek ciężkości ciała znajdującego się w położeniu pływania. Oś ta jest związana z ciałem i odcylenia się razem z nim. I.5.. Równowaga ciała pływającego całkowicie zanurzonego O stanie równowago ciała całkowicie zanurzonego w ciecz decyduje położenia jego środka ciężkości. Środek wyporu bowiem nie zmienia swego położenia przy przecyle, ponieważ nie zmienia się kształt bryły wyporu. Ciało całkowicie zanurzone może pozostać w równowadze (rys. I-94): równowadze trwałej gdy środek ciężkości znajduje się poniżej środka wyporu (istnieje moment prostujący), czyli ciało wycylone z położenia równowagi samo do niego powraca po usunięciu przyczyny wycylenia; równowadze obojętnej gdy ciało jest jednorodne środek ciężkości pokrywa się z środkiem wyporu, czyli ciało pływa w dowolnej pozycji; równowadze cwiejnej nietrwałej gdy środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu (powstaje moment przewracający), czyli ciało wycylone z położenia równowagi coraz bardziej się od niego oddala. a równowaga trwała b równowaga obojętna c równowaga cwiejna W S C S W G W S W S C G W S W S C G Rys. I-94 Warunki równowagi ciał całkowicie zanurzonyc w cieczy 9

95 I.5.. Równowaga ciała pływającego częściowo zanurzonego Wycylenie obiektu z położenia pływania (rys. I-95) przy zacowaniu warunku W G powoduje zmianę kształtu bryły wyporu bez zmiany jej objętości V 0. Środek wyporu S W przesuwa się do punktu S W ' i powstaje para sił prostującyc obiekt momentem siły: M s W R G m sinϕ W m ϕ ( I-80) (przy niewielkic kątac sin φ φ[rad]). oś pływania W oś przecyłu m W ϕ oś pływania M a S C S W a R ' S W r Q G Rys. I-95 Metacentrum M jest to punkt przecięcia kierunku siły wyporu z osią pływania przy niewielkim wycyleniu ciała z położenia pływania. Wysokość metacentryczna m jest to wysokość wzniesienia metacentrum ponad środkiem ciężkości ciała pływającego. O wielkości momentu prostującego decyduje zatem wysokość metacentryczna m zależna od geometrii i rozkładu masy obiektu. Ciało częściowo zanurzone pozostaje w (rys. I-96): równowadze trwałej gdy m > 0, (istnieje moment prostujący) ciało wycylone z położenia równowagi samo do niego powraca po usunięciu przyczyny wycylenia, równowadze obojętnej gdy m 0, (brak momentu prostującego) po wycyleniu ciało pozostaje w nadanym mu położeniu, równowadze cwiejnej nietrwałej gdy m < 0, (przy wycyleniu powstaje moment przewracający) ciało wycylone z położenia równowagi coraz bardziej się od niego oddala. G 94

96 a równowaga trwała oś pływania b równowaga obojętna c równowaga cwiejna położenie ciała przed wycyleniem S C S W S C S W S C S W M położenie ciała po wycyleniu m S C G W SW G S C S W W -m W M S W S C G Rys. I-96 Warunki równowagi ciał częściowo zanurzonyc I.5.4. Wyznaczenie wysokości metacentrycznej Wzór na wysokość metacentryczną wyprowadza się, rozważając moment obrotowy pary sił W i G, jaki powstaje na skutek wycylenia ciała z położenia równowagi o kąt ϕ. m I V 0 a ( I-8) gdzie: m wysokość metacentryczna, I moment bezwładności płaszczyzny pływania względem osi przecyłu, V 0 objętość bryły wyporu, a odległość środka ciężkości ciała od środka wyporu w położeniu pływania. Uwaga: Do obliczenia wysokości metacentrycznej przyjmuje się przypadek najniekorzystniejszy, m m min uzyskiwany dla II min, a więc moment bezwładności względem podłużnej osi symetrii obiektu pływającego. 95

97 PRZYKŁAD I-48 Cylindryczna boja o średnicy D, wysokości i ciężarze G znajduje się w wodzie morskiej o ciężarze właściwym γ M. Wykazać, że dla zadanyc wielkości boja znajduje się w równowadze nietrwałej o obliczyć siłę Q w łańcucu kotwiącym koniecznym do utrzymania boi w pionie. Dane: D,5 m,,0 m, G 7500 N, γ M 0 kn/m Szukane: m, Q S G x Rozw.: Objętość boi: Ciężar boi: πd π,5 Rys. I-97 V,5 m ( I-8) 4 4 G 7500 N ( I-8 ) Wypór (patrz rozdział I..6) πd W γ M x ( I-84 ) 4 Korzystając z warunku równowagi ciała, obliczyć można głębokość jego zanurzenia: W G 4 W x π D ,4,5 0 γ M Odległość między środkiem ciężkości a środkiem wyporu: 0,4 m ( I-85 ) x,5 0,4 a 0,54 m ( I-86 ) Moment bezwładności: 96

98 π I D 64 4,4, ,5 m Wysokość metacentryczna policzona według wzoru (I-8) wynosi:: 4 ( I-87 ) I 0,5 m a 0,54 0,47 m ( I-88 ) V,5 Wysokość metacentryczna jest mniejsza od zera, czyli równowaga jest cwiejna. PRZYKŁAD I-49 Jaka może być maksymalna wysokość drewnianego cylindra o średnicy D i ciężarze właściwym γ d, aby pływał w równowadze stałej z osią pływania skierowaną pionowo w wodzie. Dane: D 0,8 m, γ d 5000 N/m Szukane: z γ d S G D Rozw.: Ciężar cylindra: Wypór: πd G γ 4 d Rys. I-98 ( I-89 ) πd W γ ( I-90 ) 4 Korzystając z warunku równowagi ciała, obliczyć można głębokość jego zanurzenia: W G πd 4 πd γ 4 γ d γ γ d ( I-9 ) 97

99 Aby klocek był w równowadze trwałej wysokość metacentryczna musi być większa od zera. m I V 4 πd 64 a > 0 πd 4 ( I-9 ) Po przekształceniu i podstawieniu wyznaczonego wcześniej związku pomiędzy głębokościami i otrzymujemy: < γ 8( γ ) D γ d 980 0,8 8 ( ) ( I-9 ) Czyli cylinder drewniany musi mieć wysokość mniejszą niż 0,5 m. PRZYKŁAD I-50 Sprawdzić stateczność pustego, cienkościennego, metalowej barki w kształcie prostopadłościanu o wymiarac a b. Dane: a 6 m, b 0,4 m, m, G 4000 N, γ met 0 kn/m z γ m Rozw.: Ciężar barki: a Rys. I-99 W a b γ 0, [N] ( I-94 ) 6 Z równania równowagi obliczyć można głębokość zanurzenia barki: G W ,7 m ( I-95 ) Z równania równowagi obliczyć można głębokość zanurzenia barki: 98

100 G W ,7 m ( I-96 ) Odległość między środkiem ciężkości a środkiem wyporu: 0,7 a zs 0,8 0,75 m ( I-97 ) Moment bezwładności względem osi w płaszczyźnie pływania: I ba 70 m ( I-98 ) Objętość części zanurzonej: V ( I-99 ) ,7 40,8 m Wysokość metacentryczna: I 70 m a 0,75 7 m ( I-00 ) V 40,8 Wysokość metacentryczna jest dodatnia, czyli barka jest w równowadze trwałej. 99

101 II. YDRAULIKA RUROCIĄGÓW W zamkniętyc przewodac całkowicie wypełnionyc cieczą, ruc cieczy odbywa się dzięki różnicy ciśnień panującyc w dwóc przekrojac strumienia. Zawarte w niniejszym rozdziale obliczenia dotyczą ustalonego przepływu cieczy w rurociągac pod ciśnieniem (z pominięciem pomp i turbin), co oznacza, że parametry rucu (prędkość i ciśnienie w przewodzie) zależą tylko od położenia przekroju, natomiast nie zmieniają swyc wartości w czasie. II.. RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI PRZEPŁYWU Równanie ciągłości wynika z zasady zacowania masy. W sztywnym przewodzie w ujęciu jednowymiarowym przy rucu ustalonym cieczy nieściśliwej, równanie to ma postać: Q const ( II-) v v d d Rys. II- Dla przypadku rurociągu o zmiennej średnicy oznacza to, że: Q A υ A υ const ( II-) gdzie: υ, υ średnie w przekroju prędkości przepływu na odcinkac rurociągów o średnicac d i d ; A, A pola powierzcni przekrojów. II.. RÓWNANIE BERNOULLIEGO Równanie Bernoulliego wynika z zasady zacowania energii. Można go sformułować następująco: W przepływie cieczy rzeczywistej energia mecaniczna strumienia płynącej cieczy maleje w kierunku rucu o wysokość strat ydraulicznyc. 00

102 Graficznym obrazem przebiegu zmian energii mecanicznej na rozpatrywanym odcinku strumienia, opisanyc równaniem Bernoulliego jest linia energii. Przebieg zmian energii potencjalnej strumienia obrazuje linia ciśnień obniżona w stosunku do linii energii o wysokość energii kinetycznej υ /g. Linia ciśnień piezometrycznyc przebiega poniżej linii ciśnień o wartość p a /γ. Jest to linia na której układa się zwierciadło cieczy piezometrac podłączonyc w przekrojac rurociągu. linia energii p n p p n g g inia. ciśnień bezwzgl. (całkowityc) p a linia ciśnień piezometrycznyc p a pp Rys. II- Przy przyjętym poziom porównawczym i dwóc przekrojac przewodu jak na rys. II- równanie Bernoulliego można zapisać następująco: p αυ p α υ z + + z γ g γ g str const (II-) gdzie: z, z wysokość położenia środków ciężkości przekrojów - i - przewodu ponad przyjęty poziom porównawczy, p, p ciśnienie w środku ciężkości przekrojów - i -, p, p wysokości ciśnienia w przekrojac - i - przewodu, γ γ 0

103 υ g, υ g p z + γ p z + γ wysokości energii kinetycznej (wysokości średnic prędkości przepływu) w przekrojac - i -, wysokości energii potencjalnej cieczy w przekrojac - i -, suma wysokości strat energii na pokonanie oporów str rucu między przekrojami - i -, α,α współczynniki St. Venanta wynikające ze stosowania wartości prędkości średnic w przekrojac przewodu. W przypadku rucu burzliwego współczynniki te można pomiąć, gdyż ic wartości są bliskie. PRZYKŁAD II- Zwężka Ventouriego Obliczyć przepływ w rurociągu, jeżeli przy zwężeniu różnica wysokości słupa wody w piezometrac wynosi. Ponieważ przejścia są łagodne, a zwężka krótka, straty energii można pominąć. Dane: Szukane: d 0,5 m, D 0,0 m, 0,5 m Q d D 0 Rys. II- Rozw.: Warunek ciągłości (II-) przyjmuje postać: πd πd Q const υ υ ( II-4) 4 4 gdzie υ, υ są średnimi prędkościami w przekrojac w któryc podłączone są piezometry.

104 Po przekształceniu powyższego równania zapisać można związek między prędkościami: d υ υ ( II-5) D Przyjmując poziom porównawczy w osi rurociągu, równanie Bernoulliego zapisane we wspomnianyc przekrojac (przy założeniu braku strat energii) ma postać: p υ p υ + + (II-6) γ g γ g Podstawiając (II-5) do (II-6) uzyskujemy formułę: 4 p p d υ γ γ D (II-7) g Różnica ciśnień (czyli lewa strona równania) odczytana z piezometrów wynosi. Z ostatniego wzoru wyliczyć można zatem prędkość υ : g 9,8 0,5 υ, m/s (II-8) 4 d 4 0,5 ( ) ( ) D 0, Z równania ciągłości wyliczyć zatem można szukaną wartość przepływu: πd,4 0,5 Q υ, 0,057 m /s 57 l/s (II-9) 4 4 PRZYKŁAD II- Woda wypływa z rurociągu w sposób pokazany na rysunku II-4. Obliczyć na jaką wysokość wzniesie się woda, wiedząc, że w przekroju - położonym o wysokość poniżej wylotu przewodu występuje nadciśnienie p. Straty energii pominąć. Dane: Szukane: D 0,0 m, d 0,5 m, m, p 55 kpa 0

105 - - d - D woda Rys. II-4 Rozw.: Z równanie ciągłości zapisanego dla przekrojów - i - można zapisać związek między prędkościami w tyc przekrojac: πd πd D Q const υ υ υ υ ( II-0) 4 4 d Równanie Bernoulliego zapisane w przekrojac - i - (przy przyjęciu poziomu porównawczego w przekroju -) ma postać: p υ pa υ (II-) γ g γ g υ g p υ p γ a Podstawiając zależność (II-0) do (II-) obliczyć można wartość prędkości υ : (II-) 04

106 υ D ( ) d 4 g υ p p γ a υ g p γ p γ a D 4 ( ) ) d (II-) υ 9,8,7 m/s (II-4) ,0 ( ) ) 0,5 Równanie Bernoulliego zapisane w przekrojac - i - (przy przyjęciu poziomu porównawczego w przekroju -): p υ γ g p a + 0 γ (II-5) Z powyższego równania, po podstawieniu danyc i obliczonej prędkości υ obliczyć można szukaną wartość wysokości na jaką wzniesie się woda wylatując z rurociągu: υ,7 p p a ,m (II-6) g γ 9,8 980 II.. OBLICZENIE WYSOKOŚCI STRAT ENERGII Człon w równaniu Bernoulliego (II-) wyraża sumę wysokości strat energii: str lokalnyc wynikającyc z pokonywania oporów miejscowyc (np. na poszerzeniu rurociągu), na długości przewodu związane wywołane tarciem cieczy o ścianki rurociągu. II... Straty lokalne Straty lokalne są związane z przeszkodami występującymi na drodze płynącego strumienia, np.: nagłe poszerzenie lub zwężenie rurociągu, zawory, kryzy, wodomierze, kolanka itp. Wielkość tyc strat oblicza się ze wzoru Weissbaca: lok υ ζ ( II-7) g 05

107 gdzie: υ średnia prędkość przepływu za przeszkodą wywołującą lokalną stratę energii (wyjątek stanowi strata na wylocie z rurociągu, gdzie υ oznacza prędkość tuż przed przekrojem wylotu), ζ bezwymiarowy współczynnik straty lokalnej zależny od rodzaju przeszkody, geometrii rurociągu itp. Wartości tyc współczynników zawiera norma PN-76/M-404. Można je także znaleźć w tablicac [0]. PRZYKŁAD II- Wyznaczyć wartość współczynnika ζ dla nagłego zwężenia przekroju rurociągu przy założeniu, że różnica wskazań piezometrów wynosi. Odcinek rurociągu potraktować jako krótki. Dane: d 0,5 m, D 0,0 m, 0,5 m, Q 0,07 m /s Szukane: ζ D d Rys. II-5 Rozw.: Warunek ciągłości przyjmuje postać: πd πd Q const υ υ ( II-8) 4 4 gdzie υ, υ są średnimi prędkościami w przekrojac w któryc podłączone są piezometry. Po podstawieniu wartości liczbowyc wartości prędkości wynoszą: 4Q 4Q υ m/s, υ 4 m/s, ( II-9) πd πd Równanie Bernoulliego zapisane dla przekroju przed zwężeniem i za zwężeniem, przy założeniu, że strata na tarcie na odcinku pomiędzy tymi przekrojami jest pomijalnie mała, ma postać: 06

108 p υ p υ υ ς (II-0) γ g γ g g Zatem szukany współczynnik wynosi: p ζ γ p υ υ g + γ g υ g + υ υ υ 0,98 (II-) PRZYKŁAD II-4 Obliczyć różnicę wysokości słupów wody w piezometrac dla nagłego poszerzenia rurociągu którym płynie woda z natężeniem Q. Odcinek rurociągu potraktować jako krótki. Dane: d 0,5 m, D 0,50 m, Q 0, m /s Szukane: d D Rys. II-6 Rozw.: Warunek ciągłości przyjmuje postać: πd πd Q const υ υ ( II-) 4 4 υ, υ są średnimi prędkościami w przekrojac w któryc podłączone są piezometry. Po podstawieniu wartości liczbowyc wartości prędkości wynoszą: 4Q 4Q υ,04 m/s, υ 0,5 m/s, ( II-) πd πd Równanie Bernoulliego zapisane dla przekroju przed poszerzeniem i za poszerzeniem, przy założeniu, że strata na tarcie na odcinku pomiędzy tymi przekrojami jest pomijalnie mała, ma postać: 07

109 p υ p υ υ ς (II-4) γ g γ g g Oznaczając różnicę wysokości ciśnień odczytanyc piezometrów jako otrzymujemy: p p υ υ υ ς (II-5) γ γ g g g Współczynnik ζ odczytany z tablic [0] jest równy: d D 0,5 0,5 4 ζ 9 Różnica wysokości słupów wody w piezometrac wynosi zatem: (II-6),04 0,5 0,5 9,56 m (II-7) 9,8 g II... Straty na długości Straty na długości (liniowe) wywołane są tarciem cieczy o ściany przewodu. Wysokość tyc strat można ją obliczyć korzystając z formuły Darcy'ego- Weissbaca: gdzie: l d υ λ l υ dl λ ( II-8) d g długość rozpatrywanego odcinka rurociągu, średnica rurociągu, średnia prędkość przepływu w rurociągu, bezwymiarowy współczynnik tarcia będący funkcją: Dla przewodów o przekroju kołowym współczynnik λ w rucu laminarnym jest odwrotnie proporcjonalny do liczny Reynoldsa i oblicza się wg wzoru agena Poiseuille a: λ 64/Re ( II-9) k Rys. II-7 Bezwzględna cropowatość powierzcni 08

110 Na wartość oporów przepływu w rucu turbulentnym wpływa także cropowatość powierzcni przewodu. Wartość współczynnika oporów liniowyc jest funkcją: k λ f, Re ( II-0) d gdzie: k cropowatość bezwzględna przewodu (średnia wysokość nierówności ścian przewodu rys. II-5), Re υ d / v liczba Reynoldsa, ν kinematyczny współczynnik lepkości cieczy, Wartość współczynnika λ dla przewodów o przekroju kołowym odczytać można z nomogramu Moody'ego (PN-76/M-404 rys. II-6). PRZYKŁAD II-5 Straty liniowe w rucu laminarnym Obliczyć wysokość strat liniowyc w rurociągu o długości L i średnicy d. Dane: L 000 m, d 0, m, υ 0,0 m/s, t 0 C Szukane: dl Rozw.: Wysokość strat energii na długości oblicza się ze wzoru: L υ λ dl d ( II-) g Aby wyliczyć wartość współczynnika λ, należy ustalić reżim rucu, czyli obliczyć liczbę Reynoldsa: υ d 0,0 0, Re 000 < 0 ( II-) 6 ν 0 Ruc jest laminarny, czyli: λ 0,0 ( II-) Re 000 Straty liniowe wynoszą zatem: dl L υ 000 0,0 λ 0,0 0,0 m ( II-4) d g 0, 9,8 09

111 0 Rys. II-8 Nomogram Moody ego (tablice [0])

112 PRZYKŁAD II-6 Straty liniowe w rucu laminarnym Rurociągiem o długości L pomiędzy dwoma zbiornikami płynie olej o temperaturze t z natężeniem przepływu Q. Obliczyć maksymalną różnicę poziomów zwierciadeł oleju w zbiornikac przy której przepływ będzie laminarny (Re < 400). W obliczeniac pominąć stratę energii na wlocie do rurociągu. Dane: Szukane: L 000 m, Q,8 m /s, t 0 C (v 0 - m /s) d Rys. II-9 Rozw.: Uzależniając prędkość we wzorze na liczbę Reynoldsa od natężenia przepływu otrzymuje się: d 4Q d 4Q Re υ ( II-5 ) v πd v πdv Stąd po podstawieniu danyc obliczyć można nieznaną wartość średnicy: a prędkości: 4Q 4,8 d,0 m πvre, ( II-6 ) 4Q 4,8 υ, m/s ( II-7 ) d π,4 Wysokość strat energii na długości w rucu laminarnym oblicza się ze wzoru: L υ 64 L υ λ dl d g Re d ( II-8 ) g Po pominięciu straty na wlocie do rurociągu, wysokość strat liniowyc jest równa szukanej różnicy poziomów wody w zbiornikac i wynosi: , dl 7,6m ( II-9 ) 00 9,8

113 PRZYKŁAD II-7 Straty liniowe w rucu turbulentnym Obliczyć wysokość strat liniowyc w rurociągu o długości L i średnicy d. Dane: Szukane: L 000 m, d 0, m, υ 0,5 m/s, t 0 C, k 0,4 mm dl Rozw.: Aby wyznaczyć współczynnik λ konieczny do obliczenia wielkości strat energii, należy określić reżim rucu, czyli obliczyć wartość liczby Reynoldsa: υ d 0,5 0, Re > 0 ( II-40) 6 ν 0 Ruc jest turbulentny, czyli wartość współczynnika strat liniowyc odczytać należy z nomogramu Moody ego (rys. II-8). k ( Re, ) ( ; 0,004) 0, 0 λ f f ( II-4) d Szukane straty liniowe wynoszą zatem: dl L υ 000 0,5 λ 0,0,95 m ( II-4) d g 0, 9,8 II.4. RODZAJE RUROCIĄGÓW Podczas przepływu cieczy w rurociągu tworzy się cienka warstwa przyścienna w której panuje ruc laminarny. Dopiero poza nią mogą występować poprzeczne pulsacje carakterystyczne dla rucu turbulentnego. Wyróżnia się trzy strefy ydraulicznyc warunków przepływu (rys. II-7). Jeżeli warstwa przyścienna pokrywa wszystkie nierówności rucu, czyli szorstkość ścian przewodu nie ma wpływu na ruc cząstek w przewodzie, przewód pracuje jako gładki. W przeciwnym przypadku mówi się o rurociągu cropowatym. Ze względu na rodzaj strat energii rurociągi dzielą się na:

114 a) krótkie, składające się z krótkic odcinków pojedynczyc i dużej ilości armatury. Udział strat energii na długości rurociągu jest zatem pomijalny. Przykładem tego typu rurociągów są np. instalacje wewnętrzne. b) długie to takie, w któryc wartość strat liniowyc jest pomijalnie mała w stosunku do wartość strat lokalnyc. Trzeba jednak przeanalizować straty na zaworac, gdyż często są one tak duże, że nie można ic zaniedbać.

115 a) strefa przewodów ydraulicznie gładkic strefa przepływu turbulentnego laminarna strefa przyścienna - grubość warstwy laminarnej jest większa od bezwzględnej cropowatości ścian przewodu, - przykryte warstwą laminarną nierówności ścian przewodu nie mają wpływu na ruc cząstek w turbulentnym obszarze przepływu - straty energii są proporcjonalne do prędkości b) przejściowa forma przepływu - grubość warstwy laminarnej nie pokrywa wszystkic nierówności ścian przewodu, - niecałkowicie przykryte warstwą laminarną nierówności ścian przewodu wpływają na opory rucu - straty energii są proporcjonalne do prędkości w potędze,75,0 strefa przepływu turbulentnego laminarna strefa przyścienna c) strefa przewodów ydraulicznie szorstkic - strefa rucu turbulentnego obejmuje prawie cały przekrój przewodu, warstwa laminarna jest szczątkowa, - nierówności ścian przewodu wystające ponad warstwę laminarną powodują powstawanie wirów w tubulentnym obszarze przepływu - straty energii są proporcjonalne do kwadratu prędkości strefa przepływu turbulentnego laminarna strefa przyścienna Rys. II-0 Strefy ydraulicznyc warunków przepływu 4

116 W zależności od połączenia rurociągów rozróżnić można następujące rodzaje rurociągów: a) szeregowe, czyli składające się z połączonyc kolejno przewodów o różnyc średnicac, d D b) promieniste, składające się z kilku przewodów, w któryc przepływ pomiędzy dowolnymi dwoma punktami może odbywać się tylko po jednej drodze, c) pierścieniowe, czyli złożone z kilku gałęzi (przewody o stałej sieci), w któryc przepływ pomiędzy jego dowolnymi dwoma punktami może odbywa się wieloma drogami. Miejsce w którym scodzą się przynajmniej trzy przewody nazywa się węzłem sieci. Szczególnym przypadkiem rurociągów pierścieniowyc są rurociągi równoległe w przypadku któryc poszczególne gałęzie rurociągu rozpoczynają się i kończą się wspólnyc węzłac. Sieć rurociągów składa się z rurociągów pojedynczyc oraz rozgałęzionyc w sposób opisany powyżej. Fragmentem sieci rurociągów mogą być przewody wydatkujące po drodze. Są to odcinki o stałej średnicy z któryc płynąca woda jest odprowadzana do odbiorców, Odbiorcy Ci są równomiernie rozmieszczeni wzdłuż odcinka, a ic wydatek zbliżony. 5

117 Q A B QW Q K II.5. KONSTRUOWANIE LINII CIŚNIEŃ PIEZIOMETRYCZNYC W rozdziale II.. zdefiniowano linię ciśnień piezometrycznyc. Linia ta obrazuje przebieg zmian energii potencjalnej strumienia. Ponieważ wysokość ciśnienia atmosferycznego p a /γ wynosi 0 m, więc dla wygody w obliczeniac używa się tylko linii ciśnień piezometrycznyc i linię energii pomniejszoną o wartość p a /γ. Na rysunkac II- do II-7 przedstawiono przykłady konstrukcji linii ciśnień piezometrycznyc i linii energii w różnyc układac rurociągów. Przyjęte oznaczenia: υ średnia prędkość w rurociągu, dl wysokość strat liniowyc w odcinkac rurociągu, wl, z, k, wyl, zw wysokości strat lokalnyc (na wlocie, zaworze, przy zmianie kierunku, wylocie, zwężeniu), A, B, C wysokości ciśnienia w punktac A, B, C przewodu. wl v g linia energii linia ciśnień piezometrycznyc v dl v g Rys. II- Rurociąg pojedynczy z wylotem w atmosferę 6

118 v g linia energii dl z dl l. ciśnień piezometr. k dl k dl4 v g Rys. II- Rurociąg pojedynczy z zaworem i dwoma zmianami kierunku wl + v k g linia energii linia ciśnień piezometrycznyc dl v g k + wyl Rys. II- Rurociąg pojedynczy łączący dwa zbiorniki otwarte 7

119 linia energii wl linia ciśnień piezometrycznyc a v g p wyl Rys. II-4 Rurociąg pojedynczy ze zbiornika zamkniętego do otwartego wl v g linia energii l.ciśnień piezometr. dl v v g zw dl Rys. II-5 Rurociągi długie w układzie szeregowym linia ciśnień piezometrycznyc A B C A B C D Rys. II-6 Rurociągi długie w układzie równoległym 8

120 linia ciśnień piezometrycznyc A F B A B C C E D Rys. II-7 Rurociągi długie w układzie rozgałęzionym 9

121 II.6. RUROCIĄG POJEDYNCZY Ze względu na wielkości występujące w równaniu Bernoulliego, dla obliczania tego typu rurociągów wyróżnia się typy zadań: obliczanie wysokości ciśnienia na wlocie do rurociągu lub w dowolnym jego punkcie, albo różnicy wysokości na końcac rozpatrywanego odcinka rurociągu, Q wyznaczanie natężenia przepływu cieczy, d projektowanie średnicy rurociągu (na końcu rozdziału podano jako przykład sposób obliczania średnicy w lewarze). PRZYKŁAD II-8 Obliczenie Dane: Szukane: wl z Q 0 l/s, l 00 m, d 00 mm, p 700 Pa, k 0,5 mm, t 0 C, p p linia energii linia ciśnień - v g wyl z p.p. - Rys. II-8 Rozw.: Prędkość wyliczona z równania ciągłości (II-) wynosi: πd 4Q Q υ υ,7 m/s ( II-4 ) 4 πd,4 0, Równanie Bernoulliego dla poziomu porównawczego i przekrojów - i - przyjętyc jak na rys. II-8 ma postać: 0

122 p υ pa υ str γ g γ g ( II-44 ) Prędkości υ i υ są to prędkości na poziomie zwierciadła w zbiornikac. Ic wartości przyjmuje się równą 0, gdyż powierzcnia przekroju poprzecznego zbiornika jest wielokrotnie większa od przekroju rurociągu, zatem z równania ciągłości: F rur «F υ F «υ F υ «υ υ 0 ( II-45 ) zb pa p γ γ zb + zb str Suma strat jest sumą strat lokalnyc i straty na długości rurociągu. rur rur zb rur ( ζ + ζ + ζ + ζ ) zb ( II-46 ) υ l υ str lok + dl wl z z wyl + λ ( II-47 ) g d g pa p l υ + ζ wl + ζ z + ζ z + ζ wyl + λ ( II-48 ) γ γ d g 5 (,5 0 ;,7 0 ) k 0,5,7 0, λ f ; Re f ; 6 f ( II-49 ) d 00 0 Współczynnik λ odczytany z nomogramu Moody ego wynosi 0,0. 0, ,7 + 0,5 + 0, ,0 ( II-50 ) 9,8 0, g Szukana różnica położenia zwierciadeł w zbiornikac wynosi m. PRZYKŁAD II-9 Obliczenie Q Dane: Szukane: l 00 m, d 00 mm, p 000 Pa, k 0,5 mm, t 0 o C, ζ wl 0,5, ζ zaw 0,8,

123 linia energii linia ciśnień - wl z pp Rys. II-9 Rozw.: Prędkość z równania ciągłości (II-) wynosi: v g - πd Q υ ( II-5 ) 4 Równanie Bernoulliego zapisane dla przekroju w zwierciadle wody w zbiorniku i przekroju na wylocie z rurociągu (rys. II-9) ma postać: pa p υ a γ γ g + Po podstawieniu wartości strat lokalnyc i strat liniowyc: str ( II-5 ) l υ + ς wl + ς zaw + λ ( II-5 ) d g Przekształcając powyższe równanie otrzymujemy formułę: υ + ς wl + ς g zaw + ς wyl l + λ d ( II-54 ) Po podstawieniu danyc liczbowyc do powyższego równania: υ 9,8 0,5 00, + λ 0, υ 9,8, λ ( II-55 )

124 Aby z równania (II-55) obliczyć prędkość należy znać współczynnik λ. Niestety jego wartość zależna jest od liczby Re, która jest funkcją szukanej wartości prędkości. Dlatego równanie to należy rozwiązać metodą kolejnyc przybliżeń. I przybliżenie Przyjmujemy, współczynnik λ jest funkcją jedynie cropowatości względnej, k 0,5 λ ' f. Z nomogramu Moody ego odczytać należy przybliżoną czyli ( ) ( ) f d 00 wartość tego współczynnika. Znając jego wartość (wynosi ona 0,0) ze wzoru (II-55) obliczyć można przybliżoną wartość prędkości: 9,8 0,5 υ ' 0,6 m/s ( II-56 ), ,0 II przybliżenie Należy jeszcze sprawdzić czy powyższa wartość prędkości jest prawdziwa. Na podstawie prędkości z pierwszego przybliżenia, obliczyć można wartość liczby Reynoldsa: υ d 0,6 0, 4 Re " 6, 0 ( II-57 ) ν 6 0 i wartość współczynnika λ : k 0,5 4 λ " f ; Re f ;6, 0 0,04 ( II-58 ) d 00 Ze wzoru (II-55) określić można teraz wartość prędkości: 9,8 0,5 υ ' 0,6 m/s ( II-59 ), ,04 Należy sprawdzić, czy różnica prędkości obliczona w pierwszym i drugim przybliżeniu jest mniejsza od 0,5 m/s. Jeżeli tak nie jest, należy jeszcze raz przeprowadzić iterację. W naszym zadaniu różnica ta nie jest wielka (wynosi 0,0 m/s), czyli możemy zakończyć procedurę iteracyjną i przyjąć wartość prędkości υ równą 0,6 m/s. Na tej podstawie można obliczyć szukaną wartość przepływu: π d π 0, Q υ 0,6 4,8 l/s ( II-60 ) 4 4

125 PRZYKŁAD II-0 Obliczenie d Dane: Q 6 l/s, l 00 m, d 50 mm, m, R 00 mm, α 90, k 0,5 mm, t 0 C, Szukane: d wl linia energii linia ciśnień wyl o R00 mm wyl Rys. II-0 Rozw.: Równanie Bernoulliego zapisane w przekrojac pokrywającymi się ze zwierciadłami wody w zbiornikac ma postać: + p γ a p υ a + γ g + str ( II-6 ) Suma strat: l υ str lok + dl ς wl + ς luk + ς wyl + λ ( II-6 ) d g Wstawiając równanie (II-6) do (II-6) otrzymujemy: d l υ ς wl + f + ς wyl + λ + ( II-6 ) R d g Po podstawieniu wartości liczbowyc uzyskujemy równość: d 50 υ,0 f λ 0, d ( II-64 ) g Niestety zarówno strata lokalna na łuku, jak i strata na długości, a także prędkość zależą od szukanej wartości średnicy. Dlatego nie da się tak uwikłanej formy równania rozwiązać wprost. 4

126 Znalezienia szukanej wartości średnicy należy dokonać metodą prób i błędów, czyli należy przyjąć jakąś wartość średnicy, podstawić ją do równania (II-64) i sprawdzić, czy równość jest prawdziwa. Jeżeli nie, należy przyjąć inną wartość średnicy. Wyniki obliczeń zebrano w poniższej tabeli: d [m] υ [m/s] ς [ ] k/d [ ] Re [ ] λ [ ] [m] 0, 0,764,06 4,00E-0 7,64E+04 0,0 0,58 0,09 0,944 0,5 4,44E-0 8,49E+04 0,0 0,9 0,08,94 0,06 5,00E-0 9,55E+04 0,05,77 Szukana wartość średnicy to 0,089 m. Należy sprawdzić w tablicac, rury o jakic średnicac są produkowane i przyjąć średnicę najbliższą wyniku obliczeń. Wartość średnicy odczytać można także z wykresu (dla m, d 0,089 m). [m] 4,00,50,00,50,00,50,00 0,50 0,00 d 0,089 m 0,07 0,075 0,08 0,085 0,09 0,095 0, Rys. II- d[m] II.7. LEWARY, SYFONY Istnieją dwa szczególne, często spotykane w praktyce inżynierskiej rodzaje rurociągów pojedynczyc: lewary i syfony. Oba rodzaje tyc przewodów służą do przeprowadzania wody z poziomu wyższego do niższego z ominięciem przeszkody: lewar ponad przeszkodą, którą może być krawędź naczynia lub wał przeciwpowodziowy, syfon pod przeszkodą taką jak np. droga, rzeka, inny rurociąg. 5

127 a) b) Rys. II- a) lewar, b) syfon PRZYKŁAD II- Lewar Lewar jest rurociągiem, którego oś przebiega na pewnym odcinku ponad zwierciadłem wody w zbiorniku górnym (zasilającym). Dlatego też składa się z dwóc części: wznoszącej oraz opadającej. Warunkiem pracy lewara jest całkowite wypełnienie go wodą. Ruc w tym przewodzie odbywa się dzięki podciśnieniu. Zaprojektować średnicę lewara tak, by przy danyc zestawionyc poniżej przeprowadził on przepływ Q. Wlot do lewara o ostryc krawędziac. W rurociągu znajduje się woda o temperaturze 0 C. Sprawdzić warunek lewara w temperaturze t 0 C. l ϕ - - linia ciśnień Rys. II- Dane: Szukane: Q 5 l/s, l 4 m, l 6 m,, m,,0 m φ 40, k 0,4 mm Q, sprawdzić warunek lewara w 0 C. 6

128 Rozw.: Równanie Bernoulliego zapisane względem przekroju -: pa pa υ υ STR + STR γ γ g g ( II-65 ) Suma strat ciśnienia jest sumą: strat lokalnyc na wlocie do rurociągu i załamaniu, a także straty liniowej. l υ STR ς wl + ς zal + λ ( II-66 ) d g Po podstawieniu (II-66) do (II-65) otzrymujemy: l υ + ς wl + ς zal + λ ( II-67 ) d g Wartość współczynników strat lokalnyc wynosi: ζ wl 0,5 i ζ zal 0,4. W powyższym równaniu występują dwie niewiadome (d, υ i λ) i dlatego można go rozwiązać metodą prób. Należy przyjąć średnicę i obliczając kolejno wielkości występujące w równaniu (II-67) wyznaczyć wartość, a następnie sprawdzić, czy jest ona równa założonym, m. Jeżeli tak nie jest, do obliczeń należy przyjąć inną średnicę. Wyniki zebrano w poniższej tabeli d [m] υ [m/s] k/d [ ] Re [ ] λ [ ] [m] 0,04 9,90 0, , 0,08 74,47 0,,8 0, , 0,0,98 0,,6 0, ,4 0,0,5 Przyjęta średnica d 0, m. Sprawdzenie warunku lewara oznacza, że wysokość ciśnienia w najwyższym punkcie lewara musi być większa od wysokości ciśnienia, przy którym w danej temperaturze ciecz zaczyna wrzeć, czyli: p B p > 0 ( II-68 ) γ γ Wysokość p 0 /γ dla temperatury 0 C wynosi 0,4 m. Równanie Bernoulliego zapisane względem przekroju -: 7

129 pa pb υ γ γ g + ' 0 STR gdzie p B jest ciśnieniem w najwyższym punkcie lewara. ( II-69 ) Suma strat energii jest sumą straty lokalnej na wlocie do rurociągu i straty liniowej. pb γ pa l υ + ς wl + λ ( II-70 ) γ d g Po podstawieniu wartości liczbowyc: p B γ 05 4,6 + 0,5 + 0,0 8,5 m 980 0, 9,8 Praca lewara nie zostanie zatem przerwana nawet w temperaturze 0 C, bo: ( II-7 ) p p B 8,5 m > 0 0,4 m ( II-7 ) γ γ PRZYKŁAD II- Syfon Syfony oblicza się tak samo, jak wszystkie pojedyncze przewody pod ciśnieniem. Syfon będzie pracować tak długo, jak długo utrzymywać się będzie jakakolwiek różnica poziomów między zwierciadłami. W odróżnieniu od lewara rurociągi te nie mają ograniczeń swojej pracy. Obliczyć natężenie przepływu wody przez syfon o średnicy d, długości l i cropowatości bezwzględnej k. Syfon ten przeprowadza wodę temperaturze 0 C ze zbiornika do zbiornika. Różnica poziomów zwierciadeł wody w zbiornikac wynosi. Dane: l 00 m, d 0,5 m,,0 m, v 0-6 m /s, k 0,05 mm Szukane: Q - - p.p. z z Rys. II-4 8

130 Rozw.: Równanie Bernoulliego zapisane względem przekroju -: p a p a z z STR ( II-7 ) γ γ Uwzględniając, że: z + z ( II-74 ) równanie (II-7) przybiera postać: ( II-75 ) STR Suma strat energii występującyc podczas przepływu wody jest sumą: strat lokalnyc na wlocie do rurociągu, zmianie jego kierunku, na wylocie, a także straty liniowej. l υ STR ς wl + ς zal + ς zal + λ ( II-76 ) d g gdzie υ jest prędkością wody w syfonie. Przyjęto następujące wielkości poszczególnyc współczynników: ς wl 0,55, ς zal 0,0, ς wyl, a zatem: l υ STR 0,55 + 0,0 + + λ ( II-77 ) d g Z powyższego równania można wyliczyć prędkość: υ g l,85 + λ d 9,8 00,85 + λ 0,5 9,6, λ ( II-78 ) Ze względu na nieznaną wartość współczynnik strat na długości λ, zadanie należy rozwiązać metodą kolejnyc przybliżeń. Założono, że współczynnik λ zależy jedynie od cropowatości względnej, czyli k 0,05 λ f f f ( 0,000) 0, 0 d 500 Tak odczytaną z nomogramu Moody ego (rys. II-8) wartość współczynnika λ należy podstawić do równania (II-78) i obliczyć prędkość: 9

131 9,6 υ,5 m/s ( II-79 ), ,0 Teraz obliczyć można liczbę Reynoldsa: υd Re v,5 0,5, A zatem odczytać można z wykresu Moody ego (II-8) rzeczywistą wartość λ: 6 ( 0,000;, 0 ) 0, 05 ( II-80 ) k λ f, Re f ( II-8 ) d Z równania (II-78) wyznaczyć można rzeczywistą wartość prędkości: 9,6 υ,08 m/s ( II-8 ), ,05 a na jej podstawie szukaną wartość natężenia przepływu: πd,4 0,5 Q υ,08 0,408 m /s 408 l/s ( II-8 ) 4 4 II.8. RUROCIĄGI DŁUGIE Podstawowe układy rurociągów to: układ szeregowy, układ rozgałęziony, układ równoległy. Przy rozwiązywaniu zagadnień związanyc z rurociągami długimi, obowiązują tak jak w przypadku rurociągów krótkic: równanie ciągłości i równanie Bernoulliego. PRZYKŁAD II- Rurociągi w układzie szeregowym Obliczyć wymaganą wysokość ciśnienia konieczną dla uzyskania zadanego przepływu w przewodzie wodociągowym o zmiennej średnicy w rurociągu. Dane: Q 5 l/s, l 00 m, l 80 m, l 40 m, d 50 mm, d 0 mm, d 00 mm, m, k 0,6 mm, t 0 o C, Szukane: 0

132 p a wl v g dł zw linia energii dł Σ str linia ciśnień v g zw p γ dł v v p γ v g v 4 p a pp 4 Rys. II-5 Rozw.: Równanie ciągłości dla powyższego układu rurociągów przyjmuje postać: πd πd πd Q υ υ υ ( II-84 ) Z powyższego równania obliczyć można wartości prędkości: 4Q 4Q 4Q υ 0,8 m/s; υ 0,44 m/s; υ 0,64 m/s; ( II-85 ) πd πd πd Równanie Bernoulliego zapisane dla przekroju poprzecznyc: na poziomie zwierciadła wody w zbiorniku i przekroju 4-4 i poziomie porównawczym przyjętym w osi rurociągu: pa pa υ υ + str + lok + lok γ γ g g str lok + dl ( II-86 ) ( II-87 ) υ υ υ lok ς wl ς zw ς zw g + + ( II-88 ) g g Z tablic odczytać można wartość współczynników strat lokalnyc: ζ wl 0,5, ζ zw 0,58, ζ wl 0,545.

133 0,8 0,44 0,64 0,5 + 0,58 + 0,545 0,087 ( II-89 ) 9,8 9,8 9,8 lok Wartość współczynników strat liniowyc przyjęte z nomogramu Moody ego wynoszą odpowiednio: 0,6 0,8 0,5 λ f ; 6 f ,6 0,44 0, λ f ; 6 f 0 0 0,6 0,64 0,0 λ f ; 6 f ( 0,00; 4, 0 ) 4 ( 0,00; 5,8 0 ) 0,055 0,05 4 ( 0,006; 6,4 0 ) 0, 048 ( II-90 ) 0,8 0,44 0,64 0, ,05 + 0,048 0,00086 ( II-9 ) 9,8 9,8 9,8 dl Po podstawieniu do równania Bernoulliego wartości strat lokalnyc i strat na długości otrzymujemy: 0,64 υ + lok + dl + 0, , ,04 m ( II-9 ) g 9,8 PRZYKŁAD II-4 Rurociągi w układzie rozgałęzionym Dane: l, l, l, d, d, d, B, k, t, ν Szukane: Q, Q, Q, A, linia ciśnień A B C Q l d Q A l d B l d D Q Rys. II-6

134 Rozw.: Aby obliczyć szukany wypływ z ostatniego węzła, najpierw należy zapisać równania strat i równania bilansu. Równań strat jest tyle, ile gałęzi rurociągów, (czyli ), a bilansu tyle co węzłów. Równania strat: ) A l υ B λ ( II-9 ) d g ) l υ 0 λ B d ( II-94 ) g l υ ) 0 λ B d ( II-95 ) g Równanie bilansu zapisane w węźle B: a ) Q Q + Q ( II-96 ) I. Obliczenie Q. Z równania strat ) obliczamy prędkość υ metodą kolejnyc przybliżeń (patrz przykład II-9), co oznacza, że: λ' λ" f k d f υ' k d, Re' g d λ' l υ" B d' υ ' Re' ν g d λ' l B ( II-97 ) Jeżeli różnica prędkości z pierwszego i drugiego przybliżenia jest mniejsza od 0,5 m/s, to iterację kończy się i przyjmuje, że szukana prędkość υ υ". Q πd υ ( II-98 ) 4 II. Obliczenie Q. Z równania strat ) obliczamy prędkość υ metodą kolejnyc przybliżeń (tak samo jak poprzednio). Wartość przepływu wyliczamy ze wzoru: Q πd υ ( II-99 ) 4 III. Obliczenie Q z równania bilansu a)

135 VI. Obliczenie A z równania ) l υ 4Q k + λ, gdzie : υ, λ f, Re ( II-00 ) d g πd d A B PRZYKŁAD II-5 Rurociągi w układzie równoległym Dane: l, l, l, l 4, d, d, d, d 4, A, k, ν Szukane: Q 4 l, d linia ciśnień l, d Q A B C D Q 4 Q l 4, d 4 l, d Q 4 Rys. II-7 Rozw.: Najpierw należy zapisać 4 równania strat i równania bilansu. Równania strat: ) A l υ B λ ( II-0 ) d g ) ) 4) B B l υ C λ ( II-0 ) d g l υ C λ ( II-0 ) d g l4 υ 4 0 λ C 4 d ( II-04 ) g Równania bilansu zapisane w węzłac B i C: 4 a ) Q Q + Q ( II-05 ) 4

136 5 4 ) Q Q Q b + ( II-06 ) I. Podstawiając równanie (wysokość C ) 4), a następnie wysokość B do ) zapisać można formułę: g d l g d l g d l A υ λ υ λ υ λ + + ( II-07 ) II. Zapis prędkości υ jako funkcji υ (z porównania równań ) i )). υ λ λ υ υ λ υ λ l l l l g d l g d l ( II-08 ) II. Zapis prędkości υ jako funkcji υ υ υ π υ π υ d d d d Q ( II-09 ) III. Zapis prędkości υ jako funkcji υ 4. Podstawiając (II-08) i (II-09) do równania bilansu a), uwzględniając zależność: 4 Q πd υ uzyskujemy: d l l l l d d d d d υ υ λ λ υ π υ π υ π υ + + ( II-0 ) Powyższą zależność podstawiamy do (II-09) i wyliczamy prędkość υ : 4 4 υ λ λ υ d l l l l d d d d + ( II- ) VI. Obliczenie prędkości υ 4. Podstawiając do (II-07) równania (II-09), (II-0) i (II-) uzyskujemy następującą zależność: υ λ λ λ λ λ g d l d d d d d g d l d d g d l l l l l A ( II- ) Ponieważ w powyższym równaniu występują nieznane wielkości współczynników λ i wartość prędkości υ 4 należy wyznaczyć przy użyciu metody kolejnyc przybliżeń. VII. Obliczenie szukanej wielkości przepływu:

137 Q 4 πd υ 4 ( II- ) 4 II.9. RUROCIĄGI WYDATKUJĄCE PO DRODZE Rurociąg wydatkujący po drodze jest uproszczonym modelem rzeczywistego przewodu wodociągowego, posiadającego na swej długości odgałęzienia zasilające budynki. Jeżeli odgałęzienia te są gęsto rozmieszczone, a wydatek ic jest zbliżony, to wynik obliczeń niewiele się różni od wyników uzyskiwanyc przy założeniu wydatku równomiernego (gdyby wypływ odbywała się szczeliną przebiegającą na całej długości odcinka rurociągu).. Równanie bilansu: Q Q + Q Q + q l ( II-4 ) Q Q K Q W q W l K W K W wydatek na wlocie do rurociągu, wydatek na wylocie z rurociągu, objętość wody wydatkowanej na odcinku l w jednostce czasu, objętość wody wydatkowanej w jednostce czasu przez jednostkę rozpatrywanego odcinka rurociągu, długość rozpatrywanego odcinka rurociągu.. Równanie strat na długości L υ Z STR λ ( II-5 ) D g Z υ Z jest prędkością zastępczą liczoną na podstawie: υ. Q Z jest przepływem zastępczym, czyli przepływem, który przy przepływie jednostkowym na całym odcinku dawałby stratę równą rzeczywistej. Jego wartość można policzyć na podstawie wzoru: Q Z Q + 0, 55 Q ( II-6 ) K W Uwaga: υ Z i Q Z są wielkościami fikcyjnymi używanymi wyłącznie do obliczania strat na długości rurociągu wydatkującego. Z 4Q πd 6

138 PRZYKŁAD II-6 Obliczyć nadciśnienie panujące na wlocie do rurociągu, którego część jest przewodem wydatkującym po drodze. Dane: Szukane: L 50 m, L 50 m, d 50 mm, Q 0 l/s, q W 0,5 l/s, k 0, mm, ν 0-6 m /s A A Q Q K A B C L L q W Rys. II-8 Rozw.: Równania strat: ) A L υ B λ ( II-7 ) d g L υ z ) B 0 λ ( II-8 ) d g Równanie przepływu zastępczego: Q Z Q + 0,55 Q Q + 0,55 q L ( II-9 ) K W K I. Z równania przepływu zastępczego obliczyć można jego wartość: W Q ,55 0, ,04 m /s ( II-0 ) Z II. Obliczenie wartości prędkości w poszczególnyc odcinkac rurociągu: 7

139 4Q 4 0,0 υ, m/s ( II- ) π d,4 0,5 4Q 4 0,04 υ Z Z, m/s ( II- ) π d,4 0,5 III. Odczytanie z wykresu Moody ego wartości współczynników strat liniowyc: λ λ 0,, 0,5 f ; f ,, 0,5 f ; 6 f ( 0,00;,7 0 ) 0,045 5 ( 0,00;,45 0 ) 0, 04 ( II- ) IV. Z równań strat ) i ) obliczamy szukaną wysokość ciśnienia w punkcie A: A L υ L υ z λ + λ ( II-4 ) d g d g 50, 50, A 0, ,04 4,5 m ( II-5 ) 0,5 9,8 0,5 9,8 PRZYKŁAD II-7 Dane: Szukane: l, l, l, d, d, d,q, q W, q W, k, γ A A B C Q l d Q A l d q W B l d q W D Q K Rys. II-9 8

140 Rozw.: Równania strat: ) A l υ z B λ ( II-6 ) d g ) l υ 0 λ B d g ( II-7 ) ) l υ z B 0 λ d g ( II-8 ) Równania bilansu zapisane w węźle B: a) QK Q + QK + qw l ( II-9 ) Równania przepływów zastępczyc: A) gałąź AB QZ QK + 0, 55 qw l B) gałąź BC QZ QK + 0, 55 qw l I. Obliczenie wartości B z równania strat ): gdzie: l υ 0 λ B d ( II-0 ) g 4Q k υ d ; λ f π d d ν υ ; ( II- ) II. Obliczenie prędkości υ z z równania strat ) metodą kolejnyc przybliżeń: g d B υ z ( II- ) λ l III. Na podstawie prędkości υ z, wyliczenie przepływu Q z : Q z πd υ z ( II- ) 4 IV. Obliczenie z równania przepływu zastępczego B) Q K : 9

141 Q K QZ, 55 0 q l ( II-4 ) W V. Z równania przepływu bilansu a) wyznaczyć można wartość Q K. VI. Obliczenie Q z z równania przepływu zastępczego A). VII. Obliczenie A z równania strat ): gdzie: A l υ z B + λ ( II-5 ) d g 4Q z k υ d z ; λ f ; ( II-6 ) π d d ν υ 40

142 III. WYPŁYW PRZEZ OTWORY I PRZELEWY III.. WYPŁYW PRZEZ OTWORY III... Ustalony wypływ przez otwory Wypływ przez otwór ma carakter ustalony, gdy położenie zwierciadła wody górnej (nad otworem) nie zmienia się, czyli gdy ilość wody jaka dopływa do zbiornika, w którego ścianie znajduje się otwór, jest równa wypływowi z tego otworu. Q const woda górna b Q woda dolna Rys. III- wysokość położenia zwierciadła wody górnej ponad środkiem ciężkości otworu, b wymiar pionowy otworu Otwory można podzielić na (patrz rys. III-): zatopione, czyli takie, że woda dolna wpływa na ic wydatek, co zacodzi wówczas, gdy poziom zwierciadła wody dolnej jest wyższy od górnej krawędzi otworu; niezatopione jeżeli woda dolna nie ma wpływu na wydatek otworu, co praktycznie oznacza, że zwierciadło cieczy za otworem znajduje się poniżej jego dolnej krawędzi. otwór niezatopiony otwór zatopiony Rys. III- 4

143 Uwaga! W niniejszym skrypcie nie będziemy zajmować się otworami podtopionymi, czyli takimi, że zwierciadło cieczy za otworem znajduje się poniżej jego górnej, a powyżej dolnej krawędzi. Rozróżnia się dwa rodzaje otworów niezatopionyc: otwory małe w przypadku któryc warunek: 0 b jest spełniony. Wówczas uznaje się, że różnica ciśnień p w obrębie otworu (rys. III-) jest niewielka w stosunku do ciśnienia p S w środku ciężkości otworu. Można wtedy przyjąć, że ciśnienie i prędkość w całym otworze są niezmienne i równe odpowiadającym ic wartościom w środku ciężkości otworu. otwory duże dla któryc warunek < 0 d. Różnica ciśnień p jest wtedy porównywalna do wartości ciśnienia p S w środku ciężkości otworu, a do obliczeń przyjmuje się rzeczywisty rozkład ciśnień. p p S S b p Rys. III- S środek ciężkości otworu, p, p, p S ciśnienia (w najwyższym i najniższym punkcie otworu i środku ciężkości), p różnica ciśnień p i p, b wymiar pionowy otworu Podział na otwory małe i duże traci sens w przypadku otworów zatopionyc w któryc rozkład ciśnienia na całej powierzcni otworu jest jednakowy (rys. III-4) rozkład ciśnienia w otworze od wody górnej rozkład ciśnienia w otworze od wody dolnej wypadkowy rozkład ciśnień Rys. III-4 Uwaga! Podział na otwór duży i mały nie jest związany z wielkością otworu. Ten sam otwór może być traktowany w obliczeniac jako mały lub duży w zależności od jego położenia pod powierzcnią zwierciadła wody górnej (rys. III-5). 4

144 Q Q b Q b Q otwór mały 0 b Rys. III-5 otwór duży < 0 b a) Wydatek otworu małego niezatopionego Zgodnie z definicją małego otworu zakłada się, że prędkość υ i ciśnienie p na powierzcni całego otworu jest jednakowe. 0 p.p. p Rys. III-6 Należy zapisać równanie Bernoulliego dla przyjętyc jak na rys. III-6 przekrojów poprzecznyc i poziomu porównawczego: pa p υ υ ς ( III- ) γ γ g g gdzie ζ jest współczynnikiem straty lokalnej (przy wypływie z otworu). Wprowadzając pojęcie współczynnika prędkości φ: ϕ + ς ( III- ) i oznaczając jako 0 wzniesienie linii energii ponad środkiem ciężkości otworu: 4

145 0 pa p υ0 + + ( III- ) γ g równanie (III-) przyjmie postać: υ ϕ g 0 ( III-4 ) W celu obliczenia natężenia wypływu cieczy przez otwór należy prędkość wymnożyć przez pole powierzcni przekroju poprzecznego strumienia A 0. Pole to jest mniejsze niż pole otworu A. Zjawisko przewężenia strumienia (rys. III-7) za otworem nazywa się kontrakcją, dlatego wprowadza się dodatkowy współczynnik ε nazywany współczynnikiem kontrakcji lub dławieniem wyrażający stosunek: A ε ( III-5 ) A 0 A A 0 Rys. III-7 Równanie (III-) przyjmie ostatecznie postać: Q µa g 0 ( III-6 ) gdzie µ jest współczynnikiem wydatku otworu równym: PRZYKŁAD III- µ ϕε. Z kanistra do zbiornika przelewany jest olej przy pomocy lejka (rys. III-8). Jaką wysokość powinien mieć ten lejek, by benzyna z niego się nie wylała. Przyjąć współczynniki wydatku otworów (kołowyc) µ d i µ D. Dane: 0,75 m, d cm, D 6 cm, µ d. 0,607, µ D 0,59 Szukane: 44

146 d D Rys. III-8 Rozw.: Oba otwory są otworami małymi, zatem ic wydatek określa się według wzoru (III-6), który zapisany dla kanistra przyjmuje postać: Q d πd µ d g ( III-7 ) 4 a dla lejka napełnionego do wysokości : Q D πd µ D g ( III-8 ) 4 Aby olej nie wylał się z lejka, natężenie przepływu cieczy dopływającej musi być równe natężeniu cieczy z niego wypływającej, czyli: Q d πd πd QD µ d g µ D g ( III-9 ) 4 4 Z powyższego warunku obliczyć można szukaną wysokość lejka: µ d µ D d D 4 0,604 0,75 0,59 0,0 0,06 Lejek powinien mieć przynajmniej 5 cm wysokości. 4 0,05 m ( III-0 ) 45

147 b) Wydatek otwóru dużego niezatopionego W przypadku obliczenia wypływu z otworu dużego należy uwzględnić rzeczywisty rozkład ciśnień i prędkości na powierzcni otworu nacylonego pod kątem α do poziomu (rys. III-9). z dz α y dz sinα Rys. III-9 W tym celu dzieli się otwór na elementarne poziome paski o wysokości dz/sinα i szerokości y zależnej od położenia pod powierzcnią zwierciadła wody górnej na powierzcni któryc można przyjąć, że ciśnienie i prędkość są stałe. Całkowity wydatek Q otworu dużego jest sumą wydatków elementarnyc ( z poszczególnyc pasków) i wynosi: g Q µ sin y zdz ( III- ) α Jeżeli otwór o stałej szerokości b znajduje się w pionowej ścianie zbiornika (α 90 ), wówczas powyższa zależność upraszcza się do następującej formuły: ( / / ) Q µ b g ( III- ) PRZYKŁAD III- O ile zwiększy się wypływ przez prostokątny otwór (rys. III-0) o szerokości b i wysokości a, jeżeli zwierciadło wody podwyższy się z głębokości do? Przyjąć współczynnik wydatku otworu µ.. Dane: b 4 m, a m, 6 m, m, µ. 0,6 46

148 b S a Rys. III-0 Rozw.: Otwór jest otworem dużym, dlatego do obliczenia natężenia przepływu należy skorzystać ze wzoru (III-). Przypadku, gdy zwierciadło cieczy znajduje się na wysokości ponad środkiem ciężkości otworu, 7 m, 5 m wydatek wynosi: / / ( 7 5 ) 5 m /s Q 0,6 4 9,8 ( III- ) a gdy zwierciadło znajduje się na wysokości ( 4 m, m): / / ( 4 ) 6,7 m /s Q 0,6 4 9,8 ( III-4 ) Natężenie wzrosło z 6,7 do 5 m /s, czyli o około 0 %. c) Wydatek otworów zatopionyc Gdy ciecz nie wypływa przez otwór o powierzcni A swobodnie w atmosferę, ale do drugiego zbiornika po pewnym czasie zdarzy się, że ciecz dążąca do wyrównania swyc poziomów zwierciadeł w obu zbiornikac, całkowicie zakryje otwór (rys. III-). v Rys. III- Z równania Bernoulliego zapisanego dla zwierciadeł wody w zbiornikac wynika wzór na wypływ przez otwór zatopiony postaci: 47

149 Q µ A g ( ) A g ( III-5 ) z µ z gdzie: różnica poziomów wody w górnym i dolnym stanowisku, µ z współczynnik wydatku zatopionego otworu, A pole powierzcni otworu. PRZYKŁAD III- W pionowej ścianie zbiornika dzielącej zbiornik na dwie części znajduje się okrągły otwór o średnicy d. Głębokość wody w lewej części wynosi L, a przepływ przez otwór Q. Określić głębokość wody P w prawej części zbiornika Jaką średnicę d powinien mieć otwór w zewnętrznej ścianie zbiornika, aby zwierciadło wody w lewej części zbiornika utrzymywało się na stałym poziomie. Środki obu otworów znajdują się na wysokości a ponad dnem zbiornika, a współczynnik wypływu µ.. Q L a d Q d P Rys. III- Rozw.: 48 Dane: L,5 m, d 50 mm, Q, l/s, a,0 m, µ. 0,6 Szukane: P, d Otwór w ścianie dzielącej zbiornik jest zatopiony, czyli natężenie wypływu przez ten otwór obliczony według wzoru (III-5) wynosi: Stąd: πd Q µ FL g( L p ) µ g( L p ) ( III-6 ) 4 P 4Q L ( III-7 ) gµ πd

150 Po podstawieniu danyc liczbowyc: 4 (, 0 ) P,5,7 m ( III-8 ) 9,8 0,6,4 0,05 Otwór w ścianie zewnętrznej zbiornika jest niezatopiony i najprawdopodobniej mały, a więc wypływ przez ten otwór obliczyć można ze wzoru (III-6): Q µ FP g( a) ( III-9 ) Ponieważ wypływ jest ustalony, więc ilość dopływającej wody jest równa wypływowi. Ze wzoru (III-) wyliczyć można powierzcnię otworu: Q F P µ g(, 0 a) 0,6 9,8 (,7 ) Szukana średnica tego otworu wynosi zatem: 0,45 cm ( III-0 ) 4 4FP 0,45 0 d P 0,07 m 7, mm ( III- ) π,4 Na koniec należy sprawdzić słuszność przyjętego założenia, że otwór jest otworem małym, czyli czy spełniona jest zależność: ( a) 0 d (,7 ) 0 0,07,7 0,7 ( III- ) P P Powyższa nierówność jest prawdziwa, czyli założenie było słuszne. d) Ustalony wypływ przez przystawki Przystawką nazywa się krótką rurkę przymocowany do otworu. A d L Rys. III- 49

151 Przystawki (rys. III-) stosuje się w celu zwiększenia wypływu przez otwór. Tuż przy samym wlocie do przystawki strumień cieczy zwęża się na skutek kontrakcji W tak wytworzonym obszarze A wytwarza się podciśnienie powodujące zasysanie wody ze zbiornika, a tym samym zwiększenie przepływu. Następnie strumień rozszerza się i wypełnia całkowicie przekrój A P przystawki (z przystawki ciecz wypływa pełnym przekrojem). W takim przypadku na wylocie nie występuje zjawisko kontrakcji, zatem współczynnik kontrakcji ε P, czyli współczynnik wydatku µ P ϕ P, a wypływ Q wyraża się wzorem: Q µ P A g ( III- ) P Aby przystawka pracowała prawidłowo, czyli, że wypływ z niej następuje pełnym przekrojem), jej długość L powinna być 6 razy większa od jej wewnętrznej średnicy d. Ograniczenie długości od dołu wynika z konieczności spełnienia warunku, by ciecz zdążyła wypełnić całkowicie przekrój przystawki, a od góry gwarantuje, że straty na pokonanie oporów rucu w przystawce nie przekroczą zysku wynikającego ze zwiększenia podciśnienia w strefie A. Przyjmuje się, że współczynnik wypływu przy zastosowaniu przystawki µ P wynosi µ P 0,8, natomiast współczynnik wydatku cieczy wypływającej przez mały otwór kołowy (bez przystawki) jest równy µ (0,59 0,6). W zależności od kształtu rozróżnić można kilka rodzajów przystawek (rys. III-4). przystawka walcowa zewnętrzna przystawka walcowa wewnętrzna d d L L przystawka zbieżna (konfuzor) przystawka rozbieżna (dyfuzor) D d d D L L Rys. III-4 Rodzaje przystawek 50

152 PRZYKŁAD III-4 Dany jest układ dwóc zbiorników jak na rys. III-5. Ze zbiornika górnego woda wylewa się otworem o średnicy d (o współczynnik wydatku µ ) zagłębionym pod zwierciadłem wody na głębokość. Zbiornik dolny ma otwór w ścianie bocznej zaopatrzony w przystawkę o tej samej średnicy i współczynniku wypływu µ. Obliczyć na jakim poziomie nad przystawką ustali się zwierciadło wody w zbiorniku dolnym. Prędkości wody w obu zbiornikac pominąć. Dane: µ 0,6, µ 0,8,,6 m Szukane: d d Rys. III-5 Rozw.: Aby w zbiorniku dolnym zwierciadło wody pozostawało na stałym poziomie, ilość Q wypływającej wody z tego zbiornika musi być równa ilości wody Q dopływającej do niego ze zbiornika górnego, czyli: Stąd: Q µ g ( III-4 ) Q µ A g A µ 0,6,6 µ 0,8 0,9 m ( III-5 ) III... Nieustalony wypływ przez otwory Jeżeli natężenie dopływu do zbiornika różni się od natężenia wypływu z tego zbiornika, położenie zwierciadła cieczy w tym zbiorniku zmienia się w czasie, czyli wypływ jest nieustalony. Zbiornik stopniowo napełnia się lub opróżnia. W dalszyc rozważaniac zajmiemy się tylko przypadkiem, gdy dopływ cieczy do zbiornika jest zerowy. Rozróżnić można tak jak w przypadkac innyc otworów dwa rodzaje otworów: a) otwór niezatopiony zagadnienie opróżnianie zbiornika, b) otwór zatopiony, znajdujący się w pionowej ścianie dzielącej zbiorniki (zagadnienie wyrównania poziomów cieczy w zbiornikac). 5

153 a) otwór niezatopiony W przypadku nieustalonego wypływu wody ze zbiornika, czyli jego opróżniania oznaczmy jako: czas T czas obniżenia się zwierciadła wody z początkowego poziomu do danego, czas T czas całkowitego opróżnienia zbiornika (, 0). z A A z T µ A g A z z / dz Rys. III-6 ( III-6 ) gdzie: A powierzcnia otworu, A z powierzcnia przekroju poprzecznego zbiornika na wysokości z ponad otworem, µ współczynnik wypływu z otworu. T µ A g 0 A z z / dz ( III-7 ) W przypadku gdy pole powierzcni przekroju poprzecznego zbiornika ma stały kształt na całej jego wysokości naczynia (np. walec, prostopadłościan), czasy te przyjmują postać: T ( ) Az ( III-8 ) µ A g Az T ( III-9 ) µ A g 5

154 PRZYKŁAD III-5 Sześcienną konewkę o boku a wypełniono wodą (rys. III-6). Po przecyleniu jej o 45, konewka była wypełniona do wysokości, a woda wypływa przez krótką rurkę (spełniającą warunek przystawki) o średnicy d i współczynniku wydatku otworu µ. W jakim czasie konewka opróżni się całkowicie? Dane: a 0,4 m, 0, m, d 0,04 m, µ 0,8 Szukane: T konewka w pozycji pionowej konewka przecylona o 45 O d a l Rys. III-7 Rozw.: Zbiornik opróżnia się całkowicie w czasie wyliczonym według wzoru (III-9): T Az ( III-0 ) µ A g gdzie: A jest polem powierzcni przystawki wynoszącym:,4 0,04 A π d 0,006 m ( III- ) 4 4 a A z jest polem powierzcni konewki na wysokości : A z a 0,5 0,6 m ( III- ) Podstawiając wartości liczbowyc do równania (III-0): 0,6 T 0, 8s ( III- ) 0,8 0,006 9,8 5

155 PRZYKŁAD III-6 Strzykawkę o długości L i średnicy D (rys. III-8) wypełniono wodą. W jakim czasie można wypompować z niej tę wodę przez otwór o średnicy d, jeżeli naciska się na tłok z siłą F? Współczynnik wydatku otworu wylotowego wynosi µ. Dane: Szukane: F 5 N, L 8 cm, D cm, d 0, cm, γ w 980 N/m, µ 0,6 T F D L d Rys. III-8 Rozw.: Czas opróżniania strzykawki według wzoru wynosi (III-8): D ( ) ( ) Az T µ g A µ g d ( III-4 ) Wysokość występująca w powyższym wzorze jest równa sumie długości strzykawki i wysokości ciśnienia wywieranego przez jej tłok na ciecz: p 4F 4 5 L + L + 0,08 + 4,5 m ( III-5 ) γ πd γ π 0, a wysokość jest równa wysokości przyrostu ciśnienia, czyli: 4F 4 5 4,4 m ( III-6 ) πd γ π 0, Po podstawieniu wartości liczbowyc czas opróżnienia strzykawki wynosi: ( 4,5 4,4 ),6 s 0,0 T ( III-7 ) 0,6 9,8 0,00 54

156 PRZYKŁAD III-7 Określić średnicę d poziomej, przystawki umieszczonej w ścianie zbiornika w odległości a od jego dna taką, aby w ciągu czasu T wypłynęła ze zbiornika połowa jego początkowej objętości wody. Średnica zbiornika wynosi D, napełnienie zbiornika w cwili otwarcia otworu. Dane: Szukane: µ 0,8,,8 m, D,6 m, a m, T 0 s d a Rys. III-9 Rozw.: Zbiornik opróżnia się z poziomu do poziomu : a,8,8 m ( III-8 ),8 a 0,59 m ( III-9 ) Zbiornik jest walcem, czyli jego pole powiercni przekroju poprzecznego wynosi: A z π D 4,4,6 4 0, m Czas opróżniania się zbiornika wyliczony według wzoru (III-5): T ( ) ( III-40 ) Az ( III-4 ) µ A g Z powyższego równania, po podstawieniu danyc liczbowyc wyliczyć można pole powierzcni otworu: 0,9 (,8 0,59 ) 0,008 m 0,04 A ( III-4 ) 0,8 T 9,8,6 0 Stąd szukana średnica d wynosi: 55

157 πd 4A 4 0,008 A d 0, m ( III-4 ) 4 π,4 b) otwór zatopiony O nieustalonym wypływie przez otwór zatopiony mówimy wówczas, gdy woda wypływ z jednego do drugiego zbiornika przez otwór w ścianie oddzielającej te zbiorniki, o ile pierwszy z nic nie jest zasilany wodą z zewnątrz. d A z A z Rys. III-0 W takim przypadku następuje zmniejszanie się różnicy położenia zwierciadeł w zbiornikac aż do momentu wyrównania się poziomów zwierciadeł wody w obu zbiornikac. W przypadku naczyń o stałym pole powierzcni przekroju poprzecznego zbiornika na całej wysokości naczynia oblicza się: czas T zmniejszenia się różnicy poziomów zwierciadła wody z początkowego poziomu do danego, T A A ( ) z z ( III-44 ) µ ( Az + Az ) A g gdzie: A powierzcnia otworu, A z, A z powierzcnia przekroju poprzecznego zbiornika odpowiednio w zbiorniku i, µ współczynnik wydatku z otworu. czasu T 4 całkowitego wyrównania się poziomów zwierciadeł wody w zbiornikac ( 0). T 4 Az Az µ ( A + A ) A z z g ( III-45 ) 56

158 PRZYKŁAD III-8 Po jakim czasie objętość V wody przepłynie ze zbiornika do? Dane: µ 0,6, V m, A z m, A z m, m, A 0 cm Szukane: T z z A z d A z Rys. III- Rozw.: Czas w jakim szukana objętość V przepływnie ze zbiornika do zbiornika jest to czas w jakim zmniejszy się początkowa różnica położenia zwierciadeł wody w zbiornikac z do, przy czym: z + ) ( III-46 ) ( z gdzie z i z określają obniżenie zwierciadła wody w zbiorniku i. V z 0,66 m ( III-47 ) A z V z m ( III-48 ) A z Zatem T (0,66 + ) 0, m Az Az µ ( A + A ) A g ( ) 67 [s] 6 min z z ( III-49 ) III.. WYPŁYW PRZEZ PRZELEWY III... Klasyfikacja przelewów 57

159 Przelew to część przegrody ustawionej na drodze płynącego strumienia w celu jego spiętrzenia, przeprowadzająca równocześnie wodę ze stanowiska górnego do dolnego. Górną krawędź tej przegrody nazywamy koroną przelewu, a jej odległość od dna wysokością przelewu. Tabela III- Klasyfikacja przelewów Podział Widok z boku (podział w zależności od stosunku szerokości korony L do głębokości wody na przelewie ) Zatopienie przelewu L L < 0,5 o cienkiej ściance Rodzaje przelewów L 0,5 L,5 o kształcie praktycznym niezatopiony (położenie zwierciadła wody dolnej nie ma wpływu na wydatek) o cienkiej ściance o kształcie praktycznym zatopiony (położenie zwierciadła wody dolnej ma wpływ na wydatek) o cienkiej ściance o kształcie praktycznym L,5 < L < 0 o szerokiej koronie kr o szerokiej koronie kr o szerokiej koronie Widok z góry (usytuowanie przelewu w korycie) prosty, czołowy, prostopadły ukośny łamany Widok z przodu (ze względu na kształt wycięcia) Podział dotyczy przelewów o cienkiej ściance. Pozostałe typy przelewów są prostokątne. Dławienie (kontrakcja) boczne o rozwiniętej koronie krzywoliniowy boczny trójkątny kołowy paraboliczny prostokątny trapezowy proporcjonalny bez dławienia kontrakcja jednostronna kontrakcja dwustronna III... Wydatek przelewu 58

160 a) przelewy o cienkiej ściance (o ostrej krawędzi) v 0 v 0 g 0 p Wydatek przelewu prostokątnego: / 0 Rys. III- Q σ z m ε b g, ( III-50) gdzie: głębokość wody na przelewie, b szerokość przelewu, 0 wysokość linii energii, 0 + υ 0, g m współczynnik wydatku, σ z, ε stablicowane współczynniki zatopienia i dławienia. Dla przelewu niezatopionego i bez kontrakcji bocznej,: σ z, ε. Wydatek przelewu trójkątnego Tomsona (α 90 ): 5/ Q,4, ( III-5) gdzie: jest głębokością wody na przelewie (0,05m < < 0,5m). Wydatek przelewu o kształcie kołowym: 5/ Q m ε d κ, ( III-5) gdzie: m, κ, ε bezwymiarowe parametry, któryc wartości można odczytać z tablic [0], d średnica światła przelewu. PRZYKŁAD III-9 W pionowej ścianie zbiornika zamontowano trzy niezatopione przelewy: 59

161 a) prostokątny b) trójkątny, c) kołowy, o wymiarac jak na poniższym rysunku. Obliczyć przepływ przez każdy z tyc przelewów (kolejno - Q p, Q t, Q k ) przy założeniu, że wzajemnie nie oddziaływają one na siebie, a prędkość dopływającej wody można zaniedbać ( 0 ). Wszystkie najniższe punkty tyc przelewów znajdują się na wysokości pod powierzcnią zwierciadła cieczy. Dane: 0,5 m, p 0,5, b, m, d m Szukane: Q p, Q t, Q k d b p α 90 o Rys. III- Rozw.: Wydatki poszczególnyc przelewów po odczytaniu odpowiednic wartości współczynników z tablic [0]: a) przelew prostokątny: Q p / 0 m b g, ( III-5) Współczynnik wydatku odczytany z tablic wynosi m 0,467. / Q 0,467, 9,8 0,5 0,88 m /s, ( III-54) p b) przelew trójkątny: 5/ 5/ Q t,4,4 0,5 0,5m /s ( III-55) c) przelew kołowy 5/ 5/ Q k m d κ 0,69 0,07 0,0 m /s ( III-56) 60

162 PRZYKŁAD III-0 Obliczyć przepływ wody przez prostokątny przelew o ostrej krawędzi. Dane: Szukane: p m, 0,5 m, 0,5 m, b m Q Rozw.: Przelew nie jest zatopiony. Wydatek przelewu ma zatem postać: / 0 Q m b g, ( III-57) Współczynnik wydatku odczytany z tablic wynosi m 0,46. v 0 p Rys. III-4 Ponieważ nie znamy wielkości prędkości dopływającej do zbiornika, zatem wydatek policzymy metodą przybliżeń. I przybliżenie W tym kroku pominiemy wartość prędkości. W takim przypadku wydatek jest równy: / Q ' 0,46 9,8 0,5,7 m /s ( III-58) II przybliżenie Dokładniejszą wartość przepływu można uzyskać, gdy obliczy się najpierw prędkość υ 0 dopływającej wody i na jej podstawie wyznaczy wypływ Q. ' Q,8 υ 0,46 m/s, 0 b( p + ) ( + 0,5) ( III-59) 0,46 Q " 0,46 9,8 0,5 +,4 m /s 9,8 ( III-60) / 6

163 III przybliżenie Jeżeli różnica przepływu z pierwszego i drugiego przybliżenia jest znaczna (większa niż 0,5 m /s), wówczas powyższe czynności należy powtórzyć. W praktyce jednak poprzestaje się drugiej iteracji. Q,4 υ ''' 0 0,47 m/s, ( III-6) b( p + ) ( + 0,5) 0,47 Q ''' 0,46 9,8 0,5 +,4 m /s 9,8 ( III-6) Szukany przepływ wynosi zatem,4 m /s. / b) przelew o kształcie praktycznym Wydatek tego przelewu określa się z tyc samyc wzorów, co wydatek przelewu prostokątnego o cienkiej ściance. / 0 Q σ z m ε b g, ( III-6) Wartość współczynnika wydatku m, zatopienia σ z i kontrakcji ε odczytuje się z tablic (np. [0]). Gdy przelew ten nie jest zatopiony i nie ma kontrakcji bocznej wzór przyjmuje postać: / 0 Q m b g, ( III-64) v 0 g 0 p Rys. III-5 6

164 PRZYKŁAD III- Obliczyć przepływ Q przez przelew o kształtac praktycznyc do którego woda dopływa z dużego zbiornika (υ 0 0) w przypadku: a) przelewu niezatopionego, gdy głębokość wody za przelewem d 0,5 m, b) przelewu zatopionego, gdy d,5 m. Szerokość korony tego przelewu wynosi b, wysokość p, grubość warstwy wody na przelewie. Dane: Szukane: m, p m, b 7 m, d m Q g p d Rozw.: a) przelew niezatopiony Rys. III-6 Ponieważ prędkość dopływającej wody υ 0 0, wysokość 0 m. W takim przypadku przepływ wynosi (dla m 0,49): / / Q m b g 0,49 9,8 4 m /s ( III-65) b) przelew zatopiony 0 Z tablic (Fanti, 97) odczytać można współczynnik zatopienia σ zat zależny od stosunku ( d p)/ 0 ) 0,5. Współczynnik ten wynosi σ zat 0,994. Podstawiając wartości liczbowe do wzoru (III-50) wyliczyć można wydatek: Q 0,49 0, ,8 / 4,7 m /s ( III-66) 6

165 c) Przelew o szerokiej koronie Na koronie przelewu o szerokiej koronie o długości L (,5 < L < 0) odbywa się przepływ z głębokością na części przelewu większą, a na części mniejszą od głębokości krytycznej. Próg o szerokiej koronie jest niezatopiony, gdy rzędna zwierciadła wody dolnej jest niższa od rzędnej zwierciadła przy przepływie krytycznym ( z < kr ). Praktycznie przyjmuje się, że: z < k 0 (k jest stablicowanym współczynnikiem zależnym od kształtu przelewu). Wydatek przelewu o szerokiej koronie określa się tak samo jak przelewu prostokątnego o cienkiej ściance: / 0 Q m b g, ( III-67) gdzie b jest szerokością przelewu. v 0 g 0 kr z p L v 0 g 0 kr z p L Rys. III-7 Niezatopiony próg o szerokiej koronie 64

166 Przelew będzie zatopiony, gdy poziom wody dolnej z będzie wyższy niż poziom głębokości krytycznej na próg (czyli praktycznie, gdy z > k 0 ). Głębokość na progu staje się wtedy funkcją zatopienia. Q ϕ b g( ), ( III-68) z 0 z Współczynnik ϕ jest bezwymiarowym współczynnikiem prędkości. v 0 g 0 kr z p L Rys. III-8 PRZYKŁAD III- W prostokątnym korycie rzeki o szerokości B projektowany jest przelew o szerokiej koronie, o wysokości p i zaokrąglonej części wlotowej. Jak musi być szerokość b tego przelewu, jeżeli przepływ przed przelewem wynosi Q, głębokość wody przed przelewem to g, za d. Rozw.: Dane: p,5 m, B 0 m, g 5 m, d m, Q 0 m /s Szukane: b Aby sprawdzić zatopienie przelewu, należy sprawdzić, czy z > k 0. Ponieważ próg ma zaokrąglony wlot, współczynnik k 0,6, a m 0,50. Q 0 υ 0 0,6 m/s ( III-69) B 0 5 k g υ 0 0,6 p + 0,6 5,5 + g 9,8 0 k g, m ( III-70) Ponieważ z d p,5 0,5 m jest mniejsza od k 0, m, przelew pracuje jako niezatopiony. W tym przypadku przelewu zatopionego wydatek opisany jest wzorem (III-67): 65

167 Q 0 b m ( III-7) /,5 m g 0,5 9,8,5 0 Aby były spełnione zadane warunki, światło progu powinne być równe m. PRZYKŁAD III- W prostokątnym korycie rzeki wybudowano przelew o szerokiej koronie. Przepływ przed przelewem wynosi Q, szerokość przelewu b, wysokość p. Obliczyć spiętrzenie wody z za przelewem. Dane: Szukane: m, p m, Q 50 m /s, b 0 m Rozw.: Obliczenie prędkości wody przed przelewem: z Q 50 υ 0,67 m/s ( III-7) b ( + p) 0( + ) υ, g 9,8 0,4 m W przypadku przelewu zatopionego wydatek opisany jest wzorem: z ( ) 0,85 0 9,8 (, ) z z z ( III-7) Q ϕ b g 4 ( III-74) 0 Ponieważ znany jest przepływ, metodą prób obliczyć można z powyższego równania szukaną wartość z. Wynosi ona z,45 m. 66

168 IV. RUC W KORYTAC OTWARTYC I.. DEFINICJE Typy koryt otwartyc: liniowe: - naturalne (rzeki, potoki, strumienie), - sztuczne (kanały); powierzcniowe: - naturalne (jeziora), - sztuczne (zbiorniki). Przepływ w korytac otwartyc zacodzi przy swobodnym zwierciadle (jego położenie zmienia się wraz z natężeniem przepływu) na które działa ciśnienie atmosferyczne. IV.. RUC JEDNOSTAJNY W KORYTAC OTWARTYC Ruc jednostajny w korytac otwartyc to taki ruc którego parametry (prędkość, głębokość) nie zmieniają się w czasie i w przestrzeni. Ruc taki może wystąpić tylko w korycie spełniającym następujące warunki: pryzmatyczność (stałość przekroju poprzecznego na długości), stałość spadku podłużnego, stałość współczynnika szorstkości. Zwierciadło wody jest równoległe do dna kanału (pokrywa się z piezometryczną linią ciśnień i jest równoległe do linii energii). v g I (spadek ydrauliczny) S (spadek dna) 0 IS 0 Rys. IV- 67

169 IV... Przepływ w przekroju poprzecznym zwartym Przekrój zwarty to taki przekrój, w którym nie występują gwałtowne i istotne zmiany średniej prędkości (rys. IV-a). Jeżeli tak nie jest, koryto nazywa się złożonym (rys. IV-b). Jak widać kształt porzecznego rozkładu prędkości związany jest z kształtem poprzecznego przekroju koryta. W korycie zwartym nie występuje nagła i istotna zmiana prędkości. W korycie złożonym wyróżnić można tzw. koryto główne i terasy zalewowe. a) koryto zwarte v v śr b) koryto złożone v v śr Rys. IV- Z definicji prędkości średniej natężenie przepływu wyraża się iloczynem średniej prędkości υ i pola powierzcni przepływu A: Q υ A [m /s], ( IV-) 68

170 Funkcję równania dynamicznego w korycie zwartym pełni formuła Manninga określająca prędkość średnią w przekroju: gdzie: R A / / υ R I [m/s] ( IV-) U I n n promień ydrauliczny, R A/U, pole czynnego przekroju koryta (wypełniona wodą część koryta zawarta pomiędzy dnem, a zwierciadłem wody), obwód zwilżony, spadek ydrauliczny, współczynnik szorstkości przekroju. B n U A n 4 U 4 n U Rys. IV- n U Głębokość jest pionową odległością pomiędzy najniżej położonym punktem dna a zwierciadłem wody. Średnia głębokość przepływu w przekroju jest stosunkiem pola przekroju czynnego A do szerokości kanału B na poziomie zwierciadła wody. Współczynnik szorstkości n ma niefizyczny carakter; jego wymiar to [m s -/ ]. Zawiera informacje o tyc cecac koryta, które mają wpływ na opory rucu. Dla tego też współczynnik ten zmienia się wraz z głębokością (a także porami roku w lecie opory przepływu są większe). Współczynnik szorstkości zależy od: kształtu koryta zarówno w przekroju poprzecznym, profilu podłużnym, a także w planie, pokrycia (składu granulometrycznego materiału z jakiego zbudowane jest koryto, roślinności porastającej koryto jej rodzaju i wielkości przestrzeni na jakiej występuje). 69

171 W przypadku wyraźnej zmienności n na obwodzie, wartość tego współczynnika można obliczyć jako średnią ważoną współczynników szorstkości n i : niu i n ( IV-) U Ze względu na to, że podane poniżej zadania dotyczą przekrojów prostokątnyc lub trapezowyc, poniżej podano podstawowe zależności geometryczne je carakteryzujące. a) przekrój prostokątny b głębokość, b szerokość dna Rys. IV-4 Pole powierzcni przekroju przepływu (czynnego) jest to pole powierzcni przekroju poprzecznego, ograniczone ścianami kanału i zwierciadłem wody: A b ( IV-4) gdzie jest napełnieniem koryta, a b szerokością dna. Obwód zwilżony jest długością konturu powierzcni na której następuje kontakt z wodą: U + b ( IV-5) Promień ydrauliczny dla tego koryta wyraża się stosunkiem pola powierzcni do obwodu zwilżonego: R A b U + b Średnia głębokość w przekroju wynosi zatem: ( IV-6) 70

172 A b ( IV-7) B b sr zw 7

173 7 b) przekrój trapezowy b B zw :m :m z x z x Rys. IV-5 m nacylenie skarpy, głębokość, b szerokość dna, B zw szerokość zwierciadła. Długość skarp: m z m x m x + ( IV-8) m z m x m x + ( IV-9) Pole powierzcni przekroju przepływu (czynnego): ( ) ( ) 0,5,5 0 m m B B B A zw ( IV-0) Obwód zwilżony: ( ) m m B z B z U ( IV-) Promień ydrauliczny: ( ) ( ) 0,5 m m B m m B U A R Średnia głębokość w przekroju: ( ) 0,5 m m B m m B B A zw sr ( IV-)

174 IV... Obliczenia ydrauliczne dla koryta zwartego W obliczeniac ydraulicznyc dotyczącyc koryt otwartyc przy rucu jednostajnym, spotyka się cztery typy zadań: obliczenie średniej prędkości υ (lub natężenia przepływu Q) w korycie poprzez podstawienie wszystkic danyc do wzoru Manninga określenie spadku dna kanału S 0 polega na obliczeniu szukanej wartości spadku z odpowiednio przekształconego wzoru Manninga, wyznaczenie dowolnego liniowego wymiaru koryta (najczęściej głębokości ) takie zadania nawet w przypadku najprostszego przekroju poprzecznego koryta wymaga znalezienia pierwiastków wielomianu wyższego stopnia, dlatego ten typ zadań rozwiązuje się metodą kolejnyc przybliżeń lub metodą inżynierską (przy użyciu krzywej konsumcyjnej), określenie wartości średniego współczynnika szorstkości n - zadanie mające raczej carakter badawczy; polega ono na obliczeniu ze wzoru Manninga średniej szorstkości dla danego odcinka koryta. PRZYKŁAD IV- Obliczenie Q Obliczyć napełnienie przy przepływie Q w kanale ziemnym o przekroju trapezowym i spadku zwierciadła I, szorstkości skarp n s i dna n d. Dane: I, b 5 m, m, m,5, n d 0,00, n s 0,05, Szukane: Q. n s :m n s l b n d Rys. IV-6 Rozw.: Natężenie przepływu w oparciu o wzór Manninga: Q n / R / I A ( IV-) Ponieważ szorstkości ścian koryta są różne, do obliczenia natężenia przepływu konieczne będzie obliczenie wartości współczynnika szorstkości n, jako średniej ważonej poszczególnyc współczynników, wg wzoru (IV-): 7

175 n n d b + n s b + + ( + + m ) 0, ,05 ( + +,5 ) 0, 08 + m ,5 (IV-4) W przypadku koryta trapezowego: pole powierzcni przepływu: A b + 0,5 m 5 + 0,5,5 5,75 m, obwód zwilżony: U b + + m 5 + +,5 6,80 m, promień ydrauliczny wynosi: R A / U 5,75 / 6,80 0,85 m. Po podstawieniu wszystkic policzonyc wcześniej wielkości, natężenie przepływu Q wynosi: / / / Q / 0,85 0,00 5,75 n R I A 5,8m /s ( IV-5) 0,08 PRZYKŁAD IV- Obliczenie S 0 Określić spadek dna S 0 koryta prostokątnego taki, by przy zadanym napełnieniu, szerokości dna b i szorstkości n, kanał prowadził wodę z prędkością υ. Dane: b 0 m, m, υ,5 m/s, n 0,0 Szukane: S 0 Rozw.: Spadek dna obliczyć można przekształcając wzór Manninga: n υ 0,0,5 S 0 I 0,00, / / R,4 W przypadku koryta prostokątnego promień ydrauliczny wynosi: ( IV-6) A b 0 R,4m ( IV-7) U + b + 0 PRZYKŁAD IV- Obliczenie Obliczyć napełnienie przy przepływie Q w kanale ziemnym o przekroju prostokątnym i spadku S 0. Dane: Q 5 m /s, S 0 0,9, b 0 m, n 0,05. Szukane: 74

176 Rozw.: Natężenie przepływu w oparciu o wzór Manninga wyraża się wzorem: Q n / R / I A ( IV-8) W przypadku koryta prostokątnego: A b, U + b, R Natężenie przepływu Q wynosi zatem: Q 5 / ( b) ( + b) A b U + b / I ( IV-9) / n Po podstawieniu danyc otrzymujemy: 0,05 5 / ( 0 ) ( + 0) 5/ ( 0 ) ( + 0) / / Q 0,0009 0,857 / ( IV-0) Równania (IV-0) nie da się rozwiązać w łatwy sposób, ponieważ po przekształceniu powyższego wzoru otrzymuje się równanie wielomianowe wyższego stopnia. Dlatego do wyznaczenia tej wielkości stosuje się jedną z dwóc metod: iteracyjną (kolejnyc przybliżeń) lub uproszczoną (krzywej konsumcyjnej).. metoda krzywej konsumcyjnej Na podstawie związku (IV-0), należy narysować zależność Q f(), czyli krzywą konsumcyjną. [m] Q [m /s] 0,00 0,00 0,5 0,8 0,50,5 0,75 4,8,00 7,59,5 0,7,50 4,4,75 7,8,00,74 [m],00,75,50,5,00 0,75 0,50 0,5 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 Q [m /s] Rys. IV-7 Krzywa konsumcyjna Z powyższej krzywej odczytać można wartość napełnienia dla zadanego przepływu Dla przepływu Q 5 m /s głębokość wynosi:,55 m. 75

177 Należy dla tak odczytanej głębokości obliczyć natężenie przepływu: 5 / ( 0,55) (,55 + 0) Q 0,857 4,87 m /s ( IV-) / a następnie sprawdzić, czy jest spełniony poniższy warunek: Q Q Q obl. metoda kolejnyc przybliżeń 5 4,87 0 % 0,8 % 5 ( IV-) Aby zastosować do obliczania napełnienia tę metodę, należy przekształcić równanie (IV-0) do postaci umożliwiającej dokonanie iteracji. Wyliczamy zatem z licznika prawej strony równania. Otrzymujemy: ( + 0) / 5 / Q ( IV- ) 5 / 0,857 0 Po przekształceniac równanie ostatecznie przyjmie postać: 0,4,4 + ( IV-4) 5 Metoda kolejnyc przybliżeń, polega na wykonaniu następującyc czynności: I przybliżenie za wartość występującą po prawej stronie równania podstawia się dowolną wartość głębokości, następnie należy obliczyć prawą stroną równania i sprawdzić, czy równanie jest spełnione z założoną dokładnością. Jeżeli tak, to przyjęta przez nas wartość jest szukaną. Jeżeli nie, należy wykonać następny krok iteracji. II przybliżenie Przyjmuje się wartość równą wynikowi obliczeń prawej strony równania z przybliżenia I i sprawdza się czy głębokość z drugiego przybliżenia spełnia założone kryterium. W naszym przypadku przyjęto do przybliżenia I, że głębokość jest równa m, a dokładność 0,5 m. Podstawiając tę wartość do prawej strony równania (VIII- 4) otrzymuje się: 76

178 0,4 0,4 ',4 +,4 +,60 m ( IV-5) 5 5 Ponieważ,60 m jest różne od założonego napełnienia m (więcej niż założona dokładność), należy dokonać II przybliżenie. Do obliczeń przyjmuje się wartość głębokości równą,6 m. Po podstawieniu do tej wartości prawej strony równania (IV-4) otrzymuje się: 0,4 0,4,6 ",4 +,4 +,56 m ( IV-6) 5 5 Ponieważ wartość,56 m różni się od podstawionej,6 m o 4 cm, czyli znowu więcej niż założona dokładność. Należy więc wykonać jeszcze jedną iterację podstawiając,56 m do równania (IV-4). 0,4 0,4,56 " ',4 +,4 +,56 m ( IV-7) 5 5 Otrzymaliśmy zgodność prawej i lewej strony równania, co oznacza, że szukana wartość napełnienia wynosi,56 m. Tak jak poprzednio, należy dla tak odczytanej głębokości obliczyć natężenie przepływu: 5 / ( 0,56 ) (,56 + 0) Q 0,857 5,00 m /s ( IV-8) / Obliczony przepływ jest dokładnie równy zadanemu, gdyby tak jednak nie było, należy sprawdzić, czy jest spełniony warunek (IV-). PRZYKŁAD IV-4 Obliczenie n Obliczyć wartość współczynnika szorstkości n koryta półkolistego o promieniu R i spadku S 0 przy przepływie maksymalnym Q. Dane: Szukane: S 0 0,8, Q, m /s, R m n Rozw.: Wartość współczynnika szorstkości w korycie półkolistym wyrazić korzystając z formuły Manninga następującą zależnością: n R I / / πr Q / 0,0008, / π 0,04 ( IV-9) Uwaga: Obliczona wartość współczynnika n odpowiada szorstkości betonu. 77

179 IV... Ruc krytyczny Ruc krytyczny to ruc w którym całkowita energia strumienia osiąga wartość minimalną, czyli: E E K + E min, ( IV-0) P [m] E P EK EE P +E K KR głębokość krytyczna Ruc nadkrytyczny przewaga E spokojny P Ruc podkrytyczny przewaga E rwący K E [m] E min Rys. IV-8 Wysokość energii całkowitej strumienia wynosi zatem: αυ αq E + + g ga ( IV-) Analizując powyższy wzór zauważyć można, że przy stałym natężeniu przepływu Q zarówno przy głębokości malejącej do zera, jak i przy rosnącej do nieskończoności, energia całkowita strumienia rośnie nieograniczenie. Istnieje 78

180 zatem taka głębokość, dla której energia ta osiąga wartość minimalną. Głębokość tę, zwaną głębokością krytyczną, obliczyć można z warunku zerowania się pocodnej. de 0 d Po podstawieniu (IV-) do (IV-) otrzymujemy: d αq d ga a po przekształceniu: αq g + 0 da + 0 A d Oznaczając symbolem B zw szerokość zwierciadła wody, można zapisać, że: ( IV-) ( IV-) ( IV-4) da d A B zw d Bzw ( IV-5) d Warunek rucu krytycznego (w którym przy stałym przepływie - energia całkowita strumienia jest minimalna) przybiera zatem postać: αq g A B zw ( IV-6) Rodzaj rucu w korycie można określić także przy użyciu liczby Froude a. Aby wyprowadzić wzór na tę liczbę należy dokonać przekształcenia równania rucu krytycznego (IV-5) do postaci: Ponieważ αq B zw ga zw ( IV-7) Q A υ i sr ( IV-8) A B warunek rucu krytycznego przybiera ostatecznie postać: 79

181 αv αv Fr lub Fr g sr g sr ( IV-9) Jeżeli liczba Fr >, to w korycie panuje ruc rwący, gdy Fr < ruc spokojny. Podsumowując: ruc krytyczny ruc rwący ruc spokojny głębokość KR < KR > KR liczba Frouda Fr Fr> Fr< PRZYKŁAD IV-5 Określ rodzaj rucu w korycie trapezowym. Dane: Q 0 m /s, m,5, m, α, b 0 m :m :m Rozw.: Pole powierzcni przekroju przepływu: b Rys. IV-9 ( b + m) ( b + m) ( 0 +,5 ),5 m A 0,5 ( IV-40) Średnia prędkość w przekroju: Q υ 0 0,87 m /s ( IV-4) A,5 Metoda określenia reżimu rucu (z wykorzystaniem głębokości krytycznej) Warunek rucu krytycznego: αq g A B zw ( IV-4) 80

182 αq g ( b + m ) b + m Po podstawieniu danyc liczbowyc: ( IV-4) α 0 9,8 0,9 ( 0 +,5 ) P 0 + ( IV-44) Wartość obliczamy metodą prób i błędów. Przyjmujemy 0,5 m i sprawdzamy, czy po podstawieniu tej wartości głębokości powyższy warunek jest spełniony (czyli czy prawa strona tego równania jest równa 0,9) ( 0 0,5 +,5 0,5 ), 50 P ( IV-45) 0 + 0,5 Ponieważ P,50 0,9, przyjmuję mniejszą wartość głębokości 0,45 m. ( 0 0,45 +,5 0,45 ) 9, 76 P ( IV-46) 0 + 0,45 Ponieważ P 9,76 0,9, przyjmuję 0,46 m. ( 0 0,46 +,5 0,46 ) 0, 44 P ( IV-47) 0 + 0,46 Ostatecznie uznano, że KR 0,46 m. Napełnienie m jest większe niż KR 0,46 m. Zatem ruc w korycie jest spokojny. Metoda określenia rodzaju rucu (z wykorzystaniem liczny Froude a) Aby wyznaczyć liczbę Frouda, konieczne jest obliczenie średniej głębokości: A A,5,5 sr 0,88 ( IV-48) B b + m 0 +,5 zw αυ Fr g sr 0,87 0,087 9,8 0,88 ( IV-49) Ponieważ liczba Frouda jest mniejsza od, więc w korycie panuje ruc spokojny. 8

183 IV..4. Przekrój ydraulicznie najkorzystniejszy Przekrój ydraulicznie najkorzystniejszy to taki przekrój, przez który przy danym spadku koryta i danej jego szorstkości, że przepływ osiąga wartość maksymalną. Korzystając ze wzoru Manninga zauważyć można, że warunek ten jest spełniony, gdy promień ydrauliczny jest największy (czyli obwód zwilżony jest minimalny). Przekrój w kształcie półkolisty: A πd d R ( IV-50) U 4 πd 4 Przekrój trapezowy (trapez oparty na kole i ramiona podstawa b, wysokość ) A b R ( IV-5) U 6b PRZYKŁAD IV-6 Obliczyć ydraulicznie najkorzystniejsze wymiary kanału ziemnego o przekroju trapezowym, przez który przepływa strumień o natężeniu Q. Dane: m, I, Q 0 m /s, n 0,00 Szukane: B, B zw, Rozw.: Natężenie przepływu ze wzoru Manninga: Q R / I / A ( IV-5) n Pole powierzcni czynnej A B + m Obwód zwilżony: U + B A m ( IV-5) B + m ( IV-54) Po podstawieniu (IV-5) do (IV-54) otrzymujemy: A U m + m + ( IV-55) Poniżej podano carakterystyczne zależności dla koryt ydraulicznie najkorzystniejszyc o określonym kształcie przekroju poprzecznego. 8

184 Przekrój jest ydraulicznie najkorzystniejszy jeśli natężenie przepływu osiąga wartość maksymalną: du A const i R max U min 0 ( IV-56) d Podstawiając (IV-55) do powyższego warunku otrzymujemy: du d U d d d A m + d + m A m + + m 0 Z powyższego wzoru, obliczyć można maksymalne pole A: A ( + m m) i minimalny obwód zwilżony U: U (IV-57) (IV-58) ( IV-59) ( + m m) m + + m ( + m m) Promień ydrauliczny wynosi zatem: ( + m m) ( + m ( IV-60) A R ( IV-6) U Podstawiając obliczone powyżej wielkości do wzoru (II-5) otrzymujemy: Q n / I / ( + m m) Podstawiając dane liczbowe i przekształcając powyższe równanie mamy: 8 / I / Q n / 0 0,0 / ( + m m) 0,00 ( ) / +,9 m 8/ ( IV-6) Szukane wymiary najkorzystniejszego ydraulicznie koryta przy zadanym przepływie wynoszą: głębokość:,6m ( IV-6) pole powierzcni: ( ) A,6 + 6,84 m ( IV-64) 6,84 szerokość dna koryta: B,6, m ( IV-65),6 8

185 IV..5. Przepływ w korycie o złożonym przekroju poprzecznym Obliczanie średniej prędkości przy użyciu wzoru Manninga jest prawidłowe tylko wtedy, gdy koryto jest zwarte. Jeżeli jednak w przekroju poprzecznym koryta zaobserwować można gwałtowne i istotne zmiany średniej prędkości (patrz rys. IV-0), pole przepływu należy podzielić na części odpowiadające definicji koryta zwartego. Całkowite natężenie przepływu oblicza się jako sumę natężeń przepływów każdej części koryta (przyjmując szorstkość carakterystyczną dla danej części koryta). PRZYKŁAD IV-7 Obliczyć wartość natężenia przepływu w korycie złożonym. Dane: Szukane:, b, n Q b b Rys. IV-0 Rozw.: Ze wzoru Manninga należy obliczyć najpierw średnie prędkości w częściac i koryta mającyc carakter zwarty, a na ic podstawie natężenia przepływu: Q Q n n 5 / ( b) / ( + b) ( b) ( + b) / / / R I A I ( IV-66) 5 / / / / R I A I ( IV-67) / n n Całkowite natężenie przepływu w korycie jest równe sumie powyższyc natężeń przepływów: Q Q + Q ( IV-68) PRZYKŁAD IV-8 84

186 Dane jest koryto trapezowe, o geometrii podanej na rys. IV-. Wyznaczyć krzywą konsumcyjną dla tego koryta, traktowanego jako: a) koryto zwarte (błędnie), b) wielodzielne. Dane: n g 0,0, n t 0,08, S 0 0,0 :0 n t : n g :,5 m n t :0 80 m 0 m 80 m Rys. IV- Rozw.: Niniejsze zadanie ma na celu pokazanie jaki błąd popełnia się, jeżeli koryta o kształcie złożonym nie podzieli się na części odpowiadające definicji koryta zwartego. W tabeli IV- zamieszczono wyniki obliczeń dla koryta traktowanego jest jako zwarte, w tabeli IV- zaś przedstawiono wyniki obliczeń dokonanyc osobno dla koryta głównego i dwóc teras zalewowyc. Tabela IV- Parametry przepływu dla koryta potraktowanego jako zwarte (rozwiązanie błędne!!!) [m] n [s m -/ ] A [m ] U [m] R [m] n śr [s m -/ ] Q [m /s] 0,00 0,0 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,0 0,0 9,70,897 0,9 0,00,56 0,60 0,0 9,080,795 0,565 0,00 4,45 0,90 0,0 9,40 5,69 0,85 0,00 86,6,0 0,0 40,0 7,589,07 0,00 40,8,50 0,0 5,750 9,487, 0,00 06,58,60 0,08 7,750 0,497 0,56 0,070 5,5,90 0,08,950 07,57 0,64 0,070 40,7,0 0,08 95,950,557 0,98 0,07 6,50,50 0,08 60,750 9,587,87 0,07 4,77,80 0,08 7,50 5,67,45 0,07 588,84,0 0,08 95,750,646,708 0,07 79,6,40 0,08 465,950 7,676,960 0,07 08,04,70 0,08 57,950 4,706,07 0,07 68,44 4,00 0,08 6,750 49,76,450 0,07 54,94 4,0 0,08 687,50 55,766,687 0,07 88,4 4,60 0,08 764,750 6,796,9 0,07 56,76 4,70 0,08 790,950 6,806,998 0,07 67,9 85

187 5,00 0,08 870,750 69,86,7 0,07 66, Parametry przepływu dla koryta potraktowanego jako koryto złożone [m] KORYTO GŁÓWNE n 0,0 [s m -/ ] A U R Q K [m ] [m] [m] [m /s] [m] TERASY n 0,08 [s m -/ ] A U R [m ] [m] [m] Q T [m /s] Tabela IV- Q K +Q T [m /s] 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0, 9,7,90 0,9,56 0, 0,00 0,00 0,00 0,00,56 0,6 9,08,79 0,56 4,45 0,6 0,00 0,00 0,00 0,00 4,45 0,9 9,4 5,69 0,8 86,6 0,9 0,00 0,00 0,00 0,00 86,6, 40, 7,59,07 40,8, 0,00 0,00 0,00 0,00 40,8,5 5,75 9,49, 06,58,5 0,00 0,00 0,00 0,00 06,58,6 55,65 9,49,4,8,6 8,05 8,00 0,0,6 7,49,9 67,5 9,49,7 0,48,9,80 84,0 0,9,90 64,8, 79,05 9,49,00 48,55, 58,45 87,0 0,67 56,0 50,6,5 90,75 9,49,0 56,8,5 85,00 90,05 0,94 0,4 7,9,8 0,45 9,49,59 644,8,8,45 9,06, 59,46 96,7, 4,5 9,49,89 77,5, 40,80 96,08,47 7,07 6,9,4 5,85 9,49,9 908,5,4 70,05 99,09,7 04,68 57,87,7 7,55 9,49,48 05,6,7 00,0 0,,96 9,0 87, ,5 9,49,78 07,7 4,5 05,,0 488,9 85,0 4, 60,95 9,49 4,08 68,97 4, 6,0 08,4,4 595,9 559,56 4,6 7,65 9,49 4,7 58,8 4,6 96,05,5,66 7,05 960,9 4,7 76,55 9,49 4,47 597,9 4,7 07,0,6,74 75,7 00,6 5 88,5 9,49 4,77 777,47 5 4,5 5,7,96 879,95 57,8 Wyniki obliczeń przedstawiono rys. IV-. Krzywa konsumcyjna w przypadku koryta traktowanego jako zwarte wykazuje niefizyczny przebieg w miejscu, gdzie zmienia się nagle kształt koryta i woda wlewa się na terasy zalewowe. Nagle wzrasta tam obwód zwilżony, co powoduje spadek przepływu (co oznaczałoby, że mimo wzrostu głębokości maleje natężenie przepływu). 86

188 Ro 0,5R o [m] 5,00 4,50 4,00,50,00,50,00,50,00 0,50 0,00 Q - zwarte Q- złożone Q [m /s] Rys. IV- IV..6. Kolektory Kolektory są to rurociągi niecałkowicie wypełnione cieczą (przepływ odbywa się w nic ze swobodnym zwierciadłem). Ic przekrój poprzeczny może mieć kształt kołowy, jajowy, prostokątny (rys. IV-). R o R o R o R o Rys. IV- W przypadku kolektorów wyznaczenie obwodu zwilżonego, czy pola przekroju byłoby kłopotliwe, dlatego opracowano metodę ułatwiającą obliczenia. W niniejszym skrypcie przedstawiono ją na przykładzie kolektorów kołowyc. 87

189 A d Rys. IV-4 Oznaczenia: d średnica kolektora kołowego, napełnienie kolektora, A pole przekroju strumienia, S 0 spadek kolektora, a /d stopień napełnienia, A / K R moduł przepływu, n R / W moduł prędkości, n f Q/Q o współczynnik sprawności przepływu, f υ/υ o współczynnik sprawności prędkości. Wielkości z indeksem o (np. υ o, A o, Q o ) oznaczają wielkości obliczone dla przypadku, gdy kolektor jest całkowicie wypełniony cieczą. Natężenie przepływu i prędkość w kolektorze zależą od jego napełnienia. Współczynniki sprawności są więc funkcjami napełnienia. Wartości modułów przepływu i prędkości, a także współczynniki sprawności zależne od stopnia napełnienia kolektora można znaleźć w tablicac (w tablicac IV- i IV-4 zamieszczono wartości dla kolektorów kołowyc). Podobnie, jak w przypadku koryt otwartyc, wyróżnia się następujące typy zadań dla kolektorów w zależności od poszukiwanego parametru: Q? (dane: d, n, S 0, ) S 0? (dane: d, n, Q, )? (dane: d, n, Q, S 0 ) 88

190 Moduły przepływu K o i prędkości W o (wg wzoru Manninga) Tabela IV- z n 0,0 n 0,0 n 0,0 n 0,04 d K o W o K o W o K o W o K o W o [mm] [m /s] [m/s] [m /s] [m/s] [m /s] [m/s] [m /s] [m/s] 5 0,005, ,009,875 0,008,600 0,009, ,0096 4, ,0088 4,4884 0,008 4,44 0,00755, ,08 6,465 0,0597 5,8848 0,097 5,4905 0,06 5, ,060 7,776 0,0559 7,490 0,056 6,5768 0, , ,06 9,09 0,04 8,677 0,096 7,674 0,0869 7, ,7989 0,850 0,6490 9,66 0,5 8,6809 0,44 8, ,76,877 0,4874 0,4675 0,96 9, , 8, ,874,86 0,554,007 0,78 0, ,0440 9, ,7044 4,78 0,6490,48 0,5947,46 0,559,490 00,45 6,6770, ,809 0,9665,6806 0,89748,709 50,700 7,9758,5794 6,4445,4579 5,60,579 4, , ,58577,5497 7,956,085 6,5757,984 5, ,677,8568, ,400,8496 7,964, , ,460,777 4, ,8, ,077, , ,58 5,6646 6,6484,5590 6,700,76 5, , ,9406 8,449 0,0867 6,079 9,57 4,0666 8,59600, ,6985, ,80 8,49960,680 6,07,774 4,48 900,874,606 9,6076 0,8765 8,099 8,4569 6,805 6, ,068 6,0770 5,9606,07086,9665 0,5694,596 8, ,5608 8,44405,4707 5,408 0,898,5958 8,690 0, , , ,48 7,4504 8, ,474 6,844, ,000 4,9705 5,595 9,997 48,940 6,68 44,797, , ,4947 6, ,870 58, ,040 54,580 5, , ,746 76, ,508 70, ,006 65,606 7,445 Współczynniki sprawności f i f (wg wzoru Manninga) Tabela IV-4 /d f Q/Q O f v/v O /d f Q/Q O f v/v O /d f Q/Q O f v/v O 0,05 0,0048 0,569 0,40 0,70 0,90 0,75 0,99,5 0,0 0,009 0,40 0,45 0,465 0,9544 0,80 0,9775,97 0,5 0,0486 0,568 0,50 0,5000,0000 0,85,004,74 0,0 0,0876 0,65 0,55 0,5857,09 0,90,0658,4 0,5 0,70 0,7007 0,60 0,678,074 0,95,0745,0950 0,0 0,958 0,776 0,65 0,7564,099,00,0000,0000 0,5 0,69 0,840 0,70 0,87,98 89

191 PRZYKŁAD IV-9 Obliczanie Q Obliczyć prędkość i przepływ w kołowym kolektorze wykonanym z czystyc rur kamionkowyc. Dane: S 0 0,4, d m, 0,8 m, n 0,0 Szukane: Q, υ Rozw.: Obliczenie natężenia przepływu:. obliczenie stopnia napełnienia a /d 0,8/ 0,8,. z tablicy IV-4 odczytujemy współczynnik sprawności f 0,994,. z tablicy IV- odczytujemy moduł K o f(d,n) 8, m /s, 4. Q f K o S 0,994 8, 0,0004 0,56 m /s. 0 Obliczenie prędkości:. z tablicy IV-4 odczytujemy współczynnik sprawności f,59,. z tablicy IV- odczytujemy W o lub obliczamy W o K o /F o 6, m/s,. ze wzoru υ f W I,59 6, 0,0004 0,56 m/s. o PRZYKŁAD IV-0 Obliczanie S 0 Obliczyć spadek kołowego kolektora. 90 Dane: d m, 0,4 m, Q 0,8 m /s, n 0,0 Szukane: S 0 Rozw.: Dla stopnia napełnienia a /d 0,4/ 0,4, z tabeli IV-4 odczytujemy współczynnik sprawności f 0,, a z tabeli IV- odczytujemy wartość modułu przepływu K o f(d,n) 6 m /s. Stąd: Q Q f K S S ( IV-69 ) 0 0 o f Ko 0,8 S 0 0,0086 8,6 ( IV-70 ) 0, 6 PRZYKŁAD IV- Obliczanie Obliczyć napełnienie kołowego kolektora Rozw.: Dane: S 0,5, d 60 cm, Q 50 l/s, n 0,0 Szukane:

192 Z tabeli IV- odczytujemy K o f(d,n) 6,4 m /s. Q f Q 0,5 K o S0 f 0,8 ( IV-7 ) K S 6,4 0,5 Z tabeli IV-4 odczytujemy po interpolacji stopień napełnienia a 0,4. Stąd a d 0,4 60 0,4 cm. PRZYKŁAD IV- Obliczyć średnicę kołowego kolektora. o Dane: I 0,9, 0,95 d, Q 0,55 m /s, n 0,04 Szukane: d Rozw.: Interpolując odpowiednie wartości z tabeli IV-4 odczytujemy dla a 0,95, f,087. Q f 0 Q 0,55 K o S0 K o 6,87 m /s ( IV-7 ) f S,087 0,0009 Z tabeli IV- dobieramy średnicę d 900 mm (dla K o f(d,n) 6,87 m /s i współczynnika szorstkości n 0,04). PRZYKŁAD IV- Zaprojektować odcinek betonowego kolektora o przekroju kołowym, odprowadzającego boczny odpływ burzowy z obszaru o powierzcni S. Spływ jednostkowy z tego terenu wynosi q, współczynnik szorstkości n. Obliczyć prędkość cieczy w kolektorze. Rozw.: Dane: s 00 a, q 5 l/s٠a, a 75 %, S 0 Szukane: υ 0 Q q s 500 l/s 0,5 m /s ( IV-7 ) Dla stopnia napełnienia a /d 0,75, z tabeli IV-4 odczytujemy f 0,99. Q f Q 0,5 K o S0 K o 0 m /s ( IV-74 ) f S 0,99 0,00 Na podstawie tabeli IV- dobieramy dla K o f(d,n) 0 m /s i współczynnika szorstkości n 0,0, średnicę d 700 mm. 0 9

193 Dla tak przyjętej średnicy moduł przepływu K o 0,946 m /s. Na tej podstawie obliczamy: f Q 0,5 0,8 m K o S0 0,946 0,00 /s ( IV-75 ) Interpolując odpowiednie wartości z tabeli IV-4 odczytujemy stopień napełnienia a 70. Stąd a d 0,7 0,7 0,49 m. Szukana prędkość wynosi zatem (dla f,, W o K o /F o ): υ B W I, 8,44 0,00,68 m/s ( IV-76 ) o IV.. RUC USTALONY WOLNOZMIENNY W KORYTAC OTWARTYC. KRZYWA DEPRESJI I SPIĘTRZENIA W przypadku, gdy woda w korycie otwartym płynie rucem zmiennym ustalonym, jej głębokość zmienia się na długości cieku. W rucu wolnozmiennym zwierciadło wody jest niezmienne w czasie, ale nie jest równoległe do dna ani linii energii. W zależności od układu zwierciadła w kierunku przepływu rozróżnić można: a. krzywą spiętrzenia carakteryzującą się wzrostem napełnienia koryta zgodnie z kierunkiem biegu wody (np. przed budowlami piętrzącymi, za zasuwą). Obszar na którym woda została spiętrzona nazywany jest cofką. Zasięg cofki L to odległość od miejsca, które jest przyczyną jej powstania do miejsca w którym wpływ spiętrzenia zanika. b. krzywą depresji carakteryzującą się obniżeniem się zwierciadła cieczy wraz z biegiem rzeki. Zasięg depresji L to odległość do miejsca w którym depresja nie daje się zauważyć. Na rys. IV-5 przedstawiono układy zwierciadła wody, jakie powstają w korytac o spadku mniejszym i większym od spadku krytycznego. Położenie zwierciadła wody w korycie oblicza się ze wzoru różnicowego, który wynika z równania Bernoulliego, zapisanego dla dwóc przekrojów koryta ograniczającyc odcinek na którym nie występują gwałtowne zmiany jego przekroju poprzecznego. 9

194 Spadek dna mniejszy od spadku krytycznego a) koryto z budowlą piętrzącą Spadek dna większy od spadku krytycznego krzywa spiętrzenia M krzywa spiętrzenia S kr kr S < S 0 0kr zasięg krzywej spiętrzenia (cofki) S > S 0 0kr zasięg k. spiętrzenia (cofki) b) koryto w którym następuje nagłe zwiększenie spadku lub uskok dna krzywa depresji M kr S < S 0 0kr S > S 0 0kr kr S > S 0 0kr krzywa depresji S zasięg krzywej depresji zasięg krzywej depresji c) koryto przegrodzone zasuwą kr S < S 0 0kr k.spiętrzenia M zasięg krzywej spiętrzenia kr k.spiętrzenia S S > S 0 0kr zasięg krzywej spiętrzenia Podsumowanie krzywa spiętrzenia M krzywa spiętrzenia S kr krzywa depresji M krzywa spiętrzenia M kr krzywa depresji S krzywa spiętrzenia S S < S 0 0kr S > S 0 0kr Rys. IV-5 Układy zwierciadła wody w korycie 9

195 Metoda określania układu zwierciadła wody w rucu ustalonym wolnozmiennym, tzw. metoda od przekroju do przekroju Metoda od przekroju do przekroju jest metodą pozwalającą na określenie układu zwierciadła w korycie o dowolnym kształcie przekroju poprzecznego. Metoda ta wykorzystuje prawo Bernoulliego dla strumienia wody w korycie otwartym. Dla przekrojów - i - (rys. IV-6) równanie to przybiera postać: αυ αυ Z d + + z + Z d + + z g g str ( IV-77 ) n krzywa spiętrzenia dno z z L n Z d Z d l- Rys. IV-6 Zwróćmy uwagę, że: głębokości w rozpatrywanyc przekrojac wynoszą: z + z + ; ( IV-78 ) ; spadek dna na odcinku pomiędzy rozpatrywanymi przekrojami: I 0 Z d l Z d ( IV-79 ) średni spadek ydrauliczny (linii energii) pomiędzy przekrojami - i - wynosi: str I f ( IV-80 ) l 94

196 Zakładając, że na rozpatrywanym odcinku mamy do czynienia tylko ze stratami na długości, przyjmujemy, że spadek I f jest średnią arytmetyczną ze spadków lokalnyc w przekrojac - i -. Wartości tyc lokalnyc spadków oblicza się wykorzystując formułę Manninga. A zatem: I n υ f ; 4 / Rz υ 4 / n I f ( IV-8 ) R I fsr I f + I f ( IV-8 ) gdzie υ i υ są prędkościami z równania ciągłości: Q Q υ υ ( IV-8 ) A A ; αυ αυ g g str gdzie i są głębokościami wody w przekrojac - i - wynoszącymi: ( IV-84 ) Uwzględniając zależności: (IV-78 IV-8), równanie Bernoulliego można zapisać w postaci: α ( I I ) + ( υ υ ) + l 0 f ( IV-85 ) g PRZYKŁAD IV-4 Kanał ziemny (o współczynniku szorstkości n) o przekroju trapezowym i spadku podłużnym dna I, prowadzi przepływ Q. Określić układ zwierciadła wody, jaki ustali się po wbudowaniu do koryta budowli piętrzącej wodę do wysokości Z. Dane: Rozw.: Natężenie przepływu: Q n I 0,006, b 6 m, Q m /s, n 0,05, Z,5 m / R / I A ( IV-86) W przypadku koryta trapezowego: wydatek wynosi: A b + m, U b + + m, a zatem 95

197 ( b + m ) 5 / / Q I ( IV-87) / n ( b + + m ) krzywa spiętrzenia dno z z Z L :m :m b Rys. IV-7 Po podstawieniu danyc: ( 6 + ) ( 6 + ) 5 / / 0,006 ( IV-88) / 0,05 Z równania (IV-7) wyliczyć można głębokość normalną metodą kolejnyc przybliżeń. Głębokość wynosi,4 m. Wyznaczenie krzywej spiętrzenia odbywa się w kierunku przeciwnym do kierunku rucu wody. W przekroju budowli głębokość wynosi + Z,4 +,5,64 m. Zakładamy, że w pierwszym przekroju powyżej zaporowego głębokość wynosi,6 m. Wyniki obliczeń parametrów przepływu w tym i dalszyc [rzekrojac powyżej zapory zestawiono w poniższyc tabelac i przedstawiono na rys. IV-8. 96

198 Obliczenia Tabela IV-5 [m] A [m ] U [m] R [m] υ [m/s] [ ] I f śr [ ] L [m] Σ L [m],64,8,47,694 0,56 0, , ,04 6,04,6,6,5,674 0,57 0, , ,40 9,44,5,5,07,66 0,565 0, ,000 65,89 57,,4 0,6,79,576 0,595 0,000 0,000 66,50,8, 9,09,5,57 0,69 0,0004 0, ,5 9,08, 8,04,,476 0,665 0, , , 59,9, 7,0,94,45 0,705 0, ,000 69,44 48,7 6,00,66,7 0,750 0,0000 0,0005 7,06 499,79,9 5,0,7,0 0,799 0, , ,5 57,04,8 4,04,09,66 0,855 0,000 0, ,0 649,4,7,09 0,8, 0,97 0, , ,76 70,0,6,6 0,5,55 0,987 0, , ,7 87,8,5,5 0,4,098,067 0, , ,69 97,5,4 0,6 9,96,040,58 0, ,0009 4,4 04,66, 9,49 9,68 0,98,64 0,0006 0, , 8,89, 8,64 9,9 0,90,89 0,0048 0,0045 6,54 50,4,5 8, 9,5 0,889,459 0,00558 W poniższej tabeli zebrano wyniki obliczeń na podstawie któryc narysowano na rys. IV-6 krzywą spiętrzenia. I f 97

199 Wyniki obliczeń Tabela IV-6 L [m] [m] Z dna [m] Z [m] L [m] [m] Z dna [m] Z [m] 0,64 0,64 57,04,8 0,97,7 6,04,6 0,04,64 649,4,7,09,74 9,44,5 0,46,65 70,0,6,68,77 57,,4 0,5,65 87,8,5,09,8,8, 0,58,66 97,5,4,468,87 9,08, 0,466,67 04,66,,667,97 59,9, 0,575,67 8,89,,98,8 48,7 0,686,69 50,4,5,404,55 499,79,9 0,800,70 5 4,5 4,5,5,5 0,5 krzywa spiętrzenia dno n Rys. IV-8 98

200 V. RUC WODY W GRUNCIE I.. WSTĘP Grunty w naturze złożone są z różnej wielkości ziaren pomiędzy którymi znajdują się wolne przestrzenie, zwane porami, wypełnione powietrzem lub wodą. Porowatość objętościowa n gruntu jest definiowana jako stosunek objętości porów V p do objętości całkowitej badanej próbki gruntu: n V p / V ( V- ) Przepływ wody Q w gruncie jest zazwyczaj przepływem laminarnym (filtracja), coć w grubyc żwirac lub szczelinac skalistyc może wystąpić ruc turbulentny (fluacja). Prędkość filtracji υ f zastępcza (fikcyjna) prędkość, z jaką poruszałaby się ciecz całym przekrojem warstwy filtracyjnej A, a nie tylko wolnymi przestrzeniami między ziarnami: υ f Q /A ( V- ) Rzeczywista prędkość filtracji υ r jest to średnia prędkość cieczy w porac ośrodka (A p powierzcnia przekroju porów): υ r Q /A p ( V- ) V... Prawo Darcy ego Ruc wody w gruncie odbywa się dzięki stratom energii mecanicznej wydatkowanej na pokonanie oporów tarcia. Miarą tyc strat jest spadek ydrauliczny określający wysokość strat ydraulicznyc na odcinku L: I ( V-4 ) L Straty ydrauliczne w procesie filtracji są proporcjonalne do prędkości, co jest zgodne z laminarnym carakterem rucu. Zależność ta nosi nazwę prawa Darcy ego : 99

201 υ k J k ( V-5) L gdzie: k współczynnik filtracji, J L spadek ydrauliczny, L długość drogi filtracji, wysokość strat ydraulicznyc na odcinku L. Wzór jest prawdziwy w przypadku rucu laminarnego, co oznacza ograniczenie liczby Reynoldsa dla przepływu gruntowego: v r d Re ν p d υ m υ ( n) 0, ( V-6) n gdzie: d p dm przeciętna średnica porów; n d m miarodajna średnica ziarn gruntu sypkiego. Niska wartość graniczna wynika ze skomplikowanej geometrii porów. V... Współczynnik filtracji Współczynnik filtracji jest to stała dla danego ośrodka, liczbowo równa wartości cieczy wartość ilorazu prędkości przepływu i spadku ydraulicznego: υ k, [k] [υ] [m s - ]. ( V-) J Współczynnik ten opisuje fizyczne własności ośrodka porowatego i filtrującej przezeń cieczy. Jego wartość zależy zatem od szeregu parametrów: k t ( d,,ν,γ ) C, ( V-4) f m n gdzie: k t współczynnik filtracji w temperaturze t, C stała, d m średnica miarodajna ziarn warstwy filtracyjnej, n porowatość warstwy, ν kinematyczny współczynnik lepkości filtrującej cieczy, γ ciężar właściwy cieczy. 00

202 V.. OBLICZANIE WSPÓŁCZYNNIKA FILTRACJI PRZYKŁAD V- Kolumna filtracyjna wypełniona została gruntem. Obliczyć współczynnik filtracji k tego gruntu, jeżeli przez warstwę gruntu o przekroju A przepływa woda o natężeniu Q (rys. V-) Dane: Szukane: L m, 0,6 m, A 0,0 m, Q 0,0 l/s k L Q Rys. V- Rozw.: Prędkość obliczyć można z równania ciągłości: υ Q / A ( V-7 ) Na podstawie prawa Darcy ego zapisać można: υ υ L k I Po podstawieniu danyc liczbowyc szukany współczynnik filtracji wynosi: υ L Q L 0,0 0 k A 0,0 0,6 m 0,00 s ( V-8 ) ( V-9 ) 0

203 PRZYKŁAD V- W poziomym przewodzie ułożono dwie różne próbki gruntu o współczynnikac filtracji k i k i długości l (rys. V-). Różnice poziomów zwierciadeł wody w piezometrac wynoszą: i. Obliczyć współczynnik filtracji drugiej próbki. Dane: k m/s, 0, m, 0, m Szukane: k k k d l l Rys. V- Rozw.: Z równania ciągłości: υ Q / A υ const Na podstawie prawa Darcy ego wyliczyć można szukany współczynnik k : k k k k υ ( V-0 ) L L Po podstawieniu danyc liczbowyc obliczamy wartość współczynnika k : 4 0, m mm k 6 0 0,00, ( V- ) 0, s s PRZYKŁAD V- W poziomym przewodzie o przekroju kołowym i średnicy d, umieszczono trzy różne próbki gruntu o współczynnikac filtracji: k, k, k o długościac odpowiednio: l, l, l (rys. V-). Obliczyć przepływ przez ten układ, gdy różnica poziomów zwierciadeł wody w piezometrac wynosi. Dane: k m/s, l 0,6 m, k m/s, l 0,5 m, k m/s, l 0,4 m, m, d 0, m Szukane: Q 0

204 k k k A B C D l l l d Rys. V- Rozw.: Różnica poziomu wody w piezometrac jest równa sumie strat ydraulicznyc na odcinkac AB, BC i CD rurociągu (rys. V-): + + ( V- ) AB BC CD Na podstawie prawa Darcy ego: AB υ L ; k BC υ L ; k CD υ L k Po podstawieniu (V-) do równania (V-) otrzymujemy: υ L υ L υ L + + k a stąd prędkość: k k ( V- ) ( V-4 ) υ + + L k k k ( V-5 ) Natężenie przepływu przez cały układ wynosi zatem: Q πd l l l υ ( V-6 ) a 4 k + k + k π 0, 0,6 0,5 0,4 π 0, Q ( V-7 ) ( ) 7 Q 7,07 0 m /s 0,7 cm /s ( V-8 ) 0

205 V.. DOPŁYW DO ROWU I DRENU a) rów przy poziomej warstwie nieprzepuszczalnej Po wykopaniu rowu, którego dno sięga warstwy nieprzepuszczalnej, pierwotnie położone zwierciadło wody na wysokości obniży się do wysokości 0. Powstały poziom wody gruntowej nazywa się krzywą depresji (jej rzędne maleją w kierunku przepływu). W warunkac ustalonego dopływu wody do rowu, przez każdy kolejny przekrój poprzeczny strumienia przepływa woda o tym samym natężeniu. pierwotne zwierciadło wody krzywa depr i esj z z warstwa wodonośna 0 warstwa nieprzepuszczalna b widok z góry x x L b Rys. V-4 Rów pierwotne położenie zwierciadła wody ponad warstwą nieprzepuszczalną, L zasięg depresji, z wzniesienie zwierciadła wody ponad warstwą nieprzepuszczalną w odległości x od rowu, 0 głębokość wody w rowie Zgodnie z prawem Darcy ego, średnia prędkość filtracji wody w przekroju położonym w odległości x od rowu wynosi: 04

206 dz υ ki k ( V-9 ) dx a stały dopływ jednostkowy (na jednostkę długości rowu) wynosi: dz q q υ z kz zdz dx ( V-0 ) dx k Całkując powyższe równanie w między przekrojami x i x otrzymujemy: z z q k ( x-x ) ( V- ) Po podstawieniu warunku początkowego (x 0, z 0 ) otrzymuje się wzór określający krzywą depresji: z q 0 x ( V- ) k albo po przekształceniu: ( z ) [ m /s] k q 0 ( V- ) x Zasięg depresji L odpowiada odległości przy maksymalnym położeniu zwierciadła wody. Aby go wyznaczyć, należy zatem do równania (V-) podstawić warunek brzegowy (x L, z ), czyli: ( ) [ m] k L 0 ( V-4 ) q b) rów przy pocyłej warstwie nieprzepuszczalnej W obliczeniac przyjęto stały spadek i nacylenia warstwy nieprzepuszczalnej w kierunku prostopadłym do ściany rowu. Przepływ wody q w warstwie wodonośnej można określić dla pierwotnej głębokości jako: q ki ( V-5 ) Dopływająca do rowu woda, tworzy w jego pobliżu krzywą depresji. Spadek ydrauliczny jest tu zmienny i wynosi: dz I i + ( V-6 ) dx 05

207 pierwotne zwierciadło wody krzywa dep esj z r i ii z x x L widok z góry 0 b Rys. V-5 Rów przy pocyłej warstwie nieprzepuszczalnej pierwotne położenie zwierciadła wody ponad warstwą nieprzepuszczalną, L zasięg depresji, z wzniesienie zwierciadła wody ponad warstwą nieprzepuszczalną w odległości x od rowu, 0 głębokość wody w rowie, i spadek warstwy nieprzepuszczalnej. Wydatek wody w obszarze depresji zapisać można zatem: dz q k i + z ki dx Rozdzielając zmienne otrzymamy: ( V-7 ) zdz id x ( V-8 ) z Całkując powyższe równanie o zmiennyc rozdzielonyc pomiędzy przekrojami x i x otrzymujemy równanie krzywej depresji postaci: 06

208 q q ki0 ix 0 z + ln ( V-9 ) ki q kiz Podstawiając (V-5) do (V-9) otrzymamy równanie krzywej ustalonego zwierciadła wody postaci: 0 ix 0 z + ln ( V-0 ) z PRZYKŁAD V-4 Obliczyć natężenie przepływu w rowieułożonym na poziomej warstwie nieprzepuszczalnej (rys. V-4) o długości L r i przy stałym dopływie wody gruntowej z przyległego terenu. Średni spadek krzywej depresji wynosi I. Rozw.: Dane: L r 000 m,,5 m, I 0,05, 0 0,5 m, k 0, 0 - m/s Szukane: Q Zasięg krzywej depresji wynosi: 0,5 0,5 L 50 m ( V- ) I 0,05 Natężenie przepływu na m skarpy rowu wyznaczyć można na podstawie (V-): 0, 0 ( ) (,5 0,5 ) 0, m /s k q 0 ( V- ) L 50 Całkowity (dwustronny) dopływ do rowu na całej jego długości wynosi: Q ql 0, ,0 m /s l/s ( V- ) r PRZYKŁAD V-5 Wyznaczyć położenie zwierciadła w odległości x od rowu o długości L r. Grunt składa się z dwóc warstw o współczynnikac filtracji k i k (rys. V-6). Miąższość dolnej warstwy wynosi m. Wydatek dopływającej do rowu wody wynosi Q, a wzniesienie zwierciadła wody w rowie ponad warstwą nieprzepuszczalną 0. Dane: x 8 m, 0 m, L r 00 m, Q 55 l/s, a m, k 0-4 m/s, k m/s, Szukane: 07

209 k 0 k a x Rozw.: Rys. V-6 Na podstawie wozu (V-) wyznaczyć można dopływ wody do rowu z dolnej warstwy gruntu q i z górnej q : q dz dz ka ; q k z ( V-4 ) dx dx Całkowity wydatek jednostkowy jest równy sumie tyc dopływów. Po rozdzieleniu zmiennyc zapisać zatem można: Błąd! Nie można tworzyć obiektów przez edycję kodów pól. ( V-5 ) Całkując powyższe równanie o zmiennyc rozdzielonyc otrzymujemy: q l 0 0 a+ a 0 d x k a dz k z dz ( V-6 ) ( a + ) + k ( ) ( ) ql k ( V-7 ) a 0 0 a Uzależniając natężenie jednostkowe q od danego natężenia Q otrzymujemy: Q q ( V-8 ) L r 08

210 Po podstawieniu (V-8) do (V-7) i przekształceniu do postaci równania kwadratowego równanie przybiera postać: Qx k + ka + ka( a 0 ) k ( 0 a) ( V-9 ) a po podstawieniu danyc liczbowyc: 0, ,000 0,005 0 ( V-40 ) Wyliczona z powyższego równania głębokość wynosi m. PRZYKŁAD V-6 Przez ziemną groblę o współczynniki filtracji k przepływa woda ze zbiornika o głębokości do rzeki o głębokości. Obliczyć przepływ przez tę groblę, jeżeli jej długość wynosi L. Dane: Szukane: 0 m, m, L 40 m, B 0 m, k m/s Q L r :0,8 z :, z B x x Rozw.: Rys. V-7 W celu obliczenia natężenia przepływu, zastosujemy wzór na dopływ do rowu: q ( z z ) ( ) 0,5 x-x ( V-4 ) k Podstawiając: z 0,0, z m, x B 0,8 m, x,,4 m, 09

211 natężenie przepływu na m skarpy wynosi: ( z z ) ( x-x ) ( 0 ) 4 k 5 0 q 0,005 m /s ( V-4 ) ( -,4) Całkowity przepływ przez groblę: Q ql 0, , m /s 00 l/s ( V-4 ) V.4. DOPŁYW DO STUDNI PRZY POZIOMEJ WARSTWIE NIEPRZEPUSZCZALNEJ a) studnia zupełna pierwotne zwierciadło wody krzywa depresji s 0 z warstwa wodonośna warstwa nieprzepuszczalna 0 r 0 r R widok z góry r 0 r Rys. V-8 Studnia r 0 promień studni, położenie zw. wody ponad warstwą nieprzepuszczalną, L zasięg depresji, 0 głębokość wody w rowie. 0

212 W wyniku ciągłego odprowadzania wody o natężeniu Q ze studni zupełnej (sięgającej poziomej warstwy nieprzepuszczalnej) o promieniu r 0, jej poziom obniży się do wysokości 0, a na zewnątrz studni wytworzy się depresja zwierciadła wody gruntowej. Dopływ w taki przypadku do studni wynosi: dz Q πxzk ( V-44 ) dx Po rozdzieleniu zmiennyc otrzymamy różniczkowe równanie krzywej depresji: Q dx zdz ( V-45 ) πk x które po scałkowaniu w granicac: r 0 do r oraz 0 do z ma postać: z Q r 0 ln ( V-46 ) πk r 0 czyli po przekształceniu wzór opisujący krzywą depresji przyjmuje postać: [ m /s] z 0 Q π k ( V-47 ) r ln r 0 Zasięg depresji R, czyli odległość od studni przy której zwierciadło pozostanie niezmienione obliczyć można podstawiając do powyższego wzoru warunek brzegowy (r R, z ). 0 0 Q π k ( V-48 ) R ln r Zasięg ten wyliczyć można także ze wzoru Sicardta: ( ) [ m] R k ( V-49 ) Ze względów praktycznyc często potrzebujemy wyznaczyć obniżenie zwierciadła wody s 0 jakie nastąpi przy poborze Q. Depresję tą obliczyć można ze wzoru: ( s ) 0 Q R Q πk s0 ln [m] ( V-50 ) R πk r ln r

213 PRZYKŁAD V-7 Obliczyć wydajność studni zupełnej o promieniu r 0 sięgającej poziomej warstwy nieprzepuszczalnej (rys. V-8) w której poziom wody ustalił się na wysokości 0, a swobodne zwierciadło wody - na wysokości ponad tą warstwą. Dane: Szukane: r 0 m, 5,0 m, 0,0 m, k,6 0 - m/s Q Rozw.: Zasięg krzywej depresji wynosi na podstawie wzoru Sicardta (V-49): ( ) k 000 ( 5 ),6 0 04,5 m R 000 ( V-5 ) 0 Natężenie przepływu obliczyć można z równania (V-48): ( ) 5 ( 5 ) 0 Q π k,4,6 0 0,04 m /s ( V-5 ) R 04,5 ln ln r PRZYKŁAD V-8 Obliczyć współczynnik filtracji k gruntu w którym wykopano studnię o promieniu r 0 sięgającą poziomej warstwy nieprzepuszczalnej (rys. V-8), jeżeli wiadomo, że depresja w studni kontrolnej, odległej o r od osi studni wynosi s. Przy wydatku Q depresja w studni wynosi s 0. Dane: r 0 0,5 m, 0 m, r 50 m, s 0,5 m, Q l/s, s 0 m Szukane: k Rozw.: Do wyznaczenia współczynnika filtracji wykorzystano równanie krzywej depresji (V-46) postaci: z Q r 0 ln ( V-5 ) πk r 0 Studnia kontrolna znajdująca się w punkcie o współrzędnyc (r, s), przy podstawieniu 0 s 0 powyższe równanie przyjmie postać: Q r ( s0 ) ln ( V-54 ) πk r ( s) 0 Przekształcając równanie (V-54) i podstawiając dane liczbowe otrzymujemy:

214 Q r 0,00 50 k ( V-55 ) π ln ( s) ( s ) ) r0 π ( 0 0,5) ( 0 ) Szukany współczynnik filtracji wynosi k 5,6 0-5 m/s. 0 ln ( ) 0, 5 V.5. STUDNIA ARTEZYJSKA Studnia artezyjska to studnia sięgająca wody artezyjskiej (pod ciśnieniem), czyli wody gruntowej znajdującej się między warstwami nieprzepuszczalnymi (V-9). pierwotne zwierciadło wody s 0 a 0 z r 0 widok z góry r 0 r R r Rys. V-9 Postępując jak w przypadku każdej studni zupełnej wyprowadzić można wzór na obliczanie wartości natężenia przepływu: ak Q π 0 ( V-56 ) R ln r 0 ( ) [ m /s]