gimnazjalista.fundacja2lo.pl
|
|
- Robert Mróz
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O kwadratach liczbowych Problem 1 Pewien właściciel restauracji miał w piwniczce regał do przechowywania wina. Regał był w kształcie kwadratu i posiadał 9 jednakowych, kwadratowych przegródek. Środkową przegródkę restaurator pozostawił pustą. W czterech narożnych umieścił po 6 butelek wina a w czterech przegródkach między narożnymi umieścił po 9 butelek. Łącznie restaurator miał w piwniczce butelek. Za każdym razem kiedy restaurator schodził do piwniczki sprawdzał, że suma butelek przy każdym boku kwadratu wynosi 1. W restauracji pracował nieuczciwy kelner, który podkradał wino. Robił to w taki sposób, że za każdym razem wynosił z piwniczki po 4 butelki, przestawiając pozostałe tak, żeby ich suma przy każdym boku kwadratu wynosiła stale 1. Ile razy kelner dokonał kradzieży i ile butelek łącznie wyniósł z piwniczki? Kelner stosował taki sposób podkradania butelek. Z każdej środkowej przegródki brał po butelce (łącznie 4 butelki) dla siebie i po butelce (łącznie 4 butelki) dokładał do przegródek narożnych. W ten sposób ze środkowej przegródki ubywały butelki ale po 1 butelce przybywało do przegródek narożnych (przy każdym boku były takie dwie) w związku z czym suma się zgadzała ( ). Były 4 przegródki środkowe, skoro brał po butelki z każdej, to brał 8 butelek, 4 odkładał do przegródek narożnych a 4 podkradał. Ponieważ na początku w każdej przegródce środkowej było 9 butelek, kelner mógł 4 razy dokonać kradzieży (do 5 kradzieży brakowało po 1 butelce). Łącznie więc ukradł butelek wina. Kolejne kradzieże pokazuje poniższy rysunek. 1
2 Spróbujmy opisać tę sytuację matematycznie. Oznaczmy przez a liczbę butelek w narożnych przegródkach, przez b liczbę butelek w przegródkach między narożnymi. Niech ponadto S oznacza liczbę wszystkich butelek, L niech oznacza sumę butelek przy dowolnym boku kwadratu. Mamy zatem: L a b S 4a 4b ( a b a) b (a b) b Z ostatniego równania widać, że jeżeli zmniejszymy b o liczbę x to S zmniejszy się o 4x natomiast L o x. Żeby więc L było stałe to do każdego z a należy dodać. Mamy 4 przegródki a x w takim razie wszystkie a zwiększamy łącznie o x, czyli o połowę tego co zabraliśmy ze x wszystkich przegródek b. Ponieważ ma być całkowite, najmniejsza wartość x, dlatego nieuczciwy kelner z przegródek między narożnymi odejmował po butelki przy każdej kradzieży. Rozważmy teraz sytuację, gdy ilość butelek nie jest symetrycznie rozmieszczona w przegródkach. Najogólniej w każdej z przegródek może być inna liczba. Przyjmijmy, że w przegródkach jest m, f, n, g, q, h, p, k butelek. Czy w takiej sytuacji nieuczciwy kelner mógłby dokonywać kradzieży? Jeżeli przez L oznaczymy sumę butelek przy każdym boku kwadratu, to liczba wszystkich butelek wyrazi się wzorem: S 4L ( m n q p) Komórki narożne przy sumowaniu L liczone są podwójnie dlatego należało je odjąć. Ze wzoru tego wynika, że zwiększając sumę m n q p przy stałym L zmniejszamy całkowitą ilość butelek. Stałe L osiągniemy jeżeli zmniejszać będziemy przynajmniej dwie komórki znajdujące się między narożnymi. Jeżeli f i g zmniejszymy każdą o x (razem zmniejszyliśmy o x) to do n wystarczy dodać x żeby sumy liczone wzdłuż boków nie zmieniły się. Nieuczciwy kelner ukradłby wiec w ten sposób x butelek. W każdym wypadku symetrycznego rozmieszczenia butelek bądź nie, taki sposób sprawdzania stanu nie wykryje ewentualnej kradzieży. Problem W pewnym biurze składającym się z 9 pomieszczeń na planie kwadratu, środkowy pokój zajmował kierownik a 8 pokoi po bokach urzędnicy, po 3 w każdym pokoju. Kierownik z bardzo złym wzrokiem, trzy razy na dzień sprawdzał czy wszyscy są w pracy zliczając liczbę pracowników w dowolnych trzech pokojach wzdłuż boku kwadratu. Za każdym razem wychodziło 9 i
3 kierownik był przekonany, że wszystko jest w porządku. Jednak przed pierwszym obchodem kierownika do biura przyszło 4 znajomych urzędników. Przed drugim obchodem 4 znajomi wraz z 4 urzędnikami wyszli do miasta. Przed trzecim obchodem urzędnicy powrócili i każdy z nich przyprowadził z sobą po znajomych. Jak to się stało, że kierownik niczego nie zauważył? Zadanie podobne jest do poprzedniego. Tym razem nie tylko ujmujemy od sumy wszystkich urzędników ale i dodajemy do tej sumy. W biurze pracuje 4 urzędników (bez kierownika). Jeżeli liczbę osób w każdym pokoju narożnym zmodyfikujemy o x, to liczbę wszystkich urzędników zmodyfikujemy o 4x. Liczbę urzędników w pokojach wzdłuż boku kwadratu zmodyfikujemy o x (podobnie jak w zadaniu poprzednim). Jeżeli liczbę osób w każdym pokoju środkowym zmodyfikujemy o x, to liczbę wszystkich urzędników zmodyfikujemy także o 4x ale liczbę urzędników w pokojach wzdłuż boku kwadratu zmodyfikujemy tylko o x. Jeżeli z pokoi narożnych ujmiemy po 1 osobie, to żeby zachować liczbę wzdłuż boku kwadratu do pokoi środkowych należy dodać po osoby. Łączna liczba urzędników wzrośnie o 4 (rysunek lewy). Jeżeli do pokoi narożnych dodamy po 1 osobie, to żeby suma osób w pokojach wzdłuż boku kwadratu nie uległa zmianie z pokoi środkowych należy ująć po osoby. Łączna liczba urzędników zmniejszy się o 4 (rysunek środkowy). Jeżeli z pokoi narożnych ujmiemy po osoby, to żeby zachować sumę wzdłuż boku kwadratu, do pokoi środkowych należy dodać po 4 osoby. Łączna liczba urzędników wzrośnie o 8 (rysunek prawy). Problem 3 W kwadracie złożonym z 16 jednakowych klatek należy rozmieścić 4 jednakowe litery w taki sposób, żeby na żadnej linii pionowej i poziomej oraz przekątnej kwadratu nie znalazły się dwie litery. Na ile sposobów można to zrobić? 3
4 Jedno z rozwiązań pokazuje rysunek. Ponieważ mamy 4 linie i 4 kolumny, któraś z 4 liter musi być na przekątnej. Litera stojąca na przekątnej blokuje dla innych liter tą, że przekątną oraz jedną linię pionową i jedną linię poziomą, na której stoi. Zblokowane linie pozioma i pionowa przechodzą przez drugą przekątną blokując na niej klatki dla innych liter. Wobec tego na drugiej przekątnej istnieją tylko dwie klatki gdzie stać może druga litera (na rysunku powyżej zostały tek klatki wyróżnione). Zauważmy, że jeżeli na przekątnych rozmieścimy litery to dla kolejnych dwóch liter pozostanie tylko jeden układ. Skoro na pierwszej przekątnej są 4 miejsca gdzie można postawić literę, na drugiej takie miejsca, razem otrzymujemy 8 możliwości. Gdyby litery były różne, to do każdego z układu liter w komórkach kwadratu moglibyśmy wstawić różne rozmieszczenia liter między sobą. Pierwsza litera może stać na dowolnym z 4 miejsc. Druga litera już tylko na jednym z 3 miejsc (bo jedno miejsce zajmuje pierwsza litera). Trzecia litera może stać na jednym z miejsc. Na literę czwartą pozostaje 1 miejsce. Razem otrzymamy możliwe rozmieszczenia czterech różnych liter. Skoro każdy z układów liter na kwadracie może zajmować dowolne rozmieszczenie liter między sobą łącznie otrzymujemy możliwe przypadki. Problem 4 W kwadracie składającym się z 16 jednakowych klatek należy rozmieścić po cztery litery a, b, c, d w taki sposób aby jednakowe litery nie stały w jednej linii, jednym rzędzie lub jednej przekątnej kwadratu. Na ile sposobów można to uczynić? Zauważmy przede wszystkim, że w rogach kwadratu muszą stać różne litery. Rozmieszczając w rogach różne litery ustalmy jakie litery stać mogą w pozostałych klatkach jednej z przekątnych. Jeżeli weźmiemy przekątną a, d to stać na niej mogą tylko litery c, d i to na dwa sposoby. 4
5 Teraz łatwi już wywnioskować rozkład pozostałych liter. Zacznijmy od klatek przy bokach kwadratu. Jako ostatnie wypełnimy klatki na drugiej przekątnej. Na podstawie powyższego możemy ustalić, że po ustawieniu liter w narożnikach mamy możliwości na ustawienie pozostałych liter. Litery w narożnikach można ustawić na 4 sposoby (patrz zadanie poprzednie). Wobec tego dla naszego zadania wszystkich możliwych ustawień liter
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki Rozwiązania i punktacja
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki Rozwiązania i punktacja ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.
Bardziej szczegółowoXX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012
XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMA rok szkolny 2011/2012 Etap I Klasa IV Zastąp znaki zapytania znakami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w taki sposób, aby wyniki obliczeń
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoVIII Mistrzostwa Polski W Sudoku. Instrukcje. Bonus:
VIII Mistrzostwa Polski W Sudoku Instrukcje Bonus: w każdej rundzie za poprawne rozwiązanie wszystkich zadań przed czasem zawodnik otrzymuje dodatkowe 2 pkt. za każdą pełną minutę VIII Mistrzostwa Polski
Bardziej szczegółowogimnazjalista.fundacja2lo.pl
Matematyka na szachownicy Legenda głosi, że pewien sułtan tak bardzo szachy pokochał iż wynalazcy tej gry, braminowi Sissa Nassir obiecał każdą nagrodę, której zażąda. Ten jednak nie chciał ani złota ani
Bardziej szczegółowo~ A ~ 1. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 12, 16 i 20. Zmniejszamy długość każdego boku o 8. Wtedy:
GIM-. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 6 i 20. Zmniejszamy długość każdego boku o 8. Wtedy: I. Powstanie trójkąt o polu równym połowie pola trójkąta pierwotnego II. Pole nowego trójkąta
Bardziej szczegółowoXX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012
XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012 Etap II Klasa IV Marcin, Michał i Bartek będąc w gościach zostali poczęstowani trzema rodzajami ciast: sernikiem, keksem
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowoCIEKAWE WŁASNOŚCI KWADRATÓW MAGICZNYCH
KOŁO MATEMATYCZNE PRZY SZKOLE PODSTAWOWEJ NR 89 W KRAKOWIE CIEKAWE WŁASNOŚCI KWADRATÓW MAGICZNYCH Autorzy referatu: Weronika Kurnik kl.5d Natalia Tokarska kl.5d Sebastian Kuleszyński kl.5d Piotr Perłowski
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoIle takich samych butelek wody należy dolać do dzbanka, aby sok stanowił 25% napoju? Wybierz odpowiedź spośród podanych.
Zadanie 1. Do dzbanka wlano 2 jednakowe butelki soku. Ile takich samych butelek wody należy dolać do dzbanka, aby sok stanowił 25% napoju? Wybierz odpowiedź spośród podanych.. 2. 4 C. 6 D. 8 Zadanie 2.
Bardziej szczegółowoIV MISTRZOSTWA POLSKI W SUDOKU
IV MISTRZOSTWA POLSKI W SUDOKU Warszawa, 2009 r. ZADANIA TRENINGOWE, CZĘŚĆ I --//-- Zadania pochodzą z I i z III mistrzostw świata w sudoku. (2006 Lucca we Włoszech, 2008 - Goa w Indiach) --//-- Przy zadaniach
Bardziej szczegółowoPrezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto
Prezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto Czy zastanawiałeś się kiedyś nad tym, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb w lotto o określonej sumie nie jest jednakowe?
Bardziej szczegółowoXIX MISTRZOSTWA POLSKI W ŁAMIGŁÓWKACH INSTRUKCJE. 1 marca 2015 r. KILKA WAŻNYCH INFORMACJI:
XIX MISTRZOSTWA POLSKI W ŁAMIGŁÓWKACH 1 marca 2015 r. INSTRUKCJE KILKA WAŻNYCH INFORMACJI: 1. Formularz odpowiedzi można wysłać więcej niż raz. Pod uwagę brana będzie ostatnia wysłana w regulaminowym czasie
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 14 Dmuchawce
Dmuchawce Celem ćwiczenia jest wykorzystanie właściwości programu Flash do generowania animacji o charakterze losowym. Prezentowany efekt można wykorzystać do wielu różnych celów np. spadające liście,
Bardziej szczegółowoUżycie przestrzeni papieru i odnośników - ćwiczenie
Użycie przestrzeni papieru i odnośników - ćwiczenie Informacje ogólne Korzystanie z ćwiczeń Podczas rysowania w AutoCADzie, praca ta zwykle odbywa się w przestrzeni modelu. Przed wydrukowaniem rysunku,
Bardziej szczegółowoWstęp Sterowanie Utworzenie, wybór i kasowanie gracza. utworzenia nowego gracza Nowy gracz Nastawienie gracza
Wstęp Użytkownik znajduje się na Dzikim Zachodzie a jego zadaniem jest zdobyć wszystkie 15 części totemu, który blade twarze wykradły Indianom. W każdej części miasta na gracza czekają liczne zadania w
Bardziej szczegółowoDrukowanie i sklejanie wykrojów w formacie A4 INSTRUKCJA
t e l. : 8 8 7 0 7 0 7 3 1 w w w. p i n s o l a. p l Drukowanie i sklejanie wykrojów w formacie A4 INSTRUKCJA Aby poprawnie wydrukować i złączyć z sobą kartki A4 z wykrojami należy zastosować się do niniejszej
Bardziej szczegółowoPrzenoszenie, kopiowanie formuł
Przenoszenie, kopiowanie formuł Jeżeli będziemy kopiowali komórki wypełnione tekstem lub liczbami możemy wykorzystywać tradycyjny sposób kopiowania lub przenoszenia zawartości w inne miejsce. Jednak przy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenne układy oporników
Przestrzenne układy oporników Bartosz Marchlewicz Tomasz Sokołowski Mateusz Zych Pod opieką prof. dr. hab. Janusza Kempy Liceum Ogólnokształcące im. marsz. S. Małachowskiego w Płocku 2 Wstęp Do podjęcia
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1 Galeria zdjęć
Galeria zdjęć Pobierz przykład (http://jsekulska.kis.p.lodz.pl/studia.htm). Krok 1 Ustawienie stołu montażowego Otwieramy nowy plik i nazywamy go (np. gallery.fla). Ustawiamy wielkość pola roboczego na
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoPESEL. 1. Rozwiązania wszystkich zadań zapisuj na kartach odpowiedzi, pamiętając o podaniu numeru zadania.
Układ graficzny CKE 20 Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. KOD UCZNIA UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY PESEL miejsce na naklejkę z kodem
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoReflektory: sprawdzanie ustawienia, ewentualna regulacja
Strona 1 z 6 Reflektory: sprawdzanie ustawienia, ewentualna regulacja Poniższy opis sprawdzania i regulacji obowiązuje zasadniczo dla wszystkich krajów. Należy jednak przestrzegać wytycznych lub przepisów
Bardziej szczegółowoXIX Mistrzostwa Polski w Łamigłówkach. Runda 1 29 minut NAME: pkt. 35 pkt. 20 pkt. 31 pkt. 36 pkt. 45 pkt. 45 pkt. 98 pkt. 60 pkt. 95 pkt.
NAME:... XIX Mistrzostwa Polski w Łamigłówkach.. Pałac Domaniowski Konary k.radomia 9 minut. Skyscrapers. Skyscrapers. Tapa. Calcudoku. Kakuro. Nurikabe 7. Battleships 8. Battleships 9. Slitherlink. Slitherlink
Bardziej szczegółowoXIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej
XIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej 2 grudnia 2010 r. eliminacje czas: 90 minut Przed Tobą test składający się z 27 zadań. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z
Bardziej szczegółowoRUNDA 2 90 minut / 400 punktów
Imię:... Nazwisko:... XVI Mistrzostwa Polski w Rozwiązywaniu Łamigłówek RUND 9 minut / punktów. Tapa + punktów. Tapa-do-trzech punktów. Wieżowce + punktów. Wieżowce z lukami + 7 punktów. Pętla 7 + punktów.
Bardziej szczegółowoAKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część I KALEJDOSKOP --0--
AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część I KALEJDOSKOP W pierwszej części Akademii Łamania Głowy prezentujemy te łamigłówki, których rozwiązywania nauczycie się w następnych częściach. y są różne różne zadania, różne
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoEtap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017
Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017 Zadanie 1. (7 punktów) Nieuporządkowane rzędy Niech n oznacza liczbę krzeseł w rzędzie. Sala konferencyjna ma 9n krzeseł. Podczas pierwszej konferencji
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ARCHITEKTURY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ T E S T K W A L I F I K A C Y J N Y Z P R E D Y S P O Z Y C J I D O Z A W O D U A R C H I T E K T A
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ T E S T K W A L I F I K A C Y J N Y Z P R E D Y S P O Z Y C J I D O Z A W O D U A R C H I T E K T A CZĘŚĆ I GDAŃSK, 14 CZERWCA 2008, GODZ 9.00 CZAS TRWANIA TESTU
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowoEDUWAŻKA - sposób na pokazanie dzieciom jak matematyka opisuje zjawiska i prawa przyrody. Edutronika Sp. z o.o.
EDUWAŻKA - sposób na pokazanie dzieciom jak matematyka opisuje zjawiska i prawa przyrody. Edutronika Sp. z o.o. EDUWAŻKA wskazówki edukacyjne EDUWAŻKA to plastikowa waga w postaci symetrycznej listwy o
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoTest na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum
8 Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum imię i nazwisko ucznia...... data klasa Test 2 1 Na przeciwległych ścianach każdej z pięciu sześciennych kostek umieszczono odpowiednio liczby: 1 i 1,
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 2007 DROGI UCZNIU!
Wersja A klasy I II SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 007 DROGI UCZNIU! Masz do rozwiązania 8 zadań testowych, na rozwiązanie których masz 90 minut. Punktacja rozwiązań: - zadania od do 7 - punkty -
Bardziej szczegółowoKONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
... kod pracy ucznia... pieczątka nagłówkowa szkoły KONKURS PRZEDMIOTOWY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu, witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoKurs ECDL Moduł 3. Nagłówek i stopka Microsoft Office Word 2003. Autor: Piotr Dębowski. piotr.debowski@konto.pl
Kurs ECDL Moduł 3 Nagłówek i stopka Microsoft Office Word 2003 Autor: Piotr Dębowski piotr.debowski@konto.pl Wolno: Creative Commons License Deed Uznanie autorstwa - Użycie niekomercyjne - Na tych samych
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 17 lutego 2017 Czas 90 minut
kod Zadanie 1-10 11 12 13 14 15 suma punkty Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 17 lutego 2017 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwiązania 10 zadań zamkniętych oraz 5
Bardziej szczegółowoDla każdej własności zaznacz litery przyporządkowane trójkątom posiadającym tę własność. (rysunek powyżej) A/ B/ C/ D
A B C D 4 4 9 9 4 5 6 2 4 5 4 Zad. 1. (4 pkt.) Dla każdej własności zaznacz litery przyporządkowane trójkątom posiadającym tę własność. (rysunek powyżej) Ma oś symetrii Obwód wynosi 12 Ma środek symetrii
Bardziej szczegółowoCzy pamiętasz? Zadanie 1. Rozpoznaj wśród poniższych brył ostrosłupy i graniastosłupy.
1. Bryły Tradycyjna futbolówka jest zszyta z 3232 kawałków. Gdybyśmy ją rozcięli, ujrzelibyśmy siatkę dwudziestościanu ściętego. Kulisty kształt piłka otrzymuje dzięki wypełnieniu sprężonym powietrzem.
Bardziej szczegółowoDODAWANIE I ODEJMOWANIE SUM ALGEBRAICZNYCH
DODAWANIE I ODEJMOWANIE SUM ALGEBRAICZNYCH Cele operacyjne Uczeń umie: budować wyrażenia algebraiczne, opuszczać nawiasy, redukować wyrazy podobne, dodawać i odejmować sumy algebraiczne. Metody nauczania
Bardziej szczegółowo(12) OPIS OCHRONNY WZORU PRZEMYSŁOWEGO
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS OCHRONNY WZORU PRZEMYSŁOWEGO (19) PL (11)16805 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 16836 (22) Data zgłoszenia: 12.07.2010 (51) Klasyfikacja:
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut. Rozwiązania zadań
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut Rozwiązania zadań ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów szkół podstawowych etap rejonowy
Punktacja Numer zadania Kod ucznia: 29.11.2014r. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów szkół podstawowych etap rejonowy.. Wypełnia komisja konkursowa 1 2 3 4 5 Razem.. Wskazówki dla
Bardziej szczegółowo1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Bardziej szczegółowoKONKURS OMNIBUS MATEMATYCZNY rok szkolny 2016/2017
Drogi Uczniu, KONKURS OMNIBUS MATEMATYCZNY rok szkolny 2016/2017 Finał 5 maja 2017 r. Zestaw dla uczniów klas VI witaj na finale konkursu Omnibus Matematyczny. Przeczytaj uważnie instrukcję i postaraj
Bardziej szczegółowoRZUTOWANIE PROSTOKĄTNE
RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE WPROWADZENIE Wykonywanie rysunku technicznego - zastosowanie Rysunek techniczny przedmiotu jest najczęściej podstawą jego wykonania, dlatego odwzorowywany przedmiot nie powinien
Bardziej szczegółowoAlgorytm obliczający ilość unikalnych otwarć gomoku swap
Algorytm obliczający ilość unikalnych otwarć gomoku swap 1.Historia. Pierwsze znane mi próby poruszenia tego tematu miały miejsce 6. stycznia 007 na forum PSGRiP (użytkownik Ece). Zainteresowanie nim trwało
Bardziej szczegółowoXVII edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2009/2010
XVII edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2009/2010 Etap III Klasa IV Ola, Jacek i Paweł kupowali jednakowe książki, zeszyty i gumki. Ola za 2 książki, 4 zeszyty i jedną
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoDefinicja obrotu: Definicja elementów obrotu:
5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek
Bardziej szczegółowoXXI Krajowa Konferencja SNM
1 XXI Krajowa Konferencja SNM GEOMETRIA Maria Bocheńska(Kraków) maria.bochenska@gmail.com Teresa Sklepek(Kraków) tsmat@wp.pl W krainie figur płaskich część I i II Streszczenie. Przez trzy lata najlepsi
Bardziej szczegółowoLista NR 6. Przedstaw obliczenia we wszystkich zadaniach.
Lista NR 6 Przedstaw obliczenia we wszystkich zadaniach. Zad 1. (0-1) Długość przekątnej prostokąta przedstawionego na rysunku jest równa A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 Zad 2. (0-2) Przedstawiony na rysunku trójkąt
Bardziej szczegółowoZadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych. 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85
Zadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych Klasa Średnia 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85 Do wstawienia wykresu w edytorze tekstu nie potrzebujemy mieć wykonanej tabeli jest ona tylko
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 Schemat punktowania zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź uczeń otrzymuje 1 punkt. Numer zadania Poprawna odpowiedź
Bardziej szczegółowoOdpowiedź: Arbuz waży 2 kilogramy. Kryteria oceniania Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy: Prawidłowo obliczy, ile waży arbuz.
Wojewódzki Konkurs matematyczny dla uczniów klas IV-VI szkół podstawowych rok szkolny 2016/2017 ETAP WOJEWÓDZKI W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną
Bardziej szczegółowoZESTAW ZADAŃ NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCY Z MATEMATYKI W KLASIE IV.
ZESTAW ZADAŃ NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCY Z MATEMATYKI W KLASIE IV. I. POTĘGI. LOGARYTMY. FUNKCJA WYKŁADNICZA 1. Przedstaw liczby 16,4, w postaci potęgi liczby: 2; 4;. 2. Wykonaj działania: a) = b) 25 5 5 =
Bardziej szczegółowoPodstawy działań na wektorach - dodawanie
Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5.
Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Schemat Hornera. Wyjaśnienie: Zadanie 1. Pozycyjne reprezentacje
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 15 lutego 2019 Czas 90 minut Rozwiązania i punktacja
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 15 lutego 2019 Czas 90 minut Rozwiązania i punktacja ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Bardziej szczegółowor., godz Czas trwania 60 minut. Przepisz tutaj Twój kod
zdolny Ślązaczek MATEMATYKA XVI DOLNOŚLĄSKI KONKURS DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH II ETAP - POWIATOWY 13.11.2018 r., godz. 12 00 Czas trwania 60 minut TWÓJ KOD Przepisz tutaj Twój kod Przepisz tutaj Twój
Bardziej szczegółowoznalezienia elementu w zbiorze, gdy w nim jest; dołączenia nowego elementu w odpowiednie miejsce, aby zbiór pozostał nadal uporządkowany.
Przedstawiamy algorytmy porządkowania dowolnej liczby elementów, którymi mogą być liczby, jak również elementy o bardziej złożonej postaci (takie jak słowa i daty). Porządkowanie, nazywane również często
Bardziej szczegółowoXVII Mistrzostwa Polski W Łamigłówkach. Instrukcje. Bonus:
XVII Mistrzostwa Polski W Łamigłówkach Instrukcje Bonus: w każdej rundzie za poprawne rozwiązanie wszystkich zadań przed czasem zawodnik otrzymuje dodatkowe 2 pkt. za każdą pełną minutę XVII Mistrzostwa
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY
... pieczątka nagłówkowa szkoły... kod pracy ucznia KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu Witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję. Arkusz
Bardziej szczegółowoEdytor tekstu MS Word 2010 PL: grafika. Edytor tekstu MS Word umożliwia wstawianie do dokumentów grafiki.
Edytor tekstu MS Word 2010 PL: grafika. Edytor tekstu MS Word umożliwia wstawianie do dokumentów grafiki. Edytor tekstu MS Word 2010 PL: kształty. Do każdego dokumentu można wstawić tzw. kształty. Aby
Bardziej szczegółowoMetoda Karnaugh. B A BC A
Metoda Karnaugh. Powszechnie uważa się, iż układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny, a spośród dwóch układów o takiej samej liczbie elementów logicznych lepszy jest ten, który
Bardziej szczegółowoProcenty % % oznacza liczbę 0, 01 czyli / 100
% oznacza liczbę 0, 01 czyli / 100 p p % oznacza iloczyn p 0,01 100 Procenty % Wyrażenie p % liczby x oznacza iloczyn 1 Łacińskie pro cent oznacza na 100 Stosuje się także oznaczający 0,001 Łacińskie pro
Bardziej szczegółowoWahadło. Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadą dokonywania wideopomiarów w systemie Coach 6 oraz obserwacja modelu wahadła matematycznego.
6COACH38 Wahadło Program: Coach 6 Projekt: komputer H : C:\Program Files (x86)\cma\coach6\full.en\cma Coach Projects\PTSN Coach 6\Wideopomiary\wahadło.cma Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoTest na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum
3 Przykładowe sprawdziany Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum... imię i nazwisko ucznia...... data klasa Test Liczba x jest wynikiem dodawania liczb + +. Jaki warunek spełnia liczba x? 3 5
Bardziej szczegółowoStożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.
1.4. Stożek W tym temacie dowiesz się: jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej stożka, jak obliczać objętość stożka, jak wykorzystywać własności stożków w zadaniach praktycznych.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoKONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH Etap Wojewódzki
Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok pieczątka WKK DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH Etap Wojewódzki Drogi Uczniu Witaj na III etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoHistoria kwadratów magicznych
Kwadraty magiczne Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Składają się one z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze maja 9 lub 16 pól.
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoKategoria Szkoły podstawowe
Kategoria Szkoły podstawowe O punkcie Y wiadomo, że odcinek łączący go z PK 41 jest podstawą trójkąta równoramiennego, którego trzeci wierzchołek stanowi PK o numerze podzielnym przez 13, a od Y do PK
Bardziej szczegółowoBednarska Szkoła Podstawowa Terytorium Raszyńska EGZAMIN Z MATEMATYKI. do klasy siódmej. na rok szkolny 2018/2019. Czas pisania: 75 minut.
Bednarska Szkoła Podstawowa Terytorium Raszyńska NUMER Dysleksja EGZAMIN Z MATEMATYKI do klasy siódmej na rok szkolny 2018/2019 Witaj na egzaminie! Nie otwieraj jeszcze egzaminu! Poczekaj na sygnał z naszej
Bardziej szczegółowoOpis implementacji: Poznanie zasad tworzenia programów komputerowych za pomocą instrukcji języka programowania.
Nazwa implementacji: Robot biedronka Autor: Jarosław Żok Opis implementacji: Poznanie zasad tworzenia programów komputerowych za pomocą instrukcji języka programowania. Gra została zaimplementowana z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
Reguła mnożenia Jeżeli wybór zależy od n decyzji, przy czym na decyzję pierwszą mamy a 1 możliwości, decyzję drugą - a 2 możliwości,..., decyzję n-tą mamy a n możliwości, to wybór może być dokonany na
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP SZKOLNY. 18 listopada 2013 r. godz. 13:00
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP SZKOLNY 18 listopada 2013 r. godz. 13:00 Kod pracy ucznia Suma punktów Czas pracy: 90 minut Liczba punktów możliwych do uzyskania: 30
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoEgzamin w klasie III gimnazjum Część matematyczna
Egzamin w klasie III gimnazjum Część matematyczna Szkice rozwiązań zadań Zadanie 1. Ponieważ harcerze zaczęli marsz o 13:00, a skończyli o 15:30 więc rzeczywiście maszerowali 2,5 godziny Z autobusu do
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowoInnowacyjne cele edukacyjne
Na zajęciach koła matematycznego często z dziećmi pracuję w oparciu o zmodyfikowane i dostosowane do mojej grupy konspekty ze strony Matematyki Innego Wymiaru. Oto kilka takich przeprowadzonych przeze
Bardziej szczegółowo1 TEMAT LEKCJI: 2 CELE LEKCJI: 3 METODY NAUCZANIA 4 ŚRODKI DYDAKTYCZNE 5 UWARUNKOWANIA TECHNICZNE. Scenariusz lekcji.
Kolorowa mozaika Scenariusz lekcji Scenariusz lekcji 1 TEMAT LEKCJI: Kolorowa mozaika 2 CELE LEKCJI: 2.1 Wiadomości: Uczeń potrafi: wyjaśnić pojęcie mozaika ; opisać elementy składowe mozaiki; opisać sposób
Bardziej szczegółowoZ matematyką przez świat
Z matematyką przez świat konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych ETAP SZKOLNY 25 kwietnia 2014 Czas 60 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwiązania 7 zadań zamkniętych oraz 3 zadania
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2013/2014
Etap szkolny 5 listopada 2013 r. Godzina 10.00 Kod ucznia Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw zawiera 7 stron. Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi. 2. Na tej stronie i na
Bardziej szczegółowoodpowiednio o 4%, 5%, 10% i 20%. O ile procent wzrosła średnia wieku tych czterech osób?
71. Dla jakiego x wartości wyrażeń w diagramie wyznaczają kwadrat magiczny (sumy liczb w wierszach, kolumnach i na obu przekątnych są równe)? 72. W ciągu dwóch lat wiek czterech członków pewnej rodziny
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Wojewódzki
pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Wojewódzki Drogi Uczniu Witaj na III etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie
Bardziej szczegółowo