5. Dynamika bryły sztywnej

Transkrypt

1 5. Dynaika bryły sztywnej Moent siły, oent pędu i oent bezwładności Aby spowodować ruch postępowy, konieczne jest przyłożenie do ciała siły. Aby wprawić bryłę w ruch obrotowy wokół osi lub punktu, niezbędne jest przyłożenie oentu siły: M r F, M rf sin rf. (5.) Warunkie konieczny wprowadzenia bryły sztywnej w ruch obrotowy jest istnienie w płaszczyźnie obrotu niezerowej składowej F siły F (Rys. 5..). O r F F F Rys. 5.. Ilustracja do definicji oentu siły. Moent siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i F Prędkość ruchu obrotowego scharakteryzowana jest wektore prędkości kątowej. Wektor ten, podobnie jak każdy inny wektor, a trzy przestrzenne składowe, co oznacza, że dowolny ruch obrotowy ożna rozłożyć na trzy niezależne obroty wokół osi x, y, z : x y z. (5.) v z d r L x y z S y x Rys. 5.. Ilustracja prędkości kątowej i oentu pędu bryły w ruchu obrotowy wokół osi Moent pędu bryły obracającej się wokół osi wynosi: L I. (5.3)

2 W powyższy wyrażeniu I jest oente bezwładności bryły względe osi obrotu określony przez wyrażenie: I r, d (5.4) gdzie oznacza asę bryły, a d jest eleente asy oddalony od osi obrotu o r. Moenty bezwładności dla niektórych brył podano na Rys r h b a r h I r 5 I a b 3 I r 0 h R r l r I r I r R I l Rys Moenty bezwładności niektórych brył obliczone względe osi przechodzących przez ich środki as (linie przerywane) Druga zasada dynaiki dla ruchu obrotowego Dla ruchu obrotowego, druga zasada dynaiki przyjuje postać: dl di M. (5.5) dt dt Jeżeli bryła nie zienia geoetrii, to przyłożenie oentu siły wprawia bryłę w ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony. Jeżeli na bryłę sztywną nie działa żaden oent siły, to bryła się nie obraca lub obraca się ruche obrotowy ze stałą prędkością kątową, co oznacza iędzy innyi, że podczas obrotu oś obrotu nie zienia swojej orientacji w przestrzeni. Jeżeli na bryłę nie działa oent siły, a bryła oże w trakcie obrotu zieniać geoetrię, to iloczyn I const. Energia kinetyczna ruchu obrotowego Energia kinetyczna ruchu obrotowego wokół ustalonej osi wynosi: T I. (5.6)

3 Twierdzenie Steinera Twierdzenie to pozwala obliczyć oent bezwładności I O bryły względe określonej osi O, jeżeli znay oent bezwładności ciała I S względe osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek asy S bryły: I O I S d, (5.7) gdzie d jest odległością iędzy osiai, a jest asą bryły (Rys.5.4). S S d O Rys Ilustracja do twierdzenia Steinera Równowaga statyczna układu Warunki statycznej równowagi układu echanicznego wynikają z zasad dynaiki. Warunkie konieczny równowagi statycznej jest równoważenie się wszystkich sił F i działających na układ - z uwzględnienie sił zewnętrznych i sił reakcji: n i F 0, i,,..., n. (5.8) i Jeżeli warunek ten nie będzie spełniony, układ dozna przeieszczenia z pewny przyspieszenie. Z równania (5.8) wynika, że równowaga wszystkich sił usi zachodzić na każdy kierunku przestrzenny x, y, z : n i F 0, F 0, F 0. (5.9) ix n i iy Warunek (5.8) nie zawsze jednoznacznie wyznacza równowagę statyczną układu. Czasai siły równoważą się, ale tworzą wypadkową parę sił, która ogłaby nadać układowi pewien ruch obrotowy. Warunkie przeciwdziałający takieu ruchowi jest równoważenie się wszystkich oentów sił M i : n i Warunek (5.0) równoważny jest trze zapiso skalarny: n i iz M 0, i,,..., n. (5.0) i

4 n i M 0, M 0, M 0. (5.) ix n i iy W statyce, wybór punktu przestrzeni lub osi, względe której suujey oenty sił, nie a znaczenia. Zwykle punkt lub oś, względe której suujey oenty, dobieray tak, aby uprościć rachunki. Warunkie konieczny i wystarczający na to by układ był w równowadze statycznej jest więc równoważenie się wszystkich sił oraz wszystkich oentów sił działających na układ. Przykłady 5. i 5.3 ilustrują odpowiednio sytuacje, w których wystarczy uwzględnić tylko pierwszy z warunków oraz sytuację, w której wyagane jest uwzględnienie obydwu warunków równowagi jednocześnie. n i iz Przykłady Przykład 5.. Przez podwieszony do sufitu bloczek o asie 0, kg przerzucono nierozciągliwą nić, na końcach której zawieszono odważniki o asach kg i 5 kg. Obliczyć przyspieszenie odważników, naciągi nici z obu stron bloczka oraz naprężenie poiędzy bloczkie i sufite. Rozwiązanie: Zadanie ożna rozwiązać dwoa sposobai: stosując wprost do poszczególnych eleentów układu drugą zasadę dynaiki lub wykorzystując do układu, jako całości, zasadę zachowania energii echanicznej. N a N g a h 0 h g Sposób pierwszy - z wykorzystanie drugiej zasady dynaiki. Na asę działają dwie siły: siła ciężkości o wartości g oraz przeciwnie do niej skierowana siła naciągu nici o wartości N g. Odważnik o asie będzie się więc poruszał do góry z przyspieszenie a wynikający z drugiej zasady dynaiki dla ruchu postępowego: F N g a. Ciężar drugiego odważnika g jest większy od naciągu N doczepionej do niego nici. Nić jest nierozciągliwa, więc wartość przyspieszenia a, z jaki opada ten odważnik jest taka saa jak dla pierwszego odważnika, a jego ruch opisuje równanie:

5 F g N a. Bloczek obraca się ruche obrotowy jednostajnie przyspieszony pod wpływe wypadkowego, niezerowego oentu siły M wynikającego z istnienia różnych wartości naciągów obydwu końców nici. Ruch bloczka odbywa się zgodnie z drugą zasadą dynaiki, która w odniesieniu do ruchu obrotowego a postać: M N N R I, gdzie R jest proienie bloczka, I 0,5R - jego oente bezwładności, a - przyspieszenie kątowy, związany z przyspieszenie liniowy a za pośrednictwe relacji a / R. Uwzględniając powyższe uwagi zapisujey ostatnie równanie w postaci: N N a. Ruch poszczególnych eleentów układu opisany został za pośrednictwe trzech równań z trzea niewiadoyi: a, N, N. Po prostych przekształceniach otrzyay: N N a g, g a g, g a g. Naprężenie zawiesia poiędzy bloczkie, a sufite wyznacza równanie: 3 4 N N N g g. Podstawiając dane liczbowe znajdziey: N 58,0 N. a 4,5 /s, N 7,9 N, N 8,30 N, Sposób drugi - z wykorzystanie zasady zachowania energii echanicznej. Przyjijy, że układ w oencie t 0 0 był w stanie spoczynku, gdy środki as obu ciężarków znajdowały się na ty say pozioie zerowy, któreu z założenia przypisana jest zerowa energia potencjalna. Po upływie pewnego czasu t, lżejszy i cięższy ciężarek przesunął się

6 odpowiednio do góry i w dół na tą saą odległość h at uzyskując tą saą prędkość v at. Całkowita ziana energii potencjalnej układu w rozważany przedziale czasu wyniosła v V gh gh g. a W ty say przedziale czasu wzrost energii kinetycznej wyniósł T v v I, gdzie I 0,5R jest oente bezwładności bloczka, a v / R jego prędkością kątową. Z warunku T V 0, wynikającego z zasady zachowania energii, otrzyay równanie: v v v v R g 0. R a Rozwiązanie tego równania jest przyspieszenie a o wartości identycznej z wartością przyspieszenia otrzyanego pierwszy sposobe: a g. Przykład 5.. Jednorodna, sztywna belka o długości L,5 i ciężarze Q 400N wisi na dwóch linach zaczepionych do jej końców. Dwa pozostałe końce lin podczepione są do wspólnego zawiesia. Długość każdej z lin wynosi l,4. Obliczyć naprężenia lin zakładając, że ich ciężar jest nieporównywalnie niejszy od ciężaru belki. Rozwiązanie: y N y l l N N N x N x N y x L / L / Q

7 Na układ działają naprężenia nici N, N oraz ciężar belki Q. Warunek równowagi statycznej (5.8) przyjie postać: Q N N Warunek ten równoważny jest dwó zapiso skalarny (5.9): Z pierwszego równania wynika, że N 0 Nx N Q Ny N x 0. 0, y 0. x N x N x. Z syetrii zagadnienia oraz z drugiego równania N N. Z wynika, że N N N /. Naprężenia lin uszą więc być takie sae: N y y y Q podobieństwa odpowiednich trójkątów (rysunek) wynika ponadto proporcja: N y N l L /. l Podstawiając w powyższy równaniu N y Q / znajdziey: N Ql. 4l L Uwzględniając dane liczbowe otrzyay: N N N 36,85N. Przykład 5.3. Jednorodna, etalowa belka o długości L 5 i asie 00kg spoczywa na dwóch podporach. Punkty podparcia belki znajdują się: jeden na jedny jej końcu, a drugi w odległości l,5 od jej drugiego końca. Obliczyć reakcje podpór. Rozwiązanie: z x y F S F Q g Na układ działają siły: ciężar belki Q oraz reakcje podpór F i F. Warunek równowagi sił (5.8) a postać: Q F F Ponieważ brak jest składowych sił wzdłuż osi x oraz y, więc równanie to ożey zapisać w postaci jednego równania skalarnego odniesionego do kierunku z : 0.

8 Q F F 0. Jest to równanie z dwoa niewiadoyi: F i F. Warunek ten jak widać nie wystarcza do znalezienia reakcji podpór. Aby znaleźć drugie równanie, korzystay z warunku (5.0) równoważenia się wszystkich oentów sił działających na układ: M Q M F M F 0 F F S F r r r Q g F r Jeżeli przyjiey, że punkt, względe którego liczyy oenty sił znajduje się w środku ciężkości S belki, to oent siły Q będzie równy zeru, a oenty sił F i F będą odpowiednio równe: M F L r F r F sin i F i, ( 70, L r ), L L r F r F sin i l Fi, ( 90, r l ). M F Warunek równoważenia się oentów sił przyjie więc postać: L F L l F Powyższe równanie jest drugi - brakujący równanie pozwalający na obliczenie reakcji podpór. Po prostych przekształceniach otrzyay: 0. L l L F g, F g. L l L l Uwzględniając dane liczbowe znajdziey: F 85,7 N, F 74,3 N. Można sprawdzić, że rezultat ten pozostanie bez zian, jeżeli oenty sił będą liczone względe innego, dowolnie wybranego punktu odniesienia. Zadania 5.. Obliczyć energię kinetyczną kuli o asie 500g i proieniu r 0c wirującą z częstotliwością f 3 obr/s.

9 5.. Obliczyć pracę, jaką należy wykonać, aby koło zaachowe o asie 30kg i proieniu r 40c rozpędzić tak, aby wykonywało n 60 obrotów na inutę? 5.3. Koło zaachowe o oencie bezwładności I 50kg obraca się z prędkością kątową 30rad/s. Obliczyć oent haujący M, pod którego działanie koło zaachowe zatrzyuje się po upływie czasu t 5s Rura i jednorodny walec o takich saych asach kg toczą się bez poślizgu z jednakową prędkością liniową v. Znaleźć energię kinetyczną T w walca, jeżeli energia kinetyczna rury wynosi T 50J. r 5.5. Na krześle obracający się z częstotliwością f 0,75Hz siedzi człowiek i trzya w wyciągniętych rękach hantle o asie 0kg każda. Odległość hantli do osi obrotu wynosi r 0,7. Jaka będzie częstotliwość obrotów krzesła, jeżeli człowiek przyciągnie hantle na odległość d 40c od osi obrotu? Suaryczny oent bezwładności człowieka z wyciągniętyi raionai i krzesła względe osi obrotu wynosi I,5 kg podkurczonyi raionai i krzesła jest o 0% niejszy.. Moent bezwładności człowieka z 5.6. Na środku tarczy o asie 50kg i proieniu r,5, wirującej z częstotliwością f 0 Hz dokoła osi przechodzącej przez jej środek, znajduje się człowiek o asie 75 kg. Jak zieni się częstotliwość obrotów tarczy, gdy człowiek przejdzie na jej skraj? 5.7. Jak zieni się energia kinetyczna wahadła Oberbecka, jeżeli zwiększyy w ni dwukrotnie odległość as od osi obrotu i jednocześnie zwiększyy dwa razy jego prędkość kątową? 5.8. W górę równi pochyłej, o kącie nachylenia 30, wtacza się walec, który u podstawy równi iał prędkość v 7 /s. Obliczyć drogę, która pokona walec do oentu zatrzyania się Z równi pochyłej o wysokości h stacza się bez poślizgu jednorodna kula o asie i proieniu r. Jaką prędkość osiągnie kula u podstawy równi? 5.0. Na szczycie równi pochyłej o długości l, nachylonej do poziou pod kąte, znajduje się jednorodny walec, który został swobodnie puszczony. Jaką prędkość uzyska środek asy walca u podnóża równi? 5.. Jaki warunek usi spełniać współczynnik tarcia, aby jednorodny walec ógł staczać się bez poślizgu po równi pochyłej tworzącej z pozioe kąt 30? 5.. Kula o proieniu r 0c obraca się wokół pozioej osi z prędkością kątową 600rad/in. Kulę opuszczono na płaszczyznę pozioą. Po jaki czasie kula zacznie się toczyć bez poślizgu? Obliczyć prędkość toczenia się. Współczynnik tarcia poślizgowego poiędzy walce i płaszczyzną wynosi 0,.

10 5.3. Walec o proieniu r 0c pchnięto z prędkością v 0/s. Po jaki czasie walec zacznie się toczyć bez poślizgu? Obliczyć prędkość toczenia się walca. Współczynnik tarcia poślizgowego poiędzy walce i płaszczyzną wynosi 0, Na szczycie równi pochyłej o kącie nachylenia 30 i wysokości h znajdują się walec i rura o jednakowych asach 0 kg i proieniach r 50c. Oblicz wartość siły tarcia i przyspieszenie każdego z ciał w przypadku, gdy: a) staczają się one bez poślizgu, b) zsuwają się bez tarcia. Jaki jest stosunek ich prędkości na końcu równi, gdy staczały się bez poślizgu? 5.5. Z równi pochyłej o kącie nachylenia 35 stacza się bez poślizgu jednorodny walec oraz cienkościenna rura. Masy i proienie walca oraz rury są takie sae i odpowiednio wynoszą 0,5 kg i r 0c. W jakiej odległości od siebie znajdowały się początkowo ich osie, jeśli po czasie t 3s nastąpiło ich zderzenie? 5.6. Na jednorodny walec o gęstości 4 g/c, proieniu r 5 c i wysokości h 0c działają siły tak, jak to przedstawiono na rysunku. Jakie jest przyspieszenie liniowe i kątowe tego walca? W którą stronę będzie się walec przesuwał, a w którą obracał? Dane: F N, F N, F 3 N, 30. F 3 F r 3 F 5.7. Z jaki przyspieszenie liniowy oraz kątowy porusza się walec o asie 5 kg i proieniu r 50c? Miejsca przyłożenia sił oraz ich kierunek działania pokazuje rysunek. Wartości sił wynoszą: F N, F N, F 3 3 N, F 4 4 N. F 4 F 30 r / r F 3 F 5.8. Czy istnieje siła, która przyłożona w połowie proienia walca z poprzedniego zadania spowoduje, że walec będzie się znajdował w spoczynku? Jaka byłaby wartość takiej siły, kierunek działania, zwrot i punkt przyłożenia?

11 5.9. Na swobodny krążek, oprócz sił przedstawionych na rysunku, działa w punkcie A nieznana siła F A. Wyznaczyć przyspieszenie kątowe krążka, wiedząc, że krążek nie porusza się ruche postępowy. N 3 N N r / 45 N r A 5.0. Na jednorodny walec o proieniu r 0c i asie 00g, osadzony na pozioej osi obrotu przechodzącej przez oś walca, nawinięto nieważką i nierozciągliwą nić, do której przyczepiono ciało o asie 0,5 kg. Obliczyć przyspieszenie kątowe walca oraz siłę naciągu nici. 5.. Koło zaachowe osadzono na wale o proieniu r 0c. Układ ten a względe osi wału oent bezwładności I 0kg. Na wał nawinięto linę, na której zawieszono ciało o asie 5 kg. Pod wpływe własnego ciężaru ciało to zaczyna się poruszać obracając wał. Jaką drogę przebędzie to ciało w czasie t in? 5.. Krążek Maxwella składa się z jednorodnego krążka o proieniu R 0c i asie M 30dkg, osadzonego na osi o proieniu r 5 c i asie 0dkg. Na oś nawinięte są przyczepione do sufitu nici, utrzyujące oś w położeniu pozioy. Z jaki przyspieszenie będzie się poruszał krążek Maxwella? 5.3. Na cienkiej osi, o zaniedbywalnej asie, znajdują się dwa dyski obciążone ciężarkai. Obliczyć przyspieszenie kątowe osi oraz przyspieszenie liniowe każdego z ciężarków. Masy i proienie dysków: M 4 kg, M 6 kg, R 8 c, R 0c. Masy ciężarków: 6 kg, 5 kg. A B A B A B A B A B

12 5.4. Jeden koniec linki został nawinięty na bloczek o proieniu r 5c, a do drugiego przyczepiono ciężarek o asie kg. Jaki jest oent bezwładności bloczka, jeżeli w czasie t 3s od rozpoczęcia ruchu, ciężarek przebył drogę s? r s 5.5. Kołowrót o oencie bezwładności I kg składa się z dwóch krążków o proieniach r 0c oraz r 0 c. Na krążki nawinięto w przeciwnych kierunkach dwie linki, a do ich końców przyczepiono jednakowe odważniki o asach kg. Obliczyć przyspieszenie kątowe kołowrotu oraz naprężenia linek. r r 5.6. Na jednorodny walec o asie 0,5 kg i proieniu r 5c nawinięto nić o długości l 5, której wolny koniec przytwierdzono do sufitu. Walec odkręca się od nici pod wpływe własnego ciężaru. Znaleźć przyspieszenie i siłę naciągu nici oraz prędkość kątowa walca po rozwinięciu się nici Na walec o asie kg nawinięto dwie pary nitek. Jedna z nich, doczepiona do sufitu, podtrzyuje walec w pozioie. Do drugiej pary przyocowano ciężarek o asie M kg. Obliczyć przyspieszenie liniowe krążka. M

13 5.8. Jojo jest zabawką składającą się z dwóch dysków przytwierdzonych centralnie po przeciwnych stronach wspólnej osi. Na osi, poiędzy dyskai, nawinięta jest nić uożliwiająca podtrzyywanie zabawki. Dwie jednakowe takie zabawki połączono tak, jak na rysunku. Obliczyć przyspieszenie, z jaki porusza się każda z nich, jeżeli ich asa wynosi 0g, oent bezwładności I kg, a proień osi r c. a 5.9. Nić, nawiniętą na szpulę o asie i oencie bezwładności I, ciągniey z siłą F skierowaną pod kąte do poziou. W którą stronę i z jaki przyspieszenie porusza się szpula? Ile wynosi siła tarcia szpuli o podłoże? Przy jakiej wartości siły F szpula będzie się ślizgać po stole? Proień zewnętrzny i wewnętrzny szpuli wynosi odpowiednio R i r. Współczynnik tarcia szpuli o podłoże wynosi. F R r a Przez bloczek znajdujący się na rogu stołu przerzucono linkę, której końce zaczepiono do ciężarka o asie 6 kg oraz osi, która przechodzi przez środek kuli o asie M 0kg. Obliczyć przyspieszenie liniowe ciężarka i kuli, jeśli wiadoo, że kula toczy się po stole bez poślizgu. M 5.3. Przez znajdujący się na rogu stołu bloczek o asie 0,7 kg i proieniu r 7 c przerzucono linkę, której końce zaczepiono do ciężarka o asie 3 kg oraz klocka o asie 7 kg. Obliczyć przyspieszenie liniowe układu as, jeśli wiadoo, że współczynnik tarcia iędzy asą, a stołe wynosi 0,. Jaka jest graniczna wartość współczynnika, powyżej której układ przestanie się swobodnie przeieszczać?

14 5.3. Deska o asie M i długości l 3 oże się obracać swobodnie wokół osi przechodzącej przez jej górny koniec. Pocisk o asie M, lecąc pozioo z prędkością v, uderza w deskę i pozostaje w niej. W jakiej odległości d od osi obrotu powinien uderzyć pocisk, aby w oencie jego uderzenia w deskę, na jej zawieszenie nie zadziałała siła reakcji? l d v Student o asie 75kg wskakuje z prędkością v s 3 /s na koniec wąskiej deski o asie 75kg i długości l 5, prostopadle do jej długości. Jaka będzie prędkość ruchu postępowego oraz obrotowego, z jakii deska wraz ze studente będzie się poruszała? Poiędzy deską i podłoże nie występują siły tarcia Ciało o asie kg zsuwa się bez tarcia z wysokości h 0c i uderza w pręt o asie M 5 kg i długości l 50c, przyklejając się do niego. Obliczyć kąt, o jaki obróci się pręt wokół punktu zaocowania w wyniku tego zderzenia. M,l h Obliczyć oent bezwładności jednorodnego pręta o długości l i gęstości liniowej względe osi do niego prostopadłej i przechodzącej w odległości a od jednego z jego końców. Obliczyć również oent bezwładności tego pręta względe osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek asy. Sprawdzić twierdzenie Steinera. a 0 x O S Obliczyć oent bezwładności względe osi syetrii prostopadłej do jednorodnej tarczy stalowej o średnicy D 0c i asie 50g, w której centralnie wycięto otwór o średnicy d c.

15 5.37. Jaki jest oent bezwładności prostokątnej płytki o asie i bokach a 0c i b 30c względe osi: a) prostopadłej do płaszczyzny płytki i przechodzącej przez punkt: A, B lub C, b) równoległej do boku a i przechodzącej przez punkt A lub C? a Obliczyć oent bezwładności bryły o asie 5g i wyiarach: h, c, h 3,5 c, d 3,0 c i d,5 c, względe osi pokrywającej się z jego osia syetrii. d b A B C h h Obliczyć oent bezwładności wahadła rewersyjnego względe osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez punkt zawieszenia wahadła. Wahadło składa się z pręta o asie 0,5 kg, proieniu r 0,5 c i długości l,5 oraz dwóch identycznych soczewek w kształcie walców o asie M kg, proieniu R 0c i wysokości H c każda. Pręt zawieszony jest w /5 swojej długości. Jedna soczewka znajduje się w odległości x 0 c ponad punkte zawieszenia pręta, a druga w odległości x 70 c poniżej tego punktu. d r x x l Na dwóch sworzniach zawieszony jest pozioo drążek o długości l 0,8 i asie 0,4 kg. W pewnej chwili jeden ze sworzni uległ zerwaniu i drążek zaczął obracać się wokół drugiego sworznia. Obliczyć początkowe przyspieszenie kątowe drążka. H M R l 5.4. Na dwóch sworzniach zawieszona jest etalowa płyta o wysokości h 0,4, szerokości l 0,8 i asie 4 kg. W pewnej chwili jeden ze sworzni uległ zerwaniu i płyta zaczęła obracać się wokół drugiego sworznia. Obliczyć początkowe przyspieszenie kątowe płyty. h l

16 5.4. Wypadkowa trzech sił działających na punkt P jest równa zeru. Wyznaczyć wartość i kierunek siłyf 3, jeżeli siła F 00 N jest pozioa i skierowana w prawo, a pionowa siła F 00 N skierowana jest w dół Lina o długości l leży na stole częściowo zwisając. Przy jakiej długości h zwisającego odcinka, lina nie ześlizgnie się ze stołu? Współczynnik tarcia liny o stół wynosi? Klocek o asie 5 kg znajduje się na równi o kącie nachylenia 60. Jaką siłą prostopadłą do równi należy go przycisnąć, aby pozostawał w spoczynku? Współczynnik tarcia poiędzy równią a klockie wynosi 0, Jaki nacisk wywierają na podłoże poszczególne koła saochodu o asie M 00kg, jeżeli odległość poiędzy osiai wynosi l 3, a środek asy saochodu znajduje się na jego osi podłużnej w odległości x, za osią przednią? Aby wyciągnąć saochód, który ugrzązł w zaspie śnieżnej, kierowca przewiązał linę o długości l 0,5 poiędzy saochode, a odległy o d 0 przydrożny drzewe. Jaka siła działała na saochód, kiedy kierowca uchwycił linę w połowie jej długości i naprężył w kierunku prostopadły do linii saochód - drzewo z siłą F 500N? S d D F Ciężar o asie 50kg zawieszono na dwóch linach tworzących z pozioe kąty 30 i 45. Wyznaczyć siły naprężające liny Obliczyć inialną i aksyalną wartość asy, aby układ pokazany na rysunku pozostawał nieruchoy. Równia o kącie nachylenia przyocowana jest do podłoża. Współczynnik tarcia iędzy ciałe o asie M, a powierzchnią równi wynosi. M Ciężarek zważono na wadze o niejednakowej długości raion. Gdy spoczywał on na pierwszej szalce, ciężar odważników na drugiej wynosił Q, N. Po przełożeniu ciężarka na drugą szalkę, na szalkę pierwszą trzeba było położyć odważniki o ciężarze Q,7 N, aby szalki pozostały w równowadze. Jaka jest asa ciężarka oraz które z raion wagi jest dłuższe?

17 5.50. Dwóch robotników niesie pozioo drewnianą belkę o asie 50kgi długości l 5. Jeden z nich trzya za koniec belki, a drugi podtrzyuje ją w odległości d 0,5 od przeciwległego końca. Z jaką siłą działa na belkę każdy z robotników? Czy naciski te zienią się, jeśli nachylenie belki w trakcie przenoszenie będzie wynosiło 0? 5.5. Belka o asie M 0 kg i długości l spoczywa na dwóch podporach. Na belce, w odległości x od jednej z podpór, znajduje się ciężar o asie kg. Jak zależy nacisk wywierany na poszczególne podpory od odległości x? Rozwiązanie przedstawić na wykresie. x l M 5.5. Jednorodna belka o długości l 00c jest podparta w odległości x 35c od lewego końca. Aby belka była w równowadze, należy obciążać ją dodatkowy ciężarkie o asie 7 kg w odległości d 5c od jej lewego końca. Jaka jest asa belki? Ciężar o asie kg został zawieszony na 3-etrowej belce o asie M 5 kg. Belka zaocowana jest na dwóch podporach tak, jak to przedstawiono na rysunku. Jakie siły wywierają te podpory na belkę? M Na dwóch podporach leży deska o asie 5 kg i długości l 5. Jaki aksyalny ciężar ożna położyć w odległości x 0 x l od lewego krańca deski, aby nie zaczęła się ona obracać? Belka nie oże ulec wykrzywieniu ani złaaniu. x Jaki aksyalny ciężar ożna położyć na desce z poprzedniego zadania, aby znajdowała się ona w równowadze, niezależnie od iejsca gdzie znajduje się ten ciężar? Jak zienia się nacisk na każdą z podpór, w zależności od położenia tego ciężaru? Gdzie należy położyć ciężar, aby naciski na obie podpory były jednakowe? Belka o asie 5 kg spoczywa na dwóch podporach. Na jedny z jej końców znajduje się ciężar o asie M 0kg. Jaki inialny i jaki aksyalny ciężar położony na drugi z końców belki nie spowoduje zachwiania równowagi? Jakie będą wówczas naciski na podpory?

18 5.57. Na końcach jednorodnego pręta o asie 0,5 kg i długości l znajdują się asy kg i 5 kg. Jaka powinna być wartość i punkt przyłożenia dodatkowej siły F, aby pręt znajdował się w równowadze? Na końce belki o asie 0kg i długości l 4 działają pionowe siły F 0 N i F 0N. W który punkcie należy przyłożyć dodatkową siłę i jaka powinna być jej wartość, aby belka pozostawała w spoczynku i była nachylona pod kate 30 do poziou? Na pręt działają dwie siły o tych saych kierunkach, przeciwnych zwrotach i wartościach F 0N oraz F 5 N. Siły te przyłożone są w punktach odległych od siebie o x 50 c. Jaka powinna być wartość i punkt przyłożenia dodatkowej siły F, aby pręt znajdował się w równowadze? Jak wynik zadania zależy od kąta, jaki tworzą siły F i F z pręte? Masę pręta zaniedbać Deska leży na platforie tak, że jeden z jej końców wystaje poza platforę. Długość tego wystającego końca jest równa /4 całkowitej długości deski. Gdy do wystającego końca deski przyłożono siłę F 000N, deska zaczęła się przechylać. Jaka jest asa deski? 5.6. W rogach prostokątnej płyty o bokach a 50c i b 0c oraz asie 5 kg znajdują się cztery kule o asach: kg, kg, 3 3 kg i 4 4 kg. Środki kul znajdują się dokładnie w rogach płyty. W jaki punkcie należy podeprzeć płytę, aby znajdowała się ona w równowadze? b 4 a Metalowy drążek o asie M 0,5 kg i długości l został zawieszony pozioo na dwóch równoległych, pionowych dynaoetrach sprężynowych. Do drążka podwieszony jest ciężarek o asie 0, kg, w odległości a 0,5 od środka drążka. Ile wynoszą wskazania oraz współczynniki sprężystości każdego z dynaoetrów, jeżeli ich sprężyny wydłużyły się o x 0c? Metalowy drążek został zawieszony na dwóch równoległych, pionowych sprężynach o jednakowej długości. Współczynniki sprężystości tych sprężyn wynoszą k 0, N/ oraz k 0,4 N/, a odległość poiędzy nii wynosi l. W jaki iejscu drążka należy zawiesić dodatkowy ciężar, aby pozostał on pozioy? Jeden koniec belki o asie 5 kg zawieszony jest na przegubie do ściany. Drugi koniec belki podtrzyuje lina tak, że kąt poiędzy liną a ścianą wynosi 30. Z jaką siłą i jak skierowaną, działa na przegub belka, jeżeli środek asy belki znajduje się w /3 jej długości?

19 5.65. Kula o asie 0 kg została zawieszona na linkach tak, jak to przedstawiono na rysunku. Obliczyć naprężenia poszczególnych linek. 60 T 3 T T Do sufitu przyocowany jest na zawiasie pręt o asie kg i długości l. Na końcu pręta znajduje się dodatkowy ciężarek o asie M kg. Pręt jest utrzyywany w położeniu odchylony od poziou o kąt 30 za poocą linki zorientowanej pionowo poiędzy końce pręta a sufite. Jakie jest naprężenie linki oraz jaka siła wywierana jest na zawias? l M Pręt o długości l i asie jest przytknięty lewy końce do ściany i utrzyywany w pozycji pozioej przez linkę przyocowaną do jego prawego końca. Jaka jest inialna wartość współczynnika tarcia poiędzy ścianą i pręte, przy której pręt pozostanie w spoczynku? W jakiej odległości x od lewego krańca pręta ożna wówczas zaocować dodatkowy ciężarek, aby niezależnie od jego asy pręt pozostawał w równowadze? Linka podtrzyująca pręt tworzy ze ścianą kąt 60. x l Blok o asie M 50kg zawieszony jest na końcu belki o asie 0kg i długości l 5. Drugi koniec belki zaocowany jest przegubowo do ściany w punkcie Q. Dodatkowo, belka jest podtrzyywana w połowie swojej długości przy poocy pozioej liny, tworzącej z belką kąt 30. Znaleźć naprężenie liny oraz siły działające na przegub wzdłuż oraz prostopadle do ściany. W jaki punkcie ściany P należałoby zawiesić linę i jaką iałaby ona długość, aby jej naprężenie było inialne, przy niezieniony położeniu belki? Ile wynosiłoby to naprężenie? P F N Q F S M

20 5.69. Jednorodny pręt o asie 0kgi długości l przyocowany jest do uru na przegubie. Do drugiego końca pręta przywiązano, przerzuconą przez ur i bloczek linkę, na końcu której znajduje się ciężarek asie M. Jaka powinna być asa ciężarka, aby układ znajdował się w równowadze, a pręt tworzył kąt 60 z pozioe? Jak zieni się energia potencjalna układu, jeżeli ciężarek przesunie się w górę lub w dół na odległość h 0c? W jaki rodzaju równowagi znajduje się układ? Odległość od przegubu do szczytu uru równa jest długości pręta. M Nieważka i nierozciągliwa linka o długości l zaocowana jest do sufitu w punkcie A oraz przerzucona przez bloczek zaocowany w punkcie B. Odległość iędzy punktai A i B wynosi b. Do swobodnego końca linki przyocowano ciężarek o asie. Identyczny ciężarek zawieszono na lince przy poocy swobodnego, nieważkiego bloczka, tak jak to pokazano na rysunku. Jak zależy energia potencjalna układu od odległości y? Ile powinna wynosić ta odległość, aby układ znajdował się w równowadze? Jaki to rodzaj równowagi? A B y a 5.7. Pręt o długości l i asie utrzyywany jest w pozycji pionowej przez linkę przyocowaną do jego górnego końca oraz przez przyłożoną na wysokości h i prostopadłą do pręta siłę F. Jaka jest inialna wysokość h, przy której dowolnie duża wartość siły F nie spowoduje wytrącenia pręta z położenia równowagi? Kąt iędzy linką, a podłoże 60. Współczynnik tarcia poiędzy pręte, a podłoże 0, 4. F 5.7. Drzwi o szerokości d 85c, wysokości h 05c i asie 5kg zawieszone są na zawiasach znajdujących się w odległości x 5c od ich górnej i dolnej krawędzi. Jakie są pionowe i pozioe składowe sił działających na zawiasy? Przyjąć, że wartości sił działających na oba zawiasy są takie sae.

21 5.73. Na stole stoi klocek o asie 0,5 kg, wysokości h 30c, długości d 0c i szerokości l 5 c. Na klocek działa siła F przyłożona na wysokości y i w połowie jego szerokości. Współczynnik tarcia klocka o podłoże 0, 5. Jak zależy wartość siły potrzebnej do poruszenia klocka od wysokości, na jakiej ta siła działa? Kiedy będzie to obrót, a kiedy przesunięcie? Rozwiązanie przedstaw na wykresie. d F y h Szafka o wysokości h, głębokości d 0,60 i asie 5kg stoi na czterech nóżkach. Po przyłożeniu z przodu szafki siły F w połowie jej szerokości i na wysokości H 0,75, szafka porusza się ruche jednostajny. Jaka jest wartość siły przyłożonej do szafki oraz jaka siła działa na każdą z czterech nóżek? Współczynnik tarcia poiędzy nóżkai i podłogą 0, Drabina o asie opiera się o idealnie gładką ścianę. Środek ciężkości drabiny znajduje się w połowie jej długości. Znaleźć graniczy kąt oparcia drabiny o podłogę, przy który drabina się osunie. Współczynnik tarcia drabiny o podłogę 0, O ścianę oparto drabinę o asie 0kg. Środek ciężkości drabiny znajduje się w odległości /3 jej długości od dolnego końca. Jaką pozioą siłę F należy przyłożyć do środka drabiny, aby jej górny koniec nie wywierał nacisku na ścianę? Kąt poiędzy drabiną a podłoże Strażak o asie M 75kg a wejść na drabinę o asie 45kg i długości l, której wierzchołek znajduje się h 9,3 nad zieią, a środek asy jest w /3 jej długości od podstawy. Jak daleko oże wejść bezpiecznie strażak na drabinę, jeżeli współczynnik tarcia poiędzy podłoże i drabiną 0, 53? Ile usiałby wynosić współczynnik tarcia, aby drabina nie osunęła się po wejściu strażaka na jej szczyt? Na gładkiej, pionowej ścianie, na sznurze o długości l, zawieszona jest etalowa kula o proieniu r 5 c. Jaki nacisk kula wywiera na ścianę oraz jakie jest naprężenie sznura? Gęstość stali wynosi kg/.

22 5.79. Na ścianie, na sznurze o długości l, zawieszona jest etalowa kula o proieniu r 5 c. Jaka jest wartość współczynnika tarcia poiędzy ścianą i kulą, jeżeli punkt zaczepienia kuli do sznura 3 znajduje się dokładnie ponad jej środkie? Gęstość stali wynosi 7700 kg/ Pusta beczka o asie 0kg i proieniu r 0,5 wciągana jest ruche jednostajny na równię o kącie nachylenia 30 przy poocy przywiązanej do niej linki. Na jakiej wysokości nad równią znajduje się linka, jeżeli jest do niej równoległa? Współczynnik tarcia poiędzy beczką, a równią 0, 5. F 5.8. Z jaką pozioą siłą siłą należy działać na oś koła o proieniu r i asie, aby wciągnąć je na stopień o wysokości h? W jakich granicach usi zawierać się h w stosunku do r, aby było to ożliwe? F 5.8. Walec o asie 00kg i proieniu r 0c trzeba wciągnąć na stopień o wysokości h 0c. Jaką inialną, zorientowaną pozioo siłę należy przyłożyć do walca, aby go unieść? Zadanie rozwiązać dla czterech różnych punktów zaczepienia tej siły: A, B, C oraz D. Pod jaki kąte należy przyłożyć siłę w punkcie B, aby unieść walec z jak najniejszą siłą? Jaka jest wartość tej siły? D A B C W sytuacjach przedstawionych na rysunkach, znajdująca się na równi beczka utrzyywana jest w stanie równowagi za poocą przywiązanego do niej sznura. Ile wynosi inialna wartość współczynnika tarcia poiędzy beczką, a podłoże, aby ogła ona znajdować się w stanie równowagi? Nachylenie równi 30. (a) (b) Na równię nachyloną do poziou pod kąte położono skrzynkę o asie 0.5kg, wysokości h 30c, długości d 5c i szerokości l 5 c. Współczynnik tarcia poiędzy skrzynią i podłoże 0, 3. Opisać zachowanie się skrzyni w zależności od kąta Na szczycie sferycznej czaszy o proieniu r spoczywa jednorodny sześcian o boku a. Co się stanie, jeśli sześcian wychyliy z tego położenia o ały kąt? Współczynnik tarcia poiędzy czaszą, a sześciane jest na tyle duży, że przeciwdziała zsuwaniu się sześcianu.