I.Firmaprodukujedwawyroby W 1 i W 2 zdwóchsurowców S 1 i S 2.Firma chce zaplanować produkcjȩ tak aby osi agn ać jak najwiȩkszy zysk.

Transkrypt

1 Wykład 1 Badania operacyjne- zastosowanie naukowych metod do rozwiązywania problemów zarządzania w celu wspomagania menedżerów w podejmowanie lepszych decyzji. I. Obserwaja II. Sformułowanie problemu III. Konstrukcja modelu IV. Rozwiązanie modelu V. Analiza i implementacja rozwiązania Przykład: I.Firmaprodukujedwawyroby W 1 i W 2 zdwóchsurowców S 1 i S 2.Firma chce zaplanować produkcjȩ tak aby osi agn ać jak najwiȩkszy zysk. II. Zgromadzono nastȩpuj ace dane: 1sztuka W 1 zużywa2kg S 1 i1kg S 2. 1sztuka W 2 zużywa1kg S 1 i1kg S 2. Zapas S 1 wynosi100kgazapas S 2 wynosi80kg. Zyskz1sztuki W 1 wynosi3złazyskz1sztuki W 2 wynosi2zł. Popytna W 1 wynosi40szt.apopytna W 2 jestnieograniczony. III.Definiujemyzmiennedecyzyjne x 1 -ilośćprodukowanychszt. W 1, x 2 -ilość produkowanychszt. W 2.Modelmatematycznymanast apuj apostać: maxz = 3x 1 +2x 2 [Maksymalizacjazysku] 2x 1 +x [Zużyciesurowca S 1 ] x 1 +x 2 80 [Zużyciesurowca S 2 ] x 1 40 [Popytna W 1 ] x 1 0 x 2 0 Chcemy wiȩc znaleźć plan produkcji maksymalizuj acy zysk przy posiadanych zasobach(ograniczeniach). 1

2 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 2 IV. Stosujemy pewien algorytm(poznany w dalszej czȩści wykładu) aby rozwi azaćmodel.otrzymujemy: x 1 = 20, x 2 = 60czylinależyprodukować20 szt.wyrobu W 1 i60szt.wyrobu W 2. Model matematyczny: max(min)z = f(x 1,...,x n ) [Funkcjacelu] g 1 (x 1,...,x n ) (,=)b 1 [Ograniczenie1]... g m (x 1,...,x n ) (,=)b m [Ograniczenie m] Zmienne x 1,...,x n nazywamyzmiennymidecyzyjnymi.rozwi azaniespełniaj ace wszystkie ograniczenia nazywamy rozwi azaniem dopuszczalnym. Rozwi azanie dopuszczalne dla którego wartość funkcji celu jest najwiȩksza(najmniejsza) nazywamy rozwi azaniem optymalnym. Funkcjȩpostacih(x 1,...,x n ) = a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n nazywamyfunkcj aliniow a. Modelwktórymwszystkiefunkcje f,g 1,...,g m s aliniowenazywamymodelem liniowym lub zadaniem programowania liniowego. Model liniowy ma wiȩc postać: max(min)z = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n [Funkcjacelu] a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n (,=)b 1 [Ograniczenie1]... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n (,=)b m [Ograniczenie m] x 1 0,...,x r 0, r n [Ograniczenianaznak] Specjanymi, wyróżnionymi ograniczeniami liniowymi s a ograniczenia na znak postaci x i 0. Przykłady modeli liniowych 1. Problem ustalania diety. Pan X chce zestawić deser z czterech dań: tortu, kremu czekoladowego, coli i ciastek. Każde danie zawiera pewn a ilość kalorii, czekolady, cukru i tłuszczu(w odpowiednich jednostkach). Ilości te podane s a w poniższej tabeli. Kalorie Czekolada Cukier Tłuszcz Cena Tort(1 porcja) zł Krem(1 porcja) zł Cola(1 butelka) zł Ciastko(1 szt.) zł Pan X musi zjeść posiłek zawieraj acy co najmniej: 500 kalorii, 6 jednostek czekolady, 10 dkg cukru i 8 dkg tłuszczu. Chce przy tym zminimalizować koszt posiłku. Zmienne decyzyjne:

3 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 3 x 1 -ilośćporcjitortu. x 2 -ilośćporcjikremu. x 3 -ilośćbutelekcoli. x 4 -ilośćsztukciastek. Model: minz = 5x 1 +2x 2 +3x 3 +8x 4 [Minimalizacjakosztu] 400x x x x [Kalorie] 3x 1 +2x 2 6 [Czekolada] 2x 1 +2x 2 +4x 3 +4x 4 10 [Cukier] 2x 1 +4x 2 +x 3 +5x 4 8 [Tłuszcz] x i 0, i = 1,...,4 [Ograniczenianaznak] Po rozwi azaniu modelu otrzymujemy optymaln a dietȩ: 3 porcje kremu i 1butelkȩcoli(x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 1, x 4 = 0). 2. Model procesu produkcyjnego Korporacja Rylon wytwarza cztery rodzaje perfum: Brute, Chanelle, Super Brute i Super Chanelle. Proces produkcji wygl ada nastȩpuj aco: Materiał -3$/szt. Brute 7$/jedn. Chanelle 6$/jedn. sprzedaż sprzedaż Super Brute 14$/jedn. Super Chanelle 10$/jedn. sprzedaż sprzedaż z1szt.materiałuwytwarzanes awci agu1godziny3jedn.brutei4 jedn. Chanelle. 1jedn.Brutejestprzetwarzanawci agu3godzinw1jedn.super Brute. 1jedn.Chanellejestprzetwarzanawci agu2godzinw1jedn.super Chanelle. Można zakupić do 4000 szt. materiału i wykorzystać do 6000 h. pracy. Należy opracowć plan produkcji maksymalizuj acy zysk. Zmienne decyzyjne: x 1 -liczbasprzedanychjedn.brute. x 2 -liczbasprzedanychjedn.superbrute.

4 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 4 x 3 -liczbasprzedanychjedn.chanelle. x 4 -liczbasprzedanychjedn.superchanelle. x 5 -liczbazakupionychszt.materiału. Model: maxz = 7x 1 +14x 2 +6x 3 +10x 4 3x 5 [Maksymalizacjazysku] x 1 +x 2 3x 5 = 0 [ProdukcjaBruteiSuperBrute] x 3 +x 4 4x 5 = 0 [ProdukcjaChanelleiSuperChanelle] x [Limitmateriału] 3x 2 +2x 4 +x [Limitpracy] x i 0, i = 1,...,5 [Ograniczenianaznak] Po rozwi azaniu modelu otrzymujemy optymalny plan produkcji: jedn.brute, jedn.superbrutei16000jedn.chanelle(x 1 = , x 2 = , x 3 = 16000, x 4 = 0, x 5 = 4000).Zyskwynosi $. 3. Model zapasów. Firma X produkuje pewien wyrób w ci agu 4 kwartałów. Firma chce zminimalizować koszty i zaspokoić popyt. Odpowiednie dane przedstawione s a w poniższej tabeli: KWI KWII KWIII KWIV Popyt(szt.) Zdolność produkcyjna(szt.) Koszt wytworzenia($/szt.) Koszt magazynowania($/szt.) Na początku pierwszego i na końcu czwartego kwartału firma nie ma zapasów wyrobu. Zmienne decyzyjne: x i -produkcjawi-tymkwartale, i = 1,...4. m i -zapasywi-tymkwartale,,i = 1, m 1 m 2 m x 1 x 2 x 3 3 x 4

5 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 5 Model: minz = 55x 1 +50x 2 +50x 3 +55x 4 +2m 1 +2m 2 +3m 3 [Min.kosztu] x 1 m 1 = 30 [BilanswIkw.] m 1 +x 2 m 2 = 60 [BilanswIIkw.] m 2 +x 3 m 3 = 75 [BilanswIIIkw.] m 3 +x 4 = 25 [BilanswIVkw.] x i 60, i = 1,...4 [Zd.produkcyjne] x i 0, m i 0, i = 1,...,4 [Ograniczenianaznak] Porozwi azaniumodeluotrzymujemy: x 1 = 45, x 2 = 60, x 3 = 60, x 4 = 25, m 1 = 15, m 2 = 15, m 3 = Model inwestycji finansowych. Korporacja Finco Ivestment chce zainwestować kwotȩ $ w piȩć inwestycji A,B,C,D,E. Okres inwestycji trwa trzy lata. Odpowiednie przepływy finansowe podane s a w poniższej tabeli: A -1$ +0.5$ +1$ - B - -1$ +0.5$ 1$ C -1$ +1.2$ - - D -1$ $ E $ +1.5$ NaprzykładinwestycjaAjestdostępnawchwili0,wchwili1(tj.poroku) otrzymujemy0.5$awchwili2(tj.podwóchlatach)otrzymujemy1$za każdy zainwestowany 1$ w A. Korporacja trzyma niezainwestowane pieniądzewbankuna8%wskaliroku.ponadtoniechceinwestowaćwżadną inwestycję więcej niż $. Jak zainwestować posiadaną gotówkę aby zmaksymalizować ilość gotówki na koniec trzeciego roku. Zmienne decyzyjne: x A,x B,x C,x D,x E -kwotyulokowanewodpowiednieinwestycje. y 0,y 1,y 2 -kwotypozostaj acewbankuwchwilach0,1i2. Model: maxz = x B +1.9x D +1.5x E +1.08y 2 [Max.gotówkiwchwili3] x A +x C +x D +y 0 = [Bilanswchwili0] 0.5x A +1.2x C +1.08y 0 x B y 1 = 0 [Bilanswchwili1] x A +0.5x B +1.08y 1 x E y 2 = 0 [Bilanswchwili2] x A,x B,x C,x D,x E [Limitinwestycji] x A,...,x E,y 0,y 1,y 2 0 [Ograniczenianaznak]

6 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 6 Rozwi azanie:należyinwestowaćwa-60000$,b-30000$,d-40000$ ie-75000$.wbankunienależytrzymaćgotówki(y 0 = y 1 = y 2 = 0). Gotówka w chwili 3 tj. na koniec trzeciego roku wyniesie $. 5. Wybór asortymentu produkcji- fabryka mebli. Fabryka mebli produkuje sofy, stoły i krzesła. Do ich produkcji potrzebne są między innymi trzy limitowane zasoby: drewno, obicie i praca(inne zasoby nie są limitowane). Ilości zasobu na każdy produkt oraz ich tygodniowe limity podano w tabeli: Mebel Drewno(m 3 ) Obicie(m 2 ) Praca(godz.) Zysk(zł.) Sofa Stół Krzesło Limit tygodniowy Produkcję planuje się na okres jednego tygodnia a cała wyprodukowana partia musi być przechowana w magazynie o pojemności 650 mebli. Fabryka chce wiedzieć ile sztuk każdego typu mebli produkować aby zmaksymalizować zysk. 6. Optymalny plan produkcji przy minimalnych nakładach- połączenie firm SFF i SOFOR. Dwa przedsiębiorstwa SFF i SOFOR produkujace resory typu RS(dla pociągów) i typu RL(dla samochodów) postanowiły się połączyć(dotąd konkurowały ze sobą). W obu przedsiębiorstwach robotnicy pracujprzez20dniwmiesicu-wsff250osóbiwsofor200osób. Przedsiębiorstwa te mają różną wydajność: w SFF produkuje się dziennie 1 resorrslub4resoryrlnaosobęawsoforjednaosobamożedziennie wyprodukować 2 resory RS lub 1 resor RL. W przedsiębiorstwie SFF robotnikotrzymuje25frzagodz.pracyprzyresorachrsi20frzagodz. pracy przy resorach RL. W przedsiębiorstwie SOFOR stawki s inne: 35 FR zagodz.pracyprzyresorachrsi30frzagodzinępracyprzyresorach RL. W obu przedsiębiorstwach robotnicy pracują przez 8 godz. dziennie. Polityka płacowa nie ulega zmianie po połączeniu się przedsiębiorstw. Celem połczonych przedsiębiorstw jest produkcja 300 resorów RS i 500 resorów RL dziennie. Opracować taki plan produkcji, przy którym zrealizowany zostanie cel połaczonych przedsiębiorstw przy minimalnych nakładach na płace robotników. 7. CASE- Ochrona środowiska. Rafineria wytwarza pewien produkt podstawowy, używajc dwóch surowców A i B. Wyrodukowanie 1 kg tego produktu wymaga1kgsurowcaai2kgsurowcab.stosowanyproceschemiczny dajewwyniku1kgproduktupodstawowego,1kgodpadówpłynnych11 kg odpadów stałych. Odpady stałe oddawane są fabryce nawozów bezpłatnie, w zamian za zabranie tych odpadów. Odpady płynne nie mają żadnej wartości rynkowej i rafineria dotychczas wylewała je bezpośrednio do rzeki. Ostatni wprowadzono zarządzenia rządowe zabraniające wylewania odpadów płynnych do rzeki. W rafinerii stworzono zatem grupę roboczą, która przedstawiła następujący zestaw różnych możliwości poradzenia sobie z płynnymi odpadami:

7 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 7 (a) Produkcja drugorzędnego produktu K powstałego poprzez dodanie 1 kg surowcaado1kgodpadówpłynnych. (b) Produkcja drugorzędnego produktu M powstałego poprzez dodanie 1 kg surowcabdo1kgodpadówpłynnych. (c) Specjalne przetworzenie odpadów płynnych tak, że będą one spełniały pewnewymogiibędąmogłybyćwprowadzonedorzeki. Kierownictwo rafinerii zdaje sobie sprawę, że produkty drugorzędne będąmiałyniskąjakośćinieprzyniosąwielezysku.wierównież,żespecjalne przetworzenie odpadów jest drogą operacją. Problem polega na tym, jak zmaksymalizować zysk, spełniając wymogi ochrony środowiska. Kierownictwo rafinerii chce wiedzieć, ile ma produkować produktupodstawowego,ile(iczywogóle)produktówkim, ile odpadów(jeśli w ogóle) ma poddać specjalnemu przetworzeniu przed wylaniem do rzeki. W poprzednim miesiącu wyprodukowano kg produktu podstawowego(nie produkowano niczego innego). Księgowość dostarczyła następujcych danych o kosztach zmiennych: surowiec A: zł.; surowiec B: zł.; siła robocza bezpośrednia: 5000 zł. Koszty bezpośrednie siły roboczej produktów drugorzędnych szacuje się na 0.2 zł. dla1kgproduktuki0.1zł.dlajednegokgproduktum.cenarynkowa 1 kg produktu podstawowego wynosi 5.7 zł. Produkty drugorzędne K i M możnasprzedaćodpowiednioza0.85zł.zakgi0.65zł.zakg.przetworzenie 1 kg odpadów płynnych kosztować będzie 0.25 zł. W najbliższym okresie rafineria będzie miała do dyspozycji maksymalnie 5000 kg surowca A i 7000 kg surowca B.

8 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 8 Metoda graficzna dla programowania liniowego. Metodę graficzn a można stosować w przypadku gdy liczba zmiennych decyzyjnych jest nie wiȩksza niż trzy. 1. Przykład 1. Rozwiąż problem: 100 x (20,60) maxz = 3x 1 +2x 2 2x 1 +x x 1 +x 2 80 x 1 40 x 1 0 x z=60 z= z=0 x 1 Krok 1 Rysujemy na płaszczyznie zbiór ograniczeń. Krok2Rysujemyfunkcjecelunp:dla z = 0iprzesuwamyj arównolegledo góry(w dół dla problemu minimalizacji) dopóki przecina ona zbiór dopuszczalnych rozwi azań. Maksymalnie przsuniȩta funkcja celu wyznacza optymalne rozwi azanie. Optymalnerozwi azanie: x 1 = 20, x 2 = 60, z = 180.Jesttojedyneoptymalne rozwi azanie! 2. Przykład 2. Rozwi azać problem:

9 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne (0,80) x 2 z=160 (20,60) maxz = 2x 1 +2x 2 2x 1 +x x 1 +x 2 80 x 1 40 x 1 0 x z= z=0 x 1 Problem posiada nieskończenie wiele rozwi azań optymalnych na odcinku ł acz acym punkty(0,80) i(20,60). 3. Przykład 3. Rozwi azać problem: x z=320 maxz = 2x 1 +2x 2 2x 1 x 2 40 x 2 20 x 1 0 x z= z=0 x 1 Problem nie posiada rozwi azania optymalnego. Funkcja celu może przyjmować dowolnie duż a wartość.

10 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne Przykład 4. Rozwi azać problem: x 2 60 maxz = 3x 1 +2x 2 60x 1 +40x x 1 30 x x 1 Zbiór ograniczeń jst sprzeczny. Nie ma rozwi azania dopuszczalnego(i optymalnego).

11 dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej Badania Operacyjne 11 Obserwacje 1. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest wypukły. Zbiór D nazywamy zbiorem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy odcinek łączący dwa dowolne jego punkty x (1),x (2) DjestzawartywD. 2. Wierzchołków w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych jest tylko skończenie wiele.punkt x Dnazywamywierzchołkiemzbioru Dwtedyitylkowtedy, gdynieistniejątakiedwapunkty x (1),x (2) D,różneod x,żedla 0 < λ < 1 : x = λx (1) + (1 λ)x (2).Inaczejpunkt xnieleżywewnątrzodcinka łączącego dwa inne punkty zbioru D. 3. Możliwy jest dokładnie jeden z czterech przypadków: Istnieje dokładnie jedno rozwi azanie optymalne. Istnieje nieskończenie wiele rozwi azań optymalnych na pewnym odcinku(zbiór rozwiązań optymalnych jest też wypukły). Funkcja celu jest nieograniczona. Zbiór ograniczeń jest sprzeczny- nie ma rozwi azania dopuszczalnego. 4. Jeżeli istnieje rozwi azanie optymalne to istnieje ono w pewnym wierzchołku(nazywanym również punktem ekstremalnym) zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Jeżeli kilka wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych reprezentuje rozwiązanie optymalne, to każdy punkt ich wypukłej kombinacji liniowej jest także rozwiązaniem optymalnym. Wypukłą kombinacjąliniowąwierzchołków x 1,x 2,...,x k nazywamykażdypunkt xtaki,że x = λ 1 x 1 +λ 2 x 2 + +λ k x k,gdzie λ 1,...,λ k 0iλ 1 + +λ k = 1.