SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. x2 = x, dlatego 4 = 2, nigdy 2. Oś liczbowa. Liczby rzeczywiste

Transkrypt

1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 6 x = x, dlatego 4 =, nigdy π 0 Oś liczbowa. Liczby rzeczywiste π x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY WYMIERNE I RZECZYWISTE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 08 Projekt drugi

2

3 Contents Liczby wymierne i liczby rzeczywiste 5. Oṡ liczbowa U lamki zwyk le Dodawanie u lamkȯw Odejmowanie u lamkȯw Mnożenie u lamkȯw Dzielenie u lamkȯw Zbiór liczb wymiernych Wyrażenia arytmetyczne Wyrażenia algebraiczne Wyrażenie algebraiczne liniowe Rȯwnanie liniowe Nierȯwnoṡci U lamki dziesiȩtne Procenty i promile Procent sk ladany Liczby rzeczywiste Wartość bezwzglȩna Wyrażenia algebraiczne w zbiorze liczb rzeczywistych Ci ag arytmetyczne i szereg arytmetyczny Ci agi geometryczne i postȩpy geometryczne

4 4

5 Chapter Liczby wymierne i liczby rzeczywiste. Oṡ liczbowa Zacznijmy od podsumowania wiedzy o liczbach naturalnych i liczbach ca lkowitych. Niżej podajemy graficzny obraz tych zbiorȯw na osi liczbowej. Zbiȯr liczb naturalnych zaznaczamy na osi liczbowej N = {0,,,,..., n,...} 0 Oś liczbowa, Liczby naturalne x Przypominamy, że w zbiȯr liczb naturalnych jest zamkniȩty ze wzglȩdu na dodawanie i mnożenie. To znaczy, że suma dwȯch liczb natualnych jest liczb a naturaln a Na przyklad n + m = s, n, m N, to s N + 5 = 8,, 5 N, 8 N Podobnie iloczyn dwȯch liczb naturalnych n m = s, n, m N, to s N jest liczb a naturaln a Na przyklad 5 = 5,, 5 N, 5 N 5

6 6 Do lanczaj ac wszystkie liczby ujemne przeciwne do liczba naturalnych otrzymamy zbiȯr liczb ca lkowitych Zbiȯr liczb ca lkowitych zaznaczamy na osi liczbowej C = {..., n,...,,,, 0,,,,...,n,...} x 0 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite Zbiȯr liczb ca lkowitych jest zamkniȩty ze wzglȩdu na dodawanie, odejmowanie i mnożenie. To znaczy, że suma dwȯch liczb ca lkowitych jest liczb a naturaln a Na przyklad n + m = s, n, m C, to s C 0 + ( 5) = 0 5 = 5, Podobnie rȯżnica dwȯch liczb ca lkowitych jest liczb a ca lkowit a Na przyklad 0, 5 N, 5 N n m = s, n, m C, to s C ( 5) = + 5 = 7,, 5 C, 7 C Rȯwnież iloczyn dwȯch liczb ca lkowitych jest liczb a ca lkowit a Na przyklad 0 ( 5) = 50, n m = s, n, m C, to s C 0, 5 C, 50 C Natomiast, iloraz dwȯch liczb ca lkowitych nie musi byċ liczb a ca lkowit a Na przyk lad 5 jest u lamkiem, a nie jest liczb a ca lkowit a. Niżej okreṡlamy liczby wymierne jako zbiȯr wszystkich możliwych u lamkȯw.. U lamki zwyk le Licznik i mianownik u lamka zwyk lego licznik {}}{ 5 8 }{{} mianownik

7 7 U lamki zwyk le,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 W tych u lamkach liczniki s a te same rȯwne. Natomiast mianowniki tych u lamkȯw s a kolejnymi liczbami,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Niżej podane u lamki maj a rȯżne liczniki i rȯżne mianowniki.,, 4 5, 5 6, 7 8, 9 0,, 5, Dodawanie u lamkȯw Dodawanie u lamkȯw o tych samych mianownikach: dodajemy liczniki zostawiamy ten sam mianownik Przyk lad. Dodaj u lamki Przyk lad. Dodaj u lamki + = + = = + + = + + = = = = = + = + = 4 = = = 7 = = = 4 4 = 4 Dodajemy u lamki o rȯżnych mianownikach: należy znaleźċ wspȯlny mienownik, może to byċ najmniesza wspȯlna wielokrotna mianownikȯw Przyk lad. Dodaj u lamki + = = + = = = = = = 7 0 = 59 60

8 8.. Odejmowanie u lamkȯw Odejmowanie u lamkȯw o tych samych mianownikach: odejmujemy liczniki zostawiamy ten sam mianownik Przyk lad.4 Odejmij u lamki Przyk lad.5 Dodaj u lamki Przyk lad.6 Odejmij u lamki = = 0 = = = 4 = = + = 4 = = = 7 = = = 4 4 = = 7 = = = = = 0 Odejmujemy u lamki o rȯżnych mianownikach: należy znaleźċ wspȯlny mienownik, może to byċ najmniesza wspȯlna wielokrotna mianownikȯw Przyk lad.7 Odejmij u lamki 5 9 = 5 = = = = = = = = = =

9 9.. Mnożenie u lamkȯw Operacja mnożenia u lamkȯw jest bardzo prosta. U lamek p q, q 0 mnożymy przez u lamek s, s 0 wed lug schematu: licznik razy licznik, mianownik razy t mianownik p q s t = p s q t, q 0, t 0 Przyk lad.8 Pomnȯż u lamki (a) (b) 4 5 = 4 5 = = 5 5 = Dzielenie u lamkȯw Operacja dzielenia u lamkȯw jest bardzo prosta. U lamek p q, q 0 dzielimy przez u lamek s, s 0 wed lug schematu: licznik razy mianownik, mianownik t razy licznik p q : s t = p t, q, s 0, p, t 0 q s Przyk lad.9 Podziel u lamki (a) (b) : 4 5 = 5 4 = 0 0 : 0 5 = 5 = Zbiór liczb wymiernych Do lanczaj ac do zbioru liczb ca lkowitych wszystkie u lamki otrzymamy zbiȯr liczb wymiernych. U lamki , 7, 4,,,,, 4, 4, 4 5, 7 4, 5,, 9, 6,... nie s a liczbami ca lkowitymi. Ogȯlnie, dla liczb ca lkowitych p i q 0 u lamek p q, nie jest liczb a ca lkowit a, jeżeli q. Dla q = u lamek jest liczb a ca lkowit a. Zbiȯr wszystkich liczb ca lkowitych razem ze zbiȯrem wszystkich możliwych

10 0 u lamkȯw tworz a zbiȯr liczb wymiernych. Zbiȯr liczb wymiernych oznaczamy liter a W i piszemy W = { p q : dla calkowitych liczb p i q 0} Zbiór liczb wymiernych jest zamkniȩty ze wzglȩdu na cztery operacje arytmetyczne dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez liczby różne od zera. To znaczy dla dowolnych liczb wymiernych w, w W wynik czterech operacji jest liczb a wymiern a w + w W, w w W, w w W, Na przyk lad, dla w = W, w = 4 W suma w + w = + 4 = 4 + = jest liczb a wymiern a Dla w = W, w = W rȯżnica w w = = 6 jest liczb a wymiern a Dla iloczyn = 6 6 w = W, w = 4 W w w W, w 0. = 7 = W = 6 = W w w = 4 = 4 = 6 = = W jest liczb a wymiern a Rȯwnież, dla liczb iloraz w = W, w = 4 W w : w = 4 = 4 = 8 9 W jest liczb a wymiern a Zauważmy, że zbiór liczb wymiernych jest wszȩdzie gȩsty. To znaczy pomiȩdzy dwoma różnymi liczbami wymiernymi w, w istnieje dużo innych liczb wymiernych, na prrzyk lad ich średnia arytmetyczna w + w W.

11 Ponadto, zbiór liczb wymiernych W jest najmnieszym zbiorem liczbowym zamkniȩtym ze wzglȩdu na cztery operacje arytmetyczne. Mianowicie, z lóżmy na chwile, że liczba wymierna x nie należy do zbioru W, (x / W). Ponieważ każda liczba wymierna ma postaċ p dla pewnych ca lkowitych p i q 0. To q znaczy, że nie ma liczb wymiernych poza zbiorem W. Liczby wymierne s a reprezentowane jako punkty na osi liczbowej Oś liczbowa. Liczby wymierne x.. Wyrażenia arytmetyczne Przypominamy, że wyrażeniem arytmetycznym nazywamy ci ag liczb, w tym liczb wymiernych, po l aczonych operacjami arytmetycznymi dodawiania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Kolejnoṡċ wykonywanych operacji najpierw mnożenie, potem w kolejnoṡci dzielenie,dodawanie i odejmowanie w wyrażeniach bez nawiasȯw. W wyrażeniach z nawiasami, w pierwszej kolejnoṡci obliczamy wartoṡci w nawiasach. Przyk lady wyrażeṅ arytmetycznych bez nawiasȯw Przyk lad.0 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego + 4 Przyk lad. Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego Przyk lad. Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego Przyk lady wyrażeṅ arytmetycznych z nawiasami Przyk lad. Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego ( )( ) ( + 4 )( ) Przyk lad.4 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego ( )( ) ( )( )

12 Przyk lad.5 Oblicz wartoṡċ wyrażenia arytmetycznego.. Wyrażenia algebraiczne ( 5 5 )( 5 5 ) ( )( ) Oprȯcz wyrażeṅ arytmetycznych, mamy wyrażenia algebraiczne. W wyrażeniach algebraicznych dopuszczamy litery, symbole o zmiennej waroṡci. Zatem, wyrażeniem algebraicznym nazywamy ci ag liczb i liter po l aczonych operacjami arytmetycznymi dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Przyk lad.6 Oblicz wartoṡċ wyrażenia algebraicznego dla wartoṡci a = a a a + a 4 Przyk lad.7 Oblicz wartoṡċ wyrażenia algebraicznego dla wartṡci b = b b b b b b 5 + b 7 b Przyk lad.8 Oblicz wartoṡċ wyrażenia algebraicznego dla wartoṡci c = c c 5 c c c c + c c Przyk lady wyrażeṅ algebraicznych z nawiasami Przyk lad.9 Oblicz wartoṡċ wyrażenia algebraicznego dla a = ( a a )( a ) ( + a 4 )( 4 a + a 4 ) Przyk lad.0 Oblicz wartoṡċ wyrażenia algebraicznego dla b = ( b 5 b b 9 b )( b b b 5 ) ( b b + 7 b )( b b 5 + b 7 b ) Przyk lad. Oblicz wartoṡċ wyrażenia algebraicznego dla c = ( c c 5 c c 5 )( c c 5 c c 5 ) ( c c 4 + c 4 c )( c c 4 + c 4 c ).. Wyrażenie algebraiczne liniowe Wyrażenie algebraicznym a x + b

13 jest liniowe ze wzglȩdu na zmienn a x, gdzie wspȯ lczynniki wyrażenia liniowego a i b maj a ustalon a wartoṡċ. Na przyk lad x +, a =, b = 5 x + 4, a = 5, b = 4 x + a = 5, b = 5 5 x 5 7, a = 5, b = x 57, a = 5, b = 57 Przyk lad. Napisz wyrażenie algebraiczne liniowe o wspȯ lczynnikach (i) a = 5, b = 5 (ii) a = 5, b = 9 (iii) a = 5, b = Rȯwnanie liniowe Rȯwnanie liniowe a x + b = 0 lub każde rȯwnanie, ktȯre można sprowadziċ do tej postaci jest liniowe ze wzglȩdu na niewiadom a x. Liczby a i b nazywamy wspȯ lczynnikami rȯwnania liniowego. Rozwi azaniem rȯwnania liniowego z niewiadom a x jest każda liczba, ktȯra podstawiona w mniesce x, spe lnia to rȯwnanie. Rozwi azanie rȯwnania liniowego otrzymujemy postȩpuj ac wed lug schematu: przenosimy liczby na praw a stronȩ zmieniaj ac ich znak na przeciwny, niewiadom a x zostawiamy na lewej stronie dzielimy lub mnożymy przez wspȯ lczynnik a 0, żeby otrzymaċ wspȯ lczynnik przy zmiennej x. Przyk lady rȯwnaṅ liniowych z rozwi azaniami. x 4 = 0, x =, 4 = 0, a =, b = 4 x + = 0, x =, + = 0, a =, b = x + 5 = 0, x = 5, ( 5 ) + 5 = 0, a =, b = 5

14 4 Przyk lad. Rozwi aż rȯwnanie liniowe x = 0, a =,, b =. Rozwi azanie. Przenosimy liczbȩ na praw a strone, zmieniaj a znak na przeciwny x = : Dzielimy przez wspȯ lczynnik a =, żeby otrzyma x W ten sposȯb znajleżliṡmy rozwi azanie x = Podstawiaj ac do rȯwnania x =, sprawdzamy, że otrzymane rozwi azanie spe lnia to rȯwnanie. Mianowicie dla x =, mamy x = = = 0. Widzimy, że rozwi azanie x = spe lnia to rȯwnanie. Teraz podamy ogȯlny schemat rozwi azania rȯwnania liniowego. a x + b = 0, a 0, a x = b, x = b a, Zadanie. Rozwi aż rȯwnanie (i) x = 0 (ii) 5 x + 0 = 0 (iii) 4 x =..5 Nierȯwnoṡci Zaznacz na osi liczbowej te wrtoṡci x ktȯre s a wiȩksze od zera, nierȯwnoṡċ x > 0 ostra, zero nie jest w l aczona. 0 x Nierȯwnṡċ ostra wartoṡci x > 0 Zaznacz na osi liczbowej te wrtoṡci x, ktȯre s a mniejsze od zera, nierȯwnoṡċ

15 5 x < 0 ostra, zero nie jest w l aczona. 0 x Nierȯwnṡċ ostra wartoṡci x < 0 Zaznacz na osi liczbowej te wrtoṡci x, ktȯre leż a pomiȩdzy liczb a i liczb a, to znaczy < x < nierȯwnoṡċ < x < ostra, i nie s a w l aczone. 0 x Nierȯwnoṡċ ostra wartoṡci < x < Zaznacz na osi liczbowej te wartoṡci x, ktȯre leż a pomiȩdzy liczb a - i liczb a - lub liczb a i liczb a, to znaczy x lub x, nierȯwnoṡci s labe z w l aczeniem liczb,,, 0 x Nierȯwnṡċ s laba x lub x Zadanie. Rozwi aż nierȯwnoṡci (i) x > (ii) 4x 6 0 Zaznacz na osi liczbowej te wartoṡci x dla ktȯrych nierȯwnoṡċ jest prawdziwa. Przyk lad.4 Rozwi aż nierȯwnoṡci (x ) < (x + ) Zaznacz na osi liczbowej te wartoṡci x dla ktȯrych nierȯwnoṡċ jest prawdziwa. Rozwi azanie Wykonujemy mnożenia po lewej i po prawej stronie nierȯwnoṡci x < x +

16 6 Zawsze, przenosimy zmienn a x na lew a stronȩ nierȯwnoṡci ze znakiem przeciwnym, natomiast liczby przenosimy na praw a stronȩ nierȯwnoṡci też ze znakiem przeciwnym x x < +, x < 5 Na osi liczbowej zaznaczmy rozwi azanie x < 5 nierȯwnoṡci x Nierȯwnṡċ ostra wartoṡci x < 5 Zadanie. Rozwi aż nierȯwnoṡci (i) (x ) (x + ) < 4(x ) (ii) (x ) + 4(x + ) x + 0 Zaznacz na osi liczbowej te wartoṡci x dla ktȯrych nierȯwnoṡċ jest prawdziwa..4 U lamki dziesiȩtne U lamki zwyczajne o mianownikach 0,00, 000 na zywamy u lamkami dziesiȩtnymi. U lamki dziesiȩtne zapisujemy używaj ac przecinka zamiast kreski. oraz 0 = 0,, 00 = 0, 0, 000 = 0,, = 0, =,, , = 0, 05, 00 = 0, 75, = 0,. = 0, 00. Mamy relacje odwrotne, u lamki dziesiȩtne zamieniamy na u lamki zwyczane 0, =, 0, 0 = 0 00, 0, 00 = 000, 0, = 0, 0.05 = 5 5, 0, 05 = , 0, 75 = ,, = 0, 0, = 0 00.

17 7 Każdy u lamek zwyczajny możemy zamieniċ na u lamek dziesiȩtny. Pierwszy prosty sposȯb zamiany u lamka zwyczajnego na dziesiȩtny polega na zapisaniu tego u lamka przy mienowniku, 0, 00, 000,... Ten sposȯb jest prosty tylko dla wybranych u lamkȯw. Przyk lad.5 = 5 5 = 5 0 = 0. 4 = = = = = = = = = 0.06 Drugi sposȯb zamiany u lamkȯw zwyczajnych na dziesiȩtne polega na dzieleniu licznika przez mianownik. Przyk lad.6 Zamieṅ u lamek na u lamek dziesiȩtny. 4 Rozwi azanie. Dzielimy =,00 przez 4. Zauważamy, że zera po przecinku nie zmieniaj a wartoṡci 0, 5, 00 : Odpowiedz: 4 = 0, 5 Zadanie.4 Zamieṅ u lamek zwyczajny na dziesiȩtny (i) 5 (ii) 7 50 (iii) 5 50

18 8 Zadanie.5 Zamieṅ u lamek zwyczajny na dziesiȩtny (i) (ii) (iii) Procenty i promile p% procent to u lamk p o mianowniku Na przyk lad % jeden procent to u lamek 00 5% to u lamek % to ca loṡċ =. = 0.5 o mianowniku 00. Obliczamy p% procent z wartoṡci a = 0.0 o mianowniku 00. p% a = p 00 a jako u lamek o liczniku p i o mianowniku 00 z a. Przyk lad.7 Oblicz 5% z wartoṡci a=60 5% 60 = = Przyk lad.8 Oblicz 5% z wartoṡci a=000 = % 000 = = = 90 0 = 9 = = 750 Odwrotnie, maj ac p% a procent wartoṡci a, obliczamy wartoṡċ a Przyk lad.9 0% procent wartoṡci a rȯwna siȩ 600. Oblicz wartoṡċ a Rozwi azanie. 0% a = 600, 0 00 a = 600, a = = = 000

19 9 Zadanie.6 Oblicz 75% z wartoṡci a = 000 Zadanie.7 Oblicz 5% z wartoṡci a = 4000 Odwrotnie, maj ac p% a procent wartoṡci a, oblicz wartoṡċ a podan a niżej w ċwiczeniach Zadanie.8 50% procent wartoṡci a rȯwna siȩ 800. Oblicz wartoṡċ a Zadanie.9 0% procent wartoṡci a rȯwna siȩ Oblicz wartoṡċ a Promile Promile to u lamki o mianowniku 000. p p%% promili to u lamk o mianowniku Na przyk lad %% jeden procent to u lamek 5%% to u lamek %% to ca loṡċ =. 000 Obliczamy p%% procent z wartoṡci a = 0.00 o mianowniku 000. = 0.05 o mianowniku 000. p%% a = jako u lamek o mianowniku 000 z a. p 000 a Przyk lad.0 Oblicz 5%% z wartoṡci a=000 5%% 000 = = Przyk lad. Oblicz 5%% z wartoṡci a=000 5%% 000 = = = 45 = 75 Odwrotnie, maj ac p%% a procent wartoṡci a, obliczamy wartoṡċ a

20 0 Przyk lad. 0%% procent wartoṡci a rȯwna siȩ 600. Oblicz wartoṡċ a Rozwi azanie. 0%% a = 600, a = 600, a = Zadanie.0 Oblicz 75%% z wartoṡci a = 000 Zadanie. Oblicz 5%% z wartoṡci a = 4000 = = 0000 Odwrotnie, maj ac p%% a promili wartoṡci a, oblicz wartoṡċ a podan a niżej w ċwiczeniach Zadanie. 50%% promili wartoṡci a rȯwna siȩ 800. Oblicz wartoṡċ a Zadanie. 0%% promili wartoṡci a rȯwna siȩ Oblicz wartoṡċ a.4. Procent sk ladany Wprowadźmy nastȩpuj ace oznaczenia K 0 - kapita l pocz atkowy K n - kapita l po n latach p - stopa procentowa w skali roku n - ilość lat oszczȩdności Po pierwszym roku oszczçdzania kapita lk 0 wzrośnie o p% p K = K 0 + K 0 00 = K 0( + p 00 ) Po drugim roku oszczçdności kapita lk wzrośnie o p% K = K + K p 00 = K ( + p 00 ) = K 0( + p 00 ) Ogólnie, stosuj ac zasadȩ indukcji zupe lnej, jeżeli po n latach oszczȩdzania kapita l wrośnie o p% K n = K 0 ( + p 00 )n to po n latach oszczȩdznia p K n = K n + K n 00 = K 0( + p 00 )n

21 W ten sposób otrzymaliśmy wzór na końcowy kapita l po n latach oszczȩdzania K n = K 0 ( + p 00 )n Przyk lad. Oblicz o ile wzrośnie kapita l 50000P LN po 0 latach, jeżeli stopa prcentowa p = 5%. Rozwia azanie. Stosuj ac wzór, obliczamy K 0 = 50000( )0 = = = 444PLN Odpowiedź: Kapita l 50000P LN wzrośnie przez 0 lat o 944P LN, jeżeli stopa procentowa w stosunku rocznym wynosi p = 5%. Sp lata kredytu. Podobnie obliczamy procent sk ladany od kredytu. Po pierwszym roku sp lacania kapita l K 0 zmaleje o p% p K = K 0 K 0 00 = K 0( p 00 ) Po drugim roku sp lacania kapita l K zmaleje o p% p K = K K 00 = K ( p 00 ) = K 0( p 00 ) Ogólnie, stosuj ac zasadȩ indukcji zupe lnej, jeżeli po n latach sp lacania kapita l zmaleje do sumy K n = K 0 ( p 00 )n to po n latach sp lacania kapita l zmaleje do sumy p K n = K n K n 00 = K 0( p 00 )n W ten sposób otrzymaliśmy wzór na końcowy kapita l po n latach sp lacania kredytu. K n = K 0 ( p 00 )n Przyk lad. Oblicz o ile zmaleje kredyt od kapita lu 50000P LN po 0 latach sp lacania. i po 50 latach sp laconia, jeżeli stopa prcentowa p = 5%. Rozwia azanie. Stosuj ac wzór, obliczamy K 0 = 50000( 5 00 )0 = = = 8980PLN K 50 = 50000( 5 00 )50 = = = 68.PLN Odpowiedź: Po 0 latach kredyt zmaleje o P LN. Natomiast po 50 latach kredyt zmaleje o P LN. Zadanie.4 Oblicz o ile zmaleje kredyt od kapita lu 00000P LN po 0 latach sp lacania. i po 80 latach sp laconia, jeżeli stopa prcentowa p = 5%.

22 .5 Liczby rzeczywiste Dotyczhczas poznaliṡmy natȩpuj ace zbiory liczb: Nieskoṅczony zbiȯr liczb naturalnych, nieskoṅczony ponieważ liczb naturalnych jest tak dużo ile chcemy. Nieskoṅczony zbiȯr liczb ca lkowitych N = {0,,,, 4,..., n,...} C = {...,,,, 0,,,,..., n,...} Ktoṡ by pomyṡla l, że liczb ca lkowitych jest dwa razy wiȩcej niż liczb naturalnych. Otȯż nie, liczb ca lkowitych jest tyle samo co liczb naturalnych, to jest ta sama nieskoṅczonoṡċ. Nieskoṅczony zbiȯr liczb wymiernych, czyli zbiȯr wszystkich możliwych u lamkȯw W = { p q : p, q C, q 0} Liczb wymiernych jest rȯwnież tyle samo co liczb naturalnych, to jest ta sama nieskoṅczonoṡċ. Pierwiastek kwadratowy. Pierwiastkiem kwadratowym z liczby wymiernej nieujemej a 0, nazywamy liczbȩ b 0 też nie ujemn a, tak a, że b = a Wtedy piszemy a = b Na przyk lad dla a = 4, b =, dla a = 9, b =, dla a = 4 9, b = 4 =, bo = 4, 9 =, bo = 9, 4 9 =, bo ( ) = 4 9. Ziȯr liczb rzeczywistych zawiera wszytkie liczby wymierne i jest istotnie wiȩkszy od wszystkich zbiorȯw liczbowych, to znaczy, że liczb rzeczywistych jest wiȩcej niż nieskoṅczonoṡċ. Poznajmy, liczby rzeczywiste, ktȯre nie s a liczbami naturalnymi, ani liczbami ca lkowitymi, ani liczbami wymiernymi. Tak a liczb a rzeczywist a jest pierwiastek kwadratowy z liczby.

23 Rzeczywiṡcie, jeżeli liczba by laby wymierna, to istnia lyby liczby ca lkowite p C i q C takie, że = p q, q 0. gdzie u lamek p jest nieskracalny, to znaczy liczby p i q nie maj a wspȯnego q dzielnika. Zatem, mamy ( ) = ( p q ), = p q, q = p Z rȯwnoṡci q = p wynika, że liczba p jest podzielna przez. To znaczy, że liczba p też jest podzielna przez. Wtedy p = k dla pewnego ca lkowitego k C. Zatem, mamy q = (k) = 4k, q = k Teraz q = k jest liczb a parzyst a i podzieln a przez. To znaczy, że u lamek p jest skracalny. To przeczy istnieniu liczb ca lkowitych p, q. Dlatego liczba q jest niewymierna, natomiast jest liczb a rzeczywist a. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamu liter a R. Zbiór liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem zbioru liczb wymiernycho liczby, niewymierne takie jak π,,,...; Zatem zachodzi nastȩpuj aca relacja: W R. W istocie, liczb rzeczywistych niewymiernych jest dużo wiecej niż liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych jest zamkniȩty ze wzglȩdu na cztery operacje arytmetyczne. Liczby rzeczywiste podaobnie jak liczby naturalne, ca lkowite i wymierne interpretujemy jako punkty na osi liczbowej. Dok ladniej, liczba x oznacza odleg lość punktu x na od punktu oznaczonego przez zero. 0 π x π Oś liczbowa. Liczby rzeczywiste.5. Wartość bezwzglȩna Wartość bezwzglȩdna liczby to odleg lość punktu x od pocz adku uk ladu oznaczonego przez 0. Zatem, wartość bezwzglȩdna liczby x jest zawsze nieujemna. Definition. Wartość bezwzglȩdn a liczby x określamy jak nastȩpuje: Doód, Teoria Liczb, W. Sierpiński x, gdy x 0, x = x gdy x < 0

24 4 Na przyk lad 5 = 5 bo 5 > 0, również 5 = ( 5) = 5, gdy x = 5 < 0. Również wartość bezwzglȩdn a liczby x jest dana wzorem Zauważmy, że 4 =, nigdy. x = x. y = x 0 Wykres wartoṡci bezwzlȩdnej y = x x Odcinek na osi liczbowej. Z definicji wartości bezwzglȩnej liczby x, wynika nierówność x a, wtedy i tylko wtedy gdy a x a, a 0. Rzeczywiście, zauważamy, że x a, gdy x a i x a, to znaczy a x a. Na osi liczbowej zaznaczmy zbiór liczb x, które spe lniaj a a x a a 0 a Odcinek na osi liczbowej x a. x Podobnie, odcinek [a, b] o pocz atku w punkcie a i końcu w punkcie b, to jest zbiór punktów x leż acych pomiȩdzy punktami a i b zapisujemy jak nastȩpuje: [a, b] = {x R : a x b} D lugość odcinka [a, b], to jest odleg lość punktu a od punktu b, równa siȩ wartości bezwzglȩdnej różnicy b a. Przyk lad. Rozwi aż równanie Zaznacz rozwi azanie na osi liczbowej. x = 5.

25 5 Rozwi azanie. Z defincji wartości bezwzglȩdnej x = 5, gdy x 0, to x = 4, x = (x ) = 5 gdy x + 0, to x =, Rozwi azanie x=- lub x = 4 podane jest niżej na osi liczbowej. x = 0 x = 4 Rozwi azanie x = lub x = 4. Przyk lad.4 Rozwi aż nierównść x. Rozwi azanie. Z definicji wartości bezwzlȩnej nierówność x. jest równoważna z podwójn a nierówności a x, lub x 5. Odpowiedź: x 5. Przyk lad.5 Podaj zbiór punktów, które spe lniaj a nierówność x + x +. Zaznacz ten zbiór na osi liczbowej. Rozwi azanie. Z definicji wartości bezwzlȩnej znajdujemy. dla x 0, x = (x ) = x, x + = (x + ) = x x + x + = x x = x, gdy x,. dla x, x = (x ) = x, x + = (x + ) = x x + x + = x x =, gdy x. dla x + 0, x = x, x + = x + x + x + = (x ) + (x + ) = x, gdy x,

26 6 Odpowiedź: Nierówność jest spe lniona dla x. To znaczy dla wszystkich x takich, że x. Również zauważmy, że odleg lość punktu x [, ] od punktu plus odleg lość tego punktu x [, ] od równa siȩ. Zatem nierówność jest spe lniona również dla x = lub x =, wtedy zachodzi znak równości. Zaznaczmy to rozwi azanie na rysunku. x x + 0 x Rownanie x + x + =. Zadanie.5 Rozwi aż równanie x 5 = 4. Zaznacz rozwi azanie na osi liczbowej. Zadanie.6 Rozwi aż równanie x = 5. Zaznacz rozwi azanie na osi liczbowej. Zadanie.7 Rozwi aż nierówność x 5. Zaznacz rozwi azanie na osi liczbowej. Zadanie.8 Podaj zbiór punktów, które spe lniaj a nierówność x + x. Zaznacz ten zbiór na osi liczbowej.5. Wyrażenia algebraiczne w zbiorze liczb rzeczywistych Wyrażenia arytmetyczne i algebraiczne w zbiorze liczb rzeczywistych budowane s a na tych samych zasadach jak w liczbach wymiernych. Mianowicie, przypomijmy okreṡlenie wyrażenia arytmetycznego i algebraicznego Definition. Wyrażeniem arytmetycznym nazywamy liczby po l aczone operacjami arytmetycznymi +,,, /, potȩgowaniem o wyk ladnikach wymiernych i nawiasami wyznaczaj acymi kolejność wykonywania tych dzia lań.

27 7 W poprzednim paragrafie podaliśmy przyk lady obliczeń wyrażeń arytmetycznych. Niżej podajemy kilka wyrażeń arytmetycznych w liczbach rzeczywistych , + + 5, +, 5 + ( ) 4 7 9[ + ( ) 4 ] Definicja wyrażeń algebraicznych różni siȩ od definicji wyrażeć arytmetycznych tym że wyrażenia te zawieraj a też zmienne oznaczone literami. Definition. Wyrażeniem algebraicznym nazywamy liczby lub litery po l aczone operacjami arytmetycznymi +,,, /, potȩgowaniem o wyk ladnikach wymiernych i nawiasami wyznaczaj acymi kolejność wykonywania tych dzia lań. W poprzednim paragrafie podaliśmy przyk lady obliczeń wyrażeń arytmetycznych. Niżej dla przyk ladu napiszmy kilka wyrażeń arytmetycznych 5a b + 4 8c 5x, a + a b + c 5 b c, x + y, 5 a b + ( ) 4 7 9[ + ( ) 4 x y z] Jeżeli w wyrażeniach algebraicznych podstawimy liczby za zmienne, wtedy otrzymujemy wyrażenie arytmetyczne. W powyższych przyk ladach, jeżeli za zmienne podstawimy wartości a =, =, c =, x =, y =, z = to otrzymamy wyrażenia arytmetyczne. Przyk lad.6 Uprość wyrażenie a a a (a + ), a >. Rozwi azanie. Wykonuj ac dzia lania arytmetyczne, obliczmy a a a (a + ) = (a a) (a )(a + ) a = (a a) [a(a + ) (a + )] a = a a [a + a a ] a = a a a + ] a = a a = a a =. W nastȩpnym pragrafie podajemy wzory uproszczonego mnożenia, które s a wyrażeniami algebraicznymi szczegónej postaci.

28 8.5. Ci ag arytmetyczne i szereg arytmetyczny. Wyrażenia postaci a 0, a 0 + r, a 0 + r, a 0 + r,..., a 0 + n r; n = 0,,,...; nazywamy ci agiem arytmetcznym, gdzie a 0 R jest pierwszym wyrazem ci agu i r R jest różnic a ci agu. Zatem wyraz ogólny ci agu a n można zapisać wzorem a n = a 0 + n r, n = 0,,,...; Różnica pomiȩdzy kolejnymi wyrazami ci agu wynosi a n+ a n = a + (n + )r (a + n r) = r, n = 0,,,...; Na przy lad, ci ag kolejnych liczb naturalnych 0,,,...; jest ci agiem arytmetycznym o wyrazie pierwszym a 0 = 0, różnicy r = i o wyrazie ogólnym a n = n. Średnia Arytmetyczna. Zauważmy, że wyraz ci agu arytmetycznego a n = a n + a n+ jest średni a arytmetyczn a wyrazu poprzedniego i nastȩpnego. Rzeczywiście, obliczamy a n + a n+ = (a 0 + (n )r) + (a 0 + (n + )r) = a 0 + nr = a n Również sumy dwóch wyrazów odleg lych o liczbȩ k od a 0 i o liczbȩ k od a n a 0 + a n = a k + a n k s a równa dla każdego k = 0,,,...n; Mianowicie, sprawdzamy, że dla każdego k = 0,,,..., n, may a k + a n k = a 0 + kr }{{} a k +a 0 + (n k)r }{{} a n k = a 0 + a 0 + nr }{{} a n = a 0 + a n. Przyk lad.7 Sprawdź czy nastȩpuj acy ci ag jest artmetyczny (i) a n = n +, n = 0,,,...; (ii) a n = + n, n = 0,,,..., :

29 9 Rozwi azanie (i). Sprawdzamy czy różnica r kolejnych wyrazów ci agu jest sta la, to znaczy jest niezależna od n (n + ) + n + r = a n+ a n = }{{ }}{{ } a n+ a n = n + + n + =, n = 0,,,...; Odpowiedź: Ci ag jest arytmetyczny, gdyż różnica pomiȩdzy kolejnymi wyrazami ci agu jest sta la r = i nie zależy od n = 0,,,...; Rozwi azanie (ii). Sprawdzamy czy różnica kolejnych wyrazów ci agu jest sta la, to znaczy niezależy od n r = a n+ a n = + (n + ) ( + n ) }{{}}{{} a n+ a n = +n +n + ( +n ) = +n, Odpowiedź: Widzimy, że ci ag (ii) nie jest ci agiem arytmetyczny, gdyż różnica pomiȩdzy kolejnymi wyrazami ci agu r = n+ dla n = 0,,,...; zależy od n. Zadanie.9 Sprawdź czy nastȩpuj acy ci ag jest artmetyczny (i) a n = 8n +, 5 n = 0,,,...; (ii) a n = + n, n = 0,,,..., : Postȩp Arytmetyczny. Postȩpem arytmetycznym nazywamy sumȩ wyrazów ci agu arytmetycznego a 0 + a + a + + a n lub a 0 + (a 0 + r) + (a 0 + r) + + (a 0 + nr), W sigma notacji zapisujemy szereg arytmetyczny jako nastȩpuj ac a sumȩ: n a k = a 0 + a + a + + a n, k=0 lub n (a 0 + kr) = a 0 + (a 0 + r) + (a 0 + r) + + (a 0 + nr). k=0 Latwo wyprowadzić wzór na sumȩ n wyrazów ci agu arytmetycznego. Mianowicie, oznaczmy sumȩ przez S n = a 0 + a + a + + a n + a n. Napiszmy t a sumȩ w odwrotnej kolejności dodawania wyrazów S n = a n + a n + + a + a + a 0

30 0 Dodaj ac stronami, otrzymamy S n = (a 0 + a n ) + (a + a n ) + (a + a n ) + + (a n + a ) + (a n + a 0 ) Ponieważ, wyrazy postȩpu arytmetycznego spe lniaj a równość a 0 + a n = a + a n = a + a n = = a n + a 0 dlatego, suma wyrazów ci agu arytmetycznego S n = (n + )(a 0 + a n ) lub S n = n + (a 0 + nr). Przyk lad.8 Oblicz sumȩ postȩpu arytmetycznego n. Rozwi azanie. Zauważmy, że w tym postȩpie arytmetycznym pierwszy wyraz a 0 = 0 i różnica r =. Stosuj ac powyższy wzór, znajdujemy sumȩ S n = (n + ) (a 0 + nr) = (n + )n. Zadanie.0 Oblicz sumȩ n wyrazów postȩpu arytmetycznego o wyrazie ogólnym a n = n + 5, n = 0,,,..., ;.5.4 Ci agi geometryczne i postȩpy geometryczne. Wyrażenie postaci a 0, a 0 q, a 0 q, a 0 q,..., a 0 q n n = 0,,,...; nazywamy ci agiem geometrycznym, gdzie a 0 R jest pierwszym wyrazem ci agu i q R jest ilorazem ci agu. Zatem wyraz ogólny ci agu geometrycznego zapisujemy wzorem a n = a 0 q n, n = 0,,,...; Zak ladamy nie trywialny przypadek gdy a 0 0, q 0. Iloraz dwóch kolejnymi wyrazów ci agu Na przyk lad, ci ag liczb a n+ a n = q, n = 0,,,...;,,,...; n

31 o wyrazie pierwszym a 0 =, ilorazie q = i o wyrazie ogólnym a n = n jest ci agiem geometrycznym. Zauwamy, e gdy iloraz q = 0 to cig geometryczny jest o wyrazie oglnym staym a n = a 0 dla kadego n,,...; Średnia Geometryczna. Zauważmy, że wartość bezwzglȩdna wyrazu ci agu geometryczngo jest średni a geometryczn a wyrazu poprzedniego i nastȩpnego a n = a n a n+ Rzeczywiście, obliczamy a n a n+ = a q n a q n+ = a q n = a n. Sk ad wynika średnia geometryczna a n = a n a n+ Również iloczyny dwóch wyrazów odleg lych o liczbȩ k od a 0 i liczbȩ k od a n a 0 a n = a k a n k s a równa dla każdego k = 0,,,...n; Mianowicie, sprawdzamy, że dla każdego k = 0,,,..., n a k a n k = a 0 q k a }{{} 0 q n k = a }{{} 0 (a 0 q n ) }{{} = a 0 a n. a k a n k Przyk lad.9 Sprawdź czy nastȩpuj acy ci ag o danym wyrazie ogólnym jest geometryczny (i) a n = n n, n = 0,,,...; (ii) a n = n, n =,,..., : Rozwi azanie (i). Sprawdzamy czy iloraz q kolejnych wyrazów ci agu jest sta ly, to znaczy jest niezależny od n a n+ = ( n+ ) : (n a n n+ n) = n+ n n+ = = q, n = 0,,,...; n Odpowiedź: Ci ag jest geometryczny, gdyż iloraz kolejnych wyrazów ci agu jets sta ly i nie zależy od n, q = dla n = 0,,,...; Rozwi azanie (ii). Sprawdzamy czy iloraz q kolejnych wyrazów ci agu jest sta ly, to znaczy jest niezależny od n q = a n+ a n = (n + ) = n + n + = + n n n + n, n =,,...; Odpowiedź: Ci ag nie jest geometryczny, gdyż iloraz kolejnych wyrazów ci agu q = + n + dla n =,,...; zależy od n. n

32 Zadanie. Sprawdź czy nastȩpuj acy ci ag jest geometryczny. (i) (ii) ( ) n,... n = 0,,,...; 5 n n,... n =,,...; Zadanie. Podaj pierwszy wyraz, n-ty wyraz i oblicz iloraz ci agu geometrycznego (i) 5, 5, 5, 5. (ii),,, 4, 4... :