KOMPUTEROWA GENERACJA STRUKTURY PIERWOTNEJ ODLEWU

Transkrypt

1 /4 Archives of Foundry, Year 00, Volume, 4 Archiwum Odlewnictwa, Rok 00, Rocznik, Nr 4 PAN Katowice PL ISSN KOMPUTEROWA GENERACJA STRUKTURY PIERWOTNEJ ODLEWU M. CIESIELSKI, B. MOCHNACKI Politechnika Częstochowska Instytut Matematyki i Informatyki ul. Dąbrowskiego 73, 4-00 Częstochowa, Polska STRESZCZENIE W pracy przedstawiono sposób generowania siatki objętości kontrolnych wykorzystywanych do modelowania procesu krzepnięcia w skali mikro/makro z wykorzystaniem teorii Johnsona-Mehla-Avrami-Kołmogorowa (zadanie D. Objętości kontrolne tworzone są w postaci wieloboków Thiessena, co pozwala na etapie obliczeń numerycznych w prosty sposób wykorzystać metodę bilansów elementarnych. Rozkład węzłów (środków ziaren w rozpatrywanym podobszarze jest losowy z narzuconymi z góry pewnymi warunkami ich rozmieszczenia. W końcowej części pracy pokazano przykłady wygenerowanych siatek. Key words: Thiessen polygons, Delaunay triangulation, primary structure. WPROWADZENIE Cechą charakterystyczną modeli mikro/makro nazywanych też modelami II generacji jest specyficzny sposób modelowania składnika źródłowego w równaniu energii (równaniu krzepnięcia. Jak wiadomo, składnik ten jest proporcjonalny do szybkości krzepnięcia, a w szczególności: ( x, t f S qv = L ( t gdzie L jest ciepłem krzepnięcia odniesionym do jednostki objętości, f S - udziałem objętościowym fazy stałej w otoczeniu rozpatrywanego punktu x Ω, Ω jest obszarem mgr inż., cmariusz@k.pcz.czest.pl prof. dr hab. inż., moch@matinf.pcz.czest.pl

2 00 odlewu, t oznacza czas. Chwilową wydajność objętościowych źródeł ciepła modelujemy w oparciu o teorię Johnsona-Mehla-Avrami-Kołmogorowa (np.[]. W modelu, w którym zakładamy stałą liczbę ziaren (takie założenie poczyniono przy opracowaniu procedur generacji siatki przedstawionych w niniejszym artykule, zmiany lokalnych wartości f S wynikają z prawa wzrostu, którego siłą pędną jest przechłodzenie poniżej temperatury likwidusu. Poprawne zdefiniowanie f S wymaga przyporządkowania ziarnom kulistym (lub dendrytycznym ich końcowego kształtu. Można to uzyskać przez numeryczne modelowanie struktury pierwotnej odlewu, co jest tematem niniejszej pracy. Wybór wieloboków Thiessena jako końcowego kształtu ziaren wynika z istoty obliczeń numerycznych procesów cieplnych w siatce objętości kontrolnych, do których wykorzystano metodę bilansów elementarnych. Problemy te będą szczegółowo omówione w drugiej części artykułu opublikowanej w tym samym zeszycie Archiwum Odlewnictwa.. OPIS TWORZENIA SIATEK OBJĘTOŚCI KONTROLNYCH Obszar Ω, zajmowany przez odlew w formie odlewniczej, dzielony jest początkowo na mniejsze regularne podobszary Ω p, mające prosty kształt geometryczny (najczęściej kwadrat - rys.. Taki podział obszaru umożliwia dzielenie modelowanego zadania na mniejsze podzadania. Każdy podobszar Ω p będzie osobno rozpatrywany i modelowany z uwzględnieniem warunków brzegowych zmieniających się w czasie. Na rys. b przedstawiony jest jeden z podobszarów Ω p, będący kwadratem z brzegiem Γ = Γ Γ Γ 3 Γ 4. Na każdym z brzegów Γ i, i =,...,4 jest zadany warunek brzegowy przez sąsiadujące z Ω p podobszary, bądź przez otaczającą ją formę odlewniczą, w przypadku gdy brzeg Γ i styka się z nią.. Ω p. (x,y Γ (x,y a Ω Γ 4 Γ Ω p y x (x,y (x b Γ,y 3 Rys.. a Podział obszaru Ω na podobszary Ω p. b Jeden z podobszarów Ω p. Fig.. a Division of domain Ω into sub-domains Ω p. b One of the sub-domains Ω p. Następnie dla każdego podobszaru Ω p R tworzona jest tesselacja, która może być zdefiniowana jako podział przestrzeni euklidesowej na policzalną liczbę zbiorów, zwanych komórkami, charakteryzującymi się nie zachodzącymi na siebie wnętrzami i pokrywającymi całą przestrzeń. Powszechnie stosowaną tesselacją jest

3 0 tesselacja Thiessena [3,8,9] (zwana także Dirichleta lub Voronoi. Jest ona zdefiniowana dla skończonego, rozłącznego zbioru punktów Π = {P, P,..., P n } jako: { : (, (,,,, } V = X Î R d X P < d X P " j ą i j = K n ( i i j gdzie: d(.,. jest odległością euklidesową. Punkty P i, i =,...,n zwane są punktami środkowymi (w odróżnieniu od innych dowolnych punktów przestrzeni i dzielą one przestrzeń na wypukłe wieloboki V i zawierające po jednym punkcie środkowym. Każdy z wieloboków V i zawiera punkty przestrzeni bliższe punktowi środkowemu P i niż każdemu innemu punktowi P j, j i ze zbioru Π. Wieloboki zawierające punkty P i tworzące wypukłą otoczkę zbioru Π są nieograniczone. Ω p Vi P i P i r W j a b Rys.. a Wieloboki Thiessena i brzeg podobszaru Ω p. b Triangulacja Delaunay'a (linie ciągłe i wieloboki Thiessena (linie przerywane. Fig.. a Thiessen polygons and boundary of sub-domain Ω p. b Delaunay triangulation (solid lines and Thiessen polygons (dash lines. Znane są różne metody tworzenia wieloboków Thiessena. Jedna z metod powszechnie stosowanych polega na tworzeniu ich na podstawie dualnej wobec nich triangulacji Delaunay'a [,8,9,0]. Triangulacja Delaunay'a Τ zbioru n punktów Π polega na podziale obszaru na trójkąty, w których punkty zbioru Π są ich wierzchołkami, oraz w której wewnątrz okręgu opisanego na dowolnym trójkącie nie może być zawarty żaden punkt P i Π. W tej triangulacji środki okręgów W j opisanych na trójkątach są jednocześnie wierzchołkami wieloboków Thiessena, natomiast części symetralnych boków trójkąta są ich krawędziami - rys. b. Algorytmy tworzenia triangulacji Delaunay'a można znaleźć w [3,8,0]. Małą złożonością obliczeniową charakteryzuje się incremental algorithm opisany w [4], w którym triangulację tworzy się w sposób iteracyjny. Do istniejącej triangulacji Delaunay'a utworzonej z i pierwszych punktów wprowadza się punkt i+, po czym modyfikuje się istniejącą triangulację. Pierwszym krokiem tego algorytmu jest utworzenie początkowej triangulacji Τ 0, którą może być trójkąt (utworzony na trzech

4 0 nowych, dodatkowych punktach pomocniczych zawierający w swoim wnętrzu wszystkie punkty zbioru Π. W następnych krokach wprowadza się poszczególne punkty P i, i =,...,n. Po dodaniu do istniejącej triangulacji Τ i- punktu P i, zostaje wyszukany trójkąt k, który w swoim wnętrzu zawiera ten punkt. (Specjalnego traktowania wymaga przypadek, gdy nowo wprowadzony punkt P i znajduje się na pewnej krawędzi w istniejącej triangulacji Τ i-. Znaleziony trójkąt k zostaje podzielony na 3 nowe trójkąty, w których punkt P i jest wspólnym wierzchołkiem. Następnie przeszukuje się sąsiednie trójkąty, które przylegając do danego trójkąta tworzą czworoboki i jeśli w jakimś czworoboku nie jest spełnione np. kryterium min-max kątów [5], to dokonuje się zamiany przekątnej. Systematyczne sprawdzanie dalszych przylegających trójkątów powoduje utworzenie triangulacji Delaunay'a Τ i. Po wprowadzeniu wszystkich punktów do triangulacji w ostatnim kroku należy usunąć te trójkąty, które mają przynajmniej jeden wierzchołek w punkcie dodatkowo wprowadzonym w pierwszym kroku algorytmu. Wprowadzenie każdego kolejnego punktu P i wymusza konieczność uaktualnienia informacji numerycznych po przeprowadzonej retriangulacji, takich jak: ilość trójkątów i krawędzi, listę trójkątów i ich tablicę koneksji, promień i środek okręgu opisanego na trójkącie dla każdego trójkąta, listę sąsiadujących elementów,... Na podstawie tak utworzonej triangulacji można w prosty sposób utworzyć wieloboki Thiessena, w których środki okręgów opisanych na trójkątach są wierzchołkami wieloboków, a bokami są odcinki łączące te środki okręgów na dwóch sąsiadujących ze sobą trójkątach, bądź półproste w przypadku, gdy bok trójkąta tworzy wypukłą otoczkę zbioru Π. Taką strukturę wieloboków Thiessena ogranicza się brzegami Γ i podobszaru Ω p. Wieloboki przecięte brzegiem Γ i zostaną zmodyfikowane min. przez dodanie nowych krawędzi rys. 3a. P j Sj hj Γ i P i a b Rys. 3. a Przecięcie brzegiem wieloboków Thiessena. b Opis wieloboku. Fig. 3. a Interaction Thiessen polygons by boundary. b Description of a polygon. Tworzone przez nas siatki objętości kontrolnych mają punkty rozmieszczone losowo w podobszarze Ω p przy założeniu, że minimalna odległość pomiędzy poszczególnymi punktami jest określona za pomocą funkcji d(x,y, (x,y. Rozmieszczenie punktów w taki sposób umożliwia nam lokalne zagęszczenie ziaren. Dla siatki objętości kontrolnych stawia się wymaganie, aby odcinek łączący punkty P i i P j w dwóch sąsiednich wielobokach Thiessena V i oraz V j nie przechodził przez inny wielobok. Ten warunek może być spełniony, gdy triangulacja Delaunay'a zbioru Π składa się z trójkątów ostrokątnych, wówczas środek okręgu opisanego na

5 03 trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta. Ten warunek można osiągnąć min. poprzez zmianę położenia niektórych punktów zbioru Π. Dokonując obliczeń numerycznych np. podczas modelowania krzepnięcia, musimy mieć łatwy i szybki dostęp do informacji numerycznych opisujących kształt geometryczny siatki objętości kontrolnych. Podstawowymi informacjami są - rys. 3b: współrzędne punktów P i, dla każdej komórki V i znana liczba oraz lista bezpośrednich sąsiadów, bądź w przypadku wieloboku graniczącego z brzegiem - dodatkowo informacje o brzegu, pole powierzchni ścian S j graniczących z sąsiednimi komórkami oraz odległości h j do tych ścian od punktu środkowego P i. 3. PRZYKŁADY WYGENEROWANYCH SIATEK W tym rozdziale przedstawiono 3 przykłady wygenerowanych siatek z różnym zagęszczeniem punktów. Funkcje (-(4 definiują minimalną odległość pomiędzy dwoma generowanymi dowolnymi punktami w Ω p, (oznaczenia według rys. b. ( x y dconst d, = (3 dy d y d d d( x, y = + y (4 y y y y d ( x, y d = min d Γ Γ ( x + x ( x x ( y + y 4 ( y y 4x x d c y y d c ( dc dγ ( x + x ( x x ( dc dγ ( y + y ( y y x + y + 4( dγ dc x, ( x x 4( d ( Γ dc y y y (5 a b c Rys. 4. Przykłady siatek objętości kontrolnych. Fig. 4. Examples of control volumes meshes. Na rys. 4a-c przedstawiono przykładowe siatki. Długość boku kwadratu wynosi: y - y = x - x =, liczba punktów wewnętrznych n = 00. Siatka na rys. 4a zawiera punkty rozmieszczone według (3 ze stałą w całym podobszarze minimalną odległością d const = 0.08; na rys. 4b według (4 z interpolacją liniową wzdłuż kierunku y,

6 04 d = 0.07, d = 0. są minimalnymi odległościami zadanymi odpowiednio na brzegach Γ 3 i Γ ; na rys. 4c według (5 z interpolacją kwadratową w obu kierunkach, d Γ = 0.07, d c = 0.3 są odległościami zadanymi odpowiednio na brzegach Γ i, i =,...,4 oraz w środku kwadratu. LITERATURA [] B. Delaunay: Sur la sphere vide. Bulletin of Academy of Sciences of the USSR, pages , (934. [] E. Fraś: Krystalizacja metali i stopów. PWN, Warszawa (99. [3] P.J. Green, R. Sibson: Computing dirichlet tessellations in the plane. The Computer Journal, (:68-73, (977. [4] L. Guibas, J. Stolfi: Primitives for the manipulation of general subdivisions and the computation of Voronoi diagrams. ACM Trans. on Graphics, 4(:74-3, (985. [5] C.L. Lawson: Software for surface interpolation,. In J. Rice, editor, Mathematical Software III, pages Academic Press, New York (977. [6] D.T. Lee, B.J. Schachter: Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation. International Journal of Computer and Information Sciences, 9(3:9-4, (980. [7] B.A. Lewis, J.S. Robinson: Triangulation of planar regions with applications. The Computer Journal, (4:34-33, (978. [8] T. Midtbo: Spatial Modelling by Delaunay Networks of Two and Three Dimensions, (993. [9] J. O'Rourke: Computational Geometry in C, Cambridge University Press (998. [0] D.F. Watson: Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with application to Voronoi polytopes. The Computer Journal, 4(:67-7, (98. NUMERICAL GENERATION OF THE CASTING PRIMARY STRUCTURE SUMMARY The method of the mesh generation which can be used for numerical modelling of the solidification in micro/macro scale (D task on the basis of Johnson-Mehl- Avrami-Kolmogorov theory is presented. The control volumes correspond to the Thiessen polygons, it allows on the stage of numerical modelling to apply, in the simple way, the control volume method. The distribution of the control volumes central points (the centers of grains is random one, but the certain limitations and postulates can be taken into account. In the final part of the paper the examples of the structures obtained are shown. Recenzowała Prof. Ewa Majchrzak