Wykład 4 Podstawowe wiadomości z teorii błędów

Transkrypt

1 Wykład 4 Podstawowe wiadomości z teorii błędów Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza, pokój 04

2 Treść Wykładu Obserwacje geodezyjne Źródła błędów Typy obserwacji Typy błędów Właściwości błędów przypadkowych Krzywa Gaussa Niezawodność pomiarów geodezyjnych Miary precyzji Podsumowanie

3 Co pomiar to inny wynik! 65.44, 65.49, 65.5, metrów Pytania: Dlaczego różne wyniki? Co jest końcowym wynikiem? Jaka jest dokładność pomiaru? 3

4 ŹRÓDŁA BŁĘDÓW Osobiste: - ograniczenia obserwatora - nieuwaga obserwatora Instrumentalne: z powodu niedoskonałości konstrukcji lub niedoskonałości rektyfikacji instrumentów Naturalne: z powodu zmian warunków środowiska w jakich pomiar jest wykonywany 4

5 SOURCES OF ERRORS Personal: - limitaion of observer (the ability to repeat the same measurement) - carelessness of the observer Instrumental: - Due to imperfect construction or incomplete adjustment of the instrument - e.g. Incorrect graduation Natural: - Due to changing environmental conditions in which the measurements are made e.g. Temperature variation causes expansion/contraction of the chain 5

6 Typy obserwacji 6

7 Type of observations Types of observations Direct Indirect Under the same conditions Under different conditions 7

8 Obserwacje bezpośrednie Przykładem pomiaru bezpośredniego jest kilkakrotny pomiar taśmą stalową odległości między pewnymi punktami A i B 8

9 Obserwacje bezpośrednie Pomiar kąta poziomego praktyka z geodezji, lato 004 9

10 Obserwacje pośrednie Celem tego pomiaru jest wyznaczenie odległości między punktami A i B oraz C i B. Punkt B jest niedostępny, gdyż znajduje się za rzeką. W tym celu należy pomierzyć odległość b zwaną bazą oraz trzy kąty w trójkącie. Z twierdzenia sinusów można obliczyć odległości a i c. B β c α A a γ b - baza C 0

11 Klasyfikacja błędów Błędy grube Błędy systematyczne Błędy przypadkowe

12 Omyłki lub błędy grube Charakterystyka: ich wielkość jest stosunkowo duża, mała lub rożna w porównaniu do mierzonej wielkości (obserwacja odstająca). Źródło błędu: personalne (brak uwagi obserwatora). Skutek: obserwacje niejednorodne. Zalecane postępowanie: obserwacja taka musi być wykryta i usunięta z serii pomiarowej. Przykład: Licząc przy pomiarze odległości ilość przyłożeń taśmy, zapisano w dzienniku pomiarowym o jedno przyłożenie za mało lub za dużo popełniając przez to błąd 0 m.

13 Błędy systematyczne Charakterystyka: występują w deterministyczny sposób, jeśli znany to jest możliwość ich wyeliminowania na drodze rachunkowej. Źródła błędów: z powodu instrumentów, środowiska, człowieka bądź ich kombinacji. Skutek: przesuniecie wszystkich obserwacji, które jeśli jest stałe to jego wielkość i znak pozostają niezmienne w czasie pomiaru. Zalecane postępowanie: koniecznie powinny być zidentyfikowane i wyeliminowane z wyniku pomiaru. Jako przykład tego rodzaju błędu może posłużyć błąd wywołany wydłużeniem lub skróceniem się taśmy mierniczej pod wpływem temperatury. 3

14 Graficzna ilustracja błędów grubych i systematycznych 4

15 Błędy przypadkowe Charakterystyka: są to błędy, jakie tkwią w wyniku pomiaru po usunięciu błędów grubych i systematycznych. Nie można opisać ich żadnym modelem deterministycznym. Do ich modelowania stosuje się jedynie model stochastyczny. Źródła błędów: personalne, instrumentalne i środowisko. Skutek: Zalecane postępowanie: 5

16 Błąd prawdziwy i pozorny Błąd prawdziwy ε i = L - l i Ponieważ L nigdy nie jest znane, ε również nigdy nie jest znane. Na szczęście obydwie wielkości mogą być oszacowane. Oszacowanie błędu prawdziwego nazywa się błędem pozornym v i =x - l i, gdzie x jest oszacowaniem wielkości L. 6

17 True error and residuals True error ε i = L - l i, because L is never known, ε is never known too, Residuals are defined in the following way v i =x-l i 7

18 Oszacowanie mierzonej wielkości Oszacowanie mierzonej wielkości i jej błędu nie jest zagadnieniem ani prostym ani łatwym. Opanowanie tej umiejętności wymaga studiów z zakresu rachunku wyrównawczego. Tu przedstawimy tylko elementarne wiadomości z tego zakresu. Wykonano n pomiarów wielkości L (l,l...l n ). Intuicyjnie jest zrozumiałym, że średnia arytmetyczna xˆ = n l i i= jest najlepszym oszacowaniem nieznanej wielkości L n 8

19 Przykład liczbowy nr. obserwacje [m] v [cm] Średnia =65.50 Suma =0 9

20 Wyniki pomiarów [m] Przykład m i n średnia m a x

21 Histogram średnia =3.75 Częstość Więcej

22 Suma v i zawsze jest równa zero v = l -x v = l -x v 3 = l 3 -x v n = l n -x xˆ = l n nˆ x = l l v = l nxˆ = l = 0 Σv =Σl -nx

23 Średnia arytmetyczna jest najlepszym oszacowaniem Jeśli średnia arytmetyczna jest najlepszym oszacowaniem to v = min Aby poprawki były minimalne to Pierwsza pochodna musi być równa zero, d v dxˆ = v dv dxˆ + v dv dxˆ v Druga pochodna większa od zera n dv dxˆ n d v dxˆ = = n > 0 3

24 Histogram błędów pozornych Wyniki pomiaró w [m] Uszere gowane wyniki pomiar ów [m] Przedzi ały Liczeb ności w przedzi ałach Częstoś ci względ ne Błędy pozorn e v [mm]

25 częstość względna częstość względna częstość względna Histogramy v v v 5

26 Gauss Carl Friedrich Gauss lived from 777 to 855. Gauss worked in a wide variety of fields in both mathematics and physics including number theory, analysis, differential geometry, geodesy, magnetism, astronomy and optics. His work has had an immense influence in many areas. 6

27 Krzywa Gaussa Wielu uczonych od lat próbowało opisać histogram krzywą. Ostatecznie powszechnie zaakceptowano model podany przez Gaussa (krzywa Gaussa), której analityczny wzór jest +ε f( ε) = h π e h ε - ε h π f( ε) f(0) = h π + () ε dε f = 7

28 Krzywa Gaussa parametr h całkowicie opisuje kształt krzywej Gaussa. Parametr h zazwyczaj jest zwany wskaźnikiem precyzji. Pole powierzchni pod krzywą Gaussa równa się jedności: im krzywa jest wyższa (większe h) tym bardziej staje się ścieśniona, co oznacza wyższą precyzję, gdyż przedział, w którym zawarte są wyniki pomiaru jest mniejszy. 8

29 Własności Krzywa jest symetryczna względem ε = 0. Prawdopodobieństwo występowania błędów o tej samej wartości bezwględnej jest jednakowe. Oznacza to, że P ( + ε) = P( ε) f( ) + 9

30 Własności Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu większego niż +ε jest równe prawdopodobieństwu wystąpienia błędu mniejszego niż ε. 30

31 Własności Prawdopodobieństwo występowania błędów dodatnich i ujemnych jest jednakowe, Prawdopodobieństwo występowania małych błędów jest bardzo duże, Prawdopodobieństwo występowania bardzo dużych błędów jest praktycznie niemożliwe. 3

32 Ocena Wyniku Pomiaru Precyzja: pomiaru jest to stopień wzajemnej bliskości pomiarów tej samej wielkości. Precyzja pomiaru jest obarczona wpływem tylko błędów przypadkowych. Dokładność: stopień zbliżenia pomiarów do wielkości prawdziwej. Dokładność pomiaru jest obarczona zarówno błędami przypadkowymi jak i systematycznymi. Niepewność: jest to wielkość przedziału wewnątrz którego mieszczą się błędy pomiarowe. 3

33 Precyzja i dokładność pomiary precyzyjne ale niedokładne pomiary nieprecyzyjne ale dokładne 33

34 Precyzja i dokładność pomiary nieprecyzyjne i niedokładne pomiary precyzyjne i dokładne 34

35 Precyzja i dokładność Precyzja Wewnętrzna niezawodność Dokładność W przypadku braku występowania błędów systematycznych, pojęcie dokładności pomiaru jest równoważne z pojęciem precyzji. 35

36 Miary Precyzji Błąd przeciętny Błąd prawdopodobny Błąd średni (estymator odchylenia standardowego) 36

37 Błąd przeciętny próbka losowa L= niewiadome L = znane υ = n v e i i= n υ e = n n i= ε i Błąd przeciętny υ e jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości błędów próbki losowej (serii pomiarowej) 37

38 Błąd prawdopodobny połowa błędów pomiarowych jest mniejsza od P e natomiast druga połowa błędów jest większa od błędu P e. 50% z v i >P e, 50% z v i <P e. W przypadku parzystej liczby błędów. P e = V n+ W przypadku nieparzystej liczby błędów. P = V n V n e

39 Przykład liczbowy 3 nr. obserwacje [m] v [cm] v [cm] Błąd prawd średnia = suma =0.0 bł. prz. =.8 bł.praw.=0. 39

40 40 Błąd średni Błąd średni m jest definiowany jako pierwiastek kwadratowy średniej arytmetycznej sumy kwadratów błędów. próbka losowa L= niewiadome L = znane = = n i i v n m = ε = n i i n m

41 Przykład liczbowy 3 nr. obserwacje v v [m] [cm] [cm] Średnia = Suma = Suma = 4.8 4

42 E ( ε ) = ε f ( ε ) dε = 0 σ h = ε f ( ε )dε = σ = h 4

43 Cenna właściwość Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu przypadkowego: w przedziale σ<ε<σ jest równe 0.683, w przedziale σ<ε<σ wynosi 0.954, w przedziale 3σ<ε<3σ jest równe W praktyce przedział 3σ jest uważany jako granica występowania błędów i uważa się, że obserwacje obarczone błędami przekraczającymi te granice powinny być odrzucone jako obserwacje błędne. f( ε) - ε -3σ -σ -σ σ σ 3σ +ε 43

44 Obserwacje bezpośrednie jednakowo i nie jednakowo dokładne Przez obserwacje bezpośrednie jednakowo dokładne rozumiemy obserwacje wykonane w tych samych warunkach, to znaczy, że obserwator, instrument i środowisko jest takie same Przez obserwacje bezpośrednie nie jednakowo dokładne rozumiemy obserwacje bezpośrednie wykonane w odmiennych warunkach, oznacza to, że obserwator, instrument lub warunki środowiska uległy zmianie. 44

45 Wagi W celu uwzględnienia różnicy w dokładności pomiarów wprowadzono nowe pojęcie zwane wagą p = k m gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Przykład: m =0.5, m =0.5, k= p =, p =4 k=4 p =8, p =6 45

46 Wagi Jeśli pewna obserwacja ma wagę równą jedności (p=), to kwadrat błędu średniego oznaczany jest przez m 0 i wynosi: Z czego wynika, że = k m 0 k = m 0 A zatem współczynnik proporcjonalności jest niczym innym jak kwadratem błędu średniego obserwacji o wadze równej jedności. Dlatego ostatecznie mamy p = m 0 m 46

47 Wagi Wagi są definiowane: Wagi są to liczby odwrotnie proporcjonalne do wartości kwadratu błędu średniego, Wagi są to liczby dodatnie, które wyrażają liczby jednakowo dokładnych obserwacji. 47

48 Ogólna średnia arytmetyczna Jeżeli rozważymy n obserwacji l, l, l 3 z wagami p, p, p to wówczas warunek v = min ma postać pv = min czyli pierwsza pochodna musi być równa zero ( pv ) d dv dv = pv + p v dxˆ dxˆ dxˆ pv + p v +... = pv = = 0 ( l ) + p ( l ) p xˆ xˆ = ( + p +...) = p l + p l... p xˆ + xˆ = pl + pl p + p = pl p m o pv = ( n ) 48

49 Przykład nr Kąt l Δ=l-l 0 Waga p p Δ v pv pvv suma = x= = g m 0 =0.006 g 49

50 Prawo przenoszenia się błędów Przez przenoszenie się błędów rozumiemy proces polegający na ocenie błędów obliczonych wielkości niewiadomych y będących funkcją wielkości mierzonych x. Rozważmy prosty przykład. Wielkość y została wyznaczona z pomiaru wielkości x z zależności y = ax + b Jeśli x L wielkość prawdziwa, x wielkość mierzona, dx błąd pomiaru to x = x L + dx y ax b = y = a x + b = a (x + dx) + b = a x + b + a dx = y a dx L L + L L L + dy = a dx dy = dy dx dx 50

51 Funkcja liniowa i dowolna = l + l... m = m + m... y + + y Przykład. Odcinek AB składa się z dwóch części. Pierwszą część pomierzono z błędem średnim ±3 cm, drugą część pomierzono z błędem średnim ±8 cm. Oblicz błąd średni odcinka AB? y = a l + a l +... m y = a m + a m +... Przykład. Odległość pomierzona dalmierzem oblicza się według wzoru d=k l, gdzie l jest mierzonym odcinkiem na łacie z błędem średnim ±3 mm. Oblicz błąd mierzonej odległości d jeśli stała k = 00. 5

52 5 Dowolna funkcja...) x, f(x y = n x x x m... m, m x n x x y n m x f... m x f m x f m + + = Przykład. Pomierzono działkę w kształcie prostokąta o bokach a = 3.54 m, i b= m. Bok a pomierzono z błędem średnim ±3 cm, a bok b z błędem średnim ±6 cm. Oblicz błąd powierzchni działki m P.

53 Błąd średni z pary pomiarów l obserwacja z błędem prawdziwym ε, l obserwacja z błędem prawdziwym ε, to l + ε = l + ε l l = ε + ε d = ε + ε Zgodnie ze wzorem na błąd średni m = ± ε n d m d = ± n m d d m d = ± m o m = ± = ± o n 53

54 Przykład Pewną odległość 7 grup studenckich pomierzyło dwukrotnie i otrzymało następujące pewne różnice. Oblicz błąd średni pojedynczego spostrzeżenia z tych par pomiarów d [cm] d^ m 0 = 3. cm 54

55 Thank you for attention