Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Transkrypt

1 Metody numeryczne Wykład 1 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, Informacje wstępne Wykład 2h Laboratorium 2h Warunki zaliczenia: Wykład rozliczany jest w formie zaliczenia na podstawie ocen z kolokwiów (sprawdzianów) 2 1

2 Literatura D. Kincaid, W. Chaney: Analiza numeryczna,, WNT, Warszawa, 2006 Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: Metody numeryczne,, WNT, Warszawa, 1998 A. Brozi: Scilab w przykładach, Nakom, Poznań, 2007 J. Povstenko: Wprowadzenie do metod numerycznych,, EXIT, Warszawa, 2002 A. Marciniak, D. Gregulec, J. Kaczmarek: Podstawowe procedury numeryczne w języku Turbo Pascal, Nakom, Poznań, 2000 B. Baron, A. Marcol, S. Pawlikowski: Metody numeryczne w Delphi 4, Helion, Gliwice, 1999 L. Jaroszynski, M. Łanczont: Laboratorium Metod Numerycznych, Wydawnictwo Politechniki Lubelskiej, Lublin, Zakres materiału równanie Taylora, rząd zbieżności, równania różnicowe Arytmetyka komputerowa - błędy, stabilność i niestabilność algorytmów Równania liniowe Interpolacja i aproksymacja Równania nieliniowe Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Równania różniczkowe 4 2

3 Środowisko programowania Języki programowania Fortran C, Pascal, C++, Środowiska obliczeniowe Matlab Scilab OpenModelica Mathematica 5 Scilab Aktualna wersja Windows (32/64), Linux (32/64) MacOSX (64) Obliczenia matematyczne i symulacje Wykresy 2D i 3D Statystyka, Optymalizacja Analiza sygnałów Xcos odpowiednik Simulink (Matlab) 6 3

4 Po co metody numeryczne? Właściwie dobrane i zastosowane metody numeryczne umożliwiają symulację zjawisk rzeczywistych. Katastrofa rakiety Ariane milionów $ ( ) Błędna konwersja 64-bit liczby zmiennoprzecinkowej na 16-bit liczbę całkowitą 7 Po co metody numeryczne? Zatonięcie platformy wiertniczej Sleipner A na Morzu Północnym ( ) Koszt 1 miliard $ Przyczyna: Niedokładność zamodelowania elementu konstrukcji za pomocą metody elementów skończonych. 8 4

5 Po co metody numeryczne? Tragedia w Dhahran w Arabii Saudyjskiej zginęło 28 osób Błąd w pomiarze czasu (w momencie wystrzału wynosił 1/3 s) spowodował błąd w pozycjonowaniu celu o 687 m. Gotowa poprawka systemu dotarła dzień po tragedii. 9 Po co metody numeryczne? NASA Mars Climate Orbiter uległ zniszczeniu w atmosferze Marsa MCO, 700 milionów $ Przyczyna: błąd w oprogramowaniu komunikacyjnym między napędami MCU spowodowany stosowaniem innym jednostek metrycznych przez NASA i firmę brytyjską która napisała oprogramowanie. 10 5

6 Analiza numeryczna tworzenie, badanie i analiza algorytmów, w celu otrzymania rozwiązania numerycznego różnorodnych zadań matematycznych Metody numeryczne tworzenie i badanie algorytmów (procedur) obliczeniowych umożliwiających przeprowadzenie analizy numerycznej 11 Rozwiązanie analityczne danego zadania może być odmienne od jego rozwiązania numerycznego Rozwiązanie analityczne przy adaptacji bezpośredniej do algorytmu numerycznego może być wolno zbieżne, długotrwałe w obliczeniach, a więc kłopotliwe lub bezużyteczne w analizie numerycznej Metody numeryczne stosuje się gdy stawiany problem nie posiada rozwiązania analitycznego (określonego wzorem) lub stosowanie takich wzorów jest kłopotliwe ze względu na ich złożoność 12 6

7 Obliczenia numeryczne Obliczenia wykonywane są bezpośrednio na liczbach Obliczenia symboliczne Przekształcenia zgodne z regułami matematycznymi wykonywane są na symbolach reprezentujących liczby 13 Rozwiązanie analityczne Dokładny wynik numeryczny lub symboliczny (z wykorzystaniem symboli i funkcji matematycznych) Rozwiązanie numeryczne Wynik w postaci numerycznej, z określoną dokładnością 14 7

8 Granica Jeżeli funkcja f zmiennej rzeczywistej i ma wartości rzeczywiste, to jej granica w punkcie c jest określona (o ile istnieje), jest określona: 15 Granica i Ciągłość funkcji Jeżeli dla każdego dodatniego e istnieje takie dodatnie d,, że odległość między f(x) i L jest mniejsza od e,, jeżeli odległość miedzy x i c jest dodatnia i mniejsza od d. Definicja ciągłości w sensie Cauchy ego w punkcie c. 16 8

9 Granica 9 y y=x x 0-3,5-2,5-1,5-0,5 0,5 1,5 2 2,5 3,5 17 Granica y 1 x

10 Pojęcia Podstawowe Ciągłość funkcji Jeżeli dla każdego ciągu liczb (x n ) należących do zbioru M, zbieżnego do x 0, ciąg wartości funkcji (f(x(x n ))) jest zbieżny do f(x 0 ) to funkcja f jest ciągła w sensie Heinego w punkcie x 0 należącym do zbioru M 19 Własność Darboux a funkcji ciągłych Funkcja ciągła f w przedziale [a,b] przyjmuje w nim wszystkie wartości zawarte między f(a) i f(b) 20 10

11 Różniczkowalność Pochodna funkcji f w c (o ile istnieje) : Jeżeli dla f istnieje f (c) to funkcja jest różniczkowalna w c i jest równocześnie ciągła w c. 21 Wzór Taylora Jeżeli funkcja f (x) ma w przedziale [a,b] pochodną rzędu n 1 oraz pochodną rzędu n w przedziale (a,b) wówczas istnieje c (a,b), takie że 22 11

12 Dla pewnego punktu a zawartego w przedziale (c,x) można określić : zwaną resztą Lagrange a wzoru Taylora Definiuje ona dokładność otrzymanego przybliżenia 23 Szczególny przypadek wzoru Taylora dla c=0 określany jest wzorem Maclaurina 24 12

13 Pochodne 25 Szereg Taylora Na podstawie wzoru Taylora wyprowadza się szereg wielomianowy Taylora: 26 13

14 Szereg Taylora 1. im wyższy jest jego stopień, tym lepiej (zwykle) aproksymuje funkcję, 2. twierdzenie Taylora, daje informację o błędzie aproksymacji (reszta), 3. wielomiany to funkcje elementarne, które bardzo łatwo wyznaczać numerycznie - z tego względu szereg kalkulatorów (czy programów / języków programowania) implementuje funkcje takie jak sin(x) x),, cos(x) x), e x, itp. poprzez odpowiednie wielomiany Taylora, 27 Szereg Taylora 4. wielomiany z łatwością poddają się różniczkowaniu i całkowaniu, 5. wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej, ułatwiając rozwiązywanie szeregu równań i nierówności, 6. wielomiany są określone na całej prostej rzeczywistej (zespolonej), co umożliwia analityczne "przedłużanie" wartości funkcji na dziedzinę, w której wyjściowa funkcja jest nieokreślona

15 Szereg Maclaurina Dla x 0 =0 szereg Taylora przyjmuje postać: 29 Przykład 1 Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji f(x)=sin(2x) f(0)=sin(0)= (0)=sin(0)=0 f (x)=2cos(2x) f (x)= (x)=-4cos(2x) f (x)= (x)=-8sin(2x) f (4) (x)=16cos(2x) f (5) (x)=32sin(2x) 30 15

16 Przykład 1 Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji f(x)=sin(2x) dla x=0 f(0)=sin(0)= (0)=sin(0)=0 f (x)=2 f (x)=0 f (x)= (x)=-8 f (4) (x)=0 f (5) (x)=32 31 Przykład 1 Rozwinięcie w szereg Maclaurina n przyjmuje tylko wartości z szeregu 2k+1 (1, 3, 5, 7,, 2k+1) 32 16

17 Przykład Stopnie przybliżenia: n=2k+1=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, Rozwinięcia w szereg Taylora podstawowych funkcji matematycznych 34 17

18 Przykład 2 Za pomocą wzoru Taylora można wyznaczać przybliżone wartości funkcji., można wyznaczyć dla x 0 =9 35 Przykład 2 Kolejne iteracje rozwinięcia: 36 18

19 Przykład 2 Wynika ostateczny 37 Inny warianty wzoru Taylora można osiągnąć zamieniając x na x+h i c na x Punkt a leży pomiędzy x i x+h 38 19

20 Przykład 3 W oparciu o przedstawiony wariant wzoru Taylora można obliczyć przybliżoną wartość funkcji dla wartości rzeczywistej. Obliczyć Najbliższym znanym całkowitym rozwiązaniem pierwiastka dającym wynik całkowity jest 39 Przykład

21 W obliczeniach numerycznych często zamiast ostatecznego wyniku otrzymuje się ciąg przybliżonych rozwiązań, zazwyczaj coraz dokładniejszych. Rozwiązanie określamy wtedy jako: a wynik określamy w sytuacji gdy :, 41 Rozwiązania obliczeń numerycznych posiadają zazwyczaj więc rozwiązanie w postaci ciągu zbieżnego. Poszukiwane rozwiązanie może być zbieżne: 1.liniowo 2.nadliniowo 3.kwadratowa 4.rzędu a 42 21

22 Zbieżność liniowa Jeżeli istnieje stała c<1 i liczba całkowita N takie że: gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań. 43 Zbieżność nadliniowa Jeżeli istnieje ciąg e n zbieżny do zera i liczba całkowita N takie że: gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań

23 Zbieżność kwadratowa Jeżeli istnieją stała C>0 i liczba całkowita N takie że: gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań. 45 Zbieżność rzędu a Jeżeli istnieją stała C>0, stała a>1 oraz liczba całkowita N takie że: gdzie, x* jest wartością (rzeczywistą) do jakiej zbieżny jest ciąg rozwiązań. Dla a wynoszących: 1 < a < 2 superliniowa a = 3 kubiczna 46 23

24 Równania różnicowe Pod pojęciem równania różnicowego rozumiemy związek pomiędzy kilkoma elementami ciągu rekurencyjnego, natomiast jego rozwiązaniem jest n-ty wyraz tego ciągu. Ciągiem rekurencyjnym określamy taki ciąg którego każdy wyraz zdefiniowany jest poprzez odwołanie do wyrazów poprzednich. 47 Równania różnicowe Symbol iloczynu pewnej liczby wyrazów w ciągu: Operator przesunięcia E określony na ciągach: 48 24

25 Równania różnicowe Operator identyczności I Postać ogólna wielomianu stopnia k zmiennej l Operator wielomianowy p(e) przyjmuje postać: 49 Równania różnicowe Na ciągu x(n) operator wielomianowy przyjmuje postać: 50 25

26 Przykład 4 W chwili t=0 pewna populacja liczy P(0) (0). Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b, a współczynnik umieralności d. Zapisać równanie różnicowe opisujące przyrost populacji. Jeżeli dla n-tego roku stan populacji wynosi P(n) to: 51 Przykład 4 Dążąc do postaci ogólnej ciągu P(n) wprowadzamy oznaczenie r=b-d Można więc zaproponować postać ogólną równania różnicowego: 52 26

27 Przykład 4 Na podstawie warunku początkowego dla n=0, P(n)=P(0) można wyznaczyć wartość stałej A: Równanie różnicowe dla postawionego problemu przyjmie więc postać: 53 Przykład 4 Dla P(0)= oraz dzietnością i umieralnością opisanymi w tabeli można wykreślić rodzinę krzywych wzrostu populacji