PRZESTRZEŃ GEOGRAFICZNA JAKO PRZESTRZEŃ TOPOLOGICZNA. Wprowadzenie

Transkrypt

1 Elżbieta Lewandowicz Katedra Geodezji Szczegółowej Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Materiały z V Seminarium, Modelowanie Danych Geograficznych pt. Modelowanie informacji geograficznej według norm europejskich i potrzeb infrastruktur informacji przestrzennej. Warszawa, Tom 3, str PRZESTRZEŃ GEOGRAFICZNA JAKO PRZESTRZEŃ TOPOLOGICZNA Wprowadzenie W badaniach geograficznych przestrzeń geograficzna reprezentuje powierzchnię (powłokę krajobrazową) Ziemi w jej fizycznym, przyrodniczym, złożonym zróżnicowaniu (http 1). Geografów interesuje rzeczywista przestrzeń trójwymiarowa, w której mieszczą się różne formy działalności społeczno ekonomicznej człowieka oraz ich uwarunkowania (http 2). Zarówno ukształtowanie powierzchni Ziemi jak i widoczne skutki działalności człowieka stanowią obiekty geograficzne. Informacje o takich obiektach gromadzą i udostępniają Systemy Informacji Geograficznej (GIS). Systemy Informacji Geograficznej składają się z baz danych geometrycznych i opisowych o obiektach geograficznych oraz z funkcji - narzędzi przeznaczonych do wykonywania analiz przestrzennych wspomagających najczęściej zadania decyzyjne. Część ze wspomnianych funkcji analitycznych wymaga lokalizacji obiektów za pomocą współrzędnych, a inne - jedynie relacji między obiektami geograficznymi, np. obiekty sąsiadują ze sobą, obiekty są położone przy jednym ciągu komunikacyjnym. Takie relacje umiemy sami określić w oparciu o znajomość przestrzeni lub odczytać z mapy, a w GIS istnieją odpowiednie narzędzia do opisania podstawowych relacji topologicznych między obiektami na podstawie danych geometrycznych (Esri 2003, Autodesk 2000). W tym celu geometryczny obraz przestrzeni geograficznej traktuje się jako przestrzeń topologiczną. Teoria topologii pozwala spojrzeć na przestrzeń od strony związków i relacji między podzbiorami przestrzeni zbiorami otwartymi. Zgodne z teorią działania na podzbiorach obiektów geograficznych są przydatne przy modelowaniu danych przestrzennych w sposób przydatny do analiz przestrzennych. W funkcjonujących systemach GIS zakłada się, że geometrię obiektów przestrzeni geograficznej można przedstawić jako elementy przestrzeni topologicznej za pomocą grafów z ich węzłami, krawędziami, obszarami (Esri 2003, Autodesk 2000). W oparciu o te elementy, proponuje się budowę modeli topologicznych: sieciowych i obszarowych na wyselekcjonowanych danych geometrycznych (PKN 2002, Gaździcki 1990, Eckes 2006, Bielecka 2006). Różne modele topologiczne są podstawą do

2 budowy różnych narzędzi analitycznych (Molenaar 1998, Chrobak 2000, 2002, Kulikowski 1986, Osiadacz 2001, Potrykowski 1983). Norma ISO Geographic Information Spatial schema definiuje proste i złożone obiekty geometryczne i topologiczne należące do danych przestrzennych, relacje między nimi i podstawowe operacje na nich (agregacje, przecięcia, bufory, najkrótszą drogę, ). Mają one służyć budowie modeli danych przestrzennych właściwych dla konkretnych analiz przestrzennych. Łącząc dane topologiczne i geometryczne można zbudować narzędzia analityczne integrujące te dane i umożliwiające wizualizację wyników analiz w układzie przestrzennym. Cel pracy Celem niniejszej pracy jest przedstawienie pewnych topologii przestrzeni geograficznej określonych w oparciu o elementy geometryczne opisujące obiekty geograficzne. Różne sposoby zapisu topologii utworzonej w oparciu o te same dane geometryczne, mają ukazać możliwości modelowania danych topologicznych w szerszym zakresie niż to, co jest proponowane w typowych narzędziach GIS. Potrzeba budowania konkretnych topologii powinna wynikać z potrzeb analitycznych (Lewandowicz 2005, 2006). W typowych systemach GIS brakuje możliwości prostego określenia topologii danych przestrzennych w sposób odpowiedni do rozwiązania postawionych problemów. Rolę geometrii i topologii w zadaniach związanych z modelowaniem narzędzi analitycznych ilustruje rys. 1. Topologia danych geometrycznych Obiekty geometryczne Topologia użytkownika Modele matematyczne (GRAFY DIGRAFY) Modele analityczne Atrybuty opisowe obiektów geograficznych Rys. 1. Schemat przedstawiający rolę geometrii i topologii przy modelowaniu zadań analitycznych w GIS 2

3 Geograficzna przestrzeń topologiczna Przestrzeń, a przestrzeń topologiczna Przestrzeń P w matematycznym rozumieniu (Borsuk 1964) to zbiór punktów o określonych współrzędnych. Wraz z określeniem przestrzeni P jako zbioru, można mówić np. o przestrzeni zwartej, ograniczonej, spójnej. Szczegółowe wyjaśnienia tych pojęć można znaleźć w opracowaniach matematycznych (Borsuk 1964), związanych z przestrzenią wielowymiarową. Przestrzeń topologiczna (P,Q) to przestrzeń P z określoną rodziną zbiorów otwartych Q (Engelking, Sieklucki 1986). Mówiąc o przestrzeni topologicznej (P,Q), należy określić zbiór P i w tym zbiorze wyróżnić podzbiory Q jako zbiory otwarte, spełniające trzy aksjomaty: 1. zbiór pusty oraz zbiór E należą do rodziny Q (zbiór pusty oraz E są zbiorami otwartymi), 2. jeżeli E 1 Q i E 2 Q, to E 1 E 2 Q (przecięcie dowolnych dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym), 3. jeżeli E s Q dla każdego e E, to Q (dowolna suma E s e E mnogościowa zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym). Każdym zbiorom otwartym E s, Es Q, Es P w przestrzeni zwartej P z określoną topologią (P,Q), można wyróżnić wnętrza zbiorów i ich domknięcia oraz zbiory zewnętrzne. Zbiory otwarte to wnętrza zbiorów. W jednej przestrzeni P można wyróżnić wiele rodzin zbiorów otwartych (P,Q 1 ), (P,Q 2 ),, (P,Q n ). Każde wyróżnienie Q n może wiązać się z określoną cechą punktów przestrzeni. W każdym zbiorze otwartym rodziny Q n, punkty i ich otoczenia są tożsame. Z pojęciem przestrzeni topologicznej (P,Q) wiąze się pojęcie topologii. W literaturze matematycznej (Engelking, Sieklucki 1986) przez topologię określa się niezmienniki przekształceń homeomorficznych przestrzeni topologicznej. Przykłady przekształceń (ciągłych i wzajemnie jednoznacznych, takich, że przekształcenie odwrotne jest ciągłe) przedstawiono na rys. 2. Relacje między zbiorami A, B, C, D, E w każdym przedstawieniu na rys. 2 są tożsame, są niezmiennikami tych przekształceń czyli stanowią topologię przestrzeni. 3

4 A O A A C B O C B O C B D E D E D E Rys. 2. Przekształcenia homeomorficzne otoczenia punktów w zbiorach A,B, C, D, E, nie zmieniają się, relacje między zbiorami są zachowane, opracowano na podstawie (Chrobak 2000) Geograficzne przestrzenie topologiczne Przyjmuje się, że przestrzeń geograficzna jest zbiorem punktów opisanych za pomocą współrzędnych i innych atrybutów. Taką przestrzeń geograficzną można przedstawić jako wiele przestrzeni topologicznych, poprzez wyróżnienie podprzestrzeni tematycznych. Zilustrują to podane niżej przypadki. Załóżmy, że przestrzeń G zwarta i ograniczona jest zbiorem punktów powierzchni obrębu, wydzielonym za pomocą granicy. Obszar G w warstwach tematycznych GIS jest różnie klasyfikowany i w zależności od klasyfikacji opisywany za pomocą odpowiednich atrybutów. Lista atrybutów z rozpatrywanych klasyfikacji odnosi się do wszystkich podzbiorów zbioru G w tym punktów. Niech te atrybuty punktów przestrzeni obrębu G będą podstawą określenia różnych przestrzeni topologicznych (G,Q n ), n={1, 2,..n}, gdzie Q n jest rodziną zbiorów otwartych przestrzeni G. Zasadę, że w jednej przestrzeni punktów można wyróżnić wiele przestrzeni topologicznych Q n, zastosowano niżej określając przestrzenie topologiczne - ewidencyjną i adresową. Załóżmy, że punkty powierzchni kolejnych działek ewidencyjnych obrębu stanowią podprzestrzenie podzbiory przestrzeni G - zbiory otwarte. Każdy z tych podzbiorów jest domknięty za pomocą granic. Granice jako części wspólne działek (zgodnie z 2. aksjomatem, przedstawionym wyżej) są zbiorami otwartymi. Można przyjąć, że określając działki w obrębie, definiujemy ewidencyjną przestrzeń topologiczną (G,Ew) zawierającą rodzinę zbiorów otwartych opisujących wnętrza zbiorów: powierzchni działek, linii granicznych oraz punktów granicznych. Punkty każdego z tych podzbiorów mają jednakowe atrybuty. W rozpatrywanej przestrzeni obrębu G można wyróżnić i inne przestrzenie topologiczne wśród nich - przestrzeń adresową (G,Ad). Przyjmijmy, że składają się na nią podzbiory agregowane (sumy 4

5 mnogościowe; aksjomat 3) ze zbiorów punktów powierzchni działek zlokalizowanych przy poszczególnych ulicach - rys 3. Podobnie jak w przestrzeni ewidencyjnej tak i w przestrzeni adresowej obok punktów przynależnych do podprzestrzeni o określonych adresach, należy wyróżnić punkty domykające te podprzestrzenie, w postaci linii rozgraniczających i określonych punktów granicznych. Przestrzeń G Przestrzeń topologiczna (G,Ew) Przestrzeń topologiczna (G,Ad) Rys.3. Przestrzeń obrębu G wizualizowana jako przestrzeń topologiczna ewidencyjna (G,Ew) i przestrzeń adresowa (G,Ad) W oparciu o inne atrybuty punktów powierzchni obrębu G można przedstawić i inne przestrzenie topologiczne (G,Q n ). Najprościej określić je można na podstawie atrybutów opisowych działek ewidencyjnych i użytków oraz za pomocą działań na zbiorach: sumy zbiorów, przecięcia zbiorów, dopełnienia zbiorów. W ten sposób da się utworzyć topologiczne przestrzenie użytków i różnych form własności gruntów. Przedmiotem zainteresowania może być także przestrzeń opisana w sposób dyskretny, podobny do danych mapy numerycznej. Wtedy linie przedstawiane są jako krzywe łamane zbudowane z odcinków prostoliniowych. W bazie danych są one reprezentowane przez listy punktów załamania. W ten sposób powstają zbiory punktów linii opisujących np. przebieg granic (Gr) czy sieci wodociągowej (W). W tak rozumianej przestrzeni także można wyodrębnić różne podzbiory tematyczne, jako 5

6 rodziny zbiorów otwartych. Na rys. 4 przedstawiono przestrzeń W jako zbiór punktów linii obrazujących przebieg sieci wodociągowej. W przestrzeni W wyróżniono dwie różne rodziny zbiorów otwartych: przestrzeń topologiczną (W, Od) opisującą odcinki sieci i (W,Prz) przewody. Proces wydzielania obu rodzin jest prowadzony w oparciu o wartości atrybutów określonych punktów sieci. Widać też, że zbiory punktów reprezentujących przewody są sumą zbiorów punktów reprezentujących odcinki sieci wodociągowej. Punkt domknięcie 2 odcinków Odcinek przewodu zbiór otwarty Przestrzeń topologiczna (W, Od) sekcja przewodu - zbiór otwarty, Przestrzeń topologiczna (W, Prz) Punkt domknięcie trzech sekcji przewodów Rys.4. Przestrzeń dyskretna W przedstawiająca sieć wodociągową jako przestrzeń odcinków sieci (W,Od) i przewodów (W,Prz) Topologia Topologia to relacje między zbiorami otwartymi. Jak je opisać w przestrzeni topologicznej? Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią symetryczną (Engelking, Sieklucki 1986). Można ją opisać za pomocą grafów geometrycznych przedstawiając zbiory otwarte i ich domknięcia jako obszary (ściany), krawędzie oraz węzły grafu. Relacje między tak interpretowanymi zbiorami łatwo odczytać z grafu. Będą one widoczniejsze, jeśli graf zostanie zastosowany graf skierowany. Te relacje stanowią topologię przestrzeni. Przykłady takich zapisów w dla obiektów liniowych przedstawiono na rys. 5. Wykonując działania na tych relacjach można otrzymać nowe postaci zapisu topologii, pokazane graficznie na rys. 6. Podobne przekształcenia można zrealizować dla obiektów powierzchniowych, jak zostało przedstawione na rys 7. 6

7 Geometria Przestrzeń topologiczna Topologia Relacje Rys. 5. Przedstawienie obiektów geometrycznych za pomocą przestrzeni topologicznych i topologii 7

8 Geometria A B C D E F Przestrzeń topologiczna A 1 B 2 C 3 D F 4 E Rys.6. Zapisy topologii przestrzeni uzyskane w wyniku przekształceń 8

9 Geometria Przestrzeń topologiczna Topologia Topologie w przetworzonych postaciach Rys. 7. Różne topologie utworzone w oparciu o jedne dane geometryczne opisane w formie przestrzeni topologicznej Widać, że opis przestrzeni topologicznej za pomocą grafów wykorzystano do przedstawienia różnych topologii relacji między podzbiorami i że zrobiono to używając grafów skierowanych (rys.7). Nowe formy topologii można utworzyć w oparciu o analizę grafu, przekształcając go w graf skierowany czyli digraf lub graf dualny oraz wydzielając podgrafy drzewa i ścieżki. Narzędzia analityczne przeznaczone do takich przekształceń powinno się przygotować w oparciu o modele matematyczne bazujące na zapisie grafów w postaci macierzowej. Ilustracje podobnych przekształceń można znaleźć w literaturze matematycznej (Wilson 2000, Kulikowski 1986), w stosowanych aplikacjach GIS (Autodesk 2000, ESRI 2003) i opracowaniach naukowych (Bera, Claramunt 2003, Lewandowicz 2004, 2005, 2006, Lewandowicz, Bałandynowicz 2005). Algorytmy oparte na przekształcaniu grafów są podstawą do budowania różnych informatycznych narzędzi analitycznych. Wnioski Na podstawie rozważonych przypadków budowania różnych przestrzeni topologicznych i topologii w oparciu o dane geometryczne charakterystyczne dla przestrzeni geograficznej można wyciągnąć następujące wnioski: 9

10 dane geometryczne opisujące przestrzeń geograficzną są cennym źródłem informacji pozwalającym na uzyskanie związków i relacji między obiektami geograficznymi potrzebnych do analiz przestrzennych, jedną przestrzeń geograficzną, opisaną i danymi geometrycznymi i innymi, można przedstawić jako różne przestrzenie topologiczne, w zależności od analizowanych cech przestrzeni geograficznej, bazując na danych geometrycznych opisujących przestrzeń geograficzną, można określić różne topologie obiektów geograficznych, topologia obiektów geograficznych zapisana w formie digrafu jest modelem matematycznym przyjaznym do budowy narzędzi analitycznych. Literatura Autodesk, 2000; User s Manual for AutoCad Map@-2000, Release 4 Bera R., Claramunt Ch., 2003; Topolgy-based proximities in spatial systems. Journal of Geographical Systems, Springer-Verlag, Vol. 5 pp Bielecka E., 2006; Systemy informacji geograficznej. Teoria i zastosowania. PIWSTK, Warszawa, 229 s. Borsuk K., 1964; Geometria analityczna wielowymiarowa. Biblioteka matematyczna, Tom 23, Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 474 s. Chrobak T., 2000; Modelowanie danych przestrzennych przy użyciu struktury FDS Molenaara. Materiały II Ogólnopolskiego Seminarium Modelowanie danych przestrzennych, Warszawa, s Chrobak T., 2002; Budowa struktury bazy danych przestrzennych dla liniowych obiektów sieciowych, których kształt podlega uogólnieniu. Geodezja; półrocznik AGH, Kraków, Tom 8, Zeszyt 1, s Eckes K., 2006; Modelowanie rzeczywistości geograficznej w systemach informacji przestrzennej. Roczniki Geomatyki. Tom IV, Zeszyt 2, Warszawa, s Engelking R., Sieklucki K., 1986; Wstęp do topologii. Biblioteka matematyczna, Tom 62, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, PWN, Warszawa, 458 s. Esri, 2003; ArcGIS: Working With Geodetabase Topology, An ESRI White Paper Gaździcki J., 1990; Systemy Informacji Przestrzennej. Państwowe Przedsiębiorstwo Wydawnictw Kartograficznych, Warszawa, 182 s. ISO 19107; Geographic information spatial schema ttp:// 10

11 Kulikowski J., L., 1986; Zarys teorii grafów. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, PWN, Warszawa, 511 s. Lewandowicz E., 2004; Grafy jako narzędzie do definiowania relacji przestrzennych pomiędzy danymi geograficznymi. Roczniki Geomatyki, Tom II, Zeszyt 2, Warszawa, s Lewandowicz E., 2005; Analizy sąsiedztwa mikroregionów w regionie w oparciu o dane przestrzenne zapisane w formie grafu geometrycznego. Roczniki Geomatyki, Warszawa, Tom III, Zeszyt 1, s Lewandowicz E., Bałandynowicz J., 2005; Some Ways of Formulation of Objective Functions for Chosen Space Analysis. The 6 th International Conference Faculty of Environmental Engineering, Vilnius Gediminas Technical University, Volume 2, pp Lewandowicz E., 2006; Area Neighbourhood Models. Polish Academy of Sciences, Geodezja i Kartografia, Geodesy and Cartography, Vol. 55, No. 3, pp Molenaar M., 1998: An introduction to the theory of spatial object modeling for GIS. Taylor & Francis, London, 246 pp. Osiadacz A., J., 2001; Statyczna symulacja sieci gazowej. Biblioteka Inżyniera Gazownika, Warszawa, 409 s. PKN, 2002; Informacja geograficzna, Opis danych, Schemat przestrzenny. Polski Komitet Normalizacyjny; Polska Norma, PZPN-N-12160, 81 s. Potrykowski M., 1983; Rozwój społeczno-gospodarczy a zagospodarowanie drogowe w Polsce. PAN, Komitet Przestrzennego Zagospodarowania Kraju Studia Tom LXXX, PWN, Warszawa, 97 s. http 1; wrzesień 2007 http 2; wrzesień