Informatyka. Wykład /2018z
|
|
- Paulina Brzozowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Informatyka Wykład /2018z Bogumil.Konopka@pwr.edu.pl
2 Plan Problemy algebry liniowej (rozwiązywanie układów równań) Uchwyty do funkcji, funkcje anonimowe Analiza funkcji matematycznych: Interpolacja, aproksymacja, ekstrapolacja Całkowanie Różniczkowanie MATLABa w obliczeniach statystycznych (Tutorial do tworzenia GUI)
3 Układ równań w algebrze Układ równań liniowych: Zapis macierzowy: Równoważne iloczynowi Slajd W. Dyrka, Informatyka 2011/2012 wykład 6
4 Rozwiązywanie układów równań x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 0 x 1 x 3 = 1 2x 1 3x 2 x 3 = 3 A x = b Rozwiązanie: A x x 1 x 2 x 3 = b A 1 A x = A 1 b x = A 1 b x = A\b Przykład: B Mrozek, Z Mrozek, 2010, Roz
5 Rozwiązywanie układów równań (2) Układ równań jest oznaczony tzn. liczba liniowo niezależnych równań = liczbie zmiennych x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 0 x 1 x 3 = 1 2x 1 3x 2 x 3 = 3 x = A 1 b x = A\b A=[-1 3 2;1 0-1; ] %utworzenie macierzy wspolczynnikow uwarunkowanie=cond(a) %sprawdzenie właściwości numerycznych b=[0 1 3]' % lub b=[0;1;3] x=a\b % metoda szybsza i dokladniejsza x2=inv(a)*b % metoda wolniejsza i mniej dokladna x = x2 = x 1 x 2 x 3 = Przykład: B Mrozek, Z Mrozek, 2010, Roz
6 Rozwiązywanie układów równań liniowych (3) Obliczenie współczynników funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty (x 1 =- 1, y 1 = 1); (x 2 =1, y 2 = 3) y = a 1 x + a 2 a 1 = a a 2 3 = a a 2 y X 1 3 = a 1 a 2 y=[1;3] X=[-1 1;1 1]; a=x\y
7 Rozwiązywanie układów równań liniowych (2) Obliczenie współczynników funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty (x 1 =- 1, y 1 = 1); (x 2 =1, y 2 = 3) y = a 1 x + a 2 a 1 = a a 2 3 = a a 2 y X 1 3 = a 1 a 2 y=[1;3] X=[-1 1;1 1]; a=x\y osx=-1.5:0.001:1.5; y1=osx.*a(1)+a(2); plot(x(:,1),y,'mo', 'LineWidth',2 %CIACH...
8 Rozwiązywanie układów równań układ niedookreślony Liczba równań niezależnych liniowo jest MNIEJSZA niż liczba zmiennych Obliczyć równanie hiperboli przechodzącej przez punkty (x 1 =- 1, y 1 = 1); (x 2 =1, y 2 = 3) y = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 1 y=[1;3] xp=[-1;1] X=[xp.^2 xp; ones(2,1)]; a_d=x\y a_pinv=pinv(x)*y y X a 1 3 = a a 2 a 3
9 Rozwiązywanie układów równań układ niedookreślony Liczba równań niezależnych liniowo jest MNIEJSZA niż liczba zmiennych Obliczyć równanie hiperboli przechodzącej przez punkty (x 1 =- 1, y 1 = 1); (x 2 =1, y 2 = 3) y = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 1 y=[1;3] xp=[-1;1] X=[xp.^2 xp; ones(2,1)]; a_d=x\y a_pinv=pinv(x)*y y X a 1 3 = a a 2 a 3 a_d = a_pinv =
10 Rozwiązywanie układów równań układ nadokreślony Liczba równań niezależnych liniowo jest WIĘKSZA niż liczba zmiennych Obliczyć równanie hiperboli przechodzącej przez N punktów (x_data,y_data) y = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 y 1 y M = 2 x 1 x x M x M 1 a 1 a 2 a 3
11 Rozwiązywanie układów równań układ nadokreślony Liczba równań niezależnych liniowo jest WIĘKSZA niż liczba zmiennych Obliczyć równanie hiperboli przechodzącej przez N punktów (x_data,y_data) y = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 y 1 y M = 2 x 1 x x M x M 1 a 1 a 2 a 3 X=[x_data.^2 x_data; ones(n,1)]; a_d=x\y_data(:); a_pinv=pinv(x)*y_data(:); osx=-1.5:0.001:1.5; y2=a_d(1)*osx.^2+a_d(2)*osx+a_d(3); y2_pinv=a_pinv(1)*osx.^2+a_pinv(2)*osx+a_pinv(3);
12 Operator dzielenia lewostronnego \ Operator \ pozwala rozwiązać układ równań w postaci A x = b x = A\b Algorytm rozwiązania wybierany jest automatycznie: Alg. permutowanego podstawiania wstecz (A macierz trójkątna lub przestawiona) Algorytm eliminacji Gaussa (A - macierz kwadratowa, niesymetryczna i nie trójkątna) Rozkład QR i rozwiązanie w sensie minimum błędu średniokwadratowego A x b (A - macierz prostokątna)
13 Interpolacja aproksymacja - ekstrapolacja
14 Interpolacja aproksymacja - ekstrapolacja
15 Interpolacja aproksymacja - ekstrapolacja
16 Interpolacja aproksymacja - ekstrapolacja
17 Interpolacja w MATLABIE Interpolacja za pomocą funkcji interp1 %Przykladowe dane x=-10:0.1:10; y=1./(1+exp(-0.8.*x)); y_exp=y+randn(1,201)*0.1; Ind=1:25:201; x_dane=x(ind); y_dane=y_exp(ind) %Interpolacja y_interp1= interp1(x_dane,y_dane,x,'linear'); y_interp1_nn= interp1(x_dane,y_dane,x,'nearest'); y_interp1_cubic= interp1(x_dane,y_dane,x,'cubic'); y_interp1_spline= interp1(x_dane,y_dane,x,'spline');
18 Interpolacja w MATLABIE Interpolacja za pomocą funkcji interp1 %Przykladowe dane x=-10:0.1:10; y=1./(1+exp(-0.8.*x)); y_exp=y+randn(1,201)*0.1; Ind=1:25:201; x_dane=x(ind); y_dane=y_exp(ind) %Interpolacja y_interp1= interp1(x_dane,y_dane,x,'linear'); y_interp1_nn= interp1(x_dane,y_dane,x,'nearest'); y_interp1_cubic= interp1(x_dane,y_dane,x,'cubic'); y_interp1_spline= interp1(x_dane,y_dane,x,'spline');
19 Interpolacja sygnałów okresowych Interpolacja za pomocą funkcji interpft %Spróbkowany sygnał y = [ ]; N = length(y); %Interpolacja L = 5; %Czynnik zwiekszenie probkowania M = N*L;%Tyle punktów pomiarowych chcemy uzyskać x = 0:L:L*N-1; xi = 0:M-1; yi = interpft(y,m); plot(x,y,'o',xi,yi,'*') legend('original data','interpolated data')
20 Inne funkcje interpolujące interp2, interp3, interpn Interpolacja dwu-, trój- i N- wymiarowa griddata, griddatan Interpolacja trój- N-wymiarowa na siatce Scatteredinterpolant Interpolacja trójwymiarowa na siatce spline, pchip Wylicza to samo co: interp( spline ), interp(, cubic ) ppval Wylicza wartości funkcji sklejanej
21 Ekstrapolacja Większość funkcji interpolujących może służyć do ekstrapolacji x_extrap=10:20; %x z poza zakresu x_dane %Interpolacja y_interp1_cubic= interp1(x_dane,y_dane,x, 'cubic'); y_interp1_spline= interp1(x_dane,y_dane,x,'spline'); %Ekstrapolacja y_extrap_cubic= interp1(x_dane,y_dane, x_extrap,'cubic'); y_extrap_spline= interp1(x_dane,y_dane, x_extrap,'spline'); Trzeba uważać!
22 Aproksymacja Funkcja aproksymująca nie musi przechodzić przez punkty dane Funkcja aproksymująca minimalizuje błąd
23 Aproksymacja wielomianem (polyfit, polyval) Większość funkcji można dopasować wielomianem Konieczne jest dobranie odpowiednio dużego stopnia %APROKSYMACJA [p,s]=polyfit(x,y_exp,7); [y_fit,delta]=polyval(p,x,s); figure plot(x,y_exp,'o',x,y_fit,':r') xlabel('os X') ylabel('os Y') axis([-10.2,10.2,-0.2,1.2]) >> p p = y x = x x x
24 Aproksymacja wielomianem (polyfit, polyval) Polyfit zwraca: p - wektor współczynników wielomianu S struktura współczynników koniecznych do estymacji błędu Polyval zwraca: y_fit wartości wielomianu dla x Delta estymator odchylenia standardowego błędu (y p(x)) y±delta zawiera przynajmniej 50% wszystkich próbek [p,s]=polyfit(x,y_exp,7); [y_fit,delta]=polyval(p,x,s);
25 Ocena skuteczności dopasowania Estymacja błędu - delta hold on plot(x,y_exp,'o',x,y_fit,':r') errorbar(x(1:20:201),y_fit(1:20:201),... delta(1:20:201),'linestyle','none',..., 'Color','Red') Błąd średniokwadratowy RMSE (Root Mean Squared Error) RMSE = 1 N 1 i=1 N y i p(x i ) 2
26 Aproksymacja funkcją fit opts = fitoptions('method','nonlinear','normalize','off') ftype = fittype('1/(1+exp(-b*x))','options',opts) [g, gof, out ] = fit(x',y_exp',ftype) Fitoptions - definiuje opcje algorytmu wykorzystanego przy dopasowywaniu np.: Algorytm Punkt początkowy algorytmu itp.. Fittype definiuje model użyty w dopasowaniu Może być z biblioteki domyślnych modeli (np. poly1, poly2, poly3 ) Może być model ustalony przez użytkownika (np. '1/(1+exp(-b*x))')
27 Aproksymacja funkcją fit ocena skuteczności [g, gof, out ] = fit(x',y_exp',ftype) >> g g = General model: g(x) = 1/(1+exp(-b*x)) Coefficients (with 95% confidence bounds): b = (0.6541, ) >> gof gof = sse: rsquare: dfe: 200 adjrsquare: rmse: WAŻNE! >> out out = numobs: 201 numparam: 1 residuals: [201x1 double] Jacobian: [201x1 double] exitflag: 3 firstorderopt: e-04 iterations: 4 funccount: 10 cgiterations: 0 algorithm: 'trust-region-reflective' message: 'Success, but fitting stopped because change in residuals less than tolerance (TolFun).
28 Aproksymacja funkcją fit - wynik opts = fitoptions('method','nonlinear',... 'Normalize','Off') ftype = fittype('1/(1+exp(-b*x))',... 'options',opts) [g,gof,out] = fit(x',y_exp',ftype) %Wyliczenie punktow g_fit=1./(1+exp(-g.b*x)); [g1,gof1,out1]=fit(x',y_exp','poly3') %Wyliczenie punktow g_fit_poly3=g1.p1*x.^3... +g1.p2*x.^2+g1.p3*x+g1.p4; figure hold on plot(x,y_exp,'bo') plot(x,g_fit,'-r','linewidth',3) plot(x,g_poly3,':r','linewidth',3) legend('points','1/(1+exp(-b*x))','poly3')
29 Uchwyty do funkcji Pozwala odnosić się do funkcji, bez korzystania z nazwy uchwyt_wyk=@plot % utworzenie uchwytu do funkcji plot uchwyt_wyk(x,y) % wykres liniowy uchwyt_wyk=@bar % utworzenie uchwytu do funkcji bar uchwyt_wyk(x,y) % wykres slupkowy Ta sama instrukcja, różne efekty
30 Uchwyty do funkcji prosty przykład Chcemy napisać program, który będzie wizualizował dane Mamy kilka funkcji do wizualizacji W zależności od potrzeb użytkownika do wizualizacji będą wykorzystywane różne funkcje function rysuj_wykres(x,y,uchwyt_do_rysowania) uchwyt_do_rysowania(x,y) Program przyjmuje uchwyt do funkcji rysującej jako argument wejściowy >> uchwyt_wyk=@plot; >> rysuj_wykres(x,y,uchwyt_wyk) >> uchwyt_wyk=@bar; >> rysuj_wykres(x,y,uchwyt_wyk) >> rysuj_wykres(x,y,@plot) >> rysuj_wykres(x,y,@bar)
31 Uchwyty do funkcji kiedy przydatne? Nasz program chce coś osiągnąć. Jest kilka sposobów na osiągnięcie celu. Posługujemy się uchwytem żeby dać możliwość łatwej modyfikacji sposobu osiągnięcia celu uchwyt umożliwia przekazywanie funkcji jako argumentu wejściowego. Przykład: Program na jakimś etapie korzysta z N liczb losowych. Mamy do dyspozycji kilka funkcji generujących liczby losowe. Program może korzystać z uchwytu do funkcji generującej liczby losowe użytkownik może łatwo zmieniać rozkład generowanych liczb.
32 Funkcje anonimowe Funkcje, które nie mają nazwy. Korzystamy z nich tylko przez uchwyty. Skladnia: Uchwyt (lista_arg) wyrazenie
33 Funkcje anonimowe - przykład a=-2 %[m/s2] V0=10 %[m/s] Uchwyt (lista_arg) wyrażenie %Utworzenie funkcji anonimowej z jednym argumentem wejsciowym uchwyt=@(t)v0*t+(a*t.^2)/2 clear a, V0 t=0:10; S=uchwyt(t)%skorzystanie z funkcji anonimowej plot(t,s) plot(t,uchwyt(t))
34 Całkowanie numeryczne metoda trapezów % predkosci vel = [ ]; time = 0:24; %czas distance = trapz(time,vel) Znaczny błąd jeżeli: f(x) nie jest liniowa, a X i+1 X i są duże
35 Całkowanie numeryczne metody adaptacyjne (integral, quad, quadl, quadgk) Składnia: calka = integral (fun, xmin, xmax) calka = integral (fun, xmin, xmax, Name, Value) fun uchwyt do całkowanej funkcji Funkcja musi jako argument przyjmować wektor liczb i zwracać dla niego wektor wartości xmin dolna granica całkowania ymax górna granica całkowania AbsTol błąd bezwzględny, RelTol błąd względny, ArrayValued, Waypoints Algorytm globalnej kwadratury adaptacyjnej odcinki całkowania są najkrótsze w miejscach o największej zmienności f(x).
36 Całkowanie numeryczne metody adaptacyjne - przykład function y=rozkladnormalny(x) %Funkcja liczy gestosc prawdopodobienswa dla N(0,1) sigma=1; mu=0; y=1/(sigma*sqrt(2*pi))*exp(-(x-mu).^2/(2*sigma^2)); >> integral(@rozkladnormalny,-0.5,0.5) %skladnia integral(fun, xmin, xmax, Name, Value) ans =
37 Całkowanie numeryczne metody adaptacyjne - przykład function y=rozkladnormalny(x) %Funkcja liczy gestosc prawdopodobienswa dla N(0,1) sigma=1; mu=0; y=1/(sigma*sqrt(2*pi))*exp(-(x-mu).^2/(2*sigma^2)); >> integral(@rozkladnormalny,-0.5,0.5) %skladnia integral(fun, xmin, xmax, Name, Value) ans = r_norm=@(x,mu,sigma) 1/(sigma*sqrt(2*pi))*exp(-(x-mu).^2/(2*sigma^2)) x=-4:0.01:4; plot(x,r_norm(x,0,1)) clear x integral(@(x)r_norm(x,0,1),-3,3) %calka na przedziale [-3, 3] ans =
38 Różniczkowanie numeryczne Pochodna: f x 0 = dy dx = lim f x 0 + Δx f(x 0 ) Δx 0 Δx W obliczeniach numerycznych wyliczany jest iloraz różnicowy: dy dx = f x i+1 f(x i ) x i+1 x i W MATLABIE: dy_dx=diff(y)./diff(x)
39 Różniczkowanie numeryczne - przykład %Rozniczkowanie numeryczne s=@(a,t) 1/2*a.*t.^2; t=0:0.1:20 droga=s(0.5,t); dsdt=diff(droga)./diff(t); plot(t,droga,'-b',t(1:end-1),dsdt,'-r',... 'LineWidth',2) xlabel('t [s]') legend('droga', 'Predkosc')
40 Numeryczne obliczanie gradientu Gradient pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. ( X = gradient(f) [FX,FY] = gradient(f) % F tablica dwuwymiarowa [FX,FY,FZ,...] = gradient(f) % F tablica trójwymiarowa [...] = gradient(f,h) % h określa jakie sa odstępy między punktami [...] = gradient(f,h1,h2,... )
41 Numeryczne obliczanie gradientu przykład v = -2:0.2:2; [x,y] = meshgrid(v); z = x.* exp(-x.^2 - y.^2); %wyznaczenie funkcji [px,py] = gradient(z,.2,.2); figure surface(x,y,z) grid on figure contour(x,y,z) hold on quiver(v,v,px,py) %w punktach (v,v) rysuje wektory hold off
42 Numeryczne obliczanie gradientu przykład >> A=[ ; ; ] A = Rozpisać >> [px,py]=gradient(a) px = py = Przykład w oparciu o M Kotulska, Informatyka, Wykład 5, 2013/2014
43 Zastosowanie MATLABA w obliczeniach statystycznych - podstawy Poznanie danych wizualizacja i statystyki deskryptywne Testy na normalność rozkładu Przedziały ufności dla średniej Testy Studenta
44 Histogramy N=1000; X=2*randn(N,1)+2; Polecenie: hist(x) % Rysuje histogram z 10 przedzialami Hist(X,k) % Rysuje histogram z k przedziałami [nelem,xcenters]=hist(x) % Podaje licznosci % i srodki przedzialow, nic nie rysuje Liczba przedziałów k może zmieniać odbiór danych:* k= log 2 n+1 (Zasada Strug a ) k = max X min(x) h, h = 2 IQR(x) n 1/3 lub h = 3.5 s n 1/3 *Bethold,Borgelt,Höppner,Klawonn, Guide to Intelogent Data Anlysis, 2010
45 Statystyki deskryptywne data=[x,randn(n,1)]; srednia=mean(data) mediana=median(data) kwartyle=quantile(data,[0.25,0.5,0.75]) rozstep = range(data) rozstepiqr=iqr(data) odchstd_proba=std(data) odchstd_pop=std(data,1) srednia = mediana = kwartyle = minimum = maximium = rozstep = rozstepirq = odchstd_proba = odchstd_pop =
46 Wykres ramkowy - boxplot figure boxplot([x,randn(n,1)]) ylabel('wartosc X') xlabel('klasa') Co jest gdzie?
47 Standaryzacja rozkładu Z-score Standardyzacja: Zscore i = X i X s [X1_z,muX1,sigmaX1]=zscore(X); DoTransformacji=[muX1,sigmaX1] PrzedTransformacja=[mean(X), std(x)] PoTransformacji=[mean(X1_z), std(x1_z)] DoTransformacji = PrzedTransformacja = PoTransformacji =
48 Testy na normalność rozkładu W statystyce często wykonuje się założenie o normalności rozkładu Test Andersona-Darlinga [h,p,adstat,cv] = adtest(x) h = 0 p = adstat = cv = Test Kolmogorova-Smirnova >> [h,p,ksstat,cv] = kstest(x) h = 1 p = e-250 ksstat = cv = >> [h,p]=kstest(x1_z) h = p = Test Jarque-Bera >> [h,p,jbstat,critval] = jbtest(x) Warning: P is greater than the largest tabulated value, returning 0.5. > In jbtest at 133 h = 0 p = jbstat = critval =
49 Wykres kwantylowy - qqplot qqplot(x)
50 Przedział ufności dla μ, gdy σ nie znane Konstrukcja przedziału: μ ± tα 2 SE, Gdzie: SE = s n kwantyl z rozkładu Studenta, z n-1 stopniami swobody tα 2 >> CU=mean(X)+tinv([0.05/2, /2], 999).*std(X)/sqrt(N-1) CU = >> [muhat,sigmahat,mu_ci,sigma_ci] = normfit(x) muhat = sigmahat = mu_ci = sigma_ci =
51 Test t-studenta dla jednej próby h0: μ = 1 ha:μ 1 >> [h,p,ci,stats]=ttest(x,1) h = 1 p = e-46 ci = stats = tstat: df: 999 sd: h0:μ = 1 ha:μ < 1 %Czy średnia jest mniejsza? >> [h,p,ci,stats]=ttest(x,1,'tail','left') h = 0 p = 1 ci = -Inf stats = tstat: df: 999 sd:
52 Test t-studenta dla dwóch niezależnych prób h0: μ 1 = μ 2 ha: μ 1 μ 2 >> [h,p,ci,stats]=ttest2(x,x2) h = 1 p = e-136 ci = stats = tstat: df: 1998 sd:
53 Dzisiaj najważniejsze było: MATLAB rozwiązuje układy równań liniowych przy wykorzystaniu reprezentacji macierzowej Interpolacja, aproksymacja i ekstrapolacja to problemy związane z szacowaniem wartości funkcji. Interpolacja i aproksymacja różnią się pod względem podejścia. Ekstrapolacja może korzystać z metod zarówno interpolacji jak i aproksymacji. Uchwyty do funkcji pozwalają: przekazywać funkcje jako parametry do innych funkcji tworzyć funkcje anonimowe MATLAB ma zastosowania w różnych dziedzinach nauki i inżynierii
Matlab III Instrukcje, interpolacja, dopasowanie krzywych,
Matlab III Instrukcje, interpolacja, dopasowanie krzywych, Metody numeryczne w optyce 2017 Typy danych cd.. cell macierz komórkowa (blokowa) pojedynczymi elementami takiej macierzy mogą być nie tylko liczby
Bardziej szczegółowoElementarna analiza statystyczna
MatLab część V 1 Elementarna analiza statystyczna W standardowym pakiecie MatLab-a istnieją jedynie podstawowe funkcje analizy statystycznej. Bardziej zaawansowane znajdują się w pakiecie statystycznym
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoMATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący
MATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący Laboratorium 12: Zagadnienia zaawansowane Cel: Poznanie metod rozwiązywania konkretnych problemów Czas: Wprowadzenia 10 minut, ćwiczeń
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoSpis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII
Spis treści Od autora..................................................... Obliczenia inżynierskie i naukowe.................................. X XII Ostrzeżenia...................................................XVII
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Numerical methods. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoWykład 9 Wnioskowanie o średnich
Wykład 9 Wnioskowanie o średnich Rozkład t (Studenta) Wnioskowanie dla jednej populacji: Test i przedziały ufności dla jednej próby Test i przedziały ufności dla par Porównanie dwóch populacji: Test i
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoMetody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2
Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2 Dr hab. inż. Agnieszka Wyłomańska Faculty of Pure and Applied Mathematics Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Science and
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoRozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 3. Jeśli p α, to hipotezę zerową odrzucamy Jeśli p > α, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
LABORATORIUM 3 Przygotowanie pliku (nazwy zmiennych, export plików.xlsx, selekcja przypadków); Graficzna prezentacja danych: Histogramy (skategoryzowane) i 3-wymiarowe; Wykresy ramka wąsy; Wykresy powierzchniowe;
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Iteracja, proste metody obliczeniowe
Ćwiczenie 3. Iteracja, proste metody obliczeniowe Instrukcja iteracyjna ( pętla liczona ) Pętla pozwala na wielokrotne powtarzanie bloku instrukcji. Liczba powtórzeń wynika z definicji modyfikowanej wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Bardziej szczegółowoPodstawy MATLABA, cd.
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka Podstawy MATLABA, cd. 1. Wielomiany 1.1. Definiowanie
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych - zajęcia 9
Poniższy dokument zawiera informacje na temat zadań rozwiązanych w trakcie laboratoriów. Elementy metod numerycznych - zajęcia 9 Tematyka - Scilab 1. Labolatoria Zajęcia za 34 punktów. Proszę wysłać krótkie
Bardziej szczegółowoZwięzły kurs analizy numerycznej
Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoWykład 3. Rozkład normalny
Funkcje gęstości Rozkład normalny Reguła 68-95-99.7 % Wykład 3 Rozkład normalny Standardowy rozkład normalny Prawdopodobieństwa i kwantyle dla rozkładu normalnego Funkcja gęstości Frakcja studentów z vocabulary
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoMonte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoOszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez dla średnich w rozkładzie normalnym. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez dla średnich w rozkładzie normalnym Wrocław, 18.03.2016r Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym dla jednej próby Model 1 Testowanie hipotez dla
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoMatlab (5) Matlab równania różniczkowe, aproksymacja
Matlab (5) Matlab równania różniczkowe, aproksymacja Równania różniczkowe - funkcja dsolve() Funkcja dsolve oblicza symbolicznie rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania są określane przez
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;
LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny
Bardziej szczegółowoModele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4 Konrad Miziński, nr albumu 233703 31 maja 2015 Zadanie 1 Wartości oczekiwane µ 1 i µ 2 oszacowano wg wzorów: { µ1 = 0.43925 µ = X
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoPrzykład: UWAGA: Funkcja repmat służy do powielania elementów. Przykład: >> student.nazwisko ans = Abacki ans = Babcki
Wykład 4 Różne typy danych Zmienne złożone: typy cell i struct Łańcuchy znakowe Interpolacja i ekstrapolacja danych Dopasowywanie funkcji na podstawie punktów INNE TYPY DANYCH Struktura Struktury Struktury
Bardziej szczegółowoTworzenie macierzy pełnych Generowanie macierzy pełnych Funkcje przekształcające macierze pełne
SPIS TREŚCI 1. WSTĘP 7 2. ŚRODOWISKO MATLABA 10 2.1. Charakterystyka 10 2.2. Budowa pakietu 11 2.2.1. Okno poleceń, katalogów i pamięci roboczej 12 2.2.2. Podstawowe zasady poruszania się w obrębie środowiska
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Bardziej szczegółowoTypy zmiennych. Zmienne i rekordy. Rodzaje zmiennych. Graficzne reprezentacje danych Statystyki opisowe
Typy zmiennych Graficzne reprezentacje danych Statystyki opisowe Jakościowe charakterystyka przyjmuje kilka możliwych wartości, które definiują klasy Porządkowe: odpowiedzi na pytania w ankiecie ; nigdy,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoDrugi sposób definiowania funkcji polega na wykorzystaniu polecenia:
ĆWICZENIE 6. Scilab: Obliczenia symboliczne i numeryczne Uwaga: Podczas operacji kopiowania i wklejania potrzeba skasować wklejone pojedyńcze cudzysłowy i wpisać je ręcznie dla każdego ich wystąpienia
Bardziej szczegółowoRedukcja wariancji w metodach Monte-Carlo
14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej)
Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej) 1 Podział ze względu na zakres danych użytych do wyznaczenia miary Miary opisujące
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie numeryczne
Różniczkowanie numeryczne Przyjmijmy, że funkcja ciągła y = f(x) = 4sin(3x)e -x/2, gdzie x 0,2π, dana jest w postaci dyskretnej jako ciąg wartości y odpowiadających zmiennej niezależnej x, również danej
Bardziej szczegółowoEksploracja Danych. Testowanie Hipotez. (c) Marcin Sydow
Testowanie Hipotez Wprowadzenie Testy statystyczne: pocz. XVII wieku (prace J.Arbuthnotta, liczba urodzeń noworodków obu płci w Londynie) Testowanie hipotez: Karl Pearson (pocz. XX w., testowanie zgodności,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoWykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych
Ćwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych Wszystko proszę zapisywać komendą diary do pliku o nazwie: imie_ nazwisko 1. Definiowanie macierzy i odwoływanie się do elementów:
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do środowiska
Wprowadzenie do środowiska www.mathworks.com Piotr Wróbel piotr.wrobel@igf.fuw.edu.pl Pok. B 4.22 Metody numeryczne w optyce 2017 Czym jest Matlab Matlab (matrix laboratory) środowisko obliczeniowe oraz
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoKwantyzacja wektorowa. Kodowanie różnicowe.
Kwantyzacja wektorowa. Kodowanie różnicowe. Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 7 12 kwietnia 2010 Kwantyzacja wektorowa wprowadzenie Zamiast kwantyzować pojedyncze elementy kwantyzujemy całe bloki
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoEksploracja danych - wykład IV
- wykład 1/41 wykład - wykład Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska 27 października 2016 - wykład 2/41 wykład 1 2 3 4 5 - wykład 3/41 CRISP-DM - standaryzacja wykład
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Bardziej szczegółowoInterpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji
27 styczeń 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 3 Slajd 1 Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji 27 styczeń 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 3 Slajd 2 Plan zajęć
Bardziej szczegółowoAlgorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta
Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta www.michalbereta.pl Sieci radialne zawsze posiadają jedną warstwę ukrytą, która składa się z neuronów radialnych. Warstwa wyjściowa składa
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoMATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY
MATLAB ŚRODOWISKO MATLABA OPIS, PODSTAWY Poszukiwanie znaczeń funkcji i skryptów funkcja help >> help % wypisuje linki do wszystkich plików pomocy >> help plot % wypisuje pomoc dotyczą funkcji plot Znaczenie
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) Metody numeryczne
KARTA KURSU (realizowanego w module ) Administracja systemami informatycznymi (nazwa ) Nazwa Nazwa w j. ang. Metody numeryczne Numerical methods Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator dr Kazimierz Rajchel Zespół
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoOdniesienie do kierunkowych efektów kształcenia Zna podstawowe możliwości pakietu Matlab
Załącznik nr 5 do Uchwały nr 1202 Senatu UwB z dnia 29 lutego 2012 r. Matlab, programowanie i zastosowania nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Tę część wypełnia koordynator przedmiotu (w porozumieniu
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13)
Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13) dr Mariusz Grządziel semestr letni 2012 Przykład wprowadzajacy W zbiorze danych homedata (z pakietu R-owskiego UsingR) można znaleźć ceny
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza
Bardziej szczegółowo