Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 9

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 9

2 Twierdzenie Picka Sformułowanie. Dowód: prostokąt o bokach równoległych do osi układu trójkąt połowa prostokąta o bokach równoległych do osi układu dowolny trójkąt dowód indukcyjny

3 Zadanie badawcze Dany jest ciąg liczb naturalnych dodatnich a 1,, a n. Tworzymy na bazie tego ciągu nieskończony ciąg postaci a 1,, a n, a 1,, a n, Niech E, S, W, N oznaczają odpowiednio kierunki wschód, południe, zachód oraz północ. Rysujemy łamaną, korzystając z przyporządkowania: (1,2,3,1) a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, E, S, W, N, E, Jakie łamane można w ten sposób otrzymać? W szczególności należy zastanowić się nad zamkniętością tych łamanych.

4 Zadanie badawcze Każdy ciąg złożony z trzech liczb generuje krzywą zamkniętą. Uzasadnienie. Inne odkrycia.

5 Logiczny przerywnik

6 Zadanie konkursowe: Kawa z mlekiem Dwie identyczne szklanki wypełnione są dokładnie w 13/18, pierwsza kawą, druga mlekiem. Jak można jedną łyżeczką wymieszać zawartość obu szklanek, by w szklance pierwszej otrzymać wymieszaną kawę z mlekiem w stosunku siedemnaście do piętnastu? Zakładamy, że możemy mieć łyżeczkę o dowolnej, określonej przez nas pojemności.

7 Zadania z egzaminu gimnazjalnego 2018 Metody rozwiązywania takich zadań: podział na figury, których pole umiemy obliczyć, obliczenie pola dopełnienia do prostokąta. Wzór wyznacznikowy na pole trójkąta. Dodatkowe pytania: obwód wielokąta, powiększenie, zmniejszenie. Zmiana formy zadania na otwarte, na typu PF, na typu AB i CD.

8 Zadania z egzaminu gimnazjalnego 2018 W nowej PPM nie ma funkcji, co jest zupełnie niezrozumiałe. Rysowanie wykresu funkcji o jakiś własnościach jest bardzo dobrym ćwiczeniem. Można narzucić te własności, np. wykres jest łamaną o dwóch, trzech bokach. Wykres jest nad (pod) osią Ox. Funkcja jest dodatnia dla x z przedziału Zmiana formy zadania na otwarte, na zamknięte ABCD, na zamknięte typu AB i CD.

9 Proporcjonalność Proporcjonalność w PPM (klasy VII-VIII) Uczeń powinien: podawać wzięte z życia przykłady wielkości wprost proporcjonalnych; umieć stosować podział proporcjonalny. Przykładowe zadania Za 3 kg cukierków czekoladowych mama Ani zapłaciła 58,50 zł. Ile trzeba zapłacić za 5 kg tych cukierków? Podziel 80 cukierków między troje dzieci: Anię, Bartka i Cecylię proporcjonalnie do ich wieku. Ania ma 5 lat, Bartek 7 lat, a Cecylia 8 lat. Ile cukierków otrzyma każde dziecko?

10 Proporcje w różnych źródłach Słownik Języka Polskiego, PWN 1995 proporcja «stosunek do siebie dwóch lub więcej wielkości; stosunek części składowych jakiejś całości do tej całości lub do siebie nawzajem.. : Proporcje składników potraw. Proporcje czyjejś figury. Utrzymać, zachować proporcje między czymś a czymś. proporcjonalność mat. «zależność między dwiema wielkościami, w której przy powiększeniu wartości jednej z nich wartość drugiej zwiększa się tyleż razy lub tyleż razy się zmniejsza proporcjonalny mat. Odwrotnie proporcjonalny «o wielkości: zależny od innej wielkości w ten sposób, gdy tę drugą powiększymy pewną liczbę razy, wówczas pierwsza tylokrotnie się zmniejszy, a gdy drugą zmniejszymy pewną liczbę razy, wówczas pierwsza tylokrotnie się powiększy Wprost proporcjonalny «o wielkości: powstający w takim samym stosunku do innej wielkości, że gdy tę drugą zwiększymy lub zmniejszymy pewną liczbę razy, wówczas pierwsza odpowiednio zwiększy się lub zmniejszy taką samą liczbę razy

11 Wikipedia

12 Mathematics Explained for Primary Teachers, D. Haylock, Sage 2010 Direct proportion: the relationship between two variables where the ratio of one to the other is constant. For example, the number of cows legs in a field and the number of cows would normally be in direct proportion.

13 Proporcjonalność w podręcznikach PWN, klasa IIG (VIII), 2001 Przykłady: koszt zakupu materiału jest wprost proporcjonalny do jego ilości; przy stałej prędkości przebyta droga jest wprost proporcjonalna do czasu podróży; odległości na planie są wprost proporcjonalne do odległości rzeczywistych. Podaj swoje przykłady.

14 Proporcjonalność w podręcznikach GWO, klasa IG (VII), 2010

15 Proporcjonalność w podręcznikach Zadanie (I G, GWO, 2010) Pusta mała beczka o pojemności 20 l waży 3kg, a duża pusta beczka o pojemności 50 l waży 5 kg. Mała beczka pełna lepiku waży 25 kg. Ile waży duża beczka pełna lepiku?

16 Wielkości odwrotnie proporcjonalne Przykład (IG, GWO, 2010) Podaj inne przykłady.

17 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics Dwie wielkości y oraz x nazywamy: wprost proporcjonalnymi, jeśli y = c x (y = cx) odwrotnie proporcjonalnymi, jeśli y = c 1 x ( y = c x )

18 Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa PPM: Uczeń powinien: obliczać, ile jest obiektów, mających daną własność, w przypadkach niewymagających stosowania reguł mnożenia i dodawania; obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych, polegających na rzucie monetą, rzucie sześcienną kostką do gry, rzucie kostką wielościenną lub losowaniu kuli spośród zestawu kul.

19 Przykładowe zadania Ile jest par (a, b) liczb całkowitych dodatnich takich, że a + b = 12 (pary różniące się kolejnością liczb uważamy za różne)? Uogólnienie. Ile jest liczb parzystych od 12 do 58? Ile jest liczb od 10 do 99, które są podzielne przez 7? Rzucamy sześcienną kostką do gry (tzn. taką, która ma na ściankach liczby oczek od 1 do 6). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek podzielną przez 3? Rzucamy kostką dwudziestościenną (tzn. taką, która ma na ściankach liczby oczek od 1 do 20). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek podzielną przez 3? W urnie znajduje się 16 kul, w tym 11 kul białych. Losujemy z urny jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula nie jest biała? W urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami dwucyfrowymi od 12 do 58 włącznie (po jednej kuli dla każdej liczby od 12 do 58). Losujemy z urny jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy kulę z numerem będącym liczbą parzystą? W urnie znajduje się 90 kul ponumerowanych liczbami dwucyfrowymi (tzn. kolejnymi liczbami całkowitymi od 10 do 99). Losujemy z urny jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy kulę z numerem podzielnym przez 7?

20 Zadanie domowe Pięciu rolników postanowiło wybudować wspólnymi siłami drogę do pobliskiej szosy. W tym celu całą potrzebną ilość kamieni dostarczyli: Abacki 45 ton, Babacki 35 ton, Cabacki 20 ton. Panowie Dabacki i Ebacki wpłacili im w zamian za to łącznie 7600 zł. Po ile złotych powinni otrzymać dostawcy kamieni? Rozwiąż pozostałe zadania z Przykładowych zadań.