PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI I. Ogólne zasady oceniania. 1. Kady ucze jest oceniany obiektywnie i sprawiedliwie. 2. Jeeli ucze opuci prac klasow z przyczyn losowych, to powinien napisa j w cigu dwóch tygodni od dnia powrotu do szkoły. 3. Krótkie sprawdziany pisemne mog obejmowa materiał z ostatnich trzech lekcji. 4. Uczniowie nieobecni na krótkich sprawdzianach z przyczyn losowych pisz je w cigu tygodnia od powrotu do szkoły. 5. Krótkie sprawdziany napisane na ocen niedostateczn podlegaj poprawie tylko jeden raz i mona je poprawi poza swoimi lekcjami w cigu tygodnia od daty oddania sprawdzonych prac. 6. W przypadku stwierdzenia niesamodzielnoci pracy (odpisywanie) ucze traci prawo do poprawy sprawdzianu. 7. Przy poprawianiu sprawdzianów i pisaniu w drugim terminie ucze moe otrzyma co najwyej ocen dostateczn. 8. Nie ocenia si uczniów do trzech dni po dłuszej (ponad tydzie) usprawiedliwionej nieobecnoci w szkole. 9. Nie ocenia si ucznia znajdujcego si w trudnej sytuacji losowej. 10. Uczniom, o których mowa w p.8 i 9 daje si moliwo napisania zaległych prac klasowych i sprawdzianów. 11. Kady ucze ma prawo dwukrotnie w cigu semestru zgłosi nieprzygotowanie do lekcji (nie dotyczy to prac klasowych i sprawdzianów). II. Pomiar wyników nauczania. Nauczyciel matematyki dysponuje nastpujcymi metodami kontroli wyników nauczania: 1

1. kartkówki (krótkie 10 i 15 minutowe sprawdziany pisemne, pozwalajce na bieco oceni stopie przyswojenia materiału; powinny zawiera proste zadania lub pytania); 2. dłusze sprawdziany pisemne (prace pisemne trwajce od 20 do 45 minut; pozwalajce oceni stopie opanowania kilkunastu zaj bd danego działu programu); 3. prace klasowe (sprawdziany pisemne trwajce 45 lub 90 minut pozwalajce oceni stopie opanowania wiadomoci dotyczcych jednego lub dwóch działów programu); 4. odpowied ustna ucznia przy tablicy; 5. wygłoszenie przez ucznia referatu; 6. aktywno ucznia na zajciach. III. Przykładowe kryteria oceniania. Ocen osigni uczniów wyraa si w skali stopniowej od 1 do 6. 1. Prace pisemne. Przy ocenianiu pracy klasowej uwzgldni naley zastosowan metod, wykonanie i wynik. Przy kadym zadaniu pracy trzeba poda maksymaln liczb punktów do uzyskania. Ucze powinien by poinformowany równie o punktacji zada zamknitych składajcych si na kartkówk bd sprawdzian. Kryteria oceniania prac pisemnych s nastpujce : 0% 33% - niedostateczny (1); 34% 50% - dopuszczajcy (2); 51% - 70% - dostateczny (3); 71% - 90% - dobry (4); 91% - 100% - bardzo dobry(5); 100% + zadanie dodatkowe - celujcy (6). 2. Odpowiedzi ustne. Ucze z odpowiedzi ustnej otrzymuje ocen niedostateczn, gdy : - nie udziela odpowiedzi na pytania postawione przez nauczyciela, nawet przy jego pomocy; 2

IV. Ucze z odpowiedzi ustnej otrzymuje ocen dopuszczajc, gdy : - udziela odpowiedzi na pytania nauczyciela i rozwizuje przy jego pomocy zadania o niewielkim stopniu trudnoci; Ucze z odpowiedzi ustnej otrzymuje ocen dostateczn, gdy : - zna i rozumie podstawowe prawa matematyczne; - rozumie tekst sformułowany w jzyku matematycznym; - potrafi przy niewielkiej pomocy nauczyciela udzieli odpowiedzi na postawione pytania; - tylko czciowo wykazuje si samodzielnoci; Ucze z odpowiedzi ustnej otrzymuje ocen dobr, gdy : - spełnia wymagania na ocen dostateczn; - prawidłowo wykorzystuje poznane własnoci i wzory; - potrafi samodzielnie rozwizywa typowe zadania; - prawidłowo formułuje myli matematyczne; Ucze z odpowiedzi ustnej otrzymuje ocen bardzo dobr, gdy : - spełnia wymagania na ocen dobr; - prawidłowo interpretuje przy uyciu jzyka matematycznego poznane własnoci i wzory; - samodzielnie udziela odpowiedzi na wszystkie postawione pytania; - zdobyt wiedz potrafi stosowa w nowych sytuacjach; - rozwizuje samodzielnie zadania rachunkowe i problemowe. Ucze z odpowiedzi ustnej otrzymuje ocen celujc, gdy : - spełnia wymagania podstawowe; - posiada bogaty jzyk matematyczny pełen odpowiednich formuł i zwrotów właciwych dla tego przedmiotu; - jego sposób odpowiadania jest ciekawy, umiejcy zainteresowa słuchaczy, a jednoczenie logiczny; - potrafi rozwizywa zadania rachunkowe i problemowe o duym stopniu trudnoci, znacznie wykraczajcym poza program nauczania w danej klasie. - Obowizkowa liczba stopni w semestrze. Ustala si nastpujce wagi, majce na celu uwzgldnienie stopnia wanoci poszczególnych form pracy : 3

1. za kartkówki, zadania domowe, odpowied ustn, wygłoszenie referatu, aktywno na zajciach ucze otrzymuje stopie z wag 1; 2. za dłusze sprawdziany pisemne ucze otrzymuje stopie z wag 2; 3. za prace klasowe ucze otrzymuje stopie z wag 3. Ucze, który uporczywie unika wyej wymienionych form kontroli otrzymuje za nie not 0. Liczba stopni z wag 1 Liczba stopni z wag 2 Liczba stopni z wag 3 3 1 2 W przypadku klas majcych mniej ni 3 godziny matematyki w tygodniu obowizkowa liczba ocen w semestrze jest nastpujca : Liczba stopni z wag 1 Liczba stopni z wag 2 Liczba stopni z wag 3 2 1 1 V. Wzór ustalajcy ocen ródroczn. ( suma stopni z wag 1) + ( suma stopni z wag 2) 2 + ( suma stopni z wag 3) 3 ( liczba stopni z wag 1) + (liczba stopni z wag 2) 2 + ( liczba stopni z wag 3) 3 VI. Wzór ustalajcy ocen kocoworoczn. ( suma stopni z wag 1) + ( suma stopni z wag 2) 2 + ( suma stopni z wag 3) 3 + (ocena semestralna) 5 ( liczba stopni z wag 1) + (liczba stopni z wag 2) 2 + ( liczba stopni z wag 3) 3 + 5 Przy wystawianiu oceny ródrocznej lub kocoworocznej stosuje si nastpujce zalenoci: rednia obliczona na podstawie podanych wzorów > 5.5 --- celujcy rednia obliczona na podstawie podanych wzorów > 4.5 --- bardzo dobry rednia obliczona na podstawie podanych wzorów > 3.5 --- dobry rednia obliczona na podstawie podanych wzorów > 2. 5 --- dostateczny rednia obliczona na podstawie podanych wzorów > 1.5 --- dopuszczajcy rednia obliczona na podstawie podanych wzorów 1.5 --- niedostateczny 4

VII. Kryteria ocen z matematyki. 1. Ocen niedostateczn otrzymuje ucze, który : Nie spełnił wymaga koniecznych. Najczciej jest nieprzygotowany do zaj, nie odrabia te prac domowych. Wykazuje lekcewacy stosunek do przedmiotu. Braki w wiadomociach uniemoliwiaj mu zrozumienie wszelkich nowych treci programowych. 2. Poziom wymaga koniecznych (ocena dopuszczajca) Na tym poziomie ucze potrafi : Wykaza si znajomoci i rozumieniem definicji z zakresu treci dla poziomu podstawowego i na tej podstawie rozpoznawa podstawowe obiekty matematyczne. Wykaza si znajomoci i rozumieniem twierdze z zakresu treci dla poziomu podstawowego i zastosowa wskazane twierdzenia w elementarnych, najprostszych sytuacjach. Wykaza si znajomoci i rozumieniem podstawowych algorytmów oraz zastosowa wskazany algorytm w elementarnych, najprostszych sytuacjach. Prace klasowe i sprawdziany pisze w wikszoci na ocen dopuszczajc. W miar swoich moliwoci odrabia zadania domowe. 3. Poziom wymaga podstawowych (ocena dostateczna) Na tym poziomie ucze potrafi : Spełni wymagania konieczne. Dostrzega i zapisywa własnoci rozpoznanych obiektów matematycznych na podstawie ich definicji i odpowiednich twierdze. Przeanalizowa podany schemat rozumowania, dostrzegajc jego istotne cechy. Zanalizowa now sytuacj, a nastpnie zastosowa podany schemat rozumowania. Rozpozna sposób zapisania danych. Odczytywa odpowiednie dane z tabel, diagramów i wykresów oraz je porówna. Zaplanowa potrzebne obliczenia, uwzgldniajc właciwe jednostki miary (np. długoci, pola i objtoci). 5

Zamienia jednostki pola, długoci objtoci na inne jednostki tej samej miary oraz przyblia wartoci wyników oblicze z podan dokładnoci. Prace klasowe i sprawdziany pisze na ocen pozytywn (dostateczn lub dopuszczajc). Przygotowywa si systematycznie do zaj i stara si bra aktywny udział w lekcji. 4. Poziom wymaga rozszerzajcych (ocena dobra) Na tym poziomie ucze potrafi : Spełni wymagania podstawowe. Wykaza si znajomoci i rozumieniem definicji z zakresu treci dla poziomu rozszerzonego i na tej podstawie rozpoznawa podstawowe obiekty matematyczne. Wykaza si znajomoci i rozumieniem twierdze z zakresu treci dla poziomu rozszerzonego i zastosowa wskazane twierdzenia w sytuacjach typowych i problemowych. Dostrzega zalenoci na podstawie analizy danych i ich własnoci. Okrela i uzasadnia zalenoci midzy analizowanymi danymi. Dokona analizy podanej sytuacji. Wybra odpowiedni do danej sytuacji opis matematyczny. Opisa dan sytuacj. Posługiwa si rónymi rodzajami opisu matematycznego oraz umie przekształci jedn form opisu na inn. Wybra algorytm przydatny do rozwizania danego problemu oraz umie go zastosowa. Zinterpretowa otrzymane wyniki. Wykorzysta otrzymane wyniki do rozwizania problemu. Rozrónia definicj poj od twierdze dotyczcych tych poj, umie dokona odpowiedniego wyboru definicji i twierdze potrzebnych do rozwizania problemu oraz je zastosowa. Prace klasowe w wikszoci pisze na ocen dobr. Systematycznie przygotowuje si do zaj i bierze w nich aktywny udział. Stara si korzysta z literatury matematycznej. 6

5. Poziom wymaga dopełniajcych (ocena bardzo dobry) Na tym poziomie ucze potrafi : Spełni wymagania rozszerzajce. Zapisywa warunki i zalenoci wynikajce z treci zadania lub otrzymane podczas rozwizania. Dokona oceny zgodnoci otrzymanych wyników z warunkami zadania. Opisywa i uzasadnia ustalone w trakcie rozwizania wnioski. Stosowa poprawny jzyk matematyczny. Sformułowa dodatkowe wnioski wynikajce z załoe twierdzenia i uzasadni je w oparciu o inne znane twierdzenia i definicje. Skorzysta z załoe i dodatkowych wniosków w dowodzonych twierdzeniach. Podawa pełne uzasadnienia całoci przeprowadzanych rozumowa. Prace klasowe w wikszoci pisze na ocen bardzo dobr. Systematycznie przygotowuje si do zaj i bierze w nich aktywny udział. Potrafi korzysta z literatury matematycznej. 6. Poziom wymaga wykraczajcych (ocena celujca) Na tym poziomie ucze potrafi : Spełni wymagania rozszerzajce. Biegle posługiwa si zdobytymi wiadomociami w rozwizywaniu zada trudnych i nietypowych o wysokim stopniu trudnoci. Samodzielnie i twórczo rozwija własne uzdolnienia korzystajc z literatury matematycznej i uczestniczy w zajciach koła matematycznego. Zaprezentowa nietypowe rozwizania danego problemu. Rozwizywa zadania wykraczajce poza program nauczania danej klasy. Prezentowa bogaty jzyk matematyczny pełen odpowiednich formuł i zwrotów właciwych dla tego przedmiotu, a jednoczenie ciekawy i umiejcy zainteresowa słuchaczy. Osiga sukcesy w konkursach i olimpiadach matematycznych, klasyfikujc si do finału na szczeblu wojewódzkim, regionalnym bd krajowym. Prace klasowe pisze na ocen co najmniej bardzo dobr. Zawsze starannie przygotowuje si do zaj i aktywnie w nich uczestniczy. 7

VIII. Wymagania do kadego realizowanego działu programowego. Tekst pisany kursyw i oznaczony * dotyczy zakresu rozszerzonego lub wymaga spoza Podstaw Programowych Kształcenia Ogólnego. Wymagania zostały opracowane na podstawie propozycji przedmiotowego systemu oceniania M.Trzeciak i M.Jankowskiej (pozom podstawowy) oraz M.Wójcickiej (poziom rozszerzony). 1. Elementy logiki i nauki o zbiorach. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli: - odrónia wyraenia, które s zdaniami w rozumieniu logiki od tych, które nie s; - ocenia prawdziwo zda prostych; - formułuje zaprzeczenia zda prostych; - rozpoznaje zdania w postaci koniunkcji i alternatywy; - formułuje zadnia złoone w postaci alternatywy i koniunkcji z danych zda prostych; - ocenia prawdziwo alternatywy i koniunkcji zda; - podaje przykłady zbiorów; - wymienia elementy danego zbioru; - zna pojcia: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór; - rozrónia zbiory skoczone i nieskoczone; - rozpoznaje zbiory równe; - zna symbole uywane do oznaczenia zbioru, zbioru pustego, równoci zbiorów, relacji naleenia i nienaleenia zbioru, relacji zawierania; - okrela relacj midzy elementem a zbiorem; - wie jakie elementy nale do sumy zbiorów; - wyznacza iloczyn danych zbiorów; - wyznacza sum danych zbiorów; - rozpoznaje zbiory rozłczne na diagramie Vienna; - zaznacza iloczyn i sum zbiorów na diagramach Vienna; - okrela, który diagram ilustruje zawieranie si zbiorów; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, jeli spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo: - wie, co to jest dziedzina wyraenia zawierajcego zmienna; - formułuje ograniczenia na dziedzin wyraenia zawierajcego zmienn, gdy zmienna wystpuje w mianowniku ułamka lub pod pierwiastkiem stopnia drugiego; - wyznacza dziedzin wyraenia zawierajcego zmienn, bdcego w postaci 8 1 x a, ; x a - przekształca wyraenie zawierajce zmienn w zdanie, podstawiajc element z dziedziny; - ocenia prawdziwo zdania, otrzymanego z wyraenia zawierajcego zmienn przez podstawienie elementu dziedziny; - formułuje zaprzeczenia alternatywy i koniunkcji; - rozpoznaje zdania w postaci implikacji i równowanoci; - formułuje zdania złoone w postaci implikacji i równowanoci z danych zda prostych; - zamienia wyraenie a b = 0 na alternatyw równoci; - zna definicj rónicy zbiorów; - zna definicj zbiorów rozłcznych; - rozpoznaje zbiory rozłczne zdefiniowane przez podanie elementów; - wyznacza podzbiory danego zbioru; - *wyznacza dopełnienie zborów;

Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomów koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - rozpoznaje twierdzenia w postaci implikacji lub równowanoci; - wyznacza dziedzin wyraenia zawierajcego zmienn, bdcego postaci - przedstawia zalenoci midzy zbiorami na diagramach Venna; - wyznacza liczb elementów sumy; - stosuje jzyk matematyki w zapisie rozwiza zada; - *zna symbole kwantyfikatorów i umie je stosowa; - *zna podstawowe prawa logiczne; x + a x a Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomów koniecznego, podstawowego, rozszerzajcego oraz dodatkowo: - ocenia prawdziwo zda w postaci implikacji i równowanoci; - zamienia równowano na koniunkcj implikacji; - zamienia wyraenie zawierajce zmienn w zdanie poprzedzajc to wyraenie sformułowaniami: istnieje taka warto zmiennej, e... lub dla kadej wartoci zmiennej zachodzi... ; - ocenia prawdziwo zda zawierajcych sformułowania: istnieje taka warto zmiennej, e... lub dla kadej wartoci zmiennej zachodzi... ; - formułuje zaprzeczenia zda zawierajcych sformułowania: istnieje taka warto zmiennej, e... lub dla kadej wartoci zmiennej zachodzi... ; - stosuje własnoci działa na zbiorach; - *stosuje prawa logiczne w dowodzeniu twierdze;, x 1 ; a Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania wszystkich poprzednich poziomów oraz dodatkowo: - formułuje twierdzenie odwrotne do danego; - ocenia prawdziwo twierdzenia odwrotnego do danego; - uzupełnia załoenia twierdzenia odwrotnego do danego, tak by otrzyma twierdzenie prawdziwe; - sprawdza metod zero-jedynkow czy dane zdanie jest prawem rachunku zda. 2. Liczby rzeczywiste. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli: - zna podzbiory liczb rzeczywistych: zbiór liczb naturalnych, zbiór liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych, zbiór liczb niewymiernych oraz ich oznaczenia; - podaje przykłady liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych; - rozkłada liczb na czynniki pierwsze; - zaznacza liczby wymierne na osi liczbowej; - porównuje liczby wymierne; - przyblia liczby z zadan dokładnoci; - zamienia ułamek zwykły na dziesitny i odwrotnie; - podaje przykłady liczb niewymiernych; - usuwa niewymierno w wyraeniu typu: 1 ; a - wykorzystuje przyblienia dziesitne do zaokrglania liczb; - zna i stosuje właciw kolejno wykonywania działa; 2 9

- zaznacza przedziały na osi liczbowej; - zna i stosuje wzory skróconego mnoenia (a+b) 2, (a-b) 2, a 2 -b 2 ; - ustala, czy dana liczba wymierna naley do danego przedziału; - wyznacza cz wspóln i sum przedziałów; - okrela warto bezwzgldn danej liczby; - formułuje prawa działa na potgach; - wykonuje działania na potgach o wykładnikach całkowitych; - przekształca proste wyraenie algebraiczne; - sprawdza, czy dana liczba jest rozwizaniem równania, nierównoci pierwszego stopnia z jedn niewiadom; - rozwizuje równanie i nierówno pierwszego stopnia z jedn niewiadom; - układa równanie do zalenoci przedstawionej tekstem; - oblicza procent danej liczby; - oblicza liczb, gdy dany jest jej procent; - oblicza jakim procentem danej liczby jest druga liczba; - odczytuje informacje zawarte w diagramie słupkowy i kołowym; - rozumie pojcie rabatu; - rozumie pojcie inflacji; - dzieli cen towaru na cen netto i podatek; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, jeli spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo: - sprawnie wykonuje działania na liczbach wymiernych; - wyłcza czynnik przed znak pierwiastka kwadratowego i szeciennego; - zna pojcie i podaje przykłady liczb pierwszych; - oblicza błd przyblienia; - zaznacza liczby niewymierne na osi liczbowej; - oblicza odległo na osi liczbowej midzy punktami o danych współrzdnych; - wykonuje działania na potgach o wykładnikach wymiernych; - zapisuje liczby w postaci k 10 c, gdzie c C; - przedstawia dane z tabeli na diagramie kołowym i słupkowym; - oblicza now i star cen po zmianie o dany procent; - oblicza podatek dochodowy od dowolnych zarobków, korzystajc z tabeli; - zaznacza na osi liczbowej liczby o danej wartoci bezwzgldnej; - rozwizuje proste zadania tekstowe; - oblicza redni arytmetyczn danych liczb; - znajduje rozwinicie dziesitne liczby wymiernej; 1 1 - usuwa niewymierno w wyraeniu typu:, ; a + b c a b c - rozstrzyga, czy dana liczba rzeczywista naley do danego przedziału; - rozwizuje układ nierównoci liniowych z jedn niewiadom i przedstawia rozwizanie na osi liczbowej; - *stosuje definicj wartoci bezwzgldnej do rozwizywania prostych równa i nierównoci typu: x = a, x < a, x > a oraz przedstawia ilustracj rozwizania na osi liczbowej; Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - wprowadza liczb pod znak pierwiastka kwadratowego i szeciennego; a a a + b - usuwa niewymierno w wyraeniu typu:,, ; b + c d b c d - zapisuje ogóln posta liczby bdcej wielokrotnoci 2, 3, 5 itd.; - zamienia ułamek okresowy na zwykły; - porównuje liczby rzeczywiste; c + d 10

- zna i stosuje wzory skróconego mnoenia, w tym równie wzory: (a + b) 3, (a - b) 3, a 3 + b 3, a 3 - b 3 ; - szacuje wyniki oblicze z dan dokładnoci; - wyznacza rónic przedziałów i zaznacza na osi liczbowej; - wyznacza na osi liczbowej współrzdne punktu odległego od punktu o danej współrzdnej o dan warto; - zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane przez warunki: x < a, x > a, x a, x a; - przekształca wyraenia zawierajce potgi i pierwiastki; - rozwizuje nierówno podwójn; - zapisuje za pomoc przedziału zbiory opisane nierównociami; - *wyznacza dopełnienie przedziału liczbowego w danej przestrzeni; - *rozwizuje równanie i nierówno z wartoci bezwzgldn postaci: ax+b = c, ax+b < c, ax+b > c oraz przedstawia ilustracj rozwizania na osi liczbowej; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo: - zapisuje ogóln posta liczby dajcej w wyniku dzielenia przez 2, 3, 5 itd. dan reszt; - stosuje wzór x 2 = x do upraszczania wyrae; - zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomoc równa i nierównoci z wartoci bezwzgldn typu: x a = b, x a < b; - przekształca wzory z rónych dziedzin nauki; - rozwizuje zadania tekstowe o złoonych zalenociach prowadzce do rozwizania równa i nierównoci liniowych; - oblicza błd wzgldny i bezwzgldny przyblienia; - *rozwizuje równanie i nierówno z wartoci bezwzgldn wystpujc co najmniej dwa razy; - * rozwizuje układy równa liniowych z wartoci bezwzgldn; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania z wszystkich wczeniejszych poziomów oraz dodatkowo: - zapisuje przedziały za pomoc wartoci bezwzgldnych; - uzasadnia prawa działa na potgach; - przeprowadza dowód dotyczcy niewymiernoci danej liczby lub podzielnoci danych liczb; - *stosuje własnoci wartoci bezwzgldnej w rozwizywaniu zada z rónych działów matematyki. 3. Figury geometryczne na płaszczynie (planimetria). Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli: - zna pojcia: kt ostry, prosty, rozwarty, wypukły, wklsły, półpełny, pełny; - zna pojcia: kt wpisany w okrg, kt rodkowy w okrgu; - rozpoznaje kty ostre, proste, rozwarte, wypukłe, wklsłe, półpełne, wpisane i rodkowe na rysunku; - nazywa i wskazuje kty powstałe w wyniku dwóch prostych równoległych trzeci prost; - rozpoznaje wielokty wypukłe i niewypukłe na rysunku; - zna pojcie wielokta foremnego; - umie klasyfikowa trójkty ze wzgldu na kty; - umie klasyfikowa trójkty ze wzgldu na boki; - zna i stosuje twierdzenie o sumie miar któw wewntrznych trójkta i czworokta; - uzupełnia rysunek trójkta dwusiecznymi któw, rodkowymi, wysokociami; - zna twierdzenie o rodkowych trójkta; - zna pojcie cikoci trójkta i jego interpretacj fizyczn; - rozumie rónic midzy okrgiem, a kołem; 11

- nazywa i wskazuje rednic, ciciw i promie na rysunku koła; - odrónia na rysunku wycinek kołowy, odcinek kołowy, piercie; - zna pojcie okrgu wpisanego w wielokt i opisanego na wielokcie; - posługuje si podstawowymi jednostkami pola powierzchni; - oblicza obwody i pola trójktów oraz czworoktów z wykorzystaniem elementarnych wzorów; - zna twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa; - oblicza długo dowolnego boku trójkta prostoktnego znajc długoci pozostałych boków; - oblicza długo okrgu oraz pole o danym promieniu; - oblicza promie koła wpisanego i opisanego na trójkcie równobocznym o danym boku; - rozpoznaje na rysunku figury podobne; - rysuje figur podobn do danej figury; - zna cechy podobiestwa trójktów; - rozpoznaje odcinki proporcjonalne; - zapisuje symbolicznie tez twierdzenia Talesa na podstawie rysunku; - oblicza długo odcinka na podstawie twierdzenia Talesa; - oblicza okrelone długoci odcinków i miary któw z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych (np. w trójkcie prostoktnym, równoramiennym, kwadracie); - *podaje przykłady figur jednokładnych; - *wskazuje odpowiadajce sobie boki i kty w wieloktach jednokładnych; - * kreli figur pomniejszajc j lub powikszajc j całkowit liczb razy w skali dodatniej; - *podaje wzór sinusów i cosinusów; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, jeli spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo: - formułuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do niego; - dzieli odcinek na dan liczb równych czci; - sprawdza, czy z trzech odcinków o danych długociach mona zbudowa trójkt; - formułuje twierdzenie o czworokcie opisanym na okrgu i czworokcie wpisanym na okrgu; - zna zaleno midzy polami figur podobnych; - oblicza długo łuku okrgu o dany promieniu; - stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do niego w typowych zadaniach; - oblicza długoci boków figur podobnych przy podanej skali i okrelonych wymiarach figur; - stosuje w zadaniach wzory na pola podstawowych figur geometrycznych z uyciem funkcji trygonometrycznych; - *stosuje twierdzenie sinusów do obliczania promienia okrgu opisanego na trójkcie; - *stosuje twierdzenie cosinusów do znalezienia długoci boku trójkta, gdy dane s długoci dwóch pozostałych i kt midzy nimi zawarty; Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - formułuje definicj czworoktów; - wykorzystuje własnoci dwusiecznej kta do rozwizywania zada; - wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwizywania zada; - stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do niego w zadaniach tekstowych; - stosuje cechy podobiestwa trójktów w prostych zadaniach rachunkowych; - stosuje definifcj i własnoci figur podobnych w zadaniach; - rozwizuje zadania dotyczce pól i obwodów figur o podwyszonym stopniu trudnoci; - oblicza warto najwiksz lub najmniejsz bez rachunku pochodnych np. najwiksze pole wielokta przy odpowiednich danych; - oblicza pole wycinka kołowego i odcinka kołowego; - *stosuje twierdzenie cosinusów do obliczenia miary kta w trójkcie, gdy s dane długoci jego boków; - *klasyfikuje trójkt uywajc twierdzenia cosinusów; 12

- *stosuje twierdzenie sinusów do obliczania miary któw wewntrznych w trójkcie, gdy dane s długoci dwóch boków i miara kta niezawartego midzy tymi bokami; - *stosuje twierdzenie sinusów do obliczania długoci dwóch boków trójkta, gdy dana jest długo boku i miary któw wewntrznych; - *wykorzystuje własnoci jednokładnoci w zadaniach; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo: - uzasadnia wzór na liczb przektnych wielokta wypukłego; - wyznacza rodek okrgu wpisanego w trójkt oraz rodek okrgu opisanego na trójkcie; - udowadnia twierdzenie Pitagorasa; - stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa w zadaniach tekstowych o podwyszonym stopniu trudnoci; - rozwizuje wieloetapowe zadania tekstowe; - oblicza skal podobiestwa majc dane pola figur podobnych; - oblicza pole figury podobnej przy podanej skali i wymiarach danej figury podobnej; - wykorzystuje własnoci podobiestwa trójktów w trudniejszych zadaniach; - *oblicza najwiksz lub najmniejsz warto z wykorzystaniem trygonometrii lub rachunku pochodnych w typowych zadaniach; - udowadnia twierdzenie sinusów; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania wszystkich poprzednich poziomów oraz dodatkowo: - potrafi udowodni twierdzenie o czworokcie wpisanym w okrg; - potrafi udowodni twierdzenie o czworokcie opisanym na okrgu; - rozwizuje zadnia problemowe wykorzystujc własnoci podobiestwa; - rozwizuje zadania wymagajce łczenia wielu elementów wiedzy; - *rozwizuje zadania problemowe wykorzystujc własnoci jednokładnoci; - *oblicza warto najwiksz lub najmniejsz z wykorzystaniem trygonometrii lub rachunku pochodnych w zadaniach trudniejszych. 4. Metoda analityczna w geometrii. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli potrafi: - * odczyta współrzdne wektora narysowanego w prostoktnym układzie współrzdnych; - * narysowa wektor o danych współrzdnych; - * obliczy współrzdne wektora na podstawie jego reprezentacji graficznej w układzie współrzdnych; - * oblicza długo wektora; - * wykonywa działania na wektorach graficznie i analitycznie; - rysowa prost w układzie współrzdnych; - sprawdzi czy dany punkt naley do prostej; - wyznaczy współrzdne punktów przecicia prostej z osiami układu współrzdnych; - zaznaczy półpłaszczyzn okrelon nierównociami y ax + b, y ax + b; - oblicza odległo dwóch punktów na płaszczynie; - oblicza obwody wieloktów o danych wierzchołkach; - * zapisywa współrzdne punktów symetrycznych wzgldem osi układu współrzdnych; - * zapisywa współrzdne punktów symetrycznych wzgldem pocztku układu współrzdnych; - * oblicza współrzdne obrazu punktu w przesuniciu o wektor; ] 13

Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, jeli spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo potrafi: - * stosowa własnoci wektorów równych i przeciwnych oraz działa na wektorach w ujciu analitycznym; - zamienia posta kierunkow na ogóln i odwrotnie; - odczytywa współczynnik kierunkowy prostej; - znale równanie prostej przechodzcej przez dwa punkty; - rozpozna proste równoległe i prostopadłe na podstawie ich równa kierunkowych; - wyznaczy równanie prostej równoległej i prostopadłej do danej prostej przechodzcej przez dany punkt; - wyznaczy punkt przecicia prostych, rozwizujc układ równa; - podaje ilustracj graficzn zbioru rozwiza układu równa liniowych z dwiema niewiadomymi; - zaznacza na płaszczynie zbiory zdefiniowane przez warunki, jakie spełniaj współrzdne ich punktów; - sprawdza, czy dane trzy punkty s współliniowe; - wyznacza prost zawierajc wysoko trójkta; - opisa półpłaszczyzn o danej krawdzi za pomoc nierównoci; - rysowa półpłaszczyzn opisan nierównoci ax + by + c 0 lub ax + by + c 0; - oblicza współrzdne rodka odcinka majc współrzdne jego koców; - * zapisywa równanie okrgu w układzie współrzdnych, gdy dane s współrzdne rodka okrgu i jego promie; - * zaznaczy punkty symetryczne wzgldem osi prostoktnego układu współrzdnych; - * znale punkty symetryczne wzgldem pocztku układu współrzdnych; - * obliczy współrzdne wierzchołków obrazu wielokta w danym przekształceniu; Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo potrafi: - poda interpretacj graficzn rozwizania układu nierównoci liniowych dwóch zmiennych; - znale równanie prostej majc jej wykres; - sprawdzi, czy dany punkt naley do półpłaszczyzny okrelonej nierównoci; - wyznacza sum, iloczyn i rónic półpłaszczyzn; - wyznacza równanie prostej zawierajcej rodkow trójkta; - wyznacza współrzdne rodka cikoci trójkta; - wyznacza równanie symetralnej odcinka; - * okrela wzajemne połoenie dwóch okrgów oraz okrgu i prostej w prostoktnym układzie współrzdnych; - * znale rodek i promie okrgu o danym równaniu; - * znale równanie figury symetrycznej, jednokładnej do danej; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo potrafi: - wyznacza współrzdne rodka okrgu opisanego na danym trójkcie; - przedstawi za pomoc układu równa lub nierównoci cz płaszczyzny układu współrzdnych; - obliczy odległo punktu od prostej i prostych równoległych; - * znale równanie okrgu gdy dane s współrzdne trzech punktów nalecych do okrgu; - * znale równanie stycznej do okrgu; - * znale równanie prostej w przesuniciu o dany wektor; - * wykaza, e wielokty o danych współrzdnych wierzchołków s symetryczne; 14

Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania z wszystkich wczeniejszych poziomów oraz dodatkowo potrafi: - * poda wzór na iloczyn skalarny wektorów; - * okreli prostopadło i równoległo wektorów na podstawie iloczynu skalarnego; - * stosowa własnoci iloczynu skalarnego np. do wyznaczania wzoru na pole trójkta o danych współrzdnych wierzchołków; - * wyznaczy kt midzy wektorami; - * kreli wykresy rónych krzywych i opisywa ich własnoci; - * znajdowa równanie do krzywej; - * rozwizywa zadania z geometrii analitycznej z wykorzystaniem przekształce izometrycznych i ich załoe. 5. Funkcje i ich własnoci. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli potrafi: - odrónia przyporzdkowania bdce funkcjami od takich, które nimi nie s; - sporzdza graf ilustrujcy funkcj; - opisywa kolejne etapy szukania wartoci funkcji danej wzorem; - ustala wzór funkcji na podstawie opisu kolejnych etapów wyznaczania wartoci funkcji; - oblicza warto funkcji danej wzorem; - poda zbiór argumentów funkcji zadanej grafem, tabelk lub wykresem; - wykonywa wykresy prostych zalenoci funkcyjnych opisanych słownie, tabelk, wzorem; - odczyta warto funkcji dla danego argumentu na podstawie wykresu lub tabeli; - odczyta argument funkcji dla danej jej wartoci z wykresu funkcji lub tabeli; - rozpozna na rysunku wykresy funkcji: f(x) = x 2, f(x) = x 1, f(x) = x ; - przesuwa wykres funkcji wzdłu osi x lub osi y w układzie wspólrzdnych; - odczyta z wykresu miejsca zerowe funkcji; - ustala na podstawie wykresu przedziały monotonicznoci funkcji; - odczyta z wykresu warto najmniejsz i najwiksz funkcji; - rozpozna wielkoci wprost proporcjonalne oraz sporzdza wykres tej zalenoci; - *rozpoznaje na podstawie wykresu, tabeli, grafu, czy funkcja jest rónowartociowa; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, jeli spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo potrafi: - dostrzega zalenoci funkcyjne w otaczajcej nas rzeczywistoci; - wyznacza dziedzin naturaln funkcji danej wzorem; - wyznacza zbiór wartoci funkcji na podstawie wykresu lub tabelki; - okrela przesunicia wykresu na podstawie wzoru; - rozrónia krzywe mogce by wykresami funkcji od tych, które nimi by nie mog; - oblicza brakujce współrzdne punktów nalecych do wykresu danej funkcji; - sporzdza wykresy funkcji: f(x) = x 2, f(x) = x 1, f(x) = x ; - bada znak funkcji; - stosowa proporcjonalno prost w rozwizywaniu zada; - wyznacza wzór funkcji liniowej, gdy dane s współrzdne punktu nalecego do wykresu i współczynnik kierunkowy funkcji; - sporzdza wykres funkcji kawałkami liniowej; - *przesuwa wykres funkcji o dany wektor; - *okrela na podstawie wykresu parzysto, nieparzysto i okresowo funkcji; - *na podstawie wykresu funkcji y = f(x) sporzdza wykresy funkcji: y = -f(x), y = f(-x), y =k f(x), y = f(x) ; 15

Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo potrafi: - wyznacza funkcj na podstawie rozbudowanego opisu sytuacji realistycznej; - poda przykłady przyporzdkowa bdcych funkcjami oraz takich, które nimi nie s; - wyznacza dziedzin funkcji na podstawie wzoru w trudniejszych przypadkach; - ustala wzór funkcji na podstawie przesunitego wykresu; - wyznacza miejsca zerowe funkcji kawałkami linowej; - odczyta własnoci z wykresu funkcji kawałkami liniowej i sporzdza jej tabel zmiennoci; - * zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku przesunicia o wektor; - *bada z wykorzystaniem definicji: rónowartociowo, parzysto, nieparzysto i okresowo funkcji; - *na podstawie wykresu funkcji y = f(x) sporzdza wykresy funkcji: y = -f(-x), y = f( x ), y =f(k x); Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo potrafi: - wyjania na przykładzie funkcji f(x) = x 1, własno monotonicznoci na przedziale nie przenosi si na sum przedziałów; - sporzdza wykresy funkcji klamerkowych cigłych i niecigłych; - wyznacza dziedzin funkcji wynikajc z koniunkcji kilku warunków; - *zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego przekształcenia lub kilku przekształce; - *bada parzysto i nieparzysto funkcji w trudniejszych przypadkach np. z wartoci bezwzgldn; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania wszystkich poprzednich poziomów oraz dodatkowo potrafi: - rozwiza zadania dotyczce rodzin funkcji; - rozwiza trudniejsze zadania z rónych działów matematyki z wykorzystaniem wiedzy i umiejtnoci o funkcjach; - *wyznacza zbiór wartoci funkcji zadanej wzorem; - *realizuje samodzielnie zadania projektowe z wykorzystaniem wiedzy i umiejtnoci o funkcjach. 6. Funkcje trygonometryczne. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli : - zna okrelenie funkcji trygonometrycznej kta ostrego w trójkcie prostoktnym; - zna wartoci funkcji trygonometrycznych któw: 30 0, 45 0, 60 0 ; - oblicza wartoci funkcji trygonometrycznych kta ostrego w trójkcie prostoktnym, w którym dane s długoci dwóch boków; - wykrela kt ostry, gdy dana jest warto funkcji trygonometrycznej tego kta; - odczytuje z tablic lub kalkulatora wartoci funkcji trygonometrycznych danego kta; - wyraa miary któw skierowanych w stopniach i radianach; - znajduje w tablicach kt o danej wartoci funkcji trygonometrycznej; - zaznacza kty skierowane o danych miarach w układzie współrzdnych; - zna interpretacj współczynnika kierunkowego w równaniu prostej; - rozpoznaje wykresy funkcji trygonometrycznych; - opisuje własnoci funkcji trygonometrycznych na podstawie wykresu; - zapisuje zwizki midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kta; 16

- oblicza wartoci prostych wyrae zawierajcych funkcje trygonometryczne; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo jeli: - zamienia miar stopniow na miar łukow i odwrotnie; - rozwizuje trójkty prostoktne przy rónych danych; - wykrela kt, gdy dana jest warto jego funkcji trygonometrycznej; - oblicza wartoci trudniejszych wyrae, w których wystpuj funkcje trygonometryczne kta; - ustala znak funkcji trygonometrycznych w zalenoci od miary kta; - oblicza pozostałe wartoci funkcji trygonometrycznych kta ostrego, jeli jest dana jedna z nich; - rozrónia na podstawie równania proste nachylone pod ktem ostrym i proste nachylone pod ktem rozwartym; - wyznacza równanie prostej przechodzcej przez dany punkt i nachylonej do osi x pod danym ktem; - wyznacza kt nachylenia prostej o danym równaniu do dodatniej półosi x; - sporzdza wykresy funkcji trygonometrycznych; - wykonuje proste przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych; - * zna wzory redukcyjne; Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - oblicza pozostałe wartoci kta skierowanego, znajc jedn z nich; - przekształca wyraenia zawierajce funkcje trygonometryczne ; - wykorzystuje zwizki midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kta do rozwizywania zada; - stosuje zwizki midzy funkcjami trygonometrycznymi do dowodzenie prostych tosamoci trygonometrycznych; - *stosuje wzory redukcyjne do obliczania wartoci funkcji trygonometrycznych kta i do przekształcania wyrae trygonometrycznych; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo: - sprawdza, czy dana liczba moe by wartoci funkcji trygonometrycznej; - oblicza wartoci funkcji trygonometrycznych dowolnego kta na podstawie informacji o połoeniu kocowego ramienia kta; - sprawdza, czy dane wyraenie jest tosamoci trygonometryczn; - wyznacza graficznie zbiory wartoci funkcji trygonometrycznych dla danych zbiorów argumentów; - stosuje funkcje trygonometryczne kta ostrego w zadaniach tekstowych; - *dowodzi trudniejsze tosamoci trygonometryczne w oparciu o poznane wzory; - *wyznacza najmniejsz i najwiksz warto złoonych funkcji trygonometrycznych; - *rozwizuje w oparciu o wykres funkcji trygonometrycznej i jej własnoci proste równania i nierównoci trygonometryczne; - *wyznacza okres złoonej funkcji trygonometrycznej; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli wymagania wszystkich poprzednich poziomów orza dodatkowo: - rozwizuje proste równania i nierównoci trygonometryczne; - * rozwizuje równania i nierównoci z wykorzystaniem zwizków midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kta; - * stosuje wiadomoci o funkcjach trygonometrycznych do rozwizywania problemów. 17

7. Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli : - zna pojcie funkcji liniowej; - wyznacza miejsce zerowe funkcji liniowej; - zna interpretacje parametrów a i b we wzorze f(x) = ax + b; - rozpoznaje wykres funkcji liniowej; - zna pojcie funkcji kawałkami liniowej; - rysuje wykres funkcji liniowej na podstawie informacji o dwóch punktach, które do niego nale; - rysuje wykres funkcji liniowej na podstawie informacji o kcie nachylenia wykresu do osi x i współrzdnych jednego punktu nalecego do wykresu; - okrela na podstawie wykresu monotoniczno funkcji liniowej; - oblicza warto funkcji liniowej dla danego argumentu; - sprawdza, czy do wykresu naley punkt o danych współrzdnych; - rozwizuje równanie liniowe; - rozwizuje nierówno liniow; - zaznacza zbiór rozwiza nierównoci liniowej na osi liczbowej; - ustala, kiedy funkcja przyjmuje wartoci dodatnie oraz kiedy ujemne; - podaje przykłady rozwiza równania liniowego z dwiema niewiadomymi; - sprawdza, czy podana para liczb jest rozwizaniem układu równa; - rozwizuje prosty układ równa liniowych wybran przez siebie metod algebraiczn; - rozpoznaje jednomian stopnia drugiego na podstawie wzoru; - rozpoznaje trójmian kwadratowy na podstawie wzoru; - rozpoznaje postaci trójmianu kwadratowego (ogóln, kanoniczn i iloczynow); - zna nazwy zwizane z wykresem trójmianu kwadratowego (parabola, wierzchołek, ramiona); - zna wzór na wyrónik trójmianu kwadratowego; - wie, w jaki sposób liczba pierwiastków zaley od wyrónika trójmianu kwadratowego; - zna wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego; - zamienia posta kanoniczn lub iloczynow na posta ogóln; - rysuje wykres funkcji kwadratowej na podstawie postaci kanonicznej; - odczytuje wartoci pierwiastków na podstawie postaci iloczynowej; - rozwizuje równanie kwadratowe o współczynnikach całkowitych, stosujc wzory na pierwiastki; - rozwizuje nierówno kwadratow, jeli > 0; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo jeli: - ustala na podstawie wzoru, czy funkcja liniowa jest rosnca, malejca, czy stała; - rysuje wykres funkcji kawałkami liniowej; - odczytuje z wykresu, kiedy funkcja kawałkami liniowa przyjmuje wartoci dodatnie, a kiedy ujemne; - oblicza brakujc współrzdn punktu nalecego do wykresu danej funkcji liniowej; - rozpoznaje typy układów równa liniowych na podstawie ich ilustracji graficznej; - rozwizuje zadanie tekstowe prowadzce do równa i nierównoci liniowych z jedn niewiadom; - rozwizuje algebraicznie i graficznie układ równa liniowych z dwiema niewiadomymi; - *rozwizuje układy dwóch równa metod wyznaczników; - *podaje ilustracj graficzn zbioru rozwiza równania liniowego z wartoci bezwzgldn; - *rozwizuje prosty układ równa z parametrem; - rozwizuje graficznie układ nierównoci liniowych z dwiema niewiadomymi; - sprawdza, czy dany punkt naley do wykresu danej funkcji kwadratowej; 18

- oblicza współrzdne wierzchołka paraboli; - rysuje wykres funkcji y = ax 2 +bx +c i opisuje własnoci funkcji na podstawie jej wykresu; - zamienia posta ogóln na kanoniczn i iloczynow; - wyznacz zbiór wartoci funkcji kwadratowej; - okrela przesunicia wykresu na podstawie postaci kanonicznej funkcji kwadratowej; - rozwizuje równanie i nierówno kwadratow o dowolnych współczynnikach; - oblicza najmniejsz i najwiksz warto funkcji w danym przedziale; - * potrafi zastosowa wzory Viéte a do wyznaczania sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego; - * potrafi uzasadni wzory Viéte a; Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - rozpoznaje na podstawie wzoru, czy wykres funkcji przechodzi przez pocztek układu współrzdnych; - podaje przykłady wzorów opisujcych funkcje liniowe rosnce oraz malejce; - układa równanie lub nierówno do zadania tekstowego; - oblicza współrzdne punktów przecicia wykresu funkcji kawałkami liniowej z osiami układu współrzdnych; - ustala metodami rachunkowymi, kiedy funkcja kawałkami liniowa przyjmuje wartoci ujemne, a kiedy dodatnie; - wyznacza zbiór wartoci funkcji kawałkami liniowej; - sporzdza tabelk przebiegu zmiennoci funkcji kawałkami liniowej; - rozwizuje zadanie tekstowe prowadzce do układów równa liniowych z dwiema niewiadomymi; - *rozwizuje układy trzech równa z trzema niewiadomymi; - rozwizuje równanie kwadratowe niezupełne bez uycia wzorów na pierwiastki; - wyznacza najmniejsz i najwiksz warto funkcji kwadratowej w prostych zadaniach optymalizacyjnych; - rozwizuje złoone równania i nierównoci kwadratowe; - rozwizuje zadania tekstowe prowadzce do równa i nierównoci kwadratowych; - * potrafi rysowa i odczytywa własnoci funkcji kwadratowej z wartoci bezwzgldn; - * potrafi zastosowa wzory Viéte a do okrelenia znaków pierwiastków trójmianu kwadratowego; - * potrafi ustali liczb rozwiza równania kwadratowego w zalenoci od parametru; - * potrafi rozwiza proste równania i nierównoci kwadratowe z wartoci bezwzgldn; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo: - wyznacza dziedzin równania lub nierównoci ułoonej do zadania tekstowego; - rozwizuje graficznie układy równa, z których kade opisuje parabol; - bada dla jakich wartoci parametru funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe, które spełniaj okrelone warunki; - rozwizuje równania dwukwadratowe; - * potrafi odczyta liczb rozwiza równania typu f(x) = m w zalenoci od wartoci parametru m, majc dany wykres funkcji y = f(x); - * potrafi rozwiza równanie i nierówno kwadratow z wartoci bezwzgldn; - * potrafi zastosowa wzory Viéte a w równaniach kwadratowych z parametrem; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania wszystkich wczeniejszych poziomów oraz dodatkowo : - wyprowadza wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego; 19

- wyprowadza wzory na współrzdne wierzchołka paraboli; - opisuje dany zbiór za pomoc nierównoci liniowej, kwadratowej lub układu takich nierównoci; - rozwizuje algebraicznie i graficznie układ równa, z których co najmniej jedno jest stopnia drugiego; - * potrafi zbada liczb rozwiza równa i nierównoci z parametrem o podwyszonym stopniu trudnoci (koniunkcja kilku warunków). 8. Wielomiany. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli: - zna pojcia : jednomian, wielomian, wielomian jednej zmiennej x, - rozpoznaje wielomiany i jednomiany wród podanych wyrae; - zna i wykorzystuje algorytm redukcji wyrazów podobnych; - zna i stosuje algorytmy dodawania, odejmowania i mnoenia wielomianów; - porzdkuje wielomian; - oblicza warto wielomianu dla danej zmiennej; - okrela stopie jednomianu jednej zmiennej oraz wielu zmiennych; - okrela stopie wielomianu; - sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem danego wielomianu; - stosuje metod wyłczania wspólnego czynnika przed nawias w rozkładzie wielomianu na czynniki; - stosuje wzór k 2 -l 2 = (k l)(k + l) do rozkładu wielomianu na czynniki; - ustala krotno pierwiastka wielomianu danego w postaci iloczynowej; - rysuje przebieg (wykres) znaku wielomianu o danej postaci iloczynowej; - rozwizuje nierównoci wielomianowe, korzystajc z wykresu znaku; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo jeli: - ustala, czy wielomiany s równe; - zna i stosuje algorytm dzielenia wielomianu przez dwumian; - zna twierdzenie Bézout; - stosuje rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki do rozkładania wielomianu; - rozkłada wielomian na czynniki, stosujc wzory skróconego mnoenia i grupowanie wyrazów; - oblicza reszt z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x p; Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - zna i stosuje twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu; - wykorzystuje twierdzenie Bézout do znajdowania pierwiastków wielomianu;; - stosuje wzory k 3 - l 3 = (k l)(k 2 + kl + l 2 ), k 3 + l 3 = (k + l)(k 2 - kl + l 2 ) do rozkładania wielomianu; - rozwizuje równania i nierównoci trzeciego stopnia poprzez rozkład na czynniki; - * wyznacza pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo: - potrafi zastosowa twierdzenia dotyczce wielomianów do rozwizywania równa i nierównoci; - dostrzega zwizek midzy pierwiastkami wielokrotnymi a podzielnoci wielomianu; - rozwizuje zagadnienia z parametrem dotyczce rodzin wielomianów; - * stosuje dzielenie wielomianów w zadaniach z parametrem; 20

- * rozwizuje równania i nierównoci wielomianowe z parametrem; - * rozwizuje równania i nierównoci wielomianowe z wartoci bezwzgldn; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania wszystkich wczeniejszych poziomów oraz dodatkowo: - zna struktur logiczn twierdze: Bézout, o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu; - umie przeprowadzi dowód twierdzenia Bézout oraz twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu; - wyznacza przyblion warto pierwiastka wielomianu; - *rozwizuje równania wielomianowe z parametrem o podwyszonym stopniu trudnoci; - *rozwizuje zadania problemowe z wykorzystaniem równa i nierównoci wielomianowych. 9. Wyraenia wymierne i funkcje wymierne. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, jeli: - Odrónia wyraenie wymierne od innych wyrae algebraicznych; - wyznacza dziedzin wyraenia wymiernego z jedn niewiadom, którego mianownik jest dwumianem stopnia pierwszego lub trójmianem kwadratowym, - wykorzystuje wzór k 2 -l 2 = (k l)(k + l) do wyznaczania dziedziny wyraenia wymiernego; - oblicza warto danego wyraenia wymiernego dla danej wartoci zmiennej; - skraca i rozszerza wyraenie wymierne (proste przypadki); - sprowadza dane wyraenia wymierne do wspólnego mianownika bdcego iloczynem mianowników; - rozpoznaje funkcj homograficzn po wzorze; - wyznacza dziedzin funkcji homograficznej; - oblicza warto funkcji homograficznej dla danego argumentu; - okrela przesunicia wykresu funkcji homograficznej na podstawie kanonicznej postaci wzoru; - a szkicuje wykres funkcji f(x) = x i opisuje jej własnoci; Poziom wymaga podstawowych Ucze otrzymuje ocen dostateczn, spełnił wymagania konieczne oraz dodatkowo jeli: - mnoy i dzieli wyraenia wymierne oraz sprowadza wynik do najprostszej postaci; - ustala najprostszy wspólny mianownik dla wyrae wymiernych z jedn niewiadom (w prostych przypadkach); - dodaje i odejmuje wyraenia wymierne, wynik sprowadza do najprostszej postaci; ax + b k - przekształca wzór f(x) = do postaci f(x) = + q dla danych wartoci a, b, c, d; cx + d x p k - szkicuje wykres funkcji homograficznej okrelonej wzorem f(x) = + q ; x p - wyznacza współrzdne punktów przecicia wykresu funkcji homograficznej z osiami układu współrzdnych; - rozwizuje równanie typu : x a = b; - rozwizuje nierówno typu : x a < b lub x a > b; - *sprawdza, czy dane funkcje wymierne s równe; 21

Poziom wymaga rozszerzajcych Ucze otrzymuje ocen dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego i podstawowego oraz dodatkowo: - wyznacza dziedzin wyraenia wymiernego stosujc wzory k 3 - l 3 = (k l)(k 2 + kl + l 2 ), k 3 + l 3 = (k + l)(k 2 - kl + l 2 ) do rozkładania wielomianu na czynniki; - k wyznacza zbiór wartoci funkcji homograficznej okrelonej wzorem f(x) = + q ; x p - wyznacza zbiór, w którym funkcja homograficzna przyjmuje wartoci dodatnie i zbiór, w którym funkcje homograficzna przyjmuje wartoci ujemne; - ax + b ax + b rozwizuje równania i nierównoci typu > 0 lub cx + d cx + d < 0; - *bada, dla jakich wartoci parametru dwie dane funkcje wymierne s równe; Poziom wymaga dopełniajcych Ucze otrzymuje ocen bardzo dobr, jeli spełnił wymagania z poziomu koniecznego, podstawowego i rozszerzajcego oraz dodatkowo: - wyznacza dziedzin wyraenia wymiernego z dwiema niewiadomymi; - rozwizuje zadania tekstowe o tematyce praktycznej, dotyczcej proporcjonalnoci odwrotnej; - przetwarza informacje wyraone w formie wykresu proporcjonalnoci odwrotnej na inn form prowadzc do rozwizania problemu; - ustala dziedzin równania lub nierównoci ułoonej do zadania tekstowego; - *rozwizuje algebraicznie i graficznie równania wymierne; - *rozwizuje równania i nierównoci wymierne z wartoci bezwzgldn; Poziom wymaga wykraczajcych Ucze otrzymuje ocen celujc, jeli spełnił wymagania wszystkich wczeniejszych poziomów oraz dodatkowo: - rozwizuje zadania dotyczce rodziny hiperbol (zadania z parametrem); - wyznacza zbiór wartoci funkcji homograficznej metodami rachunkowymi; - *rozwizuje układy równa wymiernych z parametrem; 10. Przekształcanie figur. Poziom wymaga koniecznych Ucze otrzymuje ocen dopuszczajc, spełnił jeli: - rozpoznaje na rysunku figur osiowo symetryczn; - rozpoznaje na rysunku figur rodkowo symetryczn; - podaje przykład figury osiowo symetryczn; - podaje przykład figury rodkowo symetrycznej; - *bada, czy dane dwa punkty s symetryczne wzgldem prostej; - *bada, czy dane dwa punkty s symetryczne wzgldem punktu; - *rozstrzyga, czy dwie figury s symetryczne wzgldem prostej; - *wykrela wielokt symetryczny do danego wielokta wzgldem prostej, gdy prosta ley poza wieloktem; - wykrelia wielokt symetryczny do danego wielokta wzgldem punktu, gdy ten punkt ley poza wieloktem; - *w danym zbiorze wektorów wskazuje wektory równe, o tym samym kierunku, zwrocie i przeciwne; - rysyje wektor o danych współrzdnych; - *dodaje dane wektory i mnoy przez dan liczb; - *obraca przedmiot dookoła danego punktu o dany kt w kierunku dodatnim bd ujemnym; - *skonstruuje trójkt równoboczny i wskae jego osie symetrii; 22