POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Analiza korelacyjna sygnałów dr hab. inż. Robert Hanus Podstawowe charakterystyki sygnału losowego x(t) Definicja charakterystyki Niektóre właściwości Wartość średnia: A Wartość średniokwadratowa: Wariancja: Gęstość prawdopodobieństwa: Rozkład Gaussa: t Funkcja autokorelacji: f Jednostronna gęstość widmowa mocy: Tx - suma przedziałów czasowych, w których wartość sygnału x(t) znajduje się w przedziale (x,x+ x), w czasie uśredniania T, - przesunięcie czasowe 2 1
Podstawowe charakterystyki łączne dwóch sygnałów losowych x(t) i y(t) A Definicja charakterystyki Łączna gęstość prawdopodobieństwa: Niektóre właściwości p(x,y)=p(x) p(y) dla x(t) i y(t) statystycznie niezależnych t Funkcja korelacji wzajemnej: f Wzajemna gęstość widmowa mocy: - suma przedziałów czasowych, w ciągu których sygnały x(t) i y(t) jednocześnie znajdują się w odpowiednich przedziałach (x,x+ x) i (y,y+ y) w czasie trwania obserwacji T, - przesunięcie czasowe 3 Funkcja autokorelacji + Ilustracja definicji i przykładowy przebieg funkcji autokorelacji Dla sygnałów okresowych o okresie T funkcję autokorelacji można określić jako: 4 2
Unormowana i znakowa funkcja autokorelacji Unormowana funkcja autokorelacji Znakowa funkcja autokorelacji x r x 5 Interwał korelacji Interwał (przedział) korelacji W praktyce jako interwał korelacji przyjmuje się: czas opóźnienia, po upływie którego obwiednia funkcji autokorelacji nie przekracza z góry zadanej wartości, najczęściej 0,1 lub 0,05 swej wartości maksymalnej; czas opóźnienia, dla którego obwiednia funkcji autokorelacji po raz pierwszy przechodzi przez zero. 6 3
Właściwości funkcji autokorelacji Właściwości: dla dowolnej wartości Funkcja autokorelacji przebiegu zawierającego składową stałą a 7 Funkcje autokorelacji wybranych sygnałów (1) a) sygnał harmoniczny, b) sygnał harmoniczny z szumem losowym, c) wąskopasmowy szum losowy, d) szerokopasmowy szum losowy 8 4
Funkcje autokorelacji wybranych sygnałów (2) 9 Funkcje autokorelacji wybranych sygnałów (3) 10 5
R ( ) x 2 e x e Przykład rachunkowy Dla sygnału losowego opisywanego funkcją autokorelacji określić odstęp T p dla próbkowania sygnału próbkami nieskorelowanymi, jeżeli = 100 s -1. Rozwiązanie: Unormowana funkcja autokorelacji wynosi: Interwał korelacji k można obliczyć z warunku: z którego po podstawieniu: otrzymuje się: Ostatecznie: 11 Zastosowania funkcji autokorelacji (1) 1) Wykrywanie sygnałów okresowych ukrytych w szumie z (t )= x (t ) + n (t ), x (t ) sygnał okresowy (sinusoidalny), n (t ) szum jeżeli x(t) i n(t) są statystycznie niezależne to dla każdego i: 12 6
Zastosowania funkcji autokorelacji (2) 2) Określenie szybkości zmian sygnału Zależność między szybkością zmian sygnału a funkcją korelacji: a) sygnał szybkozmienny, b) sygnał wolnozmienny 13 3) Pomiary prędkości Zastosowania funkcji autokorelacji (3) a) ogólny schemat układu pomiarowego D czujnik, BM układ mnożący, BO blok opóźniający, BU blok uśredniający, BN blok normujący 14 7
Zastosowania funkcji autokorelacji (4) b) pomiar prędkości przy stałym opóźnieniu c) pomiar przy stałej wartości funkcji autokorelacji 15 Funkcja korelacji wzajemnej (interkorelacji) Przebiegi dwóch realizacji procesu losowego z zaznaczonymi wartościami chwilowymi x (t) oraz y (t+ ) Typowy wykres funkcji korelacji wzajemnej 16 8
Właściwości funkcji korelacji wzajemnej Właściwości: 17 Unormowana i znakowa funkcja korelacji wzajemnej Unormowana funkcja korelacji wzajemnej: Znakowa funkcja korelacji wzajemnej: 18 9
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (1) 1) Pomiary opóźnień transportowych i prędkości Pomiar opóźnień transportowych a) rozmieszczenie detektorów D1 i D2; b) przykład korelogramu 19 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (2) Metoda korelacyjna pomiaru przepływu: a) ilustracja zasady pomiaru, b) przebiegi sygnałów na wyjściu przetworników D1 i D2, c) przykład funkcji korelacji wzajemnej 20 10
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (3) Ilustracja korelacyjnej metody badania przepływów turbulentnych 21 Radioizotopowe pomiary przepływów ciecz-gaz w rurociągu ` Idea radioizotopowej metody absorpcyjnej; 1 źródło promieniowania gamma, 2 materiał, 3 - sonda scyntylacyjna 22 11
τ 0 V L / 0 23 Radioizotopowe pomiary przepływu ciecz-cząstki stałe w rurociągu pionowym 24 12
τ 0 25 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (4) 2) Pomiary odległości a) b) d Ilustracja metody korelacyjnej pomiaru odległości a) schemat układu pomiarowego b) kształt (przebieg) unormowanej funkcji korelacji wzajemnej 26 13
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (5) 2) Pomiary odległości Schemat blokowy wysokościomierza 1 generator szumu, 2 filtr, 3 modulator częstotliwości, 4 wzmacniacz, 5 nadajnik, 6 odbiornik, 7 mieszacz 8 wzmacniacz częstotliwości różnicowej, 9 ogranicznik, 10 dyskryminator liniowy, 11 indykator 27 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (6) 3) Lokalizacja obiektów Przykład zastosowania techniki korelacyjnej do wykrywania obiektów za pomocą radarów 28 14
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (7) 3) Lokalizacja obiektów (cd) 29 L L 2 1 c m 2 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (8) 4) Lokalizacja miejsca przecieku rurociągu c prędkość dźwięku gdy odległość L 1 +L 2 =L jest znana, to: L 1 -L 2 =c( m1 - m2 )=c m, a stąd: 30 15
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (9) 31 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (10) SeCorr 08 32 16
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (11) 5) Wykrywanie dróg przenoszenia sygnałów Układ i korelogramy liniowej propagacji sygnału wieloma drogami z jednego źródła 33 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (12) Ilustracja metody korelacyjnej wykrywania dróg przenoszenia zakłóceń: S1,S2,S3 oznaczenie drogi, 1 źródło hałasu, 2 akcelerometr, 3 - detektor 34 17
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (13) Układ i korelogramy dla liniowej propagacji sygnałów wieloma drogami z wielu niezależnych źródeł 35 Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (14) Zastosowania w medycynie 1) Wykrywanie zespołów QRS w zaszumionym elektrokardogramie (EKG) Wykrywanie zespołów QRS za pomocą korelacji wzajemnej: a) sygnał EKG, b) zakłócony sygnał EKG, c) aktualizowana kopia zespołu QRS, d) lokalizacja zespołów QRS jako wynik korelacji wzajemnej przebiegów b i c Żądana kopia sygnału była wstępnie wygenerowana na podstawie ogólnej znajomości QRS i aktualizowana w czasie pomiaru przy użyciu algorytmu adaptacyjnego. 36 18
Zastosowania funkcji korelacji wzajemnej (15) Zastosowania w medycynie 2) Diagnoza uszkodzeń nerwów i mięśni Sposób pomiaru elektromyogramu (EMG) a) EMG mięśnia zdrowego; b) EMG mięśnia po chorobie 1 stan napięcia mięśnia; 2 - stan rozluźnienia mięśnia 3) Inne zastosowania - pomiar i analiza sygnałów mózgu (EEG) - wykrywanie składowych okresowych sygnałów (tętno płodu na tle tętna matki) 37 Estymacja funkcji autokorelacji (1) Estymatory analogowe realizacja o długości T+ realizacja o długości T Układ opóźniający Układ mnożący Układ uśredniający Rejestracja R x ( )=f( ) Funkcjonalny schemat blokowy analizatora funkcji autokorelacji 38 19
Estymacja funkcji autokorelacji (2) dla białego szumu o ograniczonym paśmie B i zerowej wartości średniej: Błąd średniokwadratowy estymatora 39 Estymacja funkcji autokorelacji (3) Estymatory dyskretne l dyskretna wartość opóźnienia; l = / (l = 0,1 L-1); - odstęp korelacji, L liczba obliczonych wartości estymatora; x(n) dyskretne wartości sygnału x(t), próbkowanego w dyskretnych momentach czasu t n = n t (n = 0,1 N-1); t = T/N odstęp próbkowania realizacja o długości N + l realizacja o długości N 40 20
Estymacja funkcji autokorelacji (4) Błąd średniokwadratowy estymatora dyskretnego dla sygnału o rozkładzie normalnym (dla próbek nieskorelowanych): Zależność =f(n) dla różnych wartości x (l) 41 Estymacja funkcji korelacji wzajemnej (1) Estymatory analogowe (ciągłe) realizacje o długości T+ realizacje o długości T dla białego szumu o ograniczonym paśmie B i zerowej wartości średniej: 42 21
Estymacja funkcji korelacji wzajemnej (2) Estymatory dyskretne 43 Estymacja funkcji korelacji wzajemnej (3) Błąd średniokwadratowy estymatora normalnym: dyskretnego dla sygnału o rozkładzie dla próbek nieskorelowanych: Dla sygnałów o rozkładach prawdopodobieństwa różnych od normalnego: - współczynniki ekscesu dla procesów x i y zależne od typu rozkładu 44 22
Obliczanie funkcji autokorelacji (1) Metoda bezpośrednia 0 Block diagram of autocorrelation analyser 45 Obliczanie funkcji autokorelacji (2) Metoda z wykorzystaniem FFT 46 23
Obliczanie funkcji korelacji wzajemnej (1) Metoda bezpośrednia Block diagram of cross-correlation analyser 47 Obliczanie funkcji korelacji wzajemnej (2) Metoda z wykorzystaniem FFT 48 24
Funkcje korelacji w DASYLab (1) 49 Funkcje korelacji w DASYLab (2) Współczynnik korelacji (liczba) Funkcja korelacji wzajemnej (funkcja) 50 25
Funkcje korelacji w DASYLab (3) 51 Funkcje korelacji w DASYLab (4) 52 26
Funkcje korelacji w DASYLab (5) 53 Funkcje korelacji w DASYLab (6) 54 27
Funkcje korelacji w DASYLab (7) 55 28