Jednoznaczność dzielenia MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k k iloraz l reszta n n n {}}{{}}{{}}{ l {}}{ 0 m Naprzykład: 13=5 2+3 oraz 0 3<5 Jednoznaczność dzielenia Wykład2,14X2008,str2 MNiechmincałkowite,n 0 Wtedy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych k i l taka że m=n k+l oraz 0 l< n Terminologia: m dzielna n dzielnik Sytuacjadlam 0in>0: k iloraz l reszta l k {}}{ n n n n {}}{{}}{{}}{{}}{ m 0 Naprzykład: 13=5 ( 3)+2 oraz 0 2<5
Ostrzeżenie komputerowe Na liczbach ujemnych dzielenie komputerowe czasem odchodzi od tego wzorca Testowy program w C: #include<stdioh> void iloraz_reszta(intm,intn){ printf("%3i=(%2i)*(%2i)+(%2i)\n",m,n,m/n,m%n); } main(){ intm,n; m= 13;n= 5; iloraz_reszta(m,n); m=-13;n= 5; iloraz_reszta(m,n); m= 13;n=-5; iloraz_reszta(m,n); m=-13;n=-5; iloraz_reszta(m,n); } Ostrzeżenie komputerowe Wykład2,14X2008,str4 Na liczbach ujemnych dzielenie komputerowe czasem odchodzi od tego wzorca Mój komputer: 13=(5)*(2)+(3) -13=(5)*(-2)+(-3) 13=(-5)*(-2)+(3) -13=(-5)*(2)+(-3) Arytmetyka z twierdzenia: 13=( 5) ( 2)+( 3) 13=( 5) ( 3)+( 2) 13=( 5) ( 2)+( 3) 13=( 5) ( 3)+( 2) WjęzykuCnamoimkomputerzeznakresztyjesttakisamjakznak dzielnej a iloraz jest do tego dostosowany
Pozycyjne systemy liczbowe MNiechnimnaturalne,m 2Wtedyistniejedokładniejeden rozkład liczby n na sumę potęg m ze współczynnikami n=a 0 +a 1 m+a 2 m 2 ++a k m k takimi,że 0 a i <m dla i {0,1,,k} Dowód: Indukcja ze względu na n Przypn=0:oczywisty Przyp n > 0: Z twierdzenia o jednoznaczności dzielenia istnieje dokładnie jednaparaliczb(c 1,a 0 ),takichże n=a 0 +c 1 m i 0 a 0 <mprzy tymc 1 <n,więcstosujesięzałożenieindukcyjne: c 1 =a 1 +a 2 m++a k m k 1 i 0 a i <m dlawszystkichiwobectego: n=a 0 +c 1 m =a 0 +(a 1 +a 2 m++a k m k 1 ) m =a 0 +a 1 m+a 2 m 2 ++a k m k Pozycyjne systemy liczbowe Wykład2,14X2008,str6 MNiechnimnaturalne,m 2Wtedyistniejedokładniejeden rozkład liczby n na sumę potęg m ze współczynnikami n=a 0 +a 1 m+a 2 m 2 ++a k m k takimi,że 0 a i <m dla i {0,1,,k} Zapis liczby w układzie pozycyjnym: m podstawaukładu; a 0,a 1,a 2,a k cyfry Za co kochamy układy pozycyjne? Przykład układu niepozycyjnego: liczby rzymskie Zadanie: wykonać proste mnożenie XXXIV XVI????
Pozycyjne systemy liczbowe Dla ludzi system dziesiętny: 156=1 10 2 +5 10+6 Dla komputerów system binarny(dwójkowy): 156=1 2 7 +0 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +1 2 3 +1 2 2 +0 2+0 Albo system heksadecymalny(szesnastkowy): 156 = 9 16+12 = 9 16+C Dodatkowe cyfry dla układu szesnastkowego: 10=A 11=B 12=C 13=D 14=E 15=F Pozycyjne systemy liczbowe Wykład2,14X2008,str8 System szesnastkowy stosuje się m in do opisywania kolorów Trzy kolejne cyfry szesnastkowe oznaczają ilości składowych kolorów podstawowych czerwonego(red) zielonego(green) niebieskiego(blue) wdanejbarwiebarwjestwięc16 3 =4096 000 080 0F0 008 088 0F8 00F 08F 0FF 800 880 8F0 808 888 8F8 80F 88F 8FF F00 F80 FF0 F08 F88 FF8 F0F F8F FFF Zapis jednej cyfry szesnastkowej zajmuje 4 bity; więc zapis jednego koloruzajmuje3 4=12bitówStosujesięrównieżwiększągłębiębarw,po dwie cyfry szesnastkowe na kolor podstawowy to wymaga poświęcenia 24bitównabarwęidajeok2 24 17mlnróżnychbarw
Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Niechn 2 DEFINICJA: (relacja modulo n) MDwieliczbycałkowitepiqsąrównemodulonjeślirównesąresztyzich dzielenia przez n: p n q def pmodn=qmodn Fakt: Mp n q p qjestpodzielneprzezn Fakt: MRelacja n jestrelacjąrównoważnościna Z;tznjest zwrotna: p n p symetryczna: jeśli p n q to q n p przechodnia: jeśli p n q i q n r to p n r Relacja równoważności pozwala podzielić zbiór Z na klasy abstrakcji: do każdej klasy wchodzą liczby o tej samej reszcie z dzielenia przez n Wykład2,14X2008,str10 Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) 5 4 6 3 2 1 0 7 8 9 Sklejamy liczby całkowite: n 1= 1 n=0 n+1=1 Inaczej: każdą liczbę m zastępujemy przezmmodn resztęzdzieleniamprzezn Arytmetyka liczb całkowitych na komputerze jest arytmetyką reszt (patrz niżej)
Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Sklejenie modulo jest rozdzielne względem dodawania, odejmowania i mnożenia liczb całkowitych: (m+k)modn = (mmodn+kmodn)modn (13+4)mod8=(13mod8+4mod8)mod8 =(5+4)mod8=9mod8=1 (m k)modn = (mmodn kmodn)modn (13 26)mod8=(13mod8 26mod8)mod8 =(5 2)mod8=3mod8=3 (m k)modn = (mmodn kmodn)modn (13 26)mod8=(13mod8 26mod8)mod8 =(5 2)mod8=10mod8=2 Arytmetyka komputerowa Wykład2,14X2008,str12 ujemne 4 2 3 3 1 2 1 0 dodatnie arytmetyka 3-bitowa, czyli modulo2 3 =8 Arytmetyka liczb całkowitych w języku C w moim komputerze jest czterobajtowa;toznaczymodulo(2 8 ) 4 =2 8 4 =2 32 Dlategowgniego 65536 65535= 65536 bo 65536=2 16 (2 16 (2 16 1))mod2 32 =(2 32 2 16 )mod2 32 = 2 16 mod2 32
Ustalanie podzielności przy pomocy arytmetyki reszt MResztazdzielenialiczbym Nprzez9jestrównareszciezdzielenia sumycyfrliczbymprzez9 Dowód: Niechm 0,m 1,,m p będącyframidziesiętnymiliczbym;tzn: m=m 0 +m 1 10+m 2 10 2 ++m p 10 p Ponieważ10mod9=1,więc mmod9=(m 0 +m 1 10+m 2 10 2 ++m p 10 p )mod9 =(m 0 +m 1 1+m 2 1 2 ++m p 1 p )mod9 =(m 0 +m 1 +m 2 ++m p )mod9 Wniosek: MLiczbam Ndzielisięprzez9bezresztywtedyitylkowtedy,gdyjej sumacyfrdzielisięprzez9bezreszty: 9 m 9 (m 0 +m 1 +m 2 ++m p ) Wykład2,14X2008,str14 Ustalanie podzielności przy pomocy arytmetyki reszt Oznaczenie:n m ndzielim (lub: mdzielisięprzeznbezreszty) Wniosek: M2 n liczbazłożonazostatniejcyfryndzielisięprzez2 4 n liczbazłożonazostatnichdwóchcyfrn dzielisięprzez4 5 n ostatniącyfrąliczbynjest0lub5 3 n sumacyfrliczbyndzielisięprzez3 9 n sumacyfrliczbyndzielisięprzez9 11 n naprzemiennasumacyfrliczbyndzielisięprzez11 MCzy 11 1234567890? 11 1234567890 11 ( 1+2 3+4 5+6 7+8 9+0) 11 ( 5) false
Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD DEFINICJA: MLiczbanaturalnap 2jestpierwsza,jeślidladowolnejn 1 z n p wynika,że n=1lubn=p MKolejne liczby pierwsze: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 Wykład2,14X2008,str16 Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD DEFINICJA: MLiczbanaturalnap 1jestnajwiększymwspólnymdzielnikiemliczbcałkowitychmin,jeśli p mip n, z q m i q n wynika,że q p Oznaczenie: p = NWD(m, n) M NWD(12,18)=6 NWD(75,90)=15 NWD(21,110)=1
Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD DEFINICJA: MLiczbynaturalneminsąwzględniepierwsze,jeśli NWD(m,n)=1 M NWD(12,18)=6 więc12i18 niesąwzględniepierwsze NWD(75,90)=15 więc75i90 niesąwzględniepierwsze NWD(21,110)=1 więc21i110 sąwzględniepierwsze MJeśliminsąwzględniepierwszei m (n k) to m k MPonieważ NWD(9,5)=1 i 9 11 to 9 55 Wykład2,14X2008,str18 Liczby pierwsze, względnie pierwsze, NWD (jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze) MDowolną liczbę naturalną m > 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu m=p 1 p 2 p n gdziep 1 p 2 p n iliczbyp 1,p 2,,p n sąpierwsze M 180=2 2 3 3 5 1530=2 3 3 5 17 MNWD(m, n) jest iloczynem liczb pierwszych występujących zarówno w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby m jak liczby n M NWD(180,1530)=2 3 3 5=90
Wyznaczanie NWD algorytm Euklidesa 1NWD(n,0)=n 2jeślin>mtoNWD(n,m)=NWD(m,nmodm) 3jeślin<mtoNWD(n,m)=NWD(m,n) M NWD(504,2940) 3 = NWD(2940, 504) 2 =NWD(504,2940mod504)=NWD(504,420) 2 =NWD(420,504mod420)=NWD(420,84) 2 =NWD(84,420mod84)=NWD(84,0) 1 =84 Chińskie twierdzenie o resztach Wykład2,14X2008,str20 (o wyznaczaniu liczby jeśli znane są reszty Sun Tzu, IIIwne) MNiechp 1,p 2,,p n będąliczbamiparamiwzględniepierwszymi(czyli każda z każdą) Dla każdej n-tki liczb 0 q 1 <p 1 0 q 2 <p 2 0 q n <p n istnieje liczba całkowita q taka, że qmodp 1 =q 1 qmodp 2 =q 2 qmodp n =q n Wszystkietakieliczbysąrównoważnemoduloq 1 q 2 q n
Chińskie twierdzenie o resztach (Qin Jiushao, Dziewięć działów sztuki liczbowej, 1247) MZłodzieje ukradli ryż z trzech beczek Początkowo było tyle samo ryżu w każdejbeczce,niewięcejniż3000ho,aleniewiadomopoile wbeczceipozostało1ho,azłodziejczerpałzniejczerpakiemmieszczącym 11 ho, wbeczceiipozostało11ho,azłodziejczerpałzniejchodakiemmieszczącym 17 ho, wbeczceiiipozostało1ho,azłodziejczerpałzniejmiseczkąmieszczącą13ho Ile ryżu było początkowo w każdej beczce? Byłoqho,gdzie qmod11=1 więc q {1,12,23,,1+11 i} qmod17=11 więc q {11,28,45,,11+17 i} qmod13=1 więc q {1,14,27,,1+13 i} Pierwszą wspólną liczbą w tych ciągach jest 2289 to jest rozwiązanie