PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś p% a = a. DEFINICJA 2. Jeden promil (1 ) pewnej liczby a to tysięczna część tej liczby, tórą oznacza się: 1 a, przy czym 1 a = 1 p 0 a, zaś p a = 0 a. DEFINICJA 3. Równość dwóch stosunów (ułamów) nazywamy proporcja: Przyład 1: a b = c d, gdzie b 0 d 0 Po dwóch olejnych obniżach o 20% za ażdym razem, cena odurzacza wynosi 320zł. Jaa była cena przed obniżami? Oznaczmy przez x cenę odurzacza przed obiema obniżami. Po pierwszej obniżce o 20% cena odurzacza wyniosła 80% x, zaś po drugiej obniżce wyniosła ona 80%(80% x). Po podstawieniu wartości do równania otrzymujemy: 80%(80% x) = 320zł 0, 8 (0, 8x) = 320zł 0, 64x = 320zł Odp. Cena odurzacza przed obniżami wynosiła 500zł. Przyład 2: x = 320 0,64 zł x = 500zł Jane bierze redyt w banu Superban na 10 000 zł do spłaty w ciągu 3 lat. Oprocentowanie redytu to 15% rocznie, obliczane (apitalizowane) co rou od atualnej woty z odsetami. Oblicz jaą wotę będzie winien banowi Jane po 3 latach. Do zapłaty po pierwszym rou: 10 000 + 10 000 15 = 11 500 Do zapłaty po drugim rou: 11 500 + 11 500 15 = 13 225 Do zapłaty po trzecim rou: 13 225 + 13 225 15 = 15 208, 75 Całowita wota do zapłaty: 15 208, 75 Odp. Po 3 latach Jane jest winien banowi 15 208, 75 zł. 1
Przyład 3: Tome jest o 2 lata starszy od Magdy. Gdyby Magda była 2 razy młodsza, a Tome o 6 lat młodszy, to byłby tyle samo razy starszy od Magdy, ile razy jest od niej starszy teraz. Ile lat ma Tome, a ile Magda? Oznaczmy: T wie Toma, M wie Magdy. Wtedy T = M + 2 oraz: T 6 1 2 M = T M 2M 4 M = M + 2 M 2M 8 = M + 2 M = 10 T = 12 Odp. Tome ma 12 lat, a Magda 10. 2. Wyrażenia potęgowe wzory podstawowe a 0 = 1 a 1 = a a n+1 = a n a a n = 1 a n a n+m = a n a m a n m = an a m a n m = (a n ) m a n/m = m a n a 1/n = n a (a b) n = a n b n ( a b )n = an b n Przyład 4: Korzystając z powyższych wzorów uprość następujące wyrażenie potęgowe: (2a) 5 b 9 c 3 8a 3 a 2 ( b a )6 c 5/2 = 25 a 5 b 9 c 3 8a 3+2 b 6 c = a 5/2 6 (2a) 5 b 9 c 3 8a 3 a 2 ( b a )6 c 5/2 32a5b9c 3 8a 5 b 6 a 6 c 5/2 = 4a5 b 9 c 3 b 6 a 5 6 c 5/2 = 4a5 b 9 c 3 b 6 a 1 c 5/2 = 4a6 b 3 c 11/2 3. Wzory sróconego mnożenia dwumian Newtona, trójat Pascala Podstawowe wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 2 b 2 = (a + b)(a b) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Wyrażenia postaci (a+b) n i (a b) n można wyznaczyć ze wzorów ogólnych (tzw. dwumianu Newtona): (a + b) n = (a b) n = ( ) n a n b ( ) n ( 1) a n b 2
gdzie ( n ) jest symbolem Newtona, definiowanym następująco (n! oznacza silnię z liczby n): ( ) n n! =!(n )! Wartości współczynniów ( n ) można uzysać z trójata Pascala (wartości dla n-tego współczynnia odczytujemy z n-tego wiersza trójąta): n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1...... Sposób onstrucji trójąta Pascala: W trójącie Pascala ażda liczba (z wyjątiem srajnych jedyne) w n-tym rzędzie jest sumą umieszczonych nad nią liczb z rzędu n 1. Na przyład dla n = 5 liczba 10 jest sumą liczb 4 i 6 z rzędu n = 4. Przyład odczytywania wartości współczynniów z trójąta Pascala: Wartości współczynniów ( 3 ) odczytujemy z trzeciego wiersza (n = 3), czyli: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 = 1; = 3; = 3; = 1 0 1 2 3 Przyład 5: Przyład 6: (a b) 2 = Przyład 7: (a + b) 2 = 2 ( ) 2 a 2 b = 1 a 2 0 b 0 + 2 a 2 1 b 1 + 1 a 2 2 b 2 = a 2 + 2ab + b 2 2 ( ) 2 ( 1) a 2 b = ( 1) 0 1 a 2 0 b 0 +( 1) 1 2 a 2 1 b 1 +( 1) 2 1 a 2 2 b 2 = a 2 2ab+b 2 (a b) 3 = 3 ( 1) ( ) 3 a 3 b = ( 1) 0 1 a 3 0 b 0 + ( 1) 1 3 a 3 1 b 1 +( 1) 2 3 a 3 2 b 2 + ( 1) 3 1 a 3 3 b 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 Zastosowanie wzorów sróconego mnożenia: Przyład 8: Przyład 9: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 0 + 600 + 120 + 8 = 1728 0, 99 2 = (1 0, 01) 2 = 1 2 2 1 0, 01 + 0, 01 2 = 1 0, 02 + 0, 0001 = 0, 9801 3
4. Średnie DEFINICJA 4. Średnia arytmetyczna n liczb a 1, a 2,..., a n nazywamy wyrażenie: Przyład 10: ā = 1 n a i = a 1 + a 2 +... + a n n Jace otrzymał następujące oceny z matematyi: 1, 2, 2, 3. Oblicz średnią ocen Jaca z matematyi. Odp. Średnia ocen Jaca z matematyi wynosi 2. ā = 1 + 2 + 2 + 3 4 DEFINICJA 5. Średnia arytmetyczna ważona n liczb a 1, a 2,..., a n z wagami w 1, w 2,..., w n nazywamy wyrażenie: Przyład 11: ā w = a i w i w i = 2 = a 1w 1 + a 2 w 2 +... + a n w n w 1 + w 2 +... + w n W wyniu miareczowania otrzymano następujące wynii: 5 wyniów po 11 cm 3, 3 wynii po 12 cm 3 oraz 1 wyni wynoszący 9 cm 3. Obliczyć średni wyni miareczowania. ā w = Odp. Średni wyni miareczowania to 11 1 9 cm3. 11 5 + 12 3 + 9 1 5 + 3 + 1 = 11 1 9 5. Zadania Zadanie 1 Wyonaj działania: (a) (2a 2 b 3 c 1/2 ) 6 ( ab 2 c 3 d 2 ) 4 (b) (16x p y n z n ) : ( 4x p 2 y 2 z n 4 ) (c) ( 1 3 )4 ( 2 3 ) 5 : 6 2 + 1 2 3 (d) ( 5 3 )3 : ( 3 5 )2 ( 5 3 )4 Zadanie 2 (a) 0, 8 2 (b) 1, 1 3 Oblicz liczby orzystając ze wzorów sróconego mnożenia: (c) 0, 99 3 + 1, 01 3 (d) 13 4 Zadanie 3 Na początu lodówa osztowała 0 zł. Najpierw jej cenę obniżono o 20%, następnie podwyższoną ją o 20%. Oblicz cenę lodówi po wszystich jej zmianach. Zadanie 4 Oblicz wyrażenie 3 7 4 6 6 9 12 6 27 2 2 10. Zadanie 5 Oblicz średnią arytmetyczną liczb 1158, 57, 647 i 3782. 4
Zadanie 6 Cyron posiada pięć stabilnych izotopów: izotop 90 Zr stanowiący 51,45% ogólnej liczby atomów cyronu; izotop 91 Zr stanowiący 11,22% ogólnej liczby atomów cyronu, izotop 92 Zr stanowiący 17,15% ogólnej liczby atomów cyronu, izotop 94 Zr stanowiący 17,38% ogólnej liczby atomów cyronu oraz izotop 96 Zr stanowiący 2,80% ogólnej liczby atomów cyronu. Wyznacz średnią masę atomową cyronu (daną jao średnia ważona z mas atomowych poszczególnych izotopów). Zadanie 7 Długość promienia oła zwięszono o 20%. O ile procent zwięszy się pole oła? Zadanie 8 Trzy beczi 20-procentowego (% masowe) roztworu aloholu ważą 150 g. Ile g aloholu znajduje się w 10 beczach? 6. Odpowiedzi Zadanie 1 (a) 64a 16 b 26 c 15 d 8 (b) 4x 2 y n 2 z 4 (c) 1 (d) ( 5 3 )5 Zadanie 2 (a) 0, 64 (b) 1, 331 (c) 2, 0006 (d) 28561 Zadanie 3 960 zł Zadanie 4 1 2 Zadanie 5 1411 Zadanie 6 91,32 u Zadanie 7 44% Zadanie 8 g 5