Kraj bez matematyki nie wytrzyma współzawodnictwa z tymi krajami, które matematykę uprawiają Hugo Steinhause X I Dąbrowski Konkurs Matematyczny Dla uczniów klas pierwszych szkół ponad gimnazjalnych Konkurs jest objęty honorowym patronatem Śląskiego Kuratora Oświaty i ma zasięg wojewódzki ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE 1.Przykładowe testy konkursowe z poprzednich edycji I. Polecenie: Test jest testem jednokrotnego wyboru. Zaznacz krzyżykiem X poprawną odpowiedź w pustych kolumnach a, b, c. Za poprawną odpowiedź otrzymasz 1 punkt. Zad Treść zadania a b c Pkt. 1 Jeśli długości podstaw trapezu wzrosną o 20%, a długość wysokości zmaleje o 10%, to pole trapezu a)nie zmieni się b)wzrośnie o ponad 10% c)wzrośnie o 8% 2 Z kwadratowej kartki o boku 40 cm wycięto trójkąt równoboczny o boku 40 cm. Jaki procent pola kartki stanowi pole pozostałych ścinków? a)mniejszy nią 50% b)większy niż 55% c)równy 30% 3 Suma wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100 włącznie, które zaczynają się cyfrą 1, to a) 246 b) 146 c) 27 4 Które zdanie jest prawdziwe: a)suma dwóch dowolnych liczb niewymiernych jest
liczbą niewymierną b)różnica dwóch dowolnych liczb naturalnych jest liczbą naturalną c)każda liczba wymierna jest ilorazem dwóch liczb wymiernych 5 Jeśli pole koła opisanego na kwadracie jest równe 2π, to pole koła wpisanego w kwadrat jest równe: a) ½ π b) π c) ¾ π. 6 Ostatnią cyfrą zapisu dziesiętnego liczby 2 2002 jest a) 2 b) 4 c) 8 7 Trójkąt o bokach 5, 12, 13 a) jest ostrokątny b) jest rozwartokątny c) ma pole równe 30 8 Suma wszystkich liczb podzielnych przez 3 z przedziału domkniętego < 7,111> wynosi a) 2100 b)2106 c)2046 9 Który z podanych wielokątów ma 14 przekątnych a) pięciokąt wypukły b) siedmiokąt wypukły c) ośmiokąt wypukły 10 Jeżeli suma dwóch liczb pierwszych a i b jest równa 99, to iloczyn ab wynosi a) 194 b) 558 c) 957 11 Liczba 2004 jest iloczynem a) trzech b) czterech c) pięciu liczb pierwszych 12 Trzech pracowników może zebrać 100 kg owoców w dwa dni. Ilu pracowników trzeba zatrudnić, żeby zebrać 1000 kg owoców w jeden dzień a) 20 b) 30 c) 60 13 Równanie 2x-1 = x+1 a) ma dokładnie jeden pierwiastek b) ma dokładnie dwa pierwiastki d) nie ma pierwiastków 14 15 Suma trzech kolejnych liczb całkowitych a) jest zawsze podzielna przez trzy b) jest zawsze podzielna przez 5 c) jest zawsze parzysta W turnieju szachowym bierze udział 20 zawodników. Każdy gracz gra z każdym tylko jeden raz. Liczba rozegranych partii wynosi a) 2000 b) 190 c)180
16 W zbiorze liczb całkowitych równanie x 2-1=xy a) ma jedno rozwiązanie b) ma dwa rozwiązania c) nie ma rozwiązań II. Polecenie: Test jest testem jednokrotnego wyboru. Zaznacz krzyżykiem X poprawną odpowiedź w pustych kolumnach a, b, c. Za poprawną odpowiedź otrzymasz 1 punkt. Zad Treść zadania a b c Pkt. 1 Jeśli długości boków trójkąta równobocznego wzrosną o 20%, to pole trójkąta wzrośnie dokładnie o: a) 20% b) 44% c) 60 % 2 Resztą z dzielenia liczby (2754755) 2 przez 4 jest: a) 0 b) 1 c) 2 3 Suma dwóch liczb pierwszych : a) może być liczba pierwszą b) musi być liczbą pierwszą c) musi być liczbą parzystą 4 Jeden promil jednego miliona to: a) tysiąc b) 10 tysięcy c) 100 tysięcy 5 Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest zawsze: a)nieparzysta b) podzielna przez 3 c) podzielna przez 8 6 Jeśli towar pięciokrotnie staniał o 20% to, teraz : a) jest rozdawany za darmo b) kosztuje więcej niż 0,25 początkowej ceny c) kosztuje mniej niż 0,4 początkowej ceny
7 Trójkąt o bokach 5, 12, 13 a) jest ostrokątny b) jest rozwartokątny c) ma pole równe 30 8 Suma 1-4+ 7-10+13-16+ +2008-2011 jest liczbą a) ujemną b) dodatnią c) niepodzielną przez 3 9 Który z podanych wielokątów ma 20 przekątnych b) pięciokąt wypukły b) siedmiokąt wypukły e) ośmiokąt wypukły 10 Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c : a) jeżeli liczba abc jest parzysta, to liczba a+b+c jest parzysta b) jeżeli liczba a+b+c jest parzysta, to liczba abc jest parzysta c) jeżeli liczba a(b+c) jest parzysta, to liczba abc jest parzysta 11 W kwadrat i trójkąt równoboczny o tym samym polu wpisano koło. Wtedy: a) koło wpisane w kwadrat ma większe pole b) koło wpisane w trójkąt ma większe pole c) oba koła mają ten sam obwód 12 Liczba 12345678 jest: a) podzielna przez 4 i przez 9 b) podzielna przez 3 c) niepodzielna ani przez 4, ani przez 9 13 14 Równanie 2x-1 = 1-5x a) ma dokładnie jeden pierwiastek b) ma dokładnie dwa pierwiastki f) nie ma pierwiastków Pole największego trójkąta zawartego w kwadracie o boku 1 wynosi: a) 0,375 b) 16-8 3 c) 0,5 Powodzenia
2.Przykłdowe zadania konkursowe otwarte 1.Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych 8 (x 4 +y 4 )-4(x 2 +y 2 )+1=0 2. Rozpatrzmy wszystkie prostokąty, w których długości boków wyrażają się liczbami naturalnymi. Znaleźć te prostokąty, których liczba wyrażająca pole prostokąta jest równa liczbie wyrażającej jego obwód. 3. Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeżeli punkt styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach a i b. 4.Pewien bogaty handlowiec wybudował basen prostokątny o głębokości jednego metra. Do wyłożenia basenu użyto płytek kwadratowych o szerokości 10 centymetrów. Okazało się, że na ściany boczne zużyto tyle płytek, ile było potrzeba na wyłożenie dna, a płytek nie trzeba było przecinać. Stosunek długości do szerokości basenu jest liczbą możliwie najbliższą liczbie 3. Jakie były wymiary basenu w metrach? Ile płytek zużyto? 5.Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych x 2 +y 2 +z 2 +2 2 x+2 3 y+2 5 z+10=0 6. Iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych równa się ich trzykrotnej sumie. Co to za liczby? 7. Funkcja liniowa f spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x warunki: f(2x)=2f(x)-1 i f(x+2)=4+f(x). Rozwiąż nierówność: f(x) 3. 8.Trójkąt ABC przecięto prostą MN tak, że punkt M należy do AC, a punkt N należy do BC. Powstałe wielokąty maja takie same pola i obwody. Udowodnij, że MN zawiera środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC. 9.Liczba 24 po podzieleniu przez sumę swoich cyfr daje w wyniku cyfrę jedności tej liczby (24:6=4). Ile jest liczb dwucyfrowych o takiej własności? Podaj te liczby.